九年级数学上册23.1成比例线段1成比例线段基础练习1新版华东师大版20180131142
(新华东师大版)-23.1.1成比例线段(1)成比例线段的概念-(2015-9上课用)
成比例线段（1）
形状相同 大小不同
知识探索
4 2 2 BC AB 2 __________ . 2 =_________, 由格点图可知， 1 BC AB
AB BC = AB BC
1、两条线段的比 在同一单位下两条线段长度的比，叫做 这两条线段的比。
自主探索：两条线段的比有什么特点？ 结论： （1）线段的比是一个无单位的数。 （2）线段的比值是一个正数。 （3）两条线段长度单位不同时，要先统一单位。 （4）只要两条线段单位一样，线段的比与所采 用的单位无关。
a 2 2 5 【解】 ___ 5 c 5
b 2 15 2 5 ____ 5 d 5 3
a b c d
∴这四条线段是成比例线段。 排序： a、c、b、d
（3）a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm 【解 ∵a=0.5m=50cm,c=0.2m=20cm 】 a 50 c 20
a c = a- b c- d
．
a c = b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
(3)等比性质 a c m 如果 = = …= b d n (b+d+…+n≠0),
a+c+…+m a 那么 = . b+d+…+n b
a c m = = …= b d n
b=3,
c=0.64,
d=2.4.
【解】 (2)
d 2.4 c 0.64 0.8 0.8, b 3 a 0.8
c d a b
∴这四条线段是成比例线段。
（3）a=1cm, b=2cm, c=2cm,
华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(含答案,教师版)
华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(时间：100分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分) 1．观察下列每组图形，相似图形是(D)2．下列各组中的四条线段不是成比例线段的是(C) A ．a ＝1，b ＝1，c ＝1，d ＝1 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝8 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝153．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3，则下列结论正确的是(A) A ．AB 是A ′B ′的3倍 B ．A ′B ′是AB 的3倍 C ．∠A 是∠A ′的3倍D ．∠A ′是∠A 的3倍4．若x －y 13＝y 7，则x ＋y y ＝(C)A.137B.207C.277D ．无法确定5．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，AO ∶DO ＝1∶2，那么下列式子正确的是(B) A ．BO ∶BC ＝1∶2 B ．CD ∶AB ＝2∶1 C ．CO ∶BC ＝1∶2D ．AD ∶DO ＝3∶16．如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的三等分点，AE ＝23AD ，连结BE 交AC 于点F ，AC ＝12，则AF为(B) A ．4B ．4.8C ．5.2D ．67．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步：分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于M ，N 两点；第二步：连结MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ； 第三步：连结DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是(D) A ．2B ．4C ．6D ．88．【动手操作】宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二、填空题(每小题4分，共20分)9．在比例尺为1∶8 000的地图上，两地的距离为25 cm ，它的实际距离约为2_000m. 10．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，d ＝4 cm ，那么a ＝3cm. 11．一个五边形的各边长分别是2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边是8，则该五边形的周长是803．12．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，DE ∶EB ＝2∶3，EF ＝6，那么BC 的长为10．13．如图，菱形ABCD 的周长为12，∠DAB ＝60°，对角线AC 上有两点E 和F(点E 在点F的左侧)，且要使四边形DEBF 与菱形ABCD 相似，则AE三、解答题(共48分)14．(8分)已知P 为线段AB 上一点，且AB 被点P 分为AP ∶PB ＝3∶5.如果AB ＝160 cm ，试求PB 的长．解：设AP ＝3x ，则PB ＝5x ，AB ＝8x ，其中x ≠0， ∴AB PB ＝85. 当AB ＝160 cm 时，160PB ＝85，∴PB ＝100 cm.15．(8分)若x 3＝y 4＝z5，x ＋y ＋z ＝36，求x ，y ，z 的值．解：设x 3＝y 4＝z5＝k(k ≠0)，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k. ∵x ＋y ＋z ＝36， ∴3k ＋4k ＋5k ＝36. 解得k ＝3.∴x ＝9，y ＝12，z ＝15.16．(10分)如图，已知AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，∠B ＝30°，∠D ＝115°，△ABC ∽△DAC. (1)求CD 的长； (2)求∠BAD 的大小．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC CD ＝BC AC ，即5CD ＝105. ∴CD ＝2.5 cm. (2)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠BAC ＝∠D ＝115°，∠CAD ＝∠B ＝30°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝115°＋30°＝145°.17．(10分)如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连结AE 并延长交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ，DF FC ＝32.(1)若BD ＝20，求BG 的长； (2)求CMCD的值．解：(1)∵GF ∥BC ， ∴DF FC ＝DG BG ＝32. ∵BD ＝20， ∴32＝20－BG BG . ∴BG ＝8.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴DM AB ＝DG BG ＝32. ∴DM CD ＝32.∴CM CD ＝12.18．(12分)如图，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点．若△PAD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长．解：∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠PAD ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC.设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x.如果AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x)＝3∶4， 解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x)， 解得x ＝2或x ＝6. ∴AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.。
华东师大版九年级数学上册第23章同步测试题及答案
华东师大版九年级数学上册第23章同步测试题及答案23.1 成比例线段一、选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）（第1题图）A．4.5 B．8 C．10.5 D．142．若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是（）A．2 B．-2 C．3 D．-33．若，则的值为（）A．1 B． C． D．4．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和点D，E，F．若，DE=4，则EF 的长是（）（第4题图）A． B． C．6 D．105．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连接MN分别交AB，AC于点E，F；第三步，连接DE，DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8（第5题图）（第6题图）6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A． B．2 C． D．7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）（第7题图）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5二、填空题8．若，则的值为．9．如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．10．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．（第10题图）（第11题图）11．如图是百度地图的一部分（比例尺1：4 000 000）．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西度的方向上．若杭州到嘉兴的图上距离约为2 cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为．答案一、1．B 分析：∵DE∥BC，∴=，即，解得EC=8．故选B．2．B 分析：设2a=3b=4c=12k（k≠0），则a=6k，b=4k，c=3k，所以=-2．故选B．3．D 分析：∵，∴==．故选D．4．C 分析：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得EF=6．故选C．5. D 分析：∵根据作法可知，MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC．同理DF∥AE．∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF= AF．∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4．∵DE∥AC，∴．∵BD=6，AE=4，CD=3，∴，∴BE=8．故选D．6. D 分析：∵AH=2，HB=1，∴AB=3．∵l1∥l2∥l3，∴=．故选D．7. A 分析：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8．∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8．∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．二、8. 分析：由比例的性质，得c=a，b=a．所以．9. 3 分析：由等比性质，得k==3．10. 12 分析：如答图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴，即，∴BC=12 cm．（第10题答图）11. 45；80 km 分析：测量可知，杭州在嘉兴的南偏西45度的方向上，杭州到嘉兴的图上距离约为2 cm×4 000 000=8 000 000（cm）=80 km．23.2 相似图形一、选择题1．对一个图形进行放缩时，下列说法正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变2．用一个5倍的放大镜去观察一个三角形，对此，四位同学有如下说法：甲说：三角形的每个内角都扩大到原来的5倍；乙说：三角形的每条边都扩大到原来的5倍；丙说：三角形的面积扩大到原来的5倍；丁说：三角形的周长都扩大到原来的5倍．上述说法正确的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．乙和丁3．下列说法正确的是（）A．矩形都是相似图形 B．菱形都是相似图形C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形4．给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（）A．1听 B．2听 C．3听 D．4听5．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）（第5题图）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．一个矩形的长为a，宽为b（a>b），如果把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，那么a，b应满足的关系式为（）A．a2+ab-b2=0 B．a2+ab+b2=0 C．a2-ab-b2=0 D．a2-ab+b2=07．若四边形ABCD的四条边长分别为54 cm，48 cm，45 cm，63 cm，另一个和它相似的四边形最短边长为15 cm，则这个四边形的最长边为（）A．18 cm B．16 cm C．21 cm D．24 cm8．若两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（）A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm9．将如图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）（第9题图） A B C D二、填空题10．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．（第10题图）11．如图，在长8 cm，宽4 cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为 cm2．（第11题图）12．若如图的两个四边形相似，则∠α的度数是．（第12题图）13．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．则矩形ABCD的面积是．（第13题图）三、解答题14．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．例如，两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．15．已知一矩形长20 cm ，宽10 cm ，另一与它相似的矩形的一边长为10 cm ，求另一边长．答案一、1．D 分析：根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变．故选D ．2．D 分析：甲的答案中角的度数扩大了5倍，角的度数不变，故错误；乙的答案中边的长度确实扩大到原来的5倍，故正确；丙的答案中底和高都扩大了5倍，面积应该扩大25倍，故错误；丁的答案中三条边都扩大5倍，周长也扩大5倍，故正确．故选D ．3．D 分析：A ．正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似图形，故此选项错误；B ．菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故此选项错误；C ．菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，故此选项错误；D ．等边三角形都是相似三角形，故此选项正确．故选D ．4．B 分析：设小标牌的面积为S 1，大标牌的面积为S 2，则2121()2S S =，故S 2=4S 1．∵小标牌用漆半听，∴大标牌应用漆量为4×0.5=2（听）．故选B ．5．C 分析：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选C ．6. C 分析：由题意，得b a b b a -=，得a 2-ab -b 2=0．故选C ． 7．C 分析：四边形ABCD 中的最短边长是45 cm ，则所求四边形与四边形ABCD 的相似比是15：45=1：3．若设所求的边长是x cm ．根据相似形的对应边的比相等，得x ：63=1：3，解得x =21．所以这个四边形的最长边为21 cm ．故选C ．8．A 分析：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，∴大多边形与小多边形的相似比是4：3，∴相似多边形周长的比是4：3．设大多边形的周长为x ，则有4363x =，解得x =48．即大多边形的周长为48 cm ．故选A ．9．A 分析：∵图中的箭头要缩小到原来的12，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的12；选项B 箭头大小不变；选项C 箭头扩大；选项D 的长缩小、而宽没变．故选A ．二、10．相似变换 分析：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变换．11．8 分析：设留下的矩形的宽为x cm ．∵留下的矩形与原矩形相似，∴448x =， 解得x =2．∴留下的矩形的面积为2×4=8（cm 2）．12．87° 分析：∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，∴∠A =∠A ′=138°．∵∠A +∠B +∠C +∠D =360°，∴∠α=360°-∠A -∠B -∠C =87°．13分析：由矩形ABCD ∽矩形EABF ，得AE AB AB BC =．设AE =x ，则AD =BC =2x ．又∵AB =1，∴112x x =，解得x =BC =2x =2S 矩形ABCD =BC ∙AB 三、14．解：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．15．解：设另一边是x cm ．当所求的边与20 cm 的边是对应边时，根据题意，得20：10=x ：10，解得x =20；当所求的边与10 cm 的边是对应边时，根据题意，得20：10=10：x ，解得x =5．因而另一边长是20 cm 或5 cm ．23.3.1 相似三角形一. 选择题1. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）A. 19B. 17C. 24D. 212. 在△ABC 中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF 最长的一边是36，则△DEF 最短的一边是（ ）A. 72B. 18C. 12D. 203.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，12AE EB =，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ．9B ．10C ．12D ．134. △ABC∽△A′B′C′，且∠A=68°，则∠A′=（ ）.A. 22°B. 44°C. 68°D. 80°5. △ABC 和△DEF 相似，且相似比为 ，那么它们的周长比是（ ）A. B. C. D.6. 如图，在△ABC 中，AB=24，AC=18，D 是AC 上一点，AD=12．在AB 上取一点E ，使A ，D ，E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为（ ）A . 16 B. 14 C. 16或14 D. 16或97. 如图，已知△ACD∽△ABC ， ∠1=∠B ， 下列各式正确的是（ ）A.＝ ＝ B. ＝ ＝C. ＝ ＝D. ＝ ＝8.如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（ ）A ．(，0) B ．(，) C ．(，) D ．(2，2)9. 若△ABC∽△A ΄B ΄C ΄，∠A=40°，∠B=110°，则∠C ΄=（ ）A. 40°B. 110°C. 70°D. 30°10. 如图，在5×5的正方形方格中，△ABC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC 相似的△DEF ， 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF 的最大面积是（ ）22232322A. 5B. 10C.D.二. 填空题11. 已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，则EF：BC=________．12. 若两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为60°. 50°，则另一个三角形的最小的内角为________度．13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于三角形，AC=1，BC=2，则A F：FC等于．14. 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=_______米．15. 已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为________cm．三. 解答题16. 一个三角形三边长分别为5cm，8cm，12cm，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm，求另外两边长．17. 如图，点D， E分别在△ABC的边AB. AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE 的长．18. 如图，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案一、1. C 2. B 3.A 4. C 5. A6. D7. B8. C9. D 10. A二、11. 2：1 12. 50 13.12AFFC14. 3.42． 15. 12三、16. 解：设另一个三角形的两边长是xcm，ycm，由题意，得：x：5=y：8=4.8：12，解得x=2cm，y=3.2cm．因此另两条边的边长为2cm，3.2cm．17. 解：①若∠AED对应∠B时，= ，即= ，解得AE= ；②当∠ADE对应∠B时，= ，即= ，解得AE=2．所以AE的长为2或．18. 解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似。
九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例同步练习华东师大版
23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6图23－1－43．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则AD BD ＝（ ）（ ）＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是( )A.ABAD＝ACAEB.ABAC＝ADAEC.ADBD＝AEECD.ABDE＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．图23－1－1312．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．图23－1－1817．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC ，所以FC ＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)． 故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作∥，交于点G ， 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E, 则 BD DC ＝ADDE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.。
华师大版九年级数学上册同步练习附答案23.1 成比例线段
23.1 成比例线段一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）（第1题图）A．4.5 B．8 C．10.5 D．142．若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是（）A．2 B．-2 C．3 D．-33．若，则的值为（）A．1 B． C． D．4．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和点D，E，F．若，DE=4，则EF的长是（）（第4题图）A． B． C．6 D．105．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连接MN分别交AB，AC于点E，F；第三步，连接DE，DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8（第5题图）（第6题图）6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A． B．2 C． D．7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）（第7题图）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5 二、填空题（本题包括4小题）8．若，则的值为．9．如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．10．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．（第10题图）（第11题图）11．如图是百度地图的一部分（比例尺1：4 000 000）．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西度的方向上．若杭州到嘉兴的图上距离约为2 cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为．三、解答题（本题包括2小题）12. 如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．13. 已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB＝4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC＝2CD．23.1 成比例线段参考答案一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1．B 分析：∵DE∥BC，∴=，即，解得EC=8．故选B．2．B 分析：设2a=3b=4c=12k（k≠0），则a=6k，b=4k，c=3k，所以=-2．故选B．3．D 分析：∵，∴==．故选D．4．C 分析：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得EF=6．故选C．5. D 分析：∵根据作法可知，MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC．同理DF∥AE．∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF．∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4．∵DE∥AC，∴．∵BD=6，AE=4，CD=3，∴，∴BE=8．故选D．6. D 分析：∵AH=2，HB=1，∴AB=3．∵l1∥l2∥l3，∴=．故选D．7. A 分析：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8．∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8．∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．二、填空题（本题包括4小题）8. 分析：由比例的性质，得c=a，b=a．所以．9. 3 分析：由等比性质，得k==3．10. 12 分析：如答图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴，即，∴BC=12 cm．（第10题答图）11. 45；80 km 分析：测量可知，杭州在嘉兴的南偏西45度的方向上，杭州到嘉兴的图上距离约为2 cm×4 000 000=8 000 000（cm）=80 km．三、解答题（本题包括2小题）12.解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：AC＝12；（2）∵l1∥l2∥l3，∴.∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴.13. 证明：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，∵ME∥CF，∴＝，而M为AC边的中点，∴AM＝MC，∴AE＝EF，∵AB＝4AE，∴EF＝AB，BF＝AB，∴BF＝2EF，∵CF∥DE，∴＝＝2，∴BC＝2CD.。
华东师大版2018年九年级数学上册全册同步练习含答案
华师大版九年级数学上册全册同步练习目录21.1二次根式第1课时二次根式的概念21.1二次根式第2课时二次根式的性质21.2二次根式的乘除1二次根式的乘法21.2二次根式的乘除2积的算术平方根21.2二次根式的乘除3二次根式的除法21.3二次根式的加减同步练习无答案华东师大版.doc22.1一元二次方程同步练习无答案华东师大版.doc22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法22.2一元二次方程的解法22.2.1第2课时因式分解法22.2一元二次方程的解法22.2.2配方法22.2一元二次方程的解法22.2.3公式法22.2一元二次方程的解法22.2.4一元二次方程根的判别式22.2一元二次方程的解法22.2.5一元二次方程的根与系数的关系22.3实践与探索第1课时用一元二次方程解决图形面积问题22.3实践与探索第2课时用一元二次方程解决平均变化率利润问题23.1成比例线段23.1.1成比例线段23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例23.2相似图形23.3相似三角形23.3.1相似三角形23.3相似三角形23.3.2第1课时相似三角形的判定定理123.3相似三角形23.3.2第2课时相似三角形的判定定理23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应用23.4中位线23.5位似图形23.6图形与坐标23.6.1用坐标确定位置23.6图形与坐标23.6.2图形的变换与坐标24.1测量24.2直角三角形的性质24.3锐角三角函数24.3.1第1课时锐角三角函数的定义及关系应用24.3锐角三角函数24.3.1第2课时特殊角的三角函数值24.3锐角三角函数24.3.2用计算器求锐角三角函数值24.4解直角三角形第1课时解直角三角形24.4解直角三角形第2课时解直角三角形的应用_仰角俯角24.4解直角三角形第3课时解直角三角形的应用_坡度坡角25.1在重复试验中观察不确定现象第1课时不可能事件必然事件与随机事件25.1在重复试验中观察不确定现象第2课时用频率估计事件发生的机会大小25.2随机事件的概率25.2.1概率及其意义25.2随机事件的概率25.2.2频率与概率25.2随机事件的概率25.2.3列举所有机会均等的结果21．1 第1课时二次根式的概念知识点 1 二次根式的概念1．如果－x是二次根式，那么－x________0，则x________0.2．下列各式中，一定是二次根式的是( )A.35B.32 C.－2 D.x3．下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是？为什么？3，35，－16，－7，x2(x≥0)，||－8，a－2.知识点 2 二次根式有意义的条件4．如果二次根式3x－1在实数范围内有意义，那么必须使3x－1________0，所以当x________时，二次根式3x－1在实数范围内有意义．5．如果x－1无意义，那么字母x的取值范围是( )A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜16．求使下列各式有意义的字母x的取值范围．(1)5－2x； (2)2x＋1 2；(3)1x－1； (4)2x＋1.7．当a为任意实数时，下列各式中是二次根式的是( ) ①a＋1；②5a2；③|a|；④－a2－2；⑤（a－1）2. A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤8．［2017·绵阳］使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．写出一个只含有字母x的二次根式，使它同时满足以下要求：(1)要使此式有意义，字母x必须取大于或等于2的实数；(2)此式的值恒为非正数．这个二次根式可以是__________ .10．［教材练习第2题变式］当x取何值时，下列各式有意义？(1)3－x＋12x－1；(2)x＋3|x|－4.11．若x，y为实数，且2x－1＋1－2x＋y＝8，求xy的值．1．≥ ≤ 2.A3．解：3，－16，x2(x ≥0)，|－8|是二次根式；35，－7，a －2不是二次根式．理由：3，－16，x 2(x ≥0)，|－8|符合二次根式的概念，故是二次根式.35的根指数是3，故不是二次根式；－7的被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；a －2的被开方数a －2的正负不能确定，故也不一定是二次根式．4．≥ ≥135.D 6．(1)x ≤52 (2)x ≥－12(3)x >1 (4)x >－1 7． D8．B 9．答案不唯一，如－x －210．解：(1)由原式有意义可得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，2x －1＞0，∴12＜x ≤3. (2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，①|x |－4≠0，②由①得x ≥－3，由②得x ≠±4，故当x ≥－3且x ≠4时，原式有意义．11．解：由已知可得⎩⎨⎧2x －1≥0，1－2x ≥0，∴x ＝12，∴y ＝8，∴xy ＝4.21.1 第2课时 二次根式的性质知识点 1 二次根式的非负性1．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y )2018＝( )A ．－1B ．1C ．32018D ．－320182．若|x －y |＋y －2＝0，则x y －3的值为________．知识点 2 二次根式的性质(a )2＝a (a ≥0)3．计算(15)2的结果是( )A ．225B ．15C ．±15D ．－154．把414写成一个正数的平方的形式是( ) A ．(212)2 B ．(174)2 C ．(±212)2 D ．(±174)2 5．计算： (1)(11)2； (2)(－ 20)2.知识点 3 二次根式的性质a 2＝|a |6．计算：（－2）2＝|________|＝________．7．下列计算正确的是( ) A ．(5)2＝25 B ．(－3)2＝3C.（－3）2＝－3D.02＝08．计算：(1)916； (2)（－7）2.9．若x －2＋3＋y ＝0，则(x ＋y )2019的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－110．若（x －3）2＝3－x ，则x 的取值范围是________．11．［教材习题第2题变式］计算：(1)()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－232；(2)（a＋3）2－a2(a>0)．12．阅读材料，解答问题．例：若代数式（2－a）2＋（a－4）2的值是常数2，求a的取值范围．分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离，|a－4|表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．图21－1－1解：原式＝|a－2|＋|a－4|.在数轴上看，应分三种情况讨论：①当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a；②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2；③当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6.通过分析可得a的取值范围是2≤a≤4.(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？(2)化简：（3－a）2＋（a－7）2.华东师大版2018年九年级数学上册同步练习含答案1．B 则原式＝(－1)2018＝1.2. 123．B4．B 5．(1)11 (2)20 6.－2 2 7.D8．(1)34 (2)79． D 10． x ≤311．解：(1)原式＝3＋23＝323.(2)原式＝a ＋3－a ＝3.12．解：(1)数形结合思想，分类讨论思想．(2)原式＝|3－a |＋|a －7|.①当a ＜3时，原式＝3－a ＋7－a ＝10－2a ；②当3≤a ≤7时，原式＝a －3＋7－a ＝4；③当a ＞7时，原式＝a －3＋a －7＝2a －10.21.2.1 二次根式的乘法知识点 1 ab ＝a ·b 成立的条件1．如果等式x ＋1·1－x ＝1－x 2成立，那么有x ＋1________0，1－x ________0，所以x 的取值范围是__________．2．若a ·b ＝ab 成立，则下列说法正确的是( )A ．a ≥0，b ≥0B ．a >0，b >0C ．a ≤0，b ≤0D ．a <0，b <0 知识点 2 二次根式的乘法法则的应用3．计算：8×12＝____________． 4．下列计算正确的是( )A.2×5＝7B.2×5＝10C.5×6＝11D.12×12＝ 2 5．［教材例1变式］计算： (1)3×5； (2)13×108；(3)68×(－32); (4)6×34×8.6．下列运算正确的是( )A ．23×32＝6 5 B.2a ·8a ＝4aC.（a 3）2＝a 3D.5×920＝327．阅读下列解答过程，在括号中填入恰当的内容． (－a )2＝－a ×－a ①＝（－a ）×（－a ） ② ＝（－a ）2 ③＝a 2 ④＝a . ⑤(1)由上述过程可知a 的取值范围为________；(2)上述解答过程有错误的是第________步，正确结果为________．8．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于学生进行实地考察．为了考查学生的数学应用能力，他把长方形基地的长设计为8020米，宽设计为3 45米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？9．比较前后两个算式计算结果的大小(填“>”“<”或“＝”)：(1)2＋12________2×2×12； (2)3＋3________2×3×3；(3)9＋16________2×9×16；…通过观察与归纳，写出其中的规律，并说明理由．教师详答1．≥ ≥ －1≤x ≤1 2. A 3. 8 124 24． B 5．(1)原式＝3×5＝15. (2)原式＝13×108＝36＝6. (3)原式＝6×(－3)×8×2＝－18×4＝－72. (4)原式＝6×34×8＝36＝6. 6. D7． (1)a ≤0 (2)⑤ －a8．解：80 20×3 45＝(80×3)×20×45＝240×900＝7200(米2)． 9．解：(1)> (2)＝ (3)>规律：a ＋b ≥2 a ·b (a ≥0，b ≥0)．理由：∵a ＝(a )2，b ＝(b )2(a ≥0，b ≥0)，∴a ＋b －2 a ·b ＝(a )2－2 a ·b ＋(b )2＝(a －b )2≥0， ∴a ＋b ≥2 a ·b (a ≥0，b ≥0)．21.2.2 积的算术平方根知识点 1 ab＝a·b成立的条件1．若等式a2－64＝a＋8·a－8成立，则有________≥0，________≥0，所以a的取值范围是________．2．若－ab＝a·－b成立，则( )A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0C．a≤0，b≥0 D．ab≥0知识点 2 积的算术平方根的应用______．4( )A．125．计算：(1)30×6； (2)（－100）×（－4）；(3)121169×81100； (4)（－5）2×（－7）2.6．［教材例2变式］化简：(1)－75；(2)a5.7．有下列各式：①54×12＝32；②412－402＝9；③（－3）×（－5）＝－3×－5；④8＝22；⑤（－3）2×（－5）2＝15；⑥32＋42＝7.其中正确的有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．若一个长方体的长为2 6 cm，宽为 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.9．若20n是整数，则正整数n的最小值为________．10. 已知a＝2，b＝5，用只含a，b的代数式表示20，这个代数式是__________．11．计算下列各式：(1)2 4a3b2c(a>0，b>0)；(2)a4＋a6b2.12．已知m＝(－33)×(－2 21)，则有( )A．5.0＜m＜5.1 B．5.1＜m＜5.2C．5.2＜m＜5.3 D．5.3＜m＜5.413．［阅读思考］阅读探究：4×9×16＝24，4×9×16＝24；0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018，0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018.(1)根据上述具体数据，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0时，a·b·c与a·b·c的关系是什么？(2)根据以上式子，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f可以转化为什么？教师详答1．a＋8 a－8 a≥82．B3．100 14101254. A5．解：(1)原式＝5×6×6＝5×62＝6 5.(2)原式＝100×4＝100×4＝10×2＝20.(3)原式＝121169×81100＝1113×910＝99130.(4)原式＝25×49＝25×49＝5×7＝35.6．解：(1)－75＝－3×25＝－5 3.(2)a5＝a4·a＝a4·a＝a2a.7． B8．129．5 10.a2b11．解：(1)原式＝2×2ab ac＝4ab ac.(2)原式＝a4（1＋a2b2）＝a4·1＋a2b2＝a21＋a2b2.12．C [13．解：(1)a·b·c＝a·b·c.(2)当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f＝a·b·c·…·f.21.2.3 二次根式的除法知识点 1a b＝ab 成立的条件 1．若x x ＋1＝xx ＋1成立，则有x ________0，x ＋1________0，所以x 的取值范围是________．2．等式－ba＝－ba成立的条件是( )A ．a ，b 异号B ．a >0，b >0C ．a ≥0，b ≥0D ．a >0，b ≤0 知识点 2 二次根式的除法 3．计算：483＝（ ）（ ）＝________．4．计算： (1)183； (2)328；(3)315÷135； (4)3ab 32ab2.知识点 3 商的算术平方根 5．计算：29＝（ ）（ ）＝________． 6．若3＋x 3－x ＝3＋x 3－x成立，则x 的取值范围是( ) A ．－3≤x ＜3 B ．x ＜3C ．x ＞－3D ．－3＜x ≤3 7．化简： (1)916； (2)325；(3)549； (4)－11－36.知识点 4 最简二次根式 8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A ．－ 2 B.12 C.15D.a 29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个． ①x 2； ②0.3； ③118； ④2x 2＋1. 10．化简： (1)17； (2)113； (3)510； (4)438.11．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b，②ab ·ba ＝1，③ab ÷ab＝－b 中，正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．若 2m ＋n －2和 33m －2n ＋2都是最简二次根式，则m n＝________． 13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47； (2)113÷223×135； (3)3 223÷1225×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15.14．王聪学习了二次根式的除法公式ab＝ab后，他认为该公式逆过来a b ＝ab也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x －1x －1÷1x 2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…. (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥0 2. D3. 48 3 16 44．(1) 6 (2)2 (3) 2 (4)32 b 5.2 9 236．A 7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35. (3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116. 8．A 9．3 10．解：(1)17＝77×7＝77. (2)113＝43＝4×33×3＝2 33. (3)510＝5 1010×10＝5 1010＝102.(4)438＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6. 11． B12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝3542. (2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝255. (3)原式＝9×83÷121025×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对． 理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义． 改正：－27－3＝273＝9＝3. 15．解：由题意得x >1, 所以原式＝x －1x －1·x ()x －1 ＝()x －12x x －1＝x －1x －1x ＝x .代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2. 当x ＝9时，原式＝3. 16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝5 16，5＋17＝6 17，6＋18＝7 18. (2)规律：n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 证明：n ＋1n ＋2＝n （n ＋2）＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2.21.3 二次根式的加减知识点 1 同类二次根式1．下面与2是同类二次根式的是( )A. 3B.12C.8D.202．［2016·巴中改编］下列二次根式中，能与3合并的是( )A.18B.13C.24D.0.33．下列二次根式中，属于同类二次根式的是( )A．2 3与 6 B. 13与23C. 18与12D. 4a与8a4．已知最简二次根式3a－8与17－2a是同类二次根式，求a的值．知识点 2 二次根式的加减5．计算：27＋3＝________＋3＝(________＋________)3＝________．6．计算8－612的结果是________．7．计算414＋313－8的结果是__________．8．计算：(1)1048－627＋312；(2)13－12＋273；(3)45＋45－8＋4 2.知识点 3 二次根式的混合运算9．计算：(3＋2)(3－2)＝________．10．［教材练习第2题变式］计算：(1)(5＋2)2; (2)(23－2)2.11．下列各数中，与2－3的积为有理数的是( ) A．2＋ 3 B．2－ 3C．－2＋ 3 D. 312．若a，b为有理数，且4＋18＋18＝a＋b2，则ab的值为( )A.34B.134C.132D．213．已知a－b＝2 3－1，ab＝3，则(a＋1)(b－1)的值为________．14．若等腰三角形的两边长分别为2 3和5 2，则这个等腰三角形的周长是__________．15．若a，b分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a－b的值是________．16．计算：(1)20＋55－13×12；(2)(3 2＋4 3)(4 2－3 3)；(3)(1048－624＋412)÷6；(4)⎝⎛⎭⎪⎫5－5102－(－210)．17．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a ＋b a －b ，例如：3※2＝3＋23－2＝ 5.求4※1＋8※12的值．18．若a ＝3－10，求代数式a 2－6a －2的值．19．如图21－3－1，有一张边长为6 2 cm 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 2 cm.求：(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积．图21－3－12 3x9x＋y2xy3)－(x21x－5xyx)的值．20．已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求(1．C 2. B 3. C4．解：由已知可得3a －8＝17－2a ，解得a ＝5.5．3 3 3 1 4 3 6．－ 27. 2＋3－2 28．解：(1)原式＝10×4 3－6×3 3＋3×2 3＝(40－18＋6)3＝28 3. (2)原式＝33－2 3＋3＝－2 33. (3)原式＝4 5＋3 5－2 2＋4 2＝7 5＋2 2.9．710．解：(1)原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5. (2)原式＝12－4 6＋2＝14－4 6. 11． A 12． C13．－ 3 14．10 2＋2 3 15．1316．解：(1)原式＝2 5＋55－13×12＝3－2＝1. (2)原式＝3 2×4 2－3 2×3 3＋4 3×4 2－4 3×3 3＝24－9 6＋16 6－36＝7 6－12.(3)原式＝10 486－6 246＋4 126＝10 8－6 4＋4 2＝20 2－12＋4 2＝24 2－12.(4)原式＝5－2 5×510＋2510＋2 10＝5－5 2＋52＋2 10＝152－5 2＋2 10. 17．解：4※1＝4＋14－1＝53，8※12＝8＋128－12＝－204＝－52， 所以4※1＋8※12＝53－52＝－56. 18．解：解法一：原式＝(3－10)2－6×(3－10)－2＝9－6 10＋10－18＋6 10－2＝－1.解法二：因为a ＝3－10，所以a －3＝－10，两边同时平方，得a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＝1，所以a 2－6a －2＝－1.19．解：(1)制作长方体盒子的纸板的面积：(6 2)2－4×(2)2＝64(cm 2)． (2)长方体盒子的体积：(6 2－2 2)×(6 2－2 2)×2＝32 2(cm 3)．20．解：∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0， ∴(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 9x ＋y 2x y 3－⎝⎛⎭⎪⎫x 21x－5xy x ＝()2x x ＋xy －(x x －5xy )＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6 xy .当x ＝12，y ＝3时，原式＝1212＋6 32＝24＋3 6.22.1～22.2一、选择题(每小题3分，共27分)1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.()x ＋82＝x ＋8 B ．x 2＋18x＝6C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋x ＋1＝x 22．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根3. 用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝24．下面是四名同学在解方程x(x ＋3)＝x 时的答案，结果正确的是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝0C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－25．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可能是( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝06．若关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0无实数根，则一次函数y ＝(m －1)x －m 的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0有一个根为0，则m 的值为( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．28．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－18B ．k ＞－18且k≠1C ．k ＜－18D ．k ≥－18且k≠09．已知m ，n 是方程x 2＋3x －2＝0的两个实数根，则m 2＋4m ＋n ＋2mn 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．－5 D ．－9 二、填空题(每小题4分，共20分)10．若关于x 的方程ax 2＋3x ＝2x 2＋4是一元二次方程，则a 应满足的条件是________．11．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为__________．12．若代数式4x 2＋5x ＋6与－3x 2－2的值互为相反数，则x 的值为________．13．有一个数值转换机，其流程如图1－G －1所示．若输入a ＝－6，则输出的x 的值为________．图1－G－114．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．三、解答题(共53分)15．(12分)解下列方程：(1)(x－2)2＝4; (2)x2－2x＝0；(3)(x＋2)2－9x2＝0; (4)x2－10x＋21＝0；(5)4x2＋8x＋1＝0; (6)x2－2x＝－4＋2x.16. (10分)已知关于x的方程x2＋2(2－m)x＋3－6m＝0.(1)若1是此方程的一个根，求m的值及方程的另一个根；(2)试说明：无论m取任何实数，此方程总有实数根．17．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－ax＋2＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＝x1＋x2－2.(1)求a的值；(2)求该一元二次方程的两实数根．18．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．19．(11分)已知关于x的一元二次方程tx2－(3t＋2)x＋2t＋2＝0(t＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，若y是关于t的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的表达式，并画出函数图象；(3)观察(2)中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．1．A 2．C 3．D 4.D 5.B 6.B 7.D8．B 9．C 10．a ≠211．4 12．－1或－4 13．无解14．答案不唯一，如a ＝1，b ＝2 15．解：(1)∵x －2＝±4， ∴x ＝2±2， ∴x 1＝4，x 2＝0.(2)原方程可化为x (x －2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝2.(3)原方程可化为(x ＋2)2－(3x )2＝0， ∴(x ＋2＋3x )(x ＋2－3x )＝0， ∴－4(2x ＋1)(x －1)＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝1.(4)移项，得x 2－10x ＝－21， ∴x 2－10x ＋25＝－21＋25， ∴(x －5)2＝4，∴x －5＝±4， ∴x ＝5±2， ∴x 1＝7，x 2＝3.(5)∵a ＝4，b ＝8，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝82－4×4×1＝48>0， ∴x ＝－8±482×4，∴x 1＝－2＋32，x 2＝－2－32.(6)原方程可化为x 2－2x －2x ＋4＝0， 即x 2－4x ＋4＝0，∴(x －2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝2.16．解：(1)把x ＝1代入方程，得 1＋4－2m ＋3－6m ＝0， ∴m ＝1.故方程为x 2＋2x －3＝0.设方程的另一个根是t ，则1·t ＝－3， ∴t ＝－3.故m ＝1，方程的另一个根为－3.(2)∵在关于x 的方程x 2＋2(2－m )x ＋3－6m ＝0中， Δ＝4(2－m )2－4(3－6m )＝4(m ＋1)2≥0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有实数根． 17．解：(1)∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2， 又x 1x 2＝x 1＋x 2－2， ∴2＝a －2， ∴a ＝4.(2)原方程为x 2－4x ＋2＝0，∴(x －2)2＝2，∴x －2＝±2，∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.18．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k . ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k >0， ∴k <52.(2)∵k 为正整数， ∴0<k <52且k 为整数，即k 的值为1或2.∵x 1，2＝－1±5－2k ，且方程的根为整数， ∴5－2k 为完全平方数．当k ＝1时，5－2k ＝3，不是完全平方数； 当k ＝2时，5－2k ＝1，是完全平方数， ∴k ＝2.19．解：(1)证明：Δ＝(3t ＋2)2－4t (2t ＋2)＝(t ＋2)2.∵t ＞0，∴(t ＋2)2＞0， 即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)x ＝3t ＋2±（t ＋2）2t ，∵t ＞0，∴x 1＝1，x 2＝2＋2t，∴y ＝x 2－2x 1＝2＋2t －2×1＝2t，即y ＝2t(t ＞0)．函数图象如图：(3)当y ≥2t 时，0＜t ≤1.22．1 一元二次方程知识点 1 一元二次方程的定义及一般形式 1．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．2x ＋1＝0B ．y 2＋x ＝0 C ．x 2－x ＝0 D. 1x＋x 2＝02．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)2y 2＝8； (2)3x 2－2＝x ；(3)2y (4y ＋3)＝13; (4)(3x －1)(x ＋2)＝1.知识点 2 一元二次方程的解3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3mx －5＝0的一个根是－1，把x ＝－1代入原方程得到关于m 的方程为____________，解得m ＝________．4．若关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个根是2，则2a －1的值是多少？知识点 3 根据实际问题列一元二次方程 5．［教材“问题2”变式题］［2017·辽阳］共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的是( )A ．1000(1＋x )2＝1000＋440B ．1000(1＋x )2＝440C ．440(1＋x )2＝1000D ．1000(1＋2x )＝1000＋440 6．［2017·兰州］王叔叔从市场上买了一块长80 cm 、宽70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图22－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程 _______________________________．图22－1－17．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若a＋b＋c＝0，则方程必有一根是( )A．－1 B．1 C．0 D．±18．已知m是一元二次方程x2＋2x－1＝0的一个根，则3m(m＋2)－2的值为________．9．［教材习题22.1第2题变式］已知关于x的方程(k－3)x|k|－3－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．10．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项．1．C2．解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2y 2－8＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)移项，得一元二次方程的一般形式为3x 2－x －2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为－2.(3)整理，得一元二次方程的一般形式为8y 2＋6y －13＝0，其中二次项系数为8，一次项系数为6，常数项为－13.(4)整理，得一元二次方程的一般形式为3x 2＋5x －3＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为－3.3．2＋3m －5＝0 14．解：因为关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个根是2，所以6－2a ＝0，解得a ＝3.当a ＝3时，2a －1＝2×3－1＝5.5．A6．(80－2x )(70－2x )＝3000 [解析] 根据题意可知裁剪后的底面的长为(80－2x )cm ，宽为(70－2x )cm ，根据长方形的面积＝长×宽，可以列出方程(80－2x )(70－2x )＝3000.7． B8．1 [解析] 把x ＝m 代入方程x 2＋2x －1＝0中，得m 2＋2m －1＝0，变形得m 2＋2m ＝1，所以3m (m ＋2)－2＝3(m 2＋2m )－2＝3×1－2＝1.9．解：∵关于x 的方程(k －3)x |k |－3－x －2＝0是一元二次方程， ∴|k |－3＝2且k －3≠0，解得 k ＝±5.①当k ＝5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为5x －2×5＋6≤0，解得 x ≤45.②当k ＝－5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为－5x ＋2×5＋6≤0，解得 x ≥165.10．解：(1)当k ＝1时，此方程为一元一次方程；方程的根为x ＝1.(2)当k ≠±1时，此方程为一元二次方程；方程的二次项系数为k 2－1，一次项系数为k ＋1，常数项为－2.22.2.1 第1课时 直接开平方法知识点 1 用直接开平方法解形如x 2＝p (p ≥0)的一元二次方程1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( ) A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ．x 1＝2，x 2＝0 3．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方， 得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________， 所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116， 即x 1＝94，x 2＝－94.(3)∵5x 2＝125， ∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73.4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27， ∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9， ∴x －3＝±3， ∴x 1＝6，x 2＝0. (3)∵2x －8＝±16， ∴2x ＝8±4， ∴x 1＝6，x 2＝2. (4)∵(3x －2)2＝649，∴3x －2＝83或3x －2＝－83，解得x 1＝149，x 2＝－29.7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1， ∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9， ∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ， ∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2， ∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1. ∵x 2≥0，y 2≥0，∴x2＋y2＝3.10．解：根据题意，得x2－16＝0，y2－9＝0，所以x＝±4，y＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x－1)2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.综上所述，x的值为2或－1.。
华东师大版九年级数学上册 23.1.1 成比例线段 同步练习题(含答案)
华东师大版九年级数学上册第23章 23.1.1 成比例线段 同步练习题一、选择题1．下列各组中的四条线段成比例的是(D)A ．6 cm ，2 cm ，1 cm ，4 cmB ．4 cm ，5 cm ，6 cm ，7 cmC ．3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cmD ．6 cm ，3 cm ，8 cm ，4 cm2．如果2a ＝5b ，那么下列比例式中正确的是(C)A.a b ＝25B.a 5＝2bC.a b ＝52D.a 2＝b 5 3．已知2x －5y ＝0，则x ∶y 的值为(B)A ．2∶5B ．5∶2C ．3∶2D ．2∶34．下列四条线段a ，b ，c ，d 不是成比例线段的是(B)A ．a ＝4，b ＝8，c ＝5，d ＝10B ．a ＝1.1 cm ，b ＝2.2 cm ，c ＝3.3 cm ，d ＝4.4 cmC ．a ＝2，b ＝215，c ＝5，d ＝5 3D ．a ＝0.8，b ＝3，c ＝0.64，d ＝2.45．已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，且a ＋3b －3c ＝14，则4a －3b ＋c 的值是(D)A ．8B ．10C ．16D ．186．如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于(A)A.2∶1B ．1∶ 2 C.3∶1 D ．1∶ 3二、填空题7．小明测得学校教学楼在平面设计图上的长度为a ＝95 cm ，小亮测得学校教学楼的实际长度为b ＝95 m ，则a b ＝1100． 8．判断下列线段是否成比例，若成比例，请写出比例式．(1)a ＝3 m ，b ＝5 m ，c ＝4.5 cm ，d ＝7.5 cm ； 成比例，a ∶b ＝c ∶d(2)a ＝7 cm ，b ＝4 cm ，c ＝d ＝27 cm ； 成比例，a ∶c ＝d ∶b(3)a ＝6 cm ，b ＝8 cm ，c ＝12 cm ，d ＝15 cm. 不成比例9．若x ＋y x ＝32，则y x ＝12． 10．若a b ＝43，则a ＋b b ＝73，a －b b ＝13，a ＋b a －b＝7 11．已知三条线段的长分别为 1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2_cm 或22_cm ． 12．已知x ∶y ＝1∶2，2y ＝3z ，则2x ＋y y ＋3z ＝23． 三、解答题13．已知P 为线段AB 上一点，且AB 被点P 分为AP ∶PB ＝2∶3.(1)求AB ∶PB ；(2)如果AB ＝100 cm ，试求PB 的长．解：(1)设AP ＝2x ，则PB ＝3x ，AB ＝5x.所以AB PB ＝5x 3x ＝53. (2)当AB ＝100 cm 时，100PB ＝53， 所以PB ＝60 cm ．14．已知a 2＝b 3，求3a ＋2b a的值．解：∵a 2＝b 3， ∴2b ＝3a.∴3a ＋2b a ＝3a ＋3a a ＝6a a＝6.15．湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1∶6 700 000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图．若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是5_500千米(结果精确到1千米)．16．已知a ，b ，c ，d 是成比例的四条线段，其中a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝6 cm ，求线段d 的长度．若条件改为a ，b ，d ，c 是成比例的四条线段，其他条件不变，线段d 的长度是否改变？解：∵a ，b ，c ，d 是成比例的四条线段，∴a ∶b ＝c ∶d ，即3∶5＝6∶d.∴d ＝10 cm.若条件改为a ，b ，d ，c 是成比例的四条线段，其他条件不变，则a ∶b ＝d ∶c ，即3∶5＝d ∶6.∴d ＝3.6 cm.∴线段d 的长度改变．17．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60 cm ，a 3＝b 4＝c 5，求a ，b ，c 的长． 解：设a 3＝b 4＝c 5＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k. 由题意，得3k ＋4k ＋5k ＝60，解得k ＝5.∴a ＝15 cm ，b ＝20 cm ，c ＝25 cm.18．如图，点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32，求线段PQ 的长．解：设AP ＝3x ，则BP ＝2x.∴AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x.∵AB ＝10，∴5x ＝10.∴x ＝2.∴AP ＝6，BP ＝4.设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y.∵AQ BQ ＝32， ∴10＋y y ＝32，解得y ＝20. ∴PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.19．如图，在线段AB 上存在一点C ，满足AC ∶CB ＝CB ∶AB ＝k.(1)求k 的值；(2)已知三条线段a ，b ，c 满足a ∶b ＝b ∶c ＝k ，问这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．解：(1)∵AC ∶CB ＝CB ∶AB ＝k ，∴设AB ＝1，则CB ＝k ，AC ＝k 2. ∵AC ＋CB ＝AB ，∴k 2＋k ＝1.∴k ＝－1±52. 又∵k ＞0，∴k ＝－1＋52. (2)不能．理由：∵a ∶b ＝b ∶c ＝k ，∴b ＝kc ＝5－12c ，a ＝kb ＝(5－12)2c ＝3－52 c. ∴a ＋b ＝c.∴线段a ，b ，c 不能构成三角形．。
九年级数学上册23_1成比例线段1成比例线段同步练习3新版华东师大版
●随堂检测
一、如图,格点图中有2个三角形, 假设相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，那么AB=BC=，DE=，EF=，计算 =， =，咱们会取得AB与DE这两条线段的比值与BC，EF这两条线段的比值（填相等或不相等），即 ＝ ，那么这四条线段叫做，简称比例线段．
二、已知四条线段a、b、c、d的长度，试判定它们是不是成比例？
体验中考：
1.
解Hale Waihona Puke 设两地之间的实际距离为 ，那么：
5.依照题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000，因此，矩形运动场的长是2×8000=16000（cm）=160（m），矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm）=80（m），因此，矩形运动场的实际尺寸是长为160m,宽为80m.
6.分析：解决那个问题时必然要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情形漏掉.
4、假设 ，那么 =________.
五、已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c;（2）求4a－3b+c的值..
六、在△ABC中，D是BC上一点，假设AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，
BD－DC=2 cm，求BC.
7、现有三个数1， ，2，请你再添上一个数写出一个比例式.
（1）a=16 cmb=8 cmc=5 cmd=10 cm;
（2）a=8 cmb=5 cmc=6 cmd=10 cm.
3、已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3㎝，b=2㎝，c=6㎝，
求线段d的长.
4、已知 =3， = 成立吗？
五、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
九年级数学上册23_1成比例线段同步测试含解析新版华东师大版
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】依照AH=2，HB=1求出AB的长，依照平行线分线段成比例定理取得 = ，计算取得答案．
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴ = = ，
应选：D．
【点评】此题考查平行线分线段成比例定理，把握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
第二步，连接MN别离交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
假设BD=6，AF=4，CD=3，那么BE的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC别离交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF别离交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，那么 的值为（ ）
第一步，别离以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径在AD双侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN别离交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
假设BD=6，AF=4，CD=3，那么BE的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—大体作图．
【分析】依照已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，依照菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，依照平行线分线段成比例定理得出 = ，代入求出即可．
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【考点】比例的性质．
【分析】依照二、3、4的最小公倍数是12，设2a=3b=4c=12k（k≠0），然后表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：设2a=3b=4c=12k（k≠0），
新华东师大版九上数学练习：成比例线段
23.1 成比例线段1.成比例线段1.下列各组线段:①a=1,b=3,c=4,d=5;②a=1,b=3,c=3,d=9;③b=④其中a,b,c,d是比例线段的有( B )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.若( D )3.如果三角形的三边a,b,c满足且三角形的周长是24 cm,那么a,b,c的长度分别是( B )(A)5 cm,9 cm,10 cm (B)6 cm,8 cm,10 cm(C)8 cm,6 cm,10 cm (D)10 cm,8 cm,6 cm4.如果≠0,y≠±5),则下列各式错误的是( D )(A)5x=3y (B)5.若( C )(A)6 (D)不确定6.已知a∶b∶c=3∶4∶5,则7.(易错题)已知三条线段的长是1,,2,请你再添上一条线段,使这四条线段成比例,8.如图所示是BC的中点,则线段BF的长为 2.88 cm.9.计算:(1)已知:3x-5y=0,求;(2).解:(1)因为3x-5y=0,所以3x=5y,所以所以(2)所以b=5a,则10.(拓展探究题)已知△ABC三边a,b,c满足(a-c)∶(a+b)∶b=-2∶7∶4,且a+b+c=24.(1)求a,b,c的值;(2)判断△ABC的形状.解:(1)设a-c=-2k,a+b=7k,b=4k,把b=4k代入a+b=7k,得a=3k,把a=3k代入a-c=-2k,得c=5k,因为a+b+c=24,所以3k+4k+5k=24,解得k=2,所以a=6,b=8,c=10.(2)因为a2+b2=62+82=100=102=c2,所以△ABC是直角三角形.。
九年级数学上册 23.1 成比例线段 1《成比例线段》基础练习2 (新版)华东师大版
1 成比例线段一、选择题（1）若已知fe d c b a ==，则下列式子中正确的是（ ） A ．f e d b c a == B ．fe d c b a 111+=+=+ C ．f d b e c a f e d c b a ++++=++ D ．f f e d d c b b a +=+=+ （2）AB 两地的实际距离250=AB m ，画在一张图上的距离5=''B A cm ，则图上的距离与实际距离的比是（ ）A ．5∶50B ．50∶5C ．1∶5000D ．5000∶1（3）已知cm 3,cm 2==b a ，则)(b a b a +、、的第四比例项是（ ）A ．5 cmB ．56 cm C ．65 cm D ．215 cm 二、填空题（1）如果35=+a b a ，那么____=ba ． （2）如果cm 4,m 2.0==b a ，则________:=b a ．（3）若2,3,2===c b a ，则c 、b 、a 的第四比例项是_________．（4）若6,3==b a ，请再写出一条线段的长，使它与a 、b 这三条线段中的一条是另外两条的比例中项，则这条线段长为________．（5）如果0,572≠==xyz z y x ，则____3=-++y x z y x ． 三、解答题1．分别用厘米和毫米作为长度单位，量一量数学课本的长和宽，并计算长与宽的比，这两个比值相等吗？2．如果两地相距200 km ，那么在1∶10 000 000的地图上它们之间的距离是多少？3．图纸上一个零件的长是23 mm ，比例尺是1∶20，你能算出这个零件的实际长度吗？4．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，若︒=∠45A ，求AC BC :和AB BC :．5．任意作一个等边三角形，它的高与边长的比是多少？参考答案一、选择题（1）D （2）C （3）D二、填空题（1）23 （2）5∶1 （3）26 （4）23，23，12 （5）－14 三、解答题1．比值略，两个比值相等．2．2 cm ．3．460 mm ．4．1∶1，2:1．5．2:3．。
九年级数学上册 23.1 成比例线段 2《平行线分线段成比例》拔高练习 (新版)华东师大版-(新版)
平行线分线段成比例 A 组 选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE 面积相等的三角形有（ ）.2．顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是（ ）.3．顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）.填空题1.平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，过O 点作MN ∥AD 交AB 、CD 于M 、N ，则M 、N 为AB 、CD 上的 点2.已知E 、F 是平行四边形ABCD 中AD 、BC 上的点，且AE=CF ，过AB 中点M 作MN ∥BC ，交EF 、CD 于P 、N 点，则21 EP ，CD=2 =2 . 3.已知：如图AB ∥CD ，直线CA 、DB 相交于E ，若EA=AC则 = .4.已知：如图AB ∥CD ，AO=OD ，BC=4 cm ，则CO= BC= cm ，根据 .5.已知：在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的角平分线，DE ∥AB 交AC 于点E ，求证：AE=EC=DE.6.已知：在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点.求证：AG=GH=HC.B 组选择题1．在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BC 交AC 于F 点，则下列结论成立的是（ ）A.AE=AF ∶AB=1∶2 ∶FC=1∶2 D.BE=FC2．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（ ）3．如图AB ∥CD ∥EF.AF 、BE 相交于O 若AO=OD=DF ，BE=10 cm ，则BO 的长为（ ）A.cm 310 B.5 cm C. cm 25 D.3 cm4．如图AB ∥EM ∥DC ，AE=ED ，EF ∥BC ，EF=12 cm ，则BC 的长为（ ）A.6 cmB.12 cmC.18 cmD.24 cm填空题1、已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG= CH= AE= CF= .2、在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，，若EG=5 cm，则AC= ；若BD=20 cm则EF= .3、如图AB=AC， AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP 若AB=6 cm，则AP= 若PM=1 cm，则PC= .4、如图∠C=90°∠A=60° D、E、F是AB的四等分点，且DG∥EH∥FM∥AC，若DF=8，则AC= ， GM= ，BC= ，FM= .5、已知：如图AC⊥AB于A，DB⊥AB于B OC=OD连结OA、OB.求证：OA=OB.6、已知：如图∠ACB=90° AC=BC CE=CF，EM⊥AF，⊥AF.求证：MN=NB.参考答案A 组选择题1、A2、A3、D填空题1、中点2、EF 、DN 、3、EB=BD4、 21、2 cm 平行线等分线段定理 5、 由已知得：∠BAD=∠CAD 、BD=CD ，又DE ∥AB 得AE=EC ，∠ADE=∠BAD=∠CAD ，得AE=EC=DE.6、提示：在△ACD 中，EG ∥DH ，E 是AD 的中点△ABC 中，GH=HC ，得AG=GH=HC.B 组选择题1、B2、B3、A4、D填空题1、 AH BE DF2、15 cm 10 cm3、2 cm 4 cm4、8 cm cm 38 cm 316 6 cm5、 作OE ⊥AB 于E. ∵AC ⊥AB 、DB ⊥AB ∴AC ∥OE ∥DB∵O 是DC 中点 ∴E 是AB 中点 ∴OA=OB6、延长ME 交BC 的延长线于P ，由已知可得，Rt △EPC ≌Rt △FAC.∴PC=CB 又∵EM ⊥AF ⊥AF ∴PM ∥，又C 是BP 的中点∴N 是MB 的中点 ∴MN=NB。
23.1.1.成比例线段
c d
（或a∶b＝c∶d），那么，
这四条线段叫做成比例线段，简称比例
线段．此时也称这四条线段成比例．
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个
数成比例可写成怎样的形式？
如果
a b=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫
C. a c 2e a - c b d 2f b - d
B. ac e bd f
D. 2a 2c e bd f
1.已知 x 3 ，求 x y 的值
y4
x y
变式：已知 x y 3，求 x 的值。 xy 4 y
2.已知x：y：z 3：4：5，求 x y 2z 的值 x y 2z
ad bc
在等式两边同减上ac，
∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c，
由a b,且 a c ,知c d,从而a b 0,且c d 0, bd
∴两边同a 除以（c a－b）（c－d），
ab cd
．
达标检测
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
的前项和后项？
3、求线段的比时要注意哪些问题？
44、、什什么么叫做做成成比比例例线线段段？？
5/25/2019
温故知新
1、比例的意义：表示两个_比__相等 的式子叫做比例；
2、比例的基本性质：比例的_两_内__项_ 的乘积等于_两_外__项__的乘积。
探究新知
由下面的格点图可知， AB
AB
九年级数学上册 23.1 成比例线段典型例题素材 (新版)华东师大版
《成比例线段》典型例题例题1. 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a ．例题2. 如图，）（）（）（2,3,1,2,2,0C B A --．（1）求出AB 、BC 、AC 的长．（2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到C B A '''、、的坐标，求出C A C B B A '''''',,的长．（3）这些线段成比例吗？例题3．已知811=+x y x ，求y x例题4．已知432z y x ==，求y x z y x -+-33的值例题5．若3753=+b b a ，则b a 的值是__________例题6．设k yx z x z y z y x =+=+=+，求k 的值例题7．如果0432≠==c b a ，求：bc a c b a 24235-++-的值 例题8．线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值例题9．如图，已知，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，并且 23===AE AC DE BC AD AB ，ABC ∆的周长为12cm ，求：ADE ∆的周长参考答案例题1 分析 观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知bc ab =，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例．解答 （1）cm 16,cm 10,cm 8,cm 5====a d b c ，ac bd c a d b ==⨯=⨯,80,80 ， ∴dc a b =， ∴四条线段成比例．（2）10cm 8cm,6cm,0.6dm cm,5.0=====d a c b ，ca bd ca bd ≠==,48,5，∴这四条线段不成比例．例题2 分析 利用勾股定理可以求出这些线段的长．解答 （1）133222=+=AB ，543,26152222=+==+=AC BC ．（2）)4,6(),2,4(),4,0(C B A '-'-'，132134526422=⨯==+=''B A ，26226410421022=⨯==+=''C B ，108622=+=''C A ．（3）21,21,2113213=''=''==''C A AC C B BC B A AB ， ∴C A AC C B BC B A AB ''=''=''， 这些线段成比例．例题3．解答：由比例的基本性质得x y x 11)(8=+∴y x 83= ∴38=y x说明 本题考查比例的基本性质，易错点是由y x 83=化成比例式时错成83=y x ，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解。
2018届九年级数学上册23.1成比例线段教案(新版)华东师大版
23. 1成比例线段23. 1.1 成比例线段【知识与技能】1 •掌握比例线段的概念及其性质.2•会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例. 【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识, 习方法.进一步加强理论联系实际的学么？ 重点难点【教学重点】线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质. 【教学难点】用引入比值k 的方法，探索比例的性质.教学过程一、创设情境，导入新知1.如何确定四个数成比例？数的比例式有什么基本性质? 2 •下面格点中的两个矩形相似吗？ 二、合作探究，理解新知 探究一：成比例线段 1.做一做(1)①在上面的格点图中, —,BC=_ ②计算靑 如果设水平 ,A B = _ BC---- ，B ，C'Mt 一*一D (** lC*(或竖直)的相邻两格点间的距离为 1，那么AB= —,B ，C ，=③显然AB B B学生通过交流(2)思考：换AD _ CD A D' = C ，D'2•结论线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段 AB CD 的长度，它们的长度比就是这两条线段的比.成比例线段：对于四条线段 a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比等于另两条线a c段的比，女口 b = d (或a ： b = c : d )，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段•此外也称这四条线段成比例.3. 议一议(1) 在上面的格点图中，如果把格点去掉，通过度量，你还能验证上面的结论成立吗？ (2) 如果在测量时，AB 的长度单位采用厘米而 A' B'的长度单位采用分米， 那么它们的比有没有变化？(3) 两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 4. 知识运用例1：判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： (1) a =4, b = 6, c = 5, d = 10 ； (2) a = 2, b = 5, c = 2y 15, d = 5 *J 3.分析：利用成比例线段的定义求.a cb d .•••线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段.a = 2 = 2护 c = 2护 2远b = 5 = 5 ，d = 5 .3= 5 ac b =d .•线段a 、b 、c 、d 是成比例线段.解：由图可知：AC = 1 cm , CD= 2 cm , DB= 4 cm , CB= C 內 DB= 6 cm ,AC 1 AC 1 CD 2CD T 2，CB" 6，DB" 4所以AC CD CD DB 是成比例线段.4 2c 6= 3，d5 = 1 10 = 2,例2 :根据图示求线段的比:AC CD AC CDCB DB 并指出图中成4 i ：m1 2.则有AC =CD CD DB探究二：比例的性质a c1.在数的比例式中，若四个数a、b、c、d满足b= c，那么我们就说这四个数成比例, 4.a c a c并且知道若a = c ，则有ad = bc ;若ad = bc ,则£= c .那么若线段成比例，是否也有上述结论? b d b d通过学生类比、讨论得出比例的基本性质.2•比例的基本性质a c a c 如果=二，那么ad = bc .如果ad = bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么 =.b db d3. 议一议 (1)你会证明这两个命题吗？(引导学生从正反两个方面去证明)a c(2) 由ad = bc ,除了得到/外，你还能得到哪些比例式？ 4. 知识运用a c a +bc +d 例3:证明(1)如果匚=，那么 ———;b db da c a c(2)如果 b = d (a * b)，那么 a —b = c —d . a c证明：⑴••• b =d 在等式的两边同时加上1,.a + b c + d=~d~a c⑵••• J ： ad = be.在等式的两边同时加上 ac ,： ad — ac = bc + ac .••• ac — ad = ac — bc , a (c — d ) = c (a — b ), a c•••a z b , 由 b =d 得 c 丰 d ,:a — b z 0,且 c — d z 0.引导学生练习，总结解题方法，最后教师归纳用设 k 值的方法解与比例有关的题目.三、尝试练习，掌握新知1.若x 是3和12的比例中项，贝U 3、x 、8的第四比例项为_土 16_e 3 a + 2c — 3e ，亠f = 4(b + 2d — 3f 主0)，求 b + 2d — 3f 的值•若=C ^a = a ^~ = k (a + b + c 丰0)，试求 k 的值.(答案：2)a b c两边同时除以 (a — b)( c —d),a ca —b =c — d' 练习：已知a2佶+ b 3,求〒、a a — b的值.2.已知:3a = 4b ,则 a + b7 —3—.3(答案：4)AB AC BC 324 5•如图，已知AD^= AE= 阿2，且厶ABC勺周长为36術，求厶ADE勺周长.(答案：cm)6•请同学们完成《探究在线•高效课堂》“随堂练习”部分.四、课堂小结，梳理新知本节课你有什么收获和困惑？1 •内容总结(1)成比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，就称这四条线段是成比例线段.a c(2)比例的基本性质：如果b=d，那么ad= be.如果ad= bc(a、b、c、d都不等于0)2.方法归纳(1)在解决比例的有关问题中，用设k值的方法；(2)判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，相等则成比例，否则不成比例.3.注意的问题(1)在求两条线段的比时，单位必须统一；a c(2)线段a、b、c、d成比例，其表示方法是有顺序的，即匚=匚.b d五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线•高效课堂》“课时作业”部分.课后件业教材第55页习题23.1的第1〜6题.23. 1.2 平行线分线段成比例教学目标【知识与技能】在理解的基础上掌握三角形一边平行线的性质、平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理，并会灵活应用.会做已知线段成已知比和把线段进行等分的作图题.【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.重点难点【教学重点】理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运4.用定理解决有关问题.【教学难点】平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形.教学过程一、创设情境，导入新知［温故而知新］问题：一组等距离的平行线截直线 a 上所得的线段相等，那么在直线 b上所截得的线段有什么关系呢？（请同学们观看课件中的验证过程 ）［学生活动］学生观察、分析、思考、探究并与同学进行交流. ［教师活动］教师组织引导学生进行自主探究与交流. ［小结］教师引导学生总结出如下结论：一组等距离的平行线在直线 a 上所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段 也相等. ［教师点拨］这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，它讨论的是平行线截直线截得的线段相等的情况，那么如果截得的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容： 平行线分线段成比例定理.【教学说明】通过对平行线等分线段定理的复习，为新课中引导学生归纳出平行线分线段成比例定理做铺垫.二、合作探究，理解新知［师生合作探究］师：同学们，请翻开数学作业本， 我们可以发现每一页都是由一些间距 相等的平行线组成的，下面请同学先在作业本上任意画出一条直线 m 如图所示：师：等分线段定理可知 A*BC 如果再任意画一条直线 n 与这一组平行线相交，=EF.［思维提升］如果将作业本上相邻的三条平行线换成不相邻的三条平行线， 任意画两条直线m n 与它们相交，如图，当 m n 这两条直线平行时，观察并思考这时所得的AD DBFE EC 这四条线段的长度有什么关系？如果 m n 这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量算一算，看看它们是否存在类似的关系？［学生活动］学生自主探究并与同学进行交流. ［教师活动］教师组织引导学生进行自主探究与交流. ［小结］教师引导学生探究并归纳出如下结论：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 用几何语言表示为：C 三点，由平行线那么同样可知 DE由此我们可得 AB_DEBC T EFAB DE BC EF［教师点拨］点拨一：当上述图中的 A 点与F 点重合时，如图，此时 AD DB AE EC 这 四条线段之间会有怎样的关系呢？点拨二：如图，当直线m n 相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线 段呢？AD_AE D B " EC .DA EA 二 D B "EC［教师点拨］这两幅图可以简称为“ A'型和“ X ”型. 例题讲解例 1:如图，l i // I 2//I 3, AB= 4, DE= 3, EF =6，求 BC 的长.•/ AD// BE// CF,［小结］教师引导学生归纳出如下结论：三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段成比例.用几何语言表示为:•••DE// BC•••DE// BC B A(F)分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题.解:T i l // 丨2〃 丨3,•/ AB= 4, DE= 3, EF = 6,• 4 _3 "BC 6.BC= 8.例2：如图，E 为？ABCD 勺边CD 延长线上的一点，连结 BE 交AC 于点Q 交AD 于点BO E0F0= B 中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出B0和B0勺值•证明：•••四边形 ABCD 是平行四边形,••• AB// CD AD// BCT AB// CD• CO EO "AC = BO •/ AD// BC• BO CO "FO = AO.B0= E0 …F0= BO三、尝试练习，掌握新知 1. 教材第55页练习. 2.如图，DE// AF// BC 试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快， 找 得多.AB m 亠、十 DE mAB _DE BC EF平行线分线段成比例F .求证:BO E0F0=BO分析：由于比例式 :第2题图3.已知：如图所示，I 1 // I 2 // I 3, 尸，求证：云F .BC n DF m+ n4•请同学们完成《探究在线•高效课堂》“随堂练习”部分.四、课堂小结，梳理新知1•本节课主要学习了平行于三角形一边的平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及平行线等分线段定理，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行于三角形一边的平行线的性质来解决的.2.使用平行线分线段成比例定理，一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则会产生错误.五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线•高效课堂》“课时作业”部分.谍后作业教材第55页习题23.1的第7题.11。