卷积积分基础
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f1(t) f2 (t) f2(t) f1(t)
f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3(t)
h1 (t ) e(t )
h2 (t)
r(t) e(t) [h1(t) h2 (t)]
h(t) h1(t) h2 (t) 12
一、卷积代数：交换律、分配律、结合律
t2 2 1 t2 1 t 3
4 24
8
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
h(t )
t
(4) 3 t 3 2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 3 4 24
(5) 3 t e(t) h(t) 0
9
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
2
卷积积分的图解法
f1(t) f2(t) f1( ) f2(t )d
1、改变图形中的坐标 f1(t) f1( ), f2(t) f2( )
2、把其中一个信号反褶 f2 f2
3、把反褶后的信号位移 f2 f2t
4、两信号重叠部分相乘 f1 f2 t
5、完成相乘后的图形的积分
t
1 2
1
1 2
(t
)d
t
1 t2 1 t 1 4 4 16
6
h(t ) h(t )
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
(2) 1 t 1
2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 1
4 4 16
t
(3) 1 t 3
e( )
2
t
e(t) h(t)
(t
)
f2 (t)]
f1
(t
)
d dt
f2 (t)
d dt
f1(t)
f2 (t)
t
t
[ f1() f2 ()]d f1(t) f2 ()d
t
f2 (t) f1()d
14
卷积的微分和积分性质的推论
f (t) f1(t) f2 (t)
f
(i) (t)
f1( j) (t)
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f2 (t) [ f1(t) f3(t)]
e(t )
h1(t) h2 (t)
r(t) e(t) [h1(t) h2 (t)]
h(t) h1(t) h2(t)
13
二、卷积的微分和积分
d dt
[
f1
f1 f2 t d
3
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
h(t)或h( )
1
2
t或
t或
1
2
hຫໍສະໝຸດ Baidu )
h(t )
1 t
2
t
4
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
(1) t 1 2
t或
h(t )
2.6 卷积
(t) h(t)
(t ) h(t )
e( ) (t ) e( )h(t )
e( ) (t )d e( )h(t )d
e(t)
r(t)
卷积积分
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应为激励与单位冲激响应的卷积积分
1
从数学角度介绍卷积积分的运算
f (t) '(t) f '(t)
t
f (t) u(t) f ()d
f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
18
e(t )
de(t) dt
1 1
2
1
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
7
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t )
e( )
t
(3) 1 t 3 2
e(t) h(t) 3 t 3 4 16
(4) 3 t 3
e( )
2
h(t )
t
e(t) h(t) 1 1 1 (t )d
f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 t
2
t
h(t ) e( )
t
(1) t 1 2
e(t) h(t) 0
5
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t ) e( )
(1) t 1 2
h(t )
e(t) h(t) 0
t
(2) 1 t 1
e( )
2
e(t) h(t)
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
(1) t 0时, s(t) 0
(2)
0 t 1时,
s(t)
t
d t
0
(3)
1 t 2时,
s(t)
1
d 2 t
t 1
(4) t 2时, s(t) 0
t s(t) 2 t
0
(0 t 1) (1 t 2) (t为其它)
11
2.7 卷积的性质
一、卷积代数：交换律、分配律、结合律
对于任意两个信号f1(t)和f2 (t), 两者的卷积积分定义为
f (t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
为卷积运算符号
f (t) f1(t) f2 (t) f1() f2 (t )d
f2 (t) f1(t) f2 () f1(t )d
卷积积分符合交换率
16
f (t) (t t0 ) f (t t0 )
f (t) (t t0 ) f ( ) (t t0 )d f (t t0 )
(t t0 )
f (t t0 )
t0
t0
练习P842 13习题(2)(4)
17
f (t t1) (t t2) (t t1) f (t t2) f (t t1 t2)
f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3(t)
h1 (t ) e(t )
h2 (t)
r(t) e(t) [h1(t) h2 (t)]
h(t) h1(t) h2 (t) 12
一、卷积代数：交换律、分配律、结合律
t2 2 1 t2 1 t 3
4 24
8
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
h(t )
t
(4) 3 t 3 2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 3 4 24
(5) 3 t e(t) h(t) 0
9
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
2
卷积积分的图解法
f1(t) f2(t) f1( ) f2(t )d
1、改变图形中的坐标 f1(t) f1( ), f2(t) f2( )
2、把其中一个信号反褶 f2 f2
3、把反褶后的信号位移 f2 f2t
4、两信号重叠部分相乘 f1 f2 t
5、完成相乘后的图形的积分
t
1 2
1
1 2
(t
)d
t
1 t2 1 t 1 4 4 16
6
h(t ) h(t )
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
(2) 1 t 1
2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 1
4 4 16
t
(3) 1 t 3
e( )
2
t
e(t) h(t)
(t
)
f2 (t)]
f1
(t
)
d dt
f2 (t)
d dt
f1(t)
f2 (t)
t
t
[ f1() f2 ()]d f1(t) f2 ()d
t
f2 (t) f1()d
14
卷积的微分和积分性质的推论
f (t) f1(t) f2 (t)
f
(i) (t)
f1( j) (t)
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f2 (t) [ f1(t) f3(t)]
e(t )
h1(t) h2 (t)
r(t) e(t) [h1(t) h2 (t)]
h(t) h1(t) h2(t)
13
二、卷积的微分和积分
d dt
[
f1
f1 f2 t d
3
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
h(t)或h( )
1
2
t或
t或
1
2
hຫໍສະໝຸດ Baidu )
h(t )
1 t
2
t
4
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
(1) t 1 2
t或
h(t )
2.6 卷积
(t) h(t)
(t ) h(t )
e( ) (t ) e( )h(t )
e( ) (t )d e( )h(t )d
e(t)
r(t)
卷积积分
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应为激励与单位冲激响应的卷积积分
1
从数学角度介绍卷积积分的运算
f (t) '(t) f '(t)
t
f (t) u(t) f ()d
f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
18
e(t )
de(t) dt
1 1
2
1
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
7
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t )
e( )
t
(3) 1 t 3 2
e(t) h(t) 3 t 3 4 16
(4) 3 t 3
e( )
2
h(t )
t
e(t) h(t) 1 1 1 (t )d
f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 t
2
t
h(t ) e( )
t
(1) t 1 2
e(t) h(t) 0
5
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t ) e( )
(1) t 1 2
h(t )
e(t) h(t) 0
t
(2) 1 t 1
e( )
2
e(t) h(t)
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
(1) t 0时, s(t) 0
(2)
0 t 1时,
s(t)
t
d t
0
(3)
1 t 2时,
s(t)
1
d 2 t
t 1
(4) t 2时, s(t) 0
t s(t) 2 t
0
(0 t 1) (1 t 2) (t为其它)
11
2.7 卷积的性质
一、卷积代数：交换律、分配律、结合律
对于任意两个信号f1(t)和f2 (t), 两者的卷积积分定义为
f (t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
为卷积运算符号
f (t) f1(t) f2 (t) f1() f2 (t )d
f2 (t) f1(t) f2 () f1(t )d
卷积积分符合交换率
16
f (t) (t t0 ) f (t t0 )
f (t) (t t0 ) f ( ) (t t0 )d f (t t0 )
(t t0 )
f (t t0 )
t0
t0
练习P842 13习题(2)(4)
17
f (t t1) (t t2) (t t1) f (t t2) f (t t1 t2)