2019-2020年高三三模数学试卷及答案

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2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I).doc

2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ．解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合{}{}2120,lg(2)A x x xB x y x =+-<==- ，则=⋂B A ．（2,3） 3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数段的人数为．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________．()81,8-7、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S．则“||q =627S S =”的（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件）充分而不必要条件8、如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等的正三棱锥，四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为分数PQDN MED CB A50m ，则底边AB 的长为 m ．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点,P Q 在底面的射影分别是正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离，由平面几何易知，底边AB的长为9、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为．解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==． 10、若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．411. 已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ▲ ．710 12、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x f =)(，若对任意的]2,[+∈a a x 不等式)(3)(x f a x f ≥+恒成立，则a 的最大值为 ▲ -413．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足A D E ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则C D E D ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-，又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． ⑴设BC CA CA AB ⋅=⋅，求证ABC ∆是等腰三角形；⑵设向量(2sin ,s C =,2(cos2,2cos 1)2C t C =-，且s ∥t ,若12sin 13A =，求sin()3B π-的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11；（2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分（2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆,而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB且12EH AB ==由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴111111111223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅分ABCE F P1A 1B 1C HGB17. （本题满分14分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==，探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米)。

2019-2020年高三三模试卷数学试题(理)含答案

2019-2020年高三三模试卷数学试题（理）含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足34iz i z =+=，则A.1B.2 D.52.已知集合{}{}1012312A B x x =-=-<，，，，，，则R A C B ⋂= A.{}012，， B.{}13-， C.{}12， D.{}103-，， 3.若向量,a b 满足()26a b a b b ==+⋅=，且，则向量a b 与的夹角为A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知命题()sin cos p R απαα∃∈-=：，；命题:0q m >是双曲线22221x y m m -=的离心率为.则下面结论正确的是A.()p q ∧⌝是真命题B.()p q ⌝∨是真命题C.p q ∧是假命题D.p q ∨是假命题5.下列函数中既是奇函数，又在区间（0,+∞）上单调递减的函数是 A.11221x y =++ B.11221x y =-+ C.11221x y =+- D.11221x y =-- 6.函数()()sin ln 2x f x x =+的图象可能是7.以下四个命题中：①从匀速传递的产品流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据123,,x x x ，…，n x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的方差为2；④对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.48.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.B.C.3D.39.设点(),a b 是区域240,0,0.x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数的概率为 A.12 B.13 C.14 D.1510.设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数t 使得对于任意()()()x M M D x t D f x t f x ∈⊆+∈+≥，有，且，则称()f x 为M 上的“t 高调函数”. 如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当()()220,x f x x a a f x ≥=--时，且为R 上的“t 高调函数”，那么实数a 的取值范围是A.22⎡-⎢⎣⎦B.[]1,1-C.1,2⎡-⎢⎣⎦D.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.某校组织数学竞赛，学生成绩()()()2100,,120,80100N P a P b ξσξξ-≥=<≤=， a b +=则_____________.12.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为12，则输出的S 的值为_________.13.在222sin cos 3cos sin ,ABC a c b A C A C b ∆-===中，已知，且则____.14.若()()201422014012201421x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则23201423201411112222a a a a a a ++⋅⋅⋅+=___________. 15.已知12,F F 分别是椭圆C 的左右焦点，A 是椭圆C 短轴的一个顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，若12160F AF B ∠=∆，AF的面积为C 的方程为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos sin sin ,44f x x x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.17. （本小题满分12分）某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人.（I ）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（II ）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i ）求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分（ii ）求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12482,,a a a a =，且成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项；（II ）设(){}1n n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，ABC ∆是边长为2的正三角形，BCD ∆为等腰直角三角形，且,2,BD CD AE AE ==⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC.（I ）求证：AC//平面BDE ；（II ）求钝二面角C-DE-B 的余弦值.20. （本小题满分13分）设函数()2ln 2,f x x x ax a R =+-∈. （I ）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（II ）设()()()()2102F x f x a F m F n =+==，若（其中0m n <<），且02m n x +=，问：函数()()()00,F x x F x 在处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.21. （本小题满分14分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在圆()222:59C x y +-=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2y =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（I ）求曲线1C 的方程；（II ）设P 为直线4y =-上的一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D ，证明：四点A ，B ，C ，D 的横坐标之积为定值.。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（）A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r ，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 1,222k k λμ∴=--=， 12λμ∴+=-. 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.2．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E ∠=，即可得出结果.【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I ,所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =，则11tan 33CE CA E A E∠===∴13πCA E ∠=.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.3．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知51=1244T -=，所以2T =，22πωπ==，又图象过点3(,1)4-，所以31sin()4πϕ-=+，故ϕ可取34π，所以3()sin()4f x x ππ=+令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝()()111·i iiii i i---==---，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年【答案】C【解析】【分析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（）A 3B ．2C 3D 23【答案】A【解析】【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以2sin AO ADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =，又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ，过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===，故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（） A ．y x = B ．()sin f x x x = C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y x =为非奇非偶函数，不符合题意；B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C【解析】【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx=+得出答案.【详解】解：由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+在Rt ACB'V中，列勾股方程得：()22252x x+=+，解得214x=所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx===++故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．3C．83D．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．10．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=u u u v u u u v ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+u u u v u u u v u u u v u u u v ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】【分析】解出AP u u u r ，计算AP BC ⋅u u u r u u u r并化简可得出结论．【详解】 AP OP OA =-=u u u r u u u r u u u r λ（AB AC AB cosB AC cosC+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ）， ∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP BC u u u r u u u r ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅u u u r u u u r 是关键．11．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +> 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高三三模数学试卷(理科) 含答案

2019-2020年高三三模数学试卷（理科）含答案注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚； 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合，集合，则． 2．函数的反函数是．3．过点且与直线垂直的直线的方程．4．已知数列为等比数列，前项和为，且，，则此数列的公比． 5．如果复数满足（是虚数单位），则的最大值为 1 ． 6．函数的单调增区间为（）．7．行列式42354112k---中第行第列元素的代数余子式的值为，则实数= ． 8．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长 24 ．9．设、、、是球面上的四个点，且在同一个平面内，，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．10．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为”的概率为． 11．数列中，且，则数列前项的积等于． 12．若均为平面单位向量,且，则．（用坐标表示）13．在极坐标系中，动点从出发，沿极轴方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴绕极点按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点的极坐标方程． 14．记符号表示集合中最小的数．已知无穷项的正整数数列满足，令{}()m i n |,k n b n a k k *=≥∈N ，若，则12201214......a a a b b b +++++++= 294 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（ D ） A ．系数行列式 B ．比例式C ．向量不平行D ．直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行16．用符号表示不小于的最小整数，如，．则方程在上实数解的个数为（ D ）A．0 B．1 C．2D．317．已知为椭圆的左顶点．如果存在过点的直线交椭圆于两点，使得，则的取值范围为（ C ）A．B．C．D．18．在圆锥中，已知高=2，底面圆的半径为，为母线上一点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ B ）①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为．A．1 个B．2 个C．3个D．4个三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，为圆的直径，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面．（1）求证：平面；（2）设异面直线与所成的角为且，将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．解：（1）证明：因为为圆的直径，所以，即…………2分又因为垂直于圆所在平面，所以………………………………………4分又所以平面…………………………………………………………5分（2）由题意知，将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线与所成的角为，且，所以，……………7分又因为，所以，在中，，………………………9分在中，，，所以…………………………10分所以该几何体的体积πππ34313122=⋅⋅-⋅⋅=AEDEAECEV……………………12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图在半径为的圆形的材料中，要截出一个“十字形”,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（为圆心）（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（）（图）,此时边长为多少？（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图），此时为多少？（用反三角函数表示）图（1）图（2）解：（1）当“十字形”的边长相等时，过作交于，作⊥交于．设该“十字形”的边长为，则，．在中，由勾股定理得，()2525322=⇒=+x x x …………………………5分所以，边长………………………………………………………………………6分（2）过作交于，作⊥交于．设∠，则5cos ,5sin OM DM θθ==．，．…………………………………………8分所以，“十字形”的面积为2222(2)4()100cos 100(cos sin )S OM NM θθθ=-=--1))2θϕ=+- （其中或） …………………………………10分所以，当时， ………………………………………12分此时，552arccos22-==∠πθDOE 或 ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数对任意，都有，其中为常数．当时，．（1）设，在时的解析式及其值域；（2）设，求在时的值域．解：（1）当时，于是，又所以即……………………………………3分即在时的值域为…6分（2）由于 )2,2[)2,2[)2,2[)2,1[),1[1322+=∞+n n只研究函数在值域即可……………………………………7分对于得于是)2()2()2()(22nn x f a x f a x af x f ==== 所以 ………………………………………9分因为所以当为偶数时，在上单调减，值域为；且 ⊇⊇⊇⊇⊇],0(],0(],0(]1,0(242ka a a ………………………………………10分当为奇数时，在上单调增，值域为且 ⊇⊇⊇⊇⊇-)0,[)0,[)0,[)0,[1253k aa a a ………………………………………12分所以的值域为 …………………………………………………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知在数列中，．（1）设（），求数列的通项公式；（2）若⎩⎨⎧+=+奇数时当为偶数时当n a n a a nn n 211，求数列的前项和；（3）当时，是否存在一个常数，使对任意正整数都成立？如果存在，请求出的值，并证明；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，令，比较得到，故有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，……2分因此，所以， .…………………………………4分（2）由题意可知，，所以，所以，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，由，可得到，，又因为()12221222+==++n n n a a a ，所以…………………………6分由，同样可以求得，…………………………………8分所以m m m a a a a a a S 21243212++++++=-()()m m a a a a a a 2421231+++++++=-()()m m m m 22222221322-++++-+++=+)242()22(21m m m m --+--=++ ，即……………………………10分（3）因为在上单调递减且，由，可知数列中的各项均满足由要证明不等式的结构可令，解得，故猜想：12150122≤<-<<+n n a a ，………………………………………………13分下面用数学归纳法证明：证明：（i ）当时，，，所以，命题成立；（ii ）假设时，命题成立，即有12150122≤<-<<+k k a a ，由于在区间上单调递减，所以 )1()()215()()0(122f a f f a f f k k ≥>->>+ 即12152101222<<-<<<++k k a a ，再次利用函数在区间上单调递减，得到 )1()()215()()0(1222f a f f a f f k k >>->>++，即12152103222<<-<<<++k k a a ，所以时命题也成立，所以12150122≤<-<<+n n a a 即存在常数，使对任意正整数都成立.…………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图，矩形中，，以矩形的中心为原点，过矩形的中心平行于的直线为轴，建立直角坐标系，（1）求到直线的距离之积为1的动点的轨迹；（2）若动点P 分别到线段中点的距离之积为4，求动点的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；（3）已知平面上的曲线及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到曲线的距离．若动点到线段的距离与射线的距离之积为4，求动点的轨迹方程，并作出动点的大致轨迹．解：（1）设，则………………………………………………2分化简得. 故动点的轨迹为三条平行线；………………………4分（24.=()222241616.x y x ++-=化简得对称性：关于原点、轴对称； (6)分顶点：()()(),,0,0-；…………………8分范围： ……………………………10分作图如图（不计分）（3）同时从几何和代数角度进行分析当时，1y =-12分2A当时，或，…………………14分y=+，……………16分当时，1作轨迹大致如图.分三个区域给分：①在直线的下方：两段曲线；②在两直线之间：三条平行线；③在直线的上方：三条曲线.………………………………………………18分④⑤⑥2019-2020年高三三模物理试题含答案说明：1．本试卷考试时间120分钟，满分150分，共33题．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分．2．所有答案必须全部填写在答题纸上．注意试题题号与答题纸上的编号一一对应，不能错位．写在试卷上的答案一律不给分．一．单项选择题．（共16分，每小題2分，每小题只有一个正确选项，答案填写在答题卡上．）1．下列单位中属于国际单位制（SI）基本单位的是A．千克B．千米C．千焦D．千帕2．最早发现静止点电荷间相互作用规律的科学家是A．安培B．法拉第C．麦克斯韦D．库仑3．下列不属于．．．电磁波的是A．红外线B．X射线C．β射线D．γ射线4．汤姆生发现了电子并由此提出了原子结构的葡萄干蛋糕模型，他发现电子的实验基础是A．α粒子散射实验B．阴极射线实验C．α粒子轰击铍核实验D．α粒子轰击氮核实验5．关于物体的内能，以下说法正确的是A．热量不能自发地从低温物体传给高温物体B．晶体熔化时吸收热量，分子平均动能一定增大C．物体的温度升高，表示物体内所有分子的动能都增大D．电流通过电阻使电阻发热，是因为电源和电阻间的“热传递”6．物体同时受到同一平面内三个共点力的作用，下列几组力的合力可能为零的是A．1N、2N、4N B．3N、6N、10N C．4N、8N、13N D．5N、12N、12N7．如图，一质量为M的不均匀三角板AOB，OA⊥OB且OA＝OB＝L，O点为水平固定转动轴，现用一水平拉力拉住A点，维持三角板处于OA竖直的静止状态，拉力大小为F，重力加速度为g，则三角板重心到AO的距离为A．B．C．D．8．在输液时，药液有时会从针口流出体外，为了及时发现，某人设计了一种自动报警装置，电路如图所示．定值电阻R、探测器S电阻均保持不变．M是贴在针口处的传感器，当接触到药液时其电阻R M会发生明显变化，导致S两端电压U增大，装置发出警报，此时A．R M变大，且R越大，探测器S越灵敏B．R M变大，且R越小，探测器S越灵敏C．R M变小，且R越大，探测器S越灵敏D．R M变小，且R越小，探测器S越灵敏二．单项选择题．（共24分，每小题3分，每小题只有一个正确选项，答案填写在答题卡上．） 9．根据爱因斯坦光子说理论，光子能量E 等于（h 为普朗克常量，c 、λ分别为真空中的光速和波长）A ．hc λB ．h λcC ．h λD ．h λ10．下列各图中的绝缘直杆粗细不计、长度相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各直杆间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是图11．如图所示，自动卸货车始终静止在水平地面上，车厢在液压机的作用下，θ角逐渐增大且货物相对车厢静止．．．．．．．．，对这一过程，下列说法正确的是 A ．货物受到的摩擦力不变 B ．货物受到的支持力增大 C ．货物的机械能保持不变D ．货物受到的支持力对货物做正功12．如图所示，一定质量的理想气体，经过图线A→B→C→A 的状态变化过程，AB 的延长线过O 点，CA 与纵轴平行．由图线可知A ．A→B 过程气体压强不变，密度减小 B ．B→C 过程气体压强增大，密度增大 C ．B→C 过程气体温度升高，密度减小D ．C→A 过程气体温度不变，密度增大13．运动学中有人认为引入“加速度变化率Δa /Δt ”很有必要，它能引起人的心理效应，车辆的平稳加速（即加速度基本不变）使人感到很舒服，否则人感到极不舒服。

2019-2020年高三第三次模拟考试数学含答案

2019-2020年高三第三次模拟考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合，集合，则 ▲ .2.若复数是纯虚数，其中为实数，为虚数单位，则的共轭复数▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的的值为 ▲ .4.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 ▲ . 5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数的最大值为 ▲ ．8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为 ▲ .9.若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为 ▲ . 10.动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为 ▲ . 11.若函数，则是函数为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)12.在边长为1的菱形中，，若点为对角线上一点，则的最大值为 ▲ .13.设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为 ▲ ．14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数. （1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值.S 0 I 041Pr int While I I I S S IEnd WhileS ←←≤←+←+第3题16．(本小题满分14分)在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点. （1）求证://平面；（2）求证:平面平面.17．(本小题满分14分)某地拟建一座长为米的大桥，假设桥墩等距离分布，共为万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中）面每1米长的平均造价为万元.（1）试将桥的总造价表示为的函数；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.A 1第16题第17题19．(本小题满分16分)设函数，.（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在实数,使得2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)设函数（其中），且存在无穷数列，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++.（1）求（用表示）；（2）当时，令，设数列的前项和为，求证：；（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式.盐城市xx高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）在中，已知是的平分线，的外接圆交于点.若，，求的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵的逆矩阵.C．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），试判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.D．(选修4-5：不等式选讲）已知为正实数，求证：，并求等号成立的条件.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足.（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求的值.23．（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n nn n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.（1）若数列的各项均为1，求证：；（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列.盐城市xx 高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 15 4. 1 5. 6. 7. 6 8. 9. 10. 11. 充分不必要 12. 13. 14. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-，当取最大值时，即，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以的取值集合为.……………………………………7分（2）因，由（1）得，又，即，所以，解得，在中，由余弦定理，得，所以，所以面积的的最大值为.…14分 16. 证明：（1）在直三棱柱中，且，因点分别是棱的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，即且，又且，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面.………………7分（2）因，所以四边形是菱形，所以，又点分别是棱的中点，即，所以. 因为，点是棱的中点，所以，由直三棱柱，知底面，即，所以平面，则，所以平面，又平面，所以平面平面…………………………………………14分 17．解：（1）由桥的总长为米，相邻两个桥墩的距离为米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价640()640(2)(1)100640f x x=++-+，即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+ 3112225120080=138033x x x -+-+（）………………………………7分（表达式写成()=1380f x 同样给分）（2）由（1）可求13122236404040()233f x x x x--⨯'=--，整理得3221()(98064080)6f x x xx -'=--⨯，由，解得，（舍），又当时，；当时，，所以当，桥的总造价最低，此时桥墩数为…………………………14分 18．解：（1）由，设，则，，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为………………………………5分（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，，所以直线的方程为，所以点到直线的距离5h ==，………………10分（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-，当直线与轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--，由，解得，，所以若存在点，此时，为定值2. …………………………………………12分根据对称性，只需考虑直线过点，设，，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以，，又222222111111(1)EA m y y m y ===++，所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值2……………16分 19．解：（1）当时，，在处的切线斜率，由，在处的切线斜率，，.……………4分（2）易知函数的定义域为，又[]222212(1)2(1)11(1)()()(1)(1)(1)x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+-'''=-=-==+++，由题意，得的最小值为负，（注：结合函数[]22(1)1y x m n x =+--+图象同样可以得到），2((1))(1)44m n m n +-≥->，，（注：结合消元利用基本不等式也可） (9)分（3）令2=()()()ln 2ln ln ln 22ax a xf f e f ax a ax x x a x a⋅+=⋅-⋅+-，其中则，设1()ln 2ln x a a a x a xδ=⋅--+2211()0a ax x x x xδ+'=--=-<在单调递减，在区间必存在实根，不妨设即0001()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=，可得（*）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，0000()(1)ln 2(1)ln x ax a ax x θ=-⋅--⋅，代入（*）式得根据题意恒成立.又根据基本不等式,,当且仅当时,等式成立所以,.代入（*）式得,,即………………16分 (以下解法供参考，请酌情给分)解法2：ln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中根据条件2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正数恒成立即对任意正数恒成立10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩，解得且，即时上述条件成立此时.解法3：ln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中要使得对任意正数恒成立，等价于对任意正数恒成立，即对任意正数恒成立，设函数，则的函数图像为开口向上，与正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与轴有一个交点，即，所以.20．解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然的系数为0，所以，从而，.………………………4分（2）由，考虑的系数，则有，得1212120(3)n n n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩，即，所以数列单调递增，且22211n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，所以132435211111111()()()()n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-，当时，12+12+121111311322n n n n n S a a a a a a ++=+--=--<.…………………………10分（3）由（2），因数列是等差数列，所以，所以对一切都成立，若，则，与矛盾，若数列是等比数列，又据题意是等差数列，则是常数列，这与数列的公差不为零矛盾，所以，即，由（1）知，，所以.………16分（其他方法：根据题意可以用、表示出，，，，由数列为等差数列，利用，解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知，，因为数列是等差数列，设公差为，，.又由（2），所以得，若即时，，，与条件公差不为零相矛盾，因此则.由,可得222332(22)()0p q p p p q p q p q-++-++-=,整理可得22(23)()20p q p q p p++-++=代入,,或若,则，与矛盾，若,则,满足题意, 所以附加题答案B．解：由题意，得，解得，所以.设，则11210 2101x yz w-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM，解得1221,,,3333x y z w=-===-，即112332133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M.…………………………10分C．解：将直线与曲线的方程化为普通方程，得直线：，曲线：，所以曲线是以为圆心，半径为的圆，所以圆心到直线的距离，因此，直线与曲线相交. …………………………10分22. 解：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，.当时，得，所以，设平面的法向量，则60483033yx y z=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以cos,10PA n ==，即直线与平面所成角的正弦值.………………5分（2）易知平面的一个法向量.设，代入，得(,0,4)(4,0,)a b a bλ-=---，解得4141abλλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即，所以，设平面的法向量，则430443011x yx y zλλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩，消去，得，令，则，，所以平面的一个法向量，=.……………10分23. 证：（1）因数列满足各项为1，即0123()(1)n nn n n n nF n C C C C C=-+-++-，由012233(1)n n nn n n n nx C C x C x C x C x+=+++++，令，则01230(1)n nn n n n nC C C C C=-+-++-，即..………………………3分（2）当时，1212232(2)0F a a C a C=-+=，即，所以数列的前3项成等差数列.假设当时，由1231234+1()(1)0k kk k k k kF k a a C a C a C a C=-+-++-=，可得数列的前项成等差数列，………………………………………………………………………5分因对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，所以成立，所以1231234+1123+1+112+13+14+12+1(1)0(1)0k kk k k k kk kk k k k ka a C a C a C a Ca a C a C a C a C+⎧-+-++-=⎪⎨-+-++-=⎪⎩，两式相减得，1122+1+1 2+13+1+1+1+2+1()()(1)()(1)0k k k k kk k k k k k k k ka C C a C C a C C a C--+-++--+-=，因，所以0121+1234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k ka C a C a C a C a C-+-+-++-+-=，即01211234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k ka C a C a C a C a C--+-+++-+-=，由假设可知也成等差数列，从而数列的前项成等差数列.综上所述，若对任意恒成立，则数列是等差数列. …………………10分2019-2020年高三第三次模拟考试数学理试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为A. B. 2 C. D.2.设集合{}{}22430,log1,M x x x N x x M N=-+≤=≤⋃=则A. B. C. D.3.已知是偶函数，且A.4B.2C.D.4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是 A ．成正相关，其回归直线经过点（30，76） B ．成正相关，其回归直线经过点（30，75） C ．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D ．成负相关，其回归直线经过点（30，75）5．已知数列满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，，则的前项和6..已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是（）A .若，，则B .若，，则C .若，，则D .若，，则7.若点满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点，为坐标原点，则的最大值为A. B. C. D.8.已知集合，定义函数，且点，，，（其中）.若△ABC 的内切圆圆心为，满足，则满足条件的有（）A ．10个B ．12个C ．18个D ． 24个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。

2019-2020年高三第三次模拟考试(三模) 数学含答案bytian

2019-2020年高三第三次模拟考试（三模）数学含答案bytian一、填空题：本题大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应的位置上1、已知集合{|21,},{|05}A x x k k Z B x x ==+∈=<<，则AB =2、已知复数z 满足(3)10i z i +=（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数是3、如图是一次摄影大赛上7为评为给某参赛走达成的分数的茎叶图，积分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是4、甲、乙、丙仨人一起玩“黑白配”游戏，甲乙丙三人每次都随机出 “手心（白）”、“手背（黑）”中的一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出：其它情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是5、执行如图所示的算法流程图，则输出的k 的值为6、已知点F 是抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 7、已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53aa 的值为 8、已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm9、若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则3410x y --的最大值为10、已知函数()[]sin (0,)f x x x π=∈和函数()1tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为11、若点,P Q 分别是曲线4x y x+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为 12、已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中,a b 是互相垂直的单位向量，且()(3)1a c b c --=，同c 的最大值是13、已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围是14、已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线121:,:22l y x l y x ==相切，则这两圆的圆心距12C C 等于二、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，已知//,1,,tan 24AD BC AD BD CAD ADC π==∠=∠=-(1) 求CD 的长；(2) BCD ∆的面积。

山东省威海市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

山东省威海市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,2,3A =，{}220B xx x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A 【解析】【分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B . 【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-. 【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题. 2．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4．故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 3．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56 B ．72 C ．88 D ．40【答案】B 【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可. 【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 4．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （） A ．18- B．-C ．18D．【答案】C 【解析】【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==，若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（）223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．故选C. 【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．5．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】【分析】由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=，所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴，故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.6．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环；第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环；第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环；输出8v =.故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.7．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C 【解析】【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +„，即1a -„时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.8．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(2log 3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】【分析】首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2314⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可判定大小【详解】因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，2log31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<.故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.9．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】D 【解析】【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n n a =-+，解不等式求得结果. 【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2，故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==，又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n n a n ∴=-+-⨯=-+，令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78【答案】C 【解析】【分析】【详解】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =，所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 11．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d da a a a a a a a ----=⇒=⇒= 又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222n n n nS a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.12．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 【答案】D 【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高三第三次阶段考试数学含答案

2019-2020年高三第三次阶段考试数学含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请考生把答案填写在答题纸相应位置上。

） 1．已知{}{}1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则( ) A. B. C. D.2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．若复数(5sin 3)(5cos 4)z i θθ=-+-是纯虚数，则的值为( ) A ． B ．C ．D ．4．给出下列不等式：①a 2＋1≥2a ；②a ＋b ab ≥2；③x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知－1，a ，b ，－4成等差数列，－1，c ，d, e ，－4成等比数列，则b －ad ＝( )A ．14B ．－12C ．12D ． 12或－126．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( ) A. B. C. D.7．若某几何体的三视图如图1所示，则此几何体的表面积是（） A. B. C. D. 8．已知为互相垂直的单位向量，向量a ，b ，且a 与a +b 的夹角为锐角，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．10．设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++的最小正周期为，且，则( )A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增11．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S -ABC 的体积为( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．112．已知为R 上的可导函数，且均有′（x ），则有（） A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f ->> D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -><第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高三第三次模拟考试数学(理)试题含答案

2019-2020年高三第三次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题 1．设复数，则A ．B ．C ．D ．2．设全集{}{}{}|5,1,2,3,1,4U x N x A B =∈≤==，则 A ． B ． C ． D ． 3．运行如图所示的程序框图，输出的等于A ．30零B ．29C ．28D ．274．一几何体的三视图如图所示，则它的体积为A ．B ．C ．D ． 5．为等比数列，，则A ．有B ．24C ．D ．48 6．已知，则A ．B ．C ．D ． 7．实数满足，则的最小值为A．B．C．D．28．经过点，渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为A．B．C．D．9．边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为A．1 B．C．2 D．10．函数由确定，则方程的实数解有A．0个B．1个C．2个D．3个11．一种电子抽奖方式是：一次抽奖点击四次按钮，每次点击后，随机出现数字1，2，3，4。

当出现的四个数字不重复，且相邻两数字不是连续数字（即两个数字差的绝对值为1）时，获头奖，则第一次抽奖获头奖的概率为A．B．C．D．12．定义在上的函数，则A．既有最大值也有最小值B．既没有最大值，也没有最小值C．有最大值，但没有最小值D．没有最大值，但有最小值二、填空题13．若向量，则向量与的夹角的余弦值为。

14．为椭圆上一点，为两焦点，，则椭圆的离心率。

15．三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为。

16．如图，在圆内：画1条弦，把圆分成2部分；画2条相交的弦，把圆分成4部分，画3条两两相交的弦，把圆最多分成7部分；…，画条两两相交的弦，把圆最多分成部分。

三、解答题17．如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形的内接矩形。

（1）当时，求的长；（2）求矩形面积的最大值。

18．某经销商试销A、B两种商品一个月（30天）的记录如下：日销售量（件）0 1 2 3 4 5 商品A的频数 3 5 7 7 5 3 商品B的频数 4 4 6 8 5 3 若售出每种商品1件均获利40元，用表示售出A、B商品的日利润值（单位：元）。

2019-2020年高三第三次调研测试数学含答案

（第5题）（第4题）2019-2020年高三第三次调研测试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ．【答案】02．已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．【答案】33．已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】-34．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，的值为 ▲ ．【答案】10005．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】-46．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】497．在平面直角坐标系xOy 中，点F为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案 8．在等差数列{a n }中，若a n +a n +2=4n +6（n ∈N *），则该数列的通项公式a n = ▲ ．【答案】2n +19．给出下列三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；（第10题）C（第11题）③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为 ▲ ．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．【答案】1+11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．【答案】5-12．已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】（-5，0）13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P （-5，a ）作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3或-214．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ．【答案】[1，83]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．解：（1）因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C ⊥BC 1．……………………………………………………………………… 2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1．5分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1．7分（2）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ．又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………… 10分同理，EF ∥面ABC 1．因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面DEF ∥面ABC 1．……………………………………………………………… 12分因DE ⊂平面DEF ，故DE ∥面ABC 1．…………………………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：（1）由图可知，A =2，…………………………………………………………… 2分T =2π，故1ω=，所以，f (x ) =2sin()x ϕ+．……………………………………4分1 （第15题答图）1（第15题）又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-．于是，f (x ) =2sin()6x π-．…………………………………………………………7分（2）由3()2f α=，得3sin()64απ-=．…………………………………………9分所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………12分 =2112sin ()68απ--=-．……………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．解：（1）方法一依题意，ca 2=b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=34-，不合，舍去)，从而a 2=4．故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e5分方法二由椭圆的定义知，2a4，即a =2．…………………………………………………………………………… 2分（第17题）又因cb 2=1．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．………………… 8分②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++，所以，2212x x +=4．…………………………………………………………………… 11分又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=．所以，OB 2+OC 2 =22221122x y x y +++=5．………………………………………… 14分方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．…………………… 11分下同方法一．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ．（1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：（1）设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，，在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++，…………………………………………………… 2分所以，22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值．答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分（2）当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6θπ∈，．8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，．又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1400sin )(200cos 25)2S θθ=-=8sin )(8cos 1)θθ-8sin 64sin cos θθθθ=-+，(0]6θπ∈，．…………12分（一直没有交代范围扣2分）令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+(0]6θπ∈，，()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6θπ∈，，B CDQ（第18题）O BCDQ（第18题答图）O EF又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因1()4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数．……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S有最大值为625(8+．答：当6θπ=时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+ m 2．… 16分19．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．（1）若12n n a -=，求S n ；（2）是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．解：（1）当a n =12n -时，b n =11(1)42n -⋅=232n +．………………………………………2分所以，S n =1231133(1)82242n n -++++=-．……………………………………… 4分（2）满足条件的数列{a n }存在且只有两个，其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --．证明：在2n n b S +=中，令n =1，得b 3=b 1．设a n =1n q -，则b n =211(1)nq q -．………………………………………………… 6分由b 3=b 1，得2321111(1)(1)q q q q-=-．若q =1±，则b n =0，满足题设条件．此时a n =1和a n =1(1)n --．………………… 8分若q 1≠±，则311q q=，即q 2 =1，矛盾．综上，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个，一是a n =1，另一是a n =1(1)n --． 10分（3）因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故0n a ＞，0＜1n n a a +≤1，于是0＜221nn a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n =1，2，3，…．所以，S n =b 1+b 2+…+b n ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-．故，S n =b 1+b 2+…+b n ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112()n a a +-=112(1)n a +-＜2．所以，0≤S n ＜2．…………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=--（a ∈R ）．（1）若a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数）；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；（3）若()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．解：（1）由题设，()f x '=21xx-，故()f x 在(1，e 2)上单调递减．…………………… 2分所以()f x 在(1，e 2)上至多只有一个零点．又221(1)(e )1()ef f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e 2)上只有一个零点．…………… 4分（2）()f x '=21xx-，令()f x '=0，得x =1．当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减；当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x =f (1)=a -1．……………………………………………………… 6分 ①当max [()]f x =0，即a =1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f (x )＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a ∃＞1，1(e )e a af =-＜0；另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a -e a ＜0(易证：e x ≥e x )，于是，f (x )有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分（3）证：先证x 1+x 2＞2．依题设，有a =111ln x x +=221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=．记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=．于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t-，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t t t --．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g (x )在(1 )+∞，上单调递增．于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．…………………………………………………………… 13分再证x 1+x 2＜13e a --1．因f (x )=0⇔h (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点．由()h x '=a -1-ln x =0，得x =1e a -(记p =1e a -)．仿（1）知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p ---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h (x )单调递增．故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0．于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0，即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0．故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+， 1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a --1．………………………………………………………16分21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．求证：P A·AH=PC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即AH HBCH AH=．………………………………5分因P A为圆O的切线，故∠P AC=∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．所以，∠HAC=∠B．所以，∠P AC=∠CAH，所以，PC PACH AH=，即AH PACH PC=．所以，PA HBPC AH=，即P A·AH=PC·HB．…………………………………………10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，即1(00)(01)(2)2A B C'''--，，，，，．……………………………………………………6分故1212S A B''=⨯⨯=．………………………………………………………………10分（第21（A）题答图）（第21（A）题）C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()204θπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =r 的值．解cos()204θπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离dAB =，则2r =．……………… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d++----≥．证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a -b ＞0，b -c ＞0，c -d ＞0．故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，…………… 6分所以，14936a b b c c d a d++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =．（1）求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；（2）点E 在侧棱1AA 上，若二面角E -BD -C 1 求1AEAA 的值．解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz ．A B CDA 1B 1C 1D 1（第22题）A C 1设1AB =，则D （0，0，0），A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）． 2分（1）设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ，1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n =（x ，y ，z ），(1,1,0)DB =，1(0,0,2)DD =，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n，111sin |cos ,|||||||AD AD AD θ⋅=<>==n n n ，所以1AD 与平面11BB D D ．………………………… 6分（2）设E (1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n 1=（x 1，y 1，z 1），平面1BDC 的法向量为n 2=（x 2，y 2，z 2），(110)(10)DB DE λ==，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=，令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，，令z 2=1，则x 2=2，y 2=-2，2(2,2,1)=-n ，121212cos ,||||⋅<>==n n n n n n ，=，得1λ=．所以112AE AA =．…………………………… 10分23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ．（1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．解：（1）由题意可知X 2=3，4，5．当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分（2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 7分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 10分。

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