【全国市级联考word】天津市红桥区2018届高三一模文科数学试卷试卷

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天津市2018届高三毕业班联考数学(文)试题(一)含答案

______.
三 . 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， B ABC 的面积为 6 ．
，c 3 2， 4
（Ⅰ）求 a 及 sin A 的值；（Ⅱ）求 sin( 2 A ) 的值． 6
A． { 0,2,4} B ． {3}
C ． { 0,1,2,3} D ． {1,2,3}
x 2y 2 0 2. 设实数 x, y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z x y 的最小值是 ( ) 开始
8
A．
5
2x y 2 0
B
．1
C
．2
D
．7
k 0,s 1
3. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 ( )
10. 设函数 y x3 2x 1的图象在点 P(1,4) 处的切线为_____. 11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
________.
12. 已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点 M (0,2 2 ) 在圆 C 上，且圆心
3
A．
2
5
B．
3
8
C．
5
13
D．
8
4．设 x R ，则“ 1 1”是“ ( 1) x 1”的 ( )
x
2
A．充分而不必要条件
B
．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
k4 否
输出 s
结束
s s1 s
k k1 是
x2 5. 已知双曲线 a2
y2 b2

天津红桥区高三第一次模拟考试数学(文)试题(扫描)

高三数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两都幼共1帥分.考试用时no 分钟，第［卷I 至2孤第ij 卷3至6页.答卷前.考生务必将自己的蛭名.准考号填写在答題卡上.井在规定位■粘贴考试用条晤码.答iffi 时.务必将菩案涂写在答JB 卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卡一并交回.祝各竝韦生考试颇利！參考公式『•如果事件X. R 互斥.那么 •公式・"7*茸中$衰乘柱体底面积.占衰示柱体的高.+• «***^式『・耳中需袁示柱体雇術枳，方衰示注体的髙. •球休表血积公式・S = 4nR\其中R 表示球体的丰径-*4•球体体积公式，V^-nR\梵申R 莪示球体的半左.3 *注童事项」r 每小JH 选出答案后.用钮笔把答趣責上对应题目的答褰标号涂JUL 如需改动.用 It皮擦干净后・再选獄其他答案标号.2・本卷共8 Bi 共㈱分.J 、在毎小艇给出的四个选项中.只有一项是符合HSK5R 的.（»> i 是虚敷单fib R«^=1 ~2ix^2y^2,（2）设变量工j 潤足酌東罢件V" F 鼻$则目标函9Hz = -x-y 的量大值为 '|/事"2,（3）已知命题p ： Sx€ R t x 2+2dur + a + 2^0.若命题卩是假命题•则实数。

的取值范国是(A) (-2J) (B) [-1,2] (C) (-1,2} (D) (0, 2]高三敷学（文科〉第1页（共®頁）(A)(A) 0(B) V CC)"(4)已to a = iog OT 0^ * = 2M t C = log 20.9，t 则（S 》执行如图的程序框图.输入x=-2.那么输出的各个数的和等于(A) 0CB) 1 (0 2<D> 3(6)以抛物线y 2= 20x 的焦点为圆心.且与双曲线= i 的渐近线相切的圆的方程为 9 16+/ *16(B) (x + 5):+/=4 (C) (x-10)'+/ =64 (D) (x-5)!+r = 4(?)若»«t y = 5in(2x + ^) + ^cos(2^ + 为奇确数.且在［0芒］上是减函数，则卩的一个 4值是 (A)壬(B) —(C) —(D)—3333<8)吕知/⑴是定文在［-“］上的奇函数*满足r ⑴… 且当/底卜1,小 *界o,'-*•■ . 1 >有V若/V) W m :-2^1+1 (M 0),对所有的"［-1J ］ t a€ ［-IJ ］恒成立*4j + n实数册的取值范围是.：(A) (-2,2)(B) (-2,0)ME (0,2)(C) (Y .-2］或(D) (-2,-1)或(匕2)高三敷学（文科）<.m2页（共玉S ）--■<H1tt■ I(A) a<6<c(B) a<c<b<C) c<6<a(D) c<a<bJJ B第II卷注意事项r用黑色靂水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上*» * » ■二*填空本大題共B个小题，毎小甄5分，共加分*■沙)某班同学利用国庆节进行社会实践.对［25,55］岁的人群1»机抽取獰人班行了一决生活习tfIJft否符合低碳观念的调査「若生活习惯符合低碳观念的称为理低碳族匕若则称为*•非低碳娱3褂到如下藐计浪，但由于不小心表中字母衰示的部分失.現知遭檢M査的人申低碳集占65%.则40岁及其以上人群中.低碳族占该部分人数的频率为请将弄余再在苓亀卓上.分组|组内人数频率低碳族的人数第一组[25,30)2001 0.2no '第二组[30.35)30003196第三组[3530)110a100第四组[40,45)2507 b~ c ~ _第五组[45.50)X30I第六组{50,55)y J24(10)若西数/(x)-/；丈〔则不等式Ax) > -2的解集为it出沁崔菱亦x - 2x - x 1(11 > 已知/二{l,2,3}B = (r €/?” 一朋+ ! = 0卫€ 川}・则AC\B - B时口的值是(12)如图所禾，圆。

天津市红桥区高三第一次模拟考试（数学文）

天津市红桥区高三第一次模拟考试（数学文）（天津一模）本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+球的表面积公式：24S R π=：球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径。

锥体体积公式：13V sh =；柱体体积公式：V sh =，其中s 是底面积,h 是几何体的高。

第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|33,},{|1},M x x x Z N x x M N =-<<∈=<=则 A ．{|31}x x -<< B ．{|02}x x << C ．{3,2,1,0,1}--- D ．{2,1,0}--2．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π=-的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度3．过抛物线24(0)y x p =>的焦点作直线交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，若122x x +=，则||PQ 等于A ．4B ．5C ．6D ．84．若平面向量(1,2)a =-与b 的夹角是180°，且||35b =，则b 的坐标为 A ．(3,6)- B ．(6,3)- C ．(6,3)- D ．(3,6)-5．如果不等式2()0(,)f x ax x c a c R =-->∈的解集为{|21}x x -<<，那么函数()y f x =-的大致图象是6．设m 、r 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确．．．的是 A ．,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则 B ．//,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则 C ．,////,m n m n αβαβ⊥⊥且则 D ．,//,//m n m nαβαβ⊥⊥且则7．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何题的表面积是 A ．5π B ．6π C ．7π D ．8π8．阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 A ．48 B ．56 C ．60 D ．629．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m <10．函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，且x R ∈，当[0,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，则[4,2]x ∈--时，()f x 的最小值为 A ．19- B ．13- C ．1- D ．19第Ⅱ卷非选择题（共100分）注意事项：1．答第Ⅱ卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。

2018年普通高等学校招生统一考试文科数学真题及参考答案(天津卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷、）数学试卷（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． ·棱柱体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱底面面积，h 表示棱柱高． ·棱锥体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥高．一．选择题：在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求．（1）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()AB C =（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,0,1}-（D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+最大值为（A ）6（B ）19（C ）21 （D ）45（3）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示程序框图，运行相应程序，若输入N 值为20，则输出T 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 大小关系为（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >>（D ）c a b >>（6）将函数sin(2)5y x π=+图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应函数（A ）在区间[,]44ππ-上单调递增（B ）在区间[,0]4π-上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ上单调递减（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线同一条渐近线距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= （8）在如图平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 值为（A ）15- （B ）9- （C ）6-（D ）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市第一中学2018届高三摸底测试数学(文)试题Word版含答案

第Ⅰ卷（本卷共 10 道题，每题 4 分，共 40 分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设 i 为虚数单位，则 5 i等于（） 1 iA ． 2 3iB ． 2 3iC ． 2 3iD ． 2 3i2．分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片，从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A． B． C ． D ．3．阅读右面的程序框图，则输出的 S （）A. 14B.20C.30D.554．设 a l og 3 ， b l og 2 3 ， c l og 3 2 ，则（）A ． a b cB ． a c bC ． b a cD ． b c a5．已知集合 Mx l og 2 x 1 ， Nx x2x 0，则“ a M ”是“ a N ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平行四边形 ABCD 中， AB a =（）， AD b ， AN 3NC ， M 为 BC 的中点，则A ． 1 a 1bB ． 1 a 1bC ． a 1bD ． 3 a 3b4 4 2 2 2 4 41 1 1 1 0,2 B ． 2 , C ． 0, 3D ． 0, 2A ．向右平移 6个单位B ．向左平移6个单位C ．向右平移 4个单位D ．向左平移3个单位8．已知点在直线上运动，则的最小值为（）A． B． C ． D．9．已知定义域为 R的函数满足：，且对任意总有，则不等式的解集为（）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）110．若函数 f x 满足 f x 1f x 1 ，当 x 0,1 时， f x x ，若在区间 1,1 上，g xA ． f x m x m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（）第Ⅱ卷（本卷共 10 道题，共 80 分）二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2018届天津市红桥区高三上学期期中检测文科数学试题及答案精品

天津市红桥区2018~2018学年度第一学期高三期中检测数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}12456A=,,,,，{}135B =,,，则集合AB =（A ）{}1,3,5 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4,6 （D ）{}1,2,3,4,5.6（2）i 是虚数单位，复数2i i+=（A ）123i -+ （B ）123i + （C ）125i + （D ）125i -+（3）命题“对2,350x x ∀∈-+R ≤”的否定是（A ）2000,350xx x ∃∈-+R ≤ （B ）2000,350xx x ∃∈-+>R（C ）2,350x x x ∀∈-+R ≤（D ）2000,350xx x ∀∈-+>R（4）某程序框图如右图所示，则输出的结果S 等于（A ）26 （B ）57 （C ）60 （D ）61（5）设0.30.33log 2,log 2,2,a b c ===则这三个数的大小关系是（）（A ）b c a >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >>（6）已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =（A ）8 （B ）2 （C ）2- （D ）8-（7）函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（A ）4x π=- （B ）2x π=- （C ）8x π=第（3）题（D ）4x π=（8）如图，在三角形ABC 中，已知2AB =，3AC =，BAC θ∠=，点D 为BC 的三等分点．则AD BC ⋅的取值范围为（A ）1113,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（B ） 17,33⎛⎫⎪⎝⎭（C ）555,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（D ）57,33⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。

2018年高三一模数学试卷及答案(文科)

2018年高三数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（）A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（） A ．116 B ．18 C ．1516 D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．122π+ B ．12π+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1CD =，且223AB CD -=AB 和CD 的夹角为（） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(0A ，.若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（）A ．43 B 23D 8.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．2211636x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()x e f x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.sin 47sin17cos30cos17-的值等于．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.1214.57416.1 三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-. 由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++，即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n n n b a n ===，得11111n n b b n n +=-+，于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++. 18.（1）证明：连接EB .∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==， ∴BD =BC =.∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥. 又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =，∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =. 证明如下：∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AB =，∴//AB DC ，∴12AO AB OC DC ==. 又∵12AG GE =，∴AO AGOC GE=，∴//OG CE .又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ，又∵OBOG O =，且OB ，OG ⊂平面OBG ，∴平面//OBG 平面EFC.19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为32y x m =-+. 设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a mx m a b -+=+，∴()221222344m a b x a b +=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a mx m a b +=+，∴()2222223494m a b x a b +=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a b m a b m a ba b++--=-++，∴2234a b =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()xxxg x af x e axe e =+=+，∴()()'1xg x ax a e =++.①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增；若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增；当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由题可知，原命题等价于方程2xxe x =+在[],1x m m ∈+上有解，由于0x e >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--，因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e -=-<，()2120r e -=>，所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个，且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内，所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=；sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设),sin P θθ，则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此点P 到直线l23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

2018年天津市红桥区高考数学一模试卷

2018年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．3．底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A． +2 B． +C．πD．π+24．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．x2=15．已知p：|x﹣1|＜2，q：f（x）=的最小值为2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a ）成立，则λ的取值范围是（）A ．（0，2]B ．[0，2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，2）7．在△ABC 中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且=3，则的值是（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣ 8．已知函数f （x ）=cos （2x +），若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n≤4π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （2）﹣f （x 3）|+…+|f （x n ﹣1）﹣f （x n ）|=16（n ≥2，n ∈N*），则n 的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．11二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9．已知复数z 满足()i z i 1323=+，则z 所对应的点位于复平面的第象限．10．函数21()xx f x e-=在1=x 处的切线的斜率为． 11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为． 12．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0截直线0x y a ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是． 13．已知,x y 为正实数，则22x x yx y x+++的最小值为． 14．已知函数21,0()2lg(1),0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，且方程2()|()|1f x t f x -=-有四个不等的实根，则实数t 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=2，B=2A ．（1）求cosA 的值；（2）求c 的值．16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本30 20 300劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6 817．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．18．已知等比数列{an }的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =，Tn为{bn}的前n项和，求T2n．19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b.（1）求椭圆C的离心率；（2）若点3(3,)2M在椭圆C上，不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，与直线OM相较于点N，且N是线段AB的中点，求OAB∆面积的最大值.22、（本小题满分14分）已知函数()3211(2)(1)()32f x x a x a x a R =-+++-∈ .（1）当2a =-时，讨论函数()f x 的单调性；（2）定义若函数()H x 有三个零点，分别为,,αβγ，且αβγ<<，则称β为()H x 的中间零点，设x t =是函数()()()g x x t f x '=-的中间零点. ①当1t =时，求a 的取值范围；②当t a =时，设123,,x x x 是函数()()()g x x a f x '=-的3个零点，是否存在实数b ，使123,,,x x x b 的某种排列成等差数列，若存在求出b 的值，若不存在，请说明理由.2018年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．2．从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．3．底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A． +2 B． +C．πD．π+2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：1×1×2=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A4．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．x2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．5．已知p：|x﹣1|＜2，q：f（x）=的最小值为2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，故p：﹣1＜x＜3；f（x）==x+的最小值为2，得x＞0，故q：x＞0，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．6．设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f （a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=cos（2x+），若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n）﹣f（x n）|=16（n ≤4π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1≥2，n∈N*），则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣1﹣f（x n）|=16，按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16．则n的最小值为10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一；10．1e；11．2；12．22±；13．52；14．52,2⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．【考点】余弦定理．【分析】（1）依题意，利用正弦定理=及二倍角的正弦即可求得cosA 的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，b=2，B=2A，∴由正弦定理得：=，即=，∴cosA=；（2）由（1）知cosA=，A∈（0，π），∴sinA=，又B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，B∈（0，π），∴sinB=，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴c===5．16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本30 20 300劳动力（工资） 5 10 110单位利润 6 8【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96（百元）．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD 的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，则EF∥PB，又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，则PB∥平面EAC；（2）由PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，底面ABCD为矩形，则CD⊥AD，又PA∩AD=A，则有CD⊥平面PAD，由CD⊂平面ABCD，则有平面PAD⊥平面ABCD．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2（q2﹣2），解得q．进而得出a1，可得a n．（II）n为奇数时，b n===．n为偶数时，b n=．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．【解答】解：（I）∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2（q2﹣2），∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．∴a n=2n．（II）n为奇数时，b n===．n为偶数时，b n=．∴T2n=++…+++…+=++…+=++…+．设A=+…+，则A=+…++，∴A=+…+﹣=﹣，∴A=﹣．∴T 2n =+﹣．（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意,得b c a 33=-，…………………………………1分则221()3a cb -=，结合222b ac =-，得2221()()3a c a c -=-，即22230c ac a -+=，……………………………………………………2分亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =.所以椭圆C 的离心率为12.………………………………………………4分（Ⅱ）由(Ⅰ)得2a c =，则223b c =.将3(3,)2M 代入椭圆方程2222+143x y c c =，解得1c =.所以椭圆方程为22+143x y =.………………………………………………6分易得直线OM 的方程为12y x =. 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，与22+143x y =联立消y ，得222(34)84120k x kmx m +++-=,所以222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->. ……………8分设1122(,),(,)A x y B x y ,则122834kmx x k +=-+,212241234m x x k-=+. 121226()234m y y k x x m k +=++=+，所以AB 的中点2243(,)3434km mN k k -++, 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-. ……………11分所以248(12)0m ∆=->，得1212m -<<，221212123131()()422AB x x x x x x =+-=+-222131241239()412239396m m m -=-⨯=-++. 当0m =时AB 最大，且max 13AB =，所以AB 的最大值为13. ……………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若-2a =，则31()33f x x x =-，2()3f x x '=-………………………2分当(,3)x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增；当(3,3)x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；当(3,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增.………………………………4分（Ⅱ）（i ）2(1)()(1)(2)1x f x x x a x a '⎡⎤-=-+++-⎣⎦……………………6分因为1x =是g()(1)()x x f x '=-的中间零点，令2()(2)1h x x a x a =+++-，则需有(1)220h a =+< 所以a 的取值范围为1a <-………………………………9分（ii ）假设存在b 满足条件，不妨设213,x a x x =<，则123x x a x <=<，13x x ，是2(2)10x a x a +++-=的两根. 所以1313=(2),1x x a x x a +-+=-，21(2)82a a x -+-+=，23(2)82a a x -+++=.……10分 ①若13,,,x a x b 成等差数列，则13222,3x x a a a +==--=-解得，2318,x x b a a -=-=+22427621928839333b a a -=++=-++=-+=.……11分②若13,,,b x a x 成等差数列，同理可求2318,x x a b a -=-=+227621928393b a a +=-+=--=-. ……12分③若13,,,x b a x 成等差数列，则131(2),12x x a b a a b +=+=-+=--，152211,22b x b a b b =-=++=+32222x a b b b b =-=---=--，所以2135(1)(22)5721222b bx x b b b a =+--=---=-=--，整理得213502b b +=，解得0b =或1310b =-.经检验0b =，1310b =-满足题意. ……13分④若13,,,x a b x 成等差数列，则13(2)22x x a b a a b +=+=-+⇒=--，1222x a b b =-=--，35221122b bx b a b =-=++=+，2135(22)(1)5721222b b x x b b b a =-++=---=-=--，解得13010b b ==-或.经检验0b =，1310b =-满足题意.综上所述，21923b -=或21923b +=-或13010b b ==-或.……14分。

天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(文)答案

高三数学（文）（2016、03）一、选择题：每小题5分，共40分二、填空题：每小题5分，共30分．三、解答题：共6小题，共80分．（15）（本小题满分13分）在锐角ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足2sin b A ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =，求cos(2)A B +．解：（Ⅰ）因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0.--------------------------------------2分因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.---------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，--------------------7分整理得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6.又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.---------------------------------------9分于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，故sin A 13cos214A =-,sin 2A =所以11cos(2)cos2cos sin 2sin 14A B A B A B +=-=---------------------------13分（16）（本小题满分13分）要将两种大小不同的较大块儿钢板，裁成,,A B C 三种规格的小钢板，每张较大块儿钢板可同时裁成的三种规格小钢板的块数如下表：第一种钢板面积为21m ，第二种钢板面积为22m ，今分别需要A 规格小钢板15块，B 规格小钢板27块，C 规格小钢板13块．（Ⅰ）设需裁第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，用x y ，列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；（Ⅱ）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？解：（Ⅰ）由已知，x ，y 满足的数学关系式为2153271300x y x y xy x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．--------------------4分该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．----------------------8分（Ⅱ）设所用钢板的面积为2m z ，则目标函数为2z x y =+．------------------9分把2z x y =+变形为1122y x z =-+，这是斜率为12-，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一族平行直线．当12z 取最小值时，z 的值最小．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线2z x y =+经过可行域上的点M 时，截距12z 最小，即z 最小．-------------------10分解方程组32713x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得点M 的坐标为(67)，．所以min 62720z =+⨯=．-------------------------------------------------------------------------12分答：在满足需求的条件下，裁第一种钢板6张，第二种钢板7张，所用钢板的面积最小．13分（17）（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列（N n *∈），且11a =，13b =,已知2330a b +=，3214a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n c a b =+⋅，12n n T c c c =+++L ,（N n *∈），求证：3(1)2n n n T a b =+. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q依题意：2232921502313d q q q d q ⎧+=⇒--=⎨+=⎩-------------------------2分解得：3q =，2d =-----------------------------------------------4分所以21n a n =-，3nn b =.------------------------------------------6分（Ⅱ）(1)23n n n n c a b n =+⋅=⋅，211223432(1)323n n n n T c c c n n -=+++=⋅+⋅++-⋅+⋅L L ①231323432(1)323n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ②②得：23122(3333)23n n n T n +-=++++-⋅L ，-------------------------------------8分113(13)2133()31322n n n n n T n ++--=⋅-=⋅+-------------------------------------------------------9分因为1333213(1)(21)3()322222n n n n n a b n +-+=-+=+ 所以3(1)2n n n T a b =+．---------------------------------------------------------------------------------13分（18）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且AB BC =．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角F DE B --的大小；（Ⅲ）若6PA =，5DF =，求PC 与平面PAB 所成角的正切值．解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BE ⊥又AB BC =，E 为AC 中点，故AC BE ⊥又AC PA A =I ，所以BE ⊥平面PAC ，BE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面PAC ．-----------------------------------------4分（Ⅱ）由已知得：DE ⊥平面ABC ，所以FEB ∠为二面角F DE B --的平面角，因为E ，F 分别为棱AC ，AB 的中点，AB BC ⊥，故90EFB ∠=o，EF FB =，所以，二面角F DE B --的大小为45o．--------------------------------------8分（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥所以BC ⊥平面PAB ．所以BPC ∠为PC 与平面PAB 所成角，由6PA =，5DF =，得4EF =，8BC AB ==，10PB =，84tan 105BC BPC PB ∠===，所以，PC 与平面PAB 所成角的正切值为45．--------------------------------------13分（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，左顶点A 与右焦点F的距离2AF =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，(2,1)P 为定点，当 △MNP 的面积最大时，求l 的方程. 解：（Ⅰ）由e =得：c a --------------------------------------1分由2AF =2a c +=，②----------------------------------------3分由①②得：a =2c =，1b =，---------------------------------------5分椭圆C 的方程为2215x y +=．--------------------------------------------6分（Ⅱ）过右焦点(2,0)F 斜率为k 的直线l ：(2)y k x =-，--------------------7分联立方程组：2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得：2222(15)202050k x k x k +-+-=---------------------------8分设交点1122(,),(,)M x y N x y则21222015k x x k +=+，212220515k x x k -=+------------------------------------------9分MN==---------------------------------------------------10分点(2,1)P 到直线l的距离d =，所以△MNP的面积S ==1t =≥，则5S t t==- 记4()5g t t t=-，单调递增，min ()(1)1g t g ==，所以S，此时，0k =，l 的方程：0y =．---------------------------------------------14分（20）（本小题满分14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--?. （Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e，求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >．解：（Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e ，11()k f e a e e ¢==-=，得2a e=．----------------------------------------------3分(Ⅱ)由11'()(0)ax f x a x x x-=-=> 当0a >时，令'()0f x =解得：1x a=-------------------------5分当x 变化时，'(),()f x f x 随x 变化情况如下表：由表可知：()f x 在1(0,)a 上是单调减函数，在(,)a+∞上是单调增函数所以，当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a+∞------8分（Ⅲ）当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20xe x -->令()ln 2(0)xh x e x x =-->，只需证()0h x >1'()x h x e x=-Q由指数函数及幂函数的性质知：1'()x h x e x=-在(0,)+∞上是增函数又121'(1)10,'()302h e h e =->=-<∴1'(1)'()02h h g <'()h x 在1(,1)2内存在唯一的零点，也即'()h x 在(0,)+?上有唯一零点----------10分设'()h x 的零点为t ,则1'()0,t h t e t =-=即11(1),2t e t t =<< 由'()h x 的单调性知：当),0(t x ∈时，'()'()0h x h t <=，()h x 为减函数当(,)x t ??时，'()'()0h x h t >=，()h x 为增函数，所以当0x >时，11()()ln 2ln 212220t t h x h t e t t et t?--=--=+-?=又11,2t <<，等号不成立∴()0h x >-------------------------------14分。

天津市红桥区高三数学第一次模拟考试文(红桥一模)

高三数学(文)本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 P (A B)=P (A)+P (B)如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB)=P (A)P (B)．棱柱的体积公式V =Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积 h 表示棱柱的高圆锥的体积公式V=13Sh ．其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．复数11ii -++i 等于 A ． -i B ．1 C ． -l D ．02．设1(,cos )2a θ=与(1,2cos )b θ=-垂直，则cos 2θ的值等于A ．2-B ．12-C ．0D ．-l3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m//α，n//α，则m//n B ．若m//α，m//β，则α//β C ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥ D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β4．函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-lB ．．0 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是A ．2，3π-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，3π 6．设双曲线221mx ny +=的一个焦点与抛物线218y x =的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ．2211612y x -= D ．2211612x y -= 7．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b8．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为 A ．12 B ．2πC ．13D ．23 第II 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共l2小题。

2018红桥区高三年级模拟考试

2018红桥区高三年级模拟考试（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷(选择题共36分)本试卷12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

一、（12分）阅读下面一段文字，完成1～2题。

江淹，字文通，南朝著名的文学家。

与他有关的__ 甲_ _的成语典故有两个：“梦笔生花”与“江郎才尽”。

据说，“梦笔生花”的故事发生在他年轻时被权贵贬绌．到浦城之际，睡梦中见神人授予他一支神笔，自此成了文章一代傀．首，睥．睨文坛，令他人三缄．其口。

“江郎才尽”的故事发生在他中年官运乙__之时，文采斐．然的他罢笔无文，大笔如椽．的江淹成了文坛掌故。

所以，有人认为江淹是“穷则逞文，达则辍．笔”。

但有一点毫无疑问，在篡夺相继、杀人无度的南朝，似江淹这般功成名就，既在仕途、文学上获得重大成功，且能全身而退，颐．养天年，实在是个奇迹，非有大智慧而不能为也。

江淹年轻时就有倚．马可待的文オ。

相传，一群文友在江边漫游，遇见一蚕妇，当时有一位颇负盛名的文人即兴．出联曰“蚕为天下虫”，将“蚕”字拆为“天”和“虫”，丙。

正巧一群鸿雁飞落江边，顷．刻间，江淹灵感触发，对曰“鸿是江边鸟”，将“鸿”字拆为“江”和“鸟”，与将“蚕”拆为“天”和“虫”有异曲同工之妙，众人为之叹服。

1.文中加点字的字音和字形，全都正确的一组是（）A.贬黜．（chù）傀．（kuí）首三缄．（jiān）其口B.睥．（bì）睨文采斐．（fěi）然大笔如椽．（yuán）C.辍．（chuò）笔篡．（cuàn）夺颐．（yí）养天年D.倚．（yǐ）马可待即兴．（xìnɡ）顷．（qīnɡ）刻2.依次填入文中甲、乙、丙处的词语，最恰当的一组是（）A.妇孺皆知亨通别出心裁B.妇孺皆知通达别具一格C.众所周知通达别出心裁D.众所周知亨通别具一格3.下列各句中，没有语病的一句是（）A.中国载人航天工程办公室和中国航天科技集团公司在北京举行神舟十一号返回开舱，与研制单位和搭载单位代表一道，共同见证搭载物品出舱。

全国联考2018届高三最后一模数学(文科)卷

全国联考2018届高三最后一模数学（文科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合{}{}212,0M x x N x x x =-<<=-4<，则M N ⋂= （） A ．()0,4 B ．()1,4- C ．()1,2- D ．()0,22.若复数z 满足iz=1+2i ，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（2，1） D ．（2，﹣1）3.设，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a4.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则的值为（）A ．2B ．3C ．﹣2D ．﹣35.将函数f （x ）=sin2x+3cos2x 图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一个对称中心是（） A ．（3π，0） B ．（4π，0） C ．（12π-，0） D ．（2π，0）6.设实数,x y满足301210x yy xx+-≤⎧⎪⎪-≥⎨⎪-≥⎪⎩，则y xux y=-的取值范围为（）A．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.23,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A．120 B．84 C．56 D．288.记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 316πB. 318πC. 48164π10.函数f （x ）=x|x |ln 的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．11.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．B ．C ．D ．12.已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x ）+f （x ）≤0，对任意的0＜a ＜b ，则必有（）A．af（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知向量45(2sin,cos)36aππ=，(),1b k=.若//a b，则k=．14.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．15.已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为．16.若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）关于y=x分离”．已知函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．18.（本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；（2）求直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．19.（本题满分12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．20.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率e= 23，在顶点为A （﹣2，0），过点A 作斜率为k （k≠0）的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求|OM||AE||AD|的最小值．21.（本题满分12分）已知函数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，且对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞2|x1﹣x2|，求实数a的最小值．选做题请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。

2018年天津市红桥区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{1，3}B．{4}C．{2，4}D．∅2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设x，y满足，则z＝x+y（）A．有最小值2，无最大值B．有最小值﹣7，最大值3C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．π5．（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．＜P≤B．P＞C．≤P＜D．＜P≤6．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2 7．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线﹣y2＝1（a＞0）交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△F AB为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝a sin（）﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[]B．[，1]C．[]D．（0，]二、填空题:本大题共6个小题，每小题5分，共30分.9．（5分）设i是虚数单位，则复数的虚部是．10．（5分）设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则＝．11．（5分）已知直线2x+y+a＝0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．12．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，φ＞0，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为．13．（5分）函数y＝﹣e x+x在R上的最大值是．14．（5分）在△ABC中，点D满足＝，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若＝λ+μ，则λ+的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）分别计算这10名同学中，男女生测试的平均成绩；（Ⅱ）若这10名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较S1与S2的大小（不必计算，只需直接写出结果）；（Ⅲ）规定成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，c＝，cos A＝﹣．（1）求sin C和b的值；（2）求cos（2A+）的值．17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD，A1D与AD1交于O．（Ⅰ）证明：OE∥平面CDD1C1；（Ⅱ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅲ）若DE＝A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．18．（13分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a2n，其中n∈N*（Ⅰ）求a2+a3的值；（Ⅱ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅲ）是否存在n（n∈N*），使得S2n+1＝b2n？若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知a∈R，函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求y＝f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．20．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线P A，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．2018年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{1，3}B．{4}C．{2，4}D．∅【解答】解：∁U A＝{4}，则（∁U A）∩B＝{4}，故选：B．2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜2解得：﹣2+1＜x＜2+1，即﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．3．（5分）设x，y满足，则z＝x+y（）A．有最小值2，无最大值B．有最小值﹣7，最大值3C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由图知，当直线z＝x+y过点A（2，0）时，z最小值为：2．当直线z＝x+y没有最大值．故选：A．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．π【解答】解：由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）∴可得该圆锥的高h＝．底面面积S＝π，几何体的体积V＝＝故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．＜P≤B．P＞C．≤P＜D．＜P≤【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝1，S＝0满足条件S＜P，S＝，n＝2满足条件S＜P，S＝＝，n＝3满足条件S＜P，S＝+＝，n＝4，不满足条件，退出循环，输出n的值为4，∴p的取值范围是，故选：A．6．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵x3满足＝log3x3，∴x3＞0，∴0，∴x3＞1．又∵x 1＝2＜0，0＜x2＝＜1，∴x1＜x2＜x3．故选：B．7．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线﹣y2＝1（a＞0）交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△F AB为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣1．代入双曲线方程得y＝±．不妨设A（﹣1，），∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝2，解得：a＝，∴c2＝a2+b2＝+1＝，∴e＝＝故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝a sin（）﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[]B．[，1]C．[]D．（0，]【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）＝，值域是[0，1]，值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）＝g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选：C．二、填空题:本大题共6个小题，每小题5分，共30分.9．（5分）设i是虚数单位，则复数的虚部是．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部是．故答案为：．10．（5分）设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则＝15．【解答】解：对于，∴11．（5分）已知直线2x+y+a＝0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为±5．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝，圆心C（﹣1，2），半径r＝，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d＝＝，即d＝＝，解得a＝±5．故答案为：±5．12．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，φ＞0，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位所得图象的解析式f（x）＝2sin[2（x﹣φ）+]＝2sin（2x﹣2φ+），再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍所得图象的解析式f（x）＝2sin（4x﹣2φ+）因为所得图象关于直线x＝对称，所以当x＝时函数取得最值，所以4×﹣2φ+＝kπ+，k∈Z整理得出φ＝﹣+，k∈Z当k＝0时，φ取得最小正值为．故答案为：．13．（5分）函数y＝﹣e x+x在R上的最大值是﹣1．【解答】解：函数y＝﹣e x+x，y′＝1﹣e x，由y′＝0得x＝0，当x∈（﹣∞，0）时，y′＞0，函数y＝x﹣e x单调递增，当x∈（0，+∞）时，y′＜0，函数y＝x﹣e x单调递减，所以，当x＝0时，y取得最大值，最大值为﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）在△ABC中，点D满足＝，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若＝λ+μ，则λ+的最小值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，，∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，又点E在射线AD（不含点A）上移动，设＝k，k＞0，∴＝+，又，∴，∴＝+≥2＝，当且仅当k＝时取“＝”；∴λ+的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）分别计算这10名同学中，男女生测试的平均成绩；（Ⅱ）若这10名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较S1与S2的大小（不必计算，只需直接写出结果）；（Ⅲ）规定成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得男生测试的平均成绩为：＝（64+76+77+78）＝73.75，女生测试的平均成绩为：＝（56+79+76+70+88+87）＝76．（Ⅱ）由频率分布直方图得S1＜S2．（Ⅲ）设“两名学生的成绩均这优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次为64，76，77，78，女生按成绩由低到高依次为56，70，76，79，87，88，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种方取法：{64，56}，{64，70}，{64，76}，{64，79}，{64，87}，{64，88}，{76，56}，{76，70}，{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，56}，{77，70}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，{78，56}，{78，70}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，成绩大于等于75分为优良，∴其中两名均为优良的取法有12种取法，分别为：{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，∴这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率P（A）＝．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，c＝，cos A＝﹣．（1）求sin C和b的值；（2）求cos（2A+）的值．【解答】解：（1）∵cos A＝﹣，A为三角形内角，∴sin A＝＝，∵a＝2，c＝，∴由正弦定理＝得：sin C＝＝＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得：4＝b2+2+b，解得：b＝1；（2）cos2A＝﹣，sin2A＝﹣；cos（2A+）＝cos2A cos﹣sin2A sin＝．17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD，A1D与AD1交于O．（Ⅰ）证明：OE∥平面CDD1C1；（Ⅱ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅲ）若DE＝A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点H，连接OE，EH，则OH是△AD1D的中位线，则OH∥D1D，则正方形ABCD中，EH∥CD，则平面OHE∥平面C1D1DC，∵OE⊂平面OEH，∴OE∥平面CDD1C1；（Ⅱ）依题意，BE＝EC＝BC＝AB＝CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB＝60°，又∵△CDE中，∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠ECD）＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠CED﹣∠AEB＝90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．∵AA1∩AE＝A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（Ⅲ）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1＝AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE＝，CD＝，A1E＝，AE＝AB＝1∴A1A＝，由此可得BF＝，AF＝EF＝＝，∴cos∠AEF＝＝，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为．18．（13分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a2n，其中n∈N*（Ⅰ）求a2+a3的值；（Ⅱ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅲ）是否存在n（n∈N*），使得S2n+1＝b2n？若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）因为a2＝1，a3＝﹣3，所以a2+a3＝﹣2．（或者根据已知a2n+1+a2n＝﹣2n，可得a3+a2＝﹣2．）…（3分）（II）证明：b n+1＝a2n+2＝2a2n+1+4n＝2（﹣a2n﹣2n）+4n＝﹣2a2n＝﹣2b n，b1＝a2＝2a1＝1，故数列{b n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列．…（7分）（III）由（II）知，所以．设，又S2n+1＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n+1）＝a1+c1+c2+…+c n＝．则由，得2n2+2n+40＝4n，设f（x）＝4x﹣2x2﹣2x﹣40（x≥2），则g（x）＝f′（x）＝4x ln4﹣4x﹣2，g′（x）＝4x ln24﹣4＞0（x≥2），所以g （x）在[2，+∞）上单调递增，g（x）≥g（2）＝f'（2）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在[2，+∞）上单调递增又因为f（1）＜0，f（3）＝0，所以仅存在唯一的n＝3，使得成立．…（13分）19．（14分）已知a∈R，函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求y＝f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f′（x）＝6x2﹣12x+6，所以f′（2）＝6∵f（2）＝4，∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣1）（x﹣a），令f′（x）＝0，得到x1＝1，x2＝a，当a＞1时，比较f（0）＝0和f（a）＝a2（3﹣a）的大小可得g（a）＝．当a＜﹣1时，∴g（a）＝3a﹣1，综上，f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）＝．20．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线P A，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b＝2，即b＝1，，得，解得a2＝4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线P A的方程为，同理：直线PB的方程为，直线P A与直线x＝4的交点为，直线PB与直线x＝4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y＝0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1＝4+，x2＝4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0＝2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线P A的方程为，同理：直线PB的方程为，直线P A与直线x＝4的交点为，直线PB与直线x＝4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．。

2018年天津市部分区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁U B＝（）A．{0}B．{2，5}C．{0，1，2，4，6}D．{0，2，3，5}2．（5分）一只蚂蚁在如图所示的长方形ABCD的内部随机爬行，其中AB＝4，BC＝2，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在以AB为直径的半圆区域内的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）设x∈R，则“|x|＜2”是“x2+3x﹣10＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点在直线x+y﹣2＝0上，则该双曲线的方程为（）A．B．C．x2D．6．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝9，若E，F为边BC的三等分点，则等于（）A．18B．20C．26D．417．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上对于任意两个不相等的实数x1，x2恒有成立，若实数a满足f （log6a）≥f（﹣1），则a的取值范围是（）A．[]B．[）C．（0，6]D．（﹣∞，6]8．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象关于原点对称，且在[﹣]上不是单调函数，则ω的最小整数值为（）A．9B．11C．17D．25二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数是实数，则a的值为．10．（5分）设函数f（x）＝（x+a）lnx，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y＝0平行，则实数a的值为．11．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）与抛物线x2＝8y的准线相切，则圆的方程是．12．（5分）如图，四棱锥E﹣ABCD的五个顶点都在同一个球的球面上，且EA ⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，EA＝5，则这个球的表面积为．13．（5分）已知正实数a，b满足ab＝a+2，那么2a+b的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝2x+m （m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，sin B ＝2sin A，cos C＝．（Ⅰ）求c和sin A的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．16．（13分）某大型企业计划在A、B两市举行新产品推介会，受产品时效性和成本影响，新产品推介会总时间不能超过30天，且在A市时间不少于B市，推介会总费用不超过5万元．在A、B两市举行新产品推介会的费用分别为每天0.2万元和0.1万元，销售纯收益分别为每天3万元和2万元．分别用x，y 表示该企业计划在A、B两市举行新产品推介会的天数．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）该企业如何分配在A、B两市做新产品推介会的天数，才能使企业获得的销售纯收益最大？最大销售纯收益是多少？17．（13分）如图，四棱锥A﹣DCBE中，DE∥CB，∠DCB＝∠ADE＝90°，CB＝2DE＝2，AD＝CD，二面角C﹣DE﹣A为60°，且AC＝．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a n＝S n﹣n+1（n∈N*），a1＝．（Ⅰ）证明数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜4．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点M（，）在椭圆C 上，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km≠0）与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点N在直线3x+4y＝0上，求△OAB面积的最大值（其中O为坐标原点）．20．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2+a）x+1+lnx（a＞0），g（x）＝．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）证明：对任意x1∈（0，]均存在x2∈（0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立；（Ⅲ）证明：ln（2×3×4×…×2018）＜2019．2018年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁U B＝（）A．{0}B．{2，5}C．{0，1，2，4，6}D．{0，2，3，5}【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{0，2，5}，集合A∩∁U B＝{2，5}．故选：B．2．（5分）一只蚂蚁在如图所示的长方形ABCD的内部随机爬行，其中AB＝4，BC＝2，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在以AB为直径的半圆区域内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵AB＝4，BC＝2，∴S ABCD＝4×2＝8，阴影部分半圆的面积为，∴某时刻该蚂蚁爬行在以AB为直径的半圆区域内的概率是．故选：A．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin的值，可得S＝sin+sin＝++0＝．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x|＜2”是“x2+3x﹣10＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|＜2得﹣2＜x＜2，由x2+3x﹣10＜0得（x﹣2）（x+5）＜0，得﹣5＜x＜2，则“|x|＜2”是“x2+3x﹣10＜0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点在直线x+y﹣2＝0上，则该双曲线的方程为（）A．B．C．x2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点在直线x+y﹣2＝0上，可得c＝2，则a＝1，b＝，则该双曲线的方程为：x2．故选：C．6．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝9，若E，F为边BC的三等分点，则等于（）A．18B．20C．26D．41【解答】解：如图所示，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝9，且E，F为边BC的三等分点，则＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝（+﹣）•（﹣+）＝（+）•（+）＝++＝×62+×92+×6×9×cos60°＝41．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上对于任意两个不相等的实数x1，x2恒有成立，若实数a满足f（log6a）≥f（﹣1），则a的取值范围是（）A．[]B．[）C．（0，6]D．（﹣∞，6]【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上有成立，则函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，又由函数为偶函数，则f（log6a）≥f（﹣1）⇒|log6a|≤1⇒﹣1≤log6a≤1，解可得：≤a≤6；故选：A．8．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象关于原点对称，且在[﹣]上不是单调函数，则ω的最小整数值为（）A．9B．11C．17D．25【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，∴y＝2sin[ω（x﹣）+]＝2sin（ωx+），∴y＝g（x）＝2sin（ωx+），若y＝g（x）的图象关于原点对称，则＝kπ，k∈Z；解得ω＝1﹣8k，k∈Z①；又g（x）在[﹣]上不是单调函数，∴＜×2，得T＜，即＜，∴ω＞9②；由①②知，ω的最小整数值为17．故选：C．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数是实数，则a的值为．【解答】解：∵＝是实数，∴，则a＝﹣．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）＝（x+a）lnx，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y＝0平行，则实数a的值为1．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）lnx的导数为f′（x）＝lnx+，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝1+a，由切线与直线2x﹣y＝0平行，可得1+a＝2，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）与抛物线x2＝8y的准线相切，则圆的方程是x2+y2±2x﹣3＝0．【解答】解：圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）转化为（x+）2+y2＝，∵圆x2+y2+mx﹣3＝0（m＞0）与抛物线x2＝8y的准线相切，抛物线x2＝8y的准线为y＝﹣2，∴＝2，解得m＝±2．∴圆x2+y2±2x﹣3＝0．故答案为：x2+y2±2x﹣3＝0．12．（5分）如图，四棱锥E﹣ABCD的五个顶点都在同一个球的球面上，且EA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，EA＝5，则这个球的表面积为50π．【解答】解：由题意可知，ABCD的外接圆的圆心在AC的中点，EA⊥平面ABCD，所以EC的中点是外接球的球心，所以球的半径为：＝．则这个球的表面积为：4＝50π．故答案为：50π．13．（5分）已知正实数a，b满足ab＝a+2，那么2a+b的最小值为5．【解答】解：根据题意，正实数a，b满足ab＝a+2，则b＝1+，则2a+b＝2a+1+＝2a++1≥2（a+）+1≥2×2+1＝5，即2a+b的最小值为5；故答案为：5．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝2x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：方程f（x）＝2x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣2x＝m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）＝f（x）﹣2x＝．当x≤0时，函数h（x）＝ln（x+1）﹣x，h′（x）＝﹣1＝，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图象如下，由图可知g（﹣1）＜m＜0，∴﹣1＜m＜0，故答案为：（﹣1，0）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，sin B ＝2sin A，cos C＝．（Ⅰ）求c和sin A的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）由a＝3，sin B＝2sin A，得b＝2a＝6，又cos C＝，∴＝36．∴c＝6．由cos C＝，得sin C＝，由正弦定理可得：，即，得sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝．则sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝．∴cos（2A）＝cos2A cos﹣sin2A sin＝．16．（13分）某大型企业计划在A、B两市举行新产品推介会，受产品时效性和成本影响，新产品推介会总时间不能超过30天，且在A市时间不少于B市，推介会总费用不超过5万元．在A、B两市举行新产品推介会的费用分别为每天0.2万元和0.1万元，销售纯收益分别为每天3万元和2万元．分别用x，y表示该企业计划在A、B两市举行新产品推介会的天数．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）该企业如何分配在A、B两市做新产品推介会的天数，才能使企业获得的销售纯收益最大？最大销售纯收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，x，y满足的条件为，目标函数是z＝3x+2y，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；（Ⅱ）根据图形知，当目标函数过点M时，z取得最大值；由，解得M（20，10），即企业在A市推销20天，B市推销10天，才能使企业获得的销售纯收益最大，且最大销售纯收益是z＝3×20+2×10＝80（万元）．17．（13分）如图，四棱锥A﹣DCBE中，DE∥CB，∠DCB＝∠ADE＝90°，CB＝2DE＝2，AD＝CD，二面角C﹣DE﹣A为60°，且AC＝．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥A﹣DCBE中，DE∥CB，∠DCB＝∠ADE＝90°，∴BC⊥DC，AD⊥DE，∴BC⊥AD，∵DC∩AD＝D，∴BC⊥平面ACD．解：（Ⅱ）∵BC⊥平面ACD，DE∥CB，∴DE⊥平面ACD，∠ABC是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），∵BC⊥平面ACD，∴∠ACB＝90°，∵AC＝，BC＝2，∴AB＝＝，∴cos∠ABC＝＝＝，∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．（Ⅲ）∵DE⊥平面ADC，二面角C﹣DE﹣A为60°，∴∠ADC＝60°，∵CB＝2DE＝2，AD＝CD，二面角C﹣DE﹣A为60°，且AC＝．∴△ADC是边长为的等边三角形，取CD中点O，以O为原点，OC为x轴，过O作DE平行线为y轴，OA为z 轴，建立空间直角坐标系，C（，0，0），E（﹣，1，0），D（﹣，0，0），A（0，0，），＝（0，1，0），＝（，0，），＝（，﹣1，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，0，﹣1），设直线CE与平面ADE所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a n＝S n﹣n+1（n∈N*），a1＝．（Ⅰ）证明数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜4．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，且2a n＝S n﹣n+1①（n∈N*），则：2a n﹣1＝S n﹣1﹣n+1+1②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1﹣1，整理得：a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），所以：＝2（常数），所以：数列{a n﹣1}是等比数列，则：a n﹣1＝，由于：a1＝．则：，证明：（Ⅱ）由于：，由于：＝＝则：T n＝①，＝②①﹣②得：，解得：T n＝4（1﹣）﹣＜4．故不等式成立．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点M（，）在椭圆C 上，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km≠0）与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点N在直线3x+4y＝0上，求△OAB面积的最大值（其中O为坐标原点）．【解答】解：（I）由题意可得：+＝1，＝，a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，b2＝3，c＝1．∴椭圆C的方程为：+＝1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（x0，y0）．联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0．（*）∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．∴x0＝，y0＝kx0+m＝．∵线段AB的中点N在直线3x+4y＝0上，∴+＝0，km≠0，化为：k＝1．∴7﹣m2＞0．∴|AB|＝＝＝．点O到AB的距离d＝．＝d|AB|＝×＝∴S△AOB≤＝．当且仅当m2＝时取等号．∴△OAB面积的最大值为．20．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2+a）x+1+lnx（a＞0），g（x）＝．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）证明：对任意x1∈（0，]均存在x2∈（0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立；（Ⅲ）证明：ln（2×3×4×…×2018）＜2019．【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝的导数为g′（x）＝，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减，可得g（x）在x＝e处取得极大值，且为，无极小值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得g（x）在（0，1]递增，即有g（x）的最大值为g（1）＝0；即证ax2﹣（2+a）x+1+lnx（a＞0）＜0，即为a（x2﹣x）＜2x﹣1﹣lnx，由a＞0，0＜x≤，可得a（x2﹣x）＜0，由y＝2x﹣1﹣lnx的导数为y′＝2﹣＜0在（0，]恒成立，即有函数y递减，可得最小值为﹣ln＝ln2＞0，则a（x2﹣x）＜2x﹣1﹣lnx恒成立，可得对任意x1∈（0，]均存在x2∈（0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立；（Ⅲ）证明：由函数y＝lnx﹣x+1的导数为y′＝﹣1，可得x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得x＝1处函数y取得极大值，且为最大值0，即有lnx≤x﹣1，可得ln2≤1，ln3≤2，ln4≤3，…，ln2018≤2017，即有ln2+ln3+…+ln2018≤1+2+…+2017＝×2017×2018＝2017×1009＜2019×1009，可得ln（2×3×4×…×2018）＜2019×1009，即为ln（2×3×4×…×2018）＜2019．。