高二期末直线与圆的方程复习学案(71~73)

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《直线和圆的方程》复习课教案高品质版

《直线和圆的方程》复习课教案教学目标(1)通过师生共同总结本章的知识体系和基础知识，带动学生更系统全面地掌握基础知识，加深理解，强化记记忆，为今后更好地应用这些知识打好基础．(2)通过与本章知识相关的届年的高考试题的练习与研究，检验促进学生对知识的理解和掌握，开拓学生的视野，培养他们的分析，综合应用能力．教学过程设计在学生学习完第七章“直线和圆的方程”后，我们安排了两节复习总结课，引导学生系统总结记忆本章的基础知识，进一步深化和准确对这些基础知识的理解．这部分总结工作应启发学生自己完成，教师加以完善．可事先布置为家庭作业．在总结基础知识的同时，我们以历年高考题为练习题，组织学生试作，研究，教师最后进行总结讲评．一、本章知识体系：二、本章基础知识直线线性规划圆．三、典型问题练习与研究(一)选择题1．直线bx＋ay=ab(a＜0，b＜0)的倾斜角是[ ](1993年高考题)2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2=0上的圆的方程是[ ] A．(x－1)2＋(y－1)2=4．B．(x＋3)2＋(y－1)2=4．C．(x－3)2＋(y＋1)2=4．D．(x＋1)2＋(y＋1)2=4．(2001年高考题)共有[ ]A．1个 B．2个C．3个 D．4个(1991年高考题) 4．圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值是[ ] A．6B．4C．5D．1(1993年高考题)5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1=0，则直线PB的方程是[ ] A．2y－x－4=0．B．2x－y－1=0．C．x＋y－5=0．D．2x＋y－7=0．(2001年高考题)[ ](1999年高考题)7．已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by＋c=0(ab＞0)，那么l2的方程是[ ]A．bx＋ay＋c=0．B．ax－by＋c=0．C．bx＋ay－c=0．D．bx－ay＋c=0．(1992年高考题)8．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是[ ](2000年高考题)9．已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹[ ]C．(0，1)(2000年高考题)10．设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是[ ] A．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线(2001年春高考题) [分析与解答]2．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋=r2，圆心在直线x＋y－2=0上，a＋b－2=0，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2=4，故应选(A)．4．作出草图，再作OA垂直已知直线3x＋4y－25=0于A点，∴|OA|－1=5－1=4．就是圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值．应选(B)．5．P在直线x=2上，|PA|=|PB|，P点在AB的垂直平分线上，由x－y＋1=0得A点坐标为(－1，0)．于是B点坐标为(5，0)．又K PA=1．K PB=－K PA=－1．由点斜式，PB的方程y－0=(－1)(x－5)，即x＋y－5=0∴应选(C)．7．直线l1与直线l2关于直线y=x对称，以(y，x)代换(x，y)，由l1得，ay＋bx＋c=0(ab＞0)，即bx＋ay＋c=0，应选(A)．8．x2＋y2＋4x＋3=0，即(x＋2)2＋y2=1，圆心(－2，0)，半径为1，过原点的直9．这题有的同学用夹角公式去求，理论上是正确的，但计算量太大了，实际上很难算出来．要认真分析，结合图形去思考．l1：y=x，斜率为1，倾斜角α1=45°．作出草图去思考，α1=45°,l1与l2的夹角不超过15°,则α2的范围为30°到45°，及45°到60°．又tanα2=a，a的范围在tan30°到tan45°，及tan45°到tan60°，10．设P点坐标(1，t)，Q点坐标(x，y)，这里有两个关系，OP⊥OQ，|OP|=|OQ|，我们通过这两个条件，建立方程．x2＋y2≠0，y2=1，∴y=±1．所求轨迹为两条平行线，应选(B)．(二)填空题．1．给定三点A(1，0)，B(－1，0)，C(1，2)，那么通过点A，并且与直线BC垂直的直线方程是________(1989年高考题)[分析与解答]直线的方程y－0=(－1)(x－1)即x＋y－1=0，有的同学首先用两点式求出直线BC的方程，你认为有必要吗？切线，找斜率的最大值．设切线为y=Kx，Kx－y=0，(三)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A 的平分线所在直线的方程y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．(1992年高考题)[分析与解答]两条直线相交得一个交点，求A与C的坐标，需先求过两点的直线方程．[解法二] 同解法一，得顶点A(－1，0)．因x轴是∠A的平分线，所以点B(1，2)关于x轴的对称点B1(1，－2)在AC所在的直线上，由两点式得AC的方程y=－(x＋1)，以下同解法一．(四)已知两条直线l1：2x－3y＋2=0，l2：3x－2y＋3=0，有一动圆(圆心半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1、l2被圆所截得弦分别为26，24，求圆心M的轨迹方程．(1983年高考题)[分析与解答]两条直线同一个圆，l1，l2分别有圆半径，圆心距，弦长之间的关系，消去共同变量圆半径，则可得到M的轨迹方程．设圆心M(x，y)，圆半径R，M到l1，l2的距离为d1，d2．根据弦，弦心距，半径间的关系代入上式化简为x2＋2x＋1－y2=65∴M的轨迹方程为 (x＋1)2－y2=65．(五)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程．并说明它表示什么曲线．(1994年高考题)[分析与解答]如图，设MN切圆于N，|MN|=λ|MQ|，(λ＞0)因圆的半径|ON|=1|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，整理得，(x2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4x2)=0，为所求轨迹方程．当λ≠1时，方程表示一个圆．(六)已知一个圆C：x2＋y2＋4x－12y＋39=0，和一条直线l：3x－4y ＋5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方程．(1985年高考题)[分析与解答]圆C：(x＋2)2＋(y－6)2=1，圆心为(－2，6)，半径r=1．圆C关于l 对称的圆C'，圆C'的半径为1，而圆心(a，b)与(－2，6)关于直线l对称，这个问题实际上是求点(－2，6)关于直线l的对称点(a，b)，用求对称点的办法解决．∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2=1．(七)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．(1989年高考题)[分析与解答]根据入射光线与的反射光线的对称性，设光线所在直线的方程为y－3=K(x＋3)，即Kx－y＋3K＋3=0已知圆，x2＋y2－4x－4y＋7=0圆C为(x－2)2＋(y－2)2=1与圆C关于x轴对称圆C'的方程为C'：(x －2)2＋(y＋2)2=1，直线Kx－y＋3k＋3=0与圆C'相切．∴所求直线方程为4x＋3y＋3=0或3x＋4y－3=0．[分析与解答]sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A≠B，可得，a=6，b=8，设△ABC内切圆圆心为O'内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2=4．[解法一] 设圆上动点P的坐标为(x，y)，S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2 =3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76=88－4x．因P点在内切圆上，0≤x≤4，S最大值=88－0=88，S最小值=88－16=72．圆上动点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)．S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(2cosθ－6)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2sinθ－4)2＋(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2=80－8cosθ，∵0≤θ＜2π，S最大值=80＋8=88，S最小值=80－8=72．(九)如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A，B，试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C，使∠ACB 取得最大值．(1986年高考题)[分析与解答]设点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(0，b)，0＜b＜a，设C点的坐标为(x，0)，(x＞0)，(十)设圆满足①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．(1997年高考题)[分析与解答]设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得各弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为∴2b2=a2＋1，2b2－a2=1．则 5d2=|a－2b|2=a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)=2b2－a2=1．当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，d取得最小值．∴所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2(y＋1)2=2．。

高三数学总复习教案第七章直线和圆的方程(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第七章直线和圆的方程1 直线方程和两条直线的位置关系 1、直线l 经过原点和点（1-,1-），则它的倾斜角是（ A ）。

A.4π B.54π C.4π或54π D.4π-2、两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是（ B ）A.52C.32D.23、如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ D ）A.1B.13-C.23- D.2-4、两直线20x +=340y +-=的夹角是（）A.030B.060C.090D. 0120 答案：B 解析：2112tan 1k k k k θ-=+5、过点A(3，0)，且平行于直线230x y -=的直线方程是。

答案：2360x y --=6、点（2，5）关于直线0x y +=的对称点的坐标是。

答案：（－5，－2）【典型例题】【例1】求满足下列条件的直线l 的方程。

（1）在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。

（2）与直线240x y -+=的夹角为045，且焦点在x 轴上。

解：（1）设直线的方程为13x ya +=-，由题意得1362a -=，4a ∴=±。

当4a =时，直线l 的方程为143x y+=-即34120x y --=。

当4a =-时，直线l 的方程为143x y+=--即34120x y ++=。

（2）直线240x y -+=交x 轴于点（2,0-），可设l 的方程为(2)y k x =+。

由两直线夹角公式有02tan 4512kk-=+，13k ∴=或3k =-。

∴l 的方程为1(2)3y x =+或3(2)y x =-+，即320x y -+=或360x y ++=。

注意：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数。

变式1.将直线1y x =+绕它上面一点(沿逆时针方向旋转015，得到的直线方程是。

高二数学期末复习直线和圆的方程(附答案)

高二数学期末复习直线和圆的方程一、选择题1. 直线1l 的倾斜角130α=，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为( ) A 3- B3 C 33-D 332. 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的倾斜角( ) A 450 B 1350 C －450 D －13503. 一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=，则这条直线方程为( )A 50x y ++=B 50x y --=C 50x y -+=D 50x y +-= 4. 已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为( ) A1x y a b -= B 1x y a b +=- C 1x y a b -=- D 1x ya b+= 5.直线l 的方程260x y -+= 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距分别为( ) A1,6,32- B 1,6,32 C 2,6,3- D 1,6,32-- 6. 经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程为( )A 23100x y -+=B 01032=++y xC 23100x y +-=D 23100x y --= 7. 过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程为( ) A 20x y += B 20x y -= C 02=-y x D 20x y +=8. 直线1l ：23y x =-+，2l ：23-=x y 的夹角为( ) A arctan3- B arctan3π- C arctan3π+ D arctan39若实数x 、y 满足等式 3)2(22=+-y x ，那么xy 的最大值为( )10.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2+(y +7)2=25 B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15 C ．(x －5)2+(y +7)2=9 D ．(x －5)2+(y +7)2=25或(x －5)2+(y +7)2=9 11.已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（） A.0<r<22 B.0<r<2 C.0<r<2 D.0<r<4 12.由曲线y =|x |与x 2+y 2=4所围成的图形的最小面积是( ) A.4π B.π C.43πD.23π 二、填空题13. 经过原点且经过022:1=+-y x l ，022:2=--y x l 交点的直线方程为． 14. 平行线0872=+-y x 和 0672=--y x 的距离为15.无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，则定点的坐标为16满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00625y x y x y x 的点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是_____三、解答题17．过点(2,1)M 作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点,A B ，若ABC ∆的面积S 最小，试求直线l 的方程。

2019-2020学年高二数学直线和圆的方程复习学案-人教版

2019-2020学年高二数学直线和圆的方程复习学案人教版【预习思考】1．若α∈[6π，2π]，则直线2xcos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围是（）A ．[ 6π，2π] B ．[ 65π，π] C ．[ 0， 6π] D ．[2π，65π]2．(2001年天津高考)设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x －y ＋1=0，则直线PB 的方程是（）A ．x ＋y －5=0B ．2x －y －1=0C ．x －2y ＋4=0D ．2x ＋y －7=0 3．(2000年上海春季高考)若直线的倾斜角为π－arctan 21，且过点(1，0)，则直线L 的方程．4．m 为任意实数时，直线（m －1）x ＋(2m －1)y=m －5必过定点( )． 5．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为．【例题讲评】例1 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a=0(a ∈R)．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若L 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．例2 一条直线经过P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程． (1)倾斜角是直线x －4y ＋3=0的倾斜角的2倍； (2)夹在两坐标轴间的线段被P 分成1：2．(3)与x 轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小．例3 ( 1992年全国高考)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0，∠A 的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．【训练反馈】1．下列命题中正确的是( )A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x－x 1)表示． D. 不经过原点的直线都可以用方程ax ＋by =1表示．2．设点P(a ，b)，Q(c ，d)是直线y=mx ＋k 上两点，则︱PQ ︱等于 ( )A ．︱a －c ︱21m +B ．︱a ＋c ︱21m +C ．︱b －d ︱21m +D ．︱b ＋d ︱21m + 3．直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则（）A. ksin α>0B. kcos α>0C. ksin α<0D. kcos α≤045．一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程为． 6．直线l 1，l 2的方程分别为y=mx ，y=nx(m ，n ≠0)，l 1的倾斜角是l 2倾斜角的2倍，l 1倾斜率是l 2的斜率的4倍，则mn= ．7．已知直线l ：y=ax ＋2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l 与线段AB 相交时，则实数a 的取值范围为．8．平面上有相异两点A(cos θ，sin 2θ)和B(0，1)，求经过A 、B 两点直线的斜率及倾斜角的范围．9．已知P （2，1），过P 作一直线，使它夹在已知直线x ＋2y －3=0，2x ＋5y －10=0间的线段被点P 平分，求直线方程．10．已知点P （6，4）和直线l 1：y=4x ，求过P 的直线l ，使它和L 1以及x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．第2课两直线的位置关系【预习思考】 1．（2005北京） “21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．（1998上海高考）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x＋ay ＋c ＝0与bx －sinB ·y ＋sinC ＝0的位置关系是（） A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直 3．（2000全国高考）已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，π12）内变动时，a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（ 33 ， 3 ）C ．（ 33，1）∪(1， 3 ) D ．（1， 3 ）4．已知A （3，0），B （0，4），则过B 且与A 的距离为3的直线方程为 .5．已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y ＋1＝0，3x －y ＝0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ’的方程为．【例题讲评】例1 正方形中心在M （－1，0），一条边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边的所在直线的方程．例2 光线从点A （－3，5）射到直线l ：3x －4y ＋4＝0以后，再反射到一点B （2，15）．（1）求入射线与反射线的方程；（2）求这条光线从A 到B 的长度．例3一直线过点P （2，3），且和两平行直线3x ＋4y ＋8＝0及3x ＋4y －7＝0都相交，两交点间线段长3 2 ，求这直线方程．例4在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；【训练反馈】1．两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．－1＜a ＜2B ．a ＞－1C ．a ＜2D ．a ＜－1或a ＞2 2．（2005全国）已知过点A （-2,m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（）A.0B.-8C.2D.103．设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（）A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2) B ．k ＝b a C ．1a ＋1b＝p D ．a ＝－kb4．若点（1，1）到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是．5．一束光线经过点A （－2，1），由直线l ：x －3y ＋2＝0反射后，经过点B （3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为．6．直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）距离之差最大，则P点坐标是．7．在△ABC 中，|AB|＝|AC|，∠A ＝120°，A （0，2），BC 所在直线方程为 3 x －y －1＝0，求边AB 、AC 所在直线方程．8．已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．9．如图，足球比赛场地宽为a 米，球门宽b 米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l （贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中AB 表示乙方所守球门；AB 所在直线为乙方底线；l 表示甲方边锋前进的直线）第3课简单的线性规划【预习思考】1．在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2≥0的点（x ，y ）的集合的阴影部分是（） 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z=x －y 的最大值是（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－23．在如上图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z=x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（）A ．－3B ．3C ．－1D ．14．已知函数f(x)=ax 2－ c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围为．5．已知x ∈R ，f(x)是4x ， x ＋2，－2x ＋4三者中的最小值，则f(x)的最大值是．【例题讲评】例1 已知线性约束条件x －y ＋3≥0， x ＋y －5≤02x －y －4≤0，求目标函数z=x ＋2y 的最大值． x ≥0， y ≥0．例2 点（x ，y ）是区域|x|＋|y|≤1内的动点，求ax －y(a>0)的最大值及最小值．例3 某厂有一批长为2．5m 的条形钢材，要截成60cm 和43cm 两种规格的零件毛坯，试找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率．例4 某运输公司有7辆载重6t 的A 型卡车，4辆载重10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t 的任务．已知每辆卡车每天往返次数为A 型8次，B 型6次，每次运输成本为A 型160元，B 型252元．每天应派出A 型、B 型车各多少辆，能使公司总成本最低？【训练反馈】1．(2005全国)在坐标平面上，不等式组13||1y x y x ≥-⎧⎨≤-+⎩所表示的平面区域的面积为（） A.2 B.32C.322D.2 2．(2005江西)设实数x ，y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是。

高考数学二轮复习专题13 直线与圆教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题13 直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)适合所有的直线(3)两直线的位置关系位置关系 l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0相交k 1≠k 2特别地，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0重合k 1＝k 2且b 1＝b 2 A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 (4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一直线及其方程例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 【答案】B【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋ba，由S △DBE＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G－x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－22，1 (∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二两直线的位置关系例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【答案】5【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0【答案】C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.考点三圆的方程例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1,0A x （）, 2,0B x （）,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-.又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --=-，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.【变式探究】【2016高考新课标2文数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254考点四直线与圆、圆与圆的位置关系例4．【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

高二数学期末复习之圆的方程

高二数学期末复习之圆的方程一.典型例题1．求与直线 y=x 相切，圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程．[解析]：设圆心坐标为0)r(r ),3,(001>半径为x x O ，则r x x =-23002x r =⇒，又2202)2(,22r x AB =+∴= 22202020±=⇒=+⇒x x x ，2=∴r即圆的方程为：4)23()2(4)23()2(2222=-+-=+++y x y x 或2．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．2． [解析]：由题意知：过A （2，－1）且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x 上， ∴由 32-=-=x y x y ⇒21-==y x 即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AO r ，∴所求圆的方程为：2)2()1(22=++-y x3．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ．（1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．3. [解析]：(1)22222114)122(42122,022:k k k kAB k kd k y kx l l O +-=+-=∴+=∴=+-→ 2221)1(2421k k k d AB S l O +-=⋅=∴→，定义域：01120≠<<-⇒<<→k k d l O 且．（2）设23)2)(1()1(),1(12222-+-=--=-≥=+t t t t k k t t k 则81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，222124,3334,431max =⋅=±===∴S k t t 时，即当，∴S 的最大值为2，取得最大值时k=33±．4．设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． [解析]：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2）设C 1关于直线l 的对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b+1=0，即圆C 2的圆心在定直线：x －2y+1=0上．设直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则m kbm m k 21)1()12(2=+++-+即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k∵直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m )0(≠m 值都成立，所以有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=4743b k ，所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4743+-=x y 二.巩固练习 (一)、选择题1．原点必位于圆：0)1(22222=-+--+a y ax y x )1(>a 的（C ） A ．内部 B ．圆周上 C ．外部 D ．均有可能 2．“点Ｍ在曲线y ＝|x |上”是“点Ｍ到两坐标轴距离相等”的（C ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．非充分非必要条件3．从动点)2,(a P 向圆1)3()3(22=+++y x 作切线，其切线长的最小值是（ A ）A ． 4B ．62C ．5D ．264．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（B ）A ．21±B ．22±C ．2221-或D ．2221或- 5．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是（ A ）A ．2B ．1C ．3D ．32 6．若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ B ）A ．20<<kB ．21<<kC ． 10<<kD ．2>k 7．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则（ C ） A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值 33-D ．k 有最大值0，最小值21-8．直线y = x + b 与曲线x =21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（B ）A ．|b|=2B ．211-=≤<-b b 或C ．21≤≤-bD ．以上都错 9．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．直线0323=-+y x 与圆 θθsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( C )A ．相离B ．相切C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心11．已知圆C ： θθsin 22cos 2+=+=y a x （a>0,为参数θ）及直线l ：03=+-y x ，若直线l 被C 截得的弦长为32，则a =（ C ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+12．过两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2+ 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程（ A ）A ．x +y+2=0B ．x +y-2=0C ．5x +3y-2=0D ．不存在 (二)、填空题13．过P （1，2）的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的方程为 032=+-y x14．斜率为3，且与圆 x 2 + y 2=10 相切的直线方程是 103±=x y ．15．已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是______．1622=+y x16．若实数x ,y 满足xy y x 则,3)2(22=+-的最大值是．3高二数学期末复习之椭圆一.典型例题例1 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．(1)或．(2)例2.求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．例3在椭圆上求一点，使，其中，是椭圆的两焦点．方案一：由题意得，，解方程得，或．再设，则有或，解方程即可．方案二：设，由椭圆的第二定义得，，，，∴，，．例4.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例5.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．或例6. 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．例7. 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6例8. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．例9. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，因此，所求椭圆的方程为．例10. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得，⑧，⑨将⑧⑨代入⑦得，⑩再将代入⑩式得，即．二.巩固练习1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ D ）A．B．（0，2）C．D．（0，1）2．过点（3，－2）且与有相同焦点的椭圆方程是（A ）A． B．C．D．3．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（ C ）．A．B．C．D．4．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ B ）．A．B．C．D．5．对于椭圆，下列说法正确的是（ D ）．A．焦点坐标是B．长轴长是5C．准线方程是 D．离心率是6．离心率为、且经过点的椭圆的标准方程为（ D ）．A．B．或C．D．或7．椭圆的左、右焦点为，，以为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点，，若直线是⊙的切线，则椭圆的离心率为（ D ）．A．B．C． D．8．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ D ）A．B．C．D．9．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（C）A．B．C．D．10．已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（ B ）A．2 B．C．D．811．点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为_________．或或或．12．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为_________________．13．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．，14．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．15．已知是椭圆上一点，若到椭圆右准线的距离是，则到左焦点的距离为_____________．16．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长是______________．1或217．若椭圆上存在点到两焦点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围是_____________．18．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，则的值为_________19．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．20．椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率，它与直线交于，两点，且，求椭圆方程．20.设椭圆方程为，由可得．由直线和椭圆方程联立消去可得．设，得，即，化简得，由韦达定理得，解出，故所求椭圆方程为．21．椭圆上有一点，使（为坐标原点，为椭圆长轴右端点），试求椭圆离心率的取值范围．21．由已知，设，则、，由得，化简得．因为在一、四象限，所以，于是，易求出，所以．22．已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．若，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．。

高中数学直线和圆教案

高中数学直线和圆教案
课题：直线和圆
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握直线和圆的基本概念、性质和公式；能够运用直线和圆的知识解决相关问题。

2. 过程与方法：通过例题分析、思维导向和讨论等方式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：鼓励学生积极思考、勇于探索，培养他们对数学的兴趣和自信心。

二、教学内容：
1. 直线的概念及斜率、方向角的相关性质；
2. 圆的概念及圆心、半径、弦、弧、切线等基本概念；
3. 直线和圆的位置关系及相关公式。

三、教学过程：
1. 引入：通过给出一道直线和圆的问题，让学生思考直线和圆之间的关系，并引出本节课的主题。

2. 学习直线的知识点：讲解直线的概念、斜率、方向角等基本知识，并通过例题演示如何计算直线的斜率和方向角。

3. 学习圆的知识点：讲解圆的概念、圆心、半径、弦、弧、切线等基本知识，并通过例题演示如何计算圆的相关参数。

4. 直线和圆的位置关系：讲解直线和圆的位置关系及相关公式，并通过例题演示如何判断直线和圆的位置关系。

5. 练习与巩固：布置练习题，让学生独立解题，并对答案进行核对和讲解。

6. 总结与拓展：总结本节课的重点知识，拓展相关知识，激发学生兴趣和探索欲望。

四、课堂评价：
考核学生对直线和圆的基本概念、性质以及相关公式的掌握情况，包括思维能力、解题能力等方面的评价。

五、课后作业：
1. 完成课后练习题；
2. 总结笔记，复习本节课所学知识。

高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案

高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第八章直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.0.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是A.[π6，π3]B.[π4，π3]c.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知m，N，当m∈时，直线mN的倾斜角为锐角；当m＝时，直线mN的倾斜角为直角；当m∈时，直线mN的倾斜角为钝角.【解析】直线mN的倾斜角为锐角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0⇒m＜－5或m＞1；直线mN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2⇒m＝－5；直线mN的倾斜角为钝角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0⇒－5＜m＜1.题型二直线的斜率【例2】已知A，B，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A，B，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝34，l的倾斜角为2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－2＝247.所以直线l的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率为A.34B.43c.－43D.－34或－43【解析】选c.sinα＋cosα＝15⇒sinαcosα＝－1225＜0⇒sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35，故直线l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.直线过点，且在两坐标轴上截距相等；直线过点，且原点到直线的距离为2.【解析】当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x －3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，把代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程为3x ＋4y－10＝0.故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.因为直线过点P，所以－4＝3k，得k＝－43.此时直线方程为y＝－43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa＋y－a ＝1，因为直线过点P，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点o为坐标原点，当△ABo的面积最小时，求直线l 的方程.【解析】方法一：设直线方程为xa＋yb＝1，由于点P在直线上，所以2a＋1b＝1.2a•1b≤2＝14，当2a＝1b＝12时，即a＝4，b＝2时，1a•1b取最大值18，即S△AoB＝12ab取最小值4，所求的直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.方法二：设直线方程为y－1＝k，直线与x轴的交点为A，直线与y轴的交点为B，由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.S△AoB＝12•2k－1k＝12[＋＋4]≥12[2•＋4]＝4.当－1k＝－4k，即k＝－12时，S△AoB有最小值，所求的直线方程为y－1＝－12，即x＋2y－4＝0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l：mx－y＝4m.求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1.若m＝0，则k＝0；若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m•1m＝12，所以0＜k ≤12；若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12＝－12，所以－12≤k＜0.综上，－12≤k≤12.总结提高.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2 两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能构成三角形，求a的值.【解析】①l3∥l1时，－a＝－2⇒a＝2；②l3∥l2时，－a＝3⇒a＝－3；③由⇒将代入ax＋y＝0⇒a＝－1.综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P，则过A，B的直线方程是.【解析】由P为l1和l2的交点得故A，B的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，即直线2x＋3y＋1＝0必过A，B两点.题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：x＋y ＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.l1⊥l2，且l1过点；l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，又l1过点，所以－3a＋b＋4＝0，而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.因为k2≠0，即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab＝－1，又l1过点，所以－3a＋b＋4＝0，联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2.因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab ＝，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b＝b，联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，所以a，b的值分别为2和－2或23和2.【点拨】运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABc的顶点分别为A，B，c.点P是线段Ao上的一点，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，cP分别与边Ac，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线oE的方程为x＋y ＝0，则直线oF的方程为.【解析】由截距式可得直线AB：xb＋ya＝1，直线cP：xc＋yp＝1，两式相减得x＋y＝0，显然直线AB与cP的交点F满足此方程，又原点o也满足此方程，故所求直线oF的方程为x＋y＝0.题型三点到直线的距离【例3】已知△ABc中，A，B，c，当△ABc的面积S最大时，求m的值.【解析】因为A，B，所以|AB|＝2＋2＝10，又因为直线AB的方程为x－3y＋2＝0，则点c到直线AB的距离即为△ABc的高，设高为h，则h＝|m－3m＋2|12＋2，S＝12|AB|•h ＝12|m－3m＋2|，令m＝t，则1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|2－14|，由图象可知，当t＝32时，S有最大值18，此时m＝32，所以m＝94.【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】若动点P1与P2分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中点P在直线x－y－10＝0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x－y－10＝0的距离d＝102＝52.所以，点P到原点的最小距离为52.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.令l：x－y－c＝0，则5＜c＜15，且|c－5|2＝|c－15|2，解得c＝10.所以l的方程为x－y－10＝0.由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d＝102＝52，所以点P到原点的最小距离为52.总结提高.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.3.运用公式d＝|c1－c2|A2＋B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.8.3 圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A，B且圆心在y轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，由已知得即解得D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0.方法二：经过A，B的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y－3＝2，即y＝2x＋1.令x＝0，y＝1，圆心为，r＝2＋2＝10，圆的方程为x2＋2＝10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P、Q两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q两点的坐标分别代入①得令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根.所以2＝2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤解②、③、⑤组成的方程组，得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x －8y＋4＝0.题型二与圆有关的最值问题【例2】若实数x，y满足2＋y2＝3.求：yx的最大值和最小值；y－x的最小值；2＋2的最大值和最小值.【解析】yx＝y－0x－0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为－3.令x－2＝3cosα，y＝3sinα，α∈[0,2π).所以y－x＝3sinα－3cosα－2＝6sin－2，当sin＝－1时，y－x的最小值为－6－2.2＋2是圆上点与点的距离的平方，因为圆心为A，B，连接AB交圆于c，延长BA交圆于D.|AB|＝2＋2＝13，则|Bc|＝13－3，|BD|＝13＋3，所以2＋2的最大值为2，最小值为2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如2＋2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3.试求m ＝y＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范围.【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3上的点与定点A连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3上的点且斜率为－2的直线的纵截距.由图易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xoy中，二次函数f＝x2＋2x＋b与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为c.求实数b的取值范围；求圆c的方程；问圆c是否经过定点？请证明你的结论.【解析】令x＝0，得抛物线与y轴交点是，由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆c的方程为x2＋y2＋2x－y＋b＝0.圆c必过定点，证明如下：假设圆c过定点，将该点的坐标代入圆c的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b＝0，为使式对所有满足b＜1的b都成立，必须有1－y0＝0，结合式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得或经检验知，点，均在圆c上，因此圆c过定点.【点拨】本题的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.【变式训练3】动点A在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间是A.[0,1]B.[1,7]c.[7,12]D.[0,1]和[7,12]【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y ＝sin,0≤t≤12，π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].总结提高.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b 为何值时，直线与圆有两个公共点；直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：设圆心o到直线y＝x＋b的距离为d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半径r＝2.当d＜r时，直线与圆相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.当d＝r时，直线与圆相切，|b|2＝2，b＝±2，所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：联立两个方程得方程组消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0的位置关系是A.相离B.相切c.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r＝22，设圆心到直线的距离为d，则d＝1sin2θ＋1.因为θ≠π2＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，所以22＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆c：2＋2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆o：x2＋y2＝1上.当圆c与圆o有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|oc|＜2＋1，所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，所以－322＜a＜－22或22＜a＜322为所求a的范围.【变式训练2】两圆2＋2＝r2和2＋2＝R2相交于P，Q 两点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为，，则过它们圆心的直线方程为x－2－＝y－1－2－1，即y＝－x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为.题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P及圆c：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆c截得的线段长为43，求l的方程；求圆c内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】如图，AB＝43，D是AB的中点，则AD＝23，Ac＝4，在Rt△ADc中，可得cD＝2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点c到直线的距离公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0.设圆c上过点P的弦的中点为D，因为cD⊥PD，所以＝0，即•＝0，化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A，B，中点为，由得k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为Ac和BD，则四边形ABcD的面积为A.106B.206c.306D.406【解析】选B.圆的方程化成标准方程2＋2＝25，过点的最长弦为Ac＝10，最短弦为BD＝252－12＝46，S＝12Ac•BD＝206.总结提高.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l ＝2R2－d2求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.8.5 直线与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆c：2＋2＝25及直线l：x＋y＝7m＋4.求证：不论m为何值，直线l恒过定点；判断直线l与圆c的位置关系；求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】证明：直线方程可写作x＋y－4＋m＝0，由方程组可得所以不论m取何值，直线l恒过定点.由2＋2＝5＜5，故点在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆c相交.由平面几何知识可知，当直线与过点m的直径垂直时，弦|AB|最短.|AB|＝2r2－|cm|2＝225－[2＋2]＝45，此时k＝－1kcm，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，解得m＝－34，代入原直线方程，得l的方程为2x－y －5＝0.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】若函数f＝－1beax的图象在x＝0处的切线l与圆c：x2＋y2＝1相离，则P与圆c的位置关系是A.在圆外B.在圆内c.在圆上D.不能确定【解析】选B.f＝－1beax⇒f′＝－abeax⇒f′＝－ab.又f＝－1b，所以切线l的方程为y＋1b＝－ab，即ax ＋by＋1＝0，由l与圆c：x2＋y2＝1相离得1a2＋b2＞1⇒a2＋b2＜1，即点P在圆内，故选B.题型二和圆有关的对称问题【例2】设o为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足•＝0.求m的值；求直线PQ的方程.【解析】曲线方程可化为2＋2＝9，是圆心为，半径为3的圆.因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设P，Q，则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝42－4×2＞0，解得2－32＜b＜2＋32.x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，y1y2＝＝b2－b＋x1x2＝b2＋2b＋12，因为•＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.故所求的直线方程为y＝－x＋1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②oP⊥oQ，则直线PQ的方程为.【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心，所以k＝2，故kPQ＝－12.设直线PQ的方程为y＝－12x＋t，与圆的方程联立消去y，得54x2＋x＋t2－6t＋3＝0.设P，Q，由于oP⊥oQ，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋＝0，所以＋54x1x2＋t2＝0.由知，x1＋x2＝45，x1x2＝45，代入上式，解得t＝32或t＝54.此时方程的判别式Δ＞0.从而直线的方程为y＝－12x ＋32或y＝－12x＋54，即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为2＋2＝18，它表示圆心为，半径为32的圆.作出直线x＋y－2＝0与圆2＋2＝18，由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小.设其半径为r，点到直线x＋y＝2的距离为52，所以2r＋32＝52，即r＝2，点到直线x＋y＝2的距离为2，所求圆的圆心为，即，故所求圆的标准方程为2＋2＝2.【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆c：2＋2＝1引切线，则切线长的最小值为A.17B.32c.19D.25【解析】选A.设m为直线y＝x＋1上任意一点，过点m 的切线长为l，则l＝|mc|2－r2，当|mc|2最小时，l最小，此时mc与直线y＝x＋1垂直，即|mc|2min＝2＝18，故l的最小值为17.总结提高.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.。

直线与圆的方程的应用学案导学案课件

直线与圆的方程的应用【学习目标】掌握直线与圆，圆与圆的位置关系；利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题。

【重点难点】重点是直线的知识以及圆的知识；难点是用坐标法解决平面几何.一【问题导学】(1)直线方程有几种形式?(2) 圆的方程有几种形式?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(5) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?二【小试牛刀】1、若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为 .2.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为 . 3．求圆与圆的公共弦的长4.求圆关于点对称的圆的方程三【合作、探究、展示】例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．【规律方法总结】_________________________________________________变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。

有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？例2、已知内接于圆P 的四边形ABCD 的对角线互相垂直，AD PE ⊥于E ，求证： BC PE 21=.例3已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）.（1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；（2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；【规律方法总结】_______________________________________________例4.求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程【规律方法总结】________________________________________________四【达标训练】1、圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是 .2．已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a = .3、实数x ，y 满足方程40x y +-=，则22x y +的最小值为（）.A. 4B. 6C. 8D. 124．如果实数满足22(2)3x y ++=，则y x的最大值为（）.D. 5由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB =60°，则动点P 的轨迹方程为 .6.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 .。

第8章直线与圆的方程(1) 复习导学案

第八章直线与圆的方程复习导学案（一）1.若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB = 。

2.若1122(,),(,)A x y B x y ，则线段AB 的中点坐标为。

3. 我们把叫做这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线倾斜角为 °；倾斜角α的取值范围是。

4．若直线的倾斜角是(90)αα≠ ，则直线的斜率k = 。

5．若直线经过两点112212(,),(,),()P x y Q x y x x ≠其中，则直线的斜率k = 。

6.直线的点斜式方程为；直线的斜截式方程为；其中b 叫做；直线的一般式方程为。

7. 如果直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，则交点坐标是。

8. 已知直线111:l y k x b =+和222:l y k x b =+，则时，两直线平行；时，两直线垂直。

9. 已知直线:0l Ax By C ++=，点00(,)P x y ，则点P 到直线的距离是d = 。

二、典型例题1.已知两点(2,0)(0,5)P Q -和，则P Q 、两点间的距离是（）A ．29B ．7C ．3D 2．已知两点12(10,0)(2,4)A A -和，则线段12A A 的中点坐标是（）A ．（4,2）B ．（-1,4）C ．（-6,2）D ．（-1,2）3.已知线段AB ，它的中点坐标是（-1,2），端点B 的坐标是（-5,7），则端点A 的坐标是。

4.填空：（1）已知直线l 垂直于x 轴，则直线的倾斜角是，斜率是。

（2）已知直线l 垂直于y 轴，则直线的倾斜角是，斜率是。

（3）已知直线斜率是-1，则倾斜角是。

5.直线经过原点和点（4，-4），则直线的倾斜角为（）A ．45°B ．135°C ．-45°D ．90°6.求下列直线的方程：（1）经过点（2，-3），倾斜角为45°；（2）纵截距是8，斜率是3.5；（3）经过两点（1,3），(-2,5)（4）经过点（-1,4），且平行于y 轴；（5）经过点（1，-1），且垂直于直线2120x y +-=7.已知直线方程25100x y +-=，则直线的斜率是，纵截距是。