初中数学巧添辅助线解证几何题完整版

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巧添辅助线解证几何题

巧添辅助线解证几何题

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巧添辅助线解证几何题
作者:倪小芳
来源:《数理化学习·初中版》2013年第06期
在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的问题加以解决.值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关.下面我们分别举例加以说明.
一、倍角问题
二、中点问题
三、线段的和差问题
四、垂线段问题
五、梯形问题
[江苏省金坛市第五中学(213200)]。

初中数学巧添辅助线解证几何题范文

初中数学巧添辅助线解证几何题范文

巧添辅助线 解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。

值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题研究∠α=2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。

倍角问题分两种情形:1、∠α与∠β在两个三角形中,常作∠α的平分线,得∠1=12∠α,然后证明∠1=∠β;或把∠β翻折,得∠2=2∠β,然后证明∠2=∠α(如图一)2、 ∠α与∠β在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形。

倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线(如图二)C DBC 、∠BAC 和∠C AB=AC ,∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC )=90°-12∠BAC 。

∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC= 12∠BAC分析二:∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把∠A 放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。

证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E ,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC (同角的余角相等)即∠DBC=12∠BAC 。

证法三:如图3,在AD 上取一点E ,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C ∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明:例1也可以取BC 中点为E ,连接DE ,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。

巧添辅助线解几何题(辅导练习题目)

巧添辅助线解几何题(辅导练习题目)

巧添辅助线解几何题(辅导练习题目)(答题时间:25分钟)1. 如图,求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数。

AB EOC D2. 如图,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F 。

求证:AF=EF 。

AFEB D C3. 已知E 是正方形ABCD 边CD 上的中点,点F 在BC 上,且∠DAE=∠FAE 。

求证:AF=AD +CF 。

A DEB F C4. 已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,BE 平分∠ABC ,CE ⊥BE 。

求证:CE=12BD 。

AEB C D【试题答案】1. 解:连结CDAB EOC D∵∠ECD+∠BDC=∠B+∠E=180°-∠BOE=180°-∠COD∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ECD+∠BDC+∠ACE+∠ADB=∠A+(∠ECD+∠ACE)+(∠BDC+∠ADB)=∠A+∠ACD+∠ADC=180°2. 证明:延长AD至G,使DG=AD,连结BGAFEB D CG∵BD=DC,∠BDG=∠ADC∴△BGD≌△CAD∴BG=AC=BE,∠G=∠CAD∴∠G=∠BEG=∠AEF∴∠AEF=∠CAD ∴AF=EF3. 过E作EG⊥AF于GA DEGB F C∵∠D=90°,∠AGE=90°AE平分∠DAF ∴ED=EG∵ED=EC ∴EG=EC∵∠EGF=∠C=90°EF=EF∴△EGF ≌△ECF (HL ) ∴GF=FC ∵ED=EG ,AE=AE ,∠D=∠AGE=90° ∴△ADE ≌△AGE (HL ) ∴AD=AG ∴AF=AG +GF=AD +FC即AF=AD +FC4. 证明:延长BA 交CE 的延长线于FFD AE B C∵BE 平分∠ABC ,CE ⊥BE∴CE=12CF又∵AB=AC ,∠BAC=∠CAF=90°∠ACF=∠ABD=90°-∠F∴△ACF ≌△ABD ∴CF=BD∴CE=12CF BD。

中考数学复习指导:巧添辅助线妙解题

中考数学复习指导:巧添辅助线妙解题

巧添辅助线妙解题在解决问题过程中,由于有些问题不能直接找到已知与未知的联系,这时需要添加辅助线,使隐蔽的条件显现出来.通过集中使用图中的元素,将图形转化为我们熟悉的基本图形,就会想起曾经学过的定义、定理,从而实现未知向已知的转化.不少学生由于没有掌握规律而盲目尝试,结果不能合理地添加辅助线.其实留心一下,添加辅助线是有规律可循的.现举例如下.一、连结两点例1 如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x+4分别交x轴,y轴于A,B两点,点C为OB的中点,点D在第二象限,且四边形AOCD为矩形.P是线段CD上一个动点,过点P作PH⊥OA,垂足为H,点Q是点B关于点A的对称点,则BP+PH+HQ的最小值为.分析连结CH,就可以集中使用图中的元素,则四边形PHCB是平行四边形,则BP =CH,PH=2,那么BP+PH+HQ=CH+HQ+2.转化成CH+HQ何时取最小值,学生自然会想起学过的定理两点间线段最短.还可以由PH⊥OA,PH=2始终不变,则要使BP +PH+HQ有最小值,则BP∥QH,求得点P的坐标,点Q的坐标,就会得到所求.二、过一点作已知直线的平行线或垂线例2 “三等分任意角”是数学史上一个著名问题,已知一个角∠MAN,设∠α=∠MAN.(1)当L MAN=69°时,∠α的大小为_______(度);(2)如图2,将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1 cm,的网格中,角的一边AM 与水平方向的网格线平行,另一边AN经过格点B,且AB=2.5 cm.现要求只能使用带刻度的直尺,请你在图中作出∠α,并简要说明作法(不要求证明).分析(1)略;(2)利用网格结构,作以点B为直角顶点的直角三角形,并且使斜边所在的直线过点A,且斜边的长度为5,就可以集中使用图中的元素,再根据想起的定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度,再结合三角形的外角性质可知,∠BAD=2∠BDC,再根据想起的两直线平行,内错角相等可得∠BDC=∠MAD,从而得到∠MAD=∠MAN.解(1)根据题意,计算即可得解:×69°=23°;(2)如图2,让直尺有刻度一边过点A,设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C,与过点B水平方向的网格线交于点D,保持直尺有刻度的一边过点A,调整点C.D的位置,使CD=5 cm,画射线AD,此时∠MAD即为所求的∠α.三、延长线段例3 如图3,OA=4,线段OA的中点为B,点P在以O为圆心,OB为半径的圆上运动,PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时,cos ∠OQB的值等于( )分析本题综合考查了三角形中位线定理,余弦的定义和圆的性质.解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形,就可以集中使用图中的元素.先构造直角三角形QBC,再根据想起的三角形中位线定理分别求出QB.QC的长,再根据想起的余弦定义即可求出结果.解当点P运动到点Q恰好落在⊙O上时,连结BC,OP,再延长QO交⊙O于点C,连BC,则∠CBQ=90°,故选C.在初中平面几何教学中,可发现学生普遍对添加辅助线有畏惧心理,在平时的教学与学习中,多注意此类问题的分析与总结,可以提高我们分析问题,解决问题的效率和数学思维能力.。

(完整)八年级数学上册几何添辅助线专题

(完整)八年级数学上册几何添辅助线专题

DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形.3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

初中数学辅助线添加及例题大全

初中数学辅助线添加及例题大全

初中数学辅助线的添加人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。

一.添辅助线有二种情况:(按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90 °;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

(按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下:(1 )平行线是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2 )等腰三角形是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3 )等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5 )三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(完整版)初中数学辅助线大全-详细例题付答案

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初中数学辅助线大全 详细例题付答案[引出问题] 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。

值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

下面我们分别举例加以说明。

[例题解析]一、倍角问题 例1:如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 。

求证:∠DBC=12∠BAC.分析:∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。

证法一:∵在△ABC 中,AB=AC , ∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC )=90°-12∠BAC 。

∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二:∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。

证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E ,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC (同角的余角相等)即∠DBC=12∠BAC 。

证法三:如图3,在AD 上取一点E ,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明:例1也可以取BC 中点为E ,连接DE ,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证:BC 2=AC 2+AC •AB分析:由BC 2=AC 2+AC •AB= AC (AC+AB ),启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形。

八年级数学上册几何添辅助线专题

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明DCBA全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

(完整版)八年级几何辅助线专题训练

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常见的辅助线的作法1. 等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线:(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。

4. 垂直平分线联结线段两端:在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。

5. 用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法:有一个角为60度或120 度的把该角添线后构成等边三角形.7. 角度数为30度、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30 度或60 度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 面积方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.一、等腰三角形“三线合一”法1. 如图,已知△ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,BE 平分∠ABC ,CE ⊥BD 于E , 求证: CE= BD.中考连接:(2014?扬州,第 7题, 3分)如图,已知∠ AOB=60°,点 P 在边OAOP=12,点 M ,N 在边 OB 上, PM=PN ,若 MN=2,则 OM=()A .3B .4C . 5D .6 二、倍长中线(线段)造全等例 1、(“希望杯”试题)已知,如图△则中线 AD 的取值范围是 ______ .例 2、如图,△ABC 中,E 、F 分别在 AB 、AC 上,DE ⊥DF ,D 是中点,试比较 BE+CF例 3、如图,△ ABC 中, BD=DC=A ,CE 是 DC 的中点,求证: AD 平分∠ BAE.ABC 中, AB=5,AC=3,与 EF 的大小DEC B中考连接:09 崇文)以的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABC和等腰Rt ACE,BAD CAE 90 ,连接DE,M、N 分别是BC、DE的中点.探究:AM 与DE 的关系.(1)如图① 当ABC为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是,线段AM 与DE 的数量关系是;(2)将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90)后,如图三、借助角平分线造全等1、如图,已知在△ ABC中,∠ B=60°,△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=ODA B2、如图,已知点C 是∠ MAN 的平分线上一点,CE⊥AB 于E,B、D 分别在AM、AN 上,且AE= (AD+AB ).问:∠1和∠2有何关系?中考连接:(2012年北京)如图①,OP是∠ MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

(word完整版)八年级数学上册几何添辅助线专题

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之 间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

三角形中两中点,连接则成中位线。

1.等腰三角形“三线合一”法: 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线 合一”的性质解题 2•倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三 角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二 常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个 角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形•2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形•3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交, 形成一对全等三角形。

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初中数学巧添辅助线解证几何题HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】巧添辅助线解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。

值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题研究∠α=2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。

倍角问题分两种情形:1、∠α与∠β在两个三角形中,常作∠α的平分线,得∠1=12∠α,然后证明∠1=∠β;或把∠β翻折,得∠2=2∠β,然后证明∠2=∠α(如图一)2、∠α与∠β在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形。

倍角三角形问例1:如图1AB=AC,BD⊥AC于D。

求证:∠DBC=12∠BAC.分析:∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。

证法一:∵在△ABC 中,AB=AC ,∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC )=90°-12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二:∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把∠A 放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。

证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E ,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC (同角的余角相等)即∠DBC=12∠BAC 。

证法三:如图3,在AD 上取一点E ,使DE=CD连接BE∵BD⊥AC∴BD是线段CE的垂直平分线∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC= 12∠BAC说明:例1也可以取BC中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。

同学们不妨试一试。

例2、如图4,在△ABC中,∠A=2∠B求证:BC2=AC2+ACAB分析:由BC2=AC2+ACAB= AC(AC+AB),启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知,构建以AB为腰的等腰三角形。

证明:延长CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一个外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC ∴AC BC BC CD∴BC2=ACCD AD=AB∴BC2= AC(AC+AB)=AC2+ACAB二、中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。

这类问题常用三种方法添加辅助线(1)延长中线至倍(或者倍长中线),如图一。

若图形中没有明显的三角形的中线,也可以构造中线后,再倍长中线,如图二。

(2)构造中位线,如图三(3)构造直角三角形斜边上的中线,如图四。

图一图二图三图四[例题解析]例3.已知:如图,△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。

求证:BD=CE Array分析:由于BD、CE的形成与D、E两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以关系不明显,由于条件F是DE的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。

由已知AB=AC,联系到当过D点或E点作平行线,就可以形成新的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD或CE移动一下位置,从而使问题得解。

证明:证法一:过点D作DG∥AC,交BC于点G(如上图)∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE∵AB=AC ∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB ∴BD=DG∵F是DE的中点∴DF=EF在△DFG 和△DEFC中,∴△DFG≌EFC∴DG=CE ∴BD=CE证法二:如图,在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH∵F是DE的中点∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BC ∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明:本题信息特征是“线段中点”。

也可以过E作EM∥BC,交AB延长线于点G,仿照证法二求解。

例4.如图,已知AB∥CD,AE平分∠BAD,且E是BC的中点求证:AD=AB+CD证法一:延长AE交DC延长线于F ∵AB∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF∵E是BC的中点∴BE=CE在△ABE和△CEF中∴△ABE≌△CEF∴AB=CF∵AE平分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠F∴AD=DF∵DF=DC+CFCF=AB∴AD=AB+DC证法二:取AD中点F,连接EF ∵AB∥CD,E是BC的中点∴EF是梯形ABCD的中位线∴EF∥AB , EF=12(AB+CD)∴∠BAE=∠AEF ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF∵AF=DF∴EF=AF=FD=12 AD∴12(AB+CD)=12AD∴AD=AB+CD三.角平分线问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。

常用的辅助线有两种:1.以角平分线所在直线为对称轴,构造全等三角形,如图一、二所示。

2.由角平分线上的点向角的两边做垂线,构造全等三角形,如图二所示。

图一图二图三[例题解析]例5.如图(1),OP是∠MON的平分线,请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题。

(1)如图(2),在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F,请你判断并写出EF与FD之间的数量关系。

(2)如图(3),在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

(3)解:(1)EF=FD(2)答:(1)结论EF=FD仍然成立理由:如图(3),在AC上截取AG=AE,连接FG在△AEF和△AGF中,∴△AEF≌△AGF∴EF=GF, ∠EFA=∠GFA由∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC∠BCA的平分线可得∠FAG+∠FCA=60°∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°∴∠GFC=60°在△CFG和△CFD中∴△CFG≌△CFD∴FG=FD又因为EF=GF∴EF=FD说明:学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力。

抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。

解法二:(2)答(1)中的结论EF=FD仍然成立。

理由:作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD中∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC =∠BEF在△EFG和△DFM中∴EFG≌△DFM∴EF=DF四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b,称为线段的和差问题,常用的辅助线有两种:1.短延长:若AB=a,则延长AB到M,使BM=b,然后证明AM=c;2.长截短:若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,然后证明MB=b。

[例题解析]例6 如图,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,试探究线段PD、PE、CM的数量关系,并说明理由。

分析:判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析:在CM上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE答:PD+PE=CM证法一:在CM上截取MQ=PD,连接PQ.∵CM⊥AB于M, PD⊥AB于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM∥DP∴四边形PQMD为平行四边形∴PQ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠ECP∴∠QPC=∠ECP∵PE ⊥AC 于E∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE∴PD+PE=CM分析2:延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,再证明PN=PE证法2:延长DF 到N ,使DN=CM ,连接CN同证法一得平行四边形DNCM ,及△PNC ≌△PEC∴PN=PE∴PD+PE=CM分析3:本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM , 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解。

证法三:连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=•∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+=说明:当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解。

五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时,而所研究的问题关系又不明显时,可以借助于可求图形的面积转化。

常用的面积关系有:1. 同(等)底的两个三角形的面积与其高的关系;2. 同(等)高的两个三角形的面积与其底的关系。

[例题解析]例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证:AB PFBC PE=分析:将比例式AB PFBC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF •=•1122,即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的。

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