不等式5课时作业

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课时作业5：一二维形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式一、选择题1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)3．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．54．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]5．已知a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋cn ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＝Q6．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6B. 6 C ．6D ．12二、填空题7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．8．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 的最小值是________．9．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋1y ＝1，则2x ＋y 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝34－x ＋4x －3，则函数f (x )的最大值为________．三、解答题11．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.12．试求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值，并求出相应的sin x 和cos x 的值．13．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.四、探究与拓展14．若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．2 C.252 D.7215．已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．答案精析1．A 2.A3．B [根据柯西不等式知，y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．] 4．C [(3x ＋2y )2≤()(3)2＋(2)2()(3x )2＋(2y )2＝5×(3x 2＋2y 2)≤5，∴－5≤3x ＋2y ≤ 5.]5．A [∵P ＝ am ·b m ＋ nc ·d n≤ [(am )2＋(cn )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2 ＝am ＋cn ·b m ＋d n ＝Q . ∴P ≤Q .] 6．D [(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．] 7.11 解析由柯西不等式，得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122 ＝(3x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，所以2x ＋y ≤11.8．5＋2 6解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ≥⎝⎛⎭⎫x ·3x ＋y ·2y 2 ＝(3＋2)2＝5＋26，当且仅当x ·2y ＝3x·y 时，等号成立．9．3＋2 2 解析 2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝[(2x )2＋(y )2]⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1x 2＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1y 2≥⎝⎛⎭⎫2x ·1x ＋y ·1y 2 ＝3＋22，当且仅当2x ·1y ＝1x ·y 时，等号成立，又1x ＋1y ＝1，则此时⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋22，y ＝2＋1.10．5解析由柯西不等式知，(34－x ＋4x －3)2≤(32＋42)·[(4－x )2＋(x －3)2]＝25. 当且仅当3x －3＝44－x 时，等号成立，因此f (x )≤5.11．证明根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. ∴原不等式成立．12．解设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x＝m ·n ≤|m ||n |＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42＝5 2.当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，31＋sin 2x －4cos x ＝0.解得sin x ＝±75，cos x ＝325. 故当sin x ＝±75，cos x ＝325时． f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 取最大值5 2.13．证明由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.14．C [⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b2. ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12(a ＋b )2＝12. 又∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8(a ＋b )2＝8，以上两个不等式都是当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥12＋2＋2＋8＝252，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．] 15．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t＋t＝4，当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，故(－3t＋12＋t)max＝4.。

课时作业6：不等式选讲

§14.3 不等式选讲课时1绝对值不等式A组专项基础训练(时间：50分钟)1．在实数范围内，求不等式||x－2|－1|≤1的解集．2．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．3．(2015·无锡模拟)对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．4．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m 的取值范围．5．(2015·常州模拟)求不等式|x＋3|－|2x－1|<x2＋1的解集．6．(2015·盐城模拟)已知关于x的不等式|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集．B 组专项能力提升(时间：40分钟)7．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．8．(2015·泉州模拟)已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．9．(2015·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数．(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．课时2 不等式的证明A 组专项基础训练(时间：50分钟)1．已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值．2．设a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |b取得最小值时，求a 的值．3．(2015·徐州模拟)设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z .5．(2015·南京、盐城联考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c .求证：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b＋c 2a ＋b －c≥a ＋b ＋c .6.(2015·苏州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．B 组专项能力提升(时间：40分钟)7．(2015·湖南)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b. 证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．8．(2015·南阳质检)已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.9．(2015·锦州一模)(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．10．(2015·南京模拟)已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．(1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值； (2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.答案解析课时1 绝对值不等式1．解由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]． 2．解由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.3．解因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52| ≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．解由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4.5．解 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x 2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2. 6．解由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12， ∵不等式的整数解为2，∴m －12≤2≤m ＋12，解得3≤m ≤5. 再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4.本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4，解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4，解得x ∈∅，不等式解集为∅.当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4，解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．7．解 (1)方法一令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－7，或x ＞53.方法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ＜4，x ＋5， x ≥4. 画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝⎛⎭⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的方法二知：f (x )min ＝－92. 8．解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅；当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2.综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得，||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5，则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5.若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，解得－1≤a ≤9.所以a 的取值范围是[－1,9]．9．解 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4. (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min . 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4， ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集．解不等式得－2≤x ≤2，故实数x 的取值范围为[－2,2]．10．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}． (2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋1－a ， x <－a 2，a ＋1，－a 2≤x <12，4x ＋a －1， x ≥12.当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1，即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 课时2 不等式的证明1．解由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫ 132 ≥⎝⎛⎭⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1， ∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65. 2．解由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 3．解 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]· ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.4．解由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147. 5．证明因为⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c [(b ＋c －a )＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )]≥(a ＋b ＋c )2，又a ＋b ＋c >0，所以a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c≥a ＋b ＋c (当且仅当b ＋c －a a ＝c ＋a －b b ＝a ＋b －c c 时取等号)． 6．解由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 7．证明由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 8．证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，n ∈N *，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n＝n (n ＋1)2. ∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2， ∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 9．解 (1)∵|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·[(x 4)2＋(y 5)2＋(z 2)2] ≥(4×x 4＋5×y 5＋2×z 2)2 ＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴5≥|x ＋y ＋z |，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5.∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(1)解因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32(a ＋b 2)2＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6. (2)证明方法一由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.方法二因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21) ≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.。

一元二次方程、不等式：高考数学一轮复习

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典例精研
核心考点
课时分层作业
名师点评解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，
不等式的解集为R或∅)．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．
一元二次方程、不等式
能从实际情景
结合二次函数图象，
中抽象出一元
会判断一元二次方程
二次不等式.
的根的个数，以及解
一元二次不等式.
考试
要求
了解简单的分式、绝对值不等式
的解法．
第5课时
一元二次方程、不等式
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二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ＝b2－4ac
二次函数 y ＝ ax2
＝0的两个根是x1和x2．
( √ )
−
(3)
≥0等价于(x－a)(x－b)≥0．
−
( × )
(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0．
( × )
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一元二次方程、不等式
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核心考点
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二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(
1

，
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名师点评解含参数的一元二次不等式的步骤
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课时作业(四) 基本不等式

课时作业(四) 基本不等式[基础保分练]1．(2023·广州揭阳模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3 上的最小值为( ) A ．12 B ．43 C ．－1 D ．0答案：D3．(2022·黑龙江哈九中三模)已知x ，y 都是正数，且x ≠y ，则下列选项不恒成立的是( ) A ．x ＋y 2 >xyB ．x y ＋yx >2C ．2xy x ＋y <xyD ．xy ＋1xy >2答案：D4．若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．22C ．4D ．42 答案：B5．(2022·湖北十堰三模)函数f (x )＝16x ＋14x ＋12x －1 的最小值为( )A ．4B ．22C ．3D ．42 答案：A6．(2022·江苏南京调研)设a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则1a ＋2aa ＋b 的最小值为( )A ．22 ＋1B ．2 ＋1C ．143 D ．4答案：A7．(多选)已知x 2＋y 2＝4(xy ≠0)，则下列结论正确的是( ) A ．|x ＋y |≤22 B ．|xy |≤2 C ．log 2|x |＋log 2|y |<2 D ．1|x | ＋1|y | >2答案：ABC8．(多选)已知a >b >0，a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则下列不等式成立的是( )A ．1<a ＋b <4B ．⎝⎛⎭⎫1a ＋b ⎝⎛⎭⎫1b ＋a ≥4C ．⎝⎛⎭⎫1a ＋b 2>⎝⎛⎭⎫1b ＋a 2D ．⎝⎛⎭⎫1a ＋a 2>⎝⎛⎭⎫1b ＋b 2答案：AB9．函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案：15解析：y ＝x －1x －1＋4＋x －1，当x －1＝0时，y ＝0，当x －1>0时，y ＝1x －1＋4x －1＋1 ≤14＋1 ＝15 ，当且仅当x －1 ＝4x －1 ，即x ＝5时等号成立，y max ＝15. 10．(2023·浙江模拟)已知xy >0，x ＋2y －2x －4y ＝7，则x ＋2y 的最小值是________．答案：9 解析：由题意得， x ＋2y ＝7＋2x ＋4y ，①2x ＋4y ＝2x ＋82y，② 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋82y ()x ＋2y ＝2＋4y x ＋8x 2y ＋8≥10＋216 ＝18⇒2x ＋82y ≥18x ＋2y⇒2x ＋4y ≥18x ＋2y，所以①式x ＋2y ＝7＋2x ＋4y ≥7＋18x ＋2y ，令t ＝x ＋2y ，t >0，所以t ≥7＋18t⇒t 2≥7t ＋18⇒t 2－7t －18≥0⇒t ≥9，即(x ＋2y )min ＝9.[技能提分练]11．(2023·辽宁模拟)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，则4xy －3x －6y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．12 答案：C12．(2022·天津红桥二模)设a >0，b >0，若a ＋2b ＝5，则()a ＋1()2b ＋1ab的最小值为( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．4 3D 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b ＝5，所以ab >0，所以()a ＋1()2b ＋1ab＝2ab ＋a ＋2b ＋1ab＝2ab ＋6ab＝2ab ＋6ab≥22ab ·6ab＝43 ，当且仅当2ab ＝6ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1a ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32a ＝2 时取等号．即（a ＋1）（2b ＋1）ab 的最小值为43 .13．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适答案：B14．(多选)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则( ) A ．ab ≥8 B ．a ＋b ≤3＋22 C ．2b >4D ．log 2(a －1)·log 2(b －2)≤14答案：ACD15．(2023·山东枣庄模拟)已知a >b >0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为________．答案：32 解析：因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0，a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝a ＋b 2 ＋4a ＋b＋a －b 2 ＋1a －b≥2a ＋b 2×4a ＋b＋2a －b 2×1a －b＝22 ＋2×22 ＝32 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a －b ＝2，即a ＝322，b ＝2 时等号成立． 16．(2023·浙江模拟)已知正实数x ，y 满足：x 2＋xy ＋2x y ＝2，则3x ＋2y ＋2y 的最小值为________．答案：42 解析：因为x 2＋xy ＋2x y ＝2，所以x 2＋xy ＋2xy ＋2＝4，所以x (x ＋y )＋2y (x ＋y )＝4，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫x ＋2y ＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝mx ＋2y ＝4m，则3x ＋2y ＋2y ＝2(x ＋y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y ＝2m ＋4m ≥22m ·4m＝42 ，当且仅当2m ＝4m ，即m ＝2 时取等号，所以3x ＋2y ＋2y 的最小值为42 .。

3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)

3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立．【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15，解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号．【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】设池底长x m ，则宽4xm ，总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760，当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立．【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____．【解析】由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000，化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？【解析】第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)，当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ，定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ，当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号，即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)，最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)．故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。

第二章不等式含答案

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a 0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ；性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ；性质4：如果a =b ，那么a c=bc ；性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0 D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法：（1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑）（3）大于取两根之外，小于取两根之间。

高中数学同步练习课时分层作业1 不等式的基本性质

课时分层作业(一) 不等式的基本性质(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a,b,c,d∈R ,且a>b,c>d,则下列结论正确的是( )A ．a ＋c>b ＋dB ．a －c>b －dC ．ac>bdD ．a d >b cA [∵a>b ,c>d,∴a＋c>b ＋d.]2．设a,b∈R ,若a －|b|>0,则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a 3＋b 3<0C ．b ＋a>0D ．a 2－b 2<0 C [a －|b|>0⇒|b|<a ⇒－a<b<a ⇒a ＋b>0.故选C.]3．若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a|>|b|>0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b B [考查不等式的基本性质及其应用．取a ＝－2,b ＝－1验证即可求解．]4．已知a ＜0,－1＜b ＜0,那么( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a D [ab 2－ab ＝ab(b －1),∵a＜0,－1＜b ＜0,∴b－1＜0,ab ＞0,∴ab 2－ab ＜0,即ab 2＜ab ；又ab 2－a ＝a(b 2－1),∵－1＜b ＜0,∴b 2＜1,即b 2－1＜0.又a ＜0,∴ab 2－a ＞0,即ab 2＞a.故ab ＞ab 2＞a.]5．设a,b 为实数,则“0＜ab ＜1”是“b＜1a”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [∵0＜ab ＜1,当a ＜0且b ＜0时可推得b ＞1a, 所以“0＜ab ＜1”不是“b＜1a”的充分条件, ① 反过来,若b ＜1a, 当b ＜0且a ＞0时,有ab ＜0,推不出“0＜ab ＜1”,所以“0＜ab ＜1”也不是“b＜1a”的必要条件, ②由①②知,应选D.]二、填空题6．若f(x)＝3x 2－x ＋1,g(x)＝2x 2＋x －1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．[解析] f(x)－g(x)＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1＞0,∴f(x)＞g(x)．[答案] ＞7．给出四个条件：①b>0>a ,②0>a>b ,③a>0>b ,④a>b>0.能得出1a <1b成立的有________．(填序号) [解析] 1a <1b ⇔1a －1b <0⇔b －a ab<0, ∴①②④可推出1a <1b成立． [答案] ①②④8．已知α,β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3,则α＋3β的取值范围是________．[解析] 设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β),可解得λ＝－1,μ＝2,∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3,∴1≤α＋3β≤7.[答案] [1,7]三、解答题9．(1)已知a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,求证：3a d ＜3b c；(2)若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,e ＜0,求证：e (a －c )2＞e (b －d )2. [证明] (1)∵c＜d ＜0,∴－c ＞－d ＞0.∴0＜－1c ＜－1d.又a ＞b ＞0, ∴－a d ＞－b c＞0, ∴ 3－a d ＞3－b c ,即－3a d ＞－3b c. 两边同乘以－1,得3a d ＜3b c. (2)∵c＜d ＜0,∴－c ＞－d ＞0.∵a＞b ＞0,∴a－c ＞b －d ＞0,∴(a－c)2＞(b －d)2＞0,∴1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e＜0,∴e (a －c )2＞e (b －d )2. 10．设x,y 为实数,且3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,求x 3y 4的取值范围． [解] 由4≤x 2y ≤9,得16≤x 4y2≤81.① 又3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤13.② 由①×②得18×16≤x 4y 2·1xy 2≤81×13, 即2≤x 3y 4≤27,因此x 3y4的取值范围是[2,27]． [能力提升练]1．若a,b 为实数,则“0＜ab ＜1”是“a＜1b 或b ＞1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [对于0＜ab ＜1,如果a ＞0,则b ＞0,a ＜1b 成立,如果a ＜0,则b ＜0,b ＞1a成立,因此“0＜ab ＜1”是“a＜1b 或b ＞1a ”的充分条件；反之,若a ＝－1,b ＝2,结论“a＜1b或 b ＞1a ”成立,但条件0＜ab ＜1不成立,因此“0＜ab ＜1”不是“a＜1b 或b ＞1a”的必要条件,即“0＜ab ＜1”是“a＜1b 或b ＞1a”的充分而不必要条件．] 2．设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c ；③log b (a －c)＞log a (b －c)．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③D [由a ＞b ＞1,c ＜0,得1a ＜1b ,c a ＞c b；幂函数y ＝x c (c ＜0)是减函数,所以a c ＜b c ；因为a －c ＞b －c,所以log b (a －c)＞log a (a －c)＞log a (b －c),①②③均正确．]3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b.其中能推出log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)[解析] ∵log b 1b＝－1, 若1＜a ＜b,则1b ＜1a＜1＜b, ∴log a 1b ＜log a 1a＝－1,故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1,则b ＜1＜1b ＜1a, ∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b, 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b,则0＜1b＜1, ∴log a 1b＞0,log a b ＜0,条件③不可以．故应填②. [答案] ②4．已知f(x)＝ax 2＋c,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围．[解] 由－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,得⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5.设u ＝a ＋c,v ＝4a ＋c,则有a ＝v －u 3,c ＝4u －v 3, ∴f(3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v. 又⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤u≤－1，－1≤v≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403， ∴－1≤－53u ＋83v≤20,即－1≤f(3)≤20.∴f(3)的取值范围为[－1,20]．。

(精品人教)2020版高考数学一轮复习第六章不等式第5讲不等式的应用课时作业理

第5讲不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．(2017年广东惠州三模)设z ＝4x ·2y，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，则z 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．163．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层4．(2016年山东烟台诊断)已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54万元，假设项目年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润((单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元7．(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是__________．8．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l. (1)如果不限定车型，l ＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2017年湖北孝感一模)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (单位：升)与速度x (单位：千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋，x ∈[50，，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？10．(2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？第5讲不等式的应用1．C 解析：y x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取等号．2．C 解析：作出不等式组对应的平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，设A (1,1)，由图可知，直线2x ＋y ＝m 经过点A 时，m 取最小值，同时z ＝4x ·2y ＝22x ＋y 取得最小值．所以z min ＝22×1＋1＝23＝8.故选C.3．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.4．D 解析：设公比为q .因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q ＋q ＋1.当q >0时，1q ＋q ≥2；当q <0时，1q＋q ≤－2.所以S 3≥3或S 3≤－1.故选D.5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D124所示的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30,20)时，z取得最大值为48.故选B.图D124 图D1256．C 解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1600x ＋2400y .画出可行域：如图D125所示的阴影部分，可知当目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．7．30 解析：总费用4x ＋600x×6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240.当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．8．(1)1900 (2)100 解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 9．解：(1)①当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4900)＝175[(x －65)2＋675] 当x ＝65时，y 有最小值175×675＝9.②当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10. 因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意，可知l ＝y ·120x.①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4900x－130＝16.当且仅当x ＝4900x，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤80120时，l ＝y ·120x ＝1440x －2为减函数，当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120时，总耗油量最少．10．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D126中的阴影部分．图D126 图D127 (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图D127可知，当直线z ＝60x ＋25y经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。

高中数学课时作业五充分条件与必要条件新人教A版必修第一册

课时作业(五) 充分条件与必要条件练基础1.[2022·山东青岛高一期末]“x，y∈Q”是“xy∈Q”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设x∈R，则“x<3”是“1<x<3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．“xy>0”是“x>0，y>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(多选)下列说法中正确的是( )A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件6．若m，n∈R，则“m＋n≥0”是“m≥0且n≥0”的________条件．7．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么丙是甲的________ 条件．8．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由．(1)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是等边三角形．(2)p：“－2<x<1”，q：“x>1或x<－1”．提能力9.“a<1”是“关于x的方程ax2－2x＋1＝0有实数根”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．(多选)若－1<x≤3是－3<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是( ) A．2 B．3C．4 D．511．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．12．已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}．(1)若a＝3，求A∪B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值．培优生13.[2022·江苏连云港高一期末]若不等式|x|<a的一个充分条件为－2<x<0，则实数a 的取值范围是________．课时作业(五) 充分条件与必要条件1．解析：若x，y∈Q，则xy∈Q，若xy∈Q，当x＝y＝2时，x，yD∈/Q，所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件．答案：A2．解析：由1<x<3时，一定有x<3成立，故必要性成立；但x<3时，不一定有1<x<3成立，如x＝0，故充分性不成立，所以“x<3”是“1<x<3”的必要不充分条件．答案：B3．解析：由x>1可得x2>1成立，反之不成立，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件．答案：A4．解析：充分性：若xy>0，则x>0，y>0或x<0，y<0，故充分性不成立；必要性：若x>0，y>0，则xy>0，故必要性成立，所以“xy>0”是“x>0，y>0”的必要不充分条件．答案：B5．解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈(A∩B)”，所以“x∈(A∩B)”不是“x ∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．答案：ACD6．解析：m≥0，n≥0时，m＋n≥0成立，是必要的．m＝2，n＝－1时，有m＋n＝1>0，即m＋n≥0时不一定有m≥0且n≥0，不充分．因此应是必要不充分条件．答案：必要不充分7．解析：∵甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，∴乙⇒甲，丙⇒乙，乙推不出丙，∴丙⇒甲，且甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要条件．答案：充分不必要8．解析：(1)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，所以p不能推出q，q能推出p，故p是q的必要不充分条件．(2)因为当－2<x<1时，不能得到x>1或x<－1，而x>1或x<－1时，不能得到－2<x<1，所以“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．故p 是q 的既不充分也不必要条件．9．解析：当a ＝0时，方程的实数根为x ＝12，当a ≠0时，方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1，则有a ≤1且a ≠0，因此，关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根等价于a ≤1，所以“a <1”是“关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根”的充分不必要条件．答案：A10．解析：因为－1<x ≤3是－3<x <a 的充分不必要条件，所以a >3，所以a 的可取值有4，5.答案：CD11．解析：由1－x ＜0，得x ＞1，令A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }．若p 是q 的充分条件，则x ＞1⇒x ＞a ，即A ⊆B ，∴a ≤1.若p 是q 的必要条件，则x ＞a ⇒x ＞1.即B ⊆A ，∴a ≥1.答案：{a |a ≤1} {a |a ≥1}12．解析：(1)若a ＝3，则A ＝{0，5}，B ＝{0，1，9}，所以A ∪B ＝{0，1，5，9}．(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，①当a ＋2＝1时，即a ＝－1时，不满足互异性，不符合题意；②当a ＋2＝a 2时，即a ＝－1或a ＝2时，由①可知，a ＝－1时，不符合题意，当a ＝2时，集合B ＝{0，1，4}，满足，故可知a ＝2符合题意．所以a ＝2.13．解析：由不等式|x |<a ，当a ≤0时，不等式|x |<a 的解集为空集，显然不成立；当a >0时，不等式|x |<a ，可得－a <x <a ，要使得不等式|x |<a 的一个充分条件为－2<x <0，则满足{x |－2<x <0}⊆{x |－a <x <a }，所以－2≥－a ，即a ≥2.∴实数a 的取值范围是a ≥2.答案：a ≥2。

2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册

2．2.1　不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1　不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6　(2)1214．解析：方法一　作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二　作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三　平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。

2019_2020年高中数学课时作业10简单形式的柯西不等式北师大版选修4_5(精编)

1．已知函数 f(x) ＝3 4－ x＋ 4 x－3，则函数 f(x) 的最大值为 ________．答案 5
32 2．设 x ， y∈ R＋，则 (x ＋y)( ＋ ) 的最小值是 ________．
xy 答案 5＋ 2 6
4
解析设 m＝ (p 2， q2) ， n＝ (p 2， q2) ，则 p2＋ q2＝ p2·p2＋ q2·q 2＝ | m· n| ≤｜m| ·｜n| ＝
p3＋ q3· p＋ q＝ 2· p＋ q.
∵(p ＋ q) 2≤ 2(p 2＋ q2) ，
∴
（
p＋
q
）
2
≤
p
2＋
q2≤
2
p＋ q.
2
∴(p ＋ q) 4≤ 8(p ＋ q) ，∴ p＋q≤2.
1 A.
10
C． 10
答案 C
B. 5 D． 5
) B． 1 D． 100
1
2
2
2
2
2
2
2
2
解析 ∵3x＋ y＝ 10，∴ 100＝ (3x ＋y) ＝(3 ×x＋1×y) ≤(3 ＋ 1 )(x ＋ y ) ＝ 10(x ＋ y ) ，∴
x2＋y 2≥ 10.
92
6．设 x ， y∈ R＋，且 x＋ 2y＝ 8，则 x＋ y 的最小值为 (
3
2
2
2
2
证明因为 a＋ 2b＋3c＝ 4，由栖西不等式，得 (a ＋ b ＋ c )(1 ＋4＋9) ≥(a ＋ 2b＋3c) ＝ 16，
2
2
28
abc
2
4
6
所以 a ＋ b ＋ c ≥ 7，当且仅当 1＝ 2＝ 3时，等号成立，即当 a＝ 7，b＝7，c＝ 7时，等号成立，

课时作业15：第1课时　基本不等式

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2第1课时基本不等式一、选择题1.a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A.a 2＋b 2≥2|ab |B.a 2＋b 2＝2|ab |C.a 2＋b 2≤2|ab |D.a 2＋b 2>2|ab |考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立).2.若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( )A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2 考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b≥2 b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1x ＋y ≥14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1 考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立.4.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A.ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 A解析因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立.5.设f (x )＝ln x,0<a pD.p ＝r >q 考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案 B解析因为0<a ab . 又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q . 而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.6.已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )A.a ＋b ＋1ab ≥2 2B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥2ab D.2ab a ＋b >ab 考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 D解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥ 22，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立；∵a 2＋b 2≥2ab >0， ∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)，∴2ab a ＋b ≤1，2ab a ＋b≤ab . 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立.二、填空题7.设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)，∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 8.设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是________.考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 ①②解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确. 9.已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是______________________________. 考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案 (a －b )(b －c )≤a －c 2解析因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立. 10.设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________.(用“＞”连接)考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n .三、解答题11.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立). (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立). 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立. 四、探究与拓展13.设0<a <12考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.14.设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A.x ＋y ≥2(2＋1)B.xy ≤2＋1C.x ＋y ≤(2＋1)2D.xy ≥2(2＋1) 考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号.。

2023届一轮复习北师大版一元二次不等式及其解法作业

课时分层作业(五) 一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}A [原不等式可化为(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故选A ．] 2．若0＜m ＜1，则不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m x ＋1＜0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m ＜x ＜mB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1m 或x ＜mC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞m 或x ＜1mD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ＜x ＜1mD [不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m x ＋1＜0可化为(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m ＜0，由0＜m ＜1知m＜1m ，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ＜x ＜1m ，故选D ．]3．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＞0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12C ．{x |－2＜x ＜1}D ．{x |x ＜－2或x ＞1}A[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝－1＋2，2a ＝－1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，2a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，则不等式2x 2＋bx ＋a ＞0，即为2x 2＋x －1＞0，解得x ＞12或x ＜－1，故选A ．] 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由题设，产量为x 台时，总售价为25x 万元；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于或等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．]5．若存在实数x ，使得不等式x 2－ax ＋1＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D [由题意知，当x ∈R 时，不等式x 2－ax ＋1＜0有解，则Δ＝a 2－4＞0，解得a ＞2或a ＜－2．故选D ．]6．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]D [原不等式可化为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时，得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a ≤5；当a ＜1时，得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为－2，－1，0，则－3≤a ＜－2，因此实数a 的取值范围是[－3，－2)∪(4，5]．故选D ．]二、填空题7．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．(－∞，－1) [由题意知k ＋1＜0，即k ＜－1．]8．关于x 的不等式x 2＋ax ＋a ≤1对一切x ∈(0，1)恒成立，则a 的取值范围为________．(－∞，0] [原不等式可化为x 2＋ax ＋a －1≤0，设f (x )＝x 2＋ax ＋a －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，2a ≤0，解得a ≤0．] 9．不等式2x ＋1＜1的解集是________． {x |x ＞1或x ＜－1} [由2x ＋1＜1得1－x x ＋1＜0，原不等式可化为(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1．] 三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．[解] (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋23．所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎨⎧(－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3．11．解不等式2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0(0＜a ＜1)． [解] Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝9(a －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13．(1)当13＜a ＜1时，Δ＜0，原不等式的解集为R ．(2)当a ＝13时，原不等式为2x 2－4x ＋2＞0，即(x －1)2＞0，解得x ≠1，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(3)当0＜a ＜13时，Δ＞0，方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两个根为x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94，x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，因为x 2＞x 1，所以原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3a ＋3＋9a 2－30a ＋94或x ＜3a ＋3－9a 2－30a ＋94．综上所述：当0＜a ＜13时，原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞3a ＋3＋9a 2－30a ＋94或x ＜3a ＋3－9a 2－30a ＋94当a ＝13时，原不等式的解集为{x |x ≠1}；当13＜a ＜1时，原不等式的解集为R ．1．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对任意的x ∈(1，4)都有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [∵对任意的x ∈(1，4)，都有f (x )＝ax 2－2x ＋2>0恒成立，∴a >2(x －1)x 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122，对任意的x ∈(1，4)恒成立，∵14<1x <1， ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．]2．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235A [由题意知a ＞2x －x 在x ∈[1，5]时有解．又y ＝2x －x 在区间[1，5]上是减函数，则y ≥25－5＝－235．所以a ＞－235，故选A ．]3．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [解] (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x ．因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2．所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134．所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2．。

数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析

第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。

4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。

课时作业9：§7.1 不等关系与不等式

§7.1 不等关系与不等式A 级基础达标一、选择题1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ④若a >b ，则1a >1b .其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．设a ，b ∈R ，若p ：a |a ＋b |4．设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －b B. ⎝⎛⎭⎫a b 12 C. ⎝⎛⎭⎫a b a －bD. ⎝⎛⎭⎫b a a －b5．已知0<a 0 B ．2a －b >1 C ．2ab >2D ．log 2(ab )<－26．如果a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>07．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <18．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________. 10．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是________.11．若－1＜a ＋b ＜3,2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围为________. 12．已知下列结论：①若a ＞|b |，则a 2＞b 2；②若a ＞b ，则1a ＜1b；③若a ＞b ，则a 3＞b 3；④若a ＜0，－1＜b ＜0，则ab 2＞a . 其中正确的是________(只填序号即可).B 级能力提升1．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2D ．a ≥22．若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n 3．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c ). 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③4．已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <c bc 2，则c ≠0，则a >b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B. 2．【答案】 B【解析】若1b <1a <0，则a <b <0；而当a <00且a ≠1).当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,00，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C. 7．【答案】 C【解析】解法一：特值法.取b ＝14，a ＝12，代入验证.故选C.解法二：012log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C. 8．【答案】 D【解析】一方面，若0<ab <1，则当a <0时，0>b >1a .∴b <1a 不成立；另一方面，若b <1a ，则当a <0时，ab >1，∴0<ab <1不成立，故选D. 二、填空题9．【答案】 (－3,3)【解析】－4<β<2⇒－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3. 10．【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，1【解析】 ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a 2a ， ∴0<a <1.∵log a (2a )<log a 1，∴2a >1，∴a >12，∴12<a <1.11．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－92，132 【解析】设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12。

课时作业18 基本不等式

课时作业18 基本不等式|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( )A．x≥2y，x－2y＝1B．x>2y，x－2y＝1C．x≤2y，x－2y＝1D．x<2y，x－2y＝1解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.答案：B2．已知m＝a＋(a>2)，n＝2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定解析：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2<4.所以m>n.答案：A3．若a＋b＝1，恒有( )A．ab≤ B．ab≥C．a2b2≤16 D．以上均不正确解析：因为a＋b＝1>0，所以a，b中至少有一个为正数．故当a，b中有一个是负数或0时，显然有ab≤0<；当a，b均为正数时，有1＝a＋b≥2，所以ab≤.答案：A4．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a2＋b2 B．2C．2ab D．a＋b解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，所以2ab<a2＋b2<a＋b.又因为a＋b>2(因为a≠b)，所以a＋b最大．故选D.答案：D5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )A.＋<1B.＋≥1C.＋<2D.＋≥2解析：因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________(用“>”连接)．解析：因为a>1，所以a2＋1>2a>a＋1，所以loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，所以m>p>n.答案：m>p>n7．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，又a>0，所以a>1，因为t>0，所以≥，所以loga≥loga＝logat.答案：≤8．给出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③≥2；④>xy；⑤≥ .其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；当x＝y时，＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．答案：②三、解答题(每小题10分，共20分)9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥4.证明：因为a，b，c为正实数，所以(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋c]＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当＝，即a＋b＝c时，取等号．所以(a＋b＋c)·≥4.10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.|能力提升|(20分钟，40分)11．若f(x)＝x，a，b均为正数，P＝f，G＝f()，H＝f，则( )A．P≤G≤H B．P≤H≤GC．G≤H≤P D．H≤G≤P解析：因为a，b均为正数，所以≥＝≥＝，又因为f(x)＝x为减函数，所以f≤f()≤f，所以P≤G≤H.答案：A12．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．答案：①③④13．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋，因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，所以＋＋<＋＋.14．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．解析：因为a>0，b>0，所以＋≥；即≥(当且仅当a＝b时取等号)，又2＝≤＝.所以≤ (当且仅当a＝b时等号成立)，而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立)．课时作业18 基本不等式|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( )A．x≥2y，x－2y＝1B．x>2y，x－2y＝1C．x≤2y，x－2y＝1D．x<2y，x－2y＝1解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.答案：B2．已知m＝a＋(a>2)，n＝2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( ) A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定解析：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2<4.所以m>n.答案：A3．若a＋b＝1，恒有( )A．ab≤ B．ab≥C．a2b2≤16 D．以上均不正确解析：因为a＋b＝1>0，所以a，b中至少有一个为正数．故当a，b中有一个是负数或0时，显然有ab≤0<；当a，b均为正数时，有1＝a＋b≥2，所以ab≤.答案：A4．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )A．a2＋b2 B．2C．2ab D．a＋b解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，所以2ab<a2＋b2<a＋b.又因为a＋b>2(因为a≠b)，所以a＋b最大．故选D.答案：D5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.＋<1 B.＋≥1C.＋<2D.＋≥2解析：因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________(用“>”连接)．解析：因为a>1，所以a2＋1>2a>a＋1，所以loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，所以m>p>n.答案：m>p>n7．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，又a>0，所以a>1，因为t>0，所以≥，所以loga≥loga＝logat.答案：≤8．给出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③≥2；④>xy；⑤≥ .其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；当x＝y时，＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．答案：②三、解答题(每小题10分，共20分)9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥4.证明：因为a，b，c为正实数，所以(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋c]＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当＝，即a＋b＝c时，取等号．所以(a＋b＋c)·≥4.10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.|能力提升|(20分钟，40分)11．若f(x)＝x，a，b均为正数，P＝f，G＝f()，H＝f，则( )A．P≤G≤H B．P≤H≤GC．G≤H≤P D．H≤G≤P解析：因为a，b均为正数，所以≥＝≥＝，又因为f(x)＝x为减函数，所以f≤f()≤f，所以P≤G≤H.答案：A12．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．答案：①③④13．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋，因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，所以＋＋<＋＋.14．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．解析：因为a>0，b>0，所以＋≥；即≥(当且仅当a＝b时取等号)，又2＝≤＝.所以≤ (当且仅当a＝b时等号成立)，而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立)．。

红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业基本不等式含解析

课时作业20 基本不等式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b 2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab 1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确；选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0，则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞) 【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

高中数学(文)统考版复习选修4-5课时作业 63绝对值不等式

5．[2020·洛阳市统考]已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)成立，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝－1时原不等式可化为|x＋1|－2|x|≥－1，
设φ(x)＝|x＋1|－2|x|，则φ(x)＝
故不等式的解集为 ∪ .
(2)f(x)≤|2a＋1|有解等价于f(x)min≤|2a＋1|.
f(x)＝|x|＋2|x－1|＝，故f(x)的最小值为1，
所以1≤|2a＋1|，得2a＋1≤－1或2a＋1≥1，解得a≤－1或a≥0，
故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
3．[2020·昆明市质量检测]已知函数f(x)＝|2x－1|.
∴g(x)max＝－2，
∴－2≤a≤0，即实数a的取值范围为[－2,0]．
课时作业
[
1．[2020·福建三明一中检测]已知不等式|2x＋3|＋|2x－1|<a的解集为M.
(1)若a＝6，求集合M；
(2)若M≠∅，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝6时，原不等式为|2x＋3|＋|2x－1|<6，
当x≤－时，原不等式化为－2x－3＋1－2x<6，
解得x>－2，
∴－2<x≤－；
则，或，或，
即－ ≤x≤2.
∴原不等式的解集为{x|－ ≤x≤2}．
(2)存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，等价于|x＋1|≥2|x|＋a有解，
即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max，
由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．

不等式的证明5

课题：不等式的证明（5）教学目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式; 教学重点：放缩法教学难点：反证法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）24．baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真 10三角换元：若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (20π≤θ≤)或x = sin 2θ (22π≤θ≤π-) 若122=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20)若122=-y x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20)若x ≥1，则可令x = sec θ (20π<θ≤) 若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<θ<π-)11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法二、讲解新课： 1放缩法: 2反证法:三、讲解范例：例1若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证明：（用放缩法）记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立例2当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 证明：（用放缩法）∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3 求证：213121112222<++++n 证明：（用放缩法）n n n n n111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n一、：例4 设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41证明：（用反证法）设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >41, 则三式相乘：(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >641①又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理 41)1(≤-b b , 41)1(≤-c c 将以上三式相乘 (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641此与①矛盾 ∴(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41 例4 已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a , b , c > 0 证明：（用反证法）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c >-a > 0∴ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 此与题设矛盾又若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证 b > 0, c > 0 四、小结：五、课后作业：证明下列不等式： 1．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b放缩法：yy x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++111112．lg9•lg11 < 1放缩法：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅3．1)1(log )1(log <+-n n n n放缩法：222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n4．若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 放缩法：c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((121125．)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n 放缩法：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 6．121211121<+++++≤nn n 放缩法：11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 7．已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)放缩法： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0, ∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n c b c a 122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ⇒ a n + b n < c n8．设0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c , (2 - b )a , (2 - c )b ,不可能同时大于1反证法：(2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1,则(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b >1 …① 又因为设0 < a , b , c < 2，(2 - a ) a 12)2(=+-≤aa ,同理 (2 - b ) b ≤1, (2 - c ) c ≤1,所以(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b ≤1此与①矛盾 9．若x , y > 0，且x + y >2，则xy +1和y x+1中至少有一个小于2反证法：设xy+1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾六、板书设计（略）七、课后记：。

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第5课一元二次不等式应用题分层训练
1.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率至少
是．（精确到0.1％）. 2．要在长为800米,宽为600米的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的范围为 .
3.已知半圆的半径为1,其内接等腰梯形的一条
底边与半圆的直径重合,则当x= 时,梯形的周长最长.
考试热点
4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策, 已知某种酒每瓶70元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶; 若政府征收附加税, 每销售100元要征税R元(叫做税率R%), 则每年的销售量将减少10R万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万, R应怎样确定?
5.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量
为a千瓦时,本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力成本价为0.3元/千瓦时,(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证
电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价－成本价)).拓展延伸
6.已知汽车刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (km/h)的平方及汽车的总重量a(t)的乘积成正比, 设某辆卡车不装货物以50km/h行驶时, 从刹车到停车滑行了20m , 如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶, 并与前面的车辆距离为15m , 为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞, 那么最大车速是多少? (假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1s , 答案精确到1km/h . )
本节学习疑点：。