基于分数阶微积分的Kelvin_Voigt流变模型_郭佳奇

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分数阶微积分理论
分数阶微积分是 1 个研究任意阶次的微分、积
分算子 特 性及 应 用的 数 学 问题。本 文 采 用 Rie mann - L io uvill e 型分数阶微积分算子理论 , 定义函 数的任意阶微分和积分公式 [ 7] 。
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中
国
铁
道
科
学
第 30 卷
对于任意复数 B, Re( B ) > 0, 函数 f ( t ) 的 B阶 积分定义为 d f ( t) = -B dt 其中 , #( B ) =
0 [ B[ 1
式中 : N 为黏弹性系数。 可见 , 虎克定律和牛顿定律只刻画了材料属性 参数 B的无穷集合中 2 点的性态 , 而式 ( 7) 在理
第4期
基于分数阶微积分的 K elv in - V oig t 流变模型
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弛曲线线型。
3 1 2 含 FC 元件的 Kelvin -Voigt 流变模型 用 F C 元件 代替牛 顿体元 件与虎 克体元 件并 联 , 再与另一虎克体元件串联就形成了含 F C 元件 的 Kelvin - Voigt 流变模型 , 如图 4 所示。分数阶导 数的流变模型理论实质就是用 FC 元件取代经典整 数阶模型中的牛顿体元件形成对应于整数阶模型的 分数阶模型。
B - 1
f (S ) dS ( 1)
e t Q
0
]
-t B -1
dt
Re ( B) > 0
n
( 2)
图1 FC 元件
d f ( t ) = d [ t D( n- B) DB t f ( t) = t f ( t) ] ( 3) B n dt dt 0 式中 : # ( B ) 为 Gamma 函数; t0 D B t f ( t ) 为 Riem ann Lio uville 阶微分算子, 由 n- B ( n- 1 < B< n) 阶积 分算子与 n 阶导数合成, 当 B为正整数时, 0 D t f ( t) 即为整数阶导数 f
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3 11
分数阶流变模型
经典整数阶 Kelvin -Voigt 流变模型 经典整数阶 Kelvin - Vo ig t 模型是由 1 个虎克体
元件 ( 弹性模量为 E 2 ) 与 1 个牛顿体元件 ( 黏滞 系数为 G) 并联后再与另一虎克体元件 ( 弹性模量 为 E 1 ) 串联组成 , 如图 4 所示。
1 1
蠕变柔量为 1 tB J( t) = N # ( 1 + B) 初始应变) , 可推得 F C 元件的松弛方程: R ( t) = N E 0 t # ( 1 - B)
-B
( 10)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同理, 当 E ( t) = E 0H ( t) ( E 0 对应于初始应力的
( 11)
松弛模量为 ( 5) t- B ( 12) #( 1 - B ) 不同材料参数时 F C 元件的蠕变柔量与松弛模 G( t ) = N 量随时间的变化曲线如图 2 和图 3 所示。 ( 6) 由图 2 可见, F C 元件的蠕变柔量按正分数幂 律 t 增长。由图 3 可见 , 松弛模量是从无穷大按负 分数幂律 t 松弛到零的。对于不同材料, 可通过调
t
0
论上能刻画参数 B无穷集合中的任何性态。 根据上述观点 , 仿照基本流变元件定义 1 种新 的力学元件 , 命名为 F C 元件 , 如图 1 所示。它能 刻画材料从理想弹性体到理想黏性体的所有性态, 含有分数阶微积分的思想。
-B
t
0
B Dt f ( t) =
Q
t
0
t
( t - S) #( B )
收稿日期 : 2008 -08 -20; 修订日期 : 2009 - 03 -20 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 50478061) 作者简介 : 郭佳奇 ( 1981 ) ) , 男 , 河南周口人 , 博士研究生。
[ 3]
映岩土流变属性的本构模 型, 模拟实 际岩土的应 力 ) 应变关系。这样建立起来的模型属于一维流变 模型, 如 Max w ell 模型、 Bingham 模型、 Kelvin Voig t 模型和 Bur ger 模型等。 组合流变模型的流变本构方程是 1 种整数阶微 分形式的本构关系 , 为了很好地拟合试验结果 , 需 要较多的元件, 自然增加了本构方程中的参数。而 作为分形几何和分数维动力学基础的分数阶微积分 在建模时需要较少的参数且方程简明 [ 4] , 目前已在 松弛、随机扩散、黏弹 性力学等诸多 领域得到应 用。鉴于分数阶微积分在黏弹性本构建模方面具有 的一些优越性[ 5, 6] , 本文用含分数阶导数的力学单 元取代 Kelv in - V oigt 模型中的牛顿体元件 , 建立基 于分数阶微积分的 Kelv in - V oigt 模型。
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含分数阶导数的力学元件
( 9)
在岩土流变学研究中 , 如何表述和刻画岩土类 介质的应力松弛、蠕变和黏滞效应 , 一直是人们所 关注的热点和难点课题。传统的处理方法是应用基 本线性黏弹性体的叠加和组合逼近上述黏弹性材料 的特性 [ 8] 。其原理是用虎克体、牛顿体等元件的组 合性质刻画岩土类材料的上述特性。 众所周知, 理想弹性体的应力 ) 应变关系满足 虎克定律 , 即 R( t) = E E ( t) 应变和弹性模量。 理想黏性体满足牛顿定律 , 即 R( t) = G d E ( t) / d t
岩土的流变特性是岩土介质的重要力学性质之 一, 岩土工程的长期稳定性和耐久性都与岩土介质 的流变性有密切关系 [ 1, 2] 。例如, 深埋地下的洞室 或巷道在成洞之初, 周围岩体呈现稳定 , 随时间推 移, 岩体的变形不断发展 , 经过一些时日, 洞体可 能失稳或坍塌破坏, 围岩具有随时间增长而缓慢变 形的明显特征; 软土地基结构物内力随时间增长变 化的长期、复杂过程 , 也是软土时效流变特性的表 现 。在工程实践中, 岩土的流变现象包括蠕变、 应力松弛、流动、长期强度等。随着人们对岩土工 程长期安全的重视 , 岩土的流 变研究越来越 被重 视。 岩土流变本构模型的研究就是探讨用何种本构 方程描述岩土材料的应力、应变和时间的关系。方 程既要能较准确地反映岩土的流变特性 , 又要符合 工程实际。目前使用的流变模型主要有经验流变模 型、组合流变模型、内时模型和蠕变损伤断裂模型 等。其中组合流变模型是研究流变问题最常使用的 模型 , 它按照岩土的弹性、塑性和黏滞性设定一些 基本元件 , 然后根据岩土的具体性质, 通过调整模 型的参数和组合元件的数目, 将其组合成能基本反
( t) 。
当 f ( t ) 在 t = 0 附近可积, 0 [ B [ 1, 分数阶 微积分的 L aplace 变换公式为
B -B L [ 0 Dt f ( t ) , s] = s f ( s) B L [ 0 DB t f ( t) , s] = s f ( s)
B> 0 B> 0
( 4)
第 3 0卷 , 第 4期 20 09 年 7月
文章编号 : 1001 - 4632 ( 2009) 04 - 0001 - 06
中 国 铁 道 科 学 CH INA RAIL WAY SCIEN CE
Vo l 1 30 No1 4
Jul y, 2009
基于分数阶微积分的 Kelvin -Voigt 流变模型
( 8)
式中 : f ( s) 为 f ( t ) 的 L aplace 变换。
当R ( t) = R 0H ( t) ( R 0 为初始恒定应力, H ( t) 为 H eaviside 单位阶跃函数 ) 时, 式 ( 8) 经 Laplace 逆变换后, 整理得到 F C 元件的蠕变方程:
0 tB E ( t) = R N #( 1 + B )
郭佳奇 , 乔春生 , 徐
( 1. 北 京交通大学 隧道与岩土工程研究所 , 北京 摘
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冲 , 黄山秀
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100044; 2. 河南理工大学 材料学院 , 河南 焦作
454000)
要 : 为研究岩土材料的应力、应变和时间 的关系 , 基 于分数 阶微积 分理论 , 定义含分 数阶导 数的力 学
元件 ( FC 元件 ) , 推导 FC 元件的蠕变柔量和松弛模量。与 牛顿体元 件相比 , F C 元件 能更好地 反映流 变问题 的 非线 性渐变过程。借鉴经典元件组合模型的建模思路 , 用 F C 元 件取代整数阶微积分 Kelvin - V oig t 流变模型中 的 牛顿 体元件 , 形成基于分数阶微积分的 K elv in - Vo ig t 流变模型。应用离散化求 Laplace 逆变换的方 法以及 H - F ox 函数 , 得出分数阶微积分 K elv in - Vo igt 流变模 型的本构 方程、蠕 变方程、松 弛方程、 蠕变柔 量及 松弛模 量的 解 析表达式。采用整数阶 微积 分 K elvin - V oig t 流变 模型、 整数 阶 5 参 数开 尔 文流 变模 型和 分数 阶微 积分 K elv in Vo ig t 流变模型对试验数据拟合的结果表明 , 分数阶微积分 Kelvin - V oigt 流 变模型不 但拟合精度 高 , 能够克服 整 数阶微积分 K elvin - V o igt 流变模型在蠕变初期及 蠕变曲 线拐点 附近与 试验数 据不能 很好吻合 的弊端 , 而且能 够 在保证拟合精度的条件下 , 减少本构模型中的参数。 关键词 : 岩土 ; 流变性 ; 蠕变 ; 分数阶微积分 ; 力学元件 ; 流变模型 中图分类号 : T U 470 文 献标识码 : A
[ 5] B B
式中 : R ( t) , E ( t) 和 E 分别为 理想弹性 体的应力、
式中 : G 为黏滞系数。 如果将式 ( 5) 改写为 R( t) = E d0 E ( t) / dt0 则黏弹性体的应力 ) 应变关系可以表述为 R( t) = N dE ( t) / dt
B B
整 FC 元件的参数 B, N改变其蠕变曲线或松弛曲线 的线型 , 从而精确拟合材料的实验结果, 使它更真 ( 7) 实地体现材料的性质。与 F C 元件比较, 牛顿体元 件的蠕变柔量与 t 成正比( J ( t) = t / G) , 松弛模量为 脉冲函数 , 从无穷大突然松弛到零( G( t) = G D ( t) ) , 牛顿体元件无法通过调整参数改变其蠕变曲线或松
(B ) B
B
F C 元件的本 构方程定义为 式 ( 7) , 当 B= 0 时 , F C 元件就是虎克体元件; 当 B= 1 时 , FC 元 件就是牛顿体元件。 利用 Riemann - Liouville 型分 数阶微积 分算子 理论, 将公式 ( 7) 两 边同 时进 行 L aplace 变 换, 然后整理得 s- B E= R N
图5
分数阶 K elvin - V o igt 模型
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分数阶 Kelvin - Voigt 模型的本构方程
各元件串联时 , 各元件应力相等 , 应变等于各 元件应变之和 , 各元件并联时, 各元件应变相等, 应力等于各元件应变之和[ 10] , 基于上述原则, 有 如下关系式 : 由上述分 析知, F C 元件既能 控制变形速率 , 也能控制应力 ( 应变 ) , 而牛顿体元件只能通过黏 滞系数控制变形速率, 从这一点上看 , FC 元件将 能更好地反映流变问题的非线性渐变过程。 E= E 1 + E 2 R = E1 E 1 R = E2 E 2 + N 0D E
为求解式 ( 18) 具有复杂支点像函数的反演, 应用文献 [ 11] 提出的离散化求 L aplace 逆变换的
B t 2
( 16)
对上述各等式分别进行 L aplace 变换, 然后整理再 进行 Laplace 逆变换 , 可得分数阶 Kelvin - Voigt 模 型的流变本构方程 : R+ 3 12 12 N B E1 E2 E1 N B 0Dt R = E+ 0Dt E E 1 + E2 E1 + E2 E1 + E2 ( 17) 分数阶模型的蠕变方程及蠕变柔量 令R ( t ) = R0 H ( t) , 代入 式 ( 17) , 两边 进行 L aplace 变换整理得 E ( t) = R 0 1 R 0 1 + E1 s E2 + N sB s ( 18)