流体力学 第四章 量纲分析讲解
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流体力学第四章流动阻力和能量损失
U2 p H0 z 2g g
(LT ) ML T L L LLL 2 3 2 LT (ML )( LT )
1 2
1
2
§4-1 沿程损失和局部损失
整个管道的能量损失等于各管段的沿程损 失和局部损失的总和。
hl hf hm
l v hf d 2g
圆管层流的速度分布、沿程损失
du 牛顿内摩擦定律： dr
均匀流基本方程：
r J 2
边界条件：r=r0时，u=0
流速分布：
u um
J 2 2 u (r0 r ) 4
r=0时，u最大
τ
umax
J 2 J 2 r0 d 4 16
Q J 2 J 2 r0 d 平均流速：v A 8 32 1 v umax 2
§4-5 管路中的沿程阻力
层流：λ 仅与Re有关，与管壁粗糙度无关。
64 f (Re) Re
紊流：λ 取决于Re和管壁相对粗糙度两个因素。
f (Re, K/ d)
尼古拉兹实验曲线
尼古拉兹实验： （1）第Ⅰ区，层流区，Re＜2000， f (Re) 1 （2）第Ⅱ区，临界过渡区，Re=2000～4000，
Re
Vd
Vd
临界雷诺数： （圆管） 层流：
Rek Re Re
流体力学-量纲化分析详解
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成之前能预见它的性能。
（b）数值模拟。随着计算机的发展，有很多实际问题可以通过数值模拟去了解它的结果，这是一个发展的趋向。例如这是一个用数值模拟方法得到的半圆柱绕流的过程。
但由于实际问题的复杂性，很多问题目前尚无法去使用数学模拟。另外，由于数值误差的存在，或计算方法的缺陷，或方法存在问题等等，有时也使得数值模拟的结果的可靠性受到质疑。
（c）使用小尺度模型试验的方法，只需耗费较少的人力、物力、财力，就可以获得所需的数据。例如在风洞里进行飞机的试验，在水池里进行船舶的试验等等。但在进行模型试验时，必须解决两个问题：
（1）如何保证模型试验的物理模型能代替原型？
（2）怎样将模型试验的结果转换到实际情况中去？
为回答上述二个问题，就分别需要根据量纲分析方法及相似理论去寻找“相似律”来解决。
1.2 π定理
π定理是量纲分析的基础。
每一个物理量都是用度量这个物理量的单位和该物理量比数的乘积来表示。例如：某物体的长度是5m，那么米是该长度单位，5为比数。
同样若以cm为单位，则为5m=500cm，即比数变为500，它们都是用来度量长度物理量的量，其区别只是所用的单位比例大小不同而已。而这种量的性质是同类的。对此我们就说它们具有相同的量纲。用一个文字代表它，这里长度量纲我们用“L”表示。物理量不同，其量纲也不同。由于任何一个物理现象都可以用满足一定规律的物理量去描述，因此物理量的量纲之间也应遵守一定的物理定律。例如：物体运动必须服从牛顿第二定律：F=M a。
水力学 第4章
功率比例尺：
M Fl k M ' ' ' k F kl kl3kv2 k M Fl p FP A k F kp ' ' ' p FP A k A P Fv k P ' ' ' k F kv kl2 kv3k P Fv
动力粘度比例尺：
k k kl k v
Fr V 惯性力 ~ 重力 gL
即佛劳德数是惯性力与重力的比值，它反映了重力 对流体流动的作用。
Fluid Dynamics 20
Chap4 Similar Theory
2、相似准则数的物理意义及讨论
P 压力 Eu ~ 2 V 惯性力
它反映了压力对流体流动的作用。
L 局部变化 St ~ Vt 迁移变化
二、粘性力相似准则（雷诺准则） 三、压力相似准则（欧拉准则） 四、弹性力相似准则(柯西准则) 五、表面张力相似准则（韦伯准则）
六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
Fluid Dynamics 12
Chap4 Similar Theory 1、重力相似准则
W ' 'V ' g ' kF k kl 3 k g W Vg
v 2 l We
We称为韦伯数，它
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流体力学第四章
急变流：不符合上述条件的流动。
43
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
缓变流
急变流
缓变流
急变流 缓变流
急变流
急变流 缓变流
急变流
缓变流和急变流
45
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
du x u x u x u x u x ax dt t u x x u y y u z z du y u y u y u y u y 因此 ux uy uz a y dt t x y z du z u z u z u z u z ux uy uz az dt t x y z
写成矢量的形式为:
Du u a u u Dt t
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
Du u a u u Dt t
对于压力和密度,则分别为: dp p p p p ux uy uz dt t x y z
一、拉格朗日法（ Lagrangian Method ）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
43
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
缓变流
急变流
缓变流
急变流 缓变流
急变流
急变流 缓变流
急变流
缓变流和急变流
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
du x u x u x u x u x ax dt t u x x u y y u z z du y u y u y u y u y 因此 ux uy uz a y dt t x y z du z u z u z u z u z ux uy uz az dt t x y z
写成矢量的形式为:
Du u a u u Dt t
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
Du u a u u Dt t
对于压力和密度,则分别为: dp p p p p ux uy uz dt t x y z
一、拉格朗日法（ Lagrangian Method ）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
第四章 量纲分析与相似原理
故得雷诺准则方程：
v l vl vl 1 or ( ) p ( ) m
即要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re vl / 必须相等
三、欧拉准则：动压力相似
要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则根 据动力相似要求有：
F F
P
I
式中，压力比尺：
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些 变量成为（n - m）个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2 ,..., nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
lp •长度比尺： l lm
Ap 2 •面积比尺： A l Am Vp 3 l •体积比尺：V Vm
已知压力输水管模型实验的长度比尺l 8 ，若原型和模型采用同一流体， 则压强比尺 （ p ）。 A. 1/8 B. 1/16 C. 1/32 D. 1/64
•选模型律.
1
；
[例4] 有一直径为100mm的水平输油管道，油的运动黏度
为0.157cm2/s ，现用水做实验，（水温为10℃时水的运动粘 度为0.000001307m2/s）。模型管径与原型管径相等，实测 得：当通过流量为1.5L/s 时， 4m长的实验管段上测压管水 头降为0.5cm ，试求： （1）原型流量； （2）100m长原型输油管的水头损失hw。
v l vl vl 1 or ( ) p ( ) m
即要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re vl / 必须相等
三、欧拉准则：动压力相似
要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则根 据动力相似要求有：
F F
P
I
式中，压力比尺：
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些 变量成为（n - m）个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2 ,..., nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
lp •长度比尺： l lm
Ap 2 •面积比尺： A l Am Vp 3 l •体积比尺：V Vm
已知压力输水管模型实验的长度比尺l 8 ，若原型和模型采用同一流体， 则压强比尺 （ p ）。 A. 1/8 B. 1/16 C. 1/32 D. 1/64
•选模型律.
1
；
[例4] 有一直径为100mm的水平输油管道，油的运动黏度
为0.157cm2/s ，现用水做实验，（水温为10℃时水的运动粘 度为0.000001307m2/s）。模型管径与原型管径相等，实测 得：当通过流量为1.5L/s 时， 4m长的实验管段上测压管水 头降为0.5cm ，试求： （1）原型流量； （2）100m长原型输油管的水头损失hw。
流体力学：量纲分析与相似理论-习题
l
d dm
50 5
10
所以模型管道的长度
lm
l
l
200 10
20 m
判别原型管道中的流态：
V
Q A
0.1 3.140.52 / 4
0.51 m/s
Re
Vd v0
0.510.5 1.31104
1947
2000
解题步骤
所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则
（雷诺相似准则）计算模型中流量Qm 。
解题步骤
（3）模型流体选好后，由于所选择的 vm不再等
于0.0925 cm2 / s，所以对长度比λl 应进行修正
l
v2/3
( vP )2/3 vm
( 0.74 )2/3 0.0892
4.1
即长度比λl应为4.1，而不是4。因此模型油罐
的直径为
dm
dP
l
4 0.976m 4.1
解题步骤
流速比λv 按弗汝德准则求得（按雷诺准则也能
得到同样结果）
V
1/ l
2
( vP )2/3 vm
4.11/ 2
题目
试用瑞利法分析溢 流堰过流时单宽流量q H q 的表达式。已知q 与堰
顶水头H、水的密度ρ
和重力加速度g 有关。
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
流体力学第4章相似原理和量纲分析
k1/ 2 l
v v / kv v / kl1/2 2 201/2 8.944m / s
2021/4/10
27
qV qV / kqV qV /
kl2
k1/ 2 l
qV / kl5/2 0.03 205/2 53.67m3 / s
F F / kF F / kkgkl3 F / kl3 92 203 7.36105 N
1.83105 Pa s, c 343.1m / s
2021/4/10
29
解：原型及模型中流动速度：
v
4qV
d2
44
1.52
2.264
d d kl 1.5 / 7.5 0.2m
v 4qV 41.6 50.93
d2 0.22
m/s m/s
气流马赫数：
M a v / c 50.93 / 343.1 0.1484 0.3
1/ 5
3/2 0.08944
k 2021/4/10 7.5105 0.08944 6.708106 m2 / s 21
例4-2 两种密度和动力粘度相等的液体从 几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面 张力为0.04409N/m，出口流束直径为 7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴12m处 破裂成雾滴；另一液体的表面张力为 0.07348N/m。求在流动相似条件下另一液 体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的 距离。
[工程流体力学(水力学)]4-5章习题解答
![[工程流体力学(水力学)]4-5章习题解答](https://img.taocdn.com/s3/m/56af9a41a8956bec0975e35f.png)
(1 , 2 ) = 0
其中， 1 = 1 D 1 1 w
2 = D
2 2 2
求出两个 数
M O LOT O = L1 T 1 L1 M 1 L31 ML1 T 2
M： 0 =
1 + 1
1 2
L：0 =
1 1 3 1 1
Q
Qm
油
Q
Qg
油
15.5 103 9.8 0.005 m3 / s 8.43 103 3600
0.005
( d ) 4
2
4
0.283 m / s
2
0.15
Re
d 0.283 0.15 2122 2300 ，属于层流 0.2 104
Q ( )d 4
2
4000 ( ) 10 4
51 cm / s
2
所以
Re
d 51 10 50495 2300 ，属于紊流 0.0101
（2）要使管内液体作层流运动，则需
Re
即
d 2300
2300 2300 0.0101 2.323 cm / s d 10
1
gd
2
对于 2 ，
流体力学4-1.2量纲分析
qi
a b Kq1 q 2
a
p q n 1
b
3、 根据量纲和谐原理，等式两端的量纲应该相同
4、将量纲式中各物理量的量纲表示为基本量纲的指数 乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定物理量指数a， b，……，p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系 a b c 式
qi q1 q2 qn1
由定理，选v、d、ρ为基本量，组成各π项
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
1 b2
1 3 c2
M: 1=c2 L: -1=a2+b2-3c2 T: -1=-a2
c2=1 a2=1 b2=1
2
b2 c2
d
a2
d
1 1 1
14
d D f ( D, , d , , ) 0 F1 2 2 , 0 d d d D F2 F2 Re 2 2 d 2 2 d D F2 Re 2 d 2 F3 Re
量纲分析法
量纲分析法
量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲
首先，我们需要明确什么是量纲。量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法
量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中
流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL
其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。我们可以定义以下五个无量纲参量：
流体力学量纲分析(课堂PPT)
1842年8月23日生于北爱尔兰。1867年
毕业于剑桥大学王后学院。1868年出任曼
彻斯特欧文学院（后改名为维多利亚大学）
的首席工程学教授。1877年当选为皇家学
会会员。1888年获皇家勋章。他是一位杰
出的实验科学家。他于1883年发表了一篇
经典性论文——《决定水流为直线或曲线运
动的条件以及在平行水槽中的阻力定律的探
牛顿牛顿newtonnewton1643164317271727年12一重力相似准则弗劳德准则二粘性力相似准则雷诺准则三压力相似准则欧拉准则四弹性力相似准则柯西准则五表面张力相似准则韦伯准则六非定常性相似准则斯特劳哈尔准则流场中有各种性质的力流场中有各种性质的力但不论是哪种力但不论是哪种力只要两个流场动力相似只要两个流场动力相似它们都要服从牛顿它们都要服从牛顿相似准则相似准则
为卢卡斯数学教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，
1703年被选为皇家学会主席直到逝世。
1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长，1705年
因改革币制有功受封为爵士。1727年3月31日，牛顿因患肾
结石症医治无效，在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，葬于伦敦
威斯敏斯特教堂(westminster abbey)。
当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等， 即 Ne' Ne ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。 11
流体力学-第四章 流体动力学基础
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
CS
f B d
流场的不均匀性和系统的空间位置和体积随时间改变而引起的。
定常流动条件下，
d 0
t CV
则有
DN V ndS
Dt CS
在定常流动条件下，整个系统内部流体所具有的某种物理量的变化率只与
通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。
第四章 流体动力学基础
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
T DH Dt
矢量和，即：
T
r FS
r gd
T轴
T r Vd r VV ndS
t CV
CS
积分形式的动量矩方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
T r Vd r VV ndS
t CV
CS
定常流动条件下：
忽略表面力和对称质量力所产生的力矩，对定常流动
T轴
r VV ndS
Dk Dt
d dt
Vd
雷诺输运定理就是用来解决用欧拉变量表示系统体积分的物质导数的问题
第四章相似和量纲分析
解：影响这一流动主要作用力为粘性力，因此，决定性相似准数为雷诺数
Re vt dt vmdm
t
m
qvt qvm
tdt mdm
dm
dt
t m
qVm qVt
99.7mm
dt Dt dm Dm
3、 欧拉模型法
第五章将要讲到粘性流动中的一种特殊现象，当雷诺数大到一定界限以 后，惯性力与粘性力之比也大到一定程度，粘性力的影响相对减弱，继 续提高雷诺数，也不再对流动现象和流动性能发生质和量的影响，此时 尽管雷诺数不同，但粘性效果却是一样的。这种现象叫做自动模型化， 产生这种现象的雷诺数范围叫做自动模型区。 雷诺数处在自动模型区时，雷诺准则失去判别作用。
v l2
2ux
v2 l
dux dt
质量力 压力
粘性力 惯性力
g
p l
v l2
v2 l
将上式前三项分别去除第四项，分别得到下面三个常数：
1 Froude 弗劳德数，代表惯性力与重力之比。
2 v
1
gl
v2 v'2
gl g'l'
v2 Fr
dux dt
则与其运动相似的实物流体中必与模型中各物理量存在着 一定的比例尺关系。故实际运动的方程式可表示为：
g
工程流体力学 第四节
例题
二、π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互 为函数关系，即
F (q1 , q2 ,..., qn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些 变量成为（n－m）个无量纲π数的函数关系，即
( 1 , 2 ,..., n m ) 0
第四章
量纲分析与相似理论
凡是正确描述自然现象的物理方程，其各项的量 纲必然相同。
量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。 工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余
各项，使其变为无量纲方程。
如流体静力学基本方程 p p0 gh
p0 p 1 用 gh 除其余各项，可得无量纲方程 gh gh
第四章 量纲分析与相似理论
流动相似的基本准则
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。 这个物理方程即相似准则。
一、弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似， 则据动力相似要求有 G p FI p f G m FI m 式中： ( Vg ) p 3 重力比尺： G l g ( Vg ) m
第四章
量纲分析与相似理论
惯性力比尺： F
I
( Va) p ( Va) m
2 2
l a
3
l v
工程流体力学-第四章
1
dt
dt
dt
因为稳定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz
与时间 dt 的比为速度分量，即有：
dx
dy
dz
ux dt uy dt uz dt
dux dt
dx
duy dt
dy
duz dt
dz
uxdux
uyduy
uzduz
1 2
d(u2 )
（2）
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
——（6）、（7）式为理想流体沿流线的伯努利方程。
（1）. 公式适用条件：理想流体、稳定流动、只受重力、 不可压流体、沿流线或微小流束。
（2）. 物理意义：
比位能 单位重量流体 所具有的位能
z p u2 c
g 2g
比动能
单位重量流体 所具有的动能
比压能
三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化 的，三者之和始终保持一常数。
真实速度u与平均速度V之差为∆u，则有
u u u
Q AudA AudA 0
V u
所以
1
u 2 gudA 1
u 3dA
gQ A 2g
2gQ A
Βιβλιοθήκη Baidu
1 2gQ
A u
u 3 dA
1 ( u 3dA 3 u 2udA
第四章量纲分析讲解
Leabharlann Baidu
（5）根据量纲和谐原理求出各量纲指数
L： 1 b c T： -2 -b M： 1 a
a 1 b 2 c 1
9-20
（6）代入指数乘积形式得
F kmV 2 R
9-21
例题4-2
由实验得知流体在圆管作层流运动时，所通过的 流量Q与流体的动力粘度μ，管道半径r0、管道长
度l和管段两端的压强差Δp有关。且根据实测资料
x L0T0M0 1
无量纲量的数值大小与所采用的单位无关 无量纲量可以进行超越函数的计算
9-12
量纲和谐原理
凡是正确反映客观规律的物理方程， 其各项的量纲都必须是一致的，即只有方 程两边量纲相同，方程才能成立。这称为 量纲和谐原理。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
1v22
2g
hw
9-13
量纲和谐原理
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
1v22
2g
hw
只有量纲相同的物理量才能进行加减。
不同量纲的物理量不能进行加减运算，但
可以进行乘除运算。
各物理量可以通过乘除运算成为量纲和谐
的方程中的一项。
9-14
量纲和谐原理
重要 性 一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用
（5）根据量纲和谐原理求出各量纲指数
L： 1 b c T： -2 -b M： 1 a
a 1 b 2 c 1
9-20
（6）代入指数乘积形式得
F kmV 2 R
9-21
例题4-2
由实验得知流体在圆管作层流运动时，所通过的 流量Q与流体的动力粘度μ，管道半径r0、管道长
度l和管段两端的压强差Δp有关。且根据实测资料
x L0T0M0 1
无量纲量的数值大小与所采用的单位无关 无量纲量可以进行超越函数的计算
9-12
量纲和谐原理
凡是正确反映客观规律的物理方程， 其各项的量纲都必须是一致的，即只有方 程两边量纲相同，方程才能成立。这称为 量纲和谐原理。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
1v22
2g
hw
9-13
量纲和谐原理
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
1v22
2g
hw
只有量纲相同的物理量才能进行加减。
不同量纲的物理量不能进行加减运算，但
可以进行乘除运算。
各物理量可以通过乘除运算成为量纲和谐
的方程中的一项。
9-14
量纲和谐原理
重要 性 一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用
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解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
Q vA vl 2 Q vl2
佛劳德准则： v l
Q
5 2 l
Qp Qm5l 2 300 205 2 537000L / s 537m3 / s
v
1
l
Fr（gp=gm）：
v
2 p
vm2
lp lm
v l
1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
Re：vplp vmlm
p m
v
l
Fr：
3
l2
v l
取 l 10
m
p
3
p
31.62
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
201.007106 300 115.7 106
up um
v
λv——速度比尺
时间比例尺
t
tp tm
lp lm
vp vm
l v
加速度比尺
a
v t
v2 l
流量比例尺
q
qV p qVm
l
3 p
lm3
tp tm
3l t
2lv
运动粘度比例尺 角速度比例尺
lv
v l
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m 原型是空气υp=15.7×10-6m2/s Re vd 3107 属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
Re
vm 0.12 15.7 106
50000
vm
6.5m / s
此时
v
8 6.5
1.23
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、 压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
密度比例尺 质量比例尺
p m
m
mp mm
pVp mVm
3l
力的比尺
F
Fp Fm
ma
l22v
力多边形法则： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
动力粘度的比例尺
lv
无量纲系数的比例尺
C 1
相同介质重力加速度的比例尺
g 1
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组 成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似 流动中应该是相等的
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
10 2
υp——水 υm——很困难
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s） 自模区——阻力平方区
υm——水（1.007×10-6m2/s）
（与Re无关）
l 6.24
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
385km/ h
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
Re vl pvl
ppvpl p pmvmlm
vm
vp
lp pp lm Pm
300 20 1 200km/ h 1 30
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
Ar
gd0T0
v02Te
浮力与重力之差（有效 惯性力
重力）
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择
很难实现同时满足两个以上准数相等
例：若同时满足Re数相等和Fr数相等
（1）同种介质（υp=υm）
Re：vpl p vmlm
改成
FIP FIm FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v2
v
2 p
vm2
g plp gmlm
无量纲数
Fr
v2 gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
FP l 2 FI l 2v2
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
第四章 相似原理和量纲分析
§4-1相似原理
1.力学相似的基本概念
（1）几何相似
lp lm
dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am
l
2 p
lm2
l2
vp vm
l
3 p
lm3
3l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
vp vm
无量纲数
Ca
v2
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a E 代入（*）式，得
vP vm aP am
无量纲数 M v a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W v2l
表惯面性张力力
韦伯数——表面张力的相似准数
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Sr
l
v
vt l
时位变变惯惯性性力力
PP
P vP2
Pm
m vm2
无量纲数
Eu
p
v 2
p
v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
改成
FIP FIm FEP FEm
FE El 2 E——弹性模量 FI l 2v2
P
v
2 p
mvm2
Ep
Em
（*）