多面体欧拉公式的发现(一)

●教学时间

第九课时

●课题

§9.9.1 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.简单多面体的V、E、F关系的发现.

2.欧拉公式的猜想.

3.欧拉公式的证明.

（二）能力训练要求

1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.

2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.

3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.

4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.

5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.

（三）德育渗透目标

1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.

2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.

●教学重点

欧拉公式的发现.

●教学难点

使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.

●教学方法

指导学生自学法

首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.

以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.

●教具准备

投影片三张

第一张：课本P56的问题1及表1（记作§9.9.1 A）

第二张：课本P57的问题2及表2（记作§9.9.1 B）

第三张：课本P57的问题3及P58的问题4（记作§9.9.1 C）

●教学过程

Ⅰ.课题导入

瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方

程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别

代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.

Ⅱ.讲授新课

［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1

（打出投影片§9.9.1 A）

（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1）

［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？

（学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问）

［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？

［生］不一定.

［师］请举例说明.

［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.

［师］此时棱的数目呢？

［生］棱数都是一样的.

［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.

大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.

［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.

［师］举例说明.

［生甲］如图中（1）和（2）的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8.

［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？

［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的.

［师］请试说说你归纳出来的规律.

［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加.

［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？

（可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导）

［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.

［生］（积极验证，得出）

V+F－E=2

［师］以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.

［生］（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.

（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）

［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.

［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？

［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n个，因2n+

（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.

［师］请继续来观察一些其他图形的情况.

（打出投影片§9.9.1 B ）

请同学们观察后，将所得数据填入表2中.

（学生观察，数它们的顶点数V 、面数F 、棱数E ，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）

［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形 符合？

［生］（1）符合，（2）、（3）不符合.

［师］一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？（打出投影片§9.9.1 C ）

［生］问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.

［师］请同学们继续设想问题2中（2）（3）在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？

［生］问题2中第（2）个图形；表面经过连续变形能变为环面.问题2中第（3）个图形；表面经过连续变形能变为两个对接球面.

［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？

［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.

［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？ （有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出）

［生］简单多面体的顶点数V 、面数F 的和与棱数E 之间存在规律V +F －E =2.

［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V +F －E =2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P 58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.

（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）

Ⅲ.课堂练习

课本P 61练习1、2.

1.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.

解：在三棱柱中：V =6，F =5，E =9

∵6+5－9=2，∴V +F －E =2

在四棱锥中：V =5，F =5，E =8

∵5+5－8=2，∴V +F －E =2

2.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有F =2V －4的关系. 解：∵V +F －E =2

又∵E =23F ，∴V +F －2

3F =0，∴F =2V －4 Ⅳ.课时小结

本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F －E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论