一次函数中的最值问题

一次函数中的最值问题
问题1 如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B 两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?
问题2 如图，已知点A （4，3），点B （0，1）。

(1)求一次函数解析式； (2)若点C 是x 轴上一动点，当AC +BC 的值最小时，求C 点坐标。

问题3 如图，已知点
A （4，3），点
B （0，-1）。

若点
C 是x 轴上一动点，当BC AC 的值最大时，求C 点坐标.
问题4 如图，已知点A （4，3）。

若点C 是直线y=-x+4上一点，B 是直线x=5上一点，当△ABC 的周长最小时，求C 、B 两点的坐标.
问题5 如图，已知点A （4，3）,B （1，2）。

若点C 是y 轴上点，D 是x 轴上一点，当四边形ABCD 的周长最小时，求C 、D 两点的坐标.
问题6 如图,平面直角坐标系中A (1,4),B (3,2)，C. D 为x 轴上两动点，且CD =1，试求四边形ACDB 周长最小时，C. D 两点的坐标。

问题7 已知直角坐标系内的点A (4,1)、B (3,2)，试分别在直线y =x 和x 轴上找点C. D 使得四边形ABCD 的周长最短。

(1)作图(并写出作法) (2)写出C. D 两点坐标。

问题8如图,已知点A (2,0)、B (−1,1)，点P 是直线y =−x +4上任意一点。

(1)当点P 在什么位置时，△P AB 的周长最小?求出点P 的坐标及周长的最小值；
(2)在(1)的条件下，求出△P AB 的面积。

B
问题2（1）把点A、B的坐标代入一次函数解析式y=kx+b（k≠0）列出关于k、b的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；
（2）利用轴对称--最短距离来求点C的坐标．作点A （4，3）关于x轴的对称点A′（4，-3），连接BA′交x轴于点C，则此时AC+BC取得最小值．然后利用待定系数法求得直线BA′的解析式，然后将y=0代入求得的直线的解析式即可求得点C的坐标．
解答：
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).依题意，得
{4k+b=3b=1，
解得,⎧⎩⎨k=12b=1，
所以,该一次函数的解析式为：y=1/2x+1；
(2)如图,作点A(4,3)关于x轴的对称点A′(4,−3),连接BA′交x轴于点C，则此时AC+BC取得最小值。

设直线BA′的解析式为y=kx+1，依题意
−3=4k+1.
k=−1.
∴直线BA′的解析式为y=−x+1.
令y=0，则x=1.
∴C(1,0).
问题3解答：
先把B关于X轴对称得到B'点。

BC=B'C当c不在AB'线上时，根据三角形定理，|AC-BC|小于AB'，当C在AB'上时，|AC-BC|等于AB'，所以当C在AB'上时，|AC-BC|最大，这个时候先求出AB'的方程是y=1/2x+1，求出C点坐标为（-2,0）
问题4案
解析本题主要考察
了学生对于一次函数的理解以及点到直线距离公式的应用，结合题干所给出的已知条件以及图形，我们可以通过计算可以得出B点的坐标为B（5，-1）此时已知A点的坐标为（4,3）再结合△ABC的周长最小的条件即可以算出C点的坐标
问题5解析
首先作B关于y轴的对称点B1，作A点关于x轴的对称点A1，根据当四边形ABCD的周
长最小时，连接B1A1交点即为所求.
解答
解：作B关于y轴的对称点B1，作A点关于x轴的对称点A1，
∴B1(-1，2)，A1(4，-3)，
连接B1A1交点即为C和D的坐标，
设过B1点A1点函数表达式为y=kx+b，把B1(-1，2)，A1(4，-3)，代入可得，
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2=−k+b−3=4k+b，
解得，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩k=−1b=1，
∴函数表达式为：y=-x+1，
当x=0时，y=1，当y=0，x=1，
∴C(0，1)，D(1，0).
故答案为：
C(0，1)，D(1，0).
点评
本题主要考查了一次函数的综合应用，解答的关键是作出B点，A点关于x轴，y轴的对称点，连接B1A1交点即为C和D的坐标，此时四边形ABCD的周长最小时.
问题6
如图,平面直角坐标系中A(1,4),B(3,2)，C. D为x轴上两动点，且CD=1，试求四边形ACDB 周长最小时，C. D两点的坐标。

考点：
轴对称-最短路线问题，坐标与图形性质
分析：
作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（1，-4），把A′向右平移1个单位得到点B′（2，-4），连接BB′，与x轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=6x-16，易得D点坐标为（
8
3
，0），则根据CD=1即可求得C的坐标为（
5
3
，0）．
解答：
作点A关于x轴的对称点A′,则A′的坐标为(1,−4),把A′向右平移1个单位得到点B′(2,−4),连接BB′,与x轴交于点D,过A′作A′C∥B′D交x轴于C，如图，
∴CA′=CA，
∵A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短。

设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B(3,2)、B′(2,−4)分别代入得{3k+b=22k+b=−4，
解得k=6，b=−16，
∴直线BB′的解析式为y=6x−16，
令y=0，则6x−16=0，
解得x=83，
∴D点坐标为(83,0)，
∵CD=1，
∴C(53,0).
问题7考点：
一次函数综合题，轴对称-最短路线问题
分析：
（1）首先分别作出A、B关于x轴、直线y=x的对称点，然后连接对称点得到C、D即可求解；
（2）根据（1）的作图即可求出C、D两点坐标．
解答：
(1)如图，作A关于x轴的对称点E，B关于直线y=x的对称点F，然后连接EF交x轴、直线y=x分别为C. D两点，最后连接AB、BC、CD、DA 即可得到四边形ABCD；
(2)根据(1)得：E(4,−1)，F(2,3)，
设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴{−1=4k+b3=2k+b，
∴k=−1，b=5，
∴直线EF的解析式为y=−x+5，
当x=y时，x=2.5=y，
当y=0时，x=5，
∴C(2.5,2.5)，D(5,0).
问题8如图,已知点A(2,0)、B(−1,1)，点P是直线y=−x+4上任意一点。

(1)当点P在什么位置时，△P AB的周长最小?求出点P的坐标及周长的最小值；
(2)在(1)的条件下，求出△P AB的面积。

解答：
(1)作出点A关于直线y=−x+4的对称点C，连结BC交直线于点P，
∴P A=PC，AD=CD，
则PB+P A=PB+PC=BC，
由直线y=−x+4得与x轴上的交点D为(4,0)、与y轴的交点为E为(0,4)，∴OD=OE=4,则∠ODE=45∘,则∠ADC=90∘，
∴AD=CD=2，
∴点C的坐标是(4,2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有{−k+b=1 4k+b=2，
解得：k=1/5,b=6/5，
即直线BC的解析式为：y=1/5x+6/5.
由方程组⎧⎩⎨y=1/5x+6/5 y=−x+4得：⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x=7/3 y=5/3，
即P的坐标是(7/3,5/3)，
由勾股定理得BC=√26、AB=√10，
∴△P AB的周长是√26+√10;
(2)直线y=x+4与x轴交于F点，如图2，
由直线BC的解析式y=1/5x+6/5得：点F的坐标是(−6,0)，
∴S△P AB=S△P AF−S△BAF=1/2×AF×(5/3−1)=8/3.。