圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

MN
|=
1
−
H e2 cos
2
θ
=
4.
b
即
= 4.
1− ( 5)2 × 1
25
解得 b = 3 ，从而 a = 6 .
x2 y2 ∴所求的椭圆方程为 − = 1 .
36 9
金指点睛
1. 已 知 斜 率 为 1 的 直 线 l 过 椭 圆 y 2 + x 2 = 1 的 上 焦 点 F 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 ， 则 4
当直线 AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α ，则其方程为 y = tan α ⋅ (x − p) ，即
tan α ⋅ x − y + p tan α = 0 ， 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴 题的第 22 题，理科和各省市一般为第 21 题或者第 20 题，几乎每一年都有考察。由于题目 的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长 公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用 这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?
d=
=
= sinα .
tan 2 α + 1
| secα |
| AB |=
H
=
2
22
22
=
=
.
1 − e2 cos2 α 1 − ( 2 )2 ⋅ cos2 α 2 − cos2 α 1 + sin 2 α
2
∴ △AOB
的面积 S
=
1× 2
|
AB
|
×d
=
2 sinα 1 + sin 2 α
.
∵0＜α ＜π ，
2
又∵AB 过椭圆 C1 的右焦点，通径 H
=
2b 2 a
= 3 ，离心率 e =
1
.
2
∴ | AB |=
H
= 12 .
| 1 − e2 cos2 α | 4 − cos2 α
8
12
∴
（3 1 −
cos 2
= α）
4
−
cos 2
α
.
解之得： cos2 α = 1 ，tanα = ± 6 . 7
∵ 抛物线
的最大面积.
6
3. 解： x2 + y 2 = 1， a =
2,b = 1, c = 1 ，左焦点 F (−1,0) ，离心率 e = c =
2
，通径
2
a2
2b 2 H = = 2.
a
当直线 l 的斜率不存在时， l ⊥ x 轴，这时| AB |= H = 2b2 = 2 ，高| OF |= c = 1， a
）2 −
− 4b2
a 2 sin 2 α − b 2 cos2 α a 2 sin 2 α − b2 cos2 α
2ab 2 =
| a 2 sin 2 α − b2 cos2 α |
2b 2 =
a | 1 − e2 cos2 α |
2b 2
=
a
| 1 − e2 cos2 α |
H
=
.
| 1 − e2 cos2 α |
1
推论：
（1）焦点在 x 轴上，当 A、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时， |
AB
|=
H 1 − e2 cos2 α
；
H
当 A、 B 不 在 双曲 线 的 一支 上 时 ， | AB |=
；当圆锥曲线是抛物线时，
e2 cos2 α −1
| AB |= H . sin 2 α
（2）焦点在 y 轴上，当 A、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，| AB |=
| OB | 成等差数列，且 BF 与 FA 同向.
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程.
例 3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为 x 2 − y 2 = 1（ a ＞0， b ＞0）. a2 b2
l2
y
l1
A
∵ | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成 等 差 数 列 ， 设 | AB |= m ， 公 差 为 d ， 则 | OA |= m − d ，M
∴ cosθ = −sinα . 而 sin 2 α =
tan 2 α
=
(1)2 2
= 1.
1 + tan 2 α 1 + (1 )2 5
2
∴ cos2 θ = 1 . 5
y
l1
A
M
O
Fx
N B
通径 H = 2b2 = 2b × b = b .
a
a
5
又设直线 AB 与双曲线的交点为 M、N.
于是有： |
y
A D
P
B F1 O
F2
x
C
∴ S ∈ ⎢⎣⎡9265，4⎥⎦⎤ . 96
故四边形 ABCD 面积的最小值为 .
25
4
例 3（08 全国Ⅰ理第 21 题文第 22 题）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 上，两条渐近线
分别为 l1 、 l2 ，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1 、 l2 于 A、B 两点. 已知| OA | 、| AB | 、
| AB | =_________.
1. 解： a = 2, b = 1, c = 3 ，离心率 e = c = 3 ，通径 H = 2b2 = 1 ，直线 l 的倾斜角
a2
a
α=π . 4
H
1
8
∴ | AB |=
=
=.
1 − e2 sin 2 α 1 − ( 3 )2 ⋅ ( 2 )2 5
22
2. 过双曲线 x2 − y 2 = 1 的左焦点 F 作倾斜角为 π 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点，则
| AC |=
H
43
=
.
1 − e2 cos2（π + α） 3 − sin 2 α
2
∴四边形 ABCD 的面积
S = 1 | BD | ⋅ | AC | 2
1 43
43
=⋅
⋅
2 3 − cos2 α 3 − sin 2 α
96
=
.
24 + sin 2 2α
∵α ∈ [0，π )，∴sin 2 2α ∈[0，1] .
+
y2 2
= 1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F1 的
直线交椭圆于 B、D 两点，过 F2 的直线交椭圆于 A、C 两点，且 AC ⊥ BD ，垂足为 P.
（1）设 P 点的坐标为（x0，y0），证明：
x0 2 3
+
y02 2
＜1.
（2）求四边形 ABCD 的面积的最小值.
y
A D
P
x2 y2 例 2.（1）证明：在 + = 1中， a =
+
y2 3
= 1，抛物线（y − m）2 = 2 px（ p ＞0），
且 C1 、 C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点.
（Ⅰ）当 AB ⊥ x 轴时，求 p，m 的值，并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上；
（Ⅱ）若
p
=
4 3
且抛物线 C2
的焦点在直线
AB
上，求
m
的值及直线
AB
的方程.
l1 的方程为
y
=
b a
x.
∴ tanα
=
b.
而 tan 2α
= tan ∠AOB = | AB |
=
4 .
a
| OA | 3
b
∴
2 tanα
=
2× a
4 =.
1 − tan 2 α 1 − ( b )2 3 a
l2
解之得： b = 1 . a2
∴ e = 1+ (b)2 = 5 . a2
（Ⅱ）设过焦点 F 的直线 AB 的倾斜角为θ , 则θ = π + α . 2
O
Fx
| OB |= m + d ，
N
B
∴ (m − d )2 + m2 = (m + d )2 . 即 m2 − 2dm + d 2 + m 2 = m2 + 2dm + d 2 .
∴ d = m . 从而| OA |= 3m ，| OB |= 5m .
4
4
4
又设直线 l1 的倾斜角为α ，则 ∠AOB = 2α .
定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，
焦点为 F，设倾斜角为α 的直线 l 经过 F，且与圆锥曲线交于 A、B 两点，记圆锥曲线的离
心率为 e，通径长为 H，则
（1）当焦点在 x 轴上时，弦 AB 的长| AB |=
H
；
| 1 − e2 cos2 α |
H
（2）当焦点在 y 轴上时，弦 AB 的长| AB |=
S2
求证： 为定值.
m
y A
4. 解：焦点为 F ( p,0) ，通径 H = 4 p .
OF
x
当直线 AB 的斜率不存在时， AB ⊥ x 轴，这时| AB |= m = 4 p ，高| OF |= pB，△AOB
7
的面积 S = 1 × | AB | × | OF |= 2 p 2 . 2