水质工程学2 水文统计基本原理与方法

3.1.3 总体与样本
3.1.3
总体与样本 (collectivity and sample) :
有 限 总 体 无限 样本
容量无限 容量一定
容 量
● ●
水文特征值系列的总体是无限的。 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映 出总体的特征。
概率与频率
3.1.4 概率与频率(Probability and frequency)
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数
（1）均方差
▵ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。 ▵ 限于比较均值相同的系列。 ☆ 总体的
☆ 样本的
总
x x 样
n 2 i 1 i
K
3 n
n
i

i 1
i
1
3 V
3
（3-16）
n C
i
Cs
(x
x)
3
3
(n 3)
(K
1)
3
3
（3-17）
(n 3)C v
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。 ◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
n 1

引入模比系数 对于总体
k i 1
i 1 n 2 n
xi Ki x
对于样本
Cv
Cv
n

ki2 n
i 1
k 1
i 1 i
n
2
n
n 1

k
i 1
n
2 i
n
n 1
变差系数图
湖北省部分地区年径流量变差系数Cv等值线图
Cv的曲线形状影响
必然事件 不可能事件 随机事件
随机事件：在一定组合条件下，可能发生也可能不
发生的事情
◆ 随机变量(Random variables) ：
▴
随机变量(Random variables) ：
随机事件的数量化表征
随机变量
相邻两个随机变量之间，不存在中间值
离散型 连续型
随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值
xi
水文学中的概率分布
水文统计中常用的概率分布 — 正态分布 概率密度函数为：
f ( x)
1

( x x )2 2 2
2
e
( x )
正态分布密度曲线特征： 特点：
1）单峰；
2）以均值为对称轴；
3）曲线两端趋于±∞， 且以x轴为渐近线。
3.1.6 累积频率与重现期
3.1.6 累积频率与重现期
2 7 11 5 3 2
6.67 23.33 36.67 16.67 10.00 6.67
1.67 5.83 9.17 4.17 2.5 1.67
2 9 20 25 28
30
6.67 29.99 66.66 83.33 93.33 100.00
§3-2 统计参数与抽样误差
§3-2
统计参数与抽样误差
(1) 概率（机率）:随机事件在客观上可能出现的机会
k n k：事件A在客观上可能出现结果的总数； P( A) n：一切可能出现的结果的总数。
基本性质：
0≤P(A)≤1
(2) 频率：在具体重复试验中，随机事件A出现的次数 与试验总次数之比值
k W ( A) n k : 事件A在n次试验中实际出现的次数
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6
水文统计基本概念
水文统计 事件与随机变量 总体、个体与样本 概率与频率 随机变量概率分布 累积频率与重现期
3.1.1 水文统计
水文统计意义：
水文现象具有必然性、偶然性（随机性）； 利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的
题的图
62
1.6 4.8 9.6 20.9 41.9 71.0 95.2 98.4 100.0 — 100.0
2300
f(x) 频率密度曲线
2300
P(X≥xi) 累积频率曲线
x(mm)
1300
x(mm)
频率密度直方图
1300
300 0 5
300
10
-4 △P ×10 ） △X（
累积频率直方图
15
（Statistical parameters & Sampling error ）
3.2.1. 统计参数
能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为
统计参数，或特征参数，有时称为分布参数。
特征参数
1.
位置特征参数
2.
离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数）
变差系数Cv
3. 对称程度特征参数
概率和频率的关系
(3) 概率与频率关系：
lim W ( A) P( A) 0
n
频率是经验值，概率是经验值； 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概 率特性； 样本容量越大，结果越准确； 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资 料组成样本系列，推求频率作为概率的近似值。
总体思路
I、II级铁路桥梁 铁路桥涵设计 洪水频率P(%) I、II级铁路涵洞 水电站设计保证率(电力系统中 水电容量比重<25%)P(%) 雨水管渠设计 重现期T(a) 一般地区，干道
80～90 0.5～3
2～5
重要地பைடு நூலகம்，干道
Hydrological Statistics
◆ 本节水文频率计算的基本思路： 实测水文系列资料为样本 分析不同测值出现频率(且考虑抽样误差) 总体规律性 预测水文情势，确定合理设计值
Cv越大，频率密度曲线矮而宽,系列数值相对 Cv越小,频率密度曲线瘦而高,系列数值相对
x 分布越分散。
分布越集中。
偏态系数
x
3. 对称程度特征参数
偏态系数 CS
反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对
称或不对称（偏态）程度的系数。
总体：
CS
样本：
x
n i 1
i
x
3
0
20
40
60
80
100
P（％）
p dp lim f ( x) x 0 x dx
将左式进行积分
x
P(X≥xp)=F(xp) ∞ x ∫p f(x)dx
f(x)
x
xp
xp
F(x) F(xp)
0
概率密度函数
f(x)
0

p
F(x)(％) 100
概率分布函数 （3-4）
P( X xi ) F ( xi ) f ( x)dx
中值（中位数） 偏态系数Cs
无偏估计
无偏估计量：
ˆ E( ) ˆ E( )
有偏估计量：
▲ 对于有偏估计量，大量样本平均的结果都不等于总 体的相应参数，需要进行修正，以得到对总体的无偏估 计值公式。
均值
1.位置特征参数
(1) 均值（数学期望） x

3-11
均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平。
(1) 累积频率（Accumulated frequency）： 等量或超量值的累积频数(m)与总观测次数(n)之比。
有：
m P ( X xi ) n
(%)
（3-6）
※
频率
累积频率
频率特性
√ 累积频率特性：
i n
1 P( X xi ) P( X xi ) ？( f k f k ) n k 1 k i 1 P ( X xi ) 1 P ( X xi )
随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统
计规律性； 以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意
义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营
期间的需要。
3.1.2 事件与随机变量
3.1.2 事件与随机变量
▴ 事件 (Events) ：是指在一定组合条件下，在 实验结果中所有可能出现或可能不出现的事情。
频数 / 年
累积 ∑mi 1 3 6 13 26 44 59 61 62 —
频率 / %
组内 △p 1.6 3.2 4.8 11.3 21.0 29.1 24.2 3.2 1.6 累积 P
组内平均频率密度 △p/△x (10-4) 0.80 1.60 2.40 5.65 10.50 14.55 12.10 1.60 0.80 —
▵ 算数平均值
◇ 加权平均值
均值图示
我国多年平均年降水量分布图（单位：mm）
Y图
湖北省部分地区多年平均年径流深等值线图（mm）
众值
（2） 众值（众数）
ˆ x
概率密度曲线峰值在x坐标上相应的位置值。
（3）中值（中位数） x
对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为 两个相等部分所对应的 x 值为中值。即中值是该系列
图总结
位置特征参数
均值（平均数） 众值（众数）
离散程度特征参数 均方差 变差系数Cv
对称程度特征参数 中值（中位数）
偏态系数Cs
※ 统计参数物理意义； 统计参数对频率密度曲线形状的影响。
复习：矩的概念
矩
▲ 随机变量 x 对原点离差的 k 次幂的数学期望 E(xk)，称为随机 变量 x 的 k 阶原点矩。 ▲ 随机变量 x 对中心分布 E (x) 离差的 k 次幂的数学期望 E {[x – E (x)]k}，则称为随机变量 x 的 k 阶中心矩。