复变函数(第四版余家荣)ppt课件
复数与复平面ppt课件
.
3
复wenku.baidu.com函数起源简介
直到十七世纪和十八世纪, 随着微积分的发明 与发展, 情况才逐渐有了改变。另外的原因, 是 这个时期复数有了几何的解释, 并把它与平
.
5
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元 n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而在 复数域内我们就可以定义负数的对数。
.
7
复变函数起源简介
二十世纪以来, 复变函数已经被广泛应用到理 论物理、弹性理论和天体力学等方面, 与数学 中其它分支的联系也日益密切。致使经典的复 变函数理论, 如整函数与亚纯函数理论、解析 函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且, 还开辟了一些新的分支, 如复变函数逼近论、 黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、 广义解析函数论以及拟保形变换等。另外, 在 种种抽象空间的理论中, 复变函数还常常为我 们提供新思想的模型。
复变函数论教学大纲
《复变函数论》教学大纲
第一部分总则
（一）本课程基本情况
课程编号: 11101203课程类别: 学科基础适用专业: 数学教育与统计学
开课学期: 大二下总学时: 60 讲课学时: 52
习题课学时: 8 其它: 学分: 3
开课教研室: 函数论
（二）本课程的性质、目的和任务
本课程是数学专业的重要课程，是《数学分析》的后续课程，其数学基础主要是《数学分析》，其主要任务是在复数域中建立微积分理论，其思想方法与《数学分析》紧密相关。但是，《复变函数论》并非对《数学分析》内容在复数域中作简单平行推广，而是更注重研究新问题，建立新理论，因此，学生在学这门课程时，既要注意与《数学分析》的相似之处，更要注意之间的相异之处。特别许多实函数不具有而复函数具备。
（三）本课程的基本要求
通过本课程的学习，使学生进一步加深和提高对《数学分析》课程的理解。使学生掌握解析函数，复积分Cauchy定理及Cauchy积分公式，泰勒展式，罗朗展式及保形映射理论，注重参数定理及应用，使学生会用他们来解决《数学分析》不能解决的积分问题。凡书中标有*号处均略去不讲，另外关于调和函数的平均值定理与极限定理，波阿松积分与狄利克莱问题作一般了解要求。
（四）本课程与其他课程的联系和分工
本课程为数学教育专业与统计学专业课，与数学分析、积分变换有承上启下的联系，在数学物理方法和工程技术中有广泛应用。
（五）课程的结构与学时安排
使用教材：钟玉泉.《复变函数论》.第三版.北京：高等教育出版社，2004.
参考书目：1.余家荣.《复变函数论》. 北京：高等教育出版社
复变函数第四版余家荣答案
复变函数第四版余家荣答案
【篇一：1第一章复数与复变函数】
京
1
第一章复数与复变函数
1 复数及其代数运算
1.复数的概念①
在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。为此，需要扩大数系。
我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：
把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为
z?x?iy，
2
其中，i满足i??1。我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，
y?imz。
特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且
imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复
数0?0?i?0。
z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。
2.复数的代数运算
2.1 四则运算
设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：
z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2
（z2?0） ??i2222
z2x2?y2x2?y2
2
【注】：
(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。
(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：
①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的
第三章复变函数的积分(余家荣2014)
C f (z)dz C F(z)dz a F(z(t))dz(t)
F (z(t)) b F(z(b)) F(z(a)) a
F( ) F()
目录 上页 下页 返回 结束
【例1.5】计算积分
b
sin zdz
,
b z sin z2dz
a
a
解：
b
a sin zdz
第三章 复变函数的积分
§1 柯西定理
一.复变函数的积分
§2 柯西公式
一.柯西公式
二.引理 原函数与不定积分
二.高阶导数公式
三.柯西定理
三.柯西不等式与刘维尔定理
四.复合闭路定理
四.莫勒拉(Morera)定理
目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 复变函数积分的概念、性质、计算法
2. 几个引理 推出 柯西定理 建广 复合闭路定理
【例1.2】设C为从原点到点A(3,4)的直线段,求
c
z
1
i
dz
模的一个wk.baidu.com界 .
4
(3,4)
解: 由有界性, 求出L, M 即可
| f (z) | 1
1
1
0
3
z i | x i( y 1) | x2 y2 2 y 1
c : x 3t, y 4t
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数
本节介绍用含参广义积分表达的两个专门函数 , 即)(s Γ和),(q p B . 它们统称为 Euler 积分. 在积分运算等方面, 它们是专门有用的两个专门函数.
一. Gamma 函数 )(s Γ 考虑无穷限含参积分
⎰+∞
--01 dx e x x s , ) 0 (>s
当1 0<<s 时, 点0=x 依旧该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 ⎰
⎰+∞
+1
10
来
讨论其敛散性 .
⎰
1
: 1 ≥s 时为正常积分 .1 0<<s 时, 01>--x s e x .利用非负函数积的Cauchy 判
别法, 注意到 , 11
, 1) (lim 110⇒<-=---+
→s e x x x s s x 1 0<<s 时积分⎰1
收敛 . (易见 0=s 时, 仍用Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 0 >s 时积分⎰
1
收敛 .
⎰
+∞
1
: ) ( , 0112+∞→→=⋅-+--x e x e x x x s x s 对∈∀s R 成立,.因此积分⎰
+∞
1
对∈∀s R 收敛.
综上 , 0 >s 时积分⎰+∞
--01 dx e x x s 收敛 . 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第
二型积分定义了) , 0 (∞+∈s 内的一个函数, 称该函数为Gamma 函数, 记为)(s Γ, 即
)(s Γ=⎰+∞
--01 dx e x x s , ) 0 (>s .
-Γ函数是一个专门有用的专门函数 .
复变函数 第01讲
二、复数的三角表示
1、复平面:
复数域 C 也可以理解成平面 R×R，作映射：
C R2 : z x iy (x, y)
则在复数集 C 与平面 R×R 之间 建立一个 1－1对应关系。
2、复数的模与辐角:
设：z x iy
复数 z 还可以用复平面上的从原点指向
点(x, y)的向量 OZ表示，向量的长度称为复数
十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，17071783) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把 虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”. 他在《对代数的完整性介绍》(1768－1769年在 俄国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为 所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或 者等于零，即为有序数. 所以很清楚，负数的平 方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言
西北工业大学出版社 及典型题分析解集
④《复变函数与积分变换》薛以锋等 华东理工大学出版社
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一个 篇章，那就是数系的历史发展完全没有按照教 科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数 的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在 数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚 未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的 步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
x Re z, y Im z
注
1、当 y 0 时,z x, 即为实数 2、当 x 0 时,z iy, 称为纯虚数 3、当 x y 0 时,z 0,既是实数也是纯虚数 4、z1 z2 Re z1 Re z2且 Im z1 Im z2 5、z x iy 称为 z x iy 的共轭复数
复变函数积分教法研究
万方数据
万方数据
复变函数积分教法研究
作者：魏涛， Wei Tao
作者单位：山东万杰医学院数学教研室,255213
刊名：
中国科技信息
英文刊名：CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION
年，卷(期)：2009，""(8)
被引用次数：0次
1.余家荣复变函数 2000
2.周正中.郑吉富复变函数与积分变换 1996
3.华东师范大学数学系数学分析 1991
1.期刊论文朱福国.Zhu Fu-Guo类比建构在复变函数教学中的应用-河西学院学报2007,23(5)
复变函数教学中运用类比建构的方法,有助于学生系统掌握复变函数的基本理论与方法;加强教材中所讲授内容纵横联系对比,有助于启迪学生思维
,发现新结论;引导学生自主探索,在总结深化中完善知识结构,有助于培养学生的创新能力.
2.期刊论文陈荣军.CHEN Rong-jun关于工科《复变函数》教学的讨论-常州工学院学报2005,18(6)
是高等院校工科专业一门重要的基础理论课,其教学是高等院校数学教学工作的重要组成部分.本文针对工科专业的特点,并结合我校实际情况,对工科的教学提出了几点建议.
3.期刊论文孙桂荣复变函数教学中的发现性思维能力的培养-中国科技信息2004,""(20)
本文介绍了在复变函数教学过程中如何结合本学科的特点培养学生发现性思维能力
4.期刊论文熊春连.陈翠玲.段华贵.XIONG Chun-lian.CHEN Cui-ling.DUAN Hua-gui工科复变函数中的迁移教学-大学数学2010,26(2)
整理复变函数论第四版答案钟玉泉_数学学院硕士生复试方案
整理复变函数论第四版答案钟玉泉_数学学院硕士生复试方案
数学学院硕士生复试方案
1.复试方式
笔试和面试相结合，复试成绩实行百分制。复试成绩=（复试笔试成绩+复试面试成绩）×95%+外语听力及口语测试成绩。
硕士拟录取成绩=初试成绩÷5×60%+复试成绩×40%
2.复试笔试科目
基础数学：常微分方程、复变函数、实变函数（各约占1/3）；
计算数学：数值逼近、数值方法、微分方程数值解（各约占1/3）；
概率论与数理统计：概率论、数理统计（各约占1/2）；
应用数学：计算方法、概率论（各约占1/2）；
运筹学与控制论：运筹学方向：概率论与数理统计、线性规划、整数线性规划（各约占1/3）；控制论方向：概率论、矩阵代数（各约占1/2）；
信息安全：概率论与数理统计、数论与代数结构、应用密码学（各约占1/3）；
金融数学与金融工程：概率论、数理统计（各约占1/2）；
统计学：概率论、数理统计（各约占1/2）。
3.复试面试内容
基础数学：英语、数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、实变函数；
计算数学：英语、数学分析、线性代数、微分方程数值解、数值逼近、数值代数、算法语言；
概率论与数理统计：英语、数学分析、线性代数、概率论、数理统计、实变
函数；
应用数学：英语、数学分析、线性代数、常微分方程、线性规划、数学模型、计算方法；
运筹学与控制论：英语、数学分析、线性代数、常微分方程、线
性规划、整
数线性规划、概率论与数理统计；或英语、数学分析、线性代数、常微分方程、线性系统理论、概率论与数理统计；
信息安全：英语、数学分析、线性代数、概率论、数论与代数结构、计算机
余家荣.
余家荣
余家荣1920年11月16日诞生于湖北汉口．武汉大学教授．函数论，数学教育．
(一)
1920年11月16日，余家荣出生在湖北汉口一个商人家庭．祖父余泽如曾参加科举考试，入选任职，十分好学．到父亲余毓溥时，家中已珍藏了100多箱线装书和古字画，后由母亲李嘉琨捐赠给武汉图书馆．在这样一种家庭环境熏陶下，余家荣自幼就对书籍产生了浓厚的兴趣．他的第一位数学启蒙老师是他在8岁时所入私塾中的郑味葑．郑除教他儒家的经典、古诗文外，还教史地、算术、代数、三角等，培养了他对数学的兴趣．1934年初他以第一名的成绩考入武昌省立二中初中部．
在中学期间，余家荣作了大量的数学习题，使他慢慢地爱上了数学．由于刻苦用功，成绩极佳，于是跳级考上了湖北省立武昌高中．1940年在全国高校统考中，他又以总分第一名的成绩考入重庆中央大学数学系．在中央大学得到孙光远、胡坤升、周鸿经等教授的指导，进步很快．
严谨治学的胡坤升对余家荣影响很深，孙光远则欣赏他的聪明勤奋，无微不至地关心他的成长．大学一年级时，孙光远为他多开了一门“方程式论”课．孙不但重视理论的严谨性，且特别重视其来龙去脉；尤为关注科研方法的精神实质．他认为：“无论怎样抽象的理论，一定有其直观背景．”1944年7月，余家荣在重庆中大数学系毕业后留校任助教，同时考上该校数学系研究生．1946年，他又以优异成绩考取了留法公费生，1947年踏上了留法攻读博士学位的征途．
1947年10月至1950年6月，余家荣先后在法国斯特拉斯堡大学和巴黎大学学习．在巴黎大学复变函数权威、著名数学家瓦利隆(G．Valilon)的指导下，研究狄里克莱级数及拉普拉斯变换所定义的整函数的增长性及值的分布，得到了确定里迪(Ritt)级、型等的公式，以及波莱尔(Borel)线存在的条件，受到当时数学家的好评．瓦利隆教授在综述1949年数学上的重要成果时，列举了余家荣的工作，赞扬他取得了“可喜的进展”；孟德博仪(S．Mandel－brojt)教授在为《数学评论》(Mathematical Reviews)撰写评论时，也赞扬了这些工作．上述成果包含在余的法国国家
复变函数课件
x
z2
首页 上页 返回 下页
z1 z2
30
结束
铃
2. 4 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
y
(1) z1 z2 z1 z2 ;
( 2) z1 z2 z1 z2 .
z2
o
y
z2
z1 z2
z1
x
z1
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
i 3 i i 2 i; i 5 i 4 i 1 i; i 7 i 4 i 3 i;
i i i 1; i 6 i 4 i 2 1;
i 8 i 4 i 4 1;
……
一般地，如果n是正整数, 则
26
首页
上页
返回
下页
结束
铃
实数 x ( x,0) x i 0 复数 纯虚数 z (0, y ) 0 i y ( y 0) 虚数 非纯虚数 z ( x, y) x i y ( x 0, y 0)
复数的四则运算:
(a , b) (c , d ) (a c , b d )
( m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
复变函数(余家荣)5
另一方面，如果 | z | R,则
0 所以，p(z)在 | z | R内没有零点.
lim
r
r
(lnz)2 (1 z)3
dz
0
r
r
4iI
4 2
dx 0 (1 x)3
2i
Re
s(
(lnz)2 (1 z)3
,1)
lnz ln(-1 z 1) i - (z 1) - 1 (z 1)2 ...,
2
Re
s(
(lnz)2 (1 z)3
,1)
1
i
I 1 2
6. 计算积分
证明 设 f 及 f g在 D内的零点个数分别为N f 及N f g. 则
z
C
D
由于对任意z c, 有| g(z) || f (z) |, 所以 所以
w g(z)
w
f (z)
1
例 1. 计算方程z8 5z5 2z 1 0在 | z | 1内根的个数. 解令
则当| z | 1时，
由儒歇定理知 f (z) g(z) 与 f (z) 在 | z | 1内有相同的零点数. 由于 f (z) 5z5 1在 | z | 1内有5个零点，所以方程 z8 5z5 2z 1 0在 | z | 1内有5个 根.
(2) 极点不能有无限个. 否则，极点集合在D 上有极限点z0. z0为非孤 立奇点，矛盾.
复变函数(余家荣)4
（1） z0为 f (z) 的m级零点当且仅当
（2） z0为 f (z) 的m级零点当且仅当f (z) ( z z0 )m(z),
其中(z)在U内解析，且(z0 ) 0.
证明
称作复函数序列, 记作{ fn (z)}. 如果对任意z E, 数列{ fn (z)}收敛于某个复数, 设为 f (z),则称
{ fn (z)}在 E 上收敛于函数 f (z),记作
定义 设 fn (z)（n 1,2, ) 定义在集合E上,则
称作复函数项级数, 记作 fn (z). n1 如果对于任意z E, 数项级数 fn (z)收敛于某个复数 f (z),则称函 n1
数 fn (z)在 c 上一致收敛于(z) 或 f (z), 则 n1
或
问题: 设 fn (z)(n 1,2, )在区域 D上解析, 函数列{ fn (z)}或函数项级
数 fn (z)在 D 上一致收敛于(z)或 f (z), 那么(z)或 f (z)在 D上解析吗？ n1
定理 设 fn (z) (n 1,2, )在区域 D上解析. 如果函数列{ fn (z)}或函数
使得lim n
zn
z0 , 则在 |
z
z0
|
R内
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲
说明
1．本大纲适用数学与应用数学本科教学
2．学科性质：
复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函
数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数
几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复
变函数论方法。
3．教学目的：
复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：
通过本课程的学习，要求学生达到：
1．握基本概念和基本理论；
2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函
数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单
映照等）；
2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：
本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：
教学时数分配表
章节教学内容教学时数
第一章复数与复变函数共计 8
§ 1复数2
§ 2复平面上的点集2
§ 3复球面与无穷远点2
§ 4复变函数2
第二章解析函数共计 12
§ 1解析函数的概念与C—R条件4
§ 2初等解析函数4
复变函数教学大纲
课程名称：（中文）复变函数（英文）Complex Analysis
课程类别：必修编号：学时：80
授课对象：本科生专业：数学与应用数学年级：二年级
一、课程目的与教学基本要求
复变函数是数学中既经典而又充满活力的一个分支。在现代数学的发展过程中，复变函数发挥了重要的作用。同时，复变函数在许多其他学科及实际工作中，具有非常广泛的应用。
复变函数是现代数学的基础之一。它在其它学科（如空气动力学、流体力学、电磁学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论及数论等）都有重要的应用。复变函数的发展，一方面，是由于数学本身的发展；另一方面，实际问题或其它学科中所提出的问题也起了很大的促进作用。本课程在讲授复变函数内容的同时，要求能讲到一些有关部门的实际背景及与其它学科的关系，让学生了解到：数学不是凭空而来，是有实际背景的；数学各分支之间不是孤立的，而是相互联系的。
本课程作为数学系各专业的必修课，是十分必要的。通过本课程的学习，学生能学到复变函数中的一些基本结果和常见方法。一方面，学生能为以后进一步的学习打下坚实的基础；另一方面，学生通过学习能应用复变函数的结果和方法解决一些数学或实际问题。
本课程安排在一学期内讲授。对于解析函数、柯西积分公式、级数、留数及其应用、分式线性变换、Schwarz引理，要求牢固掌握。对于整函数与亚纯函数、解析开拓、调和函数及狄里克来问题，要求一般掌握。对于无穷乘积、黎曼映照定理、多角形映照公式、多复变函数初步，要求一般了解。教学中要求抓住问题的实质，把具体的数学对象的数学背景与数学内涵讲清楚，让学生觉得所有的定义和定理的出现是顺其自然的。
《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用(已处理)
《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和
运用
材料类型课程结业论文
复变函数论文
《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用
系别:
专业名称:
学号:
姓名:
指导老师:
年月日
《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用
摘录: 随着现代科学技术理论的发展,学课间的联系越来越紧密,通过相互协助,使复杂的问题能够利用较简单的方法方便,快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸,且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,以及Taylor级数展开,Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要,因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍了:1,Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的;2,怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算; 3,复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的;4,复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词:留数,Laplace变换,Z变换, Fourier变换,Taylor级数,MATLAB。
Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的;
当对一个信号系统进行分析和研究时,首先应该知道该信号系统的数学模型,即建立该信号系统的数学表达式,例如:根据Fourier级数的理论,连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加;而且信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系,并揭示了其在时域域频域之间的内在联系,因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
复变函数教材
复变函数/复分析的入门教材
以下为8本比较不错的复分析/复变函数教材，我标注了最新版本，以及中英文版本的情况。排名不分先后：
（1）Brown的Complex Variables and Applications(7th edition)
（经提醒，最新版已经有第9版）机械工业出版社有翻译版，书名是复变函数及应用。美国密歇根大学的教材，非常基础，例子也比较多，适合自学。这本书尤其注重复变函数在物理、流体流动、热传导以及偏微分方程的边值问题中的应用，对工科同学来说应该也是比较友好的。（2）拉夫连季耶夫, 沙巴特的复变函数论方法(第6版)
高等教育出版社翻译。老毛子的经典教材，也很基础，适合自学。这本书的特点是包含大量几何观点，易于理解。
（3）Ahlfors的Complex Analysis(3rd edition)
机械工业出版社有翻译版，也有授权的影印版。分析大师Ahlfors的经典之作，非常好的教材，比较适合入门，也包含大量的几何观点。在知乎上看到有知友表示第2版更好，我还没有读过，所以不太清楚，之后有空更新。
（4）Tristan Needham的Visual Complex Analysis
图灵社区&人民邮电出版社在年初推出了2021全新再版，书名是复分析：可视化方法。这本书非常有意思，它不像是一本教材，反而更像一本复分析中的数学思想巨著，全书另辟蹊径，从几
何的角度来阐述作者的理解。或许它不是一本严谨扎实的复分析教材，但如果你有一定的基础，该书的几何思维或许能给你更深的理解。值得一提的是，这本书的译者是武大齐民友教授，他在翻译中对原书做了锦上添花的一些注解，可以说是少有的比原版更好的翻译版。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在 D 内 ? 解析 精品课件 吗
19
设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
精品课件
20
令
得
由
得
精品课件
Cauchy-Riemann方程
21
定设 理函 f(z) u ( 数 x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
（ 1）实u(部 x,y)和虚v(x部 ,y)在点 (x,y)处存在一阶 (2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯 曼 西 方 C R 程 方（ :程
如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续. 证明 设 f(z) 在点 a 可导，则
精品课件
14
注解1 “可微”有时也可以称为“单演”，而“解 析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则 ”等；
注解2 解析性与可导性的关系：在一个点的可导性 为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻 域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的 可导不能得到在这个点解析；
精品课件
22
例 不可微.
证明
在 处满足上述定理中的条件，但 f (z)在
由于
所以
不存在. 所以 f(z)在 z0不可 . 导
精品课件
23
定理 设函f(数 z)u(x,y)iv(x,y)在区D内 域有 定义，f(那 z)在 么点 zxiyD可导的充要 :
(1 )实u(部 x,y)和虚 v(x,y)在 部(x点 ,y)处可微
注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的 一个更大的区域上解析；
精品课件
15
四则运算法则
精品课件
16
复合函数求导法则
设函 f数 (z)在区 D 内 域 解析 wg ， ()在 函 区
域 G 内解f析 (D ) ， G ， 则 又 复合 wg(函 f(z)数 )h(z)
在 D内解析，并且有： h '( z ) [ g ( f ( z ) g ) '( f ( ] z ) f '' ( z ) )
18
例证明f(z)z处处不可. 微
证明
因为
所以 lim z 不存在, f (z)处处不可微 .
z 0 z
Cauchy-Riemann 方程
问题
若 u ( x ,y ) 和 v ( x ,y ) 在 D 上 区 ,那 可 f( 域 z ) u 么 ( x ,y 微 ) i( x v ,y )
与负实数轴不相交。
y
z0•
0 argz0 x
00, 取|z0|sin)， ( 则当|zz0|时，
az r0 g az r g az r0 g
所以
|arzgarzg0|，
即f (z)在z0连续。
精品课件
10
例设
证明 limf (z)不存.在 z0
证明 设
则
所以
所以limf (z)不存.在
z0
域上连续， 上在 不负 连实 续数 。轴
解： 当z0 在负实数轴上时,有
lim arzg ,lim arzg
z z0 Im z0
z z0 Im z0
故 arg z在负实数轴上不连续；
Βιβλιοθήκη Baidu
精品课件
9
再 z 0 C 设 \{z R 0 ,Ie z m 0 } .
0 0,使得角状域 argz0 0 argz0 0
当
当
时，
当
时，
精品课件
5
命题 设 当且仅当
证明 如果 则
使得当
则 时，
精品课件
6
所以 反之，若 则 所以, 当
当 时
精品课件
时，
7
f(z)在区G中 域每一点连f(续 z)在 ， G内 则 连 称 续
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数
精品课件
8
例 求证 f(z)： arzg (z0)在整个复平 和面 负除 实去 数
f '(z0)，或ddwzzz0,
即
f'(z0) lz i0m f(z0 zz)f(z0)，
精品课件
12
定义 对任意 0， 的可以找到 一 ()使 个 , 得 正 0|zz0|时，有
| f(z)f(z0)A|,
zz0 则称函f(数 z)在z0可微或.可导
如果 f(z)在区 D内 域处处可 f(z导 )在 D ， 内则 解 析，我f(们 z)是 D 也 内说 解析在函 区域数 内解； 析
如果 f(z)在z0的邻域内处处 称可 f(z)导 在， 点
z0处解. 析
在一点解析
精品课件
13
如果f (z)在区域 G内处处解析，而D闭 上区域 每一点都G属 ,那于么称 f (z)在闭区D域 上解.析
在闭区域上解析
如果函 f(z)数 在z0不解析z， 0的但 每在 个邻 内都有解析称 点 z0为 存 f(z在 )的， 一则 个 . 奇点
(2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯曼 西 : 方程
u v u v
x y y x
C-R条件
证明 时，
设 在点 其中a 和 b为实数，当
精品课件
17
反函数求导法则
设w 函 f(z)在 数D 区 内域 解 f'(z 析 ) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式
以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结
论基本相同。
精品课件
内有 如定 果存 义 在 A (。 A 一 )， 个 使 复 得 0， 数 0,
对满 0|z足 z0|(0)的一 z，切 都有 | f(z)A|，
则称 A为函f(数 z)当z趋于 z0时的极限，记作 z l z 0 if( m z ) A 或 f( z ) A ( z z 0 )
精品课件
4
时，
第二章 复函数
1. 极限与连续性
§1.解析函数
单值函数：
对于 G 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应。
多值函数：
至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有
两个或两个以上。 精品课件
1
yz
o
x
vw
o
u
精品课件
2
精品课件
3
复变函数极限的定义
设函 w f(数 z)在 z0 的空0心 |zz邻 0|域
精品课件
11
2. 导数·解析函数
定义 设函w 数 f(z)在点 z0的某邻域内有 值定 函义 数
z0z是邻域内任意 果一 极点 限，如
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在（为,并 有且 限等 的 A， 于 复则 复 数称 f数 ） (z)在 函 z0可 数微
或可 , A称 导为函 f(z数 )在z0的导数，记为