材料学 胡克定律
材料力学胡克定律
材料力学胡克定律材料力学是研究物质内部力学性质和变形规律的学科，而胡克定律则是材料力学中一个非常重要的定律。
胡克定律是描述弹性体在小应力作用下的线弹性规律，也是最基本的材料力学定律之一。
胡克定律最初由英国物理学家胡克在17世纪提出，他发现了弹簧的伸长量与受力的关系，并得出了胡克定律的基本表达式，F=kx，其中F为弹簧所受的力，x 为弹簧的伸长量，k为弹簧的弹性系数。
这个简单的表达式揭示了弹簧的线弹性特性，即受力与伸长量成正比的关系。
在材料力学中，胡克定律的应用不仅局限于弹簧，还可以用来描述材料的弹性行为。
对于线弹性材料来说，胡克定律可以表达为应力与应变成正比的关系，即应力=弹性模量×应变。
这个公式描述了材料在小应力作用下的弹性变形规律，是材料力学中最基础的定律之一。
胡克定律的适用范围是有限的，它只适用于线弹性材料，在小应力和小应变的条件下成立。
对于非线性材料或者大应力、大应变条件下的材料行为，胡克定律就不再适用。
此时，材料的力学性质将变得更加复杂，需要借助其他理论或者试验数据来描述材料的行为。
胡克定律在工程实践中有着广泛的应用，可以用来计算材料在受力下的变形情况，预测材料的性能和寿命，设计工程结构和材料选择等方面。
在材料科学和工程领域，胡克定律是一个非常基础但又非常重要的定律，深刻影响着材料的研究和应用。
总之，胡克定律是材料力学中的基础定律之一，它描述了线弹性材料在小应力作用下的弹性行为规律。
这个简单而又重要的定律，对于理解材料的力学性质、预测材料的行为、设计工程结构和材料选择等方面都具有重要意义。
然而，需要注意的是，胡克定律只适用于线弹性材料，在特定条件下成立，对于非线性材料或者大应力、大应变条件下的材料行为，需要借助其他理论或者试验数据来描述。
因此，在工程实践中，我们需要根据具体情况综合运用不同的材料力学理论，来更准确地描述和预测材料的力学行为。
力学基本定律之一胡克定律
力学基本定律之一胡克定律胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
胡克定律的表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
胡克定律Hook's law材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提出而得名。
胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
λ、G、E和v之间存在下列联系：式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。
弹性力学中的胡克定律
弹性力学中的胡克定律弹性力学是力学中的一个重要分支，研究材料在受力时的变形和恢复过程。
胡克定律（Hooke's law）是弹性力学的基本定律之一，被广泛应用于力学、工程、材料科学等领域。
本文将重点探讨弹性力学中的胡克定律，并讨论其应用和局限性。
一、胡克定律的基本原理胡克定律是由英国科学家罗伯特·胡克在17世纪末提出的。
它表明，在弹性变形的范围内，物体受力时产生的变形与受力大小成正比。
简单来说，胡克定律可以表示为：F = kx其中，F代表受力的大小，k表示弹性系数或刚度，x表示物体的变形。
胡克定律的基本原理可以通过实验验证。
例如，当我们用手指捏取一根弹簧，拉伸它时，可以观察到弹簧的长度发生了变化。
根据胡克定律，当我们施加的拉力越大，弹簧的伸长量也会越大，两者成正比关系。
二、胡克定律的应用胡克定律的应用非常广泛。
在工程领域中，胡克定律常用于计算弹性材料的变形和应力分布。
例如，结构工程师使用胡克定律来确定桥梁、建筑物等承重结构在受力时的变形情况，以确保其在正常使用条件下的安全性。
同时，在材料科学中，胡克定律也被用于确定弹性常数（如弹性模量、剪切模量等）的测量方法。
通过在实验条件下施加一定的力量，测量物体的变形，我们可以根据胡克定律得出与材料性质相关的弹性常数。
这对于材料研究和工程设计非常重要。
胡克定律也在其他领域有着重要的应用。
例如，生物力学研究中，胡克定律被用于分析骨骼和肌肉的弹性特性，探究人体运动机理。
此外，胡克定律还被广泛应用于弹性体力学、声学、光学等领域。
三、胡克定律的局限性虽然胡克定律具有重要的应用价值，但也存在一定的局限性。
首先，胡克定律只适用于小应变范围内。
当受力超过一定程度时，物体可能会出现非弹性变形，无法使用胡克定律进行准确预测。
其次，胡克定律对于不同材料的适用性有一定限制。
不同的材料具有不同的弹性行为，某些材料可能不符合胡克定律的假设条件。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体的材料性质和受力情况来选择合适的力学模型。
材料力学广义胡克定律
材料力学广义胡克定律引言材料力学是研究物质在外力作用下的力学行为和性能的学科。
其中，广义胡克定律是材料力学中的重要定律之一。
本文将详细介绍材料力学广义胡克定律的定义、应用以及相关的概念和公式。
胡克定律的定义胡克定律是描述弹性体材料的应力-应变关系的定律。
它的基本假设是当材料受到小应力作用时，其应变是线性的。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ=E⋅ε其中，σ是材料的应力，单位是帕斯卡（Pa）；E是材料的弹性模量，单位是帕斯卡（Pa）；ε是材料的应变，无单位。
广义胡克定律的引入广义胡克定律是对胡克定律的扩展和推广，它考虑了材料在大应力下的非线性行为。
在实际应用中，材料通常会遭受较大的应力，此时线性胡克定律不再适用。
为了描述材料在大应力下的力学行为，引入了广义胡克定律。
广义胡克定律的表达式广义胡克定律可以表示为：σ=E⋅ε+K⋅εn其中，σ是材料的应力，单位是帕斯卡（Pa）；E是材料的弹性模量，单位是帕斯卡（Pa）；ε是材料的应变，无单位；K是材料的非线性系数，单位是帕斯卡（Pa）；n是材料的非线性指数，无单位。
广义胡克定律的应用广义胡克定律可以描述材料在大应力下的非线性力学行为。
它广泛应用于工程领域中的材料设计、结构分析和强度计算等方面。
材料设计在材料设计中，广义胡克定律可以帮助工程师选择合适的材料和确定其力学性能。
通过测量材料的弹性模量和非线性系数，可以评估材料的强度和稳定性，从而选择最适合的材料。
结构分析在结构分析中，广义胡克定律可以用来计算结构在大应力下的变形和应力分布。
通过将广义胡克定律应用于结构的力学模型，可以预测结构在实际工作条件下的性能和安全性。
强度计算在强度计算中，广义胡克定律可以用来评估材料和结构的承载能力。
通过将广义胡克定律应用于强度分析，可以确定材料和结构在受到外力时的破坏点和失效机制，从而进行强度设计和优化。
广义胡克定律的实验验证广义胡克定律的有效性可以通过实验进行验证。
胡克定律定义
胡克定律定义胡克定律，也叫作虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的劲度系数k、弹簧的形变量x（伸长量或压缩量）成正比，k是自然界的恒定的常量，但与其他因素无关，只是与弹簧本身有关。
该定律是英国科学家罗伯特·胡克于1678年发现的。
胡克定律的内容在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的劲度系数k、弹簧的形变量x（伸长量或压缩量）成正比，k是自然界的恒定的常量。
表达式为：F=kx。
其中，F为弹力大小，k为劲度系数，x为弹簧形变量。
胡克定律的适用范围1. 胡克定律是静力学的初级定律，适用于形状规则、密度均匀的弹性体。
2. 胡克定律不适用于粘性物质、非弹性体、气体及非均质体。
3. 胡克定律中的形变量包括膨胀和收缩形变。
4. 在弹性限度内，弹性体的形变才满足胡克定律。
5. 弹性体的弹力与形变量成正比，这是物理学的基本规律之一。
6. 胡克定律在建筑领域、机械制造领域和材料科学领域都有广泛的应用。
7. 胡克定律不适用于具有复杂应力的弹性体，例如旋转弯曲、拉伸压缩等复杂形变的情况。
8. 在温度变化时，胡克定律也不适用。
9. 胡克定律是线弹性力学的三大基本定律之一，另外两个是能量守恒定律和动量守恒定律。
10. 在原子物理学中，胡克定律不适用，因为原子之间的作用力不受距离的变化而变化。
11. 在生物学中，细胞膜的弹性和张力与胡克定律不完全相符，因为细胞膜的弹性和张力与多种因素有关，包括膜的厚度、蛋白质的数量和分布等。
12. 在地球物理学中，地壳的弹性与胡克定律也有所不同，因为地壳的弹性受到地壳的厚度、密度和构造等因素的影响。
13. 在气象学中，大气压力的变化与胡克定律不完全相符，因为大气压力的变化受到温度、湿度和气候变化等多种因素的影响。
14. 在爆炸力学中，爆炸产生的冲击波和应力波与胡克定律也不相符，因为爆炸产生的应力波具有瞬时性和极大的冲击力。
15. 在材料科学中，材料的疲劳强度和寿命与胡克定律不完全相符，因为材料的疲劳强度和寿命受到多种因素的影响，包括材料的质量、加工工艺和使用环境等。
胡克定律是什么
胡克定律是什么
胡克定律是力学中一个重要的定律，又称为“弹性定律”。
它描述了物体在受到外力作用下，会发生多大的形变，以及对应的恢复力有多大。
胡克定律的公式为F=kx，其中F是恢复力，k称为弹性系数，x是形变量。
按照胡克定律，当物体受到外力作用时，会发生弹性形变。
这种形变是可逆的，也就是说，一旦外力停止作用，物体就会恢复到原来的形状。
恢复的力大小跟形变量成正比，而弹性系数则是一个常数，反映了物体的特性。
弹簧是一个很好地符合胡克定律的物体。
当我们把一个弹簧拉伸或压缩时，它就会变形。
变形跟拉伸或压缩的程度成正比，而恢复力也跟变形量成正比。
弹簧的弹性系数跟它的材料、截面积、长度等因素有关，可以通过实验测定。
除了弹簧以外，胡克定律还可以应用于很多其他物体。
例如，我们可以用胡克定律来描述物体在受到应力时的形变，或者竖直
弹簧系统的振动。
这些应用都基于胡克定律的基本原理：恢复力跟形变量成正比。
总之，胡克定律是一个非常基本、重要的定律，已经被广泛地应用于力学、材料科学、物理学和工程学等领域。
它不仅可以帮助我们预测物体在受到力作用时的变形与恢复，还可以用来设计和优化各种材料和结构。
因此，掌握胡克定律的基本原理和应用是非常有必要的。
胡克定律
胡克定律科技名词定义中文名称：胡克定律英文名称：Hooke's law定义：材料在弹性变形范围内，力与变形成正比的规律。
所属学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
目录定律简介历史证明编辑本段定律简介胡克定律的表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是物体的[胡克定律]胡克定律劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F 的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
编辑本段历史证明Hooke law材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提[胡克定律相关图表]胡克定律相关图表出而得名。
胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
工程力学胡克定律
工程力学胡克定律一、定律定义胡克定律是工程力学中的一个基本定律，它指出在弹性限度内，物体的形变与作用力成正比。
换句话说，材料在受到外力作用时会产生形变，形变的大小与作用力的大小成正比。
二、符号表示胡克定律通常用符号F=kx 表示，其中 F 代表作用力，x 代表形变量，k 代表弹簧常数，也称为弹性系数。
三、公式及变形胡克定律的公式为F=kx，其中k 的单位为N/m 或N-m/m，表示每单位形变量所受的作用力。
根据需要，公式可以变形为x=F/k 或F=kx。
四、适用范围胡克定律适用于弹性形变范围内，即材料在受到外力作用后能够恢复到原来的状态。
如果形变量过大，材料可能会进入塑性形变范围，此时胡克定律不再适用。
五、弹簧常数弹簧常数k 是指弹簧在单位形变量下所受的作用力，其大小取决于弹簧的材料、形状和尺寸等因素。
可以通过实验方法测定弹簧常数k 的值。
六、单位换算在应用胡克定律时，需要注意单位的换算。
常见的单位有国际单位制中的N、m、kg 等，需要根据具体情况进行换算。
七、实验装置实验装置包括一个弹簧、一个测量尺、一个测量台和一个测量支架等。
弹簧的一端固定在测量支架上，另一端连接测量尺，测量尺可以移动并指示形变量的大小。
八、实验原理实验时，先测定弹簧未受到外力作用时的自由长度L0，然后将弹簧一端固定在支架上，另一端连接测量尺。
通过逐渐增加外力 F 的大小，记录相应的形变量x 的值。
根据胡克定律公式F=kx，绘制F-x 曲线，可以得出弹簧常数k 的值。
九、实验步骤1. 准备实验装置，确保测量尺和测量支架安装牢固；2. 测量弹簧未受外力作用的自由长度L0；3. 设定初始外力F 的值，记录相应的形变量x1；4. 逐次增加外力F 的值，记录相应的形变量xi；5. 绘制F-x 曲线；6. 根据曲线求出弹簧常数k 的值。
胡克定律
E
• 简单应力状态的胡克定律和横向效应：
广义胡克定律
• 把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则 可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发 展奠定了基础。 • 对用主单元体表示的三向应力状态，有σx, σy, σz 三个主应力，可以把它们看做是三组单向应力的 组合，如图所示：
• 在纯剪切的情况下，在剪应力不超过剪切 比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系 服从剪切胡克定律，即 G 或 G
• 单向拉伸与压缩时，在线弹性范围内，应 力与应变成线性关系，满足胡克定律
E
• 此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化， 横向线应变根据材料的泊松比可得出：
• 在正应力σx单独作用时(图(b))，单元体在x方向的线应变
xx x E
• 在σy单独作用时(图(c))，单元体在x方向的线应变为 用时(图(d))，单元体在x方向的线应变为 xz E
• 在σx、σy、σz共同作用下，单元体在x方向的线应变为
• 由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对 称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应 力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材 料也只有21个是独立的。
1 z z ( x y ) E
• 对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应 力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应 变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。 在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是
xy
1 2(1 ) xy xy G E
主要内容
1. 胡克定律 2. 广义胡克定律
胡克定律
• 胡克定律（Hooke‘s law）：
在弹性极限内，弹性体的应力与应变成正比， 其关系式为σ=Εε 满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型材料。
胡克定律的概念
胡克定律的概念
胡克定律/虎克定律(hooke's law)，是力学弹性理论中的一条基本定律，内容：固体材料受力后，应力与应变(单位变形量)成线性关系，满足此定律的材料：线弹性/胡克型(hookean)从物理的角度看，胡克定律源于多数固体(或孤立分子)内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。
许多实际材料，如一根长度为l、横截面积a的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其单位伸长（或缩减）量（应变）在常系数e（称为弹性模量）下，与拉（或压）应力σ 成正比例，胡克定律仅适用于特定加载条件下的部分材料。
钢材在多数工程应用中都可视为线弹性材料，在其弹性范围内（即应力低于屈服强度时）胡克定律都适用。
另外一些材料（如铝材）则只在弹性范围内的一部分区域行为符合胡克定律。
对于这些材料需要定义一个应力线性极限，在应力低于该极限时线性描述带来的误差可以忽略不计。
还有一些材料在任何情况下都不满足胡克定律（如橡胶），这种材料称为“非胡克型”（neo-hookean）材料。
胡克定律
胡克定律科技名词定义中文名称：胡克定律英文名称：Hooke's law定义：材料在弹性变形范围内，力与变形成正比的规律。
应用学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
目录弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于英国力学家胡克无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数。
因此应力应变的一般关系表达式可以简化为上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。
胡克的弹性定律指出：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的长度x 成正比，即f= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
弹簧的串并联问题串联：劲度系数关系1/k=1/k1+1/k2并联：劲度系数关系k=k1+k2注：弹簧越串越软，越并越硬郑玄-胡克定律它是由英国力学家胡克(Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的,实际上早于他1500年前,东汉的经学家和教育家郑玄(公元127-200)为《考工记〃马人》一文的“量其力,有三钧”一句作注解中写到:“假设弓力胜三石,引之中三尺,驰其弦,以绳缓擐之,每加物一石,则张一尺。
”以正确地提示了力与形变成正比的关系,郑玄的发现要比胡克要早一千五百年.因此胡克定律应称之为“郑玄——胡克定律.”胡克定律的公式胡克定律在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的形变量(伸长或压缩值)成正比。
胡克定理
胡克定理胡克定律科技名词定义中文名称：胡克定律定义：材料在弹性变形范围内，力与变形成正比的规律。
应用学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
目录定律简介历史证明编辑本段定律简介胡克定律的表达式为F=k/x或△F=k/Δx，其中k是常数，是物体的胡克定律劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
编辑本段历史证明Hooke law 材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提胡克定律相关图表出而得名。
胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E 为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式： σ11=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε11，σ23=2Gε23，σ22=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε22，σ31=2Gε31，(1)σ33=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε33，σ12=2Gε12，及式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j=1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
材料力学三个假设
材料力学三个假设材料力学是研究材料在受力下的力学性质和变形规律的学科。
在材料力学中，有三个假设，也被称为假设前提、简化假设或理想化假设。
这三个假设对于材料力学的研究和应用都起到了重要作用。
第一假设：胡克定律胡克定律是材料力学研究中最基本的假设之一。
它认为，弹性固体在小应变范围内受力时，形变与受力成正比。
胡克定律可以用公式表示为：$$ \\sigma = E \\varepsilon $$其中，$\\sigma$ 表示应力，E表示弹性模量，$\\varepsilon$ 表示应变。
这个公式是材料力学中最基本的公式之一，常用于材料弹性模量的测定和材料的力学性质分析。
胡克定律的假设前提是弹性固体在小应变范围内受力。
在材料力学研究中，虽然许多材料并不是弹性固体，但是胡克定律的概念和公式可以为材料力学的研究提供基础和参考。
第二假设：平面假设平面假设是材料力学研究中重要的假设之一。
它认为，在材料受力状态下，材料的每个截面上的应力分布是平面的。
这个假设可以用来简化材料力学问题的求解过程。
如果一个材料的横截面简单呈现为平面，则可以应用平面应力状态分析来处理该材料的受力问题。
平面应力状态分析是强大而常用的一种力学分析方法。
平面假设的假设前提是横截面简单呈现为平面。
在真实情况下，很多材料的横截面并不能简单看做平面，因此平面假设只适用于特定条件下的材料研究和问题求解。
第三假设：线性应变假设线性应变假设是材料力学研究中的另一个重要假设。
它认为，材料的应变与受力成正比。
这个假设可以用公式表示为：$$ \\varepsilon = \\frac{\\Delta l}{l} $$其中，$\\Delta l$ 表示长度变化，l表示原长度。
线性应变假设通常适用于小应变情况，并且只适用于材料的弹性阶段。
线性应变假设的假设前提是在小应变情况下。
在大应变情况下，材料的应变与受力并非线性关系，因此线性应变假设在大应变情况下不适用。
总结材料力学中的三个假设为胡克定律、平面假设和线性应变假设。
材料力学中的胡克定律
材料力学中的胡克定律
胡克定律，也被称为弹性力学定律或胡克-杨定律，是材料力学中的基本原理之一。
该定律由英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）在17世纪提出，用于描述弹性材料在受力时的行为。
根据胡克定律，当弹性材料受到轴向拉伸或压缩力时，材料的应变（strain）与应力（stress）成正比。
应变是指材料在受力作用下发生的形变，而应力则表示单位面积上所受到的力。
胡克定律的数学表达式为：σ= Eε
其中，σ表示应力，E 表示材料的弹性模量（也称为杨氏模量），ε表示应变。
该关系可以被视为线性函数，因此胡克定律仅适用于弹性阶段，即当材料受到的应力没有超过其弹性极限时。
胡克定律的应用领域广泛。
在工程学中，它常用于设计和分析弹性结构，如梁、柱和弹簧等。
胡克定律也为材料力学的其他理论和实验提供了基础，如材料的屈服点和破坏点的确定，以及弹性模量的测量等。
需要注意的是，胡克定律仅适用于弹性材料，在弹性限度内成立。
当材料受到过大的应力时，会发生塑性变形或破坏，此时胡克定律不再适用。
此外，不同材料具有不同的弹性模量，因此在实际应用中，需要根据具体材料的特性选择相应的弹性模量值。
胡克定律：描述材料弹性和应力的关系
胡克定律：描述材料弹性和应力的关系胡克定律（Hooke's Law）是描述材料弹性和应力的关系的基本定律之一。
它是由17世纪英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）提出的，他在弹簧的研究中发现了这个定律。
胡克定律在材料科学和工程领域广泛应用，对于理解材料的弹性行为和设计结构的稳定性起着重要的作用。
胡克定律的表述是：在弹性范围内，物体的应变与其受到的应力成正比。
具体而言，胡克定律可以用以下公式表示：σ= Eε其中，σ是物体受到的应力，E是材料的弹性模量（也称为弹性系数或杨氏模量），ε是物体的应变。
根据胡克定律，当一个材料受到外力作用时，它会发生弹性变形。
这意味着，材料会在外力作用下发生应变，但当外力消失时，材料会恢复到原来的形状和大小。
这种弹性变形的大小与外力的大小成正比，而与材料的形状、大小和其它因素无关。
胡克定律适用于弹性材料，例如金属、塑料、橡胶等。
然而，不同材料的弹性行为会有所不同。
通过测量应力和应变，可以确定材料的弹性模量，从而了解材料的弹性性质。
胡克定律的应用不仅限于静态力学，也可以应用于动态力学。
在动态应力下，材料的弹性行为仍然遵循胡克定律。
然而，动态应力可能会导致材料发生塑性变形或破坏，这超出了胡克定律的适用范围。
胡克定律的一个重要应用是弹性体的设计和分析。
通过了解材料的弹性模量和应力-应变关系，可以预测材料在受力时的变形和应力分布。
这对于工程设计中的结构稳定性和安全性至关重要。
除了应用于弹性体的设计和分析，胡克定律还可以用于材料的力学测试和材料性质的研究。
通过在材料上施加不同大小的应力，并测量相应的应变，可以确定材料的弹性模量和其它弹性性质。
这对于材料科学和工程领域的研究和应用有着重要的意义。
另外，胡克定律不仅适用于线弹性材料，也可以扩展到非线性材料。
在非线性材料的情况下，应力和应变的关系可能不再是简单的比例关系，而是一个复杂的函数关系。
然而，胡克定律仍然可以用来描述材料在小应变下的弹性行为。
材料力学胡克定律公式
材料力学胡克定律公式材料力学是研究物质内部受力和变形规律的学科，是工程学科中的基础学科之一。
而胡克定律则是材料力学中的重要定律之一，它描述了弹性体在小应变范围内的应力和应变之间的线性关系。
胡克定律公式是材料力学中的基础公式之一，对于理解材料的力学性质和工程应用具有重要意义。
在材料力学中，弹性体是指在受力作用下能够发生弹性变形，而在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
而胡克定律描述了弹性体在受力作用下的应力和应变之间的关系。
根据胡克定律，应力与应变成正比，即弹性体的应力与应变呈线性关系。
这一线性关系可以用数学公式来表示，即胡克定律公式。
胡克定律公式可以用数学公式表示为：\[ \sigma = E \cdot \varepsilon \]其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa）；E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa）；ε代表应变，无单位。
在这个公式中，弹性模量E是描述材料抵抗弹性变形的能力的物理量，它是材料力学中的重要参数之一。
弹性模量E越大，表示材料的刚度越大，抵抗外力作用下的形变能力越强；而弹性模量E越小，表示材料的柔软性越大，抵抗外力作用下的形变能力越弱。
应力σ和应变ε分别表示材料在受力作用下的内部应力和相应的形变程度，它们之间的线性关系正是由胡克定律公式所描述的。
胡克定律公式的应用范围非常广泛，几乎涉及到材料力学领域的各个方面。
在工程实践中，胡克定律公式可以用来计算材料在受力作用下的应力和应变，从而评估材料的力学性能；它也可以用来设计和优化工程结构，确保结构在受力作用下不会发生过大的形变和破坏。
此外，胡克定律公式还可以应用于材料的弹性参数测试和材料性能的研究等方面。
总之，胡克定律公式作为材料力学中的基础公式，对于理解材料的力学性质和工程应用具有重要意义。
通过胡克定律公式，我们可以更好地认识材料在受力作用下的力学行为，为工程实践和科学研究提供重要的理论基础和技术支持。
希望本文对胡克定律公式的理解和应用有所帮助，同时也希望能够引起更多人对材料力学和工程应用的关注和研究。
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l
b=50mm h=100mm
解: 梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲 引起的切应力.
（拉伸） （负）
（1）A点处的主应变1， 2 ， 3
A
x = 20
x = 30
（2）A点处的线应变 x , y , z
例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN, 已知
2.三向等值应力单元体的体积应变（The volumetric strain of triaxial-equal stress element body）
三个主应力为
m
单元体的体积应变
m
m
这两个单元体的体积应变相同 单元体的三个主应变为
2
1
dy
3
dz dx
m
m
m
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应 变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向
因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为 d =10mm .
例题13 已知矩形外伸梁受力F1,F2作用. 弹性模量E=200GPa,泊
松比m= 0.3, F1=100KN,F2=100KN. 求:（1）A点处的主应变 1,2 , 3 （2）A点处的线应变 x , y , z
F1
b
F2 A
F2 z
a
例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形
可略去不计的钢凹槽中,如图所示. 已知铜的弹性模量E=100GPa,
泊松比μ=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主
应力,体积应变以及最大切应力.
解:铜块横截面上的压应力
Fa
铜块受力如图所示 变形条件为
y
E=200GPa, m= 0.3.
求：A 点沿 0° ,45°,90°方向的线应变
F
90° 45°
A
0°
h/4
0.25
0.5
0.5
解:
yA ,Iz ,d 查表得出 为图示面积对中性轴z的静矩
z A
h/4
A = 50.8
A
A = 68.8
F
90° 45°
A
1350 A
0° h/4
A = 50.8 A = 68.8
1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state )
2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state )
将广义胡克定律代入上式, 经整理得
等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这
样的单元体是形状不变的. 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应
变 x ,y ,z 有关,仿照上述推导有
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应 变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关.
单独存在时
z
y
在 x ,y ,z同时存在时, x 方向的线应变x为 同理,在 x ,y ,z同时存在时, y , z 方向的线应变为
在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为
—— 沿x,y,z轴的线应变 —— 在xy,yz,zx面上的角应变
上式称为广义胡克定律（Generalized Hooke’s law）
y
x Me
900
d
450
K
D
y
x Me
900
d
450
K
D
y
max
x
max
kK
-45°
3
1
解:从圆筒表面 K 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图
所示可求得
K点处的线应变 x , y 为
（压应变） （拉应变） 圆筒表面上K点处沿径向 （z轴）的应变和圆筒中任一点（
该点到圆筒横截面中心的距离为 ）处的径向应变为
distortion.） 应变能密度vε等于两部分之和
2
m=(1+ 2+ 3)/3
1 代之以m
m
3
(a)
m
(b)
图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发 生体积改变也发生形状改变.
图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与 原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.
图 b 所示单元体的体积改变比能密度
a单元体的比能为
a所示单元体的体积改变比能
2
1
空间应力状态下单元体的 畸变能密度
3
(a)
x
2.各向同性材料的广义胡克定律 （Generalized Hooke’s law for isotropic materials）
用叠加原理,分别计算出x, y, z 分别单独存在时, x,y,z方向 的线应变x ,y,z,然后代数相加.
x 方向的线应变 单独存在时 单独存在时
y
y z
x z
x
x
0.25
0.5
0.5
§7-7 复杂应力状态的应变能密度 (Strain-energy density in general stress-state)
一、应变能密度的定义 (Definition of Strain-energy density )
物体在单位体积内所积蓄的应变能.
二、应变能密度的计算公式 (Calculation formula for Strain-energy density)
用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体 积改变能密度（ the strain-energy density corresponding to the
volumetric） 用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为
畸变能密度（the strain-energy density corresponding to the
y
z
z
x
x
解得 铜块的主应力为 体积应变为
最大切应力
例题11 一直径 d =20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩 Me=126N·m. 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成
-45°方向的应变 =5.010-4 ,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.
Me
Me
A
x
45°
1
例题12 壁厚 d =10mm,外径 D=60mm的薄壁圆筒, 在表面上K 点
与其轴线成45°和135°角,即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 Me 的扭转力偶,如图所示,已知圆筒材料的弹性
常数为E=200GPa 和m= 0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且max = 100MPa, 试求K点处的线应变x ,y 以及变形后的筒壁厚度.
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials）
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用q表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体,三个边长为 dx , dy , dz
2
变形后的边长分别为
dx(1+,dy(1+2 ,dz(1+3
对于平面应力状态（in plane stress-state）
（假设z = 0,xz= 0,yz= 0）
y y
yx xy
x
x
z
y yx
xy x
3.主应力-主应变的关系（Principal stress-principal strain relation）
已知 1,2,3; 1,2,3为主应变
二向应力状态下(in plane stress-state)设 3 = 0
变形后单元体的体积为
a2
1
3
a1
a3
V1=dx(1+·dy(1+2 ·dz(1+3
体积应变（volumetric strain）为
1.纯剪切应力状态下的体积应变（ Volumetric strain for pure shearing stress-state）
即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.
一、各向同性材料的广义胡克定律
1.符号规定 (Sign convention)
y
（1） 正应力:拉应力为正, 压应力为负
（2） 切应力:对单元体内任一点取矩,
若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负
z
（3） 线应变:以伸长为正, 缩短为负; z
（4） 切应变:使直角减者为正, 增大 者为负.
y
yxxy x