高等代数_矩阵的相抵合同相似

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矩阵相似与合同

矩阵相似与合同1. 矩阵相似矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系。

在讨论矩阵相似之前，我们先来回顾一下什么是矩阵。

1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形阵列，记作A=(a ij)m×n。

其中，a ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵相似的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP，则称矩阵A和B相似。

矩阵相似关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身相似，即A相似于A。

•对称性：如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。

•传递性：如果矩阵A与矩阵B相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。

矩阵相似关系可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它保持了矩阵之间的某些性质不变。

2. 矩阵合同矩阵合同是另一种描述矩阵之间关系的概念。

与矩阵相似类似，矩阵合同也是通过一个可逆矩阵来表示两个矩阵之间的关系。

2.1 矩阵合同的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P T AP，则称矩阵A和B合同。

矩阵合同关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身合同，即A合同于A。

•对称性：如果矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。

•传递性：如果矩阵A与矩阵B合同，矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。

矩阵合同关系也可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它同样保持了矩阵之间的某些性质不变。

3. 矩阵相似与矩阵合同的关系矩阵相似和矩阵合同都是描述矩阵之间关系的概念，它们之间的区别在于变换矩阵的不同。

对于矩阵相似，变换矩阵是可逆矩阵P，而对于矩阵合同，变换矩阵是可逆矩阵P的转置P T。

矩阵相似和矩阵合同之间的关系可以通过以下定理来描述：定理 1：设A为n阶矩阵，A与对角矩阵D相似，即存在可逆矩阵P，使得D=P−1AP。

则存在正交矩阵Q，使得D=Q T AQ，其中Q是P的标准正交化矩阵。

定理 2：设A为n阶矩阵，A与对称矩阵S合同，即存在可逆矩阵P，使得S=P T AP。

第5章矩阵的相抵与相似

§5.1 等价关系与集合的划分本节只做简单介绍，考试不考此局部，在以后抽象代数中还会讲到。

§5.2 矩阵的相抵〔也叫等价〕第一章§1已经证明，任何一个矩阵AJ 。

如果再对J那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子：13213213212101101124601010000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101011000⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪ ⎪⎝⎭〔以上行变换〕；再经过列变换100010000A ⎛⎫ ⎪→ ⎪⎪⎝⎭。

最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是：2000I ⎛⎫⎪⎝⎭。

任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢？定义1 数域K 上的矩阵A 经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B ，那么称A 与B 是相抵的或等价的，记作AB 相抵，或AB 等价。

矩阵的相抵关系满足 1°反身性：AA 相抵, 即A 与自己相抵；2°对称性：假设A B 相抵，那么B A 相抵;3°传递性：假设A B 相抵，BC 相抵, 那么A C 相抵.因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。

事实1 ⇔A 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B⇔存在K 上的s 阶初等矩阵12,,,t P P P 与n 阶初等矩阵12,,,m Q Q Q , 使得2112tm P P PAQQ Q B =〔1〕定理1 设数域K 上的s n ⨯矩阵A 的秩为r 。

如果0r >,那么A 相抵于下述形式的矩阵000rI ⎛⎫⎪⎝⎭, 〔2〕证明如果0r >, 那么A 经过一系列初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵J 有r 个非零行：1210000100000100000000000000n n rn c c c J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再经过适当的两列互换，可以变成下述形式：111212111000010000010000000000r n r n r r rn c c c c J c c +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，，。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A = B。

2、矩阵等价的充要条件：A厂「 A.B同型，且人r（A）=r（B）A -B ：= {存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=®立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A三B P T AP二B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T BX有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P4AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：A T〜B T, A k ~ B k,A- ~ B-(前提，A, B均可逆)|XE-A |=|XE -B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)A ~B r(A)=r(B)tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A〜Bu (.E—AtCE—B)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 A 乂i,，2,||l, n)，B=C'1, -2JH, m)1、若向量组(川，d )是向量组(’1,'2,川Jn )的极大线性无关组，则有m ^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。

2、若m=n，两向量组('1,'2^1,'n)= ( -1, -2^1, -m )则有矩阵A,B 同型且r(A)二r(B)二 A 〜B, ALJ B, A 二 B r( A) = r (B)= Am B。

合同与相似概念区别

代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C AC =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。

这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。

“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。

《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。

对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C AC =。

而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。

矩阵相似与合同

矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。

本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。

矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。

两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。

具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。

相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。

2.相似矩阵具有相同的特征值。

3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。

矩阵相似在实际应用中具有重要意义。

例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。

矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。

与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。

对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。

合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。

2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。

矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。

例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。

相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。

具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。

这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。

然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。

换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。

这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。

正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。

浅谈矩阵的等价、合同与相似之间的关系

1 、引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍，对矩阵的应用学习有一定的帮助.2、矩阵的等价，相似，合同2.1矩阵的等价2.1.1矩阵等价的定义：矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是，如果有两个m ×n 阶矩阵A 和B ，而且这两个矩阵满足B=QAP ，其中P 是n ×n 阶可逆矩阵，Q 是m ×m 阶可逆矩阵，那么这两个矩阵是等价的。

即，矩阵A 经过有限次的初等变换得到矩阵B2.1.2初等变换（1）换法变换：对调矩阵的两行（列），得初等矩阵E(i,j).用m 阶初等矩阵),mj i E （左乘nm ij a A ⨯=)(，相等于对矩阵A 实行第一种矩阵初等行变换，把A 的第i 行与第j 行对调，记作（r r j i ↔）类似的，用n 阶初等矩阵()j i E n ,右乘矩阵n m ij a ⨯=）（A ，相当于都矩阵A 实行第一种矩阵初等列变换，把A 的第i 列与第j 列对调，记作)c c j i ↔（（2）倍法变换：以数K ≠0乘某一行（列）中的全部元素，得初等矩阵))((K i E 。

用））（（K i m E 左乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 行，记作（K r i ⨯）。

用））（（K i nE 右乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 列，记作（K ⨯c i ）。

（3）消法变换：以数K 乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵））（（K E ij ，以））（（K E ij m 左乘矩阵A ，相当于把A 的第j 行乘以K 加到第i 行上，记作（r r j i K +）。

以））（（K E ij n右乘矩阵A ，相当于把A 的第i 列乘以K 加到第j 列上，记作（c c i j K +）。

丘维声高等代数第五章1

=
⎛ ⎜ ⎝
I3 0
0⎞
0
⎟ ⎠
▌
⎜ ⎝
0
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
⎟ ⎠
定理同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 rank(A) = rank(B)
8
注（1）作为 K m×n上的等价关系，相抵把 K m×n分成了若干个相抵等价类；（2）同一相抵类中的矩阵有相同的秩；（3）相抵标准形恰是各相抵类中形式最简单的矩阵；（4）矩阵的秩是相抵关系下的完全不变量。
第五章矩阵的相抵与相似
§5.1 等价关系与集合的划分
定义设 S, M 是两个集合，称下述集合
{ 〈a, b〉 | a ∈ S, b ∈ M }
是 S 与 M 的 Descartes 积(或有序积)，记为 S×M。 Descartes 积中的元素〈a, b〉称为序偶(或有序
对)。对任意两个序偶 〈a, b〉, 〈c, d〉 ，有 〈a,b〉 = 〈c,d〉 ⇔ a = c, b = d
S (n) = {0, 1, 2, , n − 1 }
4
§5.2 矩阵的相抵
定义设 A 和 B 是两个同型矩阵。若 A 可通过有限次初等变换化为 B，则称 A 相抵于 B，记为
相抵
A~ B 或 A≅B
定理设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵，则 A 相抵于 B 的充分必要条件是：存在 m 级可逆矩阵 P 与 n 级可逆矩阵 Q，使 PAQ = B。
1 2
1⎞
−
2
⎟ ⎟
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎜ ⎝
0
0
0 −4
4
⎟ ⎠
⎛1 1 2 1 1 ⎞

矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别

定理9如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则与既相似又合同．
证明：设与的特征根均为因为与阶实对称矩阵，则一定存在一个阶正交矩阵Q使得同理，一定能找到一个正交矩阵使得从而有
将上式两边左乘和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以，是正交矩阵，由定理8知与相似．
定理10若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是与并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵使 ,(即与等价)，且 ( 为阶单位矩阵)，则与相似．
证明：设对于阶方阵与 ,若存在阶可逆矩阵 ,使 ,即与等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.
（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.
（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设，若可逆，则从而可逆.且与相似.
若不可逆，则不可逆，即也不可逆.
证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取 ,有，则与相似，又知是正交阵，所以与既相似又合同．

矩阵合同和相似

矩阵合同和相似引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在线性代数中，矩阵合同和相似是两个常见的关系，它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。

本文将对矩阵合同和相似进行介绍和讨论。

矩阵合同矩阵合同是指两个矩阵具有相同的秩、特征多项式以及特征值的多重性。

具体而言，设A和B是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B是合同的。

矩阵合同的性质矩阵合同具有以下性质： - 对于任意n阶矩阵，矩阵与自身合同。

- 若矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。

- 若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。

矩阵合同的应用矩阵合同在实际应用中具有广泛的应用，例如： - 物体的正交变换：在三维几何中，通过正交矩阵对物体进行旋转、平移和缩放等变换。

这些变换可以表示为合同关系，通过合同矩阵可以实现物体的坐标变换。

- 矩阵的相似性：矩阵合同是矩阵相似性的一种特殊情况。

在线性代数中，矩阵相似是一种重要的关系，它描述了矩阵在不同基下的表示和性质。

矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值。

具体而言，设A和B是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B是相似的。

矩阵相似的性质矩阵相似具有以下性质： - 对于任意n阶矩阵，矩阵与自身相似。

- 若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。

- 若矩阵A与矩阵B相似，且矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。

矩阵相似的应用矩阵相似在实际应用中具有广泛的应用，例如： - 矩阵对角化：通过相似变换将矩阵对角化，可以简化矩阵的运算和求解。

对角化后的矩阵具有简洁的形式，更容易研究和分析。

- 矩阵的特征值问题：矩阵相似性与特征值问题密切相关。

通过矩阵相似变换，可以将复杂的特征值问题转化为简化的形式，从而更容易求解。

结论矩阵合同和相似是矩阵理论中的两个重要概念，它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明：设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同．证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似．又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。

矩阵合同与相似

矩阵合同与相似矩阵合同与相似是线性代数领域中重要且相关的概念。

矩阵合同是指两个矩阵A和B满足一定的条件，而矩阵相似是指两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹。

下面将详细介绍这两个概念及其相关性。

首先，我们来定义矩阵合同。

给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是合同的。

换句话说，两个矩阵合同的条件是它们可以通过一次相似变换后得到。

根据矩阵合同的定义，我们可以得出以下结论：1. 矩阵合同是一个等价关系。

即，对于任意的矩阵A、B和C，有以下三个性质：- 自反性：A合同于自身，即A≈A；- 对称性：如果A合同于B，则B合同于A；- 传递性：如果A合同于B，且B合同于C，则A合同于C。

2. 矩阵合同保持矩阵的特征值不变。

如果A合同于B，那么A和B具有相同的特征值。

接下来，我们来介绍矩阵相似。

给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是相似的。

与矩阵合同相似，矩阵相似也是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

矩阵合同和相似的联系在于它们都描述了矩阵之间的一种等价关系。

矩阵相似是一种较强的等价关系，因为它要求矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P。

而矩阵合同是相似的一种特殊情况，它只要求存在一个非奇异矩阵P即可。

因此，矩阵相似是矩阵合同的一种更加严格的要求。

矩阵相似在线性代数中有着广泛的应用。

例如，矩阵相似关系可以帮助我们简化矩阵的计算。

通过寻找一组相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个更加简单的形式，从而便于计算和分析。

此外，矩阵相似还可以帮助我们理解矩阵的几何意义。

对于一个可对角化的矩阵A，如果存在一个相似变换P，使得A=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么矩阵A的几何意义就可以通过对角矩阵D来表示。

换句话说，相似变换可以将原始矩阵的几何性质转化为对角矩阵的几何性质，从而更容易理解。

矩阵的相抵与相似_09_07_09

I3 0 B → 0 0 Q
其中
P 0
0 0 0 1 − 4 5 9 2 − 9 1 − 3 0
17 9 − 14 9 P= 2 3 1 − 4
14 − 9 11 9 1 3 1 4
定义对数阶矩阵，若 n λ0 ∈ K ，存在非零列向量 α ∈ K ，使得存在非零非零列向量设
A 为数域 K 上的一个 n
Aα = λ0α
则称 λ0 为矩阵 A 的一个特征值， α 为矩阵的一个特征值特征值，的一个特征向量。属于特征值 λ0 的一个特征向量。特征向量
A的
例
(1)
2 m
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x + L + am x
上的一元多项式，阶矩阵，是数域 K 上的一元多项式，A 为一个 n 阶矩阵，定义
f ( A) = a0 I + a1 A + a2 A + L + am A
2
m
多项式。进一步，为矩阵 A 的多项式。进一步，我们有
A ~ B ⇒ f ( A)
例 2 ：设
1 1 A= 2 2
求A 。解：由满秩分解公式可得
+
1 A = BC = [1 1] 2
于是其伪逆矩阵为
A = C (CC ) ( B B ) B
H H
+
H −1
−1
H
1 1 −1 1 −1 = ([1 1] ) ([1 2] ) [1 2] 1 1 2 1 1 1 1 1 = [1 2] = 10 1 10 2 2 1 10 = 1 10 1 5 1 5

矩阵相似合同等价

矩阵相似合同等价篇一：如何判断矩阵的等价,相似,合同？如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得BPAQBr(A)r(B)(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A与B相似:P1APB,P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似.(3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CTACB(C可逆)A与B 的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可. 注:A,B合同A,B等价 1011A,B相似A,B等价,例A,B等价但不相似0101在A,B实对称的前提下,A,B相似A,B合同.【例1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, 哪些合同111110100000A000,B001,C000,D011.000000000011【解】先看等价：r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1，故A,C,D 等价.再看相似：r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,排除B，考虑A,C,D，A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量。

100A相似于对角阵C000，从而A,C相似.000最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D，C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，C,D合同.111300【例2】判断A111,B000是否等价，相似,合同, 111000【解】r(A)r(B)1，二者等价；300A为对称阵一定相似于对角阵B000；从而A一定合同于对角阵B. 000篇二：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别学号：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别20XX年05月矩阵间等价、合同、相似的联系与区别xxxX摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间的三种关系及区别：首先，简要介绍矩阵作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知识的理论性及应用性的特点；其次，简要介绍矩阵的概念及基本运算，给出矩阵的秩和逆的解法；最后，给出矩阵等价、合同、相似的定义，根据定义分析三者之间的联系与区别，并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象，组织学习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化，以自主创新的态度来对待生活中的难题,形成新思维使我们在未来学习工作中越走越顺.关键词矩阵、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同The connection and distinction among three relationships of matricesthose are equivalent, contract, similarZhu Yan(College of Mathematics and Information Science, Henan Normal University, Xinxiang Henan 453007,China) Abstract The paper is divided into three steps to gradually in-depth exploration of three kinds of relationships among matrices and these differences: First, we have briefly introduced the importance of thematrix as a professional basis discipline in Normal Colleges and Applied Mathematics in the paper, meanwhile, we have introduced the knowledge of this discipline included it’s theory and application characteristics; Second, we have briefly introduced the concepts and basic operations of the matrix in the paper then the solution of the question about the rank of the matrix and the inverse are given in the paper; Finally, we have introduced definitions of the matrix’s equivalent, contract and similar in this paper, then, according to the definition we analyse the contact and distinction among those relationships , and further offers specific examples to analyse, so that students will have a more profound impression. Organized study groups practice self-learning and transforming the written knowledge to the actual ability of independent innovation attitude to deal with the problems in life, the formation of new thinking to make our future study and work farther and Shun.Keywordsmatrix; matrix contract ; matrix equivalent; matrix similarity目录前言 1 1矩阵的简介 1矩阵的简介1矩阵的运算矩阵乘积的行列式与秩矩阵的逆2 矩阵间的三种关系矩阵的等价矩阵的合同矩阵的相似 3 矩阵的等价、合同、相似之间的联系与区别矩阵间等价、相似、合同之间的联系矩阵的等价、相似、合同之间的区别 4 总结参考文献致谢2 6 7 8 8 9 9 11 11 13 14 16 17前言随着科技的高速发展，数学在生产生活中的应用愈加宽广和深入，其中在经济方面尤为突出，马克思曾说过:“一门学科只有成功地应用了数学时,才真正达到了完善的地步”.矩阵的作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础内容,是高等代数的中心内容, 同时也是数学科学联系实际的主要桥梁之一.矩阵既是高等代数这一门数学专业课的重要内容,也是理、工科高等数学的基础,随着我国科技进步和现代化建设的飞速发展,医、农、工以至经济等社会科学各专业学生和工作人员,也越来越需要掌握它的基本理论与方法了. 矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳域提出）等等.“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵.矩阵就是可以将多个变量放在矩阵中，然后通过具体数据和关系构建矩阵方程，这在数学建模中很重要，可以解决许多实际问题.本文将对矩阵的合同、矩阵的相似及矩阵的等价，这三类矩阵之间的关系就能行了解和探讨，并总结这三者的联系与区别. 1矩阵的简介矩阵的简介矩阵(Matrix)本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方.在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵.这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.1812年柯西引入矩阵概念以来 ,矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支 ,既是学习经典数学的基础 ,又是一门最有实用价值的数学理论 ,并且已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具 .《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目而矩阵在线性代数中处于核心地位.由参考文献[1]、[2] 我们看到，在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.用大写的拉丁字母A,B,，或者aij,bij,来表示矩阵.有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,，或者aijsn,bijsn, (注意矩阵符号与行列式的符号的区别).设Aaijmn,bijlk，如果ml,nk，且aijbij，对i1,2,,m;j1,2,,n都成立，我们就说AB.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，以下定义在参考文献[3]—[6]中均有出现,这些运算是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设a11a12a1na22a2naAaijsn21as1as2asn是两个sn矩阵，则矩阵Ccijsnaijbijsnb11b12b1nb21b22b2n,Bbijsnbs1bs2bsna11b11a12b12a1nb1na22b22a2nb2nab2121abas2bs2asnbsns 1s1称为A和B的和，记为CAB.相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，也就是数的加法，所以它有篇三：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别20XX09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

矩阵合同与相似

矩阵合同与相似1. 引言矩阵合同与相似是线性代数中重要的概念之一。

在矩阵运算和特征值特征向量的研究中发挥着重要作用。

本文将介绍矩阵合同和相似的定义以及它们的性质和关系。

2. 矩阵合同矩阵合同是指两个矩阵可以通过相似变换互相转换的关系。

具体来说，设A和B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。

矩阵合同具有以下性质： - 自反性：任意矩阵A与自身合同，即A合同于A。

- 对称性：若A合同于B，则B合同于A。

- 传递性：若A合同于B，B合同于C，则A合同于C。

矩阵合同可以理解为两个矩阵在变换下相似，它们具有相同的特征值和特征向量。

矩阵合同在矩阵的相似性、对角化和正交对角化等问题中发挥着重要作用。

3. 矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值和相似的特征向量。

具体来说，设A和B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得 P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。

矩阵相似具有以下性质： - 自反性：任意矩阵A与自身相似，即A相似于A。

- 对称性：若A相似于B，则B相似于A。

- 传递性：若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。

矩阵相似可以理解为两个矩阵在变换下具有相同的性质，它们具有相同的特征值和特征向量。

矩阵相似在矩阵的对角化、矩阵函数的计算和矩阵的幂等等问题中有广泛应用。

4. 矩阵合同与相似的关系矩阵合同和相似之间存在一定的关系。

具体来说，如果两个矩阵合同，则它们相似，但反之不一定成立。

换言之，矩阵相似是矩阵合同的充分条件，但不是必要条件。

矩阵合同和相似在矩阵的特征值和特征向量研究中具有重要的作用。

通过矩阵合同和相似的变换，我们可以简化矩阵的计算和分析，并得到更多的性质和结论。

5. 总结矩阵合同和相似是线性代数中重要的概念，它们描述了矩阵之间的变换关系和相似性。

矩阵合同是两个矩阵通过相似变换互相转换的关系，而矩阵相似是两个矩阵具有相同的特征值和相似的特征向量的关系。

它们在矩阵的特征值和特征向量计算、对角化和幂等等问题中发挥着重要作用。

矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4）若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5）设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4）数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5）复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

简述相抵、合同、相似的联系、差别和不变量

简述相抵、合同、相似的联系、差别和不变量摘要：相抵、合同、相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.本文首先介绍三种等价关系的定义、性质、相关定理以及简单应用；其次，讨论三种等价关系的联系、差别和不变量.关键词：相抵、合同、相似、秩、对角化、相似标准形、二次型标准形正文：一、相抵的定义、性质、相关定理及简单应用：1、定义：若矩阵A 经过初等变换化为B （或：若存在可逆矩阵P 和Q ，使得PAQ B =），就称A 相抵于B ，记为A B ≅.2、性质：1）、反身性：即A A ≅.2）、对称性：若A B ≅，则B A ≅（由于有对称性，A B ≅一般就说A 和B 相抵）.3）、传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅.由以上三点可知相抵是一种等价关系，相抵也可叫为等价.4）、相抵矩阵可以是n 阶方阵，也可以不是n 阶方阵，即A 、B 可以为m n ⨯矩阵.设A 是一个m n ⨯矩阵，存在m m n n E E ⨯⨯，，使得m nm m m n n n A E A E ⨯⨯⨯⨯=成立.5）、对于相抵矩阵A 、B 有()()r A r B =.证明：设A 、B 为m n ⨯矩阵，存在m 阶、n 阶可逆矩阵P Q 、，使得m n m m m n n n B P A Q ⨯⨯⨯⨯=由于可逆矩阵P Q 、可以表示为若干个初等矩阵的乘积，而初等变换不改变矩阵的秩，故()()()r A r PAQ r B ==. 3、相关定理及简单应用：定理：若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵.证明：对A 作初等行变换，将A 化为有r 个非零行的行简化阶梯矩阵1B ，即存在初等矩阵12,S P P P ，使得211S P P P B = .再对1B 做倍加列变换和列对换可将1B 化为B ，即存在初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使得112t BQQ Q B = .记21S P P P P = ，12,,,t Q Q Q Q = （P Q 、均可逆）则有000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭我们把000rI ⎛⎫⎪⎝⎭称为A 的相抵标准形.推论：设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.证明：设A 与B 相抵标准形为000rI ⎛⎫⎪⎝⎭，000sI ⎛⎫⎪⎝⎭，则()r A r =，()r B s =.从而A B ≅当且仅当000rI ⎛⎫⎪⎝⎭=000s I ⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当()()r A r B =.例题：设A 是m n ⨯矩阵（m n >），()r A n =.证明：存在n m ⨯矩阵B ，使得n BA I =.证明：由上面定理，存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得10n I PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是111100n I Q PA Q --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中10是()m n n-⨯零矩阵，取2(,0)C Q =，其中20是()n m n ⨯-零矩阵，则112211(,0)000n Q CPA Q QQ I --⎛⎫==+= ⎪⎝⎭故存在BCP =，使得n BA I =.相抵是矩阵三个等价关系中最简单、最普通的一种，它常与矩阵的秩联系起来应用.它的重要特征是A 相抵于B ，则()()r A r B =.二、相似的定义、性质、定理及相关问题1、定义：对于矩阵A 和B ，若存在可逆矩阵P ，使1P A P B -=，就称A 相似于B ，记A B.由定义可以看出相似条件要强于相抵，因此，相似矩阵必相抵.相似也是矩阵的种等价关系，这种关系具有下面三种性质： 1）、反身性：A A；2）、对称性：如果A B ，那么B A ；证：如果A B，存在可逆矩阵X，使1B X AX -=.令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，即B A .3）、传递性：如果A B ，B C ，那么A C .证：已知有,X Y使11,B X AX C Y BY--==，令Z XY =，就有：111C Y X AXY Z AZ ---==.因之A C .2、性质：相似矩阵除了具有等价关系的三种性质外，还有以下这些性质： 1）、11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）；2）、1111212()()()PA A P P A P P A P ---=；3）、若A B，则m m A B （m 为正整数）；证明：因为A B，所以存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=，于是1111()()()mB P AP P AP P AP P AP ----==故mm A B .4）、若A B，则()()f A f B ，其中111011101110()()()n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a f A a A a A a A a I f B a B a B a B a I------=++++=++++=++++用1）、3）的结论，容易证明4）成立.5）、相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那末11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.6）、相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===7）、相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()PAP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理：8）、定理：相似矩阵的特征值相同.证明：只需证明相似矩阵有相同的特征多项式.设A B ，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=.于是：()11E B E P AP P E A Pλλλ---=-=-1P E A P E A λλ-=-=-（因11P P -=）.但是这个定理的逆命题不成立，即有相同的特征值（多项式）的矩阵不一定似.例如：1011,0101A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它们的特征多项式都是2(1)λ-，但它们不相似.这是因为与A 相似的矩阵只能是它自身，因此A 与B 不相似. 推论：相似矩阵有相同的迹. 3、相似的相关问题：（1）、例1：证明：若11A B 且22A B ，则{}{}1212,,diag A A diag B B .证明：若11A B ，则存在可逆矩阵1P ，使11111P A P B -=；若22A B ，则存在可逆矩阵2P ，使12222P A P B -=.因为111111111112222222000000000A PB P P A P A P B P P A P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即11111222200000000P A P B P A P B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11220000A B A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即{}{}1212,,diagA A diagB B .例2：证明：与幂等矩阵相似的矩阵仍是幂等矩阵.证明：设A 为幂等矩阵，2A A =若A B ，则存在可逆矩阵P 使得：1B P AP -=又2121BP A P P AP B --=== 2B B ∴=即B 仍是幂等矩阵.（2）、已知A ，B 相似，反求A ，B 中的参数.若A 、B 相似，则有最一般的结论：A 、B 的特征多项式相同，即E A E B λλ-=-，至于A B =，()()r A r B =均可由此导出，因此这类问题一般从E A E B λλ-=-着手.例：A 与B 相似，其中20010022,02031100A x B y --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求x 和y 的值；（2）求可逆矩阵P ，使得1PAP B -=.解：（1）、因A B，有E A E Bλλ-=-得：23313220010020210xa a a yλλλλλλ++--=---()()()(2)[()(1)2]12x y λλλλλλ+---=+--令0λ=.代入得：2(2)22x y y x -=⇒=-；令1λ=-.代入得：04(2)20y y x =--⇒=-⇒=.（2）、由（1）知：200100202,020311002A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 的特征值为1231,2,2λλλ=-==-.求对应的特征向量：对11λ=-，求解123120*********x x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.解得：1021ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；对22λ=，求解123220022203121x x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭.解得：2011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；对32λ=-，求解123220022203121x x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.解得：301ξ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.令123001(,,)210111P ξξξ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪--⎝⎭，则P 可逆，且1P AP B -=.（3）、求矩阵A 的相似标准形.例：已知142010122A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求可逆矩阵P ，化A 为相似标准形Λ，并写出对角矩阵Λ.解：先求A 的特征值、特征向量，由214210(1)(2)2(1)12E A λλλλλλλλ---=+=++-++--2(1)()λλλ=++所以A 的特征值是-1（二重）、0.对1λ=-，解：1231142011001212x x x ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+= ⎪⎪ ⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭得特征向量：1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；对0λ=，解1231420100122x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，得特征向量：301ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.令123212(,,)100011P ξξξ-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，则由212100100010100010011001011001212100-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭100010100010011001010120001121001121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1010120121P -⎛⎫⎪∴=-- ⎪⎪-⎝⎭有：1010142212120010100121122011P AP ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=--- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭.（4）、n 级矩阵A 可相似对角化：1）、n 级矩阵A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； 2）、若n n A ⨯有n 个互异的特征值12,,,n λλλ ，则A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 相似.（5）、求矩阵A 的高次幂nA .例：已知110220421A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求n A .解：由于211022(1)()421E A λλλλλλλ+--=-=----1λ⇒=（二重），0λ=.对11λ=，由123111021*******x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭所以：1120ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2001ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；对20λ=，由1230110202004201x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭所以：3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.123101(,,)201012P ξξξ⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪-⎝⎭，可求得1110421210P --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭.于是1110P AP -⎛⎫⎪=Λ= ⎪⎪⎝⎭则：1101111020114210120210n nA P A P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110110200421220010210421--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例：已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，试求：（1）、B 的特征值及其标准形，并说明理由；（2）、行列式B 以及5A E -，（E 为三阶单位阵）.解：（1）设A 相应于特征值1，-1，2的特征向量分别为123∂∂∂，，.由于不同的特征向量线性无关，令123T=∂∂∂（，，），则T 为可逆阵，且1112T AT -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，所以，113125T BT T A T T A T ---=-因为13131212TA T T AT T A T T AT ----==（），（）所以111415168412T BT --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.B ∴有特征值-4，-6，-12，且B 的相似标准形为对角阵：4612-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）、因为14612T BT --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭得： B =（-4）*（-6）*（-12）=-28811545156253T A E T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）所以5A E -=（-4）*（-6）*（-3）=-72.小结：矩阵相似主要与特征值、特征向量相结合来求矩阵的对角化问题.三、合同1、定义：对两个矩阵A 和B ，如果存在可逆矩阵C ，使T CAC B =，就称A 合同于B ，记为A B .合同这种关系也满足等价的三个规律：1）、反身性：A A ；2）、对称性：假如A B ，那么B A ；3）、传递性：假如1223,A A A A ，那么13A A .因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩相等.2、合同的性质和相关问题：（1）、合同矩阵的定义中所指的矩阵是一般的矩阵，多是针对对称矩阵研究合同关系的.任一个对称矩阵，都存在对角阵与它合同，与对角阵合同的矩阵必定是对称矩阵.也可以说合同保持对称性不变.（2）、实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是A 与E 合同，为负定矩阵的充要条件是A 与E -合同.证明：若A 是正定的，即二次型12(,,)T n f x x x X TX = 是正定的，从而可通过实满秩线性代换X CY =化为：2221212(,,)()T T T n n g y y y Y X TX Y y y y Y EY ==++=于是T C AC E =.即A 与E 合同.反之，若A 与E 合同，则由g 可通过实满秩线性代换化为f ，因g 正定的，故f 也是正定的，即A 为正定矩阵.（3）、合同保持矩阵的惯性指数、有定性不变；（4）、合同可用来化二次型的标准形.定理：复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换花为标准形： 22212r f y y y =++例：将二次型2221231122233(,,)2244f x x x x x x x x x x =++++用合同变换化为标准形.解：2221231122233(,,)2244f x x x x x x x x x x =++++所对应的矩阵为： 110122024A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，于是有： 1101001001001221120120100240240240001001101101120100100100120010********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故f 的标准形为：2221230f y y y =++⋅.而变换矩阵为：112012001P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. （5）、例：若A 为正定矩阵，则1A -也是正定矩阵.证明：A 为正定矩阵，故A 为对称矩阵.0,A A E > ，于是1A -存在，并且：（1）111()()T T A A A ---==，1A -为对称矩阵.（2）存在满秩矩阵P ，使T PAP E = 于是1111()()T T P AP P A P E ----==.取1()T Q P-=，则Q 为实满秩矩阵，使1T Q A Q E -=，即 1AE - 综上，1A -为正定矩阵.四、相抵、合同、相似的联系、差别和不变量.上面非常粗略的介绍了三种等价关系，下面我们再来看看它们之间的相互关系：1、三者都是等价关系，都具有反身性、对称性与传递性；2、相抵矩阵可以是m n ⨯矩阵A B 、，相抵的充要条件为存在m 级可逆矩阵P 与n级可逆矩阵Q ，使得PAQ B =. 相似、合同比相抵条件要强，相似、合同的矩阵必是方阵；若A B 、相似、合同，则A B 、一定相抵，反之不对. 3、若实对称矩阵A B 、合同，则A B 、一定相抵；若实对称矩阵A B 、相似，则必合同.因为A B，则有相同的特征值12,,,n λλλ ，于是存在正交矩阵12P P 、，使得：111111222{,,,}T T n P AP P AP diag P BP λλλ-===从而：112112T T T P P A PP P AP B --==（）（），其中111122121T T T T T P PP P P P P P ---===，（）（）.但反之不成立.如：10100102A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， A B 、合同，但A 与B 不相似. 4、最后，让我们看看相似、相抵、合同各自的不变量.1）、相抵保持秩不变； 2）、相似则保持秩、迹、行列式、特征多项式、可逆性、对称性、有定性不变；3）、合同不变量有：秩、特征值、行列式、有定性、对称性、可逆性.这些可以从上面的性质看出，这里就不加以讨论.参考文献：《高等代数习题解》杨子胥编山东科技出版社《线性代数》居余马编清华大学出版社《线性代数》李湘云编湖北科学技术出版社《高等代数》辅导及习题精解滕加俊编陕西师范大学出版社《高等代数》教材《高等代数》熊全淹主审高等教育出版社《矩阵分析》刘丁酉编武汉大学出版社。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

高等代数_矩阵的相抵合同相似

矩阵相似与合同

第5章 矩阵的相抵与相似

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

合同与相似概念区别

矩阵相似与合同

浅谈矩阵的等价、合同与相似之间的关系

丘维声高等代数第五章1

矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别

矩阵合同和相似

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

矩阵合同与相似

矩阵的相抵与相似_09_07_09

矩阵相似合同等价

矩阵合同与相似

矩阵的合同,等价与相似

简述相抵、合同、相似的联系、差别和不变量

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

第5章矩阵的相抵与相似