三十七 简单的立体图形

三十七简单的立体图形
在我们生活的空间中有许多物体，如果把它们画在纸平面上就叫作立体图形．立体图形千差万别，形态各异，甚至有的非常复杂．下面我们只研究图37－1中的几种简单的立体图形，它们的名称就列在图的下面．
图37-1
也许有的同学会好奇地问，世界上有那么多物体，为什么只研究这几种呢？我们的回答是：（1）这几种立体图较简单，便于研究；（2）日常生活中很多物体的形状都为这几种图形，如书本、各种柜子、电冰箱为长方体，瓶子、桶、各种笔杆为圆柱体，……；（3）当把这几种立体图形研究好了后，就可以解决许多复杂立体图形的问题了．因为那些复杂图形大多是由这几种简单图形组合起来的．
顺便指出：即使是这几种“简单”立体图形，其性质也是很复杂的．本节讨论的只是如何从平面看立体、立体计数，巧算面积、体积等简单内容．
与解决平面图形问题不同的是，解决立体图形的问题不能仅靠直观，而是需要较丰富的想象力．请同学们张开思维和想象的翅膀吧！
问题37．1用平面图37－2可以围成怎样的几何体？试从图37－3中选出这个几何体．
分析因为由图37－2围成了立体图后，虽位置发生了一定变化，但有一个正方形和4个三角形这点是不变的，故应选（3）．
问题37．1所反映的思路在生产和日常生活中是非常有用的．比如用白铁皮作成一个物体（如水桶、烟筒帽或机器零件等），要按图纸把铁皮剪成一定形状，再做成物体．相反地，为了计算一个物体的表面积，要把物体的表面沿边沿剪开，展在平面上去计算．这就表明：把平面图形和空间图形相互转化是研究立体图形的有效手段．
有时为了深入地了解一个物体的全貌，我们要从各个角度对物体进行观察．准确地说，就是从前、后、左、右、上、下六个方向对物体进行观察，渐渐地，人们发现，只要从前、上、右三个方向观察就能达到全面了解事物的目的．从每一个方向观察都会看到一个形状（平面图形），我们分别把它们叫前视图、上视图和右视图．把三个视图中取二个或三个组成的图形组分别叫二视图或三视图．
问题37．2图37－4是由前、上视图构成的二视图．试从图37－5中选出和它对应的立体图形来．
分析因为图（1）的上视图为圆和圆中一点；图（2）的前视图为圆而不是矩形；图（3）的上视图为圆环，故应选（4）．
从问题37．2可见，对于不太复杂的立体图，只需要二视图就足以了解它的全貌了．这自然提出了一个问题，是否所有物体都能用二视图去认识呢？答案是否定的．
问题37．3图37－6中的两个立体图形是两个相同的长方体分别挖去一个长方体洞和一个圆柱洞而得到的．问能否用二视图去认识它们？若不能，请画出各自的三视图．
图37-6
分析不妨取前、上二视图来考察，发现图37－6中两个立体图的二视图都是图37－7（3），故不能用二视图去认识它们．
它们的三视图分别如图37－7（1）、（2）所示．
图37-7
用三视图去认识立体图形，实际上也是把立体问题转化为平面问题（即把平面图形在头脑中“立起来”）．这再一次表明了：把平面问题与空间问题相互转化，确实是研究立体图形的重要思想方法．
问题37．4图37－8是一个正方体，如果它的每个面划分为16个相同的正方形，那么它共划分为多少个长方体？多少个正方体？
图37-8
分析因为底ABCD的两条边AD、AB上各有4条单线段，由第七节问
面上每一个固定的长方形，给它配一个高（即配AE方向上的一条线段）就得到一个长方体．而AE上有10条线段，故图中共有100×10=1000个长方体．
若把每个小正方体的体积视作1，那么对图中所含的正方体，其体积显然只能为1、8、27、64．下面以体积为标准分类计数．
1类：体积为1的正方体共有43个．
2类：体积为8的正方体共有33个．〔事实上，在底面ABCD上，面积为4（长=宽=2）的正方形共有32个，而AE上长为2的线段有3条．故体积为8的正方体共有32×3=33个．〕
同样可以得到：
3类：体积为27的正方体有23个．
4类：体积为64的正方体有13个．
即所有正方体共13+23+33+43=100个．
显然，本问题是问题7．8向立体空间的推广，你能把这个结论作进一步的推广吗？
问题37．5（1）长、宽、高分别为m、n、h个单位的长方体切成全为单位体积的正方体，组成m×n×h的立方体网．问此网中含有多少个长方体？
（2）在n×n×n的立方体网中，含有多少个正方体？
问题37．6一个正方体形状的木块，棱长1米．沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如图37－9．这60块长方体表面积的和是多少平方米？
图37-9
分析按常规思路，应将60个木块拿来逐个求表面积，然后再累加起来即得其解．但这样做太繁琐，何况各木块的厚薄宽窄都不尽相同，也无法知道其值．故按这种思路计算不但复杂，简直就不可能．
下面我们从另一角度去考虑：
因为每一次锯下去，都得到两个面，它们的面积与正方体的一个面的面积相等．又所有长方形的面都是这样锯成或由原表面构成的．这样只要数一数一共锯了多少次，问题就迎刃而解了．
解分类：1类：共6个表面，每个面1平方米，故表面积共6平方米．
2类：数一数便知共锯了2＋3＋4=9（次），故9×2=18（平方米）．
因此60块长方体表面积共
6+18=24（平方米）．
同学们，你知道能轻松地解答此题用的是什么思想方法吗？原来，这便是在“奇妙的圆”一节已经用过的“整体观念”．
上面我们已几次尝到用整体观念解题的甜头，打整体战比打局部战容易．同样地在解决问题时，用了整体观念有时能出奇制胜．
问题37．7图37－10中这堆积木是由16块棱长为2厘米的小正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？
分析由于这堆积木排列得不整齐，计算它的表面积比较麻烦．
思路1按层分类，分成三类，再按层点数．（略）
思路2先求出16块正方体的总表面积，再减去重叠面积的2倍．用这种思路要数重叠面的个数，虽也可行，但由于受“许多地方看不见”的限制，对想象力要求较高，且很难做到准确无误．下面的思路更为简捷．
图37-10
思路3朝前、朝后、朝左、朝右、朝上、朝下六个方向分别统计（即按面所朝的方向分成六类），然后再求和．若注意到“相对”的两个方向面数相同，则只需统计三个方向的面就行了．如图：积木朝上、朝前、朝右的正方形分别有9、7、9个，故其表面有（9＋7＋9）×2=50个正方形，表面积为
50×4=200（平方厘米）．
问题37．8如图37－11，有三个正方体木箱，大小一样，质量相同．甲箱内装了一个大铁球；乙箱内装了大小相同的27个中铁球；丙箱内装了64个大小相同的小铁球．若这三个箱内的铁球与铁球、铁球与箱壁都贴挤得很紧，问究竟哪一个箱子重？
图37-11
分析我们完全可以找出三个箱内大、中、小球半径的关系，求出各箱内球的体积，再乘以铁的密度去分别求三箱内球的重量．但本题也可用聪明的办法求解：
因为乙箱内的球是三个一排，所以甲箱内大球的直径是乙箱内中球直径的3倍，因此大球的体积是中球的27倍（为什么？），但甲箱内球的个数却
丙两箱球的重量相等、故三箱球的重量都相等．
问题37．9（1）在图37－11的三个箱子中空气的体积有何关系？（2）在问题37．8中若还有一个丁箱，每排放n个小球，这时甲箱与丁箱中球的重量关系如何？
不难发现问题37．8～37．9是问题34．5～34．7向空间的推广．
练习37
1．图37－12中四个二视图分别表示什么立体图形？试从图37－13中挑出相应的立体图形．
图37-12
图37-13
2．若将图37－8所示的正方体的表面都涂满红色，并且在它的每个面上均匀地切上3刀，结果得到64个小正方体，且切面都是无色的．问：（1）小立方体三面涂红色的有几块？（2）二面涂红色的有几块？（3）一面涂红色的有几块？（4）每一面都无色的又有几块？
3．有一个棱长为6厘米的正方体木块如图37－14所示．如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了多少平方厘米？
4．有两个茶杯如图37－15所示．第一个的底直径是4厘米，高3厘米；第二个的底直径是3厘米，高4厘米．问两个茶杯哪个装的水多？
5．把一个篮球的直径增加1米，再把地球的直径也增加1米，问哪个球的体积增加得多些？。