选修4-5不等式高考题汇编

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(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．下列结论不正确的是（） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-2．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3317,22⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞3．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-4．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．25．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b-D ．()20a b c -≥6．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（） A ．a b c <>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22ac bc >9．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >010．不等式5310x x -++≥的解集是( )A ．[-5,7]B ．[-4,6]C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞11．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=，则P ，Q 的关系是（） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <12．若a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．15．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.16．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．17．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 18．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________．20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-．（Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 22．函数()212f x x x =-++.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：141213a b +≥++. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积；（2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 25．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知0a >，0b >，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求2a b +的值；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.2．D解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<，当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=，所以11x x +--的最小值为-2，所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.3．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立，即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．4．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解.【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤；当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题5．D解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2eb ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<，故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确；对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确；对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.9．A解析：A 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确；对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误；对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.10．D解析：D 【分析】零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】分类讨论：当5x ≥时，不等式即：5310x x -++≥，解得：6x ≥；当35x -<<时，不等式即5310x x ---≥，此时不等式无解；当3x ≤-时，不等式即：5310x x -+--≥，解得：4x ≤-；综上可得，不等式的解集为(][),46,-∞-⋃+∞. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0，当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ，故选：C ．点睛：比较大小的常用方法（1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法12．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈，则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：【分析】只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立．适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边．【详解】当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值，此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，所以||||||c a b a b ++-．因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．故答案为【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．15．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围．【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立；当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．16．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值17．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0b a >>，0>，(()22b a b a -=+---，20a =-=<<③正确；当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.18．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不解析：(],3-∞-【分析】由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.19．【分析】由等式x+4y ﹣xy ＝0变形得将代数式x+y 与代数式相乘并展开利用基本不等式可求出x+y 的最小值从而可求出m 的取值范围【详解】由于x+4y ﹣xy ＝0即x+4y ＝xy 等式两边同时除以xy 得由基解析：9m ≤【分析】由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得411x y +=，将代数式x +y 与代数式41x y+相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围．【详解】由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，411x y+=，由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即当x ＝2y=6时，等号成立，所以，x +y 的最小值为9．因此，m ≤9．故答案为m ≤9．【点睛】本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．20．②③【分析】欲判断函数是不是保三角形函数只需要任给三角形设它的三边长分别为则不妨设判断是否满足任意两数之和大于第三个数即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形设它的三边长分别为则不妨设①可作为解析：②③【分析】欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，①()()20f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数②())0f x x =>，b c a +>>>())0f x x =>是保三角形函数 ③()02f x sinx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，02a b c π>+>>，()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝⎭是保三角形函数 ④()02f x cosx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212cos cos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是②③【点睛】要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可三、解答题21．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案．【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-，得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤故实数a 的最大值为15.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立22．（1）52；（2）证明见解析. 【分析】（1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值；（2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14213a b +++变形并利用基本不等式完成证明.【详解】解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，当2x -≤时，()5f x ≥；当122x -<<时，()552f x <<；当12x ≥时，()52f x ≥. 所以()f x 的最小值为52. （2）由（1）知52M =，即25a b +=，又因为0a >，0b >，所以()()141142132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4211359213a b a b +⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭1519⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩，即1a =，3b =时，等号成立，所以141231a b +≥++. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.23．（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，()()21xy x y x y xy ++≤++，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设log ,log a b b x c y ==，利用换底公式转化为关于,x y 的式子，即为111x y xy xy x y++≤++，借助（1）的结论，可得证明．【详解】证明：（1）由于1≥x ，1y ≥，则111x y xy xy x y++≤++()()21xy x y x y xy ⇔++≤++，将上式中的右边式子减左边式子得：()()21x y xy xy x y ⎡⎤++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()111xy xy x y xy =+--+-()()11xy xy x y =---+()()()111xy x y =---，又由1≥x ，1y ≥，则1xy ≥；即()()()1110xy x y ---≥，从而不等式得到证明．（2）设log ,log a b b x c y ==，则1,1x y ≥≥，由换底公式可得：111log ,log ,log ,log b c a c a b c xy a x y xy====，于是要证明的不等式可转化为111x y xy xy x y ++≤++，其中log 1,log 1a b b x c y =≥=≥，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.24．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =，所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=．（2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤，故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.25．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可. 【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅，当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题. 26．（1）22a b +=（2）92t ≤【分析】（1）用分段函数表示()f x ，分析单调性，得到min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即得解（2）原式转化为2a b t ab+≤，结合22a b +=，252a b a b ab b a +=++利用均值不等式即得解【详解】（1）令0x a +=得x a =-，令20x b -=得2b x =， ∵0a >0b >，∴2b a -<，则3,(),23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， ∴()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，22a b +=；（2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≤恒成立， ∵22a b +=，∴112a b +=， ∴1212255922222a b a b a b a b ab b a b a b a +++=+=+=++≥+=，（当且仅当a b =时取等号） ∴2a b ab +的最小值为92， ∴92t ≤. 【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题和均值不等式的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。

数学选修4-5基本不等式练习题含答案

所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以 .
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
基本不等式
【解析】
由题意问题可转化为：小于等于的最小值即可，而由基本不等式可得其最小值为，即可的答案．
【解答】
解：∵不等式对取一切正数恒成立，
∴只需小于等于的最小值即可，
而由基本不等式可得：，
当且仅当，即时取等号，
A. B. C. D.
8.已知，若不等式恒成立，则的最大值为
A. B. C. D.
9.若直线过点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
10.设，，则的最小值是（）
A. B. C. D.
11.当时，关于函数，则函数有最小值________．
12.已知，则不等式的最小值为________．
所以
，
38.如图，要设计修建一个矩形花园，由中心面积为的花卉种植区和四周宽为的人行道组成．设这个花花卉种植区矩形的长和宽分别为和，整个花园占地面积为．
（1）求与，的关系；
（2）问花卉种植区的长和宽为多少时，这个花园占地面积最小，并求最小值．
39.一辆家庭轿车在年的使用过程中需要如下支出：购买时花费万元；保险费，养路费，燃油费等各种费用每年万元，维修费用共万元；使用年后，轿车的价值为万元．设这辆家庭轿车的年平均支出为万元，则由以上条件，解答以下问题：
故选 .
二、填空题（本题共计 20 小题，每题 3 分，共计60分）
11.
【答案】
【考点】
基本不等式
【解析】
可得，，由基本不等式可得．
【解答】

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．12．下列命题中，正确的是（） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+4．设不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（）A ．15a <-或47a >B ．15a <-C ．47a >或01a <<D ．15a <-或1064a <<5．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（） A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤6．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >7．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >09．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( )A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ10．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab< C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 11．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（） A ．33a b >B ．22a b >C ．1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 12．若0a b >>，则（）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接)17．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 18．若函数()()01af x ax a x =+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．19．若关于x 的不等式||(,)x a b a b R +<∈的解集为{|35}x x <<，则a b -=________. 20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．解不等式：122x x -+-≤． 22．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.23．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 24．求下列关于x 的不等式的解集（1）|21|3x x +>-；（2）2|5|5x x -．25．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积；（2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 26．（1）解不等式239x x -++≥；（2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【详解】函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++211124113363332a b a b a b ≥+++++---=，即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14，故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.2．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论. 【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<，又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立,即2431a ->,解得15a <-或47a >,当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈, 则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈,所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t h t >+-=,即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-; 综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.5．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.6．D【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >，对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确；对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ．【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的，故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．A解析：A结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确；对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误；对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案．【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <，又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．10．D解析：D 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错；当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对；【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ．【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.12．D解析：D 【解析】分析：对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,11110,b a a b ab a b--=<∴<，所以选项A 错误. 对于选项B,因为0a b >>，对数函数2log y x =是增函数，所以22log log a b ＞，所以选项B 错误.对于选项C,2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项C 错误.对于选项D, 因为0a b >>，指数函数1()2x y =是减函数，所以 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查不等式的性质和函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，一般利用作差法和作商法，本题利用的是作差法,注意函数的图像和性质的灵活运用.二、填空题13．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围．【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立；当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．14．【解析】试题分析：由题设知对于任意正实数xy 恒成立所以1+a+≥16由此能求出正实数a 的最小值【解答】解：∵不等式对任意正实数xy 恒成立∴对于任意正实数xy 恒成立∵∴1+a+≥16即又a ＞0从而故答解析：【解析】试题分析：由题设知()min 116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对于任意正实数x ，y 恒成立，所以，由此能求出正实数a 的最小值．【解答】解：∵不等式116a x y x y+≥+对任意正实数x ，y 恒成立， ∴()min116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ 对于任意正实数x ，y 恒成立 ∵()111a y ax x y a a x y x y ⎛⎫++=+++≥++ ⎪⎝⎭∴即)530≥ ，又a ＞0，min 3,9.a ≥=故答案为9点睛：：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.15．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲解析：【解析】试题分析：由已知得，2(2)4(1)0a a ∆=--++≥，即11a a ++≤，所以2111,10a a a a +≤++≤-≤≤，故答案为[1,0]-.考点：不等式选讲.16．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c=++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.17．【分析】结合绝对值三角不等式得即求即可【详解】由绝对值三角不等式得即恒成立当时去绝对值得解得故；当时此时无解综上所述故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围绝对值三角不解析：0a ≥【分析】结合绝对值三角不等式得|1|||1x x a a ++-≥+，即求11a a +≥-+即可【详解】由绝对值三角不等式得()()|1|||11x x a x x a a ++-≥+--=+，即11a a +≥-+恒成立，当1a ≥-时，去绝对值得11a a +≥-+，解得0a ≥，故0a ≥；当1a <-时，11a a --≥-+，此时无解，综上所述，0a ≥ 故答案为：0a ≥ 【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：a b a b a b +≥±≥-，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的x .18．6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值解得的值再根据含绝对值三角不等式求函数的最小值【详解】当且仅当时即时取等号此时满足所以函数的最小值是6故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值解析：6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值，解得a 的值，再根据含绝对值三角不等式求函数()g x 的最小值.【详解】()11131f x a x a a x ⎛⎛⎫=-++≥= ⎪ -⎝⎭⎝，当且仅当111x x -=-时，即2x =时取等号，此时满足3155a a =⇒=，()()()51516g x x x x x =++-≥+--=，所以函数()g x 的最小值是6.故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值以及含绝对值不等式求最值，其中基本不等式求最值需注意一下几点：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质是解题关键解析：5-【分析】利用绝对值的性质x a a x a <⇔-<<解不等式后与已知比较可求得,a b ．【详解】由||x a b +<得b x a b -<+<，即a b x a b --<<-+，所以35a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以5a b -=-．故答案为：5-．【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．20．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不解析：(],3-∞-【分析】由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题21．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】按1,2x x --的零点分区间，分类讨论转化为解一元一次不等式即可.【详解】当1x ≤时，122x x -+-<，解得1>2x ，所以112x <≤；当12x <<时，122x x -+-<，即10-<，所以12x <<；当2x ≥时，1+22x x --< ，解得52x <，所以522x ≤<；综上，原不等式的解集是15,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，分类讨论去绝对值是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.22．（1）(,6)(2,)-∞--+∞；（2）(1,4)-.【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1≥x 三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值max ()f x ，由题意得出2max 3()m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围.【详解】7,3()12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩. （1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-；当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<；当1≥x 时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1≥x .综上所述，不等式()1f x <的解集(,6)(2,)-∞--+∞.（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()(3)4f x f ≤-=；当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则(1)()(3)f f x f <<-，即8()4f x -<<；当1≥x 时，函数()7f x x =--单调递减，则()(1)8f x f ≤-=-.综上所述，函数()y f x =的最大值为max ()(3)4f x f =-=，由题知，2max 3()4m m f x -<=，解得14-<<m .因此，实数m 的取值范围是(1,4)-.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题. 23．答案见解析【分析】利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【详解】 21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-．综上所述，当0a =时，111a a =+-；当1a <且0a ≠时，111a a >+-；当1a >时，111a a<+-．【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．24．（1）()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【分析】（1）分30x -<和30x -，把绝对值的不等式转化为关于x 的不等式组求解；（2）把2|5|5x x -转化为关于x 的不等式组求解．【详解】解：（1）由|21|3x x +>-，得30x -<①，或30213x x x-⎧⎨+>-⎩②，或30213x x x -⎧⎨+<-+⎩③．解①得3x >，解得②得233x <，解③得4x <-． |21|3x x ∴+>-的解集为()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭；（2）由2|5|5x x -，得225555x x x x ⎧--⎨-⎩①②，解①5352x +②得552x -或552x +．取交集，得2|5|5x x -的解集为，55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．25．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =，所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=．（2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤，故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.26．（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析.【分析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证.【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-；当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立；当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥；所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--，因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+，所以1ab a b +>+.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。

高考数学各地模拟汇编--数学选修4-5不等式选讲(有答案)

高中数学选修4-5不等式选讲一．解答题（共30小题）1．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．2．（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．3．（2014•阜阳一模）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[α，β]．（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）﹣minf（x）；（Ⅱ）证明：对于，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++＜．4．（2014•苏州一模）已知x，y，z均为正数．求证：．5．（2014•长春一模）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．6．（2014•长安区三模）设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．7．（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集为[0，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m，求证：ax+by+cz≤1．8．（2014•濮阳二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．9．（2014•宁城县模拟）已知a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1．求证：（Ⅰ）a+b+c≥；（Ⅱ）++≥（++）．10．（2014•沈阳一模）已知函数f（x）=lnx，．（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（Ⅱ）若在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．11．（2014•梅州一模）已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．12．（2014•遵义二模）（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）若不等式|a﹣1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．13．（2014•红河州模拟）函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．14．（2014•河北模拟）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．15．（2014•河北模拟）已知a，b＞0，且a+b=1，求证：（Ⅰ）+≥8；（Ⅱ）++≥8．16．（2014•海南模拟）已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：（1）（ax+by）2≤ax2+by2（2）（a+）2+（b+）2≥．17．（2013•临汾模拟）已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．18．（2014•乌鲁木齐三模）已知a，b，c∈R*，证明：（1）（a+b+c）（a2+b2+c2）≤3（a3+b3+c3）；（2）++≥．19．（2014•淮安模拟）已知a，b，c均为正数，证明：．20．（2014•南通一模）已知实数x，y满足：，求证：．21．（2014•南通三模）已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求证（）2≤．22．（2014•南通模拟）设a，b，c，d∈R，求证：+≥，等号当且仅当ad=bc 时成立．23．（2014•昆明一模）已知a，b，c均为正数．（Ⅰ）求证：a2+b2+（）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100．24．（2014•贵州二模）设不等式|x﹣2|＜m（m∈N+）的解集为A，且∈A，∉A．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R+，且a+b+c=，求证：++≥9．25．（2014•盐城二模）已知x，y∈R，且|x+y|≤，|x﹣y|≤，求证：|x+5y|≤1．26．（2014•盐城一模）已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．27．（2014•福建模拟）已知f（x）=aln（x+1）++3x﹣1．（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：ln（2n+1）对一切正整数n均成立．28．（2014•静安区一模）（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小；（2）设a，b，c为正数，且a2+b2+c2=1，求证：++﹣≥3．29．（2013•泰州三模）选修4﹣5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：．30．（2013•盐城二模）（选修4﹣5：不等式选讲）若，证明．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．2．（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．考点：不等式的证明；数列与不等式的综合；分析法和综合法．专题：函数思想；点列、递归数列与数学归纳法．分析：第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1=a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．解答：证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1=a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，∴a n +a n 1﹣p ＞，即a n+1＞．再证a n ＞a n+1．只需证a n ＞a n +a n 1﹣p ，化简、整理得a n p ＞c ，只需证a n ＞c．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n }的第2项开始成立，又n=1时，由题设知成立，∴对n ∈N *成立，∴a n ＞a n+1．综上知，a n ＞a n+1＞，原不等式得证．点评：本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．3．（2014•阜阳一模）已知α，β是方程4x 2﹣4tx ﹣1=0（t ∈R ）的两个不等实根，函数的定义域为[α，β]．（Ⅰ）求g （t ）=maxf （x ）﹣minf （x ）；（Ⅱ）证明：对于，若sinu 1+sinu 2+sinu 3=1，则++＜．考点：不等式的证明；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）先设α≤x 1＜x 2≤β，则4x 12﹣4tx 1﹣1≤0，4x 22﹣4tx 2﹣1≤0，利用单调函数的定义证明f （x ）在区间[α，β]上是增函数．从而求得函数f （x ）的最大值与最小值，最后写出g （t ）（Ⅱ）先证：从而利用均值不等式与柯西不等式即得：++＜．解答：解：（Ⅰ）设α≤x 1＜x 2≤β，则4x 12﹣4tx 1﹣1≤0，4x 22﹣4tx 2﹣1≤0，∴则又故f （x ）在区间[α，β]上是增函数．（3分） ∵，∴=（6分）（Ⅱ）证：（9分）∴（15分）∵，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴++＜．（14分）点评：本题主要考查了不等式的证明、函数的最值及其几何意义，解答关键是利用函数单调性求最值及均值不等式与柯西不等式的灵活运用．4．（2014•苏州一模）已知x ，y ，z 均为正数．求证：．考点：不等式的证明．专题：常规题型；压轴题；综合法．分析：分别对，，进行化简分析，得出与的关系，然后三个式子左右分别相加除以2即可得到结论．解答：证明：因为x，y，z都是为正数，所以①同理可得②③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：点评：本题考查不等式的证明，涉及基本不等式的应用，属于中档题．5．（2014•长春一模）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．考点：不等式的证明；带绝对值的函数．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）点评：本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．6．（2014•长安区三模）设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数…（1分）②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减又∴∴当时，方程f（x）=t有两解…（8分）（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），只需证：设，则…（10分）由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减…（12分）∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．…（14分）点评：考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等，在证明不等式时，注意采用什么形式，选择一种合适的写法7．（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集为[0，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m，求证：ax+by+cz≤1．考点：不等式的证明．专题：高考数学专题．分析：第（1）问中，分离m，由|x|+|x﹣1|≥1确定将m分“m＜1”与“m≥1”进行讨论；（2）中，可利用重要不等式将x2+a2与ax联系，y2+b2与by联系，z2+c2与cz联系．解答：解：（1）由f（x+1）≥0得|x|+|x﹣1|≤m．若m＜1，∵|x|+|x﹣1|≥1恒成立，∴不等式|x|+|x﹣1|≤m的解集为∅，不合题意．若m≥1，①当x＜0时，得，∴；②当0≤x≤1时，得x+1﹣x≤m，即m≥1恒成立；③当x＞1时，得，∴1，综上可知，不等式|x|+|x﹣1|≤m的解集为[，]．由题意知，原不等式的解集为[0，1]，∴解得m=1．（2）证明：∵x2+a2≥2xa，y2+b2≥2yb，z2+c2≥2zc，以上三式相加，得x2+y2+z2+a2+b2+c2≥2xa+2yb+2zc．由题设及（1），知x2+y2+z2=a2+b2+c2=m=1，∴2≥2（xa+yb+zc），即ax+by+cz≤1，得证．点评：本题难度与高考相当，第（1）问考查了分段讨论法解绝对值不等式，对参数的讨论是前提；第（2）问要求学生掌握不等式的基本性质，关键是联系第一问求解．8．（2014•濮阳二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．考点：不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式选讲．分析：（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；（Ⅱ）利用分析法进行证明不等式．解答：解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6，若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，解得x≥3．当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6，即4≥6，此时不成立．当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6，即2x≤﹣6，即x≤﹣3．综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（II）要证，只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2＜1，b2＜1，即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，从而原不等式成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，要注意进行分段讨论．9．（2014•宁城县模拟）已知a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1．求证：（Ⅰ）a+b+c≥；（Ⅱ）++≥（++）．考点：不等式的证明．专题：选作题；不等式选讲．分析：（Ⅰ）由题意可得，只需证（a+b+c）2≥3，只需证a2+b2+c2≥1，只需证a2+b2+c2﹣（ab+bc+ca）≥0，只需证（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c≥，证明++≥（++），只需证明≥++，结合基本不等式，即可得证．解答：证明：（Ⅰ）要证原不等式成立，只需证（a+b+c）2≥3，即证a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2﹣1≥0，因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2﹣（ab+bc+ca）≥0，只需证：2a2+2b2+2c2﹣2（ab+bc+ca）≥0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，而（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0显然成立，故原不等式成立；（Ⅱ）∵++=，由（Ⅰ）知，a+b+c≥，∴证明++≥（++），只需证明≥++，即证明：+b+c≤ab+bc+ca，∵≤，b≤，c≤，∴+b+c≤ab+bc+ca，∴++≥（++）．点评：本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．10．（2014•沈阳一模）已知函数f（x）=lnx，．（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（Ⅱ）若在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）与g（x）在x=1处相切，可求g（x）的表达式；（Ⅱ）在[1，+∞）上是减函数，可得导函数小于等于0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；（Ⅲ）当x≥2时，证明，当x＞1时，证明，利用叠加法，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=lnx，∴，∴，得：a=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）解：∵=在[1，+∞）上是减函数，∴在[1，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由，x∈[1，+∞），∵，∴2m﹣2≤2得m≤2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当x≥2时，，∴得：，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴当x=2时，；当x=3时，；当x=4时，，…，当x=n+1时，，n∈N+，n≥2上述不等式相加得：即：①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由（Ⅱ）可得：当m=2时，ϕ（x）=在[1，+∞）上是减函数，∴当x＞1时，ϕ（x）＜ϕ（1）=0，即＜0，所以，从而得到．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当x=2时，；当x=3时，；当x=4时，，…，当x=n+1时，，n∈N+，n≥2上述不等式相加得：==即②综上：（n∈N+，n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．11．（2014•梅州一模）已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．考点：专综合题．题：分（Ⅰ）把a=﹣代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间；析：（Ⅱ）已知当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，将问题转化为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，只要求出ax2+ln（x+1）﹣x的最小值即可，令新的函数，利用导数研究其最值问题；（Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明；解解：（Ⅰ）当时，（x＞﹣1），答：（x＞﹣1），由f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．（5分）由=，（ⅰ）当a=0时，，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）（ⅱ）当a＞0时，由，因x∈[0，+∞），所以，①若，即时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）（ⅲ）当a＜0时，由，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a ﹣1）＜0，∴g'（x ）＜0，故函数g （x ）在[0，+∞）上单调递减，故g （x ）≤g （0）=0成立．综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，0]．（10分）（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln （x+1）≤x 在[0，+∞）上恒成立（或另证ln （x+1）≤x 在区间（﹣1，+∞）上恒成立），（11分）又，∵===，∴．（14分）点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，第二题实质还是函数的恒成立问题，第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式，利用它们进行放缩证明，本题难度比较大，是一道综合题； 12．（2014•遵义二模）（1）已知x 、y 都是正实数，求证：x 3+y 3≥x 2y+xy 2；（2）若不等式|a ﹣1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用作差法，因式分解，即可得到结论；（2）根据柯西不等式证明++≤3，利用|a ﹣1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x ，y ，z 恒成立，可得|a ﹣1|，从而可求实数a 的取值范围．解答：（1）证明：由x 3+y 3﹣x 2y ﹣xy 2=x 2（x ﹣y ）+y 2（y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x 2﹣y 2）=（x ﹣y ）2（x+y ）…（3分）又x 、y 都是正实数，∴（x ﹣y ）2≥0，x+y ＞0， ∴x 3+y 3﹣x 2y ﹣xy 2＞0， ∴x 3+y 3≥x 2y+xy 2；…（5分）（2）解：由题意，根据柯西不等式有（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3[3（x+y+z ）+3]=3×6=18， ∴++≤3…（3分）又|a ﹣1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x ，y ，z 恒成立， ∴|a ﹣1|，∴a +1或a ，∴a 的取值范围是（﹣]∪[1+3，+∞）．…（5分）点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．13．（2014•红河州模拟）函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．考点：不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合．分析：（Ⅰ）根据题意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范围，即是f（x）的定义域A；（Ⅱ）由A、B求出B∩C R A，即得a、b的取值范围，由此证明成立即可．解答：解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=，∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；即|x+1|+|x+2|≥5，当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈∅；当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；综上，f（x）的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．（Ⅱ）∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A=（﹣4，1），∴B∩C R A=（﹣1，1）；又∵，而；当a，b∈（﹣1，1）时，（b2﹣4）（4﹣a2）＜0；∴4（a+b）2＜（4+ab）2，即．点评：本题考查了求函数的定义域以及集合的运算和不等式的解法与证明问题，是综合题，解题时应把含绝对值的不等式分类讨论，不等式证明时常用作差法，是中档题．14．（2014•河北模拟）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．解答：解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）点评：本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．15．（2014•河北模拟）已知a，b＞0，且a+b=1，求证：（Ⅰ）+≥8；（Ⅱ）++≥8．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式选讲．分析：（Ⅰ）利用a+b=1，通过重要不等式以及基本不等式，推出，然后证明+≥8；（Ⅱ）利用a+b=1，利用1的代换，转化++为+，利用基本不等式即可求证结果．解答：证明：（Ⅰ）∵ab≤（）2=，当且仅当a=b时等号成立，∵a+b=1，a=b=，∴．∵+≥≥8，当且仅当a=b=时等号成立，∴+≥8．（5分）（Ⅱ）∵++=++=+++=2（a+b）（+）=4+2（）≥4+4=8，当且仅当a=b=时等号成立，∴++≥8．（10分）点评：利用基本不等式以及重要不等式以及“1”的代换，注意“正、定、等”的应用．16．（2014•海南模拟）已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：（1）（ax+by）2≤ax2+by2（2）（a+）2+（b+）2≥．考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：（1）将所证的关系式作差（ax+by）2﹣（ax2+by2）=a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy=﹣ab（x﹣y）2≤0，当且仅当x=y时等号成立；（2）将所证的不等式左端展开，转化为，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立．解答：证明：（1））（ax+by）2﹣（ax2+by2）=a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy，因为a+b=1，所以a﹣1=﹣b，b﹣1=﹣a，又a，b均为正数，所以a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy=﹣ab（x2+y2﹣2xy）=﹣ab（x﹣y）2≤0，当且仅当x=y时等号成立；（2）==．当且仅当a=b时等号成立．点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题．17．（2013•临汾模拟）已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．考点：不等式的证明．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用综合法，结合基本不等式，即可得出结论；（Ⅱ）设=（a，b），=（1，），利用|⋅|≤||⋅||，可求a+b的取值范围．解答：（I）证明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=时取“=”…（2分）又∵a2+b2=1，c2+d2=1∴2（ab+cd）≤2 …（4分）∴ab+cd≤1 …（5分）（Ⅱ）解：设=（a，b），=（1，），∵|⋅|≤||⋅||，…（8分）∴|a+b|≤2=2，∴﹣2≤a+b≤2∴a+b的取值范围为[﹣2，2]．…（10分）点评：本题考查不等式的证明，考查求a+b的取值范围，正确运用基本不等式，合理构造向量是关键．18．（2014•乌鲁木齐三模）已知a，b，c∈R*，证明：（1）（a+b+c）（a2+b2+c2）≤3（a3+b3+c3）；（2）++≥．考点：不等式的证明．专题：高考数学专题．分析：第（1）问考虑左边展开与右边可抵消一个a2+b2+c2，想到作差比较，项较多，可重新分组进行因式分解；第（2）可通过构造柯西不等式放缩，获取定值．解答：证明：（Ⅰ）右边﹣左边，得3（a3+b3+c3）﹣（a+b+c）（a2+b2+c2）=2（a3+b3+c3）﹣a（b2+c2）﹣b（a2+c2）﹣c（a2+b2）．∵a，b∈R*，∴a3+b3﹣a2b﹣ab2=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）2（a+b）≥0．∴a3+b3≥a2b+ab2，同理，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，以上三式相加得=2（a3+b3+c3）≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac，∴2（a3+b3+c3）﹣a（b2+c2）﹣b（a2+c2）﹣c（a2+b2）≥0，∴（a+b+c）（a2+b2+c2）≤3（a3+b3+c3）．（Ⅱ）∵a，b，c∈R*，∴a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，由柯西不等式得）[（a+b）+（b+c）+（c+a）]≥2=9，即2（a+b+c）（++）≥9，∴2（++）≥3，故++≥，当且仅当a=b=c时，不等式取等号．点评：本题的两小问设置合理，主要考查了不等式的基本性质及变形技巧，作差比较法，柯西不等式等．19．（2014•淮安模拟）已知a，b，c均为正数，证明：．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：两次运用基本不等式即可证明结论．解答：证明：∵a，b，c均为正数，∴左边≥≥2=2=6，当且仅当a=b=c时取等号，∴．点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．20．（2014•南通一模）已知实数x，y满足：，求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：首先由3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，再结合已知的不等式，即可证得结论．解答：证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，由题设，∴．∴．点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．21．（2014•南通三模）已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求证（）2≤．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“分析法”和不等式的性质即可证明．解答：证明：∵x＞0，y＞0，∴x+y＞0，∴要证，即证（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．即证xy（a2﹣2ab+b2）≥0，即证（a﹣b）2≥0，而（a﹣b）2≥0显然成立，故．点评：本题考查了“分析法”和不等式的性质证明不等式，属于基础题．22．（2014•南通模拟）设a，b，c，d∈R，求证：+≥，等号当且仅当ad=bc 时成立．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：运用分析法证明，要证原不等式成立，可考虑两边平方，化简整理，再由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，即可得证．解答：证明：要证+≥，即证（+）2≥（）2，即为a2+b2+c2+d2+2≥（a+c）2+（b+d）2，化简后，即证≥ac+bd，由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，得|ac+bd|≥ac+bd．则原不等式得证．且有原不等式中等号当且仅当ad=bc时成立．点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，以及不等式的性质的运用，考查推理能力，属于中档题．23．（2014•昆明一模）已知a，b，c均为正数．（Ⅰ）求证：a2+b2+（）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式，即可证明结论．解答：证明：（Ⅰ）∵a，b均为正数，∴a2+b2≥2ab，≥，∴a2+b2+≥2ab+，∴a2+b2+（）2≥2ab+≥4，当且仅当a=b=时，等号成立．（Ⅱ）∵a+4b+9c=1，∴=（a+4b+9c）（）=9+16+9+++≥34+24+18+24=100，当且仅当a=3b=9c时等号成立．点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，掌握基本不等式的使用条件是关键．24．（2014•贵州二模）设不等式|x﹣2|＜m（m∈N+）的解集为A，且∈A，∉A．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R+，且a+b+c=，求证：++≥9．考点：不等式的证明．专题：选作题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据∈A，∉A，求出m的范围，结合m∈N+，即可求m的值；（Ⅱ）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：由．﹣﹣（4分）∵m∈N+，∴m=1．﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）有：（a，b，c∈R+）又===≥9，∴++≥9﹣﹣（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，正确运用“1”的代换，基本不等式，是解题的关键．25．（2014•盐城二模）已知x，y∈R，且|x+y|≤，|x﹣y|≤，求证：|x+5y|≤1．考点：不等式的证明；绝对值不等式．专题：证明题．分析：利用x+5y=3（x+y）﹣2（x﹣y），利用绝对值不等式的性质即可证得结论．解答：证明：∵|x+y|≤，|x﹣y|≤，∴|x+5y|=|3（x+y）﹣2（x﹣y）|≤|3（x+y）|+|2（x﹣y）|=3|x+y|+2|x﹣y|≤3×+2×=1．即|x+5y|≤1．点评：本题考查绝对值不等式的性质，分析得到x+5y=3（x+y）﹣2（x﹣y）是应用绝对值不等式性质的关键，考查转化思想与推理论证能力，属于中档题．26．（2014•盐城一模）已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式，可得，，，三式相加，利用x1+x2+x3=1，可得结论．解答：证明：∵x1，x2，x3为正实数，∴，，，∴三式相加，可得+x 3≥2（x 1+x 2+x 3），∵若x 1+x 2+x 3=1，∴．点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．27．（2014•福建模拟）已知f （x ）=aln （x+1）++3x ﹣1．（1）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：ln （2n+1）对一切正整数n 均成立．考点：不等式的证明．专题：选作题；不等式选讲．分析：（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a 的取值范围；（2）由（1）知，x ＞0时，不等式恒成立，则x ＞0时，恒成立．令（k ∈N *），．令k=1，2，3，…，n ，叠加，即可证明结论．解答：（1）解：．若a ≥﹣2，则a+6＞0，x ＞0时，f'（x ）＞0．此时，f （x ）在区间[0，+∞）上为增函数． ∴x ≥0时，f （x ）≥f （0）=0．a ≥﹣2符合要求．若a ＜﹣2，则方程3x 2+（a+6）x+a+2=0有两个异号的实根，设这两个实根为x 1，x 2，且x 1＜0＜x 2． ∴0＜x ＜x 2时，f'（x ）＜0．f （x ）在区间[0，x 2]上为减函数，f （x 2）＜f （0）=0． ∴a ＜﹣2不符合要求．∴a 的取值范围为[﹣2，+∞）．（2）证明：由（1）知，x ＞0时，不等式恒成立．∴x ＞0时，恒成立．令（k ∈N *），得，整理得．∴．令k=1，2，3，…，n ，得，，，…，．将上述n 个不等式的左右两边分别相加，得． ∴对一切正整数n 均成立．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键． 28．（2014•静安区一模）（理）（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较2x 2+y 2与x 2+xy 的大小；（2）设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，求证：++﹣≥3．考点：不等式的证明；比较法．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）解法1：利用作差法；解法2：利用分类讨论思想，分xy ＜0与xy ＞0讨论即可证得结论；（2）利用作差法，通过通分、分组、配方等一系列转化，即可证得结论．解答：证明：（1）证法1：∵x 、y 是不全为零的实数，∴2x 2+y 2﹣（x 2+xy ） =x 2+y 2﹣xy=+y 2＞0，∴2x 2+y 2＞x 2+xy ．证法2：当xy ＜0时，x 2+xy ＜2x 2+y 2；当xy ＞0时，作差：x 2+y 2﹣xy ≥2xy ﹣xy=xy ＞0；又因为x 、y 是不全为零的实数， ∴当xy=0时，2x 2+y 2＞x 2+xy ．综上，2x 2+y 2＞x 2+xy ．（2）证明：∵++﹣﹣3=++﹣﹣3=a 2（+）+b 2（+）+c 2（+）﹣2（++）=a 2+b 2+c 2≥0（当且仅当a=b=c 时，取得等号），∴++﹣≥3．点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法，考查通分、配方、分类讨论等方法，运用转化思想，推理证明，属于难题．29．（2013•泰州三模）选修4﹣5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：．考点：综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用．分析：先用分析法证明，再利用基本不等式，即可证得成立．解答：证明：先证，只要证2（a n+1+b n+1）≥（a+b）（a n+b n），即要证a n+1+b n+1﹣a n b﹣ab n≥0，即要证（a﹣b）（a n﹣b n）≥0，…（5分）若a≥b，则a﹣b≥0，a n﹣b n≥0，所以，（a﹣b）（a n﹣b n）≥0．若a＜b，则a﹣b＜0，a n﹣b n＜0，所以（a﹣b）（a n﹣b n）＞0，综上，可得（a﹣b）（a n﹣b n）≥0，从而．…（8分）因为，所以．…（10分）点评：本题主要考查用分析法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．30．（2013•盐城二模）（选修4﹣5：不等式选讲）若，证明．考点：不等式的证明；柯西不等式的几何意义．专题：证明题．分析：直接构造18=6×3=[（1+2x）+（3+x）+（2﹣3x）]（1+1+1），利用柯西不等式证明即可．解答：证明：因为18=6×3=[（1+2x）+（3+x）+（2﹣3x）]（1+1+1），由柯西不等式可得：…（7分）又，所以．…（10分）点评：本题考查柯西不等式的证明方法的应用，构造柯西不等式是解题的关键．。

2014-2017高考真题-选修4-5不等式选讲

选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1. (2017?新课标 I ,23)已知函数 f (X ) =-x 2+ax+4, g (x ) =|x+1|+|x - 1| . (10 分) (1) 当a=1时，求不等式f (X) >g( X)的解集；(2) 若不等式f (X ) >g(X )的解集包含[-1, 1],求a 的取值范围.1. (1)解：当a=1时，f ( X ) = - X 2+X +4，是开口向下，对称轴为QI Ig (X ) =|x+1|+|x - 1|=-2x- 1当 x €( 1 , +S)时，令-x 2+x+4=2x ,解得综上所述，f ( X) >g( X)仿-1的解集为［-1 ,—刁—］;(2)依题意得：-x 2+ax+4 >在［-1, 1］恒成立，即 X 2 - ax - 2<0在［ - 1, F 1-2<0(一 1)1 一就一解得-1Waw,l故a 的取值范围是［-1, 1］.2. (2017?新课标n ,23 )已知 (I) (a+b) (a 5+b 5) >4(n) a+b<2a >0,b >0, a 3+b 3=2，证明:(n)v a 3+b 3=2,••( a+b) (a 2 - ab+b 2) =2,•••( a+b) [ (a+b) 2 - 3ab]=2 , ••( a+b)如9 =ab ,f (x )在(1 , +8)上单调递减, •••此时 f (X )>g(X )的解集为衍-1(1,当 x € [ - 1, 1]时，g ( X ) 当 xC(- 8,- 1)时， =2, f g (x ) (X)>ff- 1) =2. 单调递减，f ( X )单调递增，且g (- 1) =f (-1)=2.2.证明：(I)由柯西不等式得: (a+b ) (a 5+b 5) + ) 2= (a 3+b 3)2>4当且仅当届=皈兀即a=b=1时取等号,1x=二的二次函数,在(1, +8)上单调递增，1］恒成立, 则只需3- 3ab (a+b ) =2,时沪2空由均值不等式可得：go+b) =ab < ( 2 ) 2••• 4 (a+b) 3<2••• a+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立.3. (2017?新课标川,23 )已知函数 f (x ) =|x+1| - |x - 2| . f (x ) >1的解集；f (x ) >2- x+m 的解集非空，求 m 的取值范围.(I)求不等式 (n)若不等式 =|x+1| - |x - 2|=-3 - 12x- 1 厂 1<23 ,r>2(X) >1•••当-1< X < 时，当x >2时，3>1恒成立，故x >2; 综上，不等式f (x ) >1的解集为{x|x > 1}(n)原式等价于存在 x € R 使得f (x )- x 2+x>m 成立, 即 m < [f ( x )- x +x]max ,设 g ( x ) =f ( X )- X 2+X.-X-+X- 5 庄 < -1—兀”女―1l<x<2由( 1)知，g (X )= -应十兀 +5,X >2,2x - 1>1,解得 K xw ；当x<- 1时，g (x ) =- x 2+x - 3，其开口向下，对称轴方程为••• g (x) <g(- 1) =- 1 - 1 - 3=- 5;x=当-1<XV2时，g (x ) =- x 2+3x - 1,其开口向下，对称轴方程为3 9 9 5••• g (x) <g(丄)=-4 + 二-1= 4 ；x= 3一 € ( - 1 ,2),当x>2时，g (x ) =- x 2+x+3,其开口向下，对称轴方程为 x=-••• g (x) <g(2) =-4+2=3=1 ；5综上，g (x )max =卸,5• m 的取值范围为(-S, 4 ].4. (2017?江苏,21D )已知 a , b , c, d 为实数，且 a 2+b 2=4, c 2+d 2=16, 4.证明：••• a 2+b 2=4, c 2+d 2=16,令 a=2cosa, b=2sin a c=4cos g d=4sin 3•• ac+bd=8 ( cos a cos 3 +sin a Sinrgcos ( a- 3) <8 当且仅当 cos ( a- 3) =1 时取等号.证明 ac+bd <8因此ac+bdW8.(1)在图中画出y= f(x)的图象;⑵求不等式|f(x)|>1的解集.x —4，x<— 1 ,33x— 2 — 1vxW—5.解(1)f(x)= ，2^ y= f(x)的图象如图所示.3—x+ 4, x>2,当f(x)=—1时，可得x = 3或x = 5,故f(x)>1 的解集为{x|1<x<3} ; f(x)< — 1 的解集为x|x<7或x>5 .3所以|f(x)|>1的解集为x|x<3或1<x<3或x>5 .6.(2016全国川，24)已知函数f(x) = |2x—a汁a.(1)当a = 2时，求不等式f(x)w 6的解集;⑵设函数g(x) = |2x—1|.当x€ R时，f(x)+ g(x)>3，求a的取值范围.6.解⑴当 a = 2 时，f(x) = |2x—2|+2.解不等式|2x—2| + 2 w 6 得一K xw 3.因此f(x)w 6的解集为{x|—1w xw 3}.(2)当x€ R 时，f(x) + g(x) =|2x—a|+ a + |1 —2x|> |2x —a+ 1 —2x| + a= |1 —a|+ a, 所以当x€ R 时，f(x) + g(x)>3 等价于|1 —a|+ a>3.①当aw 1时，①等价于1 — a + a> 3,无解.5.(2016全国I, 24)已知函数f(x) =|x + 1|—|2x—3|.⑵当f(x) = 1时，可得x当a > 1时，①等价于a — 1 + a > 3, 解得a > 2. (2)7—3t+12+>/!=V 3A /4—t +&w v [ (V 3)2+12][ (V 4—t)2+(V t)勺=刃4—1+1=4,所以a 的取值范围是［2 ,+8 ).b € M 时，|a + b|<|1 + ab|.1—2x ,x w — 2，7. (1)解 f(x)=. 1 1 1，— 2<x <2,12x , x >2.1 1 当 xw — 2时，由 f(x)<2 得一2x<2，解得 x> — 1,所以,-1<x < --;当-2<x<2时，f(x)<2；当 x > 2时，由 f(x)<2 得 2x<2，解得 x<1，所以，-2<x<1. 所以 f(x)<2 的解集 M = {x — 1<x<1}.⑵证明由 ⑴知，当 a,b € M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a + b)2-(1 + ab)2 = a 2 + b 2-a 2b 2-1 = (a 2-1)(1-b 2)<0，即(a + b)2<(1 + ab)2,因此 |a + b|<|1 + ab|.8. (2015重庆，16)若函数f(x) = X +1汁2|x — a|的最小值为 5,则实数a =8.4或一6 ［由绝对值的性质知 f(x)的最小值在x = -1或x = a 时取得，若f(-1) = 2|— 1-a|= 5, a=2或a = — 7,经检验均不合适；若f(a)= 5，则|x +1|= 5, a = 4或a = — 6,经检验合题意, 因此a = 4或a =— 6.]9. (2015陕西，24)已知关于x 的不等式|x + a|< b 的解集为{x|2<x < 4}. (1) 求实数a , b 的值； (2) 求7at + 12的最大值.—b — a = 2,9.解(1)由|x + a|v b ,得一b — a <xv b — a ，贝U解得 a =— 3, b = 1.b — a = 4,7.(2016 全国 n , 24)已知函数f(x)= 1 1x — 2 + X + - , M 为不等式f(x)<2的解集.(1)求 M ;(2)证明：当 a ,当且仅当半，即t = 1时等号成立，故付-3t + 12 + P )max = 4.10. (2015 新课标全国 I, 24)已知函数 f(x) = |x + 1|— 2|x — a|, a>0.(1)当a = 1时，求不等式f(x)>1的解集；⑵若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.10.解 (1)当 a = 1 时，f(x)>1 化为 |x + 1| — 2|x — 1|— 1>0.当x <— 1时，不等式化为2所以f(x)>1的解集为x 2<x<2 .x — 1 — 2a , x< — 1,⑵由题设可得，f(x)= 3x + 1 — 2a , — K x < a ,—x + 1 + 2a , x>a.Oa 1所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 筈1, 0 ,B(2a + 1,0),C(a,a+1),△ ABC 的面积为3(a + 1)2.由题设得|(a + 1)2>6，故a>2.所以a 的取值范围为(2 ,+s ).11. (2015新课标全国n, 24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且 a + b = c + d ，证明：(1) 若 ab >cd ,则 V a +7b>7C +;⑵诵+心〉a C+J d 是|a — b|v |c — d|的充要条件.11.证明(1)因为(需 + V b)2 = a +b + ^/ab ,(农+ 卫)2= c +d + ^/cd , 由题设 a + b = c + d , ab >cd 得(诟+ Q B)2>(&+V d)2.因此7^ + 2^>讥+诵.(2) ①若 a — b|v|c — d|,则(a — b)2< (c — d)2,即(a + b)2 — 4ab < (c + d)2— 4cd.因为 a + b = c +d ,所以 ab > cd.由(1)得^/a +托>伍+>/5.②若逅+血〉念+念，则(诟 + 7b)2> (讥+ T d)2,即卩 a + b + ^/ab >c +d + ^cd. 因为 a + b = c +d ,所以 ab >cd ,于是(a — b)2= (a + b)2— 4ab < (c + d)2— 4cd = (c — d)2. 因此|a — b|< |c — d|综上，寸a +寸b >^3+寸d 是|a — b|< |c — d|的充要条件.12. (2014广东，9)不等式|x — 1汁|x + 2|> 5的解集为X — 4>0,无解;当一1<x<1时，不等式化为 23x — 2>0 ,解得-<x<1 ; 3当x > 1时，不等式化为一 X + 2>0，解得 K x<2.（1）当q = 2, n = 3时，用列举法表示集合 A ;x > 1 ,12.{x|x w- 3或 x A 2}[原不等式等价于(x — 1) + ( x + 2)> 5—2<x<1, —(x — 1) + ( x + 2)> 5 …—(x — 1) — ( x + 2)> 5, 解得x > 2或xw — 3.故原不等式的解集为{x|xw — 3或x > 2}.]5 113.（2014湖南，13）若关于x 的不等式|ax —2|<3的解集为x|— 2<x<3，贝a =一 2 114.（2014重庆，16）若不等式|2x — 1汁|x + 2|> a 2+尹+ 2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是1515 114. — 1，2[令 f(x) = |2x-1| + |x+2|,易求得 f(x)min = _,依题意得玄彳+衣+:w-? -1 w aw2.]115.(2014 新课标全国 n, 24)设函数 f(x) = |x +-|+ |x — a|(a>0). a (1)证明：f(x) > 2;⑵若f （3）<5，求a 的取值范围.1 1 115.(1)证明由 a>0 ,有 f(x)=|x +一|+ |x — a|> |x +" — (x — a)| = "+ a >2.所以 f(x)>2. a a a 1 1 5 I 寸 21⑵解 f(3) = |3 + a|+ |3- a|.当 a>3 时，f(3) = a +1，由 f(3)<5 得 3<a<一汁1当 0<aw 3 时，f(3) = 6 — a +」, a综上，a 的取值范围是小由16.（2014天津，19）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M = {0,1,2，…，q — 1},集合 A = {x|x = x 1 + x 2q +…+ x n q n —1,为 € M , i = 1,2,…，n}.(2)设 s, t € A , s = a 1 + a 2q +…+ a n q n 1, t = b 1+ b 2q + …+ b n q n 1,其中 a i , b i € M , i = 1,2,…, n.证明：若 a n 0时，不等式的解集出 1为-a ，5-，从而有a1 5此方程组无解. 3^当a<0时，不等式的解集为55 1a-，—1，从而有 a a53，解得a =— 3.] 1 1 a = 3，由 f(3)<5 得 < aw 3.16.(1)解当q= 2,n= 3 时,M = {0,1}, A = {x|x = x i + x2 • 2 + x3 • 22,x i € M,i = 1,2,3}.可得,A ={0,1,234,5,6,7}.⑵证明由s,t € A,s= a1 + a2q +…+ a n q n 1, t= b1+ b2q+…+ b n q n 1, a i, b i€ M , i = 1,2，…，n 及a n<b n,可得s-t = (a1 —b” + (a2—b2)q + …+ (a n-1 —b n —1)q n 2+ (a n—b n)q n 1< (q-1) + (q-1)q+ …+(q-1)q n—2—q n—「(「1一 "—q n—1= -1<0.所以，s<t.。

选修4-5文科数学基本不等式练习题及答案

2016年04月15日基本不等式一．选择题（共14小题）1．（2016•济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．42．（2016•乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2016•合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（2016•山东模拟）已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10 B．m＜﹣10 C．m＞﹣8 D．m＜﹣85．（2016•宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞6．（2016•金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（）A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D．7．（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2015•红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．129．（2015•江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．1210．（2015•浙江模拟）函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（）A．3 B．2C．D．11．（2015•南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（2015•湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（）A．B．4 C． D．613．（2015•衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．214．（2015春•哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．12二．填空题（共9小题）15．（2016•吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．16．（2016•青岛一模）若a＞0，b＞0，则的最小值是．17．（2016•抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为．18．（2016•丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．19．（2016•河西区模拟）函数的最小值为．20．（2016春•临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值是．21．（2015•陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为．22．（2015•湖北模拟）已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．23．（2015•浙江模拟）已知x+2y=4（x，y∈R+），则的最小值为．三．解答题（共7小题）24．（2015•开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．25．（2015春•长春校级期末）设a＞b，b＞0，且a+b=2．（1）求a•b的最大值；（2）求最小值．26．（2015春•高安市校级期末）已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．27．（2015春•天津期末）已知a＞0，b＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值时a，b的值；（2）求证：a2+b2≥2．28．（2015秋•咸阳校级期中）设0＜x＜，求函数y=4x（3﹣2x）的最大值．29．（2015秋•九江校级期中）（1）已知x＞2，求的最小值；（2）已知，求y=3x（1﹣2x）的最大值．30．（2015秋•衡阳校级期中）（1）解不等式：x2﹣3x﹣4≤0（2）当x＞1时，求x+的最小值．2016年04月15日基本不等式参考答案一．选择题（共14小题）1．B；2．C；3．C；4．A；5．D；6．D；7．C；8．A；9．C；10．C；11．D； 12．D； 13．B； 14．C；二．填空题（共9小题）15．9；16．2+3；17．+； 18．3；19．4；20．；21．2；22．5；23．2；三．解答题（共7小题）24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。

高中数学选修4-5(不等式选讲)试题

高二下学期不等式选讲试题第Ⅰ卷一、选择题： (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1、若 a,b 是任意的实数 ,且 a>b,则( )(A ) a2b2(B)b1(C ) lg(a-b)>0( D ) ( 1)a( 1 )ba22、若11 则下列不等式中(2)|a|>|b| (3)a<bba 22 0, (1)a b ab(4)abab正确的个数是 ()(A )1(B) 2(C)3(D)43、不等式23的解集是 ()x2 )2)2,0)2,0)(A) (, (B)( , (0,)(C) ((0, )(D) (33334、在直径为 4 的圆内接矩形中 ,最大的面积是 ()(A )4(B) 2(C)6(D)85、已知 3x+y=10,则 x 2y 2的最小值为（）(A)1(B)10(C)1(D)100106、设 x 0， y0 ， Ax y ， B 1 x y ，则 A 、B 的大小关系是（）1 x yx1 y(A) A B (B) AB(C) AB(D) 不能确定7、下列结论不正确的是()(A) x, y 为正数 ,则xy 2(B) x 2 2 2y xx 2 1(C) lg x log x 102(D) a 为正数 ,则 (1 a)(1 1 )4a8、已知 a,b,c 是正实数 , 且a+b+c=1, 则11 1的最小值为 ()abc二、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）9、若不等式 mx 2 mx 1 0 对一切 x R 都成立，则 m 的取值范围是10、二次不等式 ax2bx 1 0 的解集为 x 1 x1，则ab=；311、已知 x,y 为正数，且 x+y=8, 则 u=lgx+lgy的最大值为三、解答题：（本大题共 4 小题，共 45 分）12、 (本题满分 10 分）比较 a 2 b 2与 2( 2a b) 5 的大小。

(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．若a ，b ，c 均为正数，且6a b c ++=，则ab bc ac c a b++的最小值为（） A ．12B ．6C ．5D ．32．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零3．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（） A．3BC．D．4．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②；()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,496．y=x 的最大值是（） A ．1B ．2CD ．47．函数()f x = ）A ．5BC ．1D ．28．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．3B ．1C ．12D ．139．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（）A ．332- B ．932- C ．632- D ．9332+ 10．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（） A ．2B ．165 C ．3 D ．25 11．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则++a b c 的最大值是（） A ．2B ．32C ．3D ．5312．84．不等式的解集为（）A ．[-4，2]B ．C ．D ．二、填空题13．已知22221x y a b+= (a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．14．已知向量1a =，2b =，则2a b a b ++-的取值范围为______． 15．函数4337y x x =-+-的最大值为________．16．已知238x y z ++=，则222x y z ++取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.17．函数y 11π110αsin αcos α2⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是_______ 18．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____． 19．设、、，，试求的最大值_________.20．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 .三、解答题21．已知a ，b ，c 均为正数，函数()||||f x x a x b c =-+++的最小值为1．（1）求222236a b c ++的最小值；（22222a ab b b bc c ++++2232c ca a ++>． 22．已知a ，b ，c 为正数，()||||||f x x a x b x c =++++-. （1）若1a b c ===，求函数()f x 的最小值；（2）若()01f =且a ，b ，c 不全相等，求证：333b c c a a b abc ++>.23．已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++. 24．已知函数()21f x x x =--的最大值为m . （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）已知a 、b 、()0,1c ∈，且1a b c ++=，求证：222++≥+++a b cm b c c a a b.25．已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）若()f x 最大值为M ，且a b c M ++=，求证：2223a b c ++≥． 26．已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】不妨设a b c <<，可得ab ac bc <<，111c b a <<，利用排序不等式即可得解. 【详解】不妨设0a b c <<<，则ab ac bc <<，111c b a<<，由排序不等式得6ab ac bc ab ac bc a c b c b a b a c++≥++=++=．故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质、排序不等式，属于基础题.2．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.3．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11)(11)([()()]e e e e ⨯+⨯≤++, 即12132422e e +≤⨯=.当且仅当121113e e =,即122e =,262e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.4．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点：对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在；对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．5．B解析：B 【解析】【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221x x =-，即x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数()f x =.详解：由柯西不等式得222(12)++≥，≤=即x=65时取最大值）故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设a b c d ,,,均为实数，则22222()()()a b c d ac bd ≥+++，其中等号当且仅当ad bc =时成立. 8．A解析：A 【解析】x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．9．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-92+≥=D.，故选【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 10．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165，本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．11．C解析：C 【解析】试题分析：(()()22221111113a b c ≤++++=，因此，≤==13a b c ===时取等号，故选C ．考点：柯西不等式．12．A解析：A【解析】试题分析：由于|x-1|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，由此求得不等式136x x -++≤的解集．|x-1|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，故只有当[]4,2x ∈-时，不等式|x-1|+|x+3|≤6成立，故选A ．考点：绝对值不等式二、填空题13．a2＋b2≥(x ＋y)2【解析】【分析】首先分析题目由已知判断a2＋b2与(x ＋y)2的大小关系可得然后应用柯西不等式即可得到答案【详解】∵∴a2＋b2＝＝(x ＋y)2故答案为：a2＋b2≥(x ＋y解析：a 2＋b 2≥(x ＋y )2【解析】【分析】首先分析题目，由已知22221(0)x y a b a b +=>>，判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系，可得22222222()()x y a b a b a b+=++，然后应用柯西不等式即可得到答案.【详解】∵22221x y a b+=， ∴a 2＋b 2＝2222222()()[()()]x y x ya b a b a b a b++≥⋅+⋅＝(x ＋y )2，故答案为：a 2＋b 2≥(x ＋y )2. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式比较两个式子的大小的问题，在解题的过程中，注意应用题中的条件对式子进行转化，属于简单题目.14．【分析】首先根据绝对值三角不等式求最小值然后利用数量积求利用柯西不等式求最大值【详解】当与同向时等号成立当与同向即与同向时确定最小值3当时等号成立上式等号成立的条件是解得当与的夹角为时取得最大值原式解析：3z ≤≤【分析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求()()222254cos a b a b a ba b++-=++-=+，利用柯西不等式求最大值. 【详解】a b a b +≥+ 当a 与b 同向时，等号成立，()()2233a b a b a b a b a ∴++-≥++-==，当a b +与2a b -同向，即a 与b 同向时，确定最小值3，()()222254cos a b a b a ba b++-=++-=+ac bd +≤，当ad bc =时等号成立，上式1=，解得1cos 2θ=-，0θπ≤≤ ，23θπ∴=，当a 与b 的夹角为23π时取得最大值 ∴原式的最大值是3z ∴≤≤【点睛】本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式a b a b +≤+既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.15．10【分析】直接利用柯西不等式求解即可【详解】由柯西不等式有当且仅当时取等号即函数y ＝43的最大值为10故答案为：10【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用考查运算求解能力属于基础题解析：10 【分析】直接利用柯西不等式求解即可．【详解】由柯西不等式有，10≤==，当且仅当=”时取等号，即函数y ＝的最大值为10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．16．【分析】利用柯西不等式求得的最小值并求得此时的值【详解】由于故当且仅当时等号成立故故答案为【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值并求等号成立的条件属于基础题解析：8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用柯西不等式求得222x y z ++的最小值，并求得此时,,x y z 的值.【详解】由于()()()22222222312364xy z x y z ++++≥++=，故222x y z ++6432147≥=.当且仅当8124,,777x y z ===时等号成立，故(,,)x y z =8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于基础题.17．【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果【详解】由柯西不等式得：y≥≥当且仅当即α即y 的最小值是【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法二倍角公式及其应用解析：322+【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果. 【详解】由柯西不等式得：y 22221111sin cos αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥21111?sin cos αα⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭2212sin α⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭≥()212+32 2.=+当且仅当sin 21α=,即α4π=时等号成立.即y 111102sin cos πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是322+. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等解析：【解析】试题分析：,所以，原式转化为,根据基本不等式，,所以原式,等号成立的条件是,所以求原式的最小值转化为求的最小值，,令，,,当时，,函数单调递减，当，,函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，,取得最小值，最小值等于．考点：1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值．19．15【分析】利用柯西不等式对代数式进行配凑可求出x+2y+2z 的最大值【详解】由柯西不等式得9×25=1+4+4x2+y2+z2≥x+2y+2z2即x+2y+2z2≤225∴x+2y+2z≤15当且解析：.【分析】利用柯西不等式对代数式进行配凑，可求出的最大值.【详解】由柯西不等式得，即，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为，故答案为.【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解题的关键就是结合所求代数式对定值条件进行配凑，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】利用条件构造柯西不等式进行解答即可【详解】由柯西不等式可知:即故当且仅当即的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配解析：114【分析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z++≤++++，进行解答即可. 【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z++≤++++,即()222141x y z ++≥故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==,即222x y z ++的最小值为114. 故答案为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.三、解答题21．（1）1；（2）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值三角不等式得a 、b 、c 关系，再根据柯西不等式求最小值；（2）根据均值不等式放缩即得结论．【详解】（1）()||||f x x a x b c =-+++≥||||x a x b c a b c ---+=++1a b c =++=()222111236236a b c ⎫⎛∴++++≥ ⎪⎝⎭21⎫+=⎪⎭， 2222361a b c ∴++≥，即222236a b c ++的最小值为1（2）2a ab+=2b a ≥++⎝⎭222cb⎫++⎪⎪⎝⎭222ac ⎫≥++⎪⎪⎝⎭222a b c a b ca b c ++++≥++++⎝ 33222=+>⎝⎭ 【点睛】方法点睛：证明含根号的不等式，可用分析法证明，也可根据式子结构构造柯西不等式证明．22．（1）最小值2（2）见解析【分析】（1）()2|1||1|f x x x =++-，方法一：将函数()f x 转化为分段函数求最小值即可；方法二：运用绝对值三角不等式的性质求解最小值；（2）要证333b c c a a b abc ++>，即证明2221b c a a b c++>；对不等式作适当的变形运用基本不等式证明或柯西不等式证明即可. 【详解】解：（1）因为1a b c ===，所以()||||||2|1||1|f x x a x b x c x x =++++-=++- 法1：由上可得：31,1,()3,11,31,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩所以，当1x =-时，函数()f x 的最小值为2法2：()|||||||1||1||1|f x x a x b x c x x x =++++-=++++-|1||11|2|1|2x x x x ≥+++-+=++≥当且仅当(1)(1)010x x x +-≤⎧⎨+=⎩，即1x =-时取得最小值2（2）证明：因为a ，b ，c 为正数，所以要证333b c c a a b abc ++>即证明2221b c a a b c++>就行了法1：因为222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c+++++=+++++2()a b c ≥=++（当且仅当a b c ==时取等号）又因为(0)1f =即1a b c ++=且a ，b ，c 不全相等，所以2221b c a a b c++>即333b c c a a b abc ++>法2：因为222()b c a a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭22()a b c ≥+=++ 当且仅当a b cb c a==时取等号又因为(0)1f =即1a b c ++=且a ，b ，c 不全相等，所以2221b c a a b c++>即333b c c a a b abc ++> 【点睛】本题主要考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，绝对值三角不等式的性质，含绝对值的函数的最值问题的求解，考查了学生的逻辑推理能力.含绝对值的函数通常可转化为分段函数去求解.23．（1）[]4,2-；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用三角不等式求得12x x --+的最大值，进而可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围；（2）由已知条件得出222a b c ++=，然后利用柯西不等式可证得所证不等式成立. 【详解】（1）由三角不等式可得()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时，等号成立.若不等式121x x m --+≥+有解，则满足13m +≤，解得42m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,2-；（2）由（1）知2M =，故正数a 、b 、c 满足222a b c ++=，()()()33134194433a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++⎛⎫∴++=++ ⎪++++++⎝⎭294≥=.当且仅当2222c a a b b c a b c +⎧+=+=⎪⎨⎪++=⎩时，即当23023a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩时，等号成立，因此，1349a b b c c a++≥+++. 【点睛】本题考查利用含绝对值不等式有解求参数，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式成立，解题的关键在于对代数式进行合理地配凑，考查计算能力是，属于中等题. 24．（Ⅰ）1m =；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，由函数()y f x =的单调性可得出其最大值m 的值；（Ⅱ）由已知条件得()()()2222222a b c a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b ⎛⎫⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭，结合柯西不等式可证得结论成立. 【详解】（Ⅰ）当0x ≤时，()()211f x x x x =-+-=-，函数()y f x =单调递增，则()1f x ≤-；当102x <<时，()()2131f x x x x =+-=-，函数()y f x =单调递增，则()112f x -<<；当12x ≥时，()()211f x x x x =--=-，函数()y f x =单调递减，则()12f x ≤.综上所述，12m =；（Ⅱ）a 、b 、()0,1c ∈，且1a b c ++=，利用柯西不等式得()()()2222222a b c a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b ⎛⎫⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭()221a b c≥=++=，所以，22212a b c b c c a a b ++≥+++，当且仅当13a b c ===时，等号成立. 【点睛】本题考查绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 25．（1）(,1]-∞；（2）证明见解析【分析】(1)去绝对值，解不等式.(2)由绝对值不等式||||||a b a b -≤-求出最值，再构造柯西不等式证明不等式. 【详解】解：（1）由题得1()(1)(2)1x f x x x <-⎧⎨=-++-≤⎩ 或12()(1)(2)1x f x x x -≤≤⎧⎨=++-≤⎩或2()(1)(2)1x f x x x >⎧⎨=+--≤⎩ ，解得131x <-⎧⎨-≤⎩ 或121x x -≤≤⎧⎨≤⎩ 或231x >⎧⎨≤⎩ ，得1x ≤，故x 的取值范围为(,1]-∞.(2)由()|1||2|f x x x =+--，则()(1)(2)3f x x x ≤+--=，故()f x 最大值为3M =，即3a b c ++=，由柯西不等式有2222222()(111)()a b c a b c ++++≥++，得2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，三角不等式求最值，构造柯西不等式证明不等式. 26．()1证明见解析；()2证明见解析. 【分析】()1根据已知可得1111ab bc ca++=，由柯西不等式求证即可； ()2利用基本不等式求证即可.【详解】解：()1证明：由abc a b c =++得，1111ab bc ca++=，由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++=⎪⎝⎭. ∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===()2证明：0a >，0b >，0c >.∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++，当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥.【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。

高考数学选修4-5复习《不等关系与基本不等式》

D．(12)a＜(12)b
【解析】结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断．
a＞b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成立．又 a＞b⇒a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．
显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝(12)x 是减函数，所以 a＞b⇔(12)a＜(12)b 成立．【答案】 D
依题意bbaan＋n 1＝q3q＋3＋n－nd1－d1－1q＝641d＝26d， ③
由②知，q 为正有理数，
∴d 为 6 的因子 1,2,3,6 中之一，
因此由②③知 d＝2，q＝8，
故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
≥100×2
2n－1·2n4－1＝400(n≥1)，
当且仅当 2n－1＝2n4－1，即 n＝2 时，ymin＝400(万元)，
由 5 000－400＝4 600(万元)，所以第 2 年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外筹集 4 600 万元才能解决温饱问题．
(2)到 2017 年，即第 10 年，该县从这两个企业获利润：y ＝100×210－1＋400×(12)9
因 ab＝10，故 lg a＋lg b＝1，
只要证明lg
1 alg
b≥4(*)，
由 a＞1，b＞1，故 lg a＞0，lg b＞0，
所以
0＜lg
alg
b≤(lg
a＋lg 2
b)2＝(12)2＝14.
即(*)式成立．
原不等式 loga c＋logb c≥4lg c 得证．
本题证明把分析法、综合法融于一体，不仅证明不等式经常遇到，在解决其他数学问题时也常常需要这样思考．

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（）．A ．2a b +B C D 2．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（） A ．14B ．114C ．29D ．1293．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞5．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =的最小值是（） A ．5-B ．6-C ．3D ．46．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（）A ．2B ．1C D ．7．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++9．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．910．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( ) A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++< 11．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4712．过定点P （1，2）的直线在轴与轴正半轴上的截距分别为，则的最小值为（） A ．8B ．32C ．45D ．72二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________． 15．设x ，y ，z 2222x y z ++________．16．已知 O 为坐标原点，圆M ：()2211x y ++=，圆N ：()2224x y -+=．,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S 的最大值为_______． 17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________．18．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．19．函数3141y x x =+-______________；20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系；（2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+．23．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立，证明：3a -或1a -.24．已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -成立，求实数a 的取值范围；（2）若()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，求a 的取值范围．（3）若（2）中a 的最大值为m ，2352,x y z m ++=求y .25．已知函数()|23||23|.f x x x =-++ （1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.26．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥，当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-，取1r y =，y a x=，则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+，同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ．【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=，所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D5．A解析：A 【分析】由223412x y +=得22143x y +=，运用柯西不等式有()()222169243x y x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，进而得解. 【详解】解：实数x 、y 满足223412x y +=，22143x y ∴+=， ()()222169243x y x ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭，525x -≤≤，当且仅当8y =时取等号，2z x ∴=的最小值是5-.故选：A. 【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.6．D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22，当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解．【详解】由柯西不等式得，对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点．对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化．【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++，当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++，故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项，故选：B ．【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳）在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．9．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.10．A【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.11．C解析：C 【解析】由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 12．B解析：B 【详解】分析：由过定点P （1，2）的直线在x 轴与y 轴的正半轴上的截距分别为a 、b ，可得a ，b 的一个方程，再应用基本不等式求得4a 2+b 2的最小值．解答：解：∵a ＞0，b ＞0，12ba +=1 ∴2a +b=（2a +b ）(12ba +)=2+2+b 4ba a +≥8 当且仅当b a =4ba ，即2a =b=4时成立 ∴2（4a 2+b 2）≥（2a +b ）2≥64，∴4a 2+b 2≥32当且仅当2b11a ==4时成立 ∴（4a 2+b 2）min=32 故选B二、填空题13．【分析】由建立坐标系设得到然后将条件和所求的目标都转化为坐标形式利用柯西不等式建立关于的不等式从而求出的最大值得到答案【详解】因为所以以为轴以为轴建立坐标系设可得因为所以两式相加得即由柯西不等式得即解析：8【分析】由0a b ⋅=，建立坐标系，设(),c x y =，得到221x y +=，然后将条件和所求的目标都转a b -的最大值，得到答案. 【详解】因为0a b ⋅=，所以以a 为x 轴，以b 为y 轴建立坐标系，设(),0a a =，()0,b b =，(),c x y =，1c =可得221x y +=，(),a c a x y -=--，(),b c x b y -=--因为5a c b c -=-=所以()()22222525x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相加得()222212502ax by a b x y ⎡⎤+=+++-⎣⎦即()221482ax by a b +=+- 由柯西不等式得()()()2222222ax by a bxy a b ≤+++=+，即ax by ≤+所以()221482a b ≤+-整理得2048≤-所以得280a ≤，(),a b a b -=-所以28a b a ≤-=+.故答案为：8. 【点睛】本题考查通过建立坐标系处理向量问题，利用柯西不等式求最值，属于中档题.14．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力【分析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++中的1a =，2a ，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a ，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=11211x y+2x y ∴+．．【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2【分析】首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++2≤，从而求得其最大值. 【详解】由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，2≤，当且仅当202xy z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【分析】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点首先证得将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果【详解】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点连接则与解析：2【分析】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点，首先证得2OABOEBOEFSSS==，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果. 【详解】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，则NF 与OB 垂直，又=NB NO ，所以F 为OB 中点，由对称性可知OA OE =， ∵1=sin 2OABSOA OB AOB ⋅⋅∠，()11=sin sin 22OEBSOB OE AOB OB OE AOB π⋅⋅-∠=⋅⋅∠ 所以2OABOEBOEFS SS==，因此当OEFS最大值时，OAB S最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形A B C '''的面积最大值，圆内接三角形的面积1sin 2S a b C '''=，由正弦定理得2sin a A ''=，2sin b B ''=， ∴3sin sin sin 2sin sin sin 23A B C S A B C '''++⎛⎫'''=≤ ⎪⎝⎭由于()sin f x x =，[]0,x π∈时为上凸函数，可得33sin sin sin 33sin 338A B C A B C ''''''++++⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即334A B C S'''≤，当且仅当3A B C π'''===时等号成立，进而可得OAB S的最大值为3333242⨯=，故答案为332【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问解析：26【解析】分析：利用柯西不等式即可求解．详解：由题意222234a b c ++=，又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1(2)(3))(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以2326a b c ++≤23a b c ++的最大值为26点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时解析：5【解析】分析：根据线性规划先求出22x y +的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，∴225x y +≤由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x ya b=时等号成立．∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．19．【解析】因为所以故函数的最大值为解析：52【解析】因为(()()2223141341150x xx x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5220．【解析】试题分析：由柯西不等式因为所以当且仅当即时取等号所以的最小值为考点：柯西不等式解析：122【解析】试题分析：由柯西不等式，2222222(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122. 考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析. 【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案. 【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明． ①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0，所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立. 【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键. 22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----，解得2x 或02x <或23x -，综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号．又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++，即824a b c --+．即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）43；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得所求最小值；（2）运用柯西不等式求得222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】解：（1）x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=，由柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++，即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43；（2）证明：由1x y z ++=，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)x y z a x y z a a ++-+-+--+-+-=+，可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +，由题意可得2(2)133a +，解得1a -或3a -.【点睛】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.24．（1）[1，)+∞；（2）3[0,]2；（3 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求()f x 最小值，再解含绝对值不等式得结果；（2）先根据范围化简不等式，再根据变量分离法解决不等式恒成立问题，即得结果；（3）根据柯西不等式直接可得最大值. 【详解】（1）对x ∈R ，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+，当且仅当(1)()0x x a +-时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-，即3113 1.310a a a a -++--，解得1a ，故实数a 的取值范围为[1，)+∞；（2）当1[,2]2x ∈-时，()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+，||2x a ∴-，即22x a --，则22x a x -+，又()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，()|3|f x x ∴+在1[,2]2-恒成立， ∴当1[,2]2x ∈-时，(2)(2)max min x a x -+，又3(2)0,(2)2max min x x -=+=， ∴302a，即实数a 的取值范围为3[0,]2．（3）由（2）知3,2m =则2353,x y z ++=由柯西不等式得， ()()()()2213456111x y z +++++++≥⎡⎤⎣⎦,()23113≤+⨯==1124,,6915x y z ===-即时，等号成立.【点睛】本题考查绝对值三角不等式、不等式恒成立、利用柯西不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.25．（1）{|22}x x -≤；（2）6 【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值. 【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,ab c a b c ++++++=当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件. 26．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a ．综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

(易错题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（）A ．324a b +≤ B．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（） A ．2B ．1CD ．3．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：①22213a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③2221b c a a b c++≥；≥则正确的结论个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数：①1()f x x x=+（0x >）;②()ln f x x =（0x e <<）;③()cos f x x =;④2()1f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（） A．3BC．D．7．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（） A ．9B ．3C ．1D ．278．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( )A ．1119πABC ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++<9．设a ， b ， c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1的最大值是( )A ．1B C ．3D ．910．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（）A ．（2，3）B ．（1，3）C ．（0，2）D ．（1，2）11．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．4712．若23529x y z ++=，则函数u ）A B ．C ．D二、填空题13．函数y =_______.14．设,,a b c 为正数，241a b c ++=的最大值是___________15．若21x y +=，则222x y z ++的最小值为__________16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.17．设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的任一排列，则123452345x x x x x ++++的最小值是_____．18．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____ 19．y=log sin x (x 3+2x 2+x)的定义域是_____. 20．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为_______.三、解答题21．已知函数222()23n n f x x x +=-+，(其中*n N ∈).（1）求()f x 的最小值()g n ；（2）当4n ≥，*n N ∈时，试比较()g n 与2(2)22n n n -⋅+的大小，并证明你的结论. 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()223f x x x =++-. （1）求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：222253a b c ++≥. 24．已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ．（Ⅰ）求+a b 的值；（Ⅱ）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证：9x y xy +≥. 25．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++26．已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案．【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．3．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解．【详解】由柯西不等式得，对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +-≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点．对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】利用基本不等式及柯西不等式计算可得；【详解】解：①：222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩，222a b c ab bc ac ∴++++ 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++．22213a b c ∴++，故①不正确． ②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++，13ab bc ca ∴++，故②正确．③：222222b a b ac b c ba c c c⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩，∴2221b c a a b c a b c ++++=∴2221b c a a b c++，故③正确． ④：由柯西不等式得2()(111)()a b c a b c +++++，∴3a b c ≤④错误．故选：B ．【点睛】本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由柯西不等式得：对任意实数1122,,,x y x y , 12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得1212,x kx y ky 取等号）,若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y 使得,OA OB 共线,即存在点A 、B 与点O 共线逐一判定即可. 【详解】解:由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ：12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得12x kx =,12y ky =取等号）,又函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,满足条件：1212x x y y +0, 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA 、OB 共线, 即存在点A 、B 与点O 共线;设AB 的方程为y kx =,对于①,由于y kx =（0x >）与1()f x x x=+只有一个交点,所以①不是柯西函数;对于②,由于y kx =与()ln f x x =（0x e <<）最多只有一个交点,所以②不是柯西函数; 对于③,取(0,0)A ,点B 任意,均满足定义,所以③是柯西函数; 对于④,取(1,0)A -,(1,0)B ,均满足定义,所以④是柯西函数. 故选:B 【点睛】本题考查了柯西不等式的新定义,关键是弄清楚新定义的含义,属于中档题.6．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e e e ⨯+≤++, 即12132422e e +≤⨯=当且仅当12113e =即12e =26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.7．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．A解析：A 【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.9．B解析：B 【解析】由柯西不等式得()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，2313∴≤⨯=，当且仅当13a b c ===时等号成立，B.10．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxx f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．11．C解析：C 【解析】试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.12．C解析：C 【解析】试题分析：由柯西不等式可得2222111213456111x y z ≤+++++++）（）（）∵2x+3y+5z=29，∴2111120≤），∴μ≤∴μ=值为C ．考点：二维形式的柯西不等式．二、填空题13．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值．【详解】∵y==111++53x=时等号成立，∴函数y【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．14．【分析】根据柯西不等式直接求最值【详解】当且仅当时取等号即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值考查基本分析求解能力属基础题解析：2【分析】根据柯西不等式直接求最值.【详解】22222225()(11(2)]2a b c+≤++++=当且仅当2,5a b c===≤故答案为：2【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z，然后通过化简即可得出结果.【详解】根据柯西不等式可得222222212323x y z x y z，因为21x y+=，所以22218x y z，当且仅当23y zx时取等号，故答案为:18.【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233a a ab b b a b a b a b++++≥++，考查计算能力，是简单题.16．【分析】利用等体积转化法求出M到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC两两垂直可得平面设M到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解.【详解】由PA、PB、BC两两垂直，可得PA⊥平面PBC，设M到三个侧面,,PAB PAC PBC的距离分别为,,x y z，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBCA PBCV V V x y zV----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎪⎝⎭==⨯⨯⨯化简得3444x y z++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z++++≥++，即2221641x y z++≥，当且仅当344x y z==，即1216,4141x y z===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.17．35【解析】【分析】利用反序排列推出结果即可【详解】由题意可知：是12345的反序排列时取得最小值即故答案为：35【点睛】本题考查反序排列的性质考查计算能力解析：35 【解析】【分析】利用反序排列，推出结果即可．【详解】由题意可知：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的反序排列时，123452345x x x x x ++++取得最小值，即152433425135⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为：35．【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力18．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦，则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组求解不等式组即可确定函数的定义域【详解】∴2kπ<x<(2k+1)π且x≠2kπ即函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：πx|2k πx (2k 1)π,x 2k π,k 0,1,2,?2⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域. 【详解】32020,0101,x x x x sinx sinx >⎧++>⎧∴⎨⎨<<<<⎩⎩. ∴2kπ<x<(2k+1)π,且x ≠2kπ,0,1,2,2k π+=⋯.即函数的定义域为|2(21),2,0,1,2,?2x k x k x k k ππππ⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．20．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不解析：815【解析】分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=，即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭；令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤，解得111 416t ≤≤，所以328cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815．点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.三、解答题21．（1）()32n n g n =-；（2）2()(2)22n g n n n >-⋅+，证明见解析．【分析】（1）由二次函数的性质求得最小值()g n ；（2）用数学归纳法证明2()(2)22n g n n n >-⋅+．【详解】（1）由题意22nx =时，min ()32n nf x =-，即()32n ng n =-；（2）4n ≥时，2()(2)22n g n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：（i ）4n =时，44()3265g n =-=，2(2)2264n n n -⋅+=，2()(2)22n g n n n >-⋅+成立，（ii ）假设n k =时，命题成立，即232(2)22k k k k k ->-⋅+，则1n k =+时，11312(1)323(32)3223[(2)22]2k k k k k k k g k k k ++++=-=-+⨯->⨯-⋅++ 2123(2)262(2)2(1)26k k k k k k k k k +=-⋅++=-⋅+-⋅+,因为4k ≥，所以1211212(2)2(1)26(2)222(1)[(1)2]22(1)k k k k k k k k k k k k ++++-⋅+-⋅+>-⋅+++=+-⋅++所以1n k =+时命题为真，综上当4n ≥时，2()(2)22n g n n n >-⋅+．【点睛】比较与正整数有关的两数的大小方法：（1）作差法，作差后与0比较大小；（2）函数法，作差后引入函数，利用函数的单调性得出大小关系；（3）放缩法，利用不等式的性质证明大小关系；（4）数学归纳法法，取特殊值，归纳出大小后肜数学归纳法证明． 22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----，解得2x 或02x <或23x -，综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号．又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++，即824a b c --+．即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求出不等式的解集；（2）先求出最小值m ，然后利用柯西不等式可证明. 【详解】（1）当2x -≤时，()()()22322334f x x x x x x =++-=----=-+，由()7f x ≥，得347x -+≥，解得1x ≤-，此时2x -≤；当23x -<<时，()()()2232238f x x x x x x =++-=+--=-+，由()7f x ≥，得87x -≥，解得1x ≤，此时21x -<≤；当3x ≥时，()()()22322334f x x x x x x =++-=++-=-，由()7f x ≥，解得113x ≥，综上所述，不等式()7f x ≥的解集为(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由（1）可知()34,28,2334,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩.当2x -≤时，()3410f x x =-+≥；当23x -<<时，()()85,10f x x =-∈；当3x ≥时，()345f x x =-≥.所以，函数()y f x =的最小值为5m =，则5a b c ++=. 由柯西不等式可得()()()2222111a b ca b c ++++≥++，即()222235a b c ++≥，即222253a b c ++≥，当且仅当53a b c ===时，等号成立. 因此，222253a b c ++≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题. 24．（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据13x <-，123x -≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式2315x x -++≤的解集，由此能求出a+b ．（2）由x ＞0，y ＞0，41x y +=，知()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭414x yy x=+++，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x +y ≥9xy ．【详解】（Ⅰ）原不等式等价于13415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩或123325x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≤⎩或2415x x >⎧⎨-≤⎩，解得113x -≤<或113x ≤≤，即11x -≤≤ ∴1a =-，1b =， ∴0a b +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >，∴()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭41459x y y x =+++≥=，当且仅当16x =，13y =时取“=”,∴9x y xy +≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题． 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y z xy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立. （Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭，故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换. 26．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963．【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可. (2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】解：(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<；③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭，所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.。

数学选修4-5用数学归纳法证明不等式举例练习题含答案

10.用数学归纳法证明：
11.由下列式子
…
猜想第个表达式，并用数学归纳法给予证明．
12.是否存在常数、、使等式 • 对一切正整数成立？证明你的结论．
13.（1）已知为实数，用分析法证明；13.
（2）用数学归纳法证明；
14.已知函数．设数列满足，，数列满足，．
（1）用数学归纳法证明；
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
20.
【答案】
证法一：当时，不等式左端，右端，所以不等式成立；
假设时，不等式成立，即，
则
∴当时，不等式也成立．
综合、得：当时，都有．
证法二：设，
那么对任意都有：
∴
因此，对任意都有，
∴ ．
【考点】
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
【考点】
用数学归纳法证明不等式
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
, , ,
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
30.
【答案】
证明：当时，左右，等式成立．

《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5 不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)｜a+b｜≤|a|+｜b|(a，b∈R)．(２)|a-ｂ|≤|a－c|＋|c－b｜（ａ，ｂ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ｂ|≤c,｜ａx+b|≥c,｜x－c|+｜x－b|≥a．3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法（1)|f(x)｜＞a(a＞0)⇔f(x）>a或f（x）<-a；(2）|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x）<a;(3)对形如｜x-ａ|+|x－b｜≤ｃ，|x-ａ｜＋|x-b|≥ｃ的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质｜a|－|b｜≤|ａ±b｜≤|a|+|b｜.问题探究:不等式｜a|－｜b|≤|a±b|≤|ａ|＋｜ｂ|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a｜-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤０且｜a｜≥｜ｂ|；不等式|ａ|-|b|≤｜a-b|≤|a|＋|ｂ|,右侧“＝”成立的条件是ab≤０,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a｜≥|ｂ|.3．基本不等式定理１:设ａ,b∈R,则a２+ｂ2≥2ab．当且仅当ａ=b时,等号成立.定理2:如果a、b为正数，则错误!未定义书签。

≥错误!未定义书签。

,当且仅当ａ=b时，等号成立．定理3:如果a、b、ｃ为正数，则错误!未定义书签。

≥３，abc,当且仅当a =b =c 时，等号成立．定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、ａ2、…、a ｎ为n 个正数，则a １＋a 2+…＋a n ｎ≥错误!，当且仅当a 1=a 2=…=a ｎ时,等号成立. 4.柯西不等式(１)柯西不等式的代数形式:设ａ,b ,ｃ，ｄ为实数，则(a 2+b 2)·(c 2+ｄ2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立．(2)若ａi ，b ｉ(ｉ∈N *)为实数，则(错误!错误!）(错误!未定义书签。

高考真题：选修4-5不等式选讲

选修4－5不等式选讲一、填空题1.［2015•重庆卷，16］若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.2.［2014•陕西卷，15A］设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________3. ［2013•陕西卷，15（2）］在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．4. ［2013•重庆卷，16］若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．5. ［2013•陕西卷，15A］已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．二.解答题1.［2018•全国Ⅰ，23］已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．2.［2018•全国Ⅱ，23］设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．3.［2018•全国Ⅲ，23］设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4.［2017•全国Ⅰ，23］已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．5.［2017•全国Ⅱ，23］已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.6.［2017•全国Ⅲ，23］已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．7.［2017•江苏卷，21D］已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.8.［2016•全国Ⅰ，23］已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．9.［2016•全国Ⅲ，24］已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．10.［2016•江苏卷，21D］设a＞0，|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.11.［2015•全国Ⅰ，24］已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．12. ［2015•陕西卷，24］已知关于x 的不等式|x ＋a |0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．14. ［2014•全国Ⅱ，24］设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．15. ［2013•福建卷，21（3）］设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．16.［2013•全国Ⅰ，24］已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．17. ［2013•辽宁卷，24］已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．18.［2013•全国Ⅱ，24］设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.19.［2016•全国Ⅱ，24］已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.20.［2015•全国Ⅱ，24］设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．选修4－5 不等式选讲答案1.答案－6或4解析当a ≤－1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，∴f (x )min ＝－a －1，∴－a －1＝5，∴a ＝－6. 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，∴f (x )min ＝a ＋1，∴a ＋1＝5，∴a ＝4.综上，a ＝－6或a ＝4.2.解析 A ．运用柯西不等式求解．根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5， m 2＋n 2的最小值为 5.3.答案 [0，4]解析原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0，4]．4.答案 (－∞，8]解析由绝对值的几何意义得|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，若|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，应有a ≤8.故a 的取值范围是(－∞，8]．5.答案 2解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2mnab ＋mn (a 2＋b 2)＝mn (a ＋b )2＝mn ＝2，当且仅当m ＝n ＝2时等号成立．一、解答题1.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在x ∈[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.4.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为x －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1，1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1，1]．5.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 6.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 7.证明由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.8.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 9.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)． 10.证明因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .11.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 12.解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 13.解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.14.解 (1)证明：由a >0，得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.15.解 (1)因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 16.解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是(－1，43]． 17.解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ， x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.18.解证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 19.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。

选修4—5不等式选讲高考题及答案

1、解不等式311≥-++x x2、已知函数2)(-++=x a x x f .（1）当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若4)(-≤x x f 的解集包含[]2,1，求a 的取值范围.3、若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 .4、若不等式24≤-kx 的解集为}31≤≤x x ，则实数=k .5、不等式121≥++x x 的实数解为 .6、已知函数m x x x f --++=21)(.（1）当5=m 时，求0)(>x f 的解集；（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围.7、已知函数a x x f -=)(.（1）若不等式3)(≤x f 的解集为{}51≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.8、已知函数a x x f -=)(，其中1>a .（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 解集为{}21≤≤x x ，求a 的值.9、设函数x a x x f 3)(+-=，其中0>a .（1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；（2）若不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值.10、已知a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++c b a . 求证：（1）8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-c b a ；（2）3≤++c b a .11、设a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++ca bc ab .求证：（1）3≥++c b a ；（2）()c b a ab c ac b bc a ++≥++3.12、已知0>x ，0>y ，证明：()()xy y x y x 91122≥++++.13、已知函数2)(--=x m x f ，R m ∈，且0)2(≥+x f 的解集为[]1,1-.（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.14、若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为 .15、求函数x x y -+-=9453的最大值.1、解：①当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32. ②当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．③当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32. 2、解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3、解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8，∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.4、解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.5、解析 ∵|x ＋1||x ＋2|≥1，∴|x ＋1|≥|x ＋2|.∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4，∴2x ＋3≤0.∴x ≤－32且x ≠－2.6、解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－x －1－x ＋2>5，解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2解集是R ，∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．7、解方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．8、解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.9、解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

选修45不等式选讲高考真题训练

不等式选讲综合测试海南李传牛一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．若|a c||b|，则以下不等式中正确的选项是（）．A．abc B．acb C．|a||b||c|D．|a||b||c| 1．D c|b|ac|b||c||b|．2．设x0,y0,A1x y,B1xxyy，则A,B的大小关系是（）．x y1A．ABB．AB C．ABD．AB2．B Bx y x y x yA，即A B．1x1y1xy1yx1xy经过放大分母使得分母同样，整个分式值变小3．设命题甲：|x1|2，命题乙：x 3，则甲是乙的（）．A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件3．A命题甲：x3，或x 1，甲可推出乙．4．已知a,b,c为非零实数，则(a 222)(111)．b ca22c2)最小值为(bA．7B．9C．12D．184．B(a 2b2c21111b11229，)(2b2c2)(aa bc)(111)a c∴所求最小值为9．5．正数a,b,c,d知足a db c，|a d||b c|，则有（）．A．ad bc B．ad bc C．ad bc D．ad与bc大小不定．C 特别值：正数a2,b1,c4,d3，知足|a d||bc|，得ad bc．5或由a db c得a22ad d2b22bc c2，∴(a2d2)(b2c2)2bc2ad，（1）由|a d||b c|得a22ad d2b22bc c2，（2）将（1）代入（2）得2bc2ad2bc2ad，即4bc4ad，∴ad bc．6．假如对于x的不等式a 0的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a的取值5x2范围是（）．A ．45a80B ． 50 a 80C ．a 80D ．a 456．A 5x2a 0，得a x a，而正整数解是1,2,3，则3a4．5 557．设a,b,c1，则log a b2log b c4log c a 的最小值为（）．A ．2B．4C．6D．87．Clog a b,log b c,log c a 0，log a b2log b c4log c a33log a b 2log b c4log c a338lgb lgc lga 6．lga lgb lgc8．已知|2x3| 2的解集与{x|x 2ax b 0}的解集同样，则（）．A ．a3,b5B ．a3,b 5 C ．a3,b5b1744D ．a4解得1548．Ｂ由|2x 3| 2x ，由于|2x3|2的解集与{x|x 2axb0}22的解集同样，那么x 1 或x 5 为方程x 2axb 0的解，则分别代入该方程，2 21 1ab 0a 3得42 b5 ．255 a b 04429．已知不等式(xy)(1a ) 9对随意正实数 x,y 恒建立，则正实数a 的最小值为（）．xyA ．2B ．4C．6D．89．B ∵(xy)(1a)1ayax(a1)2，∴(a1)2 9，∴a4．x yx y10．设a,b,c0,a 2b 2c 2 3，则ab bcca 的最大值为（）．A ．0B．1 C．3D33．310．C由排序不等式a 2b 2c 2 ab bcac ，所以abbc ca 3．11．已知 f(x)32x(k1) 3x 2，当x R 时，f(x)恒为正，则k 的取值范围是（）．A ．(,1)B ．(,221)C ．(1,22 1)D ．(2 2 1,221)11．B 32x(k1)3x20，32x2(k1)3x ，即32x2 k1，3x得3x222k1，即k221．3x1 1 11 1312．用数学概括法证明不等式n 1n 2 n 32n(n2,nN)的过程24中，由n k 逆推到n k1 时的不等式左侧（）．A ．增添了1 项1B．增添了“1 1”，又减少了2(k1)2k 12(k1)“1 ”k 1C ．增添了 2 项11 D ．增添了1，减少了 12(k 2(k12k11)1)k12．B 注意分母是连续正整数．二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．不等式|x2| 1的解集为．x13．{x|x1}∵x0，∴|x2||x|，即(x2)2x 2，∴x10，x1，∴原不等式的解集为{x|x1}．14．已知函数f(x) x 2 ax1，且|f(1)| 1，那么a 的取值范围是．14． 1a3f(x)x 2ax 1，f(1) 2a ，而|f(1)| 1，即|a2| 1．15．函数f(x)3x 12 (x0)的最小值为_____________．x 215．9f(x)3x 123x 3x 12 33 3x 3x 129．x 2 2 2 x 2 2 2 x 216．若a,b,c R ，且a b c 1，则 abc 的最大值是．16．3(1a1b1c)2(121212)(abc)3．三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 10分）求证：a 2b 2c 2abc3．317．证明：∵(12 12 12)(a 2 b 2 c 2) (a b c)2，∴a2b2c2(abc)23，9即a2b2c2a b c33．18．（本小题满分10分）不论x,y取任何非零实数，试证明等式111总不建立．x y x y18．证明：设存在非零实数x1,y1，使得等式111建立，x1y1x1y1则y1(x1y1)x1(x1y1)x1y1，∴x12y12x1y10，即(x1y1)232，24y1可是y10，即(x1y1)23y120，进而得出矛盾．24故原命题建立．19．（本小题满分12分）已知a，b，c为ABC的三边，求证：a2b2c22(ab bc ca)．19．证明：由余弦定理得2bccosA b2c2a2，2accosBa2c2b2，2abcosC a2b2c2，三式相加得2bccosA2accosB2abcosC a2b2c2，而cosA1,cosB1,cosC1，且三者至多一个可等于1，即2bccosA2accosB2abcosC2bc2ac2ab，所以a2b2c22(ab bc ca)．20．（本小题满分12分）已知a,b,c都是正数，求证：2(ab ab)3(ab c3abc)．2320．证明：要证2(abab)3(ab c3abc)，23只要证a b2ab a b c33abc，即2ab c33abc，移项得c2ab33abc，a,b,c都是正数，∴c 2ab cabab 33c ab ab33abc，∴原不等式建立．21．（本小题满分12分）某单位决定投资3200元建一库房（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花费，正面用铁栅，每米造价40元，双侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试问：（1）库房面积S的最大同意值是多少？（2）为使S达到最大，而实质投资又不超过估算，那么正面铁栅应设计为多长？21．解：如图，设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S xy，由题意得40x 2 45y 20xy3200，应用二元均值不等式，得3200240x90y20xy120xy20xy120S20S∴S6S160，即(S16)(S10)0，∵S160，∴S100，∴S100．所以，S的最大同意值是100平方米，获得此最大值的条件是40x90y，而xy100，求得x15，即铁栅的长应是15米．22．（本小题满分12分）已知f(x)是定义在(0,)上的单一递加函数，对于随意的m,n0知足f(m)f(n)f(mn)，且a，b(0ab)知足|f(a)||f(b)|2|a bf()|．21）求f(1)；（2）若f(2)1，解不等式 f(x)2；（3）求证：3b 22．22．解：（1）由于随意的m,n 0知足f(m) f(n) f(mn)，令m n 1，则f(1)f(1) f(1)，得f(1)0；（2）f(x)2 1 1 f(2)f(2)，而f(2)f(2)f(4)，得f(x)f(4)，而f(x)是定义在(0, )上的单一递加函数，0 x4，得不等式 f(x) 2 的解集为(0,4)；（3）∵f(1)0，f(x)在(0,)上的单一递加，∴x(0,1)时，f(x)f(1)0，x(1, )时，f(x) f(1) 0．又| f(a)| |f(b)|，f(a)f(b)或f (a)f(b)，∵0ab ，则f(a) f(b),f(a)f(b)，∴f(a) f(b)，∴f(a)f(b)f(ab) 0f(1)，∴ab1，得 0a 1b ．∵|()|2|( a b )|，且a b，ab，，f bf2b1ab1f(b) 0,f( ) 022∴f(b)2 f(ab)，∴f (b)f(ab )f(ab )f[(ab )2]，(ab )2 2222得b，∴4b a 2 2abb 2 ，2即4bb 22 a 2，而0 a1，∴04bb 221，又b1，∴3 b 22．答案与分析：备用题：1．已知ab ，cd ，则以下命题中正确的选项是（）．A ．acbdB ．abC ．acbdD ．cbdadc1．D令a 1,b 0,c1,d 2，可考证知D 建立，事实上我们有a b b a ①，cd ②，①﹢②可得 c bda ．．已知a,b R ， 0 ．设命题甲：a,b 知足|ab|2h ；命题乙：|a1|h 且|b1| h ，2h那么甲是乙的（）．A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D．既不充足条件也不用要条件2．B|a1|h ，|b1|h ，则|a1| |b1|2h ，而|a1||b1||ab|，即|ab| 2h ；命题甲：|ab| 2h 不可以推出命题乙： |a 1| h 且|b 1| h ．3．证明11 1 11n (nN)，假定n k 时建立，当nk1时，左2 3 42n12端增添的项数是（）．A ．项B ．k 1项C ． k 项D ． k 项123．D 从 2k12k 1 1 增添的项数是 2k ．4．假如|x 2| |x 5| a 恒建立，则a 的取值范围是．4．a7 |x2| |x 5| 7，而|x2| |x5|a 恒建立，则7 a ，即a 7．5．已知函数 f(x)logm(m x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大，则实数m．15．36明显m x 0，而x [3,5]，则m 5，得[3,5] 是函数f(x)log m (mx)的递减区间，f(x)maxlog m (m 3)，f(x)minlog m (m5)，即log m (m3)log m (m5)1，得m 26m30，m36，而m1，则m36．6．要制作如下图的铝合金窗架，当窗户采光面积为一常数S 时（中间横梁面积忽视不计），要使所用的铝合金资料最省，窗户的宽 AB 与高AD 的比应为．6．2:3设宽 AB 为x ，高AD 为y ，则xyS ，所用的铝合金资料为3x 2y ，3x 2y26xy2 6S ，此时3x 2y ，x:y2:3．7．若0ab 1，试比较ma1 1的大小．与nbba7．解：mna1 (b1(a b) 1 1 (a b)b a ，a )( ) abb a b即mn(a10 a b1 ，则 0 ab 1,1b)(1)，而 1，1 abab得ab 0,10，即m n 0，所以mn ．ab8．已知c0，设P ：函数yc x 在R 上单一递减，Q ：不等式x|x2c|1的解集为R ．假如P 和Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围．8．解：∵yc x 在R 上单一递减，∴ 0 c 1，又∵x|x2c|2x 2c(x2c)2c (x的最小值是2c ，2c)∴2c1，即c1，21由题设，当P 为真Q 为假时，有0 c1，且0 c，12∴0c；21当P 为假Q 为真时，有c 1 且c 1．，∴c故c 的取值范围是(0,1]U[1,2)．2作者李传牛工作单位海南省海口市第十四中学邮政编码570311联系手机 E--MAILQQ沟通 2。

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选修4-5不等式选讲高考题汇编
1. (2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04
12=+-++a a x x 有实根，
则a 的取值范围是_______.
2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。

（1）作出函数)(x f y =的
图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。

3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3
3
3
11123a
b
c
+
+
+abc ≥．
4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知c b a ,,均为正数，证明：3
6)111(
2
2
2
2≥+
+
+++c
b
a
c b a ，并确定c b a ,,为何
值时，等号成立。

5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

选修4-5不等式选讲高考题汇编
1、(2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04
12=+-++a a x x 有实根，
则a 的取值范围是_______.
2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。

（1）作出函数)(x f y =的
图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。

5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

6、（10年江苏）设a 、b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+。

7、（09年广东）（不等式选讲选做题）不等式
112
x x +≥+的实数解为．
8、（09年江苏）不等式选讲设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.
9、（09年海南宁夏卷）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，,,A B M 为数轴上三点，C 为线段O M 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和.
（1）将y 表示为x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
10、（09年辽宁卷）选修 4- 5 ：不等式选讲设函数()|1|||f x x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求
a 的取值范围。

6、（10年江苏）设a 、b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+。

7、（09年广东）（不等式选讲选做题）不等式
112
x x +≥+的实数解为．
8、（09年江苏）不等式选讲设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.
9、（09年海南宁夏卷）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，,,A B M 为数轴上三点，C 为线段O M 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和.
（1）将y 表示为x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x
应该在什么范围内取值？
10、（09年辽宁卷）选修 4- 5 ：不等式选讲设函数()|1|||f x x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围。

11、（11年江苏）解不等式x+|2x-1|<3.
12、（11年福建）设不等式|2x-1|<1的解集为M.
（1）求集合M；（2）若a，b∈M,试比较ab+1与a+b的大小。

13、（11年辽宁）已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|
(1)证明：3
-x
≤
f；（2）求不等式15
3≤
)
(
x
f的解集。

≥x
x
-
(2+
8
)
14、（07宁夏海南）设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2；（2）求函数y=f(x)的最小值。