分式学案

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分式的定义学案

分式的定义主备人：王军审核人：姓名班级学习目标：1．了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系。

2．掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系。

重点：了解分式的形式BA （A 、B 是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零.难点：分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零. 预习导学：1．阅读课本第65—67页。

2．完成下列练习，看看他们的答案和我们以前学过的整式有什么不同？（1）正n 边形的每个内角为多少度？（2）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是多少中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的元？（3）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？（4）文林书店库存一批图书，其库存全部售出时，其销售额为b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？答案：（1）（2）（3）（4）不同之处：合作探求：1．分式的定义：(1)定义：(2)你认为定义中应注意什么问题？(3)练习：课本67页知识技能第1题。

2．分式有意义的条件：(1)分式BA 有意义的条件是：______________； (2)课本67页随堂练习第1题。

3．分式值为零的条件：(1)分式BA 的值为零的条件是：______________； (2)当x 取何值时，下列分式的值为零？ ①x x 231-+ ②112--x x ③33--x x当堂检测：（必做题）1．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？并且说明理由。

①5x －7, ②3x 2－1, ③123+-a b , ④7)(p n m +, ⑤－5, ⑥1222-+-x y xy x , ⑦72, ⑧c b +54. 2．当x 取何值时，下列分式有意义？ ①18-x ； ②912-x ; ③122+x3．当x 取何值时，下列分式的值为零？ ①x x -+212 ②2152xx -- ③392--x x ④））（（32)2(-++x x x4．当m=－5，n=3时，求分式n m mn +2的值。

数学学案(分式)1

第17章分式（第１课时）姓名：学习课题：分式的概念学习目标：1、能判断一个代数式是否为分式。

2、能说出分式有意义的条件。

3、会求分式值为零时，字母的取值。

学习重点：分式的概念，分清分式、整式、有理式。

学习难点：求分式值为零时，字母的取值。

学习过程：一、准备练习（一）自学教材第2页，并完成“做一做” （二）试根据所学完成下列题目：（1）小明t 小时走了s 千米的路，则他走这段路的平均速度是千米/时；（2）若某果园m 平方米产果n 千克，则平均每平方米产果千克；（3）一件工作，甲独做a 天完成，乙独做b 天完成，若甲、乙合作完成工作需要天小结：一般的，形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有，B ≠ ）的式子，叫做分式。

其中A 叫做分式的分子，B 叫分母。

整式和分式统称。

二、自我尝试1、指出下列有理式中，哪些是分式？x 1， 21（x +y ）， 3x ， xm -2，3-x x，1394y x +，x 32， xy 32， πa ，x-322、当x 取什么值时，下列分式（１）有意义？（２）值为零？（1）534-x x；（2）22+-x x ；（3）142++x x ；（4）x21；三、要点突破例１：下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x 1；（2）2x；（3）y x xy +2；（4）33yx -.例２：当x 取什么值时，下列分式（１）有意义？（２）值为零？（1）11－x ；（2）322+-x x .小结：1、在整式中，由于字母表示的数只作加法、减法、乘法、乘方运算，所以字母的取值可以是；而在分式中，含字母表达的数作为除数，因为除数为零时，式子没有意义。

因此，分式的取值不能为。

2、分式的值为零所需要的条件为。

四、自我检测1、某工厂原计划a 天完成b 件产品，若现在需要提前x 天完成，则现在每天要比原来多生产产品件。

2、某次考试中，有a 人的平均分为m 分，其余的b 人的平均分为n 分，则这次考试的平均分是分。

第17章分式全章学案

《分式的概念》学案一、知识梳理：1、_________________________________________叫分式。

当________________时，分式有意义；当_________________时，分式无意义；当__________________时，分式值为零；当______________时，分式值为1。

2、_____________和____________________统称为有理式。

二、课堂精练：1、下列各式：①3x ②x 215 ③ x y 4272- ④πe 7 ⑤yx a572- ⑥x x 22，其中整式有__________________，分式有________________，有理式有____________________________。

2、下列分式中，一定有意义的是_____________A 、1522--x x B 、112+-x xC 、xx 312+ D 、12+x x3、题2中错误的选项要有意义，请你求各式的x 的取值范围。

4、要使分式12-+x x 的值为零，则x 的取值是____________________。

5、当________________时，分式)3)(1(2+-+x x x 无意义。

6、对于分式121-+x x ，当___________时，它的值为正；当______________时，它的值为负。

三、双基巩固：1、请你写出一个分式，满足当x=2时它无意义，这个分式可以是__________________；当x=2时它的值为零，这个分式可以是______________________。

2、当x_______________时，分式42-x x无意义。

3、若分式12922-+-x x x 的值为零，则x=____________________。

4、当x=-2时，分式a x bx ++无意义，当x=4时，分式\a x bx ++值为零,则a+b=__________________。

分式的学案5

【学习课题】第8课时解分式方程（二）——可化为一元一次方程的分式方程解法【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.了解分式方程验根的必要性；3.进一步强化数学的“转化”思想。

【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程验根的必要性。

【学习难点】明确解分式方程验根的必要性。

一、学习准备1.当x= 时，分式2+x x 无意义。

2.当x= 时分式392+-x x 的值为。

3.2x 1+x x 与的公分母；4x 222-+与x x 的公分母。

二、教材解读与挖掘 1.例一：回忆一元一次方程的解法，解方程6242325213--=++-x x x 解：6242325213--=++-x x x 第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小倍数6得：第二步，去括号得：第三步，移项，合并得：第四步，化x 的系数为1得：【解后反思】本题的易错点：例二：模仿例一的解法及步骤，解方程xx 321=- 第一步，去分母：第二步，去括号：第三步，移项，合并：第四步，化x 的系数为1：【解后反思】这样解出的x 是方程x x 321=-的解吗？你怎样检验？【试一试】解分式方程452600x 480=-x例三：解分式方程23132--=--xx x 第一步：第二步：第三步：第四步：第五步，检验：【解后反思】解出来的x 是方程23132--=--xx x 的解吗，为什么？一、方程x +=35x 7的解是x= 二、若关于x 的分式方程313292-=++-x x x m 有增根，则增根可能是三、解方程：①：x x 413=- ②：22151x 210=-+-x ③ x+1-413x 2=-+-x x四、【巩固提高】1、解方程x x +--=-1513x 112 1251x 2=--+-x x x x2、若关于x 的方程9331-=--x m x x 有增根，求m 的值。

【学习课题】第9课时解分式方程（二）第二课时【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.掌握解分式方程中的一些常见技巧。

分式大班教案

分式大班教案一、教学目标1. 理解分式的概念和基本性质。

2. 掌握分式的计算方法。

3. 能够运用分式解决实际问题。

二、教学重点1. 分式的概念和基本性质。

2. 分式的计算方法。

三、教学内容与方法1. 分式的概念和基本性质通过引入实际问题，让学生认识到分式的产生和应用，进而引出分式的概念。

在此基础上，通过示例和练习，让学生掌握分式的基本性质。

2. 分式的计算方法2.1 分式的加减法通过解决实际问题，让学生体会到分式加减法的实际意义，进而掌握分式加减法的计算方法。

2.2 分式的乘除法通过练习题目，引导学生发现分式乘除法的规律，进而掌握分式乘除法的计算方法。

四、教学步骤1. 提出问题以实际问题为背景，引导学生思考分式的概念和作用。

2. 引导认识分式就学生提出的问题，让他们用分式的形式表达，并引导他们思考分子、分母的含义。

3. 讲解分式的概念和基本性质通过示例，讲解分式的概念和基本性质，引导学生理解分子、分母的含义。

4. 分式的加减法4.1 讲解加法的概念和计算方法通过示例，讲解分式的加法概念和计算方法，并进行练习。

4.2 讲解减法的概念和计算方法通过示例，讲解分式的减法概念和计算方法，并进行练习。

5. 分式的乘除法5.1 讲解乘法的概念和计算方法通过示例，讲解分式的乘法概念和计算方法，并进行练习。

5.2 讲解除法的概念和计算方法通过示例，讲解分式的除法概念和计算方法，并进行练习。

6. 拓展运用结合实际问题，引导学生将所学的知识应用于实际问题的解决中，培养学生灵活运用分式解决问题的能力。

五、教学反思本课设计针对大班教学，结合实际问题引导学生认识和理解分式的概念和基本性质，通过示例和练习，帮助学生掌握分式的计算方法。

同时，在教学过程中注重培养学生的实际运用能力，让大班学生在触类旁通中掌握分式的知识。

初中数学《分式》优秀教案(通用12篇)

初中数学《分式》优秀教案〔通用12篇〕篇1：初中数学分式教案初中分式教案初中数学分式教学反思经历了三周多的学习，学生已根本掌握了分式的有关知识(分式的概念、分式的根本性质、约分、通分、分式的运算、分式方程和能化为一元一次方程的分式方程的应用题等)，并且获得了学习代数知识的常用方法，感受到代数学习的实际应用价值。

但是，“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根，均属于运算才能问题，因此在教学中应特别关注这一深层根，并根据学生的实际情况寻找相应对策。

下面是我在教学中的几点体会：一、教学中的发现1、本章可以让学生通过观察、类比、猜测、尝试等活动学习分式的运算法那么，开展他们的合情推理才能，所以教学时重点应放在对法那么的探究过程上。

一定要让学生充分活动起来。

在观察、类比、猜测、尝试当一系列思想活动中发现法那么、理解法那么、应用法那么，同时还要关注学生对算理的理解，以培养学生的代数表达才能、运算才能和有理的考虑问题才能。

可是我在知识的传授上并没有注重探究、类比法那么，而重在对分式四那么运算法那么的运用和分式方程的运用上，没有抓住教学的关键环节恰当的选择教学方法。

今后要防止类似事情的发生。

2、问题(1) 分式的运算错的较多。

分式加减法主要是当分子是屡次式时，假如不把分子这个整体用括号括上，容易出现符号和结果的错误。

所以我们在教学分式加减法时，应教育学生分子部分不能省略括号。

其次，分式概念运算应按照先乘方、再乘除，最后进展加减运算的顺序进展计算，有括号先做括号里面的。

(2)分式方程也是错误重灾区。

一是增根定义模糊，对此，我对增根的概念进展深化浅出的阐述，⑴增根是分式方程的去分母后化成的整式方程的根，但不是原方程的根;⑵增根能使最简公分母等于0;二是解分式方程的步骤不标准，大多数同学缺少“检验”这一重要步骤，不能从解整式方程的形式中跳出来;(3)列分式方程错误百出。

初中分式的教案

初中分式的教案一、教学目标1. 让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。

二、教学内容1. 分式的概念及其表示方法2. 分式的基本性质3. 分式的运算方法4. 分式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：分式的概念、基本性质和运算方法。

2. 难点：分式的运算规律和实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入：通过复习整式的知识，引导学生思考整式在表示数量关系方面的局限性，从而引出分式的概念。

2. 新课讲解：a) 分式的概念：用分数的形式表示两个整式的商。

b) 分式的表示方法：分子、分母及分式的约分和通分。

c) 分式的基本性质：分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

d) 分式的运算方法：分式的加减法、乘除法及混合运算。

3. 例题解析：通过例题讲解，让学生掌握分式的运算方法，培养学生的解题能力。

4. 课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识，提高运算能力。

5. 实际问题应用：通过解决实际问题，让学生了解分式在生活中的应用，提高学生的实际问题解决能力。

6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调分式的概念、基本性质和运算方法。

五、课后作业1. 完成教材后的练习题。

2. 收集生活中的分式问题，下节课分享。

六、教学反思1. 课后及时了解学生的学习情况，针对性地进行辅导。

2. 在教学中，注重学生的参与，提高学生的动手操作能力和思维能力。

3. 注重分式知识与实际生活的联系，提高学生的应用能力。

七、教学评价1. 学生对分式的概念、基本性质和运算方法的掌握程度。

2. 学生解决实际问题的能力。

3. 学生对分式知识的兴趣和积极性。

8.1分式教学案

重
难点
一、课前预习与导学 1、把下列用除号表示的式子和分式进行互化：
a-3b x-2 （1）－25÷x；（2）x÷（y－3）（3）；；（4）。 b x+3 2、填表： X x 4-x A A 3、（1）若分式有意义，则 B≠__；（2）若分式无意义，则 B＝__； B B A （3）若分式的值为零，则 A＝0，且 B≠___。 B 2 x+2 x-xy y 3x 3x+2 4、下列各式： , , ,3x+ , , 中，分式有（） x 2 x 3 π +2 (x+1)(x-1) A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个二、新课（一）、情境创设： 1、京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一。如果货车的速度为 akm/h，快速列车的速度是货车的 2 倍，那么 ①货车从北京到上海需要多少时间？ ②快速列车从北京到上海需要多少时间？ ③已知从北京到上海快速列车比货车少用 12 小时，你能列出一个方程吗？ 2、观察刚才你们所列的式子、方程，它们有什么特点？引入本课课题——分式。（二）、探索活动： b 1、两个数相除可以把它们的商表示成分数的形式。如果用字母 a、分别表示分数的分子和分母，那么 a b 可以表示成什么形式呢？ 2、列出下列式子：（1）一块长方形玻璃板的面积为 2 ㎡，如果宽为 am，那么长是 m。－3 －2 －1 0 1 2 3
2 2
三、例题教学： a 例 1、试解释分式所表示的实际意义。 b-1 a-3 例 2、请选择一个你喜欢的 a 的值，求分式的值。 a+2 例 3、当 x 取什么值时，分式 2x+4 x-1

初中数学分式下册教案

初中数学分式下册教案教学目标：1. 理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2. 学会分式的化简、运算和应用。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 分式的概念和基本性质2. 分式的化简和运算3. 分式的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习分数的概念和性质。

2. 引入分式的概念，解释分式与分数的区别。

二、分式的基本性质（15分钟）1. 展示分式的基本性质，如分式的分子、分母和值的变化规律。

2. 让学生通过例题来理解和掌握分式的基本性质。

三、分式的化简（20分钟）1. 介绍分式的化简方法，如分子分母的公因式提取、分式的乘除法等。

2. 分组讨论和练习化简分式的题目，教师进行指导和解答。

四、分式的运算（15分钟）1. 介绍分式的运算规则，如加减法、乘除法等。

2. 让学生通过例题来理解和掌握分式的运算规则。

3. 进行一些分式运算的练习题，教师进行指导和解答。

五、分式的应用（15分钟）1. 介绍分式在实际问题中的应用，如比例、折扣、浓度等问题。

2. 让学生通过例题来理解和掌握分式的应用方法。

3. 进行一些分式应用的练习题，教师进行指导和解答。

六、总结与布置作业（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调分式的概念、基本性质和运算规则。

2. 布置一些分式的化简、运算和应用的练习题，让学生进行巩固练习。

教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和应用题的解答，评价学生对分式的概念、基本性质和运算规则的理解和掌握程度。

2. 观察学生在分组讨论和练习中的表现，评价学生的合作和沟通能力。

3. 对学生的作业进行批改和评价，了解学生对分式应用的掌握情况。

以上是一篇初中数学分式下册的教案，根据学生的实际情况和教学环境，可以进行适当的调整和修改。

希望对您的教学有所帮助。

分式的学案6

学习课题】第11课时复习1 本章知识结构梳理(尽量用符号语言填写)（1）分式的定义：_______________________________________ （2）分式有意义的条件：_______________________________________（3）分式无意义的条件：_______________________________________、分式的定义（4）分式BA 的值为0的条件：__________________________________ （5）分式BA >0的条件：_______________________________________ （6）分式B A <0的条件：_______________________________________ （1）基本性质：_______________________________________公式：_______________________________________2、分式的基本性质（2）约分：_______________________________________（3）通分：_______________________________________（1）分式的乘除法法则：_______________________________________公式：_______________________________________、分式的运算同分母的分式相加减：_________________________（2）分式加减异分母的分式相加减：_________________________（1）定义：_______________________________________（2）解分式方程的步骤：_______________________________________增根的定义：____________________________________（3）增根分式方程产生增根的原因：____________________________、分式方程检验增根的方法：____________________________________（4）解分式方程的方法：_______________________________________（5）分式方程的应用达标练习：1、分式392--x x 当x __________时分式的值为零。

分式全章学案

鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案2x -时，小虎给出了他的解答过程如下：22)22x x x x -=÷--试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程．鸡西市第十九中学学案《分式的混合计算》专题班级姓名一笔一画关乎成绩，一字一句决定人生。

例：x xx x x x x x -÷+----+4)44122(22 解：原式=【运算顺序】在没有括号的情况下，按从到的方向，先，再乘除，然后 . 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分。

【注意】最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 计算：x y y x x y y x 222222÷-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙+11111212x x x x x x)1)(1(yx xy x y +--+ x x x x x 22)242(2+÷-+-x y y x x y y x 22222223243÷+∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221111b ab a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x xy y x y y x x 1122 b a b a a b a b a b a b a ÷--+-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22223322⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221111b ab a2422-+-x x x11)11(2+-+-x x x x x x x x 1)1113(2-∙+--222222(1)2a b a ba b ab ab-+÷+- 22222))((2b a b a abb a b a b a b a +-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值。

16.4《分式》复习学案

《分式》复习四课时复习目标1．用分式表示生活中的一些量．2．分式的基本性质及分式的有关运算法则． 3．分式方程的概念及其解法．4．列分式方程，建立现实情境中的数学模型复习重点1．分式的概念及其基本性质． 2．分式的运算法则． 3．分式方程的概念及其解法． 4．分式方程的应用．难点1．分式的运算及分式方程的解法． 2．分式方程的应用．第一课时主要公式 1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p=1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.第二课时分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.课堂反馈1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.第三课时（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型二：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型三：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅ （3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.第四课时分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）xx x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 题型三：列分式方程解应用题甲、乙分别从相距36千米的A 、B 两地同时相向而行．甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样二人恰好在AB 中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．。

分式学案(吐血推荐)

§16.1.1从分数到分式自主合作学习独立看书1～4页二、独立完成下列预习作业：1、单项式和多项式统称 .2、32表示 ÷ 的商，)()2(n m b a +÷+可以表示为 . 3、长方形的面积为102cm ，长为7cm ，宽应为 cm ；长方形的面积为S ，长为a ，宽应为 .4、把体积为203cm 的水倒入底面积为332cm 的圆柱形容器中，水面高度为 cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 .5、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有，那么式子B A 叫做分式. ◆◆分式和整式统称有理式◆◆三、合作交流，解决问题：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，故分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式BA 才有意义. 1、当x 时，分式x32有意义； 2、当x 时，分式1-x x 有意义； 3、当b 时，分式b 351-有意义； 4、当x 、y 满足时，分式yx y x -+有意义；四、课堂测控： 1、下列各式x 1，3x ，a π，5342+b ，352-a ，22y x x -，11x +，n m n m -+，15x+y ，22a b a b --，121222+-++x x x x ，)(3b a c -，23x -，0中，是分式的有；是整式的有；是有理式的有．2、下列分式，当x 取何值时有意义． ⑴a 2； ⑵2323x x +- ⑶2132x x ++ ⑷11-+x x⑸y x -1 ⑹122-x ⑺22+x x ⑻13-x3、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 4、当x 时，分式2212x x x -+-的值为零 5、当x 时，分式43x +的值为1；当x 时，分式43x +的值为-1.独立看书4～7页二、独立完成下列预习作业：1、分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值 . 即C B C A B A ⋅⋅= 或 CB C A B A ÷÷=（C ≠0）2、填空：⑴222-=-x x x x ；y x xxy x +=+22633 ⑵b a ab b a 2=+ ；ba ab a 222=- （b ≠0） 3、利用分式的基本性质：将分式x x x 22-的分子和分母的公因式x 约去，使分式xx x 22-变为21-x ，这样的分式变形叫做分式的；经过约分后的分式21-x ，其分子与分母没有，像这样的分式叫做 .三、合作交流，解决问题：将下列分式化为最简分式： ⑴c ab bc a 2321525- ⑵96922++-x x x ⑶yx y xy x 33612622-+-四、课堂测控：1．分数的基本性质为：．用字母表示为：．2．把下列分数化为最简分数：（1）812＝；（2）12545＝；（3）2613＝．分式的基本性质为：．3、填空：①3222=+x x x ②)(3863323----=a bb a ③)()(222-----=+-y x y x y x ④)0()(1≠+----=++n cn an c a b 4、分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、约分：⑴ac bc 2 ⑵2)(xy y y x + ⑶22)(y x xy x ++ （）（）（）（）⑷222)(y x y x -- ★ ⑸22699x x x ++-； ★ ⑹2232m m m m -+-．独立看书7～8页二、独立完成下列预习作业：1、利用分式的基本性质：将分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，使几个分式化为分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的 .2、根据你的预习和理解找出：①x 1与y3的最简公分母是； ②a x 与ab y 的最简公分母是； ③ab b a +与22a b a -最简公分母是；④231yz x 与22xy 的最简公分母是 . ★★如何确定最简公分母？一般是取各分母的所有因式的最高次幂的积三、合作交流，解决问题：1、通分：⑴b a 223与c ab b a 2- ⑵26x ab ，29y a bc 解： =ba 223 =-cab b a 22、通分：⑴52-x x 与53+x x ； ★⑵2121a a a -++，261a -．四、课堂测控： 1、分式223ab c 和28bc a -的最简公分母是 . 分式11-y 和11+y 的最简公分母是 .2、化简：._______44422=++-a a a 3、分式a x y 434+，1142--x x ，yx y xy x ++-22，2222b ab ab a -+中已为最简分式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、化简分式2b ab b +的结果为（） A 、b a +1 B 、b a 11+ C 、21b a + D 、b ab +1 5、若分式的分子、分母中的x 与y 同时扩大2倍，则分式的值（） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、不变 D 、是原来的2倍 6、不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A 、10B 、9C 、45D 、907、不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为整数，正确的是（） A 、3252322-+++x x x x B 、3252322-++-x x x x C 、3252322+--+x x x x D 、3252322+---x x x x 8、通分： ⑴bd c 2与243b ac ⑵2)(2y x xy +与22y x x - =-52x x =+53x x 解： y x y x 913110151+- )0,0(≠≠+y x yx xy 3253232-+-+-x x x x⑶bc a y ab x 229,6 ⑷16,12122-++-a a a a一、独立看书10～14页二、独立完成下列预习作业：1、观察下列算式： ⑴ 2910452515321553==⨯⨯=⨯ ⑵ 252756155231525321553==⨯⨯=⨯=÷ 请写出分数的乘除法法则：乘法法则： ; 除法法则： .2、分式的乘除法法则：（类似于分数乘除法法则）乘法法则： ;除法法则： .3、分式乘方：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即分式乘方，是把分子、分母分别 . 三、合作交流，解决问题：1、计算： ⑴ 3234x y y x ∙； ⑵ cd b a cab 4522223-÷2、计算：⑴ 411244222--∙+-+-a a a a a a ； ⑵ m m m 7149122-÷-.即：bd ac d b c a d c b a =∙∙=∙ 即： bcad c b d a c d b a d c b a =∙∙=∙=÷3、计算：3592533522+∙-÷-x x x x x .4、计算：⑴ 2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ⑵ 2333222⎪⎭⎫ ⎝⎛∙÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a c d a cd b a四、课堂测控：1、计算： ⑴q mnp mnq p pq n m 3545322222÷∙； ⑵228241681622+-∙+-÷++-a a a a a a a .2、计算： ⑴23x x +-·22694x x x -+-； ⑵23a a -+÷22469a a a -++．3、计算： ⑴32432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-z y x ； ⑵3234223362⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b c b a d c ab .一、独立看书15～18页二、独立完成下列预习作业：1、填空： ①15与35的相同，称为分数，15+35＝，法则是； ②12与23的不同，称为分数，12+23＝，•运算方法为； 2、b a 与c a 的相同，称为分式；m a 与n b 的不同，称为分式. 3、分式的加减法法则同分数的加减法法则类似①同分母分式相加减，分母，把分子 ;②异分母分式相加减，先，变为同分母的分式，再 .4．22m m +-，52m +的最简公分母是 . 5、在括号内填入适当的代数式：三、合作交流，解决问题：1、计算：⑴x x y ++y y x + ⑵32b a -32a a ⑶32ab +214a2、计算：⑴ 2222235y x x y x y x ---+ ⑵21a -+21(1)a - ⑶qp q p 321321-++ ⑷2129m -+23m -+23m +3、计算：4122b b a b a b a ÷--∙⎪⎭⎫ ⎝⎛即用式子表示为：cb ac b c a ±=± 即用式子表示为：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ⑴222()2xy ax y = （⑵322()()x xy x x y x y -=--四、课堂测控：1、计算：⑴x x x 11-+ ⑵13121+-+++b a b a b a2、计算：⑴223121cd d c + ⑵2)2(223n m n m n m ----⑶b a b a a +--122 ⑷222x x x +--2144x x x --+3、计算：⑴x y y x x y y x 222222÷-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙+11111212x x x x x x一、独立看书18～22页二、独立完成下列预习作业： 1、回顾正整数幂的运算性质： ⑴同底数幂相乘：=∙n m a a . ⑵幂的乘方：()=n ma . ⑶同底数幂相除：=÷n m a a . ⑷积的乘方：()=nab . ⑸=⎪⎭⎫ ⎝⎛nb a . ⑹ 当a 时，10=a . 2、根据你的预习和理解填空：)(5353---==÷a a a a ∙==÷--)(335353a a a a a a a3、一般地，当n 是正整数时，4、归纳：1题中的各性质，对于m,n 可以是任意整数，均成立.三、合作交流，解决问题： 1、计算：⑴()321b a - ⑵()32222---∙b a b a2、计算：⑴()3132y x y x -- ⑵()()322322b a c ab ---÷四、课堂测控：1、填空：⑴____30=；____32=-. ⑵()____30=-；()___32=--. ⑶____310=⎪⎭⎫ ⎝⎛；____312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-.⑷____0=b ；____2=-b （b ≠0）.2、纳米是非常小的长度单位，1纳米＝910-米，把1纳米的物体放到乒乓球上，如同将乒乓球放到地球上，1立方毫米的空间可以放个1立方纳米的物体，（物体间的间隙忽略不计）.3、用科学计数法表示下列各数：①0.000000001＝；②0.0012＝；③0.000000345＝；④-0.0003＝；⑤0.0000000108＝；⑥5640000000＝；4、计算：⑴2223--∙ab b a ⑵()313--ab ⑶()3322232n m n m --∙ )0(1≠=-a a a n n 即n a -（a ≠0）是n a 的倒数5、计算：⑴()()36102.3102⨯⨯⨯- ⑵()()342610102--÷⨯一、独立看书26～28页二、独立完成下列预习作业：1、问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，则轮船顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时；顺流航行100千米所用时间为小时，逆流航行600千米所用时间为小时.根据两次航行所用时间相等可得到方程：方程①的分母含有未知数v ，像这样分母中含有未知数的方程叫做 . 我们以前学习的方程都是整式方程，分母中不含未知数.★★2、解分式方程的基本思路是： . 其具体做法是： . 三、合作交流，解决问题： 1、试解分式方程：⑴v v -=+206020100 ⑵2510512-=-x x解：方程两边同乘)20)(20(v v -+得：解：方程两边同乘得：去括号得：移项并合并得：解得：vv -=+206020100 ① )20(60)20(100v v +=-经检验：5=v 是原方程的解. 经检验：5=x 不是原方程的解，即原方程无解分式方程为什么必须检验？如何检验？. 2、小试牛刀（解分式方程） ⑴x x 332=- ⑵12112-=-x x四、课堂测控：1、下列哪些是分式方程？⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹523xx +=-π. 2、解下列分式方程： ⑴3221+=x x ⑵14122-=-x x ⑶13321++=+x x x x ⑷01522=--+xx x x ⑸)2)(1(311+-=--x x x x ⑹2212=-+-x x x一、独立看书29～31页二、独立完成下列预习作业：问题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的31，若设乙队单独施工1个月能完成总工程的x1. 则甲队半个月完成总工程的；乙队半个月完成总工程的；两队半个月完成总工程的；解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的x1，则有方程：方程两边同乘得：解得：x ＝经检验：x ＝符合题设条件.∴ 队施工速度快.三、合作交流，解决问题：问题：一项工程要在限定期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成；如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成。

九年级数学上人教版《分式的概念》教案

《分式的概念》教案一、教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质，能够熟练地进行分式的约分和通分变形。

2.通过学习，能够解决一些简单的实际问题，并能够进行简单的判断和推理。

3.培养学生的符号感和抽象思维能力，激发学生对数学学习的兴趣和热情。

二、教学内容1.分式的概念及基本性质2.分式的约分和通分变形3.分式方程及其解法三、教学重点与难点重点：理解分式的概念，掌握分式的基本性质，能够熟练地进行分式的约分和通分变形。

难点：理解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分变形的技巧和方法。

四、教学方法与手段1.通过实例引入分式的概念，让学生了解分式的意义和作用。

2.通过讲解和演示，让学生掌握分式的基本性质和约分、通分变形的技巧和方法。

3.通过练习和讨论，让学生深入理解和掌握分式的概念和性质，并能够解决一些实际问题。

4.通过多媒体课件和实物模型等手段，增强学生对抽象概念的理解和认识。

五、教学过程设计1.导入新课：通过复习整式的概念和性质，引入分式的概念和性质。

2.新课学习：讲解分式的概念和基本性质，并演示分式的约分和通分变形的方法和技巧。

3.巩固练习：通过练习和讨论，让学生深入理解和掌握分式的概念和性质，并能够解决一些实际问题。

4.归纳小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。

5.布置作业：布置相关练习题，让学生在家中复习本节课所学内容，加深对分式的概念和性质的理解和掌握。

六、教学评价与反馈1.设计评价策略：通过课堂小测验、作业和小组讨论等方式，检测学生对分式的概念和性质的理解和掌握情况。

同时，通过观察学生的表现和交流情况，及时发现学生在学习中存在的问题和困难，并给予相应的指导和帮助。

2.为学生提供反馈意见和建议：在评价过程中，及时向学生提供反馈意见和建议，帮助学生了解自己的学习状况和不足之处，并指导其改进和提高学习效果。

同时，鼓励学生互相评价和学习，增强其自主学习和合作学习的能力。

17.1分式及分式基本性质学案

17.1《分式的概念》导学案学习目标1. 了解分式、有理式的概念.2. 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件、能熟练求出分式有意义的条件、分式的值为零的条件. 学习重点理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件。

学习难点能熟练地求出分式有意义的条件、分式值为零的条件。

一、学前准备1、统称为整式。

2、32表示 ÷ 的商，那么(m+a )÷(n+b)可以表示为。

3、某村有 m 人，耕地50公顷，人均耕地面积为公顷。

4、三角形ABC 的面积为S ，BC 边长为a,高为。

5、一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为千米/小时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速千米/小时。

6、以上(3、4、5)题的共同点是，与分数相比的不同点。

7、如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有，那么式子BA 叫做分式，其中A 叫做，B 叫做。

二、探究活动:1、独立思考，解决问题。

（1）分式BA 的分母表示，由于不能为0，所以分式的分母不能为，即当B 0时，分式B A 才有意义。

即时训练（1）当x 时，分式X32有意义。

（2）当x 时，分式1-x x 有意义。

（3）当x 、y 满足关系时，分式yx y x +-有意义。

2、师生探究，合作交流。

探究：分式在什么情况下值为零。

. （1）若分式142+-X X 的值为0，则x= . （2）若分式B A 的值为0，则且。

探究：分式在什么情况下无意义。

（1）当x 时，分式123-X 无意义。

（2）使分式1-X X 无意义，x 的取值是（） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、±1(3)对于分式B A ，当时分式有意义，当时分式BA 无意义。

三、同步演练 1、下列各式①x 2 ② y x +5 ③ a -21 ④123-x ,是分式的有（） A 、①② B 、③④ C 、 ①③ D 、①②③④2、当x 取什么值时，下列分式有意义？① 18-x ② 912-x ③12+x y ②当a 时，分式242+-a a 的值为0. ③使分式1-x x 无意义，x 的取值是（）A 、0 B 、1 C 、-1 D 、±1 四、拓展延伸已知y=xx 321--,x 取哪些值时:①y 的值是正数;②y 的值是负数；③y 的值是零；④分式无意义。

初中分式认识教案

初中分式认识教案1. 让学生理解分式的定义，掌握分式的基本性质，了解分式与整式的区别和联系。

2. 培养学生运用分式解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

3. 培养学生合作交流、积极思考的良好学习习惯。

二、教学内容1. 分式的定义：分式是两个整式的比，分母不能为零。

2. 分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。

3. 分式与整式的区别和联系：整式是分式的特殊形式，分式是整式的推广。

三、教学重点与难点1. 重点：分式的定义，分式的基本性质。

2. 难点：分式与整式的区别和联系。

四、教学方法1. 采用自主探究、合作交流的学习方式，让学生在实践中掌握分式的定义和性质。

2. 利用多媒体课件，直观展示分式的生成过程，提高学生的学习兴趣。

3. 结合生活实例，引导学生运用分式解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：复习整式的知识，引导学生思考整式在实际生活中的应用。

2. 新课导入：介绍分式的定义，让学生理解分式是两个整式的比，分母不能为零。

3. 讲解分式的基本性质，让学生通过实例感受分式的性质。

4. 分析分式与整式的区别和联系，引导学生理解分式是整式的推广。

5. 练习巩固：布置一些分式的基本运算题目，让学生独立完成，检验学习效果。

6. 拓展应用：给出一些实际问题，引导学生运用分式解决。

7. 课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生总结分式的定义、性质及应用。

8. 布置作业：布置一些有关分式的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思1. 课后认真反思本节课的教学效果，了解学生的掌握情况。

2. 对教学方法进行调整，以提高学生的学习兴趣和效果。

3. 关注学生在实际问题中的运用能力，提高学生的数学素养。

4. 针对学生的差异，给予个别辅导，帮助学生克服学习困难。

通过以上教学设计，希望能帮助学生更好地理解分式，提高学生的数学素养。

在实际教学中，教师应根据学生的实际情况灵活调整教学方法，关注学生的个体差异，使每位学生都能在数学学习中取得良好的成绩。

专题04分式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)

中考数学一轮复习学案04 分式考点课标要求考查角度1分式的概念①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；②会求分式值为零时x的值．考查分式的意义和分式值为零的情况．常以选择、填空题为主．2分式的运算①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．考查分式的基本性质和分式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．三个条件缺一不可：①是形如AB的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．特别说明：11aa-+也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合AB的形式．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，4aa就是分式．2．有意义的条件：分母B的值不为零(B≠0).3. 分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)【例1】（2022•怀化）代数式25x，1π，224x+，223x-，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】分式的定义【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式AB叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：22 4x+，1x，12xx++，整式有：25x，1π，223x-，分式有3个，故选：B．知识点1：分式的相关概念知识点梳理典型例题【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字．【例2】（2022•凉山州）分式13x+有意义的条件是（） A ．x ＝－3B ．x ≠－3C ．x ≠3D ．x ≠0【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3＋x ≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得： 3＋x ≠0， ∴x ≠－3，故选：B ．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【例3】（2022•广西）当x ＝时，分式22xx +的值为零．【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x ＋2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x ＋2≠0， ∴x ＝0且x ≠－2， ∴当x ＝0时，分式22xx +的值为零，故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．1．分式的基本性质：A A MB B M⨯=⨯，A A M B B M ÷=÷ （M 为不等于零的整式）． 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．知识点2：分式的基本性质知识点梳理3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．6. 变号法则：A A A AB B B B--=-=-=--．【例4】（3分）（2020•河北7/26）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（）A ．22a a b b+=+ B ．22a ab b-=- C ．22a ab b= D ．1212aa b b = 【考点】分式的基本性质【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵a ≠b ， ∴22a ab b+≠+，故选项A 错误； 22a ab b-≠-，故选项B 错误； 22a ab b≠，故选项C 错误； 1212aa b b =，故选项D 正确；故选：D ．【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【例5】若把分式3xyx y-（x ，y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（） A ．扩大3倍 B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的16典型例题【分析】若把分式3xyx y-（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．【答案】A．【例6】下列分式变形中，正确的是（）A．22a ba ba b+=++B．1x yx y-+=-+C．a amb bm=D．32()()n mn mm n-=--【例7】约分：2332415a ba b-=（）A．85baB．285ba-C．85ba-D．283ab11112242222(2)(2)(2)(2)x x B x x x x x x x x ---=+=-==-+-+-+-+-，故A ＝-B. 【答案】C ．1．分式的乘除法：（1）乘法法则：(0)a c acbd b d bd=≠；（2）除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc .(bcd ≠0)2．分式的加减法：（1）同分母分式相加减：a b a bc c c±±=(c ≠0) （2）异分母分式相加减：a b ±c d ＝ad ±bcbd.(bd ≠0)3. 分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (n 为整数，b ≠0)4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．【例9】（2022•济南）若m －n ＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（） A ．－2B ．2C ．－4D ．4【考点】分式的乘除法【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m －n 的值代入计算即可．【解答】解：原式()()2m n m n mm m n+-=⋅+ ＝2(m －n )．知识点3：分式的运算知识点梳理典型例题当m －n ＝2时．原式＝2×2＝4．故选：D ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．【例10】（2022•山西）化简21639a a ---的结果是（） A ．13a + B ．a －3 C ．a ＋3 D ．13a - 【考点】分式的加减法【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．【解答】解：21639a a --- 36(3)(3)(3)(3)a a a a a +=-+-+- 36(3)(3)a a a +-=+-3(3)(3)a a a -=+-13a =+，故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．【例11】（3分）（2021•包头14/26）化简：2211()422m m m m +÷=--+ ．【考点】分式的混合运算【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：原式2(2)(2)(2)(2)m m m m m -+=⋅++-2=12m m -=-．故答案为1．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【例12】（5分）（2021•重庆B 卷19（2）/26）计算：22293()211x x x x x x --÷++++．【考点】分式的混合运算【分析】先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：原式222(3)(3)3()(1)11x x x x x x x x +-+-=÷++++2(3)(3)3(1)1x x x x x +-+=÷++ 2(3)(3)1(1)3x x x x x +-+=⋅++ 31x x -=+．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．【例13】（6分）（2020•安徽17/23）观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-．第5个等式：921(1)2755⨯+=-．⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明．【考点】规律型：数字的变化类；列代数式【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n 表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【解答】解：（1）第6个等式：1121(1)2866⨯+=-；（2）猜想的第n 个等式：2121(1)22n n n n-⨯+=-+．证明：∵左边21221122n n n n n n n-+-=⨯==-=+右边， ∴等式成立．故答案为：1121(1)2866⨯+=-；2121(1)22n n n n-⨯+=-+．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．1. 分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．2. 分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．【例14】（2022•内蒙古）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x -+--÷--，其中x ＝3．【考点】分式的化简求值【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可．【解答】解：原式223(1)11(2)x x x x ---=⋅-- 2(2)(2)11(2)x x x x x +--=-⋅-- 22x x +=--，当x ＝3时，原式3232+=-- ＝－5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．【例15】（2022•菏泽）若a 2－2a －15＝0，则代数式244()2a a aa a --⋅-的值是．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．知识点4：分式的化简求值知识点梳理典型例题【解答】解：244()2a a a a a --⋅- 22442a a a a a -+=⋅- 22(2)2a a a a -=⋅- 22a a =-，∵a 2－2a －15＝0， ∴a 2－2a ＝15， ∴原式＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【例16】（2022•黄石）先化简，再求值：2269(1)11a a a a +++÷++，从－3，－1，2中选择合适的a 的值代入求值．【考点】分式的化简求值【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式23(3)11a a a a ++=÷++ 2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，由分式有意义的条件可知：a 不能取－1，－3，故a ＝2，原式11235==+．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例17】（3分）（2019·河北省13/26）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1+441x x x x +-++的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【考点】分式的加减法，化简求值．【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解：∵22(2)+44x x x ++﹣11x +＝22(2)(2)x x ++﹣11x +＝1﹣11x +＝1x x +又∵x 为正整数，∴12≤1xx +＜1 故表示22(2)+44x x x ++﹣11x +的值的点落在②故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅= 巩固训练C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a ba- C ．aa b+ D ．224aa b -7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )AB ．CD ．10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是． 11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是． 12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是． 13．（2022•襄阳）化简分式：ma mba b a b+=++ ． 14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- ． 15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = ．16．（2022•包头）计算：222a b aba b a b -+=-- ． 17．（2022•苏州）化简2222x xx x ---的结果是． 18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ ．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ ． 20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= ．21．（2022•黔西南州）计算：2x y yx y x y+-=-- ． 22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是． 23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- ． 24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- ． 25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x --⋅=+ ．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ ．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+． 29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-． 30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--；（2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+（2）22244(1)x x x x +++÷．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是． ②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 38．（2022•南通）（1）计算：22242a a aa a a -⋅+-+；（2）解不等式组：211418x x x x ->+⎧⎨-+⎩．39．（2022•西藏）计算：222242a a a a a a +⋅---． 40．（2022•兰州）计算：21()(1)x x x x ++÷．41．（2022•大连）计算：2224214424x x x x x x x -+÷--+-．42．（2022•十堰）计算：2222()a b b aba a a--÷+．43．（2022•常德）化简：231(1)22a a a a a +--+÷++． 44．（2022•陕西）化简：212(1)11a aa a ++÷--． 45．（2022•泰安）（1）化简：244(2)24a a a a ---÷--；（2）解不等式：5231234x x -+->． 46．（2022•江西）以下是某同学化简分式2113()x +-÷的部分运算过程：（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．47．（2022•甘肃）化简：22(3)3322x x x x x x ++÷-++．48．（2022•泸州）化简：22311(1)m m m m m-+-+÷． 49．（2022•重庆）计算：（1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．50．（2022•阜新）先化简，再求值：22691(1)22a a a a a -+÷---，其中4a =．51．（2022•辽宁）先化简，再求值：22221124()11x x x x x x x -+--÷-++，其中6x =． 52．（2022•福建）先化简，再求值：211(1)a a a-+÷，其中21a =+．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A ．222()2a b a ab b -=-+，故A 选项错误，不符合题意；2.(1)11B -==，故B 选项正确，符合题意；C ．1111a a a a a÷⋅=⨯=，故C 选项错误，不符合题意； D ．233611()28ab a b -=-，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算． 2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．【解答】解：原式112a a ++=+ 22a a +=+ 1=．故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．巩固训练解析3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可．【解答】解：422a a +-+ 24422a a a -=+++ 22a a =+．故选：B ．【点评】本题考查了分式的加减法，把2a -看成分母是1的分数进行通分是解题的关键． 4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的基本性质，把等式111()v f f u v=+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【解答】解：111()v f f u v=+≠， 111f u v =+， 111u f v =-， 1v fu fv -=， fvu v f=-．故选：C ．【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅=C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=【考点】合并同类项；分式的混合运算【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可．【解答】解：3332a a a +=，故A 错误，不符合题意； 2111aa b a b b b b÷⋅=⋅⋅=，故B 错误，不符合题意； 22222(1)21111a a a a a a a ---===----，故C 正确，符合题意； 3326()b b a a=，故D 错误，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a b a- C ．aa b+ D ．224aa b- 【考点】分式的混合运算【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+，再根据分式的运算法则进行计算即可；【解答】解：11()a b a b +÷+-★2a b=+， ∴被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+ ()()2a b a b a ba b a b -+++=⋅+- 212a a b =⋅- aa b=-；故选：A ．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②【考点】数轴；分式的化简求值【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．【解答】解：原式22(2)(2)2(2)x x x x x +-=-++ 2222x x x x -=-++ 2(2)2x x x --=+222x x x -+=+22x x +=+ 1=，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】分式的化简求值【分析】根据x 和y 互为倒数可得1xy =，再将11()(2)x y y x+-进行化简，将1xy =代入即可求值．【解答】解：x 和y 互为倒数，1xy ∴=， 11()(2)x y y x +-1212xy xy=-+-21121=⨯-+- 2121=-+-2=．故选：B ．【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．9．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )A B ．C D ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由223a b ab +=，得出2()5a b ab +=，2()a b ab -=，由0a b >>，得出a b +a b -=可得出答案．【解答】解：2221111()()a b a b+÷-2222222()a b b a a b a b +-=÷ 22222()()()a b a b a b b a b a +=⋅+- a ba b+=--， 223a b ab +=，2()5a b ab ∴+=，2()a b ab -=， 0a b >>，a b ∴+a b -=a b a b +∴-===-，故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键． 10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 2x ≠ ．【考点】分式有意义的条件【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．【解答】解：分母不等于0，分式有意义，20x ∴-≠，解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 1x ≠ ．【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件可知10x -≠，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：10x -≠，解得：1x ≠，故答案为：1x ≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 2 ．【考点】分式的值【分析】把1a =代入分式计算即可求出值．【解答】解：当1a =时，原式1121+==．故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022•襄阳）化简分式：ma mb a b a b+=++ m ．【考点】分式的加减法【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式ma mb a b +=+ ()m a b a b +=+ m =，故答案为：m ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- 2 ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式221a a -=- 2(1)1a a -=- 2=．故答案为：2【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = 201182．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：13111311123222212a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 25511131234242212222a ===⨯+-⨯⨯⨯++； 37711131345602331232a ===⨯+-⨯⨯⨯++； ⋯，2111131(1)(2)2122n n a n n n n n n +==⨯+-⨯++++，当12n =时，原式11111113111(1...)(...)(...)22312231323414=++++++++-⨯+++ 201182=，故答案为：201182．【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．16．（2022•包头）计算：222a b ab a b a b-+=-- a b - ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．【解答】解：原式222a ab b a b-+=- 2()a b a b-=- a b =-，故答案为：a b -．【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．17．（2022•苏州）化简2222x x x x ---的结果是 x ．【考点】分式的加减法【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．【解答】解：原式222x x x -=- (2)2x x x -=- x =．故答案为：x ．【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ 2 ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++ 242a a +=+ 2(2)2a a +=+ 2=，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ 1 ．【考点】分式的加减法【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式532x x +-=+ 22x x +=+ 1=．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= 2 ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．【解答】解：原式22x xy xy x xy++-=， 2xy xy=， 2=．故答案为：2．【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．21．（2022•黔西南州）计算：2x y y x y x y+-=-- 1 ．【考点】分式的加减法【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．【解答】解：原式2x y y x y +-=- x y x y -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 13x + ．【考点】分式的加减法【分析】先通分，再加减．【解答】解：原式23(3)(3)(3)(3)x x x x x x +=-+-+- 23(3)(3)x x x x --=+-3(3)(3)x x x -=+- 13x =+．故答案为：13x +．【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- 2- ．【考点】分式的加减法【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．【解答】解：原式2211x x x =--- 221x x -=- 2(1)1x x --=- 2=-，故答案为：2-．【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- 1 ．【考点】分式的加减法【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x--⋅=+ 1x - ．【考点】分式的混合运算【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：211(1)1x x x--⋅+11(1)(1)1x x x x x +-+-=⋅+ (1)(1)1x x x x x+-=⋅+ 1x =-，故答案为：1x -．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ 2a a + ．【考点】分式的混合运算【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：223424432a a a a a a --⋅+++-+ 23(2)(2)2(2)32a a a a a a -+-=⋅++-+ 2222a a a -=+++ 2a a =+，故答案为：2a a +．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．【考点】合并同类项；分式的化简求值【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为1-，求出相应的x 的值即可．【解答】解：314x x -+-344x x x -+-=- 14x=-，当114x =--时，可得5x =，检验：当5x =时，40x -≠，∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+．【考点】分式的加减法；因式分解-运用公式法【分析】（1）应用因式分解-运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．【解答】解（1）21(1)(1)a a a -=-+；（2）21111211111a a a a a a -+=+=-++++．【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解-运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解-运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-．【考点】有理数的混合运算；分式的加减法【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．【解答】解：（1）原式9128()466=-⨯⨯- 91846=⨯⨯3=；（2）原式1(1)(1)(1)x x x x --+=+- 221x -=- 221x =-．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n 的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：1111(1)n n n n =+++；（2）111(1)n n n +++ 1(1)(1)n n n n n =+++ 1(1)n n n +=+ 1n=， ∴1111(1)n n n n =+++．【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．【考点】分式的加减法【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．【解答】解：原式213(1)(1)(1)(1)x x x x x x x +-=++-+- 221(1)(1)x x x x -+=+- 2(1)(1)(1)x x x -=+-11x x -=+．【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-．【考点】单项式乘多项式；平方差公式；分式的加减法【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）()()(2)x y x y y y +-+-2222x y y y =-+-22x y =-；（2）原式22(2)2(2)(2)m m m m m m +--=÷+-+ 2222m m m +=⋅+- 22m =-．【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--；（2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．【考点】解二元一次方程组；分式的混合运算【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【解答】解：（1）52(2)23m m m m -+-⋅-- 245223m m m m ---=⋅-- (3)(3)223m m m m m -+-=⋅-- 3m =+；（2）43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ②2⨯得：4106x y -=-③，①-③得：99y =，解得1y =，把1y =代入①得：413x -=，解得1x =，故原方程组的解是：11x y =⎧⎨=⎩．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--．【考点】零指数幂；分式的混合运算；实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．【解答】解：（1）原式5121=+-⨯512=+-4=；（2）原式(3)(3)3a a a a a =÷+-- 3(3)(3)a a a a a -=⨯+- 13a =+．【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+ （2）22244(1)x x x x +++÷．【考点】负整数指数幂；实数的运算；分式的混合运算【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）202211(1)3|()3--+-1333=++4=；（2）22244(1)x x x x +++÷ 222(2)x x x x +=⋅+ 2x x =+．【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；（2）利用分式的混合运算来做即可．【解答】解：（1）原式211=-=（2）原式211()()a a a a a a=-÷- 211a a a a -=⨯- 1(1)(1)a a a -=-+ 11a =+．【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步 22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点】分式的混合运算；通分【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅-- 22242x x x x -+-=⋅- 22(2)(2)2x x x -=⋅+- 12x =+．【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．38．（2022•南通）（1）计算：22242a a a a a a -⋅+-+；。

八年级下第三章分式学案

写在前面怎样学好数学一、学好数学也需要阅读阅读在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语。

比如：教材第三页中“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”。

这句话中，关键词语是“都、同一个、不为零”。

“都、同一个”讲的是公平公正，不能偏心。

“不为零”是同学们思维的盲区，经常忽视而造成错解。

从这个例子中不难看出阅读时抓住关键词语的重要性。

二、学好数学也需要积累积累，在语文中有利于写作，在数学中有利于解题，积累包括两个方面：一是概念知识，二是错误的题目。

脑中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解题的突破口，在做较难的题目时，也就容易得心应手。

积累错误的题目，指挑选一些自己平时容易错或者难懂的题目，记在本子上，在复习时，翻看这本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面还有所欠缺，应引起足够重视。

所以，积累对学好数学起着极大的作用。

三、学好数学也需要讲解以故事为例吧，听别人讲了一个故事，自己很容易明白故事梗概和情节，甚至对其中蕴含的道理也明白。

但是如果要你把这个故事讲给别人听，是不是感觉还差点什么呢？一是自己对语言的组织能力，二是自己对语调、表情、手势等的把握，三是故事的连惯性、趣味性等。

所以说，把自己知道的东西讲出来，是更高层次的要求，能锻炼自己的表达能力，能使自己含糊的理解更加清晰，能迫使自己主动去把不太清晰的问题弄个水落石出，能不自觉地提高到老师的水平。

本学期我们的数学学习对同学提出了新的要求：一是要认真完成预习。

老师已经把课本上需要学习和掌握的知识以学案的形式印出来，发到了同学们手中。

仔细阅读你会发现数学也挺轻松的，容易懂、容易学。

做好预习的目的一是为课堂上的讲解作好准备，以免笑场；二是为课堂上的讨论作好思维铺垫；三是为深入学习垫定基础。

二是人人参与课堂讲解，人人当好小老师。

检查预习的主要方法就是看你能不能讲出来，讲得清楚不，老师和同学们对你的认可程度如何。