人教版高中数学必修4练习1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象

一、基础过关

1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠3

10

π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是

( )

A ．(0,0)

B.⎝⎛⎭⎫

π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0

D ．(π，0) 2． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

12x －π3在一个周期内的图象是

( )

3． 下列函数中，在⎝⎛⎭

⎫0，π

2上单调递增，且以π为周期的偶函数是

( )

A ．y ＝tan|x |

B ．y ＝|tan x |

C ．y ＝|sin 2x |

D ．y ＝cos 2x 4． 下列各式中正确的是

( )

A ．tan 735°>tan 800°

B ．tan 1>－tan 2

C ．tan 5π7

7

D ．tan

9π8

7

5． 函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π

4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D.π

4

6． 函数y ＝tan x －1的定义域是____________．

7． 函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π

2，则ω＝________.

8． 求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π4，π

4的值域．

二、能力提升

9． 已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π

2

)内是减函数，则

( )

A ．0<ω≤1

B ．－1≤ω<0

C ．ω≥1

D ．ω≤－1

10．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫

π2，3π2内的图象是

( )

11．判断函数f (x )＝lg

tan x ＋1

tan x －1

的奇偶性．

12．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心． 三、探究与拓展

13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？

答案

1．C 2.A 3.B 4.D 5.A 6．[k π＋π4，k π＋π

2)，k ∈Z 7.±2

8． 解 ∵－π4≤x ≤π

4

，

∴－1≤tan x ≤1.

令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π

4时，y min ＝－4，

当t ＝1，即x ＝π

4时，y max ＝4.

故所求函数的值域为[－4,4]． 9．B 10.D

11．解 由tan x ＋1

tan x －1

>0，

得tan x >1或tan x <－1. ∴函数定义域为

⎝

⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪

⎝

⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 关于原点对称． f (－x )＋f (x ) ＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1

tan x －1

＝lg ⎝

⎛⎭

⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·

tan x ＋1tan x －1

＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．

12．解 ①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋3

4

，k ∈Z .

∴函数的定义域为

{x |x ∈R ，且x ≠3k ＋3

4，k ∈Z }．

②T ＝π

π3

＝3，∴函数的周期为3.

③由k π－π2<π3x ＋π4

2，k ∈Z .

解得3k －94

4，k ∈Z .

∴函数的单调增区间为

⎝

⎛⎭⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . ④由π3x ＋π4＝k π

2，k ∈Z .

解得x ＝3k 2－3

4

，k ∈Z .

∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫

3k 2－34，0，k ∈Z . 13．解 因为当x ∈⎝⎛⎭

⎫0，π

2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π

2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示：

观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]内有3个交点．