人教版高中数学B版必修二向量基本定理直线上向量的坐标及其运算
高中数学(人教B版)直线上向量的坐标及其运算
M(x), A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系,求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点,O为坐标原点,
设M(x)是线段AB的中点,则 AM MB,有 OM OA OB OM ,
则 OM
1 2 (OA OB)
取 |a| = 1,也就是 a 为单位向量时,则 |λ| = |b| ,|μ| = |c|.
l
b
a
c
一.直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ,由共线向 量基本定理可知,对于直线 l 上的任意一个向量 a,一定存 在唯一的实数x,使得 a = xe,此时,x 称为向量 a 的坐标.
直线上向量的坐标及其运算
高一年级 数学
知识概要
一.直线上向量的坐标 二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解 四.课堂小结
复习
向量相等:把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 零向量:把始点和终点相同的向量称为零向量,即 AA= 0. 单位向量:把模等于1的向量称为单位向量.
交换律 结合律 分配律
AB | AB | AB OB OA
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系,求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点,O为坐标原点, 则 OA x1e ,OB x2e , 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系: 当a = b时,有 x1e x2e , 则 (x1 x2 )e = 0, 因为 e 是单位向量,所以 x1 x2 .
人教B数学必修第二册练习:6.21 向量基本定理 6.22 直线上向量的坐标及其运算 含解析
[A 基础达标]1.若e 1,e 2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A .e 1-e 2,e 2-e 1 B .2e 1-e 2,e 1-12e 2C .2e 2-3e 1,6e 1-4e 2D .e 1+e 2,e 1-e 2解析:选D.e 1+e 2 与e 1-e 2 不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.2.已知数轴上两点M ,N ,且|MN |=4.若x M =-3,则x N 等于( ) A .1 B .2 C .-7D .1或-7解析:选D.|MN |=|x N -(-3)|=4, 所以x N -(-3)=±4,即x N =1或-7. 3.如图,向量a -b 等于( )A .-4e 1-2e 2B .-2e 1-4e 2C .e 1-3e 2D .3e 1-e 2解析:选C.不妨令a =CA →,b =CB →,则a -b =CA →-CB →=BA →, 由平行四边形法则可知 BA →=e 1-3e 2.4.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为边BC 的中点,且2OA →+OB →+OC →=0,则( ) A.AO →=OD → B.AO →=2OD → C.AO →=3OD →D.2AO →=OD →解析:选A.因为在△ABC 中,D 为边BC 的中点,所以OB →+OC →=2OD →,所以2(OA →+OD →)=0,即OA →+OD →=0,从而AO →=OD →.5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP →=23CA →+13CB →,又AP →=tAB →,则t 的值为( )A.13B.23C.12D.53解析:选A.因为AP →=tAB →,所以CP →-CA →=t (CB →-CA →), CP →=(1-t )CA →+tCB →.又CP →=23CA →+13CB →且CA →与CB →不共线,所以t =13.6.如图,在平行四边形ABCD 中,点O 为AC 的中点,点N 为OB 的中点,设AB →=a ,AD →=b ,若用a ,b 表示向量AN →,则AN →=________.解析:以AB →=a ,AD →=b 作为以A 点为公共起点的一组基底,则AN →=AD →+DN →=AD →+34DB →=AD →+34(AB →-AD →)=14AD →+34AB →=34a +14b . 答案:34a +14b7.若向量a =4e 1+2e 2 与b =k e 1+e 2 共线,其中e 1,e 2 是同一平面内两个不共线的向量,则k 的值为________.解析:因为向量a 与b 共线, 所以存在实数λ,使得b =λa , 即k e 1+e 2=λ(4e 1+2e 2)=4λe 1+2λe 2.因为e 1,e 2 是同一平面内两个不共线的向量,所以⎩⎪⎨⎪⎧k =4λ,1=2λ,所以k =2.答案:28.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC ,若DE →=λ1AB →+λ2AC→(λ1,λ2 为实数),则λ1+λ2 的值为________.解析:如图,由题意知,D 为AB 的中点,BE →=23BC →,所以DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC → =12AB →+23(AC →-AB →)=-16AB →+23AC →,所以λ1=-16,λ2=23, 所以λ1+λ2=-16+23=12.答案:129.如图,平行四边形ABCD 中,AB →=a ,AD →=b ,H ,M 分别是AD ,DC 的中点,BF =13BC ,以a ,b 为基底表示向量AM →与HF →.解:在平行四边形ABCD 中,AB →=a ,AD →=b ,H ,M 分别是AD ,DC 的中点,BF =13BC ,所以AM →=AD →+DM →=AD →+12DC →=AD →+12AB →=b +12a ,HF →=AF →-AH →=AB →+BF →-12AD →=a +13b -12b =a -16b .10.如图,在矩形OACB 中,E 和F 分别是边AC 和BC 上的点,满足AC =3AE ,BC =3BF ,若OC →=λOE →+μOF →,其中λ,μ∈R ,求λ,μ的值.解:在矩形OACB 中,OC →=OA →+OB →, 又OC →=λOE →+μOF → =λ(OA →+AE →)+μ(OB →+BF →)=λ⎝⎛⎭⎫OA →+13OB →+μ⎝⎛⎭⎫OB →+13OA → =3λ+μ3OA →+3μ+λ3OB →,所以3λ+μ3=1,3μ+λ3=1,所以λ=μ=34.[B 能力提升]11.如果e 1,e 2是同一平面α内的两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1+μe 2(λ,μ∈R )可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内的任一向量a ,使a =λe 1+μe 2的实数λ,μ有无穷多对;③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1+μ1e 2=λ(λ2e 1+μ2e 2);④{e 1,e 1+e 2}可以作为该平面的一组基底. A .①② B .②③ C .③④D .②④解析:选B.由平面向量基本定理可知①是正确的.对于②,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么平面内任意一个向量在此基底下的分解式是唯一的,故②不正确.对于③,当λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2均为零向量,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,符合题意的λ有无数个,故③不正确.对于④,假设e 1+e 2=λe 1,则e 2=(λ-1)e 1.又e 1,e 2不共线,故假设不成立,即e 1+e 2与e 1不共线,即{e 1,e 1+e 2}可以作为该平面的一组基底,④正确.12.已知O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|(λ∈[0,+∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心D .垂心解析:选B.AB →|AB →|为AB →上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|+AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向.又λ∈[0,+∞),所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|+AC →|AC →|的方向相同. 而OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|, 所以点P 在AD →上移动,所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.13.如图,在平面内有三个向量OA →,OB →,OC →,|OA →|=|OB →|=1,直线OA 与OB 所成钝角为120°,直线OC 与OA 的夹角为30°,|OC →|=53,设OC →=mOA →+nOB →(m ,n ∈R ),则m +n =________.解析:作以OC 为一条对角线的平行四边形OPCQ ,如图, 则∠COQ =∠OCP =90°,在Rt △QOC 中,2OQ =QC ,|OC →|=5 3.则|OQ →|=5,|QC →|=10,所以|OP →|=10,又|OA →|=|OB →|=1,所以OP →=10OA →,OQ →=5OB →,所以OC →=OP →+OQ →=10OA →+5OB →,所以m +n =10+5=15.答案:1514.设e 1,e 2 是不共线的非零向量,且a =e 1-2e 2,b =e 1+3e 2. (1)证明:a ,b 可以作为一组基底;(2)以a ,b 为基底,求向量c =3e 1-e 2 的分解式.解:(1)证明:若a ,b 共线,则存在λ∈R ,使a =λb ,则e 1-2e 2=λ(e 1+3e 2).由e 1,e 2 不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=1,3λ=-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ=1,λ=-23,所以λ不存在,故a 与b 不共线,可以作为一组基底.(2)设c =m a +n b (m ,n ∈R ), 则3e 1-e 2=m (e 1-2e 2)+n (e 1+3e 2) =(m +n )e 1+(-2m +3n )e 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧m +n =3,-2m +3n =-1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =1,所以c =2a +b .[C 拓展探究]15.若点M 是△ABC 所在平面内一点,且满足AM →=34AB →+14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比.(2)若N 为AB 中点,AM 与CN 相交于点O ,设BO →=xBM →+yBN →,求x ,y 的值. 解:(1)如图,由AM →=34AB →+14AC →可知M ,B ,C 三点共线,令BM →=λBC → ⇒AM →=AB →+BM →=AB →+λBC →=AB →+λ(AC →-AB →)=(1-λ)· AB →+λAC →⇒λ=14,所以S △ABM S △ABC =14,即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4.(2)由BO →=xBM →+yBN →⇒BO →=xBM →+y 2BA →,BO →=x 4BC →+yBN →,由O ,M ,A 三点共线及O ,N ,C 三点共线⇒⎩⎨⎧x +y 2=1,x 4+y =1⇒⎩⎨⎧x =47,y =67.。
(新教材)2021高中人教B版数学必修第二册课件:6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
坐标为 ( )
A.- 1 e
3
B. 1 e
3
C.- 1
D. 1
3
3
3.如图所示,写出直线上向量a,b的坐标.
【解题策略】 求直线上向量的坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
类型二 直线上向量的坐标运算(数学运算)
【题组训练】
1.已知直线上向量a,b的坐标分别为3,-4,求下列向量的坐标.
2
A.1
B.-1
C.0
D.4
【解析】选B.因为向量a,b的坐标分别为-2,2,所以向量a+ 1 b的坐标为
2
-2+ 1 ×2=-1.
2
3.(教材二次开发:练习改编)已知数轴上两点A,B的坐标分别为-5,4,则A与B的 距离为 ( ) A.1 B.-1 C.9 D.-9 【解析】选C.AB=|4-(-5)|=9.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)数轴上点A对应的数为-3,则向量 OA 的坐标为3. ( ) (2)数轴上点A对应的数为-3,则向量| OA|=3. ( ) (3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. ( ) (4)两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差. ( ) 提示:(1)×.数轴上点A对应的数为-3,则向量 OA的坐标为-3. (2)√.(3)√.(4)√.
课堂检测·素养达标
1.若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=- 2 e,则 ( )
3
A.向量a的坐标为 2
3
B.向量a的坐标为 2 e
3
C.向量a的坐标为- 2
3
D.向量a的坐标为- 2 e
高中数学人教B版 必修第二册 直线上向量的坐标及其运算 课件1
(2)5a- 1b的坐标为5×3- ×1(-4)=17.
2
2
【类题·通】 直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题,解题时要特别注意符号,以 防出错.
【习练·破】
若e是直线l上的一个单位向量,向量a= 1 e,b=- 1 e是这 32
条直线上的向量,则|a+2b|=________.
【解析】由题意,向量a,b的坐标分别为
(1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
类型二 直线上向量的坐标运算
【典例】已知直线上向量a,b的坐标分别为3,-4,求下列向量的坐标.
(1)2a+b.
1 (2)5a- 2 b.
【思维·引】利用直线上向量坐标运算的法则解决.
【解析】(1)2a+b的坐标为2×3+(-4)=2.
(3)设A(x1),B(x2)是数轴上的两点,M(x)是线段AB的中
点,则AB=|x2-x1|,x= x1 x2 . 2
类型一 求直线上向量的坐标
【典例】1.若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a,b的坐标分别为x,y,下列
说法错误的是( )
A.|a|=x
B.b=ye
C.a+b的坐标为x+y D.|e|=1
【解析】因为 AB OB OA,所以 AB的坐标为-3-2=-5,
故AB=|AB |=5,线段AB的中点坐标为
2 3 1 .
2
2
【类题·通】 要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式,并清楚它们之间的区别.
【习练·破】
设数轴上两点A,B的坐标分别为-1,4,求向量BA的坐标及A与B的距离.
【思考】 向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗? 提示:能. (1)|a|=|xe|=|x||e|=|x|. (2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a是零向量;当x<0时,a的方向与e的方向 相反.
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课复习(直线上向量的坐标及其运算)
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历:课件/jianli/
课件
课件
手抄报:课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
ux1+vx2
如果 u,v 是两个实数,那么 ua+vb 的坐标为__________,
ux1-vx2
ua-vb 的坐标为__________.
③当x-1<0,即x<1时,-(x-1)<1,
所以-x+1<1,所以x>0,所以0<x<1.
由①②③得0<x<2.
6.2
向量基本定理与向量的坐标
6.2.1
6.2.2
向量基本定理
直线上向量的坐标及其运算
课件
第六章
考点
共线向量基本定理
平面向量基本定理
向量的应用
学习目标
掌握共线向量基本定理
理解平面向量基本定理
(1)|a|=|xe|=|x|;
(2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a=0;当x<0时,a的方
向与e的方向相反.
课前篇自主预习
一
二
二、直线上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)已知两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则
①a+b的坐标为x1+x2;
②ua+vb的坐标为ux1+vx2;
1
2 -1
=
(-1)(+1)
,
当 a=±1 时, =a;
(-1)(+1)
新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件:第六章 6.2.2+6.2.3 直线上向量的坐标及其运算
=
uuur OC
-
uuur OA
,
uuur AC
的坐标
uuur
uuur uuur uuur
uuur
为-4,|
AC
|=4;
CB
=
OB
-
OC
,
uuur CB
的坐标为10,|
CB
|=10.
(2)设点D的坐标为x,则
uuur CD
的坐标为x-(-3)=x+3=4,
∴ x=1,即点D的坐标为1. uuur
(3)设点E的坐标为y,则| BE |=|y-7|=2,∴ y=5或9,即点E的坐标为5或9.
二、平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分 解.在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量 基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj. 这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序 数对 (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),这就是 向量的坐标表示.
向量基本定理高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
3 = 4 + 4,
= 4,
解 由平面向量基本定理,得
解得
= 2.
10- = 2,
重难探究·能力素养全提升
探究点一
向量共线问题
【例1】 已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和
的值.
解
1
∵ke1+e2 与4e1+ke2 共线,∴存在实数
的是( D )
A.{e1-e2,e2-e1}
B.
1
21 -2 ,1 - 2
2
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1-e2}
解析 e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,
不能作为基底.
2.[北师大版教材习题]已知基底{a,b},实数x,y满足:3xa+(10-y)b
(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).( √ )
2.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
解析 由题意知
5
a=- b.
7
5
-7
b.
3.[人教A版教材习题]判断下列各小题中的向量a与b是否共线:
(1)a=-2e,b=2e;
(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2.
解 (1)因为a=-b,所以a与b共线.
使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法
建立方程,从而解方程求得λ的值.
变式训练1[2023广西高一]已知非零向量e1和e2不共线.欲使向量ke1+e2与
人教B版高中数学必修第二册 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算【课件】
[解题通法] 若a,b的坐标分别为x1,x2,则a+b的坐标为x1+ x2,a-b的坐标为x1-x2,λa的坐标为λx1,ma+vb的坐标为ux1+vx2, ua-vb的坐标为ux1-vx2.
知识点三 数轴上两点之间的距离、中点坐标 5.在如图所示的数轴上,A,B 两点的坐标分别为 a,b,则向量A→B 的坐标为( )
解
8.已知数轴上四点 A,B,C,D 的坐标分别为-4,-2,c,d. (1)若向量A→C的坐标为 5,求 c 的值; (2)若 BD=6,求 d 的值.
解 (1)∵向量A→C的坐标为 c-(-4)=5, ∴c=1. (2)BD=|B→D|=|d-(-2)|=6, ∴d=4 或 d=-8.
解
2
PART TWO
A.-3
B.-2
C.4
D.5
解析 |A→B|=|3-(-1)|=4,|P→A|+|P→B|=6,设点 P 的坐标为 xP,
当点 P 在点 A 的左边时,-1-xP+3-xP=6,得 xP=-2;当点 P 在
点 B 的右边时,xP-(-1)+xP-3=6,得 xP=4.综上所述,点 P 的坐标
是-2 或 4.故选 BC.
三、解答题 9.已知 e 是直线 l 上一个单位向量,向量 a,b,c 都是直线 l 上 的向量. (1)a=5e,b=-2e,c=14e,求 a+b+c 的坐标; (2)a=2e,b=53e,c=-3e,求|a+3b+2c|.
解 (1)由 a=5e,b=-2e,c=14e,得 a,b,c 的坐标分别为 5,- 2,14,则 a+b+c 的坐标为 5-2+14=143.
知识点二 直线上向量的坐标运算
3.[多选]已知 e 是直线 l 上的一个单位向量,a 与 b 都是直线 l 上
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课教学课件复习(向量基本定理)
课件 课件
课件
课件
和 e1+ke2
共线?
解:设 ke1+e2 与 e1+ke2 共线, 所以存在 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
因为 e1 与 e2 不共线,所以只能有kλ-kλ-=10=,0,则 k=±1.
栏目 导引
第六章 平面向量初步
用基底表示向量
=a-23b.
第六章 平面向量初步
栏目 导引
第六章 平面向量初步
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点 A,B,对该平面内任一动点 C,总
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课件 课件
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课件 课件
课件 课件
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栏目 导引
第六章 平面向量初步
4.直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量 a,b 的坐标分别为 x1,x2,即
a=x1e,b=x2e,则 a=b⇔__x_1_=__x_2___; a+b=_(_x_1+__x_2_)_e__.
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D→F=D→E+E→F=-16b+13b-a=16b-a. 课件
高中教育数学必修第二册人教B版《6.2-6.2 直线平面向量的坐标及运算》教学课件
3 3
.故a=OA=(
2
∴x0=3cos 120°=-2,y0=3sin 120°=
3
2, 2),b=OB=(-2 ,
3 3
).
2
题型3 平面向量的坐标运算[经典例题]
例3 (1)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC
=(
)
方法一先求C点坐标,再求BC.
A.(-7,-4)
跟踪训练2 在直角坐标系xOy中,向量a,b
的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,分别求出
它们的坐标.
由于向量,的起点在坐标原点,因此只需求出终点A,B的坐标.
Ԧ
解析:设点A(x,y),B(x0,y0),
∵|a|=2,且∠AOx=45°,
∴x=2cos 45°= 2,且y=2sin 45°= 2.又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
(x1+x2,y1+y2)
a+b=______________,
(x1-x2,y1-y2)
a-b=______________,
λa=(λx1,λy1).
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,则AB=OB-OA=(x2,
(x2-x1,y2-y1)
y2)-(x1,y1)=______________.
①2a+b.
1
②5a- b.
2
解析:①2a+b的坐标为2×3+(-4)=2.
1
1
②5a-2b的坐标为5×3-2×(-4)=17.
(3)已知数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,根据下列条件,分别
求点A的坐标x1.
①x2=-5,BA的坐标为-3;
新教材人教b版必修第二册第六章622直线上向量的坐标及其运算课件4
【解析】()因为A→B =x2-x1=5,所以 x1=x2-5=-2. (2)因为|A→B |=|x2-x1|=2,所以 x2-x1=-2 或 2. 所以 x1=x2-(-2)=-3 或 x1=x2-2=-7.
直线上求两个向 直线上两个向量和的坐标 量的和的法则 等于两个向量的_坐__标__的__和__
直线上向量的坐 直线上向量的坐标等于向量
标公式
_终__点__的坐标减去_始__点__的坐标
符号语言
设a=x1e,b=x2e, 则a=b⇔x1=x2
设a=x1e,b=x2e, 则a+b=(x1+x2)e
A(x1),B(x2) A→B 的坐标:x2-x1
2.设数轴上两点 A,B 的坐标分别为-1,3,求: (1)向量A→B 的坐标,以及 A 与 B 的距离; (2)线段 AB 中点的坐标. 【解析】(1)因为 A,B 的坐标分别为-1,3,所以A→B 的坐标为 3-(-1)=4, AB=|A→B |=4,即 A,B 两点之间的距离为 4.
-1+3 (2)设线段 AB 中点的坐标为 x,则 x= 2 =1,即线段 AB 中点的坐标为 1.
核心互动探究
探究点一 直线上向量的坐标 【典例 1】已知在数轴上点 A,B,C 的坐标分别为 1,7,-3. (1)求B→A ,A→C ,C→B 的坐标. (2)若C→D =4,求 D 点的坐标. 【思维导引】解答本题,首先根据点的坐标,由向量终点的坐标减去始点的坐标 求出对应的向量的坐标.
【解析】(1)因为点 A,B,C 的坐标分别为 1,7,-3, 所以B→A 的坐标为:1-7=-6,A→C 的坐标为:-3-1=-4,C→B 的坐标为 7- (-3)=10. (2)设 D 点的坐标为 x,则C→D 的坐标为 x-(-3)=x+3=4, 解得 x=1,即 D 点的坐标为 1.
直线上向量的坐标及其运算高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
1 +2
x= 2
.
名师点睛
因为数轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量始点的坐标,所以对
于任意两个相等向量,它们的方向相同且长度相等,因此终点坐标与始点坐
标的差也一定相同,故它们的坐标相同.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)点A的坐标;
(2)线段AB的中点C的坐标.
解 (1)设 O 为坐标原点,由题意知,的坐标为-2.
又 = − ,且的坐标为 4,所以的坐标为-6,即 A(-6).
(2)由(1)知,A(-6),B(-2),所以中点 C
-6+(-2)
的坐标为
=-4,即
2
C(-4).
规律方法
(1)数轴上点A的坐标为-3,O为坐标原点,则向量 的坐标为3.( × )
(2)数轴上点A的坐标为-3,O为坐标原点,则向量 ||=3.( √ )
(3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.( √ )
2.已知数轴上两点A,B的坐标分别为4,-4,求:
(1)向量 的坐标,A,B之间的距离;
8
8
的两侧,且| |= ,所以| |=8+
3
3
=
32
.
3
5.[探究点一]已知a的坐标为-1,b的坐标为5,求下列向量的坐标:
1
(1)a-b;(2) b+a;(3)-2a+3b;(4)3a-2b.
4
解 (1)根据数轴上向量的坐标运算,可得a-b的坐标为-1-5=-6.
1
1
1
(2)根据数轴上向量的坐标运算,可得 4 b+a的坐标为 4 ×5-1= 4 .
【新教材】数学人教B版必修第二册教学案:6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算学习目标课标要求素养要求1.理解直线上向量的坐标的定义.2.掌握直线上向量的运算与坐标的关系.3.会求数轴上两点之间的距离及中点坐标.通过对直线上向量的坐标定义的理解,提升学生的数学抽象、直观想象素养;通过直线上向量坐标的运算,提升学生的数学运算素养.自主预习1.如图,已知向量a 长度为1.(1)那么向量a 与向量b 和c 是什么关系? (2)向量b 和c 用a 怎么表示? 2.数轴是怎样定义的?3.画一条数轴,在轴上作出两个坐标相反的点. 我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1 点A ,B 的坐标分别是什么?问题2 向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度分别是多少? 问题3 如果向量e 是与轴方向相同的单位向量,如何用e 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ? 问题4 如果点A (x 1),B (x 2),又怎么办呢?课堂探究一、直线上向量的坐标的定义给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量e ,一定存在唯一的实数x ,使得a=xe ,此时, 称为向量a 的坐标.如果直线上向量a 的坐标为x ,此时|a|=|xe|=|x||e|=|x|; 当x>0时,a 的方向与e 的方向 ; 当x=0时,a 为 ;当x<0时,a 的方向与e 的方向 . 题型一 直线上的向量坐标例1 已知e 是直线l 上的一个单位向量,向量a 与b 都是直线l 上的向量,分别在下列条件下写出a 与b 的坐标: (1)a=2e ,b=-3e ;(2)a=-13e ,b=4e. 训练1 如图所示,求出向量a ,b 的坐标.思考:如何得出直线上向量的坐标呢?二、直线上向量的运算与坐标的关系 我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标是多少? 问题2 如果A (x 1),B (x 2)又怎么办呢?问题3 以小组为单位总结如下问题,若a ,b 的坐标分别为x 1,x 2,则a+b 的坐标为 ; a-b 的坐标为 ; λa 的坐标为 ; ua+vb 的坐标为 ; ua-vb 的坐标为 .学生总结:(1)假设直线上两个向量a ,b 的坐标分别为x 1,x 2,当a=b 时, ;反之,结论也成立.(2)a+b 的坐标是 ,a-b 的坐标是 ,ua+vb 的坐标是 ,ua-vb 的坐标是 . 题型二 直线上向量坐标的线性运算例2 已知直线上向量a 的坐标为-3,b 的坐标为4,求下列向量的坐标: (1)a-b ;(2)15b ;(3)-2a+3b.我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的坐标分别是多少? 问题2 如果点A (x 1),B (x 2),又怎么办呢? 问题3 与两者顺序有关吗?如果已知数轴上点A (x 1),B (x 2),则以两点为端点的向量的坐标如何表示?. 训练2 已知A ,B 都是数轴上的点,A (-3),且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-5,求点B 的坐标.三、数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的长度分别是多少? 问题2 AB 的中点坐标是多少?问题3 如果点A (x 1),B (x 2),又怎么办呢?学生总结数轴上两点之间的距离公式与数轴上的中点坐标公式. 设A (x 1),B (x 2)是数轴上两点,M (x )是线段AB 的中点,则AB=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .x= . 题型三 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式例3 已知A ,B ,C 为数轴上三点,且x A =-2,x B =6,试求符合下列条件的点C 的坐标. (1)AC=10;(2)|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.训练3 设数轴上两点A ,B 的坐标分别为2,-6,求:(1)向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标以及点A 与B 的距离; (2)线段AB 中点的坐标.课堂练习1.已知直线上OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标分别为-1,2,则下列结论不正确的是()A.OA⃗⃗⃗⃗⃗ <OB⃗⃗⃗⃗⃗B.|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |<|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |C.|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3D.AB的中点坐标为122.数轴上的向量a的模为1,则a的坐标为()A.1B.-1C.±1D.不能确定3.数轴上点A(-3)关于点M(2)的对称点为B(x),则x=.4.已知a,b是直线上的向量,a的坐标为1,且|3a-2b|=1,求b的坐标.核心素养专练基础达标1.已知a,b是直线上的向量,满足|a-b|=1的是()A.a,b的坐标分别为-1,+1B.a,b的坐标分别为0,2C.a,b的坐标分别为-1,0D.a,b的坐标分别为-2,02.已知a,b是数轴上的向量,且满足|a+b|=|a|+|b|,下列叙述正确的是()A.a,b都与数轴正方向相同B.a,b都与数轴正方向相反C.a,b中一个与数轴正方向相同,另一个与数轴正方向相反D.a,b都与数轴的正方向相同或相反,或者a,b中至少有一个为零向量3.数轴上,点A(-2)关于原点O的对称点是点B(x),点O与点C(y)的中点是B.则y=.4.如图所示,求出直线上向量a,b的坐标.5.设数轴上两点A,B的坐标分别为-1,3,求:⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标以及点A与B的距离;(1)向量AB(2)线段AB中点的坐标.能力提升6.已知a,b是直线上的向量,满足2a+3b=e的一组向量a,b的坐标分别为.(答案不唯一)创新猜想7.(多选题)已知a,b是同一直线上的向量,下列选项中一定不成立的是()A.||a|-|b||<|a+b|B.||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|=|a-b|D.|a|+|b|=|a+b|参考答案自主预习课堂探究x 零向量 相反例1 解:(1)∵e 的坐标为1,又a=2e ,b=-3e ,∴a 的坐标为2,b 的坐标为-3.(2)∵e 的坐标为1,又a=-13e ,b=4e ,∴a 的坐标为-13,b 的坐标为4. 训练1 解:因为向量a 的起点在原点,因此由a 的终点坐标可知a 的坐标为-1;把向量b 的起点平移到原点,则其终点坐标为2,故b 的坐标为2.思考:略 二、略例2 解:(1)a-b 的坐标为-3-4=-7. (2)15b 的坐标为15×4=45.(3)-2a+3b 的坐标为(-2)×(-3)+3×4=18. 问题略训练2 解:设点B (x ),则x-(-3)=-5,∴x=-8. 三、略例3 解:(1)∵AC=10,∴|x C -x A |=10,∴x C =x A ±10,∴x C =-12或8.(2)∵|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|x C -x A |=3|x C -x B |, 即|x C +2|=3|x C -6|,∴x C +2=3(x C -6)或x C +2=-3(x C -6),∴x C =10或4.训练3 解:(1)由题意得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为2,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-6,又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-6-2=-8,而且AB=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-8|=8. (2)设线段AB 中点的坐标为x ,则x=2+(-6)2=-2. 课堂练习.2.解析:设a 的坐标为x ,∵|a|=1,∴|x e|=|x||e|=|x|=1,∴x=±1. 答案:C3.解析:由题意知M 是AB 的中点,∴2=-3+x2,x=7. 答案:74.解:设b 的坐标为x ,则|3×1-2x|=1,即3-2x=±1,∴x=1或x=2,即向量b 的坐标为1或2. 核心素养专练.,易知C 正确. 答案:C2.解析:设a ,b 的坐标分别为x ,y ,则|x+y|=|x|+|y|,所以x ,y 同号或至少有一个为零,故选D . 答案:D3.解析:由题意知0=-2+x2,∴x=2, x=2=0+y2,∴y=4. 答案:44.解:因为a 的始点在原点,因此由a 的终点坐标可知a 的坐标为2. 因为b=-4e ,所以b 的坐标为-4.5.解:(1)向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为3-(-1)=4, AB=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=4. (2)线段AB 的中点坐标为-1+32=1.6.解析:设a ,b 的坐标分别为x ,y ,则2x+3y=1,令x=12,则y=0. 答案:12,0(答案不唯一)7.解析:∵a 与b 共线,∴A ,B 一定不成立;对C ,当b=0时成立;对D ,当a ,b 同方向或a ,b 有一个为0时成立. 答案:AB课程标准数学学科核心素养 1.理解直线上向量的坐标的概念,会求直线上向量的坐标;(教学重点)2.理解直线上向量坐标的运算,会求直线上向量的加、减、数乘的坐标运算;3.会用数轴上两点间的距离公式和中点坐标公式解决实际问题.(教学难点)1.通过本节例1、例2的学习提升数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养;2.通过本节例3的学习培养学生的创新意识和应用意识.自主预习一、直线上向量的坐标1.给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量e ,由共线向量基本定理可知,对于直线l 上的任意一个向量a ,一定存在唯一的实数x ,使得 ,此时,x 称为向量a 的坐标.2.怎样理解a=xe ?提示:x 既能刻画向量a 的模,也能刻画a 的方向. (1)|a|= = ;(2)当x>0时,a 的方向与e 的方向 ; 当x=0时,a= ;当x<0时,a 的方向与e 的方向 . 二、直线上向量的运算与坐标的关系 1.已知两个向量a ,b 的坐标分别为x 1,x 2,则 (1)a+b 的坐标为 ; (2)ua+vb 的坐标为 ; (3)ua-vb 的坐标为 .小试牛刀:已知直线上a 的坐标为-2,b 的坐标为5,求下列向量的坐标: (1)a+b ;(2)15b ;(3)-2a-3b. 2.数轴上两点间的距离公式: 设点A (x 1),B (x 2),则|AB|= . 3.中点坐标公式:设M (x )是线段AB 的中点,则x= .小试牛刀:已知数轴上A ,B 两点的坐标分别为3,-7,求: (1)向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标及A ,B 两点之间的距离; (2)线段AB 中点的坐标.课堂探究探究一、概念的辨析问题例1 下列命题正确的个数为( ) (1)向量的长度大于0;(2)数轴上离原点越远的点表示的数越大;(3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ .A.0B.1C.2D.3变式训练1 以下结论错误的为( ) A.0在数轴上表示的点是原点B.一千万分之一在数轴上的对应的点是不存在的C.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴D.在数轴上表示2和-2的点到原点的距离相等 探究二、直线上向量基本公式的应用例2 已知数轴上有A ,B 两点,A ,B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3. (1)求向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (2)求所有满足条件的点B 到原点O 的距离之和.变式训练2 (1)已知数轴上三点A ,B ,C 的坐标分别是4,-2,-6.求:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标长度. (2)已知A ,B ,C 是数轴上任意三点.①若点A (4),B (-2),求AB 中点的坐标;②若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为4,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是2,求|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.探究三、直线上向量坐标运算的实际应用 例3 在平面直角坐标系中,已知点A (3,2),B (1,0),C (-2,0),试在x 轴上确定点D 的坐标,使S ΔABC =12S ΔABD .变式训练3 解关于x 的方程:|x-2|+|x-3|=1.课堂小结1.构建思维脉络;2.画知识网络图;3.掌握两种数学思想.课堂练习1.已知数轴上A ,B 两点的坐标分别为3,-6,则|AB|=( ) A.3 B.6C.9D.42.在数轴上,与点M (-1)的距离是4的点的坐标为 .3.在数轴上求一点P ,使它到点A (-8)的距离是它到点B (-4)的距离的2倍.4.已知|x-1|<1,求实数x 的取值范围.作业:P 160练习A ,B核心素养专练1.已知向量a ,b 在同一条直线上,|a|=2|b|,若b 的坐标为2,则a 的坐标为( ) A.4 B.-4 C.2或-2 D .4或-42.已知数轴上两点A ,B 的坐标分别为a ,b ,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为( )A.a-bB.b-aC.-a-bD.a+b3.已知数轴上两点A ,B 的坐标分别为-1和3,若P 为数轴上一点,且|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,则点P 的坐标为( ) A.-3 B.-3或5 C.-2 D.-2或44.已知直线上向量a 的坐标为m ,若b=-a ,则向量b 的坐标为( ) A.mB.-mC.0D.m 或-m5.已知数轴上两点M ,N ,且|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,x M =-3,则x N =( ) A.1 B.2 C.-7 D.1或-76.已知直线上向量a 的坐标为-2,b 的坐标为5,则|2a+b|=( ) A.1 B.2C.3D.47.如图,数轴上四点O ,A ,B ,C ,其中O 为原点,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若点C 的坐标为a ,则点B 的坐标为 ( )A.-a-2B.2-aC.a-2D.a+28.数轴上点A ,B 的坐标分别为-4,2,点C 是线段AB 的中点,则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 . 9.已知直线上向量a 的坐标为-32,b 的坐标为1,c 的坐标为-23,则|2a+3b-6c|= . 10.已知数轴上两点A ,B 的坐标分别为x 1,x 2,求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标及A ,B 两点间的距离. (1)x 1=2,x 2=-5.3; (2)x 1=10,x 2=20.5.11.直线上向量a 的坐标为5,b 的坐标为-13,求下列向量的坐标:(1)-3b ;(2)a-b ;(3)2a+3b ;(4)-a-6b.12.数轴上点A ,B ,C 的坐标分别为4,-6,x ,线段AB 的中点为D. (1)求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标及点A ,B 的距离; (2)求点D 的坐标;(3)若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,求x 的值.参考答案自主预习课堂探究变式训练1]B[例2]解:(1)因为点A 与原点O 的距离为3,所以点A 的坐标为A (3)或A (-3).①当A (3)时,A ,B 之间的距离为1.∴B (2)或B (4),这时OA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-1或1;②当A (-3)时,∵A ,B 之间的距离为1,∴B (-4)或B (-2),此时OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-3,AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-1或1.(2)满足所有条件的点B 到原点O 的距离之和为2+4+4+2=12. [变式训练2](1)解:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-4=-6;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6-(-2)=-4;CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4-(-6)=10. (2)解:①AB 中点的坐标为4+(-2)2=1; ②因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4-2=2,所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.[例3]解:由题意知△ABC与△ABD有共同的高h=2,所以使SΔABC=12SΔABD,只要|BC|=12|BD|.设D(x D,0),则|1-(-2)|=12|1-x D|.解得x D=-5或7.所以点D的坐标为(-5,0)或(7,0).[变式训练3]解:方法一分类讨论思想(1)当x<2时,原方程等价于-x+2-x+3=1,即2x=4,所以x=2,不满足x<2,故舍去;(2)当2≤x≤3时,原方程等价于x-2-x+3=1,即1=1,恒成立,所以满足2≤x≤3的实数都是方程的根;(3)当x>3时,原方程等价于x-2+x-3=1,即2x=6,所以x=3,不满足x>3,故舍去;综上,满足2≤x≤3的实数都是方程的根.方法二数形结合的思想方程中的x表示数轴上与2和3的距离之和为1的点,而数轴上2与3的距离恰恰为1,结合数轴可知满足2≤x≤3的实数都是方程的根.课堂练习.2.3或-53.解:设点P的坐标为P(x),则d(P,A)=2d(P,B),即|x+8|=2|x+4|,即|x+8|=|2x+8|,即x+8=±(2x+8).解得x=0或-163.所以P的坐标为P(0)或P(-163).4.0<x<2.核心素养专练...4.B5.D6.A7.B8.39.410.解:(1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ =x2-x1=-5.3-2=-7.3,BA⃗⃗⃗⃗⃗ =x1-x2=2-(-5.3)=7.3,|AB|=7.3.(2)AB⃗⃗⃗⃗⃗ =x2-x1=20.5-10=10.5,BA⃗⃗⃗⃗⃗ =x1-x2=10-(20.5)=-10.5,|AB|=10.5.11.解:(1)1;(2)163;(3)9;(4)-3.12.解:(1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-6-4=-10,|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=10.(2)D(-1);(3)∵|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|x-4|=8,∴x=12或-4.。