《弹性力学》试题(重学考试试卷--参考答案)
《弹性力学》复习 学习材料 试题与参考答案
《弹性力学》
复习学习材料试题与参考答案
一、单选题
1.利用有限单元法求解弹性力学问题时，不包括哪个步骤（D）
A.结构离散化
B.单元分析
C.整体分析
D.应力分析
2.如果必须在弹性体上挖空，那么孔的形状应尽可能采用（C）
A.正方形
B.菱形
C.圆形
D.椭圆形
3.每个单元的位移一般总是包含着（B）部分
A.一
B.二
C.三
D.四
4.在弹性力学中规定，线应变（C），与正应力的正负号规定相适应。
A.伸长时为负，缩短时为负
B.伸长时为正，缩短时为正
C.伸长时为正，缩短时为负
D.伸长时为负，缩短时为正
5.在弹性力学中规定，切应变以直角( C )，与切应力的正负号规定相适应。
A.变小时为正，变大时为正
B.变小时为负，变大时为负
C.变小时为负，变大时为正
D.变小时为正，变大时为负
6.物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为(C )
A应变B应力C变形D切变力
7.平面问题分为平面（A）问题和平面( )问题。
A应力，应变B切变、应力C内力、应变D外力，内力
8.在弹性力学里分析问题，要建立( C )套方程。
A一B二C三D四
9.下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（C）
A.由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移
B.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移
C.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量
D.几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系
10.用应力分量表示的相容方程等价于（B）
A.平衡微分方程
B.几何方程和物理方程
C.用应变分量表示的相容方程
(完整版)《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于
M dxdy D
=⎰⎰
2ϕ杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准
ϕ点）到任一点外力的矩 。5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。
0,=+i j ij X σ)(2
1,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
ϕ题二（2）图
（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩
⎨⎧=+++= )(),(),(3
3223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊
《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中，
M
dxdy D
=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩
M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力
的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
0,=+i j ij X σ ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图
（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=
)(),(),(3
3223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x
3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D
=⎰⎰
2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆
截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
0,=+i j ij X σ ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图
（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=
)(),(),(3
3
223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题(每小题4分)
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程, 应力边界条件。
2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件) 。
3．等截面直杆扭转问题中，的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M.
4．平面问题的应力函数解法中,Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点(基准点)到任一点外力的矩。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
，。
二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩
相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
题二（2）图
(a）（b）
3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图,材料的弹性模量E、泊松比 已知.试求薄板面积的改变量.
题二（3）图
设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为。由得，
设板在力P作用下的面积改变为，由功的互等定理有：
将代入得：
显然，与板的形状无关，仅与E、、l有关。
4．图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P.试写出其边界条件（除固定端外）。
《弹性力学》试题(重学考试试卷--参考答案)
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……………………………… 装 ……………………………… 订 ………………………………… 线 ………………………………
课程________________________班级________________________姓名__________________________学号________________________
7
89
j
m
i
（a）
（b）
题八图
解：
因结构关于沿编码 2、5、8 的轴线对称，故可取左半部分进行分析，见下图所示。
根据静力等效，结构在结点 2 处受向下的集中荷载 F2＝－ql/2×2＝－ql，水平方向无荷载作用，因此，结点 2 处的等效荷载列阵可表示为：
FL2
FL 2 x
FL
2
y
或
课程________________________班级________________________姓名__________________________学号________________________ ……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………
（在各个方向上相同）。
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……………………………… 装 ……………………………… 订 ………………………………… 线 ………………………………
弹性力学历年真题答案解析
弹性力学历年真题答案解析
引言：弹性力学是研究物体在外力作用下发生弹性变形的力学分支，广泛应用于工程建筑、航空航天、材料科学等领域。历年弹性力学的考题涉及的内容非常广泛，要求考生具备扎实的理论基础和解决实际问题的能力。本文将对历年真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解弹性力学的核心概念和解题方法。
一、真题题目1
题目：一个长为L、截面为矩形的梁，其宽度为b，高度为h，悬臂端受到均匀分布的受力Q。根据弹性力学理论，求解悬臂端的最大弯矩和最大剪力。
解析：首先，我们需要根据梁的几何形状和受力情况，得出相应的受力分布图。根据弹性力学中的梁弯曲方程，可以得到悬臂端最大弯矩的表达式为Mmax = QL/2。在这个过程中，我们需要使用到弹性力学的基本公式和受力分析方法。
接下来，我们来计算最大剪力。根据弹性力学中的梁剪力方程，可以得到悬臂端最大剪力的表达式为Vmax = Q/2。这个表达式说明了悬臂端的最大剪力与受力的大小直接相关。
综上所述，解决这个问题需要运用弹性力学的基本理论和公式，根据几何形状和受力情况进行受力分析，从而得出最终的答案。这种方法不仅适用于悬臂梁，也可以推广到其他不同形状和受力条件下的梁体。
二、真题题目2
题目：一根长度为L的无限长梁在两端被施加一个力P，求梁体中任意一点A处的变形和应变值。
解析：这个问题涉及到弹性力学中的梁的变形和应变的计算。根据梁的变形理论，可以得到任意一点A处的变形值为δ = Px^2 /
(6EI)。其中P为施加在两端的力，x为点A到梁的一端的距离，E为
梁的弹性模量，I为梁的截面转动惯量。
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料
一、简答题
1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？
答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料
一、简答题
√1．试写出弹性力学平面问题的基本方程.它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时.应注意些什么问题？
答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx .因此.决定应力分量的问题是超静定的.还必须考虑形变和位移.才能解决问题。
√平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时.形变量即完全确定。反之.当形变分量完全确定时.位移分量却不能完全确定。
√平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
√2．按照边界条件的不同.弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同.弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的.也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中.物体在全部边界上所受的面力是已知的.即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中.物体的一部分边界具有已知位移.因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
√3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定.它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正.沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正.沿坐标轴正方向为负。
弹性力学试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料
一、简答题
√1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？
答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
√平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
√平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
√2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
√3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？
答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：?
x 、?
y、
?
z
、?
xy
、?
yz、
、?
zx
。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，
=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，
=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
弹性力学试题及答案讲解
弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 _
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，
是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量, 也就是正应力和切应力。应力及其分量的量
纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性_________
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量匚x =100 MPa，二y =50 MPa，X^1O 50 MPa，则主应力G = 150MPa，
35 16 。
~2 = 0MPa，-冷=
&已知一点处的应力分量，二x=200 MPa,二y=0MPa ,“*400 MPa，则主应力G = 512 MPa，二2 =-312 MPa，： 1 = -37° 57'。
9、已知一点处的应力分量，；「x=：-2000MPa，匚y =1000 MPa, xy*400 MPa，则主应力匚尸1052
MPa，匚2二-2052 MPa ,：计-82° 32'。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界________________
弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案
题目一：弹性力学基础知识
试题：
1. 弹性力学是研究什么样的物体的变形与应力关系？
答案：弹性力学是研究具有弹性的物体（即能够恢复原状的物体）的变形与应力关系的学科。
2. 弹性力学中的“应力”是指什么？
答案：应力是物体内部相邻两部分之间的相互作用力与其接触面积之比。
3. 弹性力学中的“应变”是指什么？
答案：应变是物体在受力作用下发生形变的程度。正应变表示物体在拉伸力作用下的伸长程度与原始长度之比，负应变表示物体在压缩力作用下的压缩程度与原始长度之比。
4. 弹性力学中的“胡克定律”是什么？
答案：胡克定律描述了弹簧的弹性特性。根据胡克定律，当弹簧的变形量（即伸长或缩短的长度）与施加在弹簧上的力成正比时，弹簧的弹性变形是符合弹性恢复原状的规律的。
题目二：弹性系数计算
试题：
1. 弹性模量是用来衡量什么的物理量？
答案：弹性模量是衡量物体在受力作用下发生弹性形变的硬度和刚
度的物理量。
2. 如何计算刚体材料的弹性模量？
答案：刚体材料的弹性模量可以通过应力与应变之间的关系来计算。弹性模量E等于应力σ与应变ε之比。
3. 如何计算各向同性材料的体积弹性模量（Poisson比）？
答案：各向同性材料的体积弹性模量（Poisson比）可以通过材料的横向应变与纵向应变之比来计算。Poisson比v等于横向应变ε横与纵
向应变ε纵之比。
4. 如何计算材料的剪切弹性模量？
答案：材料的剪切弹性模量G（也称剪切模量或切变模量）可以通
过材料的剪应力与剪应变之比来计算。
题目三：弹性体的应力分析
试题：
1. 弹性体的应力状态可以用什么来表示？
弹性力学复习题及参考答案
加，如 x 其方向余弦应用 l11 l21 ， xy 其方向余弦应用 l11 l22 l12 l21 。其余类推。另由于剪应力互等 定理所以在 表达中， 往往用 2 倍表示。 5、求边界上的应力函数及其导数，域内的应力函数及应力分量。 解：各边分析后，得出域内，根据边界条件求。 6、已知应力分量试求出常数。 解：代入平衡方程或连续条件。 7、 下列应力分量能否作为弹性力学问题的解？ 解：类似题 3，代入平衡方程，连续方程，边界条件。
3、任意形状的等厚度薄板，已知有应力分量，问能否作为该问题的解？ 解：将已知应力分量代入平衡微分方程，连续方程，以及边界条件验证： 1） 平衡微分方程：
x xy X 0 Biblioteka Baidu xy y Y 0 ； x y x y
2） 连续方程： 2 ( x y ) 0, or 0 ； 3） 边界条件： X x cos xy sin ， Y xy cos y sin . 4、已知一坐标系中的六个分量，试求其在另一个坐标中的应力分量。 解： （用表格法解。 ）
E 1 2
1
1 E . 2(1 )
G G1 G
平面应力有近似，因为物体（板）总有厚度，所以假设 z zx zy 有近 似性。 15、利用应力函数求解问题时，必须满足哪些条件？ 答：变形连续函数，边界条件。 16、利用应力函数方法求解平面问题时，采用不同的起点得到的 是否相同？为 什么？ 答：起点不同，得到的不同，只差常数项，线性项，所得的应力相同，因解的唯一性。 二、 计算题
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D
=⎰⎰
2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆
截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
0,=+i j ij X σ ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显着的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图
（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩
⎨⎧=+++= )(),(),(3
3
223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 ? 已知。试求薄板面积的改变量S ∆。
弹性力学试题及答案
弹性⼒学试题及答案
《弹性⼒学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
⼀、填空题（每⼩题4分）
1．最⼩势能原理等价于弹性⼒学基本⽅程中：平衡微分⽅程，应⼒边界条件。 2．⼀组可能的应⼒分量应满⾜：平衡微分⽅程，相容⽅程（变形协调条件）。 3．等截⾯直杆扭转问题中， M dxdy D
=??
2?的物理意义是杆端截⾯上剪应⼒对转轴的矩等于杆
截⾯的扭矩M 。
4．平⾯问题的应⼒函数解法中，Airy 应⼒函数?在边界上值的物理意义为边界上某⼀点（基准点）到任⼀点外⼒的矩。5．弹性⼒学平衡微分⽅程、⼏何⽅程的量表⽰为：
0,=+i j ij X σ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε。
⼆、简述题（每⼩题6分）
1．试简述⼒学中的圣维南原理，并说明它在弹性⼒学分析中的作⽤。
圣维南原理：如果物体的⼀⼩部分边界上的⾯⼒变换为分布不同但静⼒等效的⾯⼒（主⽮与主矩相同），则近处的应⼒分布将有显著的改变，但远处的应⼒所受影响可以忽略不计。作⽤：（1）将次要边界上复杂的⾯⼒（集中⼒、集中⼒偶等）作分布的⾯⼒代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应⼒边界条件处理。
2．图⽰两楔形体，试分别⽤直⾓坐标和极坐标写出其应⼒函数?的分离变量形式。
题⼆（2）图
（a ）=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）?
=+++= )(),(),(3
3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图⽰矩形弹性薄板，沿对⾓线⽅向作⽤⼀对拉⼒P ，板的⼏何尺⼨如图，材料的弹性模量E 、泊松⽐ µ 已知。试求薄板⾯积的改变量S ?。
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杆系结构（如 桁架、刚架等）；弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 在研究方法方面：理力考虑整体的平衡（只决定整体的 V 运动状态）；材力考虑有限体Δ V 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体 dV 的
平，结果比较精确。
4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为
3、试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究内容、方法等方面的异同。（12 分）
答： 弹力研究方法：在区域 V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界 s 上考虑受 力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。 在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究
（在各个方向上相同）。
2、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？（5 分）
答： 按位移法求解时，u，v 必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。 平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核 u，v 是否正确的条件。
fx
0 ， σ y y
xy x
fy
0 ；用位移分量表示的
ox
应力分量表达式： σ x
E 1 μ2
( u x
μ
v ) y
，σy
E 1 μ2
( v y
μ
u ) ， x
τ xy
E 2(1
μ)
( v x
u ) ） y
l
ρg
解：据题意，设位移 u=0，v=v(y)，按位移进行求解。
所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载 q 的问题。
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响可以不计。
A．几何上等效
B．静力上等效
C．平衡 D．任意
3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同
C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
h/2
h / 2 x
dy
xl
h/2 h/ 2
6ql2 y h3
4qy3 h3
3qy 3h
dy
0
(奇函数)
h/2
h / 2 x
ydy
xl
h/2
h
/
2
6ql2 y h3
4qy3 h3
3qy 3h
ydy
0.5
0
k
0 0
0.5
0
0 0.25 0.25
0 0.25 0.25
0 0.25 0.25
0 0.25 0.25
0 0 0 0.5 0 0.5
0.5 0.25 0.25
0 0.75 0.25
0
0.25
0.25
0.5
解该方程组可得：
Ta 28.53,Tb 25.13
2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用， f x 0, f y g （ρ 为杆件密度，g 为重力加速度），并设 μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14 分）
（平面问题的平衡微分方程： σx x
yx y
（1）将φ
代入相容方程
4Φ x 4
2
4Φ x 2 y
2
4Φ y 4
0 ，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。
O
（2）应力分量的表达式：
x
2 y 2
6qx2 y h3
4qy3 h3
3qy 3h
,
y
y
2 x 2
q 2
4y3 h3
3y h
4Φ x 4
Leabharlann Baidu
2
4Φ x2y 2
4Φ y 4
0 ，请问：相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不
需要将相容方程作为基本方程？为什么？（13 分）
答： （1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为 判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。 （2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。 （3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程 和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。
y
根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方题程七图如下：
E 2u 1 2u 1 2v
1 2 ( x2
2
y2
2
) xy
fx
0,
(a)
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E 2v 1 2v 1 2u
1 2 ( y2
2
x2
2
) xy
fy
0.
(b)
将相关量代入式(a)、(b)，可见(a)
式（第一式）自然满足，而(b)
式第二式成为 2v y 2
g E
可由此解出
v g y2 Ay B.
(c)
2E
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且 (v) y0 0, ( y ) yl 0
ab
22
22 20 17
题六图
(
2 y
f
2
)0
1 h2
( f2
f4
2
f0 )
结合本题中条件和差分法原理，将温度函数 T 代之于公式中的 f，并根据二阶差分公式可对 a、b 处的温度列出方程如下：
4Ta (32 35 22 Tb) 0, 4Tb (Ta 30 20 22) 0。
FL2
FL 2 x
FL
2
y
或
FL 2 x
FL2y T 0ql或 ql
0
按图中单元划分，结点标号的局部编码 i，j，m 与整体编码的对应见下表：
单元号
I
局部编码
i
1
j
5
m
2
II
III
IV
整体编码
5
4
8
1
8
4
4
5
7
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K 44
将(c)代入，可得 B 0， A g l E
反代回(c)，可求得位移：
v g (2ly y2 ) 2E
σ y g(l y)
3、某结构的有限元计算网格如题八图（a）所示。每个单元的直角边长均为 l，单位厚度。网格中两种类型单元按如题八图（b）所示的局部编 号，它们单元劲度矩阵均为
3qy 3h
dy
0
(奇函数)
h/2 x
h/2
题九图
h/2
h / 2 x
ydy
x0
h/2 h / 2
4qy3 h3
3qy 3h
ydy
0
h/2
h / 2
xy
dy 0
x0
在次要边界 x＝l 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
① I 单元的整体编码为 162 ② II 单元的整体编码为 426
③ II 单元的整体编码为 246 ④ III 单元的整体编码为 243
⑤ IV 单元的整体编码为 564
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ③⑤
1
2I 6 II
3 III 4IV 5
二、简答题（四小题，共 35 分） 1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什么？（5 分） 答： 材料的各向同性假定物体的物理性质在各个方向上均相同。因此，物体的弹性常数不随方向而变化。 在弹性力学物理方程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量 E，切变模量 G 和泊松系数（泊松比）μ 都不随方向而改变
3y h
1
yh2
0
xy
yh 2
6qx h3
h2 4
y 2 yh2
0
在次要边界 x＝0 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
h/2
h / 2 x
dy
x0
h/2 h / 2
4qy3 h3
1
xy
2 xy
6qx h3
h2 4
y2
考察边界条件：在主要边界 y＝±h/2 上，应精确满足应力边界条件
y
yh 2
q 2
4y3 h3
3y h
1
yh2
q
y
yh 2
q 2
4y3 h3
4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）
①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；
④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码 ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题 2 分，共 10 分）
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程
B．近似方法
C．边界条件 D．附加假定
2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影
k II mm
k
III ii
k IV jj
0.75 0.25
0.25 0.75
0.5 0
0 0.25
0.25 0
0 0.5
1.5 0.25
0.25 1.5
K15 k I ij k II ji
0 0.25
0 0
0 0
ql 2
h/2
h / 2 xy
dy
xl
h/2 h / 2
6ql h3
h2 4
y2 ql
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左
边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
0.25
0.75
试求：（1）结点 2 的等效荷载列阵FL2。（5 分）
（2）整体劲度矩阵中的子矩阵 K 44 和 K15。（10 分）
1
3i
m
2
j
45
6
7
89
j
m
i
（a）
（b）
题八图
解：
因结构关于沿编码 2、5、8 的轴线对称，故可取左半部分进行分析，见下图所示。
根据静力等效，结构在结点 2 处受向下的集中荷载 F2＝－ql/2×2＝－ql，水平方向无荷载作用，因此，结点 2 处的等效荷载列阵可表示为：
（注：若网格中平行于 x 轴方向上等间距节点顺序为 3、0、1，则结点 0 处、平行于 x 轴方向上的
一阶差分公式为
(
f x
)
0
1 2h
(
f1
f3) ）
解：
由一阶差分公式，可推导出 0 处二阶差分公式：
2 f ( x2
)0
1 h2
(
f1
f3
2 f0)
40 32
24
35 30 25
0.25
0
0 0.25
0.25
0
q
1
2
I
II
4 III 5
7 IV 8
4、设有函数
qx2 4
4
y3 h3
3
y h
1
qy2 5
2
y3 h3
y h
，
ql/2 ql/2
（1）判断该函数可否作为应力函数？（3 分） （2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15 分） 解：
三、计算题（四小题，共 55 分）
1、稳定温度场中的温度场函数 T(x，y)应满足 2T
2T x2
2T y 2
0 ，设图中的矩形域为
6m×4m
，取网格间距为 h=2m，布置网格
如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求温度稳定情况下内结点 a、b 的稳定温度值。（8 分）