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1977年黑龙江省高考数学试卷

一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）（1977•黑龙江）．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）（1977•黑龙江）．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P 在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．解答：解：原方程同解于解得x=4故x=4是原方程的根．点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．解答：解：∵|x|＜5．∴﹣5＜x＜5．点评：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．考点：圆周角定理.专题：计算题．分析：利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可．解答：解：设正三角形的边长为a，则．它的边长为18cm．点评：本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．属于基础题．4．（6分）（1977•黑龙江）．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用求值公式求得．解答：解：当m≥a时，=m﹣a．当m＜a时，=a﹣m．点评：从形式上观察，确定问题的转化．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．考点：两角和与差的正弦函数．分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°=sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．6．（6分）（1977•黑龙江）．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：先求出的值，为再利用反正弦求出那个角的正弦值为，可知此角为解答：解：由已知=因为sin=所以．答：=点评：本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三角函数值等于这个值．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．解答：解：方程即：3x+1﹣3x=18，3x（3﹣1）=18，3x=9=32，∴x=2．点评：本题考查有理指数幂的化简求值．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题设可知，．解答：解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，∴．点评：本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列的首项a1=2公比q=2．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．解答：解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=，圆锥母线，∴侧面积．点评：本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，再将已知点代入即可求解．解答：解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，所以所求直线的斜率为．所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE（如图），利用同弧所对的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．解答：证明：连接BE（如图）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴．∴AB•AC=AD•AE．点评：本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：计算题；应用题．分析：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．解答：解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．解答：解：∵lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）=xlg2=lg2x，∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16∴x=8．点评：解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等的对数式，②然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．③解方程④代入验证，排除增根．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．考点：数列的应用；等差数列的性质．分析：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有，解这个方程组后能够求出此三角形的三边长．解答：解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有由（1）得a=12（cm）．代入（2）得，36﹣d2=27，d2=9d=±3故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．解答：解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在内，sin∠P是单调上升的，所以时，∠P最大．点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π上的积分即可．解答：解：设旋转体的体积为V，则==．故旋转体的体积为：．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．。

1977年数学高考试题及答案

1977年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+ 解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和（3）解方程.125522=+xx解：原方程即,55322=+xx223,3, 1.x x x x ∴+==-=均为原方程的解.（4）计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程解：原方程可展开为,99622=++-y x x22260,6cos 0,06cos 6cos x x y ρρθρρθρθ-+=-⋅=∴===或即（6）计算.321lim 2n n n ++++∞→ 解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n n n n n n（7）分解因式.4832224-+--y y y x x解：原式=2222)22()(---y y x 2222(22)(22)(2)(32).x y y x y y x y x y =-+---+=+--+ 3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x x y x y 解得由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.又解得,044),1(422=-+-=y y y y y 1+y 2=-4,y 1y 2=-4. 由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-=但,324364)()(21221221=-=-+=-x x x x x x83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900，∴∠ACD=∠B又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线 ∴CE=EB∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB 但∵∠BCD=3∠ACD ， ∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450， △EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C 点D 点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB 的长度解：如图设厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可40v v v x v 乙甲乙甲或第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或由此可得,280)20(440x x x -+=.0)80)(40(=--x x由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,（厘米）（厘米） 5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60 证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有()()180,318060.d d ααααα-+++=︒=︒∴=︒（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa,,（此处q 为公比，且0>q ）由余弦定理可得2222222111()()2cos 60,12,20,2a aa aq q q qqq q=+-⋅⋅︒=+-⋅-+= ),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为6006．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ，CA D E BA 甲乙 DB设PQ=l ，MN=m ，令PK=x ，则KQ=x l - ∴△EMK ∽△FNK ， ∴.NKMKNF ME = 又∵△MKP ∽△NKQ ， ∴.KQ KP NK MK =于是得到,KQKPNF ME = .)(xx l a KP KQ ME NF -=⋅=从而△EMK 与△FNK 的面积之和为2222211()()22()()222221),a l x a l x a x lx l l A x a l x x a x l x x x xa l ⎡⎤---+=⋅⋅+⋅-⋅=+=⋅=⋅-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22,02时也即时当l x xl x ==-∴A 有最小值.)12(al - l x 22=表示点K 到直线AB 的距离为22倍的PQ ，从而点K 到M 的距离也为MN 的22倍，即KM=22MN. 附加题 1求极限).1(limx x x n -+∞→解：原式=xx x x x x x n ++++-+∞→1)1)(1(lim.211111lim1lim=++=++=∞→∞→xxx x n n 2．求不定积分.)1(2⎰+x e dx解：令,1t e x=+则,)1(dx t dx e dt x-== .1-=t dt dx 2222111111()()ln(1)ln (1)(1)(1)111ln ln(1)ln(1).11x x x xx xdx dt dt dt t t C e t t t t t t t t te e C x e C e e∴==-=--=--+++---=-+++=-+++++⎰⎰⎰⎰P M EA B K C D F N Q。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年福建省高考数学试卷（文科）

1977年福建省⾼考数学试卷（⽂科）1977年福建省⾼考数学试卷（⽂科）⼀、解答题（共18⼩题，满分150分）1．（6分）（1977?福建）计算．2．（6分）（1977?福建）求cos（﹣840°）的值．3．（6分）（1977?福建）化简．4．（6分）（1977?福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．5．（6分）（1977?福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．6．（6分）（1977?福建）求\lim_{x→1}．7．（6分）（1977?福建）求函数y=x2+2x﹣4的最⼩值．8．（8分）（1977?福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．9．（10分）（1977?福建）写出等⽐数列的通项公式．10．（10分）求函数的定义域．11．（10分）（1977?福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．12．（10分）（1977?福建）解⽅程．13．（10分）（1977?福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．14．（10分）（1977?福建）把分母有理化．15．（10分）（1977?福建）某中学⾰命师⽣⾃⼰动⼿油漆⼀个直径为1.2⽶的地球仪，如果每平⽅⽶⾯积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）16．（10分）（1977?福建）某农机⼚开展“⼯业学⼤庆”运动，在⼗⽉份⽣产拖拉机1000台．这样，⼀⽉⾄⼗⽉的产量恰好完成全年⽣产任务．⼯⼈同志为了加速农业机械化，计划在年底前再⽣产2310台．正好⽐原计划增产21%．①求⼗⼀⽉、⼗⼆⽉份每⽉增长率；②原计划年产拖拉机多少台？17．（10分）（1977?福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第⼀象限的交点处的切线⽅程．18．（10分）（1977?福建）某⼤队在农⽥基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们⼟法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可⽤最简根式表⽰）．1977年福建省⾼考数学试卷（⽂科）参考答案与试题解析⼀、解答题（共18⼩题，满分150分）1．（6分）（1977?福建）计算．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先依据有理指数幂的运算性质化简⼩括号⾥的结果，再计算中括号⾥的结果，从⽽得到最后的结果．解答：解：原式=5﹣3×[+1031×0]÷1=5﹣3×=5﹣3×（﹣）=7．点评：本题考查有理指数幂的运算性质．2．（6分）（1977?福建）求cos（﹣840°）的值．考点：运⽤诱导公式化简求值．专题：综合题．分析：根据余弦函数为偶函数化简后，把840°变为2×360°+120°，然后利⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值化简可得值．解答：解：cos（﹣840°）=cos840°=cos（2×360°+120°）=．点评：此题考查学⽣掌握余弦函数的奇偶性，灵活运⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值化简求值，学⽣做题时注意⾓度的变换．3．（6分）（1977?福建）化简．考点：⽅根与根式及根式的化简运算．分析：本题是求算术平⽅根，开根号时要考虑2x﹣3⼤于0，还是⼩于0．解答：解：根据算术根的定义，当时，．当时，．点评：本题考查公式：当n为奇数时，；当n为偶数时，4．（6分）（1977?福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．考点：平⾏线分线段成⽐例定理．专题：计算题．分析：由MN∥BC，因此可以⽤平⾏线分线段成⽐例定理建⽴已知量与未知量之间的关系式，解⽅程进⾏求解．解答：解：设AM为x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC，x=1（cm）．点评：如果题⽬的已知有平⾏关系，平⾏线分线段成⽐例定理建⽴已知量与未知量之间的关系是⾸选，也可利⽤平⾏得到相关三⾓形相似，再利⽤相似三⾓形的性质建⽴知量与未知量之间的关系．5．（6分）（1977?福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．考点：对数函数的定义；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意知lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4，再由对数的运算性质和定义求出x．解答：解：由题意得，lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4∴lg=4，∴=10000∴x=0.0003．点评：本题考查了对数的运算性质和定义，注意观察两个对数值特点，运⽤了转化思想合为⼀个对数6．（6分）（1977?福建）求\lim_{x→1}．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：先把分母因式分解，然后消除零因⼦，把原式化简为，由此能求出的值．解答：解：=．点评：本题考查函数的极限和运算，解题的关键是消除零因⼦．7．（6分）（1977?福建）求函数y=x2+2x﹣4的最⼩值．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：对于⼆次函数的最值问题，采⽤配⽅法解决．解答：解：∵y=x2+2x﹣4=（x+1）2﹣5∵（x+1）2﹣5≥﹣5，∴y的最⼩值为﹣5．点评：本题考查函数的最域，通过配成完全平⽅式的⽅法，得到⼀元⼆次⽅程的最值⽅法．这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法称为配⽅法，配⽅的依据是完全平⽅公式．8．（8分）（1977?福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．考点：同⾓三⾓函数间的基本关系．专题：计算题．分析：根据⾓的范围及正弦值，利⽤平⽅关系求出⾓的余弦值，正弦值与余弦值之⽐即为要求的正切值．解答：解：∵，∴，∴．点评：本题考查同⾓三⾓函数的基本关系的应⽤，关键是利⽤平⽅关系时依据⾓的范围选取符号．9．（10分）（1977?福建）写出等⽐数列的通项公式．考点：等⽐数列的通项公式．专题：计算题．分析：先根据题意可知数列的⾸项和公⽐，进⽽根据等⽐数列的通项公式可得答案．解答：解：设等⽐数列为{a n}，依题意可知a1=﹣，q=﹣=﹣∴．点评：本题主要考查了等⽐数列的通项公式．属基础题．10．（10分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数⼤于0，偶次根式被开放数⾮负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在⼀起的综合型函数的定义域，注意取交集．11．（10分）（1977?福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．考点：三⾓函数中的恒等变换应⽤．分析：利⽤完全平⽅式分解，根据同⾓三⾓函数关系和⼆倍⾓公式逆⽤，得到要求结果，等式的证明有⼏种表达形式，从左边推到右边是最基本的推导过程．解答：证：左边=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α+2sinαcosα．=sin2α+cos2α=1．∴左边=右边．点评：证明三⾓恒等式的⽅法：（1）遵循化繁为简的原则，可以从“左边右边”，或从“右边左边”．（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同⼀个式⼦．（3）依据等价转化思想，证明与原式等价的另⼀个式⼦成⽴，从⽽推出原式成⽴．12．（10分）（1977?福建）解⽅程．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；转化思想．分析：⽅程中含有根式，⼀般平⽅去根号，故移向平⽅转化为整式⽅程求解即可，注意等价转化．解答：解：移项得．两边同时平⽅，得x2﹣16x+48=0，x=12，x=4（增根）．∴原⽅程的根为x=12．点评：本题考查含有根式的⽅程的解法，属基本运算的考查，在求解中注意是否为等价转化．13．（10分）（1977?福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．考点：⼀元⼆次不等式的解法．专题：计算题．分析：直接按照⼀元⼆次不等式的解法解得即可．解答：解：根据题意，原不等式可化为（x﹣3）（x+2）＜0解得﹣2＜x＜3．点评：本题考查⼀元⼆次不等式的解法，是基础题．14．（10分）（1977?福建）把分母有理化．考点：⽅根与根式及根式的化简运算．分析：计算时，将根式⾥⾯的被开⽅数分母有理化，即可化简．解答：解：原式=．点评：化简时，注意到的有理化因式为15．（10分）（1977?福建）某中学⾰命师⽣⾃⼰动⼿油漆⼀个直径为1.2⽶的地球仪，如果每平⽅⽶⾯积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）考点：球的体积和表⾯积．专题：计算题．分析：本题可以直接利⽤题⽬的条件求解．解答：解：设地球仪的表⾯积为S，则所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．点评：本题考查学⽣对公式的使⽤，是基础题．16．（10分）（1977?福建）某农机⼚开展“⼯业学⼤庆”运动，在⼗⽉份⽣产拖拉机1000台．这样，⼀⽉⾄⼗⽉的产量恰好完成全年⽣产任务．⼯⼈同志为了加速农业机械化，计划在年底前再⽣产2310台．正好⽐原计划增产21%．①求⼗⼀⽉、⼗⼆⽉份每⽉增长率；②原计划年产拖拉机多少台？考点：⼀元⼆次不等式的应⽤．专题：应⽤题．分析：（1）要求⼗⼀⽉、⼗⼆⽉份每⽉增长率，我们可以使⽤待定系数法，即设出增长率为x，然后根据计划在年底前再⽣产2310台，我们可以构造⼀个关于x的⽅程，解⽅程即可求出x的值．（2）由增长率和增产量，我们可以根据：原计划⽣产量×增长率=增长量，求出原计划年产拖拉机的台数．解答：解：①设⼗⼀、⼗⼆⽉份平均每⽉增长率为x，则根据题意可得：1000（1+x）+1000（1+x）2=2310，100x2+300x﹣31=0，x=0.1，x=﹣3.1（舍去）故⼗⼀⽉，⼗⼆⽉份平均每⽉增长率为10%；②设原计划年⽣产拖拉机y台，则y=2310÷21%=11000（台）．点评：这是⼀道⽅程的应⽤题，⽅程应⽤题⼀般需要如下步骤：①分析题意，从题⽬中分析已知量与量之间的关系，找出等量关系；②设出合适的未知数，建⽴⽅程③解⽅程求出未知数的值④将值所代表的实际意义，将未知数的值还原到实际问题中．17．（10分）（1977?福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第⼀象限的交点处的切线⽅程．考点：抛物线的应⽤；圆的切线⽅程．专题：计算题．分析：把圆的⽅程与抛物线⽅程联⽴求得交点的横坐标代⼊抛物线⽅程求得交点的横坐标，进⽽根据交点分别求得过此点的抛物线和圆的切线⽅程．解答：解：解⽅程组（1）代⼊（2）得x2+9x﹣36=0，x=3，x=﹣12（不合题意）将x=3代⼊（1），得（仅取正值），∴在第⼀象限的交点为（）从抛物线y2=9x得∴过点（）的抛物线的切线⽅程是过点（）的圆的切线⽅程是，即．点评：本题主要考查抛物线的应⽤和抛物线与圆的关系．要求学⽣对抛物线和圆的性质等基础知识要牢固掌握．18．（10分）（1977?福建）某⼤队在农⽥基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们⼟法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可⽤最简根式表⽰）．考点：解三⾓形的实际应⽤．专题：计算题．分析：连CB，AP根据∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC为等边三⾓形．进⽽可求得∠BCP，∠CBP 和∠BPC，再通过正弦定理进⽽可求得CP，再在△APC中⽤余弦定理求得AP．解答：解：连CB，AP．∵∠CAB=60°，AC=AB=50m，∴△ABC为等边三⾓形．于是，∠BCP=135°﹣60°=75°，∠CBP=120°﹣60°，∠BPC=180°﹣（75°+60°）=45°由正弦定理，得由余弦定理，可得AP2=AC2+CP2﹣2?AC?CP?cos135°==（m）故A、P两点间的距离是⽶．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应⽤．属基础题．。

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=309．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．=3==北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．=+++1=lg．的式子转化成条件中的式子：lg=lglg=lg4．（10分）证明：．==6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，=（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．=3==8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．代入②得=1=111．求函数f（x）=的导数．．（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．ε=ε==上海市高考数学试卷（文科）一、解答题（共8小题，满分100分）1．（12分）（1）计算．（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．2．（12分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（12分）（1）化简；（2）解不等式；（3）解方程．4．（12分）（1）计算；（2）求证：；（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．5．（12分）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．6．（12分）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．7．（14分）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．8．（14分）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？1977年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，满分100分）1．（12分）（1）计算．（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．+﹣+）×lg的值．+﹣+）×=．于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（12分）（1）化简；（2）解不等式；（3）解方程．=4．（12分）（1）计算；（2）求证：；=5．（12分）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．=黑龙江省高考数学试卷一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）解方程．2．（6分）解不等式|x|＜5．3．（6分）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）．5．（6分）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）．7．（8分）解方程．8．（8分）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．1977年黑龙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）4．（6分）．=m=a=6．（6分）．再利用反正弦求出那个角的正弦值为=sin==7．（8分）解方程．8．（8分）求数列2，4，8，16，…前十项的和．R=的斜率为本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积12．（8分）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？==上海市高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．2．（10分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC 于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（10分）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．4．（10分）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．5．（10分）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．6．（10分）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．7．（10分）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？8．（10分）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．9．（10分）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．1977年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．======2．（10分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC 于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（10分）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．AC=1+1+•2= 4．（10分）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；cm==2，=5．（10分）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．的斜率的乘积为，积最大？，BE======8．（10分）当k为何值时，方程组有两组相同的解，9．（10分）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．====•OA•OB•sinθ===T=两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．．=江苏省普通高等学校招生考试数学试题及答案江苏省1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+ 解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和（3）解方程.125522=+xx解：原方程即,55322=+xx223,3, 1.x x x x ∴+==-=均为原方程的解.（4）计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程解：原方程可展开为,99622=++-y x x22260,6cos 0,06cos 6cos x x y ρρθρρθρθ-+=-⋅=∴===或即（6）计算.321lim 2n nn ++++∞→解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n nn n n n （7）分解因式.4832224-+--y y y x x解：原式=2222)22()(---y y x 2222(22)(22)(2)(32).x y y x y y x y x y =-+---+=+--+ 3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x x y x y 解得由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.又解得,044),1(422=-+-=y y y y y 1+y 2=-4,y 1y 2=-4. 由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-=但,324364)()(21221221=-=-+=-x x x x x x83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900， ∴∠ACD=∠B又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线 ∴CE=EB∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD ，∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450，△EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C 点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D 点已知AmC=40厘米，BnD=20ACB 的长度厘米甲球速度为甲v v .4040xv v v x v ==乙甲乙甲或第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或由此可得,280)20(440x x x -+=.0)80)(40(=--x x由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,x=80（厘米）（厘米） 5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有()()180,318060.d d ααααα-+++=︒=︒∴=︒（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa,,（此处q 为公比，且0>q ）由余弦定理可得2222222111(()2cos 60,12,20,2a aa aq q q q qq q=+-⋅⋅︒=+-⋅-+= CA D E BA 甲乙 DB),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为6006．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ，设PQ=l ，MN=m ，令PK=x ，则KQ=x l - ∴△EMK ∽△FNK ， ∴.NK MKNF ME = 又∵△MKP ∽△NKQ ， ∴.KQ KP NK MK =于是得到,KQKP NF ME = .)(xx l a KP KQ ME NF -=⋅=从而△EMK 与△FNK 的面积之和为2222211()()22()()222221),a l x a l x a x lx l l A x a l x x a x l x x x xa l ⎡⎤---+=⋅⋅+⋅-⋅=+=⋅=⋅-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22,02时也即时当l x xl x ==-∴A 有最小值.)12(al - l x 22=表示点K 到直线AB 的距离为22倍的PQ ，从而点K 到M 的距离也为MN 的22倍，即KM=22MN.附加题 1求极限).1(limx x x n -+∞→解：原式=xx x x x x x n ++++-+∞→1)1)(1(lim.211111lim1lim=++=++=∞→∞→xxx x n n 2．求不定积分.)1(2⎰+x e dx解：令,1t e x=+则,)1(dx t dx e dt x-== .1-=t dt dx P M E A BK C DF N Q2222111111()()ln(1)ln (1)(1)(1)111ln ln(1)ln(1).11x x x xx xdx dt dt dt t t C e t t t t t t t t te e C x e C e e ∴==-=--=--+++---=-+++=-+++++⎰⎰⎰⎰河北省普通高等学校招生考试数学试题及答案1．解答下列各题：（1）叙述函数的定义答：略（2）求函数xy 3211--=的定义域解：由.32032<>-x x 解得（3）计算.)827(])5.0(1[312-÷--解：原式=2（4）计算.2log 4 解：原式2（5）分解因式x 2y-2y 3. 解：原式=).2)(2(y x y x y -+（6）计算).43(625cos 34sinπ-⋅π⋅πtg 解：原式=.4346cos )3sin (-=π⋅π⋅π-tg2．证明：从圆O 外一点P 向这个圆所引的两条切线PA 、PB 所成的角APB 被PO 平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）解：已知：圆O 及圆O 外一点P ，PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 是切点（如图），求证：∠OPA=∠OPB 证明：联结OA 、OB∴∠OAP=∠OBP=900 在直角△OPA 与直角△OPB 中，∵OA=OB ，OP=OP ，∴△OPA ≌△OPB ，∠OPA=∠OPB3．证明：.21212sin 2cos 112sin +α=α+α++αtg证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边4．已知),6lg(2lg lg 2+=+x x 求x 解：由原方程可得)(23,2,062),6lg(2lg 22增根-==∴=--+=x x x x x x 故原方程的解为x=2.5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD 和DC 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？解：如图，设BC 长为x ，苗圃面积为S.AB过D 作DE ⊥AB 交AB 于E. 由已知条件可得AB=30-x ， ∠DAB=450， AE=DE=BC=x ， CD=BE=AB-AE=30-2x ，.150)10(23)360(21)(212+--=-=⋅+=∴x x x BC AB CD S 由此可知，当x=10时，S 取最大值所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米26．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x ，则下底面边长A 1B 1=2x ，设表面积为S因正四棱台的体积)(56.1)(156)2410(4)410(2144)(214).(4),(10,2,4],25)2()5[(431208).(31222111211112222121平方米平方分米由此可得分米分米==-+⋅+⋅⋅+=⋅+⋅⋅+===∴=∴=∴⋅++⋅⋅=∴++=FF B A AB B A S B A AB x x x x x x s s s s h VD C AE BC BD D 1 A 1 FE 1F 1故共需铁皮1.56平方米7．已知：如图，MN 为圆的直径，P 、C 为圆上两点，连PM 、PN ，过C 作MN 的垂线与MN 、MP 和NP 的延长线依次相交于A 、B 、D ，求证：AC 2=AB ·AD证：在△ABM 与△AND 中， ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND ， ∴△ABM ∽△AND ， AB:AN=AM:AD, AN ·AM=AB ·AD ……①又∵在直角△MCN 中，AC ⊥MN ， ∴AC 2=AM ·AN ………② 由①，②得AC 2=AB ·AD8．下列两题选做一题（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y 2=4x 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长解：设所求之椭圆方程为12222=+b y a x ∵2b=2,∴b=1.由抛物线方程y 2=4x 可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而,2,2222==+=a c b aDN故所求之椭圆方程为1222=+y x ，长轴的长为（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X 轴，建立直角坐标系设欲求之椭圆方程为2222=+b y a x 由图及已知条件可得 b=BO=BC ·sin300=2a =BC=4.故所求之椭圆方程为.141622=+y x 参考题1．将函数x e x f =)(展开为x 的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718为自然对数的底）)2,1(|||)(|,.1)0()0()0()0(.)()()(,)(: =≤=≤≤-==''='=∴==''='∴=n e e x f r x r f f f f e x f x f x f e x f r x n n x n x 有上函数在区间解所以函数x e 可以在区间[-r ，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数x e 在区间),(+∞-∞上可展成幂级数，特别的它的马克劳林X级数是++++++=!!3!2132n x x x x e nx2．利用定积分计算椭圆)0(12222>>=+b a by a x 所围成的面积解：因为椭圆12222=+by a x 关于x 轴和y 轴都是对称的，所以所求之面积为.22]2cos 2[222cos 14)(cos 4cos cos 4cos ,cos sin )20.(sin .44202020220222220220ab ab d ab d ab d ab d a a a b s d a dx a a a x a a x dx x a b a ydx s a aπ=π⋅=θθ+π=θθ+=θθ=θθ⋅⋅θ⋅⋅=∴θθ=θ=θ-=-π≤θ≤θ=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ则令福建省高考数学试卷（理科）一、解答题（共21小题，满分120分） 1．（6分）计算．2．（6分）的值是正的还是负的？为什么？ 3．（6分）求函数的定义域．4．（6分）如图，在梯形ABCD 中，DM=MP=PA ，MN ∥PQ ∥AB ，DC=2cm ，AB=3.5cm 求MN 和PQ 的长． 5．（6分）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x ． 6．（6分）求的极限．7．（6分）解方程．8．（6分）．9．（6分）求函数y=2﹣5x﹣3x2的极值．10．（6分）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）11．（6分）解不等式．12．（6分）证明：13．（6分）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）14．（6分）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；②原计划年产拖拉机多少台？15．（6分）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连接各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和S n；（2）所有这些正六边形的周长之和S．16．（6分）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．17．（8分）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．18．（8分）已知双曲线=1（α为锐角）和圆（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4，4），求α，m，r的值．19．（8分）（1977•福建）设数列1，2，4，…前n项和是S n=a+bn+cn2+dn3，求这数列的通项a n的公式，并确定a，b，c，d的值．20．（1977•福建）求函数的导数．21．（1977•福建）求定积分∫10（x+x2e2）dx．1977年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共21小题，满分120分）1．（6分）计算．+1031×3×）2．（6分）的值是正的还是负的？为什么？3．（6分）求函数的定义域．4．（6分）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm，AB=3.5cm求MN和PQ的长．lg6．（6分）求的极限．= 7．（6分）解方程．8．（6分）．=﹣）时，，时，11．（6分）解不等式．12．（6分）证明：====样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和S n；（2）所有这些正六边形的周长之和S．，===，，==16．（6分）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．两边平方，P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．==18．（8分）已知双曲线=1（α为锐角）和圆（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4，4），求α，m，r的值．，，，=+6mx+24m+400=0m=r=19．（8分）设数列1，2，4，…前n项和是S n=a+bn+cn2+dn3，求这数列的通项a n的公式，并确定a，b，c，d的值．d=，进而可得到=．。

1977年北京市高考数学试卷(理科)

1977年北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．2．（10分）（1977•北京）计算：．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）（1977•北京）证明：．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）（1977•北京）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（1977•北京）求函数f（x）=的导数．12．（1977•北京）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．1977年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）（1977•北京）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）（1977•北京）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。

1977年福建省高考数学试卷(文科)

1977年福建省高考数学试卷（文科）一、解答题（共18小题，满分150分）1．（6分）（1977•福建）计算．2．（6分）（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．3．（6分）（1977•福建）化简．4．（6分）（1977•福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．5．（6分）（1977•福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．6．（6分）（1977•福建）求\lim_{x→1}．7．（6分）（1977•福建）求函数y=x2+2x﹣4的最小值．8．（8分）（1977•福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．9．（10分）（1977•福建）写出等比数列的通项公式．10．（10分）求函数的定义域．11．（10分）（1977•福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．12．（10分）（1977•福建）解方程．13．（10分）（1977•福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．14．（10分）（1977•福建）把分母有理化．15．（10分）（1977•福建）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）16．（10分）（1977•福建）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；②原计划年产拖拉机多少台？17．（10分）（1977•福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第一象限的交点处的切线方程．18．（10分）（1977•福建）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．1977年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共18小题，满分150分）1．（6分）（1977•福建）计算．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先依据有理指数幂的运算性质化简小括号里的结果，再计算中括号里的结果，从而得到最后的结果．解答：解：原式=5﹣3×[+1031×0]÷1=5﹣3×=5﹣3×（﹣）=7．点评：本题考查有理指数幂的运算性质．2．（6分）（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．考点：运用诱导公式化简求值．专题：综合题．分析：根据余弦函数为偶函数化简后，把840°变为2×360°+120°，然后利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简可得值．解答：解：cos（﹣840°）=cos840°=cos（2×360°+120°）=．点评：此题考查学生掌握余弦函数的奇偶性，灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，学生做题时注意角度的变换．3．（6分）（1977•福建）化简．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：本题是求算术平方根，开根号时要考虑2x﹣3大于0，还是小于0．解答：解：根据算术根的定义，当时，．当时，．点评：本题考查公式：当n为奇数时，；当n为偶数时，4．（6分）（1977•福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：由MN∥BC，因此可以用平行线分线段成比例定理建立已知量与未知量之间的关系式，解方程进行求解．解答：解：设AM为x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC，x=1（cm）．点评：如果题目的已知有平行关系，平行线分线段成比例定理建立已知量与未知量之间的关系是首选，也可利用平行得到相关三角形相似，再利用相似三角形的性质建立知量与未知量之间的关系．5．（6分）（1977•福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．考点：对数函数的定义；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意知lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4，再由对数的运算性质和定义求出x．解答：解：由题意得，lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4∴lg=4，∴=10000∴x=0.0003．点评：本题考查了对数的运算性质和定义，注意观察两个对数值特点，运用了转化思想合为一个对数6．（6分）（1977•福建）求\lim_{x→1}．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：先把分母因式分解，然后消除零因子，把原式化简为，由此能求出的值．解答：解：=．点评：本题考查函数的极限和运算，解题的关键是消除零因子．7．（6分）（1977•福建）求函数y=x2+2x﹣4的最小值．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：对于二次函数的最值问题，采用配方法解决．解答：解：∵y=x2+2x﹣4=（x+1）2﹣5∵（x+1）2﹣5≥﹣5，∴y的最小值为﹣5．点评：本题考查函数的最域，通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的最值方法．这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式．8．（8分）（1977•福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：根据角的范围及正弦值，利用平方关系求出角的余弦值，正弦值与余弦值之比即为要求的正切值．解答：解：∵，∴，∴．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，关键是利用平方关系时依据角的范围选取符号．9．（10分）（1977•福建）写出等比数列的通项公式．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：先根据题意可知数列的首项和公比，进而根据等比数列的通项公式可得答案．解答：解：设等比数列为{a n}，依题意可知a1=﹣，q=﹣=﹣∴．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．10．（10分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．11．（10分）（1977•福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：利用完全平方式分解，根据同角三角函数关系和二倍角公式逆用，得到要求结果，等式的证明有几种表达形式，从左边推到右边是最基本的推导过程．解答：证：左边=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α+2sinαcosα．=sin2α+cos2α=1．∴左边=右边．点评：证明三角恒等式的方法：（1）遵循化繁为简的原则，可以从“左边右边”，或从“右边左边”．（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．（3）依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．12．（10分）（1977•福建）解方程．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；转化思想．分析：方程中含有根式，一般平方去根号，故移向平方转化为整式方程求解即可，注意等价转化．解答：解：移项得．两边同时平方，得x2﹣16x+48=0，x=12，x=4（增根）．∴原方程的根为x=12．点评：本题考查含有根式的方程的解法，属基本运算的考查，在求解中注意是否为等价转化．13．（10分）（1977•福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：直接按照一元二次不等式的解法解得即可．解答：解：根据题意，原不等式可化为（x﹣3）（x+2）＜0解得﹣2＜x＜3．点评：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．14．（10分）（1977•福建）把分母有理化．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：计算时，将根式里面的被开方数分母有理化，即可化简．解答：解：原式=．点评：化简时，注意到的有理化因式为15．（10分）（1977•福建）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：本题可以直接利用题目的条件求解．解答：解：设地球仪的表面积为S，则所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．点评：本题考查学生对公式的使用，是基础题．16．（10分）（1977•福建）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；②原计划年产拖拉机多少台？考点：一元二次不等式的应用．专题：应用题．分析：（1）要求十一月、十二月份每月增长率，我们可以使用待定系数法，即设出增长率为x，然后根据计划在年底前再生产2310台，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可求出x的值．（2）由增长率和增产量，我们可以根据：原计划生产量×增长率=增长量，求出原计划年产拖拉机的台数．解答：解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x，则根据题意可得：1000（1+x）+1000（1+x）2=2310，100x2+300x﹣31=0，x=0.1，x=﹣3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增长率为10%；②设原计划年生产拖拉机y台，则y=2310÷21%=11000（台）．点评：这是一道方程的应用题，方程应用题一般需要如下步骤：①分析题意，从题目中分析已知量与量之间的关系，找出等量关系；②设出合适的未知数，建立方程③解方程求出未知数的值④将值所代表的实际意义，将未知数的值还原到实际问题中．17．（10分）（1977•福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第一象限的交点处的切线方程．考点：抛物线的应用；圆的切线方程．专题：计算题．分析：把圆的方程与抛物线方程联立求得交点的横坐标代入抛物线方程求得交点的横坐标，进而根据交点分别求得过此点的抛物线和圆的切线方程．解答：解：解方程组（1）代入（2）得x2+9x﹣36=0，x=3，x=﹣12（不合题意）将x=3代入（1），得（仅取正值），∴在第一象限的交点为（）从抛物线y2=9x得∴过点（）的抛物线的切线方程是过点（）的圆的切线方程是，即．点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线与圆的关系．要求学生对抛物线和圆的性质等基础知识要牢固掌握．18．（10分）（1977•福建）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：连CB，AP根据∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC为等边三角形．进而可求得∠BCP，∠CBP 和∠BPC，再通过正弦定理进而可求得CP，再在△APC中用余弦定理求得AP．解答：解：连CB，AP．∵∠CAB=60°，AC=AB=50m，∴△ABC为等边三角形．于是，∠BCP=135°﹣60°=75°，∠CBP=120°﹣60°，∠BPC=180°﹣（75°+60°）=45°由正弦定理，得由余弦定理，可得AP2=AC2+CP2﹣2•AC•CP•cos135°==（m）故A、P两点间的距离是米．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应用．属基础题．。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1997年全国高考数学试题

一九九七年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合M=}20|{<≤x x ，集合N=}032|{2<--x x x ，集合=⋂N M （ B ）（A ）}10|{<≤x x （B ）}20|{<≤x x （C ）}10|{≤≤x x （D ）}20|{≤≤x x（2）如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数=a （ B ）（A ）-3 (B)-6 (C)23- (D)32（3）函数)3121(π-=x tg y 在一个周期内的图象是（ A ）（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是（A ）33arccos（B ）31arccos （C ）2π （D ）32π （ C ）（5）函数x x y 2cos )23sin(+-π=的最小正周期是（ B ）(A) (B) (C) (D)x x（A ）2π （B ）π （C ）π2 （D ）π4（6）满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是（ D ）（A ）[-1，21-]（B ）[21-，0]（C ）[0，21]（D ）[21，1] （7）将x y 2=的图象（ D ）（A ）先向左平行移动1个单位（B ）先向右平行移动1个单位（C ）先向上平行移动1个单位（D ）先向下平行移动1个单位再作关于直线x y =对称的图象，可得到函数)1(log 2+=x y 的图象（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ C ）（A ）π220 （B ）π225 （C ）π50 （D ）π200（9）曲线的参数方程是)0,(.1,112≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是（A ）1)1()1(2=--y x （B ）2)1()2(x x x y --=（ B ）（C ）1)1(12--=x y （D ）112+-=x x y （10）函数2cos 3cos 2+-=x x y 的最小值为（ B ）（A ）2 （B ）0 （C ）41- （D ）6（11）椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆C 的方程是（ A ）（A ）19)3(4)2(22=+++y x （B ）14)3(9)2(22=-+-y x （C ）14)3(9)2(22=+++y x （D ）19)3(4)2(22=-+-y x（12）圆台上、下底面积分别为ππ4,，侧面积为π6，这个圆台的体积是（ D ）（A ）332π （B ）π32 （C ）637π （D ）337π（13）定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数;偶函数)(x g 在区间),0[+∞的图象与)(x f 的图象重合。

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。

1977年黑龙江省高考数学试卷

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——培根1977年黑龙江省高考数学试卷一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）（1977•黑龙江）．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）（1977•黑龙江）．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P 在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．1977年黑龙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．解答：解：原方程同解于解得x=4故x=4是原方程的根．点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．解答：解：∵|x|＜5．∴﹣5＜x＜5．点评：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．考点：圆周角定理.专题：计算题．分析：利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可．解答：解：设正三角形的边长为a，则．它的边长为18cm．点评：本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．属于基础题．4．（6分）（1977•黑龙江）．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用求值公式求得．解答：解：当m≥a时，=m﹣a．当m＜a时，=a﹣m．点评：从形式上观察，确定问题的转化．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．考点：两角和与差的正弦函数．分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°=sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．6．（6分）（1977•黑龙江）．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：先求出的值，为再利用反正弦求出那个角的正弦值为，可知此角为解答：解：由已知=因为sin=所以．答：=点评：本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三角函数值等于这个值．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．解答：解：方程即：3x+1﹣3x=18，3x（3﹣1）=18，3x=9=32，∴x=2．点评：本题考查有理指数幂的化简求值．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题设可知，．解答：解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，∴．点评：本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列的首项a1=2公比q=2．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．解答：解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=，圆锥母线，∴侧面积．点评：本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，再将已知点代入即可求解．解答：解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，所以所求直线的斜率为．所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE（如图），利用同弧所对的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．解答：证明：连接BE（如图）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴．∴AB•AC=AD•AE．点评：本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：计算题；应用题．分析：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．解答：解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．解答：解：∵lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）=xlg2=lg2x，∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16∴x=8．点评：解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等的对数式，②然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．③解方程④代入验证，排除增根．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．考点：数列的应用；等差数列的性质．分析：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有，解这个方程组后能够求出此三角形的三边长．解答：解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有由（1）得a=12（cm）．代入（2）得，36﹣d2=27，d2=9d=±3故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．解答：解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在内，sin∠P是单调上升的，所以时，∠P最大．点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π上的积分即可．解答：解：设旋转体的体积为V，则==．故旋转体的体积为：．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．。

1977年江苏省高考数学试卷

1977年省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分100分）1．（6分）（1977•）计算：．2．（6分）（1977•）求函数的定义域．3．（8分）（1977•）解方程：4．（8分）（1977•）计算：．5．（8分）（1977•）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．6．（8分）（1977•）计算7．（8分）（1977•）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．8．（8分）（1977•）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．9．（8分）（1977•）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．10．（8分）（1977•）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．11．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，求证必有一角为60°．12．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三角都是60°．13．（8分）（1977•）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？14．（1977•）求极限15．（1977•）求不定积分．1977年省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分100分）1．（6分）（1977•）计算：．考点：有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案．解答：解：原式==+100﹣1+=99．故答案为：99点评：本题考查指数幂的简单化简，难度不大，学生只要掌握运算公式，做题细心一点就行了2．（6分）（1977•）求函数的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据题意，写出三个部分的定义域，再求交集可得答案．解答：解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．点评：本题考查函数定义域的求法，是基本的题目，要牢记各种函数的定义域．3．（8分）（1977•）解方程：考点：有理数指数幂的运算性质．分析：根据125=53=，令指数相等即可．解答：解：原方程即，∴x2+2x=3∴x=﹣3或x=1．故原方程的解为：x=﹣3或x=1．点评：本题主要考查解指数函数型方程的问题．4．（8分）（1977•）计算：．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用根式分数指数幂化简，然后利用对数性质求解即可．5．（8分）（1977•）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．6．（8分）（1977•）计算7．（8分）（1977•）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．8．（8分）（1977•）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．9．（8分）（1977•）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．10．（8分）（1977•）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．11．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，求证必有一角为60°．12．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三角都是60°．13．（8分）（1977•）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？14．（1977•）求极限15．（1977•）求不定积分．。

1977年普通高等学校招生考试(上海卷)文科数学

1977年普通高等学校招生考试（上海卷）
文科数学
1.（1）计算：[(12−13)(−32)−(−1+13)×(−34)]÷32
（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？
2.在ΔABC 中，∠C 的平分线交AB 于D ，过D 作BC 的平分线交AC 于E ，已知BC =a,AC =b ，求DE 的长
3.（1）化简：(a a+b −
a 2a 2+2ab+
b 2)÷(a a+b −a 2a 2−b 2) （2）解不等式：2x−13
>3x−12−4 （3）解方程4x+3−1x−3=1−2x x 2−9
4.（1）计算：sin 2250+tan 3300cos (−1200)
（2）求证：tan x +cot x =2
sin 2x
（3）ΔABC 中，∠A =450，∠B =750,AB =12,求BC 的长
5.六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm 3）
6.求直线x +√3y +3√3=0的斜率和倾斜角，并画出它的图形
7.当x 为何值时，函数y =x 2−8x +5的值最小，并求出这个最小值
8.将浓度为96%和36%的甲乙两种硫酸配制成浓度为70%的硫酸600升，问应从甲乙两种硫酸中各取多少升？。

数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年黑龙江省高考数学试卷

一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）（1977•黑龙江）．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）（1977•黑龙江）．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P 在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．解答：解：原方程同解于解得x=4故x=4是原方程的根．点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．解答：解：∵|x|＜5．∴﹣5＜x＜5．点评：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．考点：圆周角定理.专题：计算题．分析：利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可．解答：解：设正三角形的边长为a，则．它的边长为18cm．点评：本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．属于基础题．4．（6分）（1977•黑龙江）．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用求值公式求得．解答：解：当m≥a时，=m﹣a．当m＜a时，=a﹣m．点评：从形式上观察，确定问题的转化．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．考点：两角和与差的正弦函数．分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°=sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．6．（6分）（1977•黑龙江）．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：先求出的值，为再利用反正弦求出那个角的正弦值为，可知此角为解答：解：由已知=因为sin=所以．答：=点评：本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三角函数值等于这个值．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．解答：解：方程即：3x+1﹣3x=18，3x（3﹣1）=18，3x=9=32，∴x=2．点评：本题考查有理指数幂的化简求值．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题设可知，．解答：解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，∴．点评：本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列的首项a1=2公比q=2．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．解答：解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=，圆锥母线，∴侧面积．点评：本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，再将已知点代入即可求解．解答：解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，所以所求直线的斜率为．所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE（如图），利用同弧所对的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．解答：证明：连接BE（如图）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴．∴AB•AC=AD•AE．点评：本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：计算题；应用题．分析：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．解答：解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．解答：解：∵lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）=xlg2=lg2x，∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16∴x=8．点评：解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等的对数式，②然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．③解方程④代入验证，排除增根．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．考点：数列的应用；等差数列的性质．分析：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有，解这个方程组后能够求出此三角形的三边长．解答：解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有由（1）得a=12（cm）．代入（2）得，36﹣d2=27，d2=9d=±3故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．解答：解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在内，sin∠P是单调上升的，所以时，∠P最大．点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π上的积分即可．解答：解：设旋转体的体积为V，则==．故旋转体的体积为：．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．。