全称量词和全称命题-高中数学知识点讲解

合集下载

高中数学第一章常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.

2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命题. 【做一做2】下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号答案:B
题型一题型二题型三题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】给出下列命题:
①任意 x∈R, ��是无理数; ②任意��, ��∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一题型二题型三题型四
题型三利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和存在一个实数x,使m>f(x)成立.

数学全称命题知识点总结

数学全称命题知识点总结一、全称命题的定义全称命题是指对一个集合中的所有元素都成立的命题。

全称命题通常以“对任意/对每个/对一切/对所有……”等词语来表达。

二、全称命题的符号表示全称命题通常用符号∀（全称量词）来表示，表达全称命题的公式为：∀x P(x)其中，∀表示全称量词，表示“对任意”；x为变元，表示集合中的任意元素；P(x)为命题函数，表示与变元x相关的命题。

三、全称命题的真假全称命题只有当集合中的所有元素都满足命题函数P(x)时，它才为真，否则为假。

因此，验证全称命题的真假需要对集合中的每一个元素逐一检查。

四、全称命题的否定全称命题的否定是存在命题（存在量词），对应的公式为：¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x (¬P(x))其中，¬表示否定，∃表示存在量词，表示“存在某个”，¬P(x)表示P(x)的否定。

五、全称命题的推理规则1. 全称命题的引入规则：通过一个具体的例子来说明全称命题成立，即若证明P(a)成立，则可以得出∀x P(x)成立。

2. 全称命题的消去规则：通过全称命题的真假来推导某一特定的结论。

六、全称命题的应用1. 在数理逻辑、集合论、数学分析等领域中，全称命题常常被用于表达普遍规律或定理。

2. 全称命题也常用于数学推理和证明过程中，帮助推导出新的结论或定理。

七、例题1. 若对任意实数x，都有x^2 ≥ 0，则∀x (x^2 ≥ 0)为真命题。

2. 若对每个自然数n，都有n(n+1)为偶数，则∀n (n(n+1)为偶数)为假命题。

八、练习题1. 设P(x)表示“x+1>x”，求证∀x P(x)是否成立。

2. 设Q(x)表示“x是奇数”，求证∀x Q(x)是否成立。

九、拓展练习1. 请举例说明全称命题的引入规则和消去规则的应用。

2. 请用全称命题证明：任意偶数的平方为4的倍数。

十、总结全称命题是数学中常见的命题形式，通过对一个集合中的所有元素进行断言，表达了普遍规律或定理。

全称量词与全称命题汇总

例题讲解
例１，判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题：（１）奇数是整数；（２）偶数能被２整除；（３）至少有一个素数不是奇数．
解：（１）“奇数是整数”是指“所有的奇数都是整数”，所以它是全称命题．
（２）“偶数能被２整除”是指“每一个偶数都能被２整除”，所以它是全称命题．
（３）“至少有一个素数不是奇数”是特称命题．
有一个实数 x,使 x2 2x 3 0
存在两个相交平面垂直于同一条直线; 有些整数只有两个正因数.
什么是存在量词，特称命题．全称命题和特称命题有什么区别？
判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并说明命题的真假: (1)所有的奇数都是素数; (2)数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数; (3)5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0.
均是全称命题,且都为假命题.
从另一个角度来看以上问题,可知 (1)只需指出“有一个奇数不是素数”就可以说明 “所有奇数都是素数”这个全称命题是错误的．
(2)只需指出“数列{1,2,3,4,5}中有一项不是偶数” 就可以说明“数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数” 这个全称命题是错误的．
(3)只需指出“５个数{-2,-1,0,1,2}中有一个数不大于0”就可以说明“5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0” 这个全称命题是错误的．
解：（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题。
归纳：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题"x M,p(x)"是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）

全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学

1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。

必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第第6讲全称量词和存在量词(教师版)

第6讲全称量词和存在量词知识点梳理讲解：【知识梳理】知识点一全称量词、全称命题(1)全称量词及全称命题的概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．【要点讲解】（1（2来说的.知识点二存在量词、存在量词命题(1)存在量词及特称命题的要命短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．(2)表示特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．(3)特称命题的真假判定要判定一个存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．【要点讲解】一：存在量词和存在量词命题（2）存在量词命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．类型一判断命题的类型例1 将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；解(1)∀x∈R，x2≥0.(2)∃x0＜0，ax20＋2x0＋1＝0(a＜1)．【变式训练】1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；解命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．命题(2)为存在量词命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称量词命题．2、用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数； (3)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1＞0成立．(2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数． (3)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.类型二判断命题的真假例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞12； (2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(3)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立．解 (1)真命题，∵x 2－x ＋1－12＝x 2－x ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≥14＞0，∴x 2－x ＋1＞12恒成立． (2)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．例3：判断下列命题的真假：(1)p ：所有的单位向量都相等；解：(1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同，虽然有|e 1|＝|e 2|＝1，但e 1≠e 2.【变式训练】1、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)存在一组m ，n 的值，使m －n ＝1；(4)至少有一个集合A ，满足A {1,2,3}．[解] (1)是全称量词命题．因为对任意自然数x,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是存在量词命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题．(4)是存在量词命题．存在A ＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．2 判断下列命题的真假．(1)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0；(2)p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3≤0.解（1）该命题是存在量词命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋142＋78≥78>0， ∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0.故该命题是假命题．(2)p 是存在量词命题，是假命题．因为对于⌝p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0是真命题，这是因为x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2＞0恒成立.【方法技巧总结】要判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．要判定存在量词命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．类型三利用全称命题和存在量词命题求参数的值或取值范围例3 已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围．(1)命题p (x )：x ＋1>x ；(2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0；解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R.(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.【方法技巧总结】已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．【课堂小测1】1．下列命题中，是正确的全称量词命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2＜0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数答案 D2．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )＞0”用“∃”或“∀”可表述为____________．答案 ∃x 0＜0，(1＋x 0)(1－9x 0)＞03．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1＞0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．解 (1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．(3)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－2y 0＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．知识点三全称量词命题的否定梳理写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定⌝p：∃x0∈M，⌝p(x0)．【知识精讲】例1 写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.【变式训练】1 写出下列全称量词命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)⌝p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)⌝p：有些自然数的平方不是正数．(3)⌝p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．(4)⌝p：存在实数x0，使得x20＋1<0.【方法技巧总结】全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．知识点四存在量词命题的否定梳理写存在量词命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定⌝p：∀x∈M，⌝p(x)．存在量词命题的否定是全称命题．【知识精讲】例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∃x 0∈R,2x 0＋1≥0；(2)q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0； (3)r ：有些分数不是有理数．解 (1)⌝p ：∀x ∈R,2x ＋1＜0，⌝p 为假命题．(2)⌝q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0. ∵x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴⌝q 是真命题． (3)⌝r ：一切分数都是有理数，⌝r 是真命题．【变式训练】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．【方法技巧总结】特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p ：∃x 0∈M ，p (x 0)成立⇒⌝p ：∀x ∈M ，⌝p (x )成立．知识点五含量词的命题的应用含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称量词命题“∀x ∈M ，a ＞f (x )(或a ＜f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )．(2)对于存在量词命题“∃x 0∈M ，a ＞f (x 0)(或a ＜f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a ＞f (x )min (或a ＜f (x )max )．(3)若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题解决．例1 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1＜0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．引申探究已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”真命题，求实数a的取值范围．解由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．【变式训练】已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).【课堂小测2】1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案 C2．∃m0，n0∈Z，使得m20＝n20＋2 017的否定是( )A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017B．∃m0，n0∈Z，使得m20≠n20＋2 017C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017D．以上都不对答案 C3．命题“∀x∈R，x＞sin x”的否定是________________．考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案∃x0∈R，x0≤sin x04．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0；(2)p：所有的正方形都是菱形；(3)p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定解(1)p⌝：∀x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．由为∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．(2)⌝p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．因为所有的正方形都是菱形．(3)⌝p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为当x＝－1时，x3＋1＝0.。

人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_全称量词与存在量词_基础

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于、大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

高中数学知识点精讲精析全称量词与全称命题

3.1 全称量词与全称命题1、“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题。

2、对M 中任意的x ，有p(x)成立，记作"∀"x ∈M ，p(x)。

3．常见的全称量词还有：“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。

通常，将含有变量x 的语句用()p x 、()q x 、()r x 表示，变量x 的取值范围用M 表示。

全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”。

简记为：x M ∀∈，()p x 读作：任意x 属于M ，有()p x 成立。

1．判定全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；（2） x ∈R, x2+1≥1；【解析】（1）2是素数，但不是奇数（假命题）（2）因为 x2≥0 （真命题）2．已知a 、b 为实数，若x 2+a x+b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0。

用全称量词和存在量词符号“∀”、“∃”写出该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假。

【解析】原命题：∀a 、b ∈R ，若x 2+a x+b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0（真）；逆命题：∃ a 、b ∈R ，若a 2－ 4b ≥0，则x 2+a x+b ≤0有非空解集；（真）否命题：∀ a 、b ∈R ，若x 2+a x+b ≤0没有非空解集，则a 2－ 4b<0；（真）逆否命题：∃ a 、b ∈R ，若a 2－ 4b<0则x 2+a x+b ≤0没有非空解集；（真） .02______)2(;032______)1(322=+>+-x x x x ，，使它们成为真命题：选择合适的量词填空，、【解析】（1）（2）R x∈∀R x∈∃。

高考数学基础知识专题提升训练29---全称量词与存在量词全称量词命题和存在量词命题的否定

高考数学基础知识专题提升训练全称量词命题和存在量词命题的否定课程标准学科素养1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.通过对全称量词与存在量词的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养[对应学生用书P15]知识点1 全称量词和全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．(2)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x).[微体验]1．思考辨析(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )(3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是全称量词命题．( )答案(1)√(2)√(3)×2．下列命题中，不是全称量词命题的是( )A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数D[A，B，C都是全称命题，D是特称命题．]知识点2 存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x).[微体验]1．思考辨析(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )(3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．( )答案(1)×(2)√(3)√2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个C[“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．]知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定(1)全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”．通常，用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”．(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“∃x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”．(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．[微体验]1．思考辨析(1)命题¬p的否定是p.( )(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．( )(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )答案(1)√(2)√(3)√2．若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题¬p为( )A．∃x＞0，x2－3x＋2≤0B．∃x≤0，x2－3x＋2≤0C．∀x＞0，x2－3x＋2≤0D．∀x≤0，x2－3x＋2≤0C[命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x＞0，x2－3x＋2≤0.]3．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么¬p是__________．解析命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x＞2，x3－8≤0.答案∃x＞2，x3－8≤0][对应学生用书P6探究一全称量词命题和存在量词命题的判定(1)下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3(2)下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解(1)C[观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词．命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180° ”，故有两个全称命题．](2)C[因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D 均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．][方法总结]判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[跟踪训练1] 用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解．解(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．探究二全称量词命题和存在量词命题的真假判断(多选题)下面的命题中正确的是( )A．∀x∈R，x2＋2＞0 B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3＜1 D．∃x∈Q，x2＝3AC[对A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．对B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．对C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3＜1成立．所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．对D，由于使x2＝3成立的数只有±3，±3都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．][方法总结]全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．[跟踪训练2] 判断下列命题的真假．(1)∀x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；(3)∃x∈R，x2－x＋1＝0；(4)∀x∈R，|x＋1|＞0.解(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,3×5＋1＝16，它们均为偶数，∴该命题是真命题．(2)∵方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，∴方程有两个不相等的实根．∴该命题是真命题．(3)∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3＜0，∴x2－x＋1＝0无实数解．∴该命题是假命题．(4)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴该命题是假命题．探究三全称量词命题和存在量词命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x ，y ∈Z ，都有2x ＋y ≠3”．∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，∴原命题为真，命题的否定为假命题．[方法总结]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．[跟踪训练3] 判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)对任意的x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数．解(1)当x ＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数．[对应学生用书P]41．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称量词命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．含有一个量词的命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)；¬p：∃x ∈M，¬p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题．存在量词命题p：∃x∈M，p(x)；¬p：∀x ∈M，¬p(x)．课时作业(七) 全称量词与存在量词[见课时作业(七)P]1421．下列命题中是存在量词命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．] 2．下列语句是存在量词命题的是( )A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n，使n能被11整除C．x＞7D．∀x∈M，p(x)成立B[B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．]4．设x∈A，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( ) A．¬p：∃x∈A,2x∈BB．¬p：∃x∉A,2x∈BC．¬p：∃x∈A,2x∉BD．¬p：∀x∉A,2x∉BC[p是一个全称量词命题，故¬p为“∃x∈A,2x∉B”．]5．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．解析将文字语言用符号语言表示为∀x∈R，x2＋2x＋1≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋1≥06．(多空题)下列命题中的全称量词命题是________；存在量词命题的是________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案①③②④7．(多空题)全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是__________，这是_____命题(填“真”或“假”)．解析全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是存在量词命题“存在一个素数不是奇数”，这是真命题．答案存在一个素数不是奇数真8．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(2)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(3)正数的绝对值是它本身．解(1)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(2)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(3)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．9．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r ：有些素数是奇数；(3)s ：∃x ∈R ，|x |＞0.解(1)“¬q ”：∃x ∈R ，x 是5x －12＝0的根．它是真命题．(2)“¬r ”：每一个素数都不是奇数．它是假命题．(3)“¬s ”：∀x ∈R ，|x |≤0.它是假命题．1．有下列四个命题，其中真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2＜nD ．∀n ∈R ，n 2＜nB [对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1，加以验证，均不正确．]2．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x ＞a ”是真命题，则a 的取值范围是________．解析由题意知当x ＞3，有x ＞a 恒成立，故a ≤3.答案(－∞，3]3．命题p 是“对某些实数x ，有x －a ＞0或x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．命题p 的否定是_________________________________．解析命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞0.答案对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞04．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x∈R,4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为______．解析x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．答案05．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．解(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．(2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．6．(拓广探索)已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3＞0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3＞0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知该命题的否定是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a＜0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0；综上知，实数a的取值范围是[－3,0]．。

全称量词和全称命题-高中数学知识点讲解(含答案)

全称量词和全称命题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ⊆，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ⊆，B U ⊆，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A UC A f x f x +=；②对x U ∀∈，若A B ⊆，则()()A B f x f x ； ③对，有()()()A B ABf x f x f x =；④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是( ) A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．①②③2．（2010•通州区一模）若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是( ) A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数 B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数3．（2008秋•怀柔区期末）将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是( ) A ．0a ∀>，0b >，2222()a b ab a b ++=+ B ．a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+C ．0a ∃<，0b >，2222()a b ab a b ++=+D ．a ∃，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+4．（2016秋•丰台区期末）已知函数()()sin f x ln x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0,)x e ∀∈，都有()0f x <； ②当a e 时，(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2,)x ∃∈+∞，使得0()0f x =．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共8小题）5．（2019•西城区校级模拟）写出一个满足“(0,)x ∀∈+∞，(1)()f x f x +>均成立，()f x 在(0,)+∞上不是增函数”的具体函数．6．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，21m x -+”是真命题，则实数m 的最小值为． 7．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为． 8．（2012秋•海淀区期末）命题:p a ∀，b R ∈，222a b ab +，则命题p ⌝是．9．（2013春•西城区期末）设函数()1n n f x x x =+-，其中*n N ∈，且2n ，给出下列三个结论： ①函数2()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③*n N ∀∈，且4n ，函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．其中所有正确结论的序号为．10．（2012•北京）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是．11．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ，BU ，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A CU A f x f x +=； ②对x U ∀∈，若A B ，则()()A B f x f x ；③对x U ∀∈，有()()()A B A Bf x f x f x =； ④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是．12．（2009秋•昌平区校级月考）写出命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定形式：，又如果x R ∀∈，2410ax ax ++>，实数a 的取值范围是：．全称量词和全称命题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ⊆，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ⊆，B U ⊆，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A UC A f x f x +=；②对x U ∀∈，若A B ⊆，则()()A B f x f x ； ③对，有()()()A B ABf x f x f x =；④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是( ) A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．①②③【分析】利用特殊值法解决．先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．【解答】解：利用特殊值法进行求解．设{1U =，2，3}，{1}A =，{1B =，2}．那么：对于①有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，f U C A（1）0=，fU C A（2）1=，fU C A（3）1=．可知①正确；对于②有A f （1）1B f ==（1），A f （2）0B f =<（2）1=，A f （3）B f =（3）0=可知②正确；对于③有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，ABf （1）1=，ABf （2）0=，ABf （3）0=．可知③正确；对于④有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，AB f （1）1=，ABf （2）1=，ABf （3）0=可知．④不正确；其中，正确结论的序号是：①、②、③．故选：D ．【点评】本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键． 2．（2010•通州区一模）若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是( ) A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数【分析】当0a =时，()f x 是偶函数；有2x 的存在，()f x 不会是奇函数；在(0,)∝上，只有当0a >时，()x 在(0,)+∞上是增函数；2()g x x =在(0,)+∞上是增函数，不存在a R ∈，有()f x 在(0,)+∞上是减函数．【解答】解：当0a =时，()f x 是偶函数故选：A ．【点评】本题通过逻辑用语来考查函数的单调性和奇偶性．3．（2008秋•怀柔区期末）将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是( ) A ．0a ∀>，0b >，2222()a b ab a b ++=+B ．a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+C ．0a ∃<，0b >，2222()a b ab a b ++=+D ．a ∃，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+【分析】根据全称命题的定义，全称命题要包含全称量词，我们利用全称量词易得到答案．【解答】解：利用全称命题来改写．将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是： a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+故选：B ．【点评】本题考查的知识点是全称命题的定义，属于基础题．4．（2016秋•丰台区期末）已知函数()()sin f x ln x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0,)x e ∀∈，都有()0f x <； ②当a e 时，(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2,)x ∃∈+∞，使得0()0f x =．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据函数值得特点，逐一判断即可．【解答】解：对于①当0a =时，()sin f x lnx x =-，当56x π=时，5551()sin 06662f ln πππ=->=，故不正确，对于②a e 时，(0,)x ∀∈+∞，()1ln x a lne +>=，1sin 1x -，则()0f x >恒成立，故正确，对于③当1a =时，()(1)sin f x ln x x =+-，当2x >时，13x +>，故(1)1ln x +>，故()0f x >恒成立，故不正确，故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性和命题的真假，属于基础题．二．填空题（共8小题）5．（2019•西城区校级模拟）写出一个满足“(0,)x ∀∈+∞，(1)()f x f x +>均成立，()f x 在(0,)+∞上不是增函数”的具体函数 21()()2f x x =-（答案不唯一）．【分析】根据条件写出一个函数只需要其满足条件即可，答案不唯一．【解答】解：根据条件可写函数21()()2f x x =-，由()f x 有，2211(1)()()()2022f x f x x x x +-=+--=>，对“(0,)x ∀∈+∞成立，并且()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．故答案为：21()()2f x x =-．【点评】本题考查了根据条件写函数解析式，属基础题．6．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，21m x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【分析】由题意可知21m x -+ x R ∈恒成立，不等式恒成立问题通常用最值法，求出21x -+的最大值，则m 的范围得解【解答】解：由已知有：“x R ∀∈，21m x -+，即21m x -+ x R ∈恒成立，即2(1)max m x -+ x R ∈，又当0x =时21x -+取最大值1，即1m ，即m 的最小值为1，故答案为：1【点评】本题考查了全称命题和全称量词，并着重考查了不等式恒成立问题，通常用最值法解决． 7．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【分析】要使不等式恒成立，只需m 大于右边式子的最大值即可，则问题转化为求右边函数的最大值问题．【解答】解：222(1)1x x x -+=--+，22x x ∴-+最大值为1， x R ∀∈，22m x x -+，1m ∴，∴实数m 的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，二次函数的最值问题的求法，属于基础题，要注意总结方法，体会解题思想．8．（2012秋•海淀区期末）命题:p a ∀，b R ∈，222a b ab +，则命题p ⌝是 a ∃，b R ∈，222a b ab +< ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，P ∴⌝是：ab R ∃∈，222a b ab +<．故答案是ab R ∃∈，222a b ab +<【点评】本题考查命题的否定及全称命题与特称命题．全称命题与特称命题是互为否定命题． 9．（2013春•西城区期末）设函数()1n n f x x x =+-，其中*n N ∈，且2n ，给出下列三个结论： ①函数2()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③*n N ∀∈，且4n ，函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．其中所有正确结论的序号为 ②③ ．【分析】①判断函数22()1f x x x =+-在区间1(,1)2上取值情况．②利用33()1f x x x =+-的单调性判断．③利用根的存在定理判断．【解答】解：①因为22()1f x x x =+-，所以221111(1)10,()102424f f =>=+-=-<，所以2()f x 在区间1(,1)2上存在零点，所以①错误．②由题意知33()1f x x x =+-．因为331113(1)10,()102828f f =>=+-=-<，所以3()f x 在区间1(,1)2上存在零点，又因为33()1f x x x =+-为单调递增函数，所以函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点，所以②正确．③*n N ∀∈，且4n ，11111(1)10,()()1()022222n n n n f f =>=+-=-<，所以函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点，所以③正确．故答案为：②③．【点评】本题考查了函数零点的判断，判断函数零点问题主要是利用根的存在定理，判断区间短点处的函数值符合相反即可．10．（2012•北京）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是(4,2)-- ．【分析】①由于()220x g x =-时，1x ，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求②由于(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <，而()220x g x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可， ()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-．故答案为：(4,2)--．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键． 11．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ，BU ，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A CU A f x f x +=； ②对x U ∀∈，若A B ，则()()A B f x f x ；③对x U ∀∈，有()()()A B A Bf x f x f x =； ④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是 ①、②、③ ．【分析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．【解答】解：利用特殊值法进行求解．设{1U =，2，3}，{1}A =，{1B =，2}．那么：对于①有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，U C A f （1）0=，U C A f （2）1=，U C A f （3）1=．可知①正确；对于②有A f （1）1B f ==（1），A f （2）0B f =<（2）1=，A f （3）B f =（3）0=可知②正确；对于③有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，ABf （1）1=，ABf （2）0=，ABf （3）0=．可知③正确；对于④有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，AB f （1）1=，ABf （2）1=，ABf （3）0=可知．④不正确；故答案为：①、②、③．【点评】本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键． 12．（2009秋•昌平区校级月考）写出命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定形式： x R ∃∈，2410ax ax ++ ，又如果x R ∀∈，2410ax ax ++>，实数a 的取值范围是：．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可．利用恒成立的条件求实数a 的取值范围．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定是：x R ∃∈，2410ax ax ++．当0a =时，不等式2410ax ax ++>等价为10>，满足条件．当0a ≠时，要使2410ax ax ++>恒成立，则△21640a a =-<，即2104a a -<，解得104a <<．综上104a <．故答案为：x R ∃∈，2410ax ax ++；104a <．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，以及命题恒成立问题，比较基础．。

2020年新高考数学复习全称命题与特称命题专题解析

2020年新高考数学复习全称命题与特称命题专题解析考纲要求:1、考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容；2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定，并判断真假.基础知识回顾:1、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表（用于判定复合命题的真假）：【注】口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真2、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3、全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4、命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；（2）特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：⌝p且⌝q；p且q的否定为：⌝p或⌝q.全称命题p ：,()x M p x ∀∈全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝ 【注】命题p 的否定，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定；命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定. 应用举例:类型一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题: R ，使得是幂函数，且在上单调递增．命题：“ R ，”的否定是“R ，”，则下列命题为真命题的是A ．B ．C ．D ．【答案】C【例2】已知命题： “”，命题：“”，则下列为真命题的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析:先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假.详解：对于命题p,当a=0,b=-1时，0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命题p 是假命题. 对于命题q,,如所以命题q 是真命题.所以为真命题.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.(2) 复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 类型二、全(特)称命题的真假判断【例3】命题，命题，真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【例4】不等式组的解集记为.有下面四个命题：，，，，.A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出其相应的可行域，之后由于四个命题都是针对的取值情况，所以令作为目标函数来研究，求得其范围，对应各个命题，得到结果.详解：首先作出不等式组所表示的平面区域，为直线的左下方和直线的右上方的公共部分，可以求得目标函数的值域为，与各命题的内容作比较，从而得出是正确的，故选D.点睛：该题考查的知识点表面上是有关命题的真假问题，实际上是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要先将约束条件对应的可行域画出来，之后去设定一个目标函数，最后求得结果即可.类型三、全(特)称命题的否定【例5】命题的否定为（）A．B．C．D．【答案】C【例6】设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果.详解：因为为：，故选C.点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.类型四、根据命题的真假求解参数的取值范围【例7】设p ： 51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()()2lg 44f x a x x =+-有意义.若p ⌝为假命题，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】()1,-+∞【解析】根据题意，由p ⌝为假命题，则p 为真命题，即51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使2440ax x +->成立，若0a >，则()41{ 210af -≤>或4522{ 502a f -≥⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得0a >；若0a =，则当51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有440x ->成立；若0a <，则24160{ 12512a a a ∆=+>⇒>-<-<，即10a -<<.综上得，所求实数a 的取值范围为()1,-+∞.【例8】已知命题:P x R ∀∈， ()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．【答案】5,24⎛⎤⎥⎝⎦方法、规律归纳:1、一个关系：逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2、两类否定含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．复合命题的否定：(1)⌝(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)⌝(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．3、三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假则假；(2)对“p∨q”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．4、全称命题与特称命题真假的判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真5(1)先判断简单命题p，q的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．6、根据命题真假求参数的3步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．实战演练:1．若命题，则（）A．B．C．D．【答案】B2．【河南省南阳市第一中学2018届高三第十二次考试】设有下面四个命题：①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题②若,则③“”是“或”的充分不必要条件④命题“中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B3．已知命题，，则（）A ． ,B ．,C ．,D ．,【答案】B【解析】分析：根据含有一个量词的否定，即可得到命题的否性形式．详解：根据含有一个量词的否定，可知命题“”的否定是“”，故选B ．点睛：本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记含有一个量词的否定形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4．己知命题p : “关于x 的方程240x x a -+=有实根”,若非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+,则实数m 的取值范围是( ）A ． ()1,+∞B ． [)1,+∞C ． (),1-∞D ． (],1-∞ 【答案】A【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定4a ≤，然后确定非p 条件下4a >；根据充分不必要条件确定314m +>，进而求出m 的取值范围。

高考数学复习点拨：全称量词与存在量词知识点击

全称量词与存在量词知识点击一．知识点点击1.全称量词（∀）：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给．存在量词（∃）：存在一个、至少有一个、有些、对某个、有的、有些．2．全称命题：含有全称量词的命题。

特称命题：含有存在量词的命题如果用p(x)、q(x)、r(x)…表示含有变量x 的语句，变量x 的取值范围用M 表示．那么全称命题：“对∀x ∈M,有p(r)成立”（简记成∀x ∈M, p （x ））特称命题：“∃x ∈M ，使P(x)成立”（简记成：∃x ∈M, p(x))3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，在应用中灵活选择．4.对于特称命题和全称命题进行否定时要仔细推敲，认真对待．如：命题“有些三角形是直角三角形，即：∃三角形x ，x 是直角三角形，其否定为：∀三角形x, x 都不是直角三角形，即：没有一个三角形是直角三角形．又如命题：所有的质数都是奇数．即：∀质数x,x 是奇数．它的否定只要举出一个反例x=2.因此，其否定为：∃质数x, x 不是奇数．也就是说：确实有不是奇数的质数．从命题的形式上看，全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．二．典例剖析例1.判定下列命题的真假：（1) ∃x ∈Q ，使x 2=2；(2）∃x ∈R ，使x 2<1;（3）∀x ∈N ，有x 3＞x 2；(4) ∀x ∈R,有x 2+1 >0. 分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合中至少找到一个x=x 0值，使p (x 0)成立，否则，这一命题则假．要判定一个全称命题真，必须对限定集合M 中的每一个x 验证p (x)成立；但要判定全称命题假，只要能举出M 中一个x=x 0，使p(x 0）为假．解：（1）∵使x 2=2成立的实数只有2±，而2±∉Q ，∴没有一个有理数x ，使x 2=2.可见命题“∃x ∈Q ，使x 2=2”是假命题．(2）由于x ∈R ，取x=-1，满足x 3＜1.因此命题“∃x ∈R ，使x 2<1”是真命题．(3）∵x=1时，x 3＞x 2不成立．∴命题“∀x ∈N ，有x 3＞x 2”是假命题．(4)由于对∀x∈R ，都有x2≥0⇒x2+1≥1>0．因此命题“∀x∈R,有x2+1 >0”是真命题．例2．试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)命题P：所有的菱形都是正方形．(2)命题q：对任何实数x，总有x2一2x+ 1≥0成立．(3)命题r：至少有一个实数x，使x2-2=0成立．（4）命题s：∃x∈R，使x2＋2x＋2≤0成立．分析：(1)、(2)是全称命题，其否定应为特称命题．(3）、（4)是特称命题，其否定应为全称命题．解：（l）¬P：∃一个菱形，它不是正方形．∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形，∴¬p是真命题．（2）q：∃x∈R．、x2-2x+1＜0．∵x2-2x+1=（x-1）2≥0对∀x∈R 都成立．∴¬q是假命题．（3）¬r：∀x∈R，x2-2≠0．±，使x2-2=0，∴¬r是假命题．∵存在x=2（4)¬S：∀x∈R，x2＋2 x＋2＞0．∵x2＋2 x＋2=（x＋1)2＋1，(x+1)2≥0，∴对∀x∈R，都有x2＋2 x＋2=≥1＞0.可见¬S是真命题．。

2021年高中数学一轮复习·集合与简易逻辑：第8节全称命题与特称命题

第8节全称命题与特称命题【基础知识】1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．4．“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定【规律技巧】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.4.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法一判断方法二真所有对象使命题真否定为假全称命题假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假特称命题假所有对象使命题假否定为真5．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．6．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．7．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．8．要判断“p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与p的真假相反．9．常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假【典例讲解】一、全称(存在性)命题及真假判断例1、判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，x2－x＋1>12；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，x－y∈N；(4)∃x0，y0∈Z，2x0＋y0＝3.【规律小结】(1)要判断全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举一反例即可．(2)要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个元素使得命题成立即可．【变式探究】写出下列命题的否定形式，并判断其真假．≥0；(1)p：∀x∈R，x2－x＋14(2)s：至少存在一个实数x，使x3＋1＝0.【针对训练】【2015高考新课标1，理3】设命题：，则为()（A）（B）（C）（D）【2015高考浙江，理4】命题“且的否定形式是（）A.且B.或C.且D.或【练习巩固】1．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lg x0＝0B．∃x0∈R，tan x0＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞02.已知命题p：函数f(x)－log1x q：存在负数x使得.给出下列3四个命题：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．43．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是()．A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞04．已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若非p是非q的充分不必要条件，则a的取值范围为()．A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1＜a＜65．若函数f(x)＝－x e x，则下列命题正确的是()A．∀a∞∃x∈R，f(x)>aB．∀a∃x∈R，f(x)>aC．∀x∈R，∃a∞f(x)>aD．∀x∈R，∃a f(x)>a(a∈R)，则下列结论正确的是()．6．若函数f(x)＝x2＋axA．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数7．已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]8．若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．9．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若非q且p为真，则x的取值范围是________．10．已知命题p：f(x)＝1－2m2>m的解集为R.若命题“p∨q”x在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式(x－1)为真，命题“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．。

高三数学一轮复习知识点讲解1-2全称量词与存在量词、充要条件

高三数学一轮复习知识点讲解专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件【考纲解读与核心素养】1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1. 充分条件与必要条件（1）若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件；（3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”．（3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【典例剖析】高频考点一充要条件的判定例1.（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.例2.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m 平行于平面内任一直线，即必要性不成立．例3．（2019·北京高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件, 故选C. 【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件；若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件【变式探究】1.（2019年高考天津理）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.2.（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.3．（2017·浙江省高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．高频考点二：充分条件与必要条件的应用例4.（江西省新八校2019届高三第二次联考）若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．【答案】3m >因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为3m >. 【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．【变式探究】（安徽省江南片2019届高三开学联考）设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足302x x +>+．（Ⅰ）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()(),32,-∞--+∞；（2）()2,1--．【解析】（Ⅰ）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-. 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题. 所以13x <<或3x <-或2x >-，所以3x <-或2x >-，所以实数x 的取值范围是()(),32,-∞-⋃-+∞. （Ⅱ）当0a <时，p ：3a x a <<，由302x x +>+得：q ：3x <-或2x >-，所以q ⌝：32x -≤≤-，因为p 是q ⌝的必要条件，所以{|32}{|3}x x x a x a -≤≤-⊆<<，所以332a a <-⎧⎨>-⎩，解得21a -<<-，所以实数a 的取值范围是()2,1--. 【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．高频考点三：全称量词与存在量词例5.（2018贵州凯里一中模拟）命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（） A ． x R ∀∈， ()2f x < B ． x R ∀∈， ()2f x ≥ C ． 0x R ∃∈， ()2f x ≤ D ． 0x R ∃∈， ()2f x < 【答案】A【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： (),2x R f x ∀∈<，故选A ．例6．（2013·重庆高考真题（文））命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0．故选D ．例7. 有下列四个命题，其中真命题是（）． A.n ∀∈R ，2n n ≥B.n ∃∈R ，m ∀∈R ，m n m ⋅=C.n ∀∈R ，m ∃∈R ，2m n <D.n ∀∈R ，2n n <【答案】B 【解析】对于选项A ，令12n =，则2111242⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故A 错；对于选项B ，令1n =，则m ∀∈R ，1⋅=m m 显然成立，故B 正确；对于选项C ，令1n =-，则21<-m 显然无解，故C 错；对于选项D ，令1n =-，则2(1)1-<-显然不成立，故D 错. 故选：B 【规律方法】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4．常见词语的否定形式有：原语句是都是 > 至少有一个至多有一个对任意x ∈A 使p (x )真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假【变式探究】1．（2015·全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P 的否定为（）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.（2019·江苏省如东高级中学高三月考）命题“20,0x x ∀><都有”的否定是________.【答案】20,0x x ∃<≤有【解析】全称量词改存在，再否定结论，即“20,0x x ∀><都有”的否定是：20,0x x ∃<≤有故答案为：20,0x x ∃<≤有 3．给出下列命题：（1）x ∀∈R ，20x >；（2）x ∃∈R ，210x x ++≤；（3）a ∃∈RQ ，Rb ∈Q ，使得a b +∈Q ．其中真命题的个数为______．【答案】1 【解析】对于（1），当0x =时，20x =，所以（1）是假命题；对于（2），2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，所以（2）是假命题；对于（3），当22a =，32b =+时，5a b +=，所以（3）是真命题．所以共有1个真命题，故填：1. 【易错提醒】1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．。

全称量词和全称命题

全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）
表述方法
①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
第1页共1页。

高一全称量词和存在量词知识点

高一全称量词和存在量词知识点一、全称量词与全称命题。

1. 全称量词。

- 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。

- 例如：“所有的正方形都是矩形”，这里“所有的”就是全称量词。

2. 全称命题。

- 定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题。

- 一般形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可记为∀x∈M，p(x)。

- 例如：∀x∈R，x²≥0。

这个命题表示对于实数集R中的任意一个数x，x的平方都大于等于0。

3. 判断全称命题的真假。

- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。

- 例如：判断命题“∀x∈Z，x²≥0”的真假。

因为整数集中的任何一个整数的平方都大于等于0，所以这个全称命题是真命题。

- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是假命题，只需在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)不成立即可。

- 例如：命题“∀x∈R，x > 0”是假命题，因为当x = 0时，0不大于0，即在实数集中找到了一个反例。

二、存在量词与特称命题。

1. 存在量词。

- 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。

- 例如：“存在一个实数x，使得x²=2”，这里“存在一个”就是存在量词。

2. 特称命题。

- 定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题。

- 一般形式：存在M中的元素x₀，使p(x₀)成立，可记为∃x₀∈M，p(x₀)。

- 例如：∃x₀∈R，使得x₀²+1 = 0。

（这个命题实际上是假命题，但它是一个特称命题的形式）3. 判断特称命题的真假。

- 要判断特称命题∃x₀∈M，p(x₀)是真命题，只需在集合M中找到一个元素x ₀，使得p(x₀)成立即可。

- 例如：判断命题“∃x₀∈R，x₀² = 4”的真假。

当x₀ = 2或x₀=- 2时，x₀² = 4，所以在实数集中找到了满足条件的元素，这个特称命题是真命题。