三角函数的诱导公式习题课

外）的三角函数转化为锐角的三角函数求解，转化步骤为： 负角变正角，大角变小角，小角变锐角．
• 例2 已知 cos100o = m，则tan 80o = __________ ． • 分析 注意到两个角互补，因此可以根据诱导 公式先求出80 o 角的正弦值与余弦值，再求tan 80 o • 解析 因为 cos100o = m ， • 所以cos 80o = cos(180o − 100o ) = − cos100o = −m ， 又 80 o 角为锐角，所以 sin 80 = 1 − m ，
sin A = 2 sin B 3 cos A = 2 cos B
• 例4
1 已知 cos(75 + α ) = 3
o
算它们的余弦值．
，
• 解析 ， 1 o o o = − cos(75 + α ) = − ； • 所以cos(105 −α) = cos[180 −(75 +α)] 3 由于(75o + α ) − (α − 15o ) = 90o 所以cos(α − 15 ) = cos[(75 + α ) − 90 ] = cos[90o − (75o + α )] = sin(75o + α )，又因为 α 为第三象 1 o cos(75 + α ) = > 0 ，所以 (75 + α ) 为第四象 限角且 3 限角，因此 sin(75 + α ) = − 2 2 ，所以 cos(α − 15 ) = − 2 3 2 3 因此原式 cos(105 − α ) + cos(α − 15 ) = − 1 − 2 2 ．
(n + 12) nπ nπ π sin = sin( + 2π ) = sin 6 6 6
π
6
+ sin
2π 12π + L + sin 6 6
•
=
1 3 1 3 + + L + 0 + (− ) + (− ) +L+ 0 = 0 2 2 2 2
而 102 = 12 × 8 + 6，所以
f (1) + f (2) + L + f (102) = f (1) + f ( 2) + L + f (6)
2π 12π 13π f (1) = sin , f (2) = sin , L , f (12) = sin , f (13) = sin 6 6 6 6 π π = sin( 2π + ) = sin = f (1) 6 6
若函数 f (n) = sin
nπ (n ∈ Z )，求 f (1) + f (2) + L + f (102 ) 6
分析 需要用诱导公式把−600o的正弦值转化为某个 锐角的三角函数值来求解． • 解析
sin( −600o ) = − sin 600 o = − sin(360o + 240o ) = − sin 240 = − sin(180o + 60o ) = sin 60o =
3 2
o
• 评析 在求具体角的三角函数值时，注意把该角（轴角除
• ⑵当 n为奇数，即 n = 2k + 1(k ∈ Z )时，原式
2 4 2 4 2 4 = sin π ⋅ [− cos( π )] = sin π ⋅ cos(2kπ + π + π ) = sin π ⋅ cos(π + π ) 3 3 3 3 3 3
= sin(π −
π
3
)[− cos(π +
tan(2α + β ) + tan β
= tan[2(2kπ +
π
2
− β ) + β ] + tan β
= tan(4kπ + π − β ) + tan β
= tan(π − β ) + tan β = − tan β + tan β = 0
所以原命题成立．
• 评析 ⑴ 注意当某个角正弦值为1时，这个角 的终边只能落在y轴正半轴上； ⑵ 一般证明等式的思路是“从左推右”或 “从右推左”、或证明“等式两边都等于一 个相同的式子”．
o 2
• 因此
sin 80o 1 − m2 tan 80o = = o cos80 −m
．
• 评析 诱导公式告诉我们两个角互余，其中 一个角的正弦值等于另一个角的余弦值；两 个角互补，它们的正弦值相等，余弦值互为 相反数，正切值互为相反数．因此在解题时 注意观察两个角互余、互补的关系，会为解 题提供方向．
三角函数的诱导公式习题课 （二）
上次课我们处理了利用诱导公式求值的相关问题， 上次课我们处理了利用诱导公式求值的相关问题，这次 课我们谈一谈化简和证明问题以及较难的求值问题． 课我们谈一谈化简和证明问题以及较难的求值问题．
• 例1 化简 1 + 2sin(π − 2) cos(π + 2) 的结果是_____ ． • 分析 先利用诱导公式把角化简，再凑完全平方公 式． • 解析
π π 2π 4π 2 4 = sin(π − ) cos(π + ) = sin cos = sin π ⋅ cos( 2kπ + π ) 3 3 3 3 3 3
2 4 求 sin(2nπ + π ) ⋅ cos(nπ + π )(n ∈ Z ) 的值 3 3
1 1 3 = sin π ⋅ ( − cos π ) = − 3 3 4
• 例4 ∆ABC 中，若 sin( 2π − A) = − 2 sin(π − B)， • 3 cos A = − 2 cos(π − B) ，求 ∆ABC 的三个内角． 的三个内角． • 分析 ⑴ 求角，要先求该角的某个三角函数值， 再根据该角所在的象限定出该角的具体值． ⑵ 已知条件要先用诱导公式进行化简，其中 也可以把 看成锐角，这样 (2π − A) 2π − A 为第四象限角，所以 A sin( 2π − A) = − sin A ，两式 解析 由已知条件可得
2 o
α ， 为第三象限角， 则 _______ ． cos(105o − α ) + cos(α − 15o ) = 75o + α ,105o − α , α − 15o 分别看成整体， • 分析 把 o o 75 + α 注意 互补、 105到与 −α (75 o + α ) − (α − 15 o ) = 90 o。因此可由诱导公式分别计
三角函数的诱导公式习题课 （一）
一．复习
• 我们学习了三角函数的六组诱导公式．这 π 六组公式揭示了角 2kπ + α (k ∈ Z ), −α , π ± α , 2 ± α 与 角 α 的三角函数值之间的联系，其中公式 五、六还可实现正弦函数与余弦函数的相 互转化． • 为了便于记忆，可以把诱导公式简单的概 括为“奇变偶不变，符号看象限”．
π
• 所以 f (13) = f (1) ，因此第13个数开始重复， 也就是连续12个数为一个循环．这是我们观 察出来的规律，是否有理论依据呢？我们来 看具体解法．
• 解析 因为 ， • 所以 f (n) = f (n + 12) ．所以12个这样的函数值为一 个循环．又因为
f (1) + f (2) + L + f (12) = sin
• 例2 已知 A, B, C为 ∆ABC 的三个内角， A+ B C sin( ) = cos • 求证： sin( A + B) = sin C ； 2 2 ． A+ B π C • 分析 注意到 A + B = π − C , 2 = 2 − 2 ，所以可用诱 导公式加以证明． • 证明 因为 A, B, C为 ∆ABC的三个内角，所以， A+ B π C • sin( A + B ) = sin(π − C ) = sin C 因为 2 = 2 − 2 ， A+ B π C C sin( ) = sin( − ) = cos • 所以 所以原命题均成 2 2 2 2 。 立． • 评析 这两个结论在今后处理与三角形有关的问 题时有着广泛的应用．另外类似的结论还有
= 1 3 3 1 + +1+ + +0 2 2 2 2
= 2+ 3
• 评析 ⑴ 由诱导公式可发现这些三角函数的函数 值按一定周期循环出现，这样在求值时可以化多 为少，化繁为简； ⑵ 寻找循环规律也是解决多个数相加、相乘的 常用思路．
小结 利用诱导公式处理求值问题时，要有意识 的观察两个角之间的联系，同时注意以下细节 • 尽量把任意角（轴角除外）化为锐角来处 理； • 注意未知角与已知角之间互余或互补的关 系，这会为解题提供方向； • 化简形如 cos( nπ + α )(n ∈ Z )的式子时，要注 意对n进行“奇、偶”的分类讨论； • 整体的看待和角与差角能更容易的找到两 个角之间的联系．
二．诱导公式的作用：
• 利用诱导公式可以把任意角（轴角除外） 的三角函数转化为锐角的三角函数． • 诱导公式提示我们要观察未知角和已知角 之间的联系，为解题提供方向． 三．例题讲解 “诱导公式”这节的常见题型为求值问题、 化简问题、证明问题等，这次课我们主要 谈一谈求值的相关问题．
sin(−600o ) 的值为__________ ． • 例1
A+ B C = sin cos( A + B ) = − cos C tan( A + B ) = − tan C cos 2 2
tan(2 • 例3 已知 sin(α + β ) = 1，求证： α + β ) + tan β = 0． • 分析 注意已知条件 sin(α + β ) = 1 ，只有当角 π α + β = 2kπ + (k ∈ Z ) 时，其正弦值才能得1，所以 2 可以把角α 用角β 表示，从而完成证明． 证明 由于 sin(α + β ) = 1 ，根据三角函数的定义， π π α + β = 2kπ + (k ∈ Z ) ．所以 α = 2kπ + − β ( k ∈ Z ) ，所以 有 2 2