悬链线方程的推导

悬链线方程的推导

柔软的绳子上质量分布均匀，绳子两端悬挂在同一水平面的两点，悬挂点间距小于绳子总长，求绳子的形状满足的曲线方程。

解：根据对称性，只考查一半绳子，图示坐标系中，A(0,b)是绳子最低点，B(x ，y)是绳子上的任意一点。分析绳子受力情况，在B 点受到拉力T ，在A 点受到水平向左的拉力f ，平衡条件：

cos T f θ= 《1》 sin T gs θλ= 《2》

λ是单位长度绳子的质量，s 是AB 的长度：

0s =⎰ 《3》

θ是拉力T 与水平方向的夹角，符合：tan y θ'= 《4》

推出

01y d x a '=⎰ 《5》其中1g f a

λ= 两边对x 求导，得到

a y

''= 《6》 边界条件：(0),(0)0y b y '== 《7》

对《6

dx a '

=积分得到1arcsinh x y C a '=+1sinh x y C a ⎛⎫'→=+ ⎪⎝⎭

代入边界条件(0)0y '=得C 1=0:sinh x y a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭

《8》 进一步积分得到 2c o s h x y a C a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

代入边界条件y(0)=b 解得2C b a =-，

所以所求悬链线方程为 cosh 1x y a b a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ (注：题头右图中a=1，b=0.5)