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4.1.2圆的一般方程

例题分析
例1、求过三O(0,0),M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例2、已知线段AB的端点B的坐标是 1
(4,3),2 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，
1、求下列各圆的一般方程： (1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、 B(5，5)、C(6，-2)．
2、求圆心在直线 l：x+y=且过
两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和 C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
小结
（1）任何一个圆的方程都可以写
X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是
方程X2+y2+Dx+Ey+F=( D0,的E) 曲线不
22
一r 定1 是D2 圆E2 ，4F 只有在D2+E2-4F>0时，
能不能说方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢？
练习：判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 圆心（3，-1）半径 10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0 不是（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
§4.1.2 圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，

必修二4.1.2圆的一般方程课件

(1). x 2 y 2 0
原点
(2). x 2 y 2 2 x 4 y 6 圆心(1,2) ，半径 r 11 当a 0时，以(a,0)为圆心， a 为半径 (3). x 2 y 2 ２ax 0 当a 0时，表示原点 3. x 2 y 2 4mx 2 y 4m2 m 0表示圆时，则 m (,1)
（1）当_______________时，方程表示一个圆，圆心为________,半径为______________. （2）当_______________时，方程表示一个点_________ （3）当_______________时，方程无解，不表示任何曲线
3.圆的一般方程： _____________________________________
预习自测
1．求下列各圆的圆心坐标和半径(先配成标准方程)：方程 x2 y 2 6x 0 圆心 (3,0) (0,1)
(1,2)
x2 y 2 2 y 0
3x2 3 y 2 6x 12y 9 0
半径 r 3 r 1
r 2
2．下列方程分别表示什么图形，若是圆，需指出圆心坐标和半径：
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，
端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程．
课堂小结
1.圆的一般方程为：________________________ 该圆的圆心坐标是，半径是。一般方程化标准方程的方法是配方法。 2.求圆的方程：（ 1 ）几何法：直接算出圆心坐标和半径（根据圆的几何性质）；（2）待定系数法：①设标准方程； ②设一般方程（过已知三点时最好用） 3.坐标转移法求点的轨迹方程的基本步骤: （设、转、代、求、答）

课件8：4.1.2 圆的一般方程

跟踪训练 3 (1)已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0) 距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点 A(－1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点，又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，－2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
解：(1)设点 M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知||MMOA||＝12. 由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为 (x－x23＋)2y＋2 y2＝12，两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0，将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
D＝－2
∴E＝2 F＝－23，
∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
3．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的圆心的直线，则 l 在 y 轴上的截距是________．【解析】圆心 C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝－12－＋01＝－1，所以直线 l 的方程是 y－0＝－(x＋1)，即 y＝－x－1，所以 l 在 y 轴上的截距是－1. 【答案】－1
25
4
C. 3
D.3
【解析】设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
则3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，解得E＝－4 3 3，
F＝1.
∴△ABC

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【变式 3】已知一动点 P 到两个定点 A(0,0)，B(3,0)的距离之比为12，求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形．解设动点 P 的坐标为(x，y)，则点 P(x，y)满足||PPAB||＝12，即 x－x23＋2y＋2 y2＝12，化简得 x2＋y2＋2x－3＝0. 即(x＋1)2＋y2＝4，所以动点 P 的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以 2 为半径的圆．
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[正解] ∵点 A 在圆外，
∴a－2＋24a－2＋2a－2－33×2－24＋aa2＋2＋aa＞＞00，，
a＞2， ∴a＜94，
即 2＜a＜94，∴a 的取值范围是 2＜a＜94.
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题型三求动点的轨迹方程【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(8,6)，端点 A 在圆 C： (x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？审题指导
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[规范解答] 设点 P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x ，y )，由 4．1.2圆的一般方程PPT名师课件
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名师点睛 1．圆的一般方程的概念及判定形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程定义判断 D2＋E2－4F 是否为正，若 D2＋E2 －4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．

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例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一：几何方法

数学4.1.2《圆的一般方程》课件

与 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示的图形
都是圆吗？为什1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式，但方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示的曲线不一定是圆，当 D2 E2 4F 0 时，方程表示圆心为 ( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F 的圆. 2 2
思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1）设圆方程；（2）列方程组；（3）求系数；（4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想：求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.

课件1 ：4.1.2 圆的一般方程

的半径．
跟踪训练
(1)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
+ (−) + + − + =
(−) +(−) + − + − + =

− −∙ −
−=

= ,
∴ቐ = ,
= −,
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形.
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
(− , − )
表示一个点____________

F＝0
D2＋E2－4F>0

(− , − )
表示以____________为圆心，以
第四章
圆与方程
§4.1.2 圆的一般方程
高中数学必修2·精品课件
学习目标
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
预习导学
基础梳理
1．圆的一般方程的定义．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________________
它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
跟踪训练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心
在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．

4.1.2 圆的一般方程(共25张PPT)

【解析】设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
－D＝－E，
则圆心是(－D2 ，－E2)，由题意知，
22 2－D＋E＋F＝0，
10＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
栏目导引
第四章圆与方程
栏目导引
第四章圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两个端点．因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)．
栏目导引
第四章圆与Байду номын сангаас程
栏目导引
第四章圆与方程
解：(1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
F＝－ 4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
法二：直线 AB 的垂直平分线的方程为 y＝2(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1，即圆心坐标是(1,0)，半径 r＝ 5，故所求圆的
方程为(x－1)2＋y2＝5.即一般方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
栏目导引
第四章圆与方程
题型三有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_＋__E_2_－__4_F__>_0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标

4. 圆的一般方程PPT完美课件

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2．求圆的一般方程 (1)求圆的方程时，若已知条件中明确圆心的坐标或半径，则设圆的标准方程求解；若已知条件中没有明确圆心坐标或半径大小，则设圆的一般方程求解． (2)由于圆的一般方程中所含的三个待定系数不是二次项的系数，在由三个独立条件列出方程组后，一般可求出待定系数 D， E，F. (3)若求圆心和半径，则可以将圆的一般方程配方成圆的标准方程，再写出圆心坐标和半径．另外在解答圆的有关问题时，应注意利用圆的平面几何的性质，使运算简化．
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4．圆的一般方程PPT 完美课件
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误区警示因忽略隐含条件致误【示例】已知定点 A(a,2)在圆 x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0 的外部，求 a 的取值范围． [错解] ∵点 A 在圆外． ∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2.
D＝6，解得E＝－2，
F＝－15
则所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要组成部分，一个孩子如果在十多年的教育历程中没有养成阅读的习惯、兴趣和能力，一旦离开校园，很可能把书永远丢弃在一边，这样的结果一定是我们所有的教育工作者不想看到的。 2对教育来说，阅读是最基础的教学手段，教育里最关键、最重要的基石就是阅读。 3但是现在，我们的教育在一定程度上，还不够重视阅读，尤其是延伸阅读和课外阅读。 4. “ 山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵”四句，简洁有力，类比 “斯是陋室，惟吾德馨”，说明陋室也可借高尚之士散发芬芳 5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言简义丰、讲究修辞。文章骈散结合，以骈句为主，句式整齐，节奏分明，音韵和谐。 6.了解和名著有关的作家作品及相关的诗句、名言、成语和歇后语等，能按要求向他人推介某部文学名著。 7.能够根据所提供的有关文学名著的相关语言信息推断作品的作者、作品的名称和人物形象，分析人物形象的性格和作品的思想内容并进行简要评价。 8．能够由具体的阅读材料进行拓展和迁移，联系相关的文学名著展开分析，提出自己的认识和看法，说出自己阅读文学名著的感受和体验。 9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲突中，充分深刻显示人物复杂内心世界，突出了对人物性格的刻画，使其有血有肉，栩栩如生。 10保尔身上的人格特征或完美的精神操守：自我献身的精神、坚定不移的信念、顽强坚韧的意志 11把记叙、描写、抒情和议论有机地融合为一体，充满诗情画意。如描写百草园的景致，绘声绘色，令人神往。 12简 ·爱人生追求有两个基本旋律：富有激情、幻想、反抗和坚持不懈的精神；对人间自由幸福的渴望和对更高精神境界的追求。

4.1.2圆的一般方程 PPT课件

2
2
4
(D2 E2 4F 0)
圆心: ( D , E )
22
半径: 1 D2 E2 4F
2
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,
特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于 D,E,F 的三元一次方程组,这比用圆的标准方程简便得多,如本题.
三、新知建构，交流展示
题型三
求轨迹方程
【例 3】等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解:设另一端点 C 的坐标为(x,y).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析：
题型一圆的一般方程的概念辨析题型二求圆的一般方程题型三求轨迹方程
三、新知建构，交流展示
题型一
圆的一般方程的概念辨析
【例 1】判断方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径. 解法一:由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
三、新知建构，交流展示
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;