《高等数学》(甲)Ⅱ课程教学大纲

《高等数学》（甲）Ⅱ课程教学大纲
课程编号： 15002
英文名称：Advanced Mathematics
一、课程说明
1.课程类别
通识类课程
2.适应专业及课程性质
全校理科各专业、工科各专业必修
3.课程目的
数学是研究客观世界数量关系和空间形式的一门科学，它不仅为各个科学领域提供了工具，更重要的是它为各个科学领域提供了思想方法。

随着科学技术的迅猛发展，数学正日益成为各学科进行科学研究的重要手段和工具。

高等数学是近代数学的基础，是现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程，是我校理工科和经济管理各专业学生必修的的一门重要基础理论课，它是为培养我国现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，使学生获得一元微积分、常微分方程、向量代数、空间解析几何、多元微积分、无穷级数等方面的基本概念、基本理论知识和基本运算技能，熟悉各部分内容的内在联系，掌握处理数学问题的基本思想和方法；逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，提高学生的科学素养和创新意识，并为学习后继课程及进一步获取数学知识奠定必要的基础。

4.学时与学分
学分为6.学时为96。

5.建议先修课程
初等数学，高等数学（甲）Ⅰ
6.推荐教材或参考书目
推荐教材：
《高等数学》(第6版). 同济大学数学系主编. 高等教育出版社. 2007年6月
参考书目：
(1)《高等数学》(第1版). 朱士信、唐烁等主编，中国电力出版社，2007年8月
(2) 《高等数学习指导》(第1版).王来生主编，中国农业大学，2006年3月
7.教学方法与手段
课堂讲授为主，适当采用数学教学软件、多媒体、网络等现代化教学手段，辅以学生练习、讨论及自学。

8.考核及成绩评定
考核方式：考试。

成绩评定：（1）平时成绩占30%，形式有作业登记、平时测验等；
（2）考试成绩占70%，形式有闭卷考试、全校统一闭卷考试等。

9.课外自学要求
（1）按时完成课后作业，做好课前预习和课后复习；
（2）以教材为主，适当阅读相关教学参考书；
（3）认真完成各章节自测练习，积极开展学习讨论。

二、课程教学基本内容及要求
本门课程内容按教学要求的不同分为两个层次：较高要求内容和较低要求内容。

对较高要求内容的概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述；对于较低要求内容的概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”一词表述。

属于较高要求的内容，必须使学生深入了解，牢固掌握，熟练应用；属于较低要求的内容，也是必不可少的，仅在教学要求上低于前者。

第八章空间解析几何与向量代数
基本内容：
（1）向量及其线性运算；
（2）数量积向量积※混合积；
（3）曲面及其方程；
（4）空间曲线及其方程；
（5）平面及其方程；
（6）空间直线及其方程。

基本要求：
（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；
（2）掌握向量运算（加法、数乘、数量积、向量积），了解向量的混合积；掌握两个向量平行与垂直的条件；
（3）掌握单位向量，方向角与方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（4）理解曲面方程的概念，了解二次曲面方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
（5）了解空间曲线的一般方程和参数方程，空间曲线在坐标面上的投影，并会求简单空间曲线的方程；
（6）掌握平面方程和直线方程及其求法。

会求平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；
（7）会求点到平面以及点到直线的距离。

教学重点及难点：
（1）向量的概念及其运算、坐标表示；
（2）数量积和向量积的性质与运算；
（3）平面方程与直线方程，二次曲面；
（4）点到平面以及点到直线的距离。

第九章多元函数微分法及其应用
基本内容：
（1）多元函数基本概念；
（2）偏导数；
（3）全微分；
（4）多元复合函数求导法则；
（5）隐函数求导公式；
（6）多元函数微分学的几何应用；
（7）方向导数与梯度；
（8）多元函数极值及其求法。

基本要求：
（1）理解多元函数的概念和二元函数的几何意义，会求多元函数的定义域；
（2）了解二元函数极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；会求二元函数的极限。

（3）理解偏导数的概念及计算方法，会求多元函数的高阶偏导数；
（4）理解全微分的概念及计算方法，会求多元函数的全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件以及微分形式的不变性；
（5）掌握多元复合函数的求导法则，会求多元复合函数的二阶偏导数；
（6）会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组所确定的一组隐函数）的偏导数；
（7）理解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程；
（8）了解方向导数与梯度的概念，掌握方向导数与梯度的计算法；
（9）理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件；了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，了解拉格朗日乘数法；会解决一些较简单的有关最值的应用问题。

教学重点及难点：
（1）多元函数的极限与连续概念；
（2）多元复合函数的求导法则；
（3）多元隐函数的求导法则；
（4）多元函数的极值；多元函数的最值及其在实际问题中的应用。

第十章重积分
基本内容：
（1）二重积分的概念与性质；
（2）二重积分的计算法；
（3）三重积分；
（4）重积分的应用。

基本要求：
（1）理解二重积分的概念和性质、二重积分的几何意义，了解二重积分的中值定理；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；
（2）理解三重积分的概念，了解三重积分的性质和计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；（4）会用重积分求一些几何量与物理量（如平面图形面积、几何体体积、曲面面积、质心、转动惯量、引力等）。

教学重点及难点：
（1）二重积分的概念与性质；
（2）二重积分在两种坐标系下的计算、互换、交换积分次序；
（3）三重积分的计算。

尤其把三重积分化为三次积分计算时，积分限的确定。

第十一章曲线积分与曲面积分
基本内容：
（1）对弧长的曲线积分；
（2）对坐标的曲线积分；
（3）格林（Green）公式及其应用；
（4）对面积的曲面积分；
（5）对坐标的曲面积分；
（6）高斯(Gauss)公式※通量与散度；
（7）斯托克斯(Stokes)公式※环流量与旋度。

基本要求：
（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；
（2）掌握两类曲线积分的计算法；
（3）掌握格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件；会利用二元函数的全微分求积求全微
分的原函数；了解全微分方程的求解；
（4）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分计算方法，了解高
斯公式，并会用高斯公式计算曲面积分；
（5）了解斯托克斯公式，了解散度、旋度及其计算方法。

教学重点及难点：
（1）两类曲线积分及其关系； （2）格林公式及其应用； （3）两类曲面积分及其关系； （4）高斯公式及其应用。

第十二章 无穷级数 基本内容：
（1）常数项级数的概念与性质； （2）常数项级数的审敛法； （3）幂级数；
（4）函数展开成幂级数； （5）函数的幂级数展开式的应用； （6）傅里叶（Fourier ）级数； （7）一般周期函数的傅里叶级数。

基本要求：
（1）理解常数项级数的收敛、发散以及和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数、调和级数和p —级数的收敛性；
（3）掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法及极限审敛法，了解根值审敛法； （4）掌握交错级数的莱布尼兹（Leibniz ）判别法；
（5）了解任意项级数绝对收敛与条件收敛，以及绝对收敛与条件收敛的关系； （6）了解函数项级数的收敛及和函数的概念；
（7）理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求
一些简单幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和； （9）了解函数展开为泰勒（Taylor ）级数的充分必要条件；
（10）掌握,sin ,cos ,ln(1)x
e x x x +和(1)x α
+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，并会利用它们将一
些简单函数间接展开成为幂级数；
（11）了解幂级数在近似计算中的简单应用，微分方程的幂级数解法及欧拉公式；
（12）了解函数展开为傅立叶级数的狄利克雷（Dirichlet ）条件，会将定义在(,)ππ-上的函数展开
成为傅立叶级数；
（13）会将定义在(,)l l -上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在(0,)l 上的函数展开为正弦级数或
余弦级数。

教学重点及难点： （1）级数的概念与性质； （2）正项级数收敛性的判定； （3）交错级数的莱布尼兹审敛法； （4）幂级数的收敛半径与收敛域； （5）幂级数的求和与展开。

三、课程学时分配：
本课程计划96学时，其中讲课96学时。

课程主要内容和学时分配见学时分配表
课程教学时数分配表
修订人： 审核人： 2008年7月20日。