内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学(理)试卷

数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题） 1.设复数z 满足()14z i +=,则z 等于( ).A. 8 C. 22i - D. 22i +2.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于( ).A ．0B ．4-C ．2-D ．23.设6x⎛ ⎝的展开式中的3x 系数为A ,二项式系数为B ,则A B =( ). A.4 B.4- C.62 D.62-4.某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( ).A. 12B. 24C. 48D. 7205.由曲线2,y x y ==( ).A.16 B. 1 C. 23 D. 136.直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( ). A. 2- B. 1- C. 12- D.17.在复平面内,复数z 满足()20131i z i+⋅= (i 为虚数单位),则复数z 所表示的点在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.已知函数322(f x x ax bx a =+++）在处1?x =取极值10,则a = ( ).A.4或-3B.4或-11C.4D.-39.()5212x⎫+-⎪⎭的展开式的常数项是( ). A. 5 B. 10- C. 32- D. 42-10.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ). A ．300B ．216C ．180D ．16211.已知函数 ()()f x x R ∈满足(1)1f =,且f ()x 的导函数1'()2f x <,则1()22x f x -<的解集为( ).A. {}|11x x -<<B. {}|1x x <-C. {|1x x <-或1}x >D. {}1x x 12.已知()()23ln ,2444x f x x g x x ax x=-+=--+,若对任意的(]10,2x ∈,存在22](1,x ∈,使得()()12f x g x ≥成立,则a 的取值范围是( ).A. 5 ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 15,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 5,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 二、选择题（每小题5分，共4小题）13.某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_______种不同的调度方法（填数字）． 14.下图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间()3,1-上单调递增. 则正确命题的序号是___________． 15.若复数()11(1iz m i i i+=+--为虚数单位)为纯虚数，则实数m 的值为___________. 16.若二项式621x x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213=m x dx ⎰__________.三、解答题（6道小题，共60分）17.设复数22(2)(76)i z a a a a =+-+-+,其中R a ∈,当a 取何值时, (1).R z ∈？ (2).z 是纯虚数？ (3).z 是零？18.若函数3()4f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-．(1)求函数的解析式； (2)求函数的极值；(3)若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围．19.已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+. 求:(1)127a a a ++⋅⋅⋅+; (2)1357a a a a +++; (3)0246a a a a +++; (4)0127a a a a +++⋅⋅⋅+.20.已知函数()2x f x e x a =-+,x ∈R ,曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =. (1)求函数()y f x =的解析式;(2)当x ∈R 时,求证: ()2f x x x ≥-+;(3)若()f x kx>对任意的()0,x ∈+∞恒成立,求实数k的取值范围.21.3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数. (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端;(2)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (3)全体站成一排,男生必须排在一起; (4)全体站成一排,男生不能排在一起; (5)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人;(6)全体站成一排,甲必须在乙的前面(不一定相邻).22. 已知函数()ln a f x x x=-. (1)若0a >,试判断()f x 在定义域内的单调性; (2)若()f x 在[]1,e 上的最小值为32,求a 的值; (3)若2()f x x <在()1,+∞上恒成立,求a 的取值范围.理科数学答案1.答案：A2.答案：B解析：∵()()221f x x x f '=+⋅，∴()()221f x x f ''=+ ∴()()1221f f ''=+ 解得()12f '=- ∴()24f x x '=- ∴()04f '=- 故选B 3.答案：A解析：166k kk k T C x +-⎛= ⎝()36262k k k C x -=-,令3632k -=，即2k =，所以()223336260T C x x =-=，所以3x 的系数为60A =，二项式系数为2615B C ==，所以60415A B == 4.答案：C解析：先将2本语文书看成一个元素,2本英语书看成一个元素,然后排成一排,有22A 种不同的排法,再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中,有33A 种不同的排法,再排2本语文书,有22A 种小同的排法,最后排2本英语书,有22A 种不同的排法,根据分步乘法计数原理,得共有2322232248A A A A =种不同的排法,故选C 。

5.答案：D6.答案：B解析：设切点为()00,x y ，由1ln 2y x x =-+得11'2y x =-+，所以，011122x -+=，0011,2x y ==-，代入直线方程得11,122b b -=+=-，选B7.答案：A 8.答案：C10.C 11.D 12.B 13.120 14.1\415..答案：0解析：()()()()()()21121111112i i iz m i m i m i m i mi i i i ++=+-=+-=+-=+---+,由已知得0m =. 16.12417.答案：(1). R z ∈,只需2760a a -+=, 所以1a =或6a =;(2).z 是纯虚数,只需2220760a a a a ⎧+-=⎪⎨-+≠⎪⎩所以2a =- (3).因为0z =,所以2220760a a a a ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩所以1a =。

18.答案：解：(1).2'()3f x ax b =-由题意知'(2)1204(2)8243f a b f a b =-=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩， 解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所求的解析式为31()443f x x x =-+； (2).由(1)(可得2'()4(2)(2)f x x x x =-=-+ 令'()0f x =，得2x =或2x =-， 因此，当2x =-时，()f x 有极大值283， 当2x =时，()f x 有极小值43-；(3).由(2)知，得到当2x <-或2x >时，()f x 为增函数；当22x -<<时，()f x 为减函函数31()443f x x x =-+的图象大致如图．由图可知42833k -<<． 19.答案：1.令1x =,则012345671a a a a a a a a +++++++=-,①令1x =-,则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=,②∵0071a C ==,∴12372a a a a +++⋅⋅⋅+=-.2.由1(①-②) 2÷得,7135********a a a a --+++==-.3.由1(①+②) 2÷得,7024********a a a a -++++==4.∵()712x -展开式中, 0a 、2a 、4a 、6a 都大于零,而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零, ∴()01270246a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++()1357a a a a -+++, ∴由2、3即可得其值为2187.20.答案：(1)根据题意,得()2xf x e x '=-,则()'01f b ==.由切线方程可得切点坐标为()0,0,将其代入()y f x =,得1a =-,故()21x f x e x =--. (2)令()()21xg x f x x x e x =+-=--.由()'10xg x e =-=,得0?x =,当(),0x ∈-∞,()'0g x <,()y g x =单调递减; 当()0,x ∈+∞,()'0g x >,()y g x =单调递增.所以()()min 00g x g ==,所以()2f x x x ≥-+.(3)()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的()0,x ∈+∞恒成立.令()()f x x xϕ=,0x >,得()()()2''xf x f x x x ϕ-==()()2221x x x e x e x x ----=()()211xx ex x ---.由2可知,当()0,x ∈+∞时, 10x e x -->恒成立, 令()0x ϕ'>,得1x >;令()0x ϕ'<,得01?x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为()1,+∞,单调减区间为()0,1, 故()()min 12x e ϕϕ==-,所以()min 2k x e ϕ<=-. 所以实数k的取值范围为(,2)e -∞-.解析：1.利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为()21xf x e x =--.2.构造新函数()()21xg x f x x x e x =+-=--.结合函数的最值和单调性可得()2f x x x ≥-+.3.分离系数,构造新函数()()f x x xϕ=,0x >,结合新函数的性质可得实数k的取值范围为(,2)e -∞-21.(1)2160;(2)3720;(3)720;(4)1440;(5)960;(6)2520. 22.答案：1. 由题意知()f x 的定义域为()0,+∞, 且()221'?a x af x x x x+=+=. ∵0a >,∴()'0f x >,故()f x 在()0,+∞上是单调递增函数 2. 由1可知, ()2x af x x='+.①若1a ≥-,则0x a +≥, 即()'0f x ≥在[]1,e 上恒成立, 此时()f x 在[]1,e 上为增函数, ∴()()min 312f x f a ==-=, ∴32a =-(舍去). ②若a e ≤-,则0x a +≤,即()'0f x ≤在[]1,e 上恒成立, 此时()f x 在[]1,e 上为减函数, ∴()()min 312a f x f e e ==-=, ∴2ea =-(舍去). ③若1e a -<<-,令()'0f x =得x a =-, 当1x a <<-时, ()'0f x <, ∴()f x 在()1,a -上为减函数; 当a x e -<<时, ()'0f x >, ∴()f x 在(),a e -上为增函数, ∴()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=,∴a =综上所述, a =3.∵()2f x x <,∴2ln ax x x-<. 又0x >,∴3ln a x x x >-. 令()3ln g x x x x =-,()()2'1ln 3h x g x x x ==+-,()2116'6x h x x x x-=-=∵()1,x ∈+∞时, ()'0h x <, ∴()h x 在()1,+∞上是减函数. ∴()()120h x h <=-<,即()'0g x <, ∴()g x 在()1,+∞上也是减函数.()()11g x g <=-,∴当1a ≥-时, ()2f x x <在()1,+∞上恒成立.故a 的取值范围是[)1,-+∞.。