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1_4条件概率
§１.４ 条件概率
一、条件概率
⑴条件概率 ⑵乘法公式 二、事件的独立性
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一 事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率. 例. 抛掷一颗骰子，观察出现的点数. 令 A={出现的点数不超过4}={1,2,3,4}, B={出现的点数是奇数}={1,3,5}, 若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率. 即在事件A已发生的条件下，求事件B发生的概率P(B|A).
《概率统计》
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例9.一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需 要照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，各台机床是否需要照看 是独立的. 求在一小时内：①没有一台机床需要照看的概率； ②至少有一台机床不需要照看的概率；③最多有一台机床需要 照看的概率.
解：设A、B、C 分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个
解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3. 所求概率分别为
① P ( A 1 A 2 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) 90 100 89 99 0 . 809 .
② P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) P ( A 3 | A 1 A 2 )
P ( A i1 A i 2
A i k ) P ( A i1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k )
则称A1，A2，…，An是相互独立的事件. n 个事件相互独立的性质 ① 若n个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则其部分事件组 也相互独立. ②若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也相互独立.
一、条件概率
⑴条件概率 ⑵乘法公式 二、事件的独立性
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一 事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率. 例. 抛掷一颗骰子，观察出现的点数. 令 A={出现的点数不超过4}={1,2,3,4}, B={出现的点数是奇数}={1,3,5}, 若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率. 即在事件A已发生的条件下，求事件B发生的概率P(B|A).
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例9.一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需 要照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，各台机床是否需要照看 是独立的. 求在一小时内：①没有一台机床需要照看的概率； ②至少有一台机床不需要照看的概率；③最多有一台机床需要 照看的概率.
解：设A、B、C 分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个
解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3. 所求概率分别为
① P ( A 1 A 2 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) 90 100 89 99 0 . 809 .
② P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) P ( A 3 | A 1 A 2 )
P ( A i1 A i 2
A i k ) P ( A i1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k )
则称A1，A2，…，An是相互独立的事件. n 个事件相互独立的性质 ① 若n个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则其部分事件组 也相互独立. ②若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也相互独立.
1.4 条件概率
注2:A1 条件A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分(分割).可改成 A1,A2,…, An互不相容,且
A2
B
结果
n 关键:找原因,找结果 关键:A 找原因,找结果 ,定理仍然成立 B ∪ i =1 i
An
… …
7
全概率公式:关键:找原因,找结果
例4:预测我儿子以后获得成功的概率. 假设他经商的概率为0.3,经商而成功的概率为0.9 ; 他从政的概率为0.3,从政而成功的概率为0.9 ; 他做学问的概率为0.4,做学问而成功的概率为0.95 . 问:我儿子以后成功的概率是多少? B
则对任意事件B,有:
P ( Ai B ) = PБайду номын сангаас( Ai | B ) = P(B)
P ( Ai ) P ( B | Ai )
n
, i = 1, 2, n
j
∑ P (A )P ( B | A )
j =1 j
已知结果B发生,要求结果B是由第i 原因 n个原因 P ( Ai ) : P( Aj | B): B 结果 先验概率 后验概率
= b r+d r+d +c i i b + r b + r + c + d b + r + 2 c + 2d
P ( B1 R2 R3 ) = br ( r 1) (b + r )(b + r 1)(b + r 2)
1)当c =-1,d =0时,为不放回抽样 2)当c =0,d =0时,为放回抽样 3)当c>0,d=0时,为传染病模型
特别地:P(A∪B|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C); 若A与B互不相容,则P( A∪B | C ) = P(A|C) + P(B|C) ; P( | B) = 1 P( A| B ).
1.4条件概率
解:一共有三个回合，设B {乙机被击落}，
Ai {第i个回合乙机击落},i 1,3,则B A1 A3
P(B) P( A1 A3) P( A1) P( A3)显然，P（A1） 0.2
P（A3） P（第一回合中没有击落乙机，第二回合中乙机 没击落甲机，第三回合中甲机击落乙机）
故有P( A3） 0.8 0.7 0.4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基 本事件为左上角的6个，则由条件概率公式得：
P( B | A ) P( AB ) 6 / 20 0.5 P( A ) 12 / 20
方法二：按条件概率的直观意义来求P(B|A)
任取3个球来用,比赛后放回盒中,第二次比赛再从盒中任
取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.
解：Ai {第1次取得i新球},i 0,1, 2,3；B {第二次取得3新球}；
3
利用全概率公式得：P(B) P(Ai) p(B | Ai) i0
P(B
|
Ai )
P(
C3 7i
C135
Ai
;i
)
C7i C83i C135
3
4
5
解：P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A | B)
1 [1 P(A | B)] 2[1 P(A | B)] 1 4 2 3 23
3
3
3 5 3 4 30
例 一商店出售的某型号的电子管是甲,乙,丙三家工厂生产的,其中 甲厂产品占总数的20%,乙, 丙厂分别为50%, 30%。已知甲,乙, 丙各厂产 品次品率分别为0.01, 0.02, 0.03.试求随意取一只电子管出售,这只电子管 是次品的概率。
Ai {第i个回合乙机击落},i 1,3,则B A1 A3
P(B) P( A1 A3) P( A1) P( A3)显然，P（A1） 0.2
P（A3） P（第一回合中没有击落乙机，第二回合中乙机 没击落甲机，第三回合中甲机击落乙机）
故有P( A3） 0.8 0.7 0.4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基 本事件为左上角的6个，则由条件概率公式得：
P( B | A ) P( AB ) 6 / 20 0.5 P( A ) 12 / 20
方法二：按条件概率的直观意义来求P(B|A)
任取3个球来用,比赛后放回盒中,第二次比赛再从盒中任
取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.
解：Ai {第1次取得i新球},i 0,1, 2,3；B {第二次取得3新球}；
3
利用全概率公式得：P(B) P(Ai) p(B | Ai) i0
P(B
|
Ai )
P(
C3 7i
C135
Ai
;i
)
C7i C83i C135
3
4
5
解：P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A | B)
1 [1 P(A | B)] 2[1 P(A | B)] 1 4 2 3 23
3
3
3 5 3 4 30
例 一商店出售的某型号的电子管是甲,乙,丙三家工厂生产的,其中 甲厂产品占总数的20%,乙, 丙厂分别为50%, 30%。已知甲,乙, 丙各厂产 品次品率分别为0.01, 0.02, 0.03.试求随意取一只电子管出售,这只电子管 是次品的概率。
条件概率
第四节条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A 为“至少有一次为正面”,事件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：分析样本空间}. , , , {TT TH HT HH S=()P B =事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为),(A B P 31)(=A B P 则).(B P ≠4341=()P AB =. , 为反面为正面设T H 引例1一、条件概率},,{},,,{TT HH B TH HT HH A ==21.42=()P A)()()(B P AB P B A P =同理可得为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.条件事件不能是不可能事件条件事件不能是不可能事件，，概率总大于0..)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设B A A P AB P A B P A P B A =>定义定义：：条件概率Conditional Probability例1.家有枣树(Luxun's Jujube Tree)鲁迅在散文里说道鲁迅在散文里说道：：自家院子里有两棵树,一棵是枣树,另一棵也是枣树;如果我们还不知道另一棵是什么树,求另一棵也是枣树的概率.不妨设另一棵可能是榆树不妨设另一棵可能是榆树((或槐树或槐树,,等等等等),),),则事件则事件“院子里有两棵树院子里有两棵树””为样本空间为样本空间，，其元素构成为()P A B =S ={(={(枣枣,枣),(),(枣枣,榆),(),(榆榆,榆)}事件B :已知一棵是枣树已知一棵是枣树，，(即有一棵是枣树即有一棵是枣树););事件A :另一棵也是枣树另一棵也是枣树..则二者的交事件为则二者的交事件为：：两棵都是枣树两棵都是枣树。
由条件概率计算公式由条件概率计算公式::()()P AB P B =1/32/312=例2.发牌(Play Poke)在52张四种花色的扑克(不要小鬼大鬼)里任取一张里任取一张，，已知摸到梅花已知摸到梅花，，求摸到的是梅花九的概率.不妨设样本空间S :={(从52张扑克里任取1张)}解()()()P AB P A B P B =事件B :摸到梅花;事件A :摸到梅花9;则二者的交事件为A ：摸到梅花9。
1_4条件概率
A3 | A1 A2 PAn1 | A1 A2 An-2 PA | A A A
n 1 2 n-1
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乘法公式应用举例
（波利亚Polya罐子模型） a个白球, b个红球
一个罐子中包含a个白球和 b个红球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
P B P ( A B) P (C AB ) 一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且 P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
P A1 A2 An P A1 P A2 | A1 P
下页
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少? 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点}
应用定理
P ( AB) 3 36 1 解法1 P ( A | B) P ( B) 6 36 2 3 1 解法2 P ( A | B) 6 2
下页
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球.
a个白球,b个红球
解 设 Wi={第i次取出是白球} j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
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在B发生后的缩减样本空间中计算
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例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
1-4条件概率全概率公式贝叶斯公式
第四节 条件概率、 全概率公式 与贝叶斯公式
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
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停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
AB 包含的样本点数 P (AB )= . B 包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A= “ 3个中至少有一个女孩” ,
A= “ 3个全是男孩” ,
1 1 P (A )= 3 = , 2 8
17 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
A= “ 3 个小孩中至少有一个女 孩” ,
再设 B = “ 3 个小孩中至少有一个男 孩” , 17 则 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88 设A “有一个男孩两个女孩 ” , 1=
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
下 回
停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
AB 包含的样本点数 P (AB )= . B 包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A= “ 3个中至少有一个女孩” ,
A= “ 3个全是男孩” ,
1 1 P (A )= 3 = , 2 8
17 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
A= “ 3 个小孩中至少有一个女 孩” ,
再设 B = “ 3 个小孩中至少有一个男 孩” , 17 则 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88 设A “有一个男孩两个女孩 ” , 1=
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
1.4条件概率
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
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概率论与数理统计教程
主讲人： 苏本堂
练习
已知P(A)=0.5,P(B)=0.6, P(B|A) 0.4, 计算P(A∪B)， P(B|A)，P( A | B), P( A B).
P( AB ) P( A) P( AB) = P( A | B) = 1 P( B) P( B )
=0.25
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二、 乘法公式(Multiplication formula) (1) 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； (2) 若 P(A1A2 ··An1)>0，则 ·· ·· P(A1A2 ··An) ·· ·· = P(A1)P(A2|A1) ·· P(An|A1A2 ··An1) ·· ·· ·· ··
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例6(罐子模型). 罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次从中 任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异 色球.
记Bi=“第i次取出的是黑球”, Rj=“第j次取出的是红 球”, 若连续从罐中取出3个球,其中有两个红球、一个黑球 .则 P( B R R ) P( B ) P( R | B ) P( R | B R )
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例8：两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并 设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一 零件，问是合格品的概率为多少？
1.4条件概率(课件)
电视机已经使用了3万小时, 求这台电视机使用时间 超过5万小时的概率. 解 设 A “使用时间超过3万小时” B “使用时间超过5万小时”
P A 0.6,
P B 0.24, 要求 P B A
B A, AB B
P ( AB ) P ( B ) 0.24 0.4 P B A 0.6 0.6 P ( A)
P ( B1 B2 R3 R4 ) P ( B1 )P ( B2 B1 )P ( R3 B1 B2 ) P R4 B1 B2 R3 rc r b bc b r b r c b r 2c b r 3c
要求 P ( B1 B2 R3 R4 )
四、 全概率公式 例 若P ( A) 0, P ( A) 0, 则
例 为解一支股票未来一定时期内 价格的变化,
常分析影响股票价格的基本因素, 如利率.
假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的概率为
40%, 利率上调 的概率为 10%, 据经验估计,
在利率下调的情况下, 该股票价格上涨的概率为
80%, 在利率不变的情况下, 股票价格上涨的
概率为40%, 在利率上调的情况下,股票价格上涨
的概率为0. 求该股票价格上涨( B )的概率.
例 假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的 概率为40%, 利率上调的概率为 10%, 经验估计， 在利率下调的情况下,该股票价格上涨的概率
为 80%, 在利率不变的情况下,价格上涨的概率 为 40%, 在利率上调的情况下,价格上涨的概率 的概率. 为0. 求该股票价格上涨( B ) 解 设 A1 , A2 , A3 分别表示 利率下调、不变、上调.
P ( B ) P ( B ) P B ( A A)
P A 0.6,
P B 0.24, 要求 P B A
B A, AB B
P ( AB ) P ( B ) 0.24 0.4 P B A 0.6 0.6 P ( A)
P ( B1 B2 R3 R4 ) P ( B1 )P ( B2 B1 )P ( R3 B1 B2 ) P R4 B1 B2 R3 rc r b bc b r b r c b r 2c b r 3c
要求 P ( B1 B2 R3 R4 )
四、 全概率公式 例 若P ( A) 0, P ( A) 0, 则
例 为解一支股票未来一定时期内 价格的变化,
常分析影响股票价格的基本因素, 如利率.
假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的概率为
40%, 利率上调 的概率为 10%, 据经验估计,
在利率下调的情况下, 该股票价格上涨的概率为
80%, 在利率不变的情况下, 股票价格上涨的
概率为40%, 在利率上调的情况下,股票价格上涨
的概率为0. 求该股票价格上涨( B )的概率.
例 假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的 概率为40%, 利率上调的概率为 10%, 经验估计， 在利率下调的情况下,该股票价格上涨的概率
为 80%, 在利率不变的情况下,价格上涨的概率 为 40%, 在利率上调的情况下,价格上涨的概率 的概率. 为0. 求该股票价格上涨( B ) 解 设 A1 , A2 , A3 分别表示 利率下调、不变、上调.
P ( B ) P ( B ) P B ( A A)
1-4条件概率及其应用
解
令 A 任取一箱通过了检查
Bi 任取一箱中有i只次品 i 0,1,2,3,4
由全概率公式得：
4 i 0
次品数 0 P 0.1
1
2
3
4
0.2
10 98 10 100
0.4
0.2
0.1
(1) P ( A) P ( Bi )P ( A / Bi )
C 0.1 1 0.1 C
请自行写出.
二、 乘法公式 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
1
2
3
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B ) P ( A1 ) P ( B｜A1 ) P ( A2 ) P ( B｜A2 )
运用全概率公式得
P ( A3 ) P ( B｜A3 )
代入数据计算得：P(B)=8/15
实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率. 1红 4白 或者问: 1 2 3 该球取自哪号箱的可能 性最大? 这一类问题在实际中更为常见，它所求 的是条件概率，是已知某结果发生条件下， 求各原因发生可能性大小.
§1.4 条件概率及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
1.4：条件概率
P( Bi ) 0(i 1,2,, n,),
则有 P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi ).
i 1
AB1
AB2
…
ABn
B1
B2 …
Bn S
… …
{ Bi : i 1, 2, , n, } 证: 因为 为S 的一个划分,
得 AB1 , AB2 ,, ABn , 两两互不相容；
称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率, 简称为B 在 A之下的条件概率. 在例1中, 我们已求得 还可求得 故有
P AB P B A . P A
4 P A , 16
3 1 P B , P B A , 16 4 1 P AB , 16
P B1 P A B1
P B P A B
3 i 1 i i
25 5 25 100 100 0.3623. 25 5 35 4 40 2 69 ＋ ＋ 100 100 100 100 100 100
同理可求得. P B 2 A 28 0.406 P B3 A 16 0.2319
划分, 且 P( A) 0, P( Bi ) 0(i 1,2,, n,),
则
如果已知事件A已经发生, 求A的用Bayes公式.
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例8: 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉, 每个车 间的产量分别占总产量的25%, 35%, 40%. 若每个车间成品中 的次品率分别占产量的5%, 4%, 2%. 任意从全厂产品中抽出 一个螺钉, 发现它恰是次品, 问是甲车间生产的概率是多少? 解: 设 A = “抽到次品”, Bi = “螺钉抽自i车间”, i =甲,乙,丙 . 由贝叶斯公式 , P B1 A
1-4 条件概率
则称 B1 , B2 , , Bn 为样本空间 的一个划分.
B2
B3
B1
Bn1 Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 , A 为 E 的事件, B1 , B2 , , Bn为 的一个划分, 且 P ( Bi ) 0(i 1, 2, , n), 则 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P (料
定理 设试验 E 的样本空间为 . A 为 E 的事件, B1 B2 , , Bn 为 的一个划分, 且 P ( A) 0, P ( Bi ) 0, (i 1,2, , n), 则 P ( Bi A) P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B ) P( B )
1.4 条件概率
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反 两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
引例
分析
设 HH HT. , TH , TT }. H{ 为正面 , T,为反面
三、全概率公式
例1.21 一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球， 从中先后随意各取球（不放回），求第二次取到 的是黑球的概率。
全概率公式的推导 1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, B1 , B2 , , Bn 为 E 的一组事件, 若 (i) (ii ) Bi B j , i j , i, j 1, 2, , n ; B1 B2 Bn .
1.4条件概率
性质: 性质 (1)非负性 0≤P(A|B)≤ 1 非负性: 非负性 (2) 规范性 P(Ω|B=1) 规范性: Ω (3)可列可加性 若Ak (k=1, 2, …)两两互 可列可加性:若 可列可加性 两两互 ∞ ∞ 斥,则 则
P ( U Ak | B ) = ∑ P ( Ak | B )
k =1 k =1
P( AB) 一、条件概率 P( A| B) = P(B)
二、乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B) 三、全概率公式 P( A) = ∑P(Bi )P( A| Bi )
i =1 n
四、贝叶斯公式
P(Bk | A) = P(Bk )P( A| Bk )
∑P(B )P(A| B )
i =1 i i
例4 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品 每批产品中各有一件废品,现在先从 十件 每批产品中各有一件废品 现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 第一批产品中任取一件放入第二批中 然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 后再从第二批中任取一件 求这时取到废 品的概率 取到废品” 取到废品 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 从第一批中取到的是废品” 从第一批中取到的是废品
A1 A2 A3 A4 :“第四次才取到红球” 第四次才取到红球” 第四次才取到红球
P ( A1 ) =
b a+b
b−1 P ( A2 | A1 ) = a + b−1 P ( A3 | A1 A2 ) = b − 2 a+b−2 a P ( A4 | A1 A2 A3 ) = a+b−3
故: P ( A1 A2 A3 A4 )
1 , P ( B ) = 11 有, P ( B ) = 12 12
第三节 条件概率
(2)P(A1
|
B)
P(A1B)
P(B)
P(A1)P(B|A1) P(B)
0.450.020.3051. 0.0295
第十页，课件共有25页
定理1.2 在随机试验E中, 设A1,A2,···,An 构成一个完备事件组,且P(Ai)>0,i=1,2,3,···,n. B为任意事件, P(B)>0,则
0.3429.
第二十页，课件共有25页
练习： 根据以往的临床记,录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果 : 若以A 表示事件“试验反应 为阳性”,以C 表示事件“被诊断者有患癌症” ,则 有 P(AC) 0.95, P(AC) 0.95. 现在对自然人群 进行普查,设被试验的人患有癌的症概率为0.005, 即P(C) 0.005, 试求P(C A).
0.60.40.80.192
第七页，课件共有25页
例3. 有甲、乙两个同型号的箱子，甲箱中装有3个红
球2个白球，乙箱中装有4个红球3个白球。现在
任意取一箱，再从该箱中任意取出一球，求： (1)恰好取到甲箱的白球的概率； (2)取到白球的概率。
解：A表示取到甲箱， B表示取到白球， 则 (1 )P (A B )P (A )P (B |A )1 21 ; 255
分别是0.4、0.6、0.8。分别求出问题由甲、乙、
丙答出的概率。
解：设A、B、C分别表示问题由甲、乙、丙答出，
则
P(A)0.4；
P ( B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) 0 .6 0 .6 0 .3 6 ;
P (C )P (A B C )P (A )P (B |A )P (C |A B )
解：A表示第一次取到红球， B表示第二次取到白球，则
第一章-4条件概率
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生 的概率,这时称事件A、B独立.
由乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)，可知当事件 A、 B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约. 一、Байду номын сангаас事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.
P ( A1 A 2 A 3 ) 0. 002 .
P ( A 3 | A1 A 2 ) 95 , 98
例6 一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球.随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，且再加进c个与 所抽出的球具有相同颜色的球， 共进行四次，求第 1、2次取到白球，且第3、4次取到红球的概率. 解 设 Wi={ 第 i 次取出是白球 }, i = 1,2,3,4， Rj ={ 第 j 次取出是红球 }， j =1,2,3,4， 于是 W1W2 R3 R4 表示事件 “连续取的四个球，第1 、第2个是白球，且第3、4个是红球 ” . P(W1W2R3R4)= P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3)
P( B)
A B , P ( AB) P ( A) 0. 6 ,
P( A| B) 1 0. 6 0. 25 , 0. 8
该建筑经历了50年之后将10年内倒塌的概率为0. 25 .
（二） 乘法公式 P ( AB) P 由条件概率的定义： ( A | B)
P ( B)
例5 设100件产品，其中有5件次品. 从中连续取3次， 每次不放回地取 1 件，求第 3 次才取到正品的概率
1.4 条件概率与全概率公式
PB A
2020年5月4日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第四节 --第8页--
例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件 是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件， 现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产 的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
所求为P(AB).
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
2020年5月4日星期一
甲、乙共生产
1000 个
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第四节 --第9页--
设B={零件是乙厂生产}300个
A={是标准件}
乙厂生产
189个是
标准件
所求为P(AB) .
若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”
于是得
PB1
1 2
P( A | B1)
PB1 A
P(B1A) P( B1 )
1 2
PA
1 4
2020年5月4日星期一
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第一章 第四节 --第18页--
第一章 随机事件与概率
二、 乘法定理
2020年5月4日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第四节 --第19页--
乘法法则
P( AB) P( A)P(B A) P(B)P(A B)
推广
P(B A) P( AB) P( A)
P( A B) P( AB) P(B)
P(ABC) P(A)P(B A) P(C | AB)
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第一章 第四节 --第8页--
例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件 是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件， 现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产 的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
所求为P(AB).
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
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甲、乙共生产
1000 个
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第一章 第四节 --第9页--
设B={零件是乙厂生产}300个
A={是标准件}
乙厂生产
189个是
标准件
所求为P(AB) .
若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”
于是得
PB1
1 2
P( A | B1)
PB1 A
P(B1A) P( B1 )
1 2
PA
1 4
2020年5月4日星期一
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第一章 第四节 --第18页--
第一章 随机事件与概率
二、 乘法定理
2020年5月4日星期一
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第一章 第四节 --第19页--
乘法法则
P( AB) P( A)P(B A) P(B)P(A B)
推广
P(B A) P( AB) P( A)
P( A B) P( AB) P(B)
P(ABC) P(A)P(B A) P(C | AB)
1.4条件概率
解 (2) 在已知 A2 发生, 即第二次取到的是黑球的 条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球 发生在第二次取球之前, 故问题的结构不像 (1) 那
么直观. 我们可按定义计算 P ( A1 | A2 ) 更方便一些. 由
P32 1 P( A1 A2 ) 2 , P10 15
P ( A2 ) 3 10
则
(3)
设 A1 , A2 ,, An 为n个事件, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0,
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
P ( An A1 A2 An1 ).
完
例 3 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球、7 个白 球, 先后两次从中随意各取一球 (不放回), 求两次 取到的均为黑球的概率. 解 设 Ai 表示事件“第 i 次取到的是黑球”( i 1,2), . 则 A1 A2 表示事件“两次取到的均为黑球”由题 设知
是黑球的概率. 解
( i 1,2). 记 Ai 为事件“第i 次取到的是黑球”
(1) 在已知 A球就在剩下的 2 个黑球、7 个白球 共
9 个球中任取一个, 根据古典概率计算,
解
( i 1,2). 记 Ai 为事件“第i 次取到的是黑球”
这个公式是常用的.
例 5 人们为了解一只股票 未来一定时期内价格的
变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比 如利率的变化. 现假设人们经分析估计 利率下调 的概率为 60%, 利率不变的概率为 40%. 根据经 验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票 价格上涨的概率为 80%, 而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为 40%, 求该支股票将上涨的 概率. 解 记 A 为事件“利率下调”那 , 么 A 即为“利率 不变”, 记 B 为事件“股票价格上涨”.依题设知
1-4条件概率公式与乘法公式
该如何定义和计算 P( A | B)?
条件概率的定义
例 一个家庭有两个小孩，已知其中有一个是男孩，求 另一个也是男孩的概率（假设生男生女是等可能的）？
解 设样本空间为 Ω ={(男,男), (男,女), (女,男), (女,女)}
设A表示“两个都是男孩” , B表示“其中有一个是男孩”
则A= {(男,男)} ，B= {(男,男), (男,女), (女,男)}, 显然有 P( A | B) = 1 , 如果不知道B已经发生的信息，那么事件
解 用A、B、C分别表示问题由甲、乙、丙答出，
（1）P(B) = P( AB)= P( A)P(B | A)= 0.6 × 0.6 = 0.36
（2）P(C ) = P( A BC ) = P( A)P(B | A)P(C | A B)
= 0.6 × 0.4 × 0.8 = 0.192
解 设 Ai 表示“第 i 人抽到‘好’签”，则
P
(
A1
)
=
1 10
且 A2 ⊂ A1;
= P( A2 )
P= ( A1 A2 )
91 1
P( A1 )P( A2 A1 ) =
⋅= 10 9
; 10
P( A3 )
P= ( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) =
9 ⋅8⋅1= 10 9 8
1 ;
10Βιβλιοθήκη P( A10 ) P= ( A1 A9 A10 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A10 A1 A9 ) = 9 ⋅ 8 ⋅ ⋅ 1 ⋅1= 1 ; 10 9 2 10
注 此题表明抽到“好”签的概率与抽签顺序无关。
条件概率的定义
例 一个家庭有两个小孩，已知其中有一个是男孩，求 另一个也是男孩的概率（假设生男生女是等可能的）？
解 设样本空间为 Ω ={(男,男), (男,女), (女,男), (女,女)}
设A表示“两个都是男孩” , B表示“其中有一个是男孩”
则A= {(男,男)} ，B= {(男,男), (男,女), (女,男)}, 显然有 P( A | B) = 1 , 如果不知道B已经发生的信息，那么事件
解 用A、B、C分别表示问题由甲、乙、丙答出，
（1）P(B) = P( AB)= P( A)P(B | A)= 0.6 × 0.6 = 0.36
（2）P(C ) = P( A BC ) = P( A)P(B | A)P(C | A B)
= 0.6 × 0.4 × 0.8 = 0.192
解 设 Ai 表示“第 i 人抽到‘好’签”，则
P
(
A1
)
=
1 10
且 A2 ⊂ A1;
= P( A2 )
P= ( A1 A2 )
91 1
P( A1 )P( A2 A1 ) =
⋅= 10 9
; 10
P( A3 )
P= ( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) =
9 ⋅8⋅1= 10 9 8
1 ;
10Βιβλιοθήκη P( A10 ) P= ( A1 A9 A10 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A10 A1 A9 ) = 9 ⋅ 8 ⋅ ⋅ 1 ⋅1= 1 ; 10 9 2 10
注 此题表明抽到“好”签的概率与抽签顺序无关。
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