广义相对论的引力场方程
相对论2-3
G 8GT 8G
2
• 而爱因斯坦引力场方程最后可写为
G 8GT
§3-8引力辐射（引力波）
• 已知在弱场近似下，场方程可写为
R , ,
1 g R kT 2
T • 若对真空（无物质分布）情形， 0
R k (T g T) 2
G R 0
§3-6场方程的牛顿近似
• 先看方程左边的几何量： R R , , ∵
00
T 00 u 0 u 0 g
T 0i 0 T ij
T T T00
• 现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分 布，于是利用场方程
1 R g R kT 2 1 g R kT R 2 1 R k (T g T) 12
加速度 惯性力 • 引力的几何化 0 ， ——空间弯曲 存在引力 即引力将导致空间的弯曲
§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程
• 思路： 等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示 广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量 表示 • 物质的能量—动量分布→动力学状态
F T
又 R g g R R ∴ R 00 R 00 ， 0i R 0i ， R
R ij R ij
1 R 00 h 00,ij 2 1 R 0i (h k 0,ik h 0i ,kk ) 2
1 R ij (h kk ,ij h ki, jk h kj, jk h ij,kk ) 2
广义相对论
广义相对论广义相对论目录百科名片广义相对论（General Relativity），是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。
目录概况广义相对论是阿尔伯特●爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。
广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立的。
在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相关系，其关系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。
从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。
广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。
不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。
爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。
有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。
光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。
此外，广义相对论还是现代宇宙学膨胀宇宙论的理论基础。
宇宙动力学方程
宇宙动力学方程
宇宙动力学方程是描述宇宙演化的基本方程之一，它描述了宇宙
大规模结构的演化，从而影响到了星系、星云等天体的形成和演化。
宇宙动力学方程是由Einstein在1915年提出的广义相对论，它是一
组关于引力场的方程，而引力场是由物质和能量分布所决定的。
这些
方程描述了引力场和物质之间的相互作用关系，因此也称作爱因斯坦
场方程。
宇宙动力学方程涉及到了宇宙中全部物质和能量的分布，因此它
是一个非常复杂的方程组。
然而，它简化了宇宙物理学的研究，从而
使得研究人员能够更好地了解宇宙的演化历史。
宇宙动力学方程包括关于宇宙曲率的方程和关于宇宙能量密度的
方程。
其中，宇宙曲率是描述宇宙结构的关键因素之一，它和引力场
的强度、物质的密度等因素共同决定了宇宙的演化。
而能量密度则是
描述宇宙能量分布的因素之一，它决定了宇宙的演化速度和结构形态。
在宇宙动力学方程中，关于宇宙曲率的方程是由爱因斯坦场方程
中的宇宙学常数来决定的，而关于宇宙能量密度的方程则是由宇宙中
的物质和能量贡献所决定的。
例如，宇宙中黑暗能量的存在对宇宙能
量密度及宇宙的演化产生了重要的影响，黑暗物质也影响着宇宙结构
的形成和演化。
总结一下，宇宙动力学方程是描述宇宙演化的基础方程之一，它
是理解宇宙大规模结构演化和研究星系、星云等天体形成和演化的核
心内容。
它的内容涵盖了宇宙曲率和宇宙能量密度，这些因素共同决定着宇宙的演化历史和未来。
了解宇宙动力学方程对于深入理解宇宙的演化历史、结构形态、物质分布等方面都有着重要的指导意义。
爱因斯坦引力场方程
爱因斯坦引力场方程
爱因斯坦引力场方程
阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表了著名的引力场方程（也称爱因斯坦广义相对论），这一重大发现标志着物理学的一个重大革新。
爱因斯坦的引力场方程，又称为爱因斯坦广义相对论，是天文学、物理学领域的一个基本理论体系，以解释宇宙中物质对象之间相互产生的作用力（即引力）。
该方程建立了物体相互之间的引力关系，从而解释了重力的本质，它成为人类探索宇宙的重要工具，广泛应用于天文学、重力物理等领域。
爱因斯坦的引力场方程是一个非常复杂的方程，包含了洛伦兹方程、梯度方程和质量形变方程三部分的内容。
它解释了引力的本质，即在宇宙中，所有物质物体间都受着其它物质物体的引力而产生相互作用。
它还说明，在引力场中，所有动能都与位移相关，这与牛顿定律相一直。
从数学上说，引力存在于宇宙的方程式有如下表示式：G=G(m1,m2,r)，其中G为引力场，m1和m2是两个作用力物体的质量，r为两个物体之间的距离。
爱因斯坦引力场方程得到了许多科学家的高度认可，对宇宙演化、物理学及天体力学的研究都产生了深远影响。
这一发现开启了物理学新时代，推动了人类探索宇宙的最新水平，改变了人类认识宇宙的方式，这也是大自然留下的伟大缩影。
引力场方程
引力场方程1915年，爱因斯坦在黎曼几何的基础上，写出了描述物质能量分布以及空间曲率的方程式。
改变和影响了我们对时空，及其宇宙的认识。
首先狭义相对论告诉了我们，时间和空间是一个统一的整体，现在广义相对论告诉了我们，时空和物质之间会发生相互作用。
这就是经过爱因斯坦改造后的引力场方程。
方程左边表示了时空曲率，右边表示物质分布，所以就有了我们常会听到的一句话：物质决定了时空的弯曲，而弯曲的时空又告诉物质怎样运动。
在我们普通人看来这个方程好像也没啥，看起来并不复杂，其实这个方程在很多问题上根本无法求解，就算是一些简单的问题，也只能给出近似解。
因为这个方程是由十个未知函数组成的二阶非线性偏微分方程组，你没看错，这是个变量超级多的方程组。
求解起来非常非常困难。
所以我们常会听说广义相对论方程组没有一般的解法，只有暴力求解，就是把出现的所有变量都考虑进去，依靠超强的算力去算。
即使是这样也无法得出很多的解。
爱因斯坦写出这个方程到现在已经一百多年了，我们算出来的不同情况的解，也就十几个而已。
最早出来的一个解，就是史瓦西给出的，他这个解是最基本的一个情况，排除了所有的变量因素以后，也就是假设宇宙中只有一个质点，且这个质点还静止不动，如果密度增加会怎样样？就算出来一个黑洞。
如果现在我们让这个质点转动起来，就增加这一个因素，对解爱因斯坦的方程来说，又变成了一个新的难题。
再比如说，现在在宇宙中有两个质点，它们在互相环绕，这不就是两个天体之间的运动嘛，看似简单的情况，其实直到现在都没人能够用广义相对论的场方程给出两个天体相互运动的精确数学解。
只能得出一些近似解，比如一阶近似、二阶近似等等。
那么这个一阶近似怎么理解？假设太阳和水星这个系统，当我们假设太阳不自转，太阳在空间中不运动，水星的质量和体积小到忽略不计，在太阳造成的弯曲时空中运动，那么牛顿力学给出的数学解就可以看作是对这个问题的一阶近似。
但是我们知道，太阳在自转，也在公转，水星的质量和体积不能忽略不计，所以牛顿力学只能给出和真实情况偏差最大的近似解。
广义相对论简介
坐标半径；而更远的地方，它只给出物体的距离。 然而当球坐标很小的时候，这个解开始变得奇怪
起来。在r=0的中心处有一个“奇点”，那里的时空 弯曲是无限的；围绕该点的区域内，球坐标的负方向 实际成为时间（而非空间）的方向。任何处于这个范 围内的事物，包括光，都会为潮汐力扯碎并被强迫坠 向奇点。这个区域被一个施瓦氏坐标消失的面与宇宙 的其他部分分离开来。
时间
能量
狭义
广义
狭义
空间
x (x,ict)
动量
p
( p,
i c
E)
广义相对论认为物质的存在（能量、动量 的存在），会使四维时空发生弯曲，如果物质 消失，时空就回到平直状态。万有引力是时空 弯曲的表现，质点在万有引力作用下的运动 （比如：自由落体、行星绕日运动）是弯曲时 空的自由运动 —— 惯性运动。
这个解很象一个“公制”，此“公制”可以作为 获取时空中曲线段“长度”的公式。物体沿时间 （“坐标轴”）运动的曲线的长度，如果用此公式计 算，就恰是该运动物体所经历的时间。公式的最终形 式取决于你选择用来描述事物的坐标系。公式可以因 坐标不同而变形，但象时空弯曲这样的物理量却不会 受影响。
施瓦氏用坐标的术语表述了它的“公制”概念：在 距离物体很远的地方，近似于一个带有一条用以表示
引力质量 mg ——量度物体与其它物体相互吸引
的能力。
F G M Emg
RE2
牛顿的实验结果
mg 1 0(103 ) mi
20世纪60年代，Dicke的实验结果
(2) 等效原理
mg 1 0(1011) mi
一个物体在均匀引力场中的动力学效应与物体
在加速参考系中的动力学效应是不可区分的。
广义相对论简介
广义相对论广义相对论（General Relativity），是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。
广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。
广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立的。
在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。
从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。
广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。
不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。
爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。
有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。
光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。
此外，广义相对论还是现代宇宙学膨胀宇宙模型的理论基础。
广义相对论的引力场方程
广义相对论的引力场方程广义相对论的引力场方程1 9 5 5年，物理学家玻恩在一次报告中评价道：“对于广义相对论的提出，我过去和现在都认为是人类认识大自然的最伟大的成果，它把哲学的深奥、物理学的直观和数学的技艺令人惊叹地结合在一起•"德布罗意(Louis de Broglie , 1892—1987)在《阿尔伯特•爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依靠黎曼(G • Riemann, 1826-1866)的弯曲空间理论, 借助于张量运算，广义相对论提出一种万有引力现象的解释，这种解释的雅致和美丽是无可争辩的，它该作为20世纪数学物理学的一个最优美的纪念碑而永垂不朽.” 1 9 8 3年诺贝尔物理学奖获得者昌德拉塞卡说得更清楚：爱因斯坦是“通过定性讨论一个与对于数学的优美和简单的切实感相结合的物理世界，得到了他的场方程.”相对论实在可以说是对麦克思韦和洛伦兹的伟大构思画了最后一笔，因为它力图把场物理学扩充到包括引力在内的一切现象.爱因斯坦在1905年发表了狭义相对论公式之后的几十年内，他就对数学的各个领域烂熟于心了，而同时代的大多数物理学家则对这些领域知之甚少甚至一无所知.在他迈向广义相对论的最终等式的过程中，在将这些数学结构同他的物理学直觉结合在一起这个方面，爱因斯坦展示出了罕见的天赋.广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程•有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作，Einstein在引力场也做过什么工作•广义相对论引人注目的特征之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动"，而是"四维空间世界线上的一个纽结” .1914年，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Ein stein —格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；Ein stein —格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲.广义相对论具有最简单，最优雅的几何基础（三个公理：（1）具有度规；（2）度规由爱因斯坦方程G=8冗T支配；（3）在度规的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是正确的）•1. 广义坐标变换设一个时空区域同时被旧坐标系x 」x 0,x 1,x 2,x 3和新 坐标系x —'2,x'3所覆盖，其中x 0=ct,x 0=ct', c 是 光速，t 与t '是时间•新旧坐标之间的关系可表 示为 X 亠宀0,x 1,x 2,x 3 =x'"（x a ） （」,a =0,1,2,3） （ 1）,每一个新坐标都是四个旧坐标的函数•微分（1）式, 得到广义坐标变换下微分的变换关系 dx~科dxv （u=o,1,2,3）（ 2）这里采用了 Einstein£x v 惯例•（ 2）的逆变换为dxJ 翼dxW — 0,1,2,3）（3）ex' 定义在坐标变换中不变的量为标量•在广义坐标 变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变 矢量，A'、科Av （U=0,1,2,3）（ 4）在广义坐标变exr V 卩=（卩亠=0,1,2,3）ex' 量称为协变矢量.容易看出，逆变和协变矢量都 有四个分量组成.在广义坐标变换下按:x : x(5)的换下，变换规律为A —」- : xT'ex' ex'「龄耸％T叩（8）c x a c x'v变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张2. 张量的运算：A.i,B.,、= C 」 (9) A J BJD.J( 10)缩并 运算：A B I =U( 11) 3. 度规张量 在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”.在直角坐标系中，它可表示为ds 2 - -c 2dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 ( 12)间隔的平方应与坐标微元的二次方有关ds 2--dx 」dx'( 13),但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一个二阶协变张量缩 并ds 2 二 g 」dx"dx' ( 14)张量Z 称度规张量共十六个分量，可用矩阵表示g 丄二 g j.时间与空间在广义相对论中，跟据等效原理，可对时 空中的任意观测者A 引入相对于他瞬时静止的 互补惯性系B,并仿照狭义相对论，定义静止于g 00g 10g 20 <g 30 g 01 g 11 g 21 g 31 g 02 g 12 g 22g 32 g 03 g 13 g 23 g 33 ； (15),它是一个对称张量3、B 系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间 为惯性系中所固有的时间.由狭义相对论系B 的固有时间为d （16）微分几何告诉我们ds A = ds B （ 17） 所以，我们可以合理的定义观测者A 的固有时间图3观测者A 与B（18）的世界线下面我们来考察相对于某一个坐标系 观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系•由（12）和（18），不难得到此关系为di =空=丄 J-gpvdx^dxvJj-goodx 0 =J-go°dt （ 19）c c c 在图4中，假定A 与B 空间相邻点，光信号从B 射向A,再从A 射向B,所需坐标时间为Ax 0 = dx （01）+ dx （02）（ 20）未假定光速的各向同性，所以dxh 不一定等于dx °2），在B 引入局 idS A idS B , d B c c 静止的dzlA部惯性系Ax0相应的固有时间为图4固有距离的测量皿=£ J —g oo dx 0( 21 )在局部惯性系中，光速各向同性等于 C ,因此，两相邻点的纯空间距离为 (22)此即用标准尺测得的纯空间距离由 ds 2 =0 = g oo (dx 0)2 2g oi dx 0dx ig ik dx i dx k (i, k = 1,2,3) (23) i i i k-g oi dx ■ (g oi g ok - g oo g ik )dx dxg oo ..x o =2 (g oi g ok -g oo g ik MX/ 代入(21)可得 goo '丿、 .. \\ g °i g °k L i, k 叭gik -=F (25)，其中Yik=gik-如匹是纯空间goodl 2 二 ik dx i dx k度规•4、短程线A 、B 之间的一根曲线长度可用积分给出I = A ds（26）,由变分原理得到 吋ds=o （27）沿曲线人选一个标量参数，并注意到ds 2=g 」\dx "dx ' 上式可写为、：Ld =0（ 28）■ 1其中拉格朗日函数L=^=（gRxH 呼（29），而广义d 扎 1速度dl dx 0 (24)将(29)带入拉格朗日方程亠孚匡^。
广义相对论公式推导
广义相对论公式推导广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论，它是相对论的一种延伸。
在广义相对论中，引力被解释为由物质和能量弯曲时空而产生的现象。
该理论的核心公式是爱因斯坦场方程，它描述了时空的弯曲与物质和能量的分布之间的关系。
广义相对论的推导基于以下几个假设和原理。
首先，所有的惯性观测者都应该得到相同的物理定律。
其次，光的传播速度是一个常数，不受观测者运动状态的影响。
第三，物理定律在时空的局部区域内应该与特殊相对论一致。
在广义相对论中，时空被看作是一个四维的曲面，被称为时空流形。
物质和能量的分布在时空中产生了一个弯曲，被称为时空的曲率。
这种曲率不仅影响物体的运动轨迹，还会改变时间的流逝速度。
爱因斯坦场方程是广义相对论的核心公式，它描述了时空的曲率与物质和能量的分布之间的关系。
该方程可以用数学形式表示为：Rμν - 1/2gμνR = 8πGTμν其中，Rμν是时空的曲率张量，gμν是时空的度规张量，R是曲率标量，Tμν是能量-动量张量，G是引力常数。
这个公式的左边描述了时空的曲率，右边描述了物质和能量的分布。
爱因斯坦场方程实际上是一组非线性的偏微分方程，求解这个方程可以得到时空的度规张量，从而确定时空的几何形状。
广义相对论的公式推导是一个复杂的过程，涉及到很多高级数学和物理概念。
在实际应用中，广义相对论的公式可以用来解释一系列重要的现象，如黑洞、引力波和宇宙膨胀等。
总结起来，广义相对论是一种描述引力的理论，它通过爱因斯坦场方程将时空的弯曲与物质和能量的分布联系起来。
这个公式的推导涉及到复杂的数学和物理概念，但它的应用却可以解释许多重要的现象。
广义相对论对于我们理解宇宙的结构和演化具有重要的意义。
相对论效应公式
相对论效应公式相对论效应公式是物理学中用来描述相对论效应的公式，它基于爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论。
相对论效应公式主要包括洛伦兹变换、质速关系、质能关系等。
一、洛伦兹变换洛伦兹变换是狭义相对论中的一个基本概念，用来描述不同参考系之间物理量的变换关系。
简单来说，当观察同一个物理事件的两个参考系之间有相对运动时，时间、长度和质量等物理量都会发生变化。
洛伦兹变换的公式如下：1.时间变换：t' = t * (1 / (1 - v^2 / c^2))^(1 / 2)2.长度变换：x' = x * (1 - v^2 / c^2)^(1 / 2)3.质量变换：m' = m / ((1 - v^2 / c^2)^(1 / 2))其中，v是两个参考系之间的相对速度，c是光速，t、x和m分别是原参考系中的时间、长度和质量。
二、质速关系质速关系是狭义相对论中的一个基本公式，它描述了物体的质量与其速度之间的关系。
当物体的速度接近光速时，其质量会显著增加。
质速关系的公式如下：m = m0 / ((1 - v^2 / c^2)^(1 / 2))其中，m0是物体在静止状态下的质量，v是物体的速度，c 是光速，m是物体在运动状态下的质量。
三、质能关系质能关系是狭义相对论中的一个著名公式，它描述了物体的质量和能量之间的关系。
这个公式在核反应堆、核武器等领域有着广泛的应用。
质能关系的公式如下：E = mc^2其中，E是物体的能量，m是物体的质量，c是光速。
这个公式表明，物体的能量与其质量之间存在等价关系。
四、广义相对论效应公式广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的，它把引力看作是由时空弯曲引起的。
广义相对论效应公式主要描述了引力场对时间、长度和质量等物理量的影响。
其中最著名的公式是爱因斯坦场方程：Gab = 8πTa b / c^4其中，Gab是引力场张量，Tab是能量-动量张量，c是光速。
这个公式表明，引力场是由能量-动量分布引起的时空弯曲效应。
广义相对论方程式
广义相对论方程式广义相对论公式是：Gab=8πTab。
广义相对论是描述物质间引力相互作用的理论。
其基础由爱因斯坦于1915年完成，1916年正式发表。
这一理论首次把引力场解释成时空的弯曲。
广义相对论的两个基本原理是：1、等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。
分为弱等效原理和强等效原理，弱等效原理认为惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。
2、广义相对性原理：所有的物理定律在任何参考系中都取相同的形式。
物理定律的形式在一切参考系都是不变的。
广义相对论（General Relativity）是描述物质间引力相互作用的理论。
其基础由阿尔伯特·爱因斯坦于1915年完成，1916年正式发表。
这一理论首次把引力场等效成时空的弯曲。
黑洞广义相对论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出；能够形成黑洞的恒星最小质量称为昌德拉塞卡极限。
引力透像有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体（例如活动星系核和微类星体）发射高强度辐射的直接成因。
光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
引力波广义相对论还预言了引力波的存在（爱因斯坦于1918年写的论文《论引力波》），现已被直接观测所证实。
此外，广义相对论还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。
时空关系19世纪末由于牛顿力学和（苏格兰数学家）麦克斯韦（1831~1879年）电磁理论趋于完善，一些物理学家认为“物理学的发展实际上已经结束”，但当人们运用伽利略变换解释光的传播等问题时，发现一系列尖锐矛盾，对经典时空观产生疑问。
爱因斯坦对这些问题，提出物理学中新的时空观，建立了可与光速相比拟的高速运动物体的规律，创立相对论。
狭义相对论是以两条基本假设为前提推导出来的：（1）光速不变原理：即在任何惯性系中，真空中光速c都相同，为299,792,458m/s，与光源及观察者的运动状况无关。
广义相对论的基础知识
广义相对论的基础知识广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论，是现代物理学中的基石之一。
它建立在狭义相对论的基础上，描述了引力是时空弯曲的结果，从而揭示了宇宙的结构和演化规律。
在广义相对论中，引力被解释为时空的弯曲，物质和能量决定了时空的几何结构，而物质和能量又受到时空结构的影响，形成了一个统一的动力学系统。
下面将介绍广义相对论的基础知识，包括引力场方程、时空弯曲、黑洞等内容。
引力场方程是广义相对论的核心方程之一，描述了引力场如何影响时空的几何结构。
在爱因斯坦场方程中，引力场由时空的度规张量表示，方程的左边描述了时空的几何性质，右边描述了物质和能量的分布。
具体形式为：\[G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\]其中，\(G_{\mu\nu}\)是爱因斯坦张量，描述了时空的曲率；\(\Lambda\)是宇宙学常数，描述了宇宙的膨胀；\(g_{\mu\nu}\)是度规张量，描述了时空的几何结构；\(T_{\mu\nu}\)是能动量张量，描述了物质和能量的分布；\(G\)是引力常数；\(c\)是光速。
时空弯曲是广义相对论的核心概念之一，描述了物质和能量如何影响时空的几何结构。
根据广义相对论，物质和能量会使时空产生弯曲，其他物体沿着弯曲的时空轨迹运动。
这种弯曲效应导致了引力的产生，即物体之间的相互吸引。
例如，地球围绕太阳运动是由于太阳在时空中产生了弯曲，地球沿着这个弯曲的轨迹运动。
黑洞是广义相对论的一个重要预言，是一种引力极强的天体，其引力场强大到连光都无法逃逸。
黑洞的形成是由于恒星在耗尽燃料后发生坍缩，形成极高密度的天体。
在黑洞的视界半径内，引力场非常强大，甚至连光都无法逃逸，因此黑洞是不可见的。
黑洞的质量和视界半径之间存在一个简单的关系，即视界半径正比于质量，这就是所谓的“事件视界”。
广义相对论还预言了引力波的存在，这是一种由引力场振荡产生的波动，类似于电磁波。
介绍2017年诺贝尔物理奖相关的引力波的知识
量是如此之小，我们也可以从中看出：时空是很难弯
曲的，只有巨大的能量动量张量，才能引起可观的时
空弯曲．
在地球附近对引力波的探测，一般都离波源较
远．因此在远离引力波源的情况下，可以采用弱场线
性近似，度规按如下形式分解，
其 犹
中 如
ｈ其湖μν中面远η泛远μν起小是的于平涟η坦μ漪ν时．ｇ这，μν空而就＝度η不是μν量是＋说ｈ，波引μ而ν涛力ｈμ汹波ν 就涌对是的时弱海空场面的微．影为扰响了，
广义相对论的基本方程是爱因斯坦场方程［ ］ ６１２
， （ ， ，，，） １
Ｒμν － ２ ｇμν Ｒ ＝ －κＴμν μ ν ＝ ０ １ ２ ３
在四维时空下，如果不考虑对称性，由于下指标 μ 和 ν 各有 ４ 种取值方式，因此爱因斯坦场方程共 有 １６ 个；即使考虑到 μ 和 ν 对称，也还有 １０ 个方 程，因此求解非常困难．方程的左边表示时空弯曲的
摘要：引力波探测获 ２０１７ 年诺贝尔物理学奖意味着这一探测是对爱因斯坦广义相对论的一个重大验证，也是开启引力波
天文学新时代大门的钥匙．因此，让具备大学物理知识的教师、学生和一般读者了解引力波理论的知识是重要的．本文介绍了
广义相对论下的引力波理论．在弱场近似下，介绍了如何计算双黑洞绕转所辐射引力波的振幅，以及 ｃｈｉｒｐ 质量和引力波频率
的关系．
关键词：引力波；广义相对论；ｃｈｉｒｐ 质量；ＬＩＧＯ；引力波振幅
（ ） 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： Ｏ ４１３．１
Ａ
１０００ ０７１２ ２０１８ ０１ ００６８ ０３
【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１７０５５６
２０１６ 年 ２ 月 １２ 日，美国激光干涉引力波天文
广义相对论场方程数值求解方法初步
广义相对论场方程数值求解方法初步引言广义相对论是爱因斯坦创立的一种描述引力的理论。
广义相对论场方程是该理论的基本方程之一，它描述了质量和能量如何影响时空的弯曲，并决定了物质在弯曲时空中的运动轨迹。
由于广义相对论场方程的复杂性和非线性特性，解析求解几乎是不可能的，因此数值求解方法成为研究广义相对论的重要手段之一。
本文将介绍广义相对论场方程数值求解方法的初步内容。
一、广义相对论场方程的数值表达广义相对论场方程包含了爱因斯坦张量、能动张量以及宇宙参考系度规等多个复杂的量，数值求解时需要将这些量转化为方程的数值表达式。
一般而言，首先需要选择合适的坐标系，并将坐标系中的物理量数值化。
然后利用数值方法将爱因斯坦场方程离散化，得到一组常微分方程组。
最后，采用数值积分方法求解常微分方程组，得到广义相对论场方程的数值解。
二、数值离散化方法数值离散化是广义相对论场方程数值求解的关键步骤。
常用的离散化方法有有限差分法和有限元法。
有限差分法是一种常用且简单的离散化方法。
它将连续的空间域离散化为网格，将连续的时间域离散化为时间步长。
在空间网格上，使用有限差分格式逼近场方程的导数，将场方程转化为差分方程组。
在时间步长上，使用数值积分方法数值求解差分方程组。
有限差分法的优点是易于实现，但对网格的选择敏感，需要选取合适的空间间隔和时间步长以保证精度。
有限元法是一种更为灵活的离散化方法。
它将连续的空间域离散化为有限个元素，并在每个元素内使用多项式函数逼近场方程的解。
通过构造代数方程组，利用有限元法数值求解这些代数方程组得到场方程的数值解。
有限元法的优点是适用于复杂的几何结构，能够处理不规则的网格，并具有较高的数值精度。
三、数值积分方法数值积分方法是广义相对论场方程求解的核心。
常见的数值积分方法有龙格-库塔法、欧拉法和变步长积分法等。
龙格-库塔法是一种经典的数值积分方法，通过计算场方程在每个时间步长内的导数来逼近积分。
该方法具有较高的精度和稳定性，被广泛应用于广义相对论的数值求解中。
引力泊松方程
引力泊松方程引力泊松方程是1915年由爱因斯坦提出的著名广义相对论方程。
它描述了引力场的分布，以及物体如何受引力影响而运动。
由于该方程包含了引力和相对论之间有关的细节，它被称为“引力和相对论的孪生兄弟”，它极大地影响了物理学的发展。
引力泊松方程可以用十分简洁的数学表达式来表达：$R_{muu}-frac{1}{2}g_{muu}R+Lambda g_{muu}=kappa T_{muu}$，其中$R_{muu}$是曲率张量，$R$是曲率标量，$g_{muu}$是元胞积，$Lambda$是常数，$kappa$是引力常数，$T_{muu}$是物质和能量的张量。
从这个方程可以看出，物质和能量有对引力场产生影响，而引力场也会作用于物质和能量，从而形成相互作用的连续过程。
由于引力泊松方程结合了物质和能量与引力之间的关系，它在宇宙学中扮演着重要角色。
举个例子，它可以用来解释宇宙中星系的组成、星系的动力学及星系之间的相互影响等问题。
对于行星的研究，它也可以用来解释行星的轨道周期、行星和恒星之间的力学关系等。
此外，引力泊松方程还被用来研究宇宙演化的历史。
它用来解释的有关宇宙演化的问题有：宇宙的历史时间；宇宙的膨胀里程碑；宇宙中星系形成的时间；宇宙中星系膨胀的情况；宇宙中宇宙射线背景辐射的分布等。
引力泊松方程在一些高能物理学中也被广泛运用。
比如，它可以应用到狭义相对论模型中，用于描述黑洞的发展，以及时空的结构演化等。
由于引力泊松方程的重要性，它也被许多著名物理学家改进和拓展，以满足宇宙和宇宙学研究。
1931年，爱因斯坦提出了联合有限弯曲和物质张量的引力泊松（Einstein-Maxwell）方程，将他的相对论和狭义相对论模型结合在一起，具有良好的可解性。
1962年，Brans-Dicke理论中又提出了时空结构改变的一般相对论中的引力泊松方程，这个方程又称为Brans-Dicke方程，它将宇宙的演化现象和引力的相互作用结合在一起，对宇宙的未来演化具有明确的预测作用。
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广义相对论的引力场方程广义相对论的引力场方程１９５５年，物理学家玻恩在一次报告中评价道：“对于广义相对论的提出，我过去和现在都认为是人类认识大自然的最伟大的成果，它把哲学的深奥、物理学的直观和数学的技艺令人惊叹地结合在一起.”德布罗意（Louis de Broglie，1892－1987）在《阿尔伯特·爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依靠黎曼（G·Riemann，1826-1866）的弯曲空间理论，借助于张量运算，广义相对论提出一种万有引力现象的解释，这种解释的雅致和美丽是无可争辩的，它该作为20世纪数学物理学的一个最优美的纪念碑而永垂不朽.”１９８３年诺贝尔物理学奖获得者昌德拉塞卡说得更清楚：爱因斯坦是“通过定性讨论一个与对于数学的优美和简单的切实感相结合的物理世界，得到了他的场方程.”相对论实在可以说是对麦克思韦和洛伦兹的伟大构思画了最后一笔，因为它力图把场物理学扩充到包括引力在内的一切现象.爱因斯坦在1905年发表了狭义相对论公式之后的几十年内，他就对数学的各个领域烂熟于心了，而同时代的大多数物理学家则对这些领域知之甚少甚至一无所知.在他迈向广义相对论的最终等式的过程中，在将这些数学结构同他的物理学直觉结合在一起这个方面，爱因斯坦展示出了罕见的天赋.广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程.有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作，Einstein在引力场也做过什么工作.广义相对论引人注目的特征之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动”，而是“四维空间世界线上的一个纽结”.1914年，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；Einstein—格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲.广义相对论具有最简单，最优雅的几何基础（三个公理：(1)具有度规；（2）度规由爱因斯坦方程G=8πT支配;（3）在度规的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是正确的）.1.广义坐标变换设一个时空区域同时被旧坐标系()3210x x x x x ,,,μ和新坐标系()3'2'1'0x'x x x x ,,,'μ所覆盖，其中','ct x ct x00==，c 是光速，t 与t ’是时间.新旧坐标之间的关系可表示为())(',,,a 3210x x x x x x x'x'μμμ== ),,,,(3210a =μ （1）,每一个新坐标都是四个旧坐标的函数.微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系),,,,(''3210dx x x dx =∂∂=νμννμμ （2）这里采用了Einstein惯例.（2）的逆变换为),,,,('3210dx x'x dx =∂∂=νμμμνν （3）定义在坐标变换中不变的量为标量.在广义坐标变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量，),,,,(''3210A x x A =∂∂=νμννμμ （4）在广义坐标变换下，变换规律为),,,,(''3210A x x A =∂∂=νμνμνμ （5）的量称为协变矢量.容易看出，逆变和协变矢量都有四个分量组成.在广义坐标变换下按)8(T x'x x 'x 'T )7(T x'x x'x 'T )6(T x 'x x 'x 'T βανβαμνμαβνβμαμναββναμμν∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张量.2.张量的运算：μνμνμνC B A =+ （9）σμνσμνD B A= （10）缩并运算：u B A =μμ （11）3.度规张量在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”.在直角坐标系中，它可表示为222222dz dy dx dt c ds +++-=（12）间隔的平方应与坐标微元的二次方有关νμdx dx ds 2--（13）,但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一个二阶协变张量缩并νμμνdx dx g ds 2=（14）张量μνg 称度规张量共十六个分量，可用矩阵表示 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33323130232221201312111003020100g g g g g g g g g g g g g g g g （15）,它是一个对称张量νμμνg g =.3、时间与空间在广义相对论中，跟据等效原理，可对时空中的任意观测者A 引入相对于他瞬时静止的互补惯性系B ，并仿照狭义相对论，定义静止于B 系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间为惯性系中所固有的时间.由狭义相对论系B 的固有时间为c idsd =τ (16)微分几何告诉我们 B A ds ds=（17） 所以，我们可以合理的定义观测者A 的固有时间图3 观测者A 与B B B A A d cids c ids d ττ===（18）的世界线 下面我们来考察相对于某一个坐标系μx 静止的观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系.由（12）和（18），不难得到此关系为dt g dx g c 1dx dx g c 1c ids d 00000-=-=-==νμμντ（19）在图4中，假定A 与B 空间相邻点，光信号从B射向A ，再从A 射向B ，所需坐标时间为02010dx dx x )()(+=∆（20）未假定光速的各向同性，所以01dx )(不一定等于02dx )(，在B 引入局 部惯性系0x ∆相应的固有时间为图4 固有距离的测量00dx g c 1-=∆τ（21）在局部惯性系中，光速各向同性等于c ，因此，两相邻点的纯空间距离为00x g 212c dl ∆-=∆=τ（22）此即用标准尺测得的纯空间距离.由),,,()(321k i dx dx g dx dx 2g dx g 0ds k i ik i 00i 20002=++==（23） 得00k i ik 000k 0i i 0i 0g dx dx g g g g dx g dx)(-±-=（24） 00ki ik 000k 0i 0g dx dx g g g g 2x )(-=∆代入（21）可得k i ik 2k i 000k 0i ik dx dx dl dx dx g g g g dl γ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（25），其中000k 0i ik ik g g g g -=γ是纯空间度规. 4、短程线A 、B 之间的一根曲线长度可用积分给出⎰=B A ds I （26），由变分原理得到0ds B A =⎰δ(27) 沿曲线人选一个标量参数λ并注意到νμμνdx dx g ds 2=上式可写为0Ld B A =⎰λδ（28） 其中拉格朗日函数 L=21x x g d ds )(..νμμνλ=（29），而广义速度λμμd dx x =.将（29）带入拉格朗日方程0x L d d x L =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.μμλ （30），可得短程线方程 0d dx d dx d x d 22=Γ+λλλνμαμνα （31）它也是广义相对论中的运动方程.1915年11月25日，爱因斯坦在《引力场方程》论文中，给出了引力场方程的完整形式：R μν ＝－k （T μν － 1/2 g μν T ）,R μν是黎曼曲率张量， T μν 是能量动量张量.回到广义协变原理之后，Einstein 在1915年10月与11月，集中精力探索新的引力场方程.先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文.在11月4日的论文中，他提出了废弃1913年提出的场方程的原因.这些理由在11月28日写给索末菲的信中，提得更加明确.他说：“我认识到，到现在为止，我的引力场方程是完全站不住脚的.关于这一点，有如下线索：（1）我证明了，在一个均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程.（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″.（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H.如果把它加以适当推广，它就会允许任意的H ，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的.在对以前的讨论结果和方法失去一切信心之后，我清楚地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才能得到令人满意的解决.”[3]摆脱了引力场方程只能在线性变换下协变的限制之后，广义相对论的进展来自于Einstein对张量的重新认识.他保留了“对泊松方程推广”的原有形式.但现在他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： Rμν-gμνR/2=8πGTμν/c4 ，其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为标量曲率张量.引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想.大约在公元前387年，希腊哲学家柏拉图认为，几何学研究是通向认识宇宙本质的道路.5、场方程时空曲率=能量动量（32）物质的能量动量可写成二阶张量μνT .时空曲率可写成αλμνR .可以把曲率张量缩并，得到一个二阶张量λμR λμνλμνρλμννρR R R g ≡=（33），称Ricci 张量，它是对称张量，有十个独立分量.代入（32），μνμνκT R-=(34用逆变张量写出就是μνμνκT R-=（35） μνT 应满足能量—动量守恒定律0T =μνν;（36）由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231323222121312111321T T T cM T T T cM T T T cM c S c S c S T ///εμν（37） 此式用三维空间的矢量写出来就是)()(56t M T 55tS ∂∂-=•∇∂∂-=•∇ε其中00T =ε是能量密度，0ii cT S =是能流密度，M 是动量密度，三维空间的张量ij T （i ，j=1，2，3）是动量流密度.（38）、（39）分别是能量和动量守恒定律.（36）要求（35）左端满足0R=μνν;.但这一般不可能.由毕安基恒等式μνμννμνμνR g R 0R g 21R ==-;)(（40）R 称曲率标量因此，如果把方程（34）、（35）改写成μνμνμνκT R g 21R -=-（41）μνμνμνκT R g 21R -=-(42) 矛盾就消除了.这两个方程就是Einstein 给出的广义相对论的基本方程——场方程.它们通常称为Einstein 场方程，反映物质的能量—动量如何决定时空曲率.引力场的表达式中起参量作用的物理量数目比牛顿引力理论中的要多．其中不但有引力质量，还有电荷、磁荷、电的(或磁的)偶极矩、宇宙常数等等，其中只有引力质量是广义相对论和狭义相对论所共有的引力参量． 由于有物质的存在，空间和时间会发生弯曲，而引力场实际上就是一个弯曲的时空. Einstein 根据这一结论，给出了著名的引力场方程式：Einstein 引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的，带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程.当然，Einstein的这个引力场方程并非完美，在具体计算中，使用的只是一个近似解，而真正的球面对称的准确解——史瓦兹解，是在此之后才找到的.广义相对论认为: 一个物体使自已周围space-time弯曲, 另一物体在弯曲space-time 中沿短程线运动, 这就是引力的本质.由广义相对论引力场方程和短程线方程, 在线性近似下得到另一组方程(1-3)，(1-4)这组方程成功解释了行星近日点的移动.光子经过太阳附近时受到太阳的吸引而改变方向,由(1-3)—(1-4)式求出的光偏折角是Newton理论预期值的一倍.实际观察结果是与广义相对论一致, Einstein取得巨大胜利.随后人们观察到从太阳发出的光线到达地球时其频率由变为，(1-5)广义相对论用引力势场中不同点时间间隔不同解释了这个实验结果.所以人们认为上述三个经典相对论引力实验支持广义相对论, 并且进一步得到space-time是弯曲的结论.广义相对速度表达式式中表，明，近处物体或大质量物体对研究物体的广义相对速度影响较大.一个小质量物体A从远处靠近一个大质量且广义相对速度不为零的物体B，如果它相对B的速度不变，那么它的广义相对速度必然发生变化.然而在不受力的作用、物体处于惯性运动的情况下，它的广义相对速度是保持不变的，所以上面所说的过程，A相对B的速度要发生相应的调整.定性分析得知，A接近B时，为了保证A的广义相对速度不变，A、B之间的相对速度必将减小，从而可以说，大质量的B部分地同化了小质量的A的运动速度.当然，A也部分地同化了B的运动速度，只是质量比例很小而表现得更加微弱.近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用.在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何.在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的.在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的.黎曼张量和物质能量-动量张量间的关系1927年Einstein等人提出，质点系统的运动方程应该包括在引力场方程之中.1938年，Einstein及其合作者完成了这一理论.他们采用后来称为后牛顿近似的方法，在对质点系能量动量张量的简单假定下，从引力场方程中推导出了质点系的运动方程，这就是著名的广义相对论的运动理论.50年代以来，一些物理学家指出，质点运动方程也可以直接从能量动量张量的守恒定律推导出来.A.巴巴别特鲁由运动理论导出了自旋粒子会受到的自旋和曲率的耦合项.引力场方程包含着粒子运动方程，这是广义相对论的一个重要特点.60年代以来，彭罗塞等人系统地运用整体微分几何的方法来研究广义相对论.彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论，提示了广义相对论时空结构的重要性质和问题.不过 Penrose 与 Hawking 等人的方法虽然不需要直接求解场方程，但它与描述物质分布的能量动量张量的性质仍有着密切的关系. 这一点从物理上讲是显而易见的，因为正是物质的分布决定了时空的结构.黎曼关于度规、距离法则决定了一种几何学的思想，对于广义相对论的创建有着特殊的启发力.度规张量表征着弯曲空间的内禀性质，协变导数解决了弯曲空间中的矢量求导和无穷小平移问题，仿射联络能恰当刻画弯曲空间矢量的平移性质与度规张量（空间内禀性质）之间的确定联系，黎曼联络是引力势对坐标偏微分（变化率）的组合，体现着引力场的分布等等.联络解决了弯曲空间中不同时空点测量标尺的差异和可换算性问题，后来成为规范场理论思想的一个源头.宇宙奥秘深藏于数学规律的毕达哥拉斯主义理念，在爱因斯坦的引力场论中被具体化和精细化了.Einstein 曾经把他的场方程比喻为一座建筑，这座建筑的一半是用精美的大理石砌成的，另一半却是用劣质的木材建造的. 用精美的大- 理石砌成的那一半是方程的左端： RμνR，那是一个描述时空结构的优美的几(1/2)gμν何量，被称为 Einstein 张量. 而用劣质木材建造的那一半则是方程的右端，也就是描述物质分布的能量动量张量：8πGT. 为什么说这μν部分是用劣质木材建造的呢？因为自然界的物质分布种类繁多，物态方程千差万别，找不到一个普适的能量动量张量来描述所有已知的物质分布. 不仅如此，在广义相对论所涉及的许多极端条件 (比如某些星体内部的超高温、超高压、超高密度等条件) 下还可能存在大量未知的物质形态与分布，而且所有这些物质分布还可能在空间及时间上相互混合.广义相对论存在三种解释.首先，爱因斯坦把可称重物体看作完全决定引力场与时空的几何结构的唯一物理实在，引力场方程真空解的发现使得这个解释站不住脚.尔后，外尔和爱丁顿提出了另一种观点：时空的几何结构被视为物理实在，而引力场可约化为这个几何结构，称作强几何纲领.爱因斯坦从不欣赏这个纲领，后来爱因斯坦在统一场论中把引力场看作代表终极物理实在的整体场的一部分，时空是整体场的结构属性，称作弱几何纲领.。