流体力学 第四章 量纲分析讲解
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流体力学4-1.2量纲分析.
1、定理内容
若某一物理过程包含n个物理量 f (q1 q 2 q3 q n ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量）则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项 所表达的关系式来描述
2、解题步骤
F ( 1 n m ) 0
1）确定关系式 根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各 个物理量及其关系式
对于不可压缩流体运动， 任一物理量 q的量纲 [q］都 可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M L T
分 类
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0 面积［A]= 速度 ［v] =LT –1 加速度 ［a] = LT –2 运动粘滞系数[ν]= L2T-1 L2
q1 q2 q3
1 1 1
qnБайду номын сангаас
a n 3 bn 3 cn 3 q1 q2 q3
q1 q2 q3
2 2
2
4）满足π为无量纲项， 定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci 5）整理方程式
1、简单表述：
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成 立。
2、重要性
一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方 程或经验公式的正确性和完整性 根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数 可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验 过程、整理实验成果提供理论指导
C RJ
1 1/ 6 C R n
[C ] L T
0.5
1
m /s
n作为无量纲量处理P106
6
0.5
[n] L1/ 3T 1
若某一物理过程包含n个物理量 f (q1 q 2 q3 q n ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量）则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项 所表达的关系式来描述
2、解题步骤
F ( 1 n m ) 0
1）确定关系式 根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各 个物理量及其关系式
对于不可压缩流体运动， 任一物理量 q的量纲 [q］都 可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M L T
分 类
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0 面积［A]= 速度 ［v] =LT –1 加速度 ［a] = LT –2 运动粘滞系数[ν]= L2T-1 L2
q1 q2 q3
1 1 1
qnБайду номын сангаас
a n 3 bn 3 cn 3 q1 q2 q3
q1 q2 q3
2 2
2
4）满足π为无量纲项， 定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci 5）整理方程式
1、简单表述：
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成 立。
2、重要性
一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方 程或经验公式的正确性和完整性 根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数 可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验 过程、整理实验成果提供理论指导
C RJ
1 1/ 6 C R n
[C ] L T
0.5
1
m /s
n作为无量纲量处理P106
6
0.5
[n] L1/ 3T 1
流体力学第四章量纲分析与相似理论
a a a y = Kx1a1 x2 2 x3 3 ...xn n
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
流体力学-量纲化分析详解
第四步：对1， 解得：c1=1，b1=2，a1=0 对2：
解得：c2=0，b2=0，a2=1 对3： 解得：c3=1，b3=1，a3=1
第五步：归纳上述得：
，
，
故有关系式：G(1，2，3)=0
因为要求的是压强降p，故此可解出：
而函数 G1 的具体确定可通过试验进行。
流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如 河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的 飞机）等。而表征这些流动的无量纲参数将是非常有意义的。
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、 河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与 设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上 去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一 艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成 之前能预见它的性能。
如果已知力 F 和物体质量 M 的量纲，那么加速度 a 的量纲必须满足上述公 式。即 F、M、a 中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物 理量量纲按照其间存在的定律推导出来。由此可见，在物理量中有些量的量纲是 基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。 前者称为基本单位，后者称为导出单位。
在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是 L、M、T、I、Q、N 和 J。
力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。（2）表征力 的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。为了应用方便，根据第一个基本 单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：
解得：c2=0，b2=0，a2=1 对3： 解得：c3=1，b3=1，a3=1
第五步：归纳上述得：
，
，
故有关系式：G(1，2，3)=0
因为要求的是压强降p，故此可解出：
而函数 G1 的具体确定可通过试验进行。
流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如 河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的 飞机）等。而表征这些流动的无量纲参数将是非常有意义的。
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、 河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与 设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上 去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一 艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成 之前能预见它的性能。
如果已知力 F 和物体质量 M 的量纲，那么加速度 a 的量纲必须满足上述公 式。即 F、M、a 中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物 理量量纲按照其间存在的定律推导出来。由此可见，在物理量中有些量的量纲是 基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。 前者称为基本单位，后者称为导出单位。
在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是 L、M、T、I、Q、N 和 J。
力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。（2）表征力 的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。为了应用方便，根据第一个基本 单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：
第四章相似和量纲分析分解
1.弗劳德模型法
用于重力起主要作用，粘性力可忽略的场合。 相似准则为Fr，有：
1 v 2 惯性力 v2 v '2 Fr ； ； v l2 gl 重力 gl g ' l '
基本比例尺为：
密度比例尺 和长度比例尺 l 。
弗劳德模型法在水利工程上应用广泛。
图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1） δρ=1, δl=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、 收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下， 求各实物上的量。
作用在单位质 量流体的压力 流体质点的加速度 （惯性力）
0 理想流体，
二、相似准则
模型流动与实物流动如果存在力学相似，则必然存在众多的比例尺。如果一 一检查这些比例尺相似的话，过程及其繁琐。而且也没有必要，下面介绍判 断相似的准则。用他们来判断力学相似。
设符合模型运动不可压缩流体的运动微分方程：
l
qv q qv ' l qv ' 49m 3 / s v v v' l v 4.11m / s F F F ' l F ' 5 104 N
3 1 2
5 2
M M M ' l M ' 75 104 Nm
2 g l
V
p V2 lV
一般情况下，模型与实际流动选用同一种介质。但要做到完全力
学相似是很困难的，实际采用近似模型法。
如果所选择的三个基本比例尺
l , v ,
V l
V ν l
1 2
2 g l
V
弗劳德数 Fr
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
流体力学量纲分析(课堂PPT)
如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
流体力学 第四章 量纲分析
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm
up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
流体力学4-1.2量纲分析
由定理，选v、d、ρ为基本量，组成各π项
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
16
进行量纲分析，则有 a1 = 0 ， a2 = 1 ， a3 = 0 ， a4 = 2 ， b1= 0， b2= 1， b3 = 1， b4 = - 1， c1 = 0 c2 = 1 c3 = 0 c4 = 0
1 h f / L
ks gd F ( , Re, , 2 ) 0 L d
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
1 b1
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
16
进行量纲分析，则有 a1 = 0 ， a2 = 1 ， a3 = 0 ， a4 = 2 ， b1= 0， b2= 1， b3 = 1， b4 = - 1， c1 = 0 c2 = 1 c3 = 0 c4 = 0
1 h f / L
ks gd F ( , Re, , 2 ) 0 L d
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
1 b1
第四章 相似原理与量纲分析(新)
第四章 相似原理与量纲分析流体力学中许多工程实际问题由于边界条件复杂，影响因素众多，目前还不能用数学分析方法求出严谨的答案。
即使有少数问题可导出微分方程，但由于它是非线性的，也难以求得精确解。
有些由解析方法求解的，也要做相当的简化和假定，以致结论与实际情况不完全相符。
这就必须借助实验，而且实际中很多公式和系数就是实验的总结。
根据已有的科学知识，进行船舶、飞机和水力机械等的设计是否符合实际需要和流体力学原理，要由实践来证实，因为经济和技术上的原因，不可能直接作出实物实验。
但是，实验必须有理论指导，否则将带有很大的局限性和盲目性，而相似原理和量纲分析就是指导和分析实验的理论依据。
通过相似原理和量纲分析可以正确和合理地制订实验方案和设计模型，获得符合实际的结果。
§ 4-1 相似原理和相似判据一、 相似原理相似概念最早出现于几何学。
如果两个几何图形的对应夹角相等，对应边成比例，那么这两个几何图形是相似的。
这一概念可被推广于一般的物理过程。
所谓两个系统是相应的，就是假定一个系统的一个点和瞬时(ｘp ，ｙp ，ｚp ，ｔp)可以和另一系统的唯一的一个点和瞬时(X Ｍ，Y Ｍ，Z Ｍ，ｔＭ）相对应，并且假定连续性条件适用于这两个系统中的任何两个相邻点。
所谓同名物理量即两个系统中表示同一物理属性的量。
例如，一个系统中某点的速度和另一系统中相应点的速度是两个系统中的同名物理量。
当两个相应系统中进行着同一的物理过程(例如都是机械运动)，而所有相应点的同名物理量的方向相同，其大小之间保持着同一比例关系，那么这两个系统就是物理相似的。
在流体力学中，两个流动系统中相应点的各种向量物理量彼此之间相互平行，并且向量或标量物理量互相成一定比例，则称两个流场是力学相似的。
要实现力学相似，两个流场必须具备以下几个条件：①几何相似；②运动相似；③动力相似；④边界条件和起始条件相似。
(一)几何相似如果两个流场几何形状相同，它们所有相应线段长度之比为同一常数，那么这两个流场是几何相似的。
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
第四章 量纲分析和相似原理
第四章 相似原理与量纲分析量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。
它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。
两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。
本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。
§6—1 量纲分析一、量纲、无量纲量量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。
● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。
● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。
基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。
诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。
1）1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量；2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν；3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ.● 纯数如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。
无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数221∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。
● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。
● 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。
● 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。
工程流体力学-第4章 量纲分析与相似理论
动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
FGp FPp F p FI p FGm FPm F m FI m
几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
§4-4 相似准则
流动相似的本质 ：原型和模型被 同一物理方程所 描述。这个物理 方程即相似准则 。
因为声音在流体中传播速度(音速)， a
入柯西数得
Ca v Ma a
Ev
代
§4-4 相似准则
其他相似准则
Ma 称为马赫数，在气流速度接近或超过音速时，要保证
流动相似，还需保证马赫数相等，即
vp vm ap am
或
(Ma) p (Ma) p
§4-5 相似原理应用
模型律的选择
模型律的选择
•从理论上讲， 流动相似应保 证所有作用力 都相似，但难 以实现。
FI
粘性力比尺：
FI
( A ( A
du dy
)
p
du dy
)
m
lv
lv
§4-4 相似准则
惯性力比尺： FI
(Va) p (Va)m
l3a
l 2v2
a v2 l
雷诺准则方程
vl 1
or
(vl
)
p
(vl
)
m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re 必vl须相等。
相似准则
准则推导依据
动力相似是
决定流动相 似的主要因 素
§4-4 相似准则
弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似， 则据动力相似要求有
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
FGp FPp F p FI p FGm FPm F m FI m
几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
§4-4 相似准则
流动相似的本质 ：原型和模型被 同一物理方程所 描述。这个物理 方程即相似准则 。
因为声音在流体中传播速度(音速)， a
入柯西数得
Ca v Ma a
Ev
代
§4-4 相似准则
其他相似准则
Ma 称为马赫数，在气流速度接近或超过音速时，要保证
流动相似，还需保证马赫数相等，即
vp vm ap am
或
(Ma) p (Ma) p
§4-5 相似原理应用
模型律的选择
模型律的选择
•从理论上讲， 流动相似应保 证所有作用力 都相似，但难 以实现。
FI
粘性力比尺：
FI
( A ( A
du dy
)
p
du dy
)
m
lv
lv
§4-4 相似准则
惯性力比尺： FI
(Va) p (Va)m
l3a
l 2v2
a v2 l
雷诺准则方程
vl 1
or
(vl
)
p
(vl
)
m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re 必vl须相等。
相似准则
准则推导依据
动力相似是
决定流动相 似的主要因 素
§4-4 相似准则
弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似， 则据动力相似要求有
环境流体力学(第四章)详解
在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于分子扩散作用。 随着扩散质纵向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱， 而分子径向扩散作用却始终保持着，这是因为纵向离散维 持着径向浓度梯度之故，当扩散时间增大到一定程度后， 两种作用保持平衡。在这种条件下，方程中的 c 可以忽
t
略，方程简化为
2c
D( 2
1
c )
u u u V uˆ u
V断面平均流速
c c c ca cˆ c Ca断面平均浓度
忽略分子扩散，通过正交与x 、y 、z轴的单 位平均面积在单位时间内的扩散质通量（或 浓度通量）的时均值为
uc V uˆ uca cˆ c V uˆca cˆ uc
uc 0 ucˆ 0 c 0
从前面的章节中可以看出，湍流脉动流速引起了一系列的随机 混合，这些混合可认为是湍流扩散系数更大的费克扩散过程。 由于非均速、剪切流、分布可能会对污染物质的运输有影响， 因此，在这部分里，我们将考虑是什么引起了速度偏差。
如果我们使用合适的分子或湍流扩散系数得出三维传递方程 ，我们就不需要做其他工作就能获得上述讨论的速度分布延 伸影响，离散是隐含在三维模型中的。
下面要提出泰勒对于离散的分析，该方法包括了一维模 型中离散的延伸影响。得到的结果是一维传递方程以及一个加 强纵向混合系数，称为纵向离散系数。
正如Fischer 等人(1979)指出的，G. I. Taylor用剪切流 中速度分布来估算纵向离散系数，体现了G. I. Taylor的过人 之处。因此，我们可以去掉所要求解的方程中的几项。通过比 例分析，我们可以去掉较难估计的几项。通过彻底理解问题的 物理现象，我们可以采用一个稳态假设使得问题较容易处理。 因此，我们所学的数学工具将会得到充分的利用。
t
略，方程简化为
2c
D( 2
1
c )
u u u V uˆ u
V断面平均流速
c c c ca cˆ c Ca断面平均浓度
忽略分子扩散，通过正交与x 、y 、z轴的单 位平均面积在单位时间内的扩散质通量（或 浓度通量）的时均值为
uc V uˆ uca cˆ c V uˆca cˆ uc
uc 0 ucˆ 0 c 0
从前面的章节中可以看出，湍流脉动流速引起了一系列的随机 混合，这些混合可认为是湍流扩散系数更大的费克扩散过程。 由于非均速、剪切流、分布可能会对污染物质的运输有影响， 因此，在这部分里，我们将考虑是什么引起了速度偏差。
如果我们使用合适的分子或湍流扩散系数得出三维传递方程 ，我们就不需要做其他工作就能获得上述讨论的速度分布延 伸影响，离散是隐含在三维模型中的。
下面要提出泰勒对于离散的分析，该方法包括了一维模 型中离散的延伸影响。得到的结果是一维传递方程以及一个加 强纵向混合系数，称为纵向离散系数。
正如Fischer 等人(1979)指出的，G. I. Taylor用剪切流 中速度分布来估算纵向离散系数，体现了G. I. Taylor的过人 之处。因此，我们可以去掉所要求解的方程中的几项。通过比 例分析，我们可以去掉较难估计的几项。通过彻底理解问题的 物理现象，我们可以采用一个稳态假设使得问题较容易处理。 因此，我们所学的数学工具将会得到充分的利用。
工程流体力学课件 第04章 相似原理与量纲分析
F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' 2 带入式(4-15)得： C k Cl Fe dpA KA dV V
C Cv2 Ck 1
（4-29） （4-30） （4-31） 称为柯西数，它是 Ca 惯性力与弹性力的 比值。
或: 令:
' v' 2
K'
v 2
K
v 2
（4-5）
v'
加速度比例尺:
（4-6）
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
体积流量比例尺:
C qV
q' C 2 V 3 t ' l Cl CV qV Ct l t
l '3
3
（4-7）
运动粘度比例尺:
v' t ' Cl C C Cv 2 l v v l Ct t
C v Cl C v 1
（4-21）
（4-22） （4-23）
或: 令:
' v' l ' vl '
vl vl Re
v' l ' vl '
Re 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。 模型与原型用同一种流体时，C
（4-32） （4-33） （4-34）
Ma称为马赫数，它
或: 令:
v' v c' c v Ma c
是惯性力与弹性力 的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。 Ma' Ma
C Cv2 Ck 1
（4-29） （4-30） （4-31） 称为柯西数，它是 Ca 惯性力与弹性力的 比值。
或: 令:
' v' 2
K'
v 2
K
v 2
（4-5）
v'
加速度比例尺:
（4-6）
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
体积流量比例尺:
C qV
q' C 2 V 3 t ' l Cl CV qV Ct l t
l '3
3
（4-7）
运动粘度比例尺:
v' t ' Cl C C Cv 2 l v v l Ct t
C v Cl C v 1
（4-21）
（4-22） （4-23）
或: 令:
' v' l ' vl '
vl vl Re
v' l ' vl '
Re 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。 模型与原型用同一种流体时，C
（4-32） （4-33） （4-34）
Ma称为马赫数，它
或: 令:
v' v c' c v Ma c
是惯性力与弹性力 的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。 Ma' Ma
流体力学 量纲分析
Pm Pp
mlm2vm2 plp2v2p
PpApl2
pmlm2
p
pl
2 p
mlm2 vm2
pl
v2 2
pp
pm pp
mvm2
p
v
2 p
Eu p v2
Eum Eup 代表压力与惯性力比，称为欧拉数。
a
江苏大学
Jiangsu Universu University
由基本量纲导出来的量纲称为导出量纲，对任一物理量A，量纲可表示为：
[A][LTM]
a
23
江苏大学
Jiangsu University
二、量纲和谐
一个正确的物理方程，其各项的量纲必须一致，这个基本性质称为量纲和 谐。它是量纲分析法的理论基础。
z1pg 12 1v g1 2z2 pg 22 2g v2 2hw
Re3106
Re v m lm m
vmRlm m e3160 1 l.m 14 15 6 03 l.m 4
a
17
江苏大学
Jiangsu University
（1）管内流动主要考虑粘性力用雷诺相似准则： （2）管内流动造成压降，未知数中存在压力要考虑欧拉相似准则：
a
18
江苏大学
Jiangsu University
各项的量纲都为[L]，量纲是和谐的。
三、瑞利法 yk1 x1x2 2 xn n
a
24
江苏大学
Jiangsu University
a
25
江苏大学
Jiangsu University
四、 定理
f(x1,x2， ...x.n.)..0
f(1,2， ....n .m ). .0
第四章量纲分析讲解
量纲和谐原理
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
1v22
2g
hw
只有量纲相同的物理量才能进行加减。
不同量纲的物理量不能进行加减运算，但
可以进行乘除运算。
各物理量可以通过乘除运算成为量纲和谐
的方程中的一项。
9-14
量纲和谐原理
重要 性 一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用
来检验经验公式的正确性和完整性。 量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的
分析，已知Q与l成反比，与Δp成正比，试用瑞利 法推求圆管层流的流量计算公式。
9-22
（1）根据已知条件，与该物理现象有关的物理量 共有5个
Q r0 l Δp
（2）根据题意，需要研究流量Q的表达式，首先 将Q表示为其它物理量的指数乘积形式
Q
k
a r0b
p l
c
9-23
（3）写出量纲表达式
度量变化
在状态空间的给定点上，由于度量体系的变化 导致的主观性数量变化称为度量变化。
9-6
量纲和单位
单位 Unit
度量各种物理量数值大小的标准量，如长度 单位为 m 或 cm 等。——“量”的表征
量纲 Dimension
是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和 类别，如长度量纲为 L 。—— “质”的表征
物质的量 mol（摩尔）
2个辅助基本量纲
平面角 rad（弧度） 立体角 Sr（球面度）
9-9
量纲和单位
诱导量纲
由基本量纲推导出来的其他物理量的量纲。
面积 [A]=L2
速度 [V]=LT-1
加速度 [a]=LT-2 力 [F]=MLT-2
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改成
FIP FIm FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v2
v
2 p
vm2
g plp gmlm
无量纲数
Fr
v2 gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
FP l 2 FI l 2v2
385km/ h
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
Re vl pvl
ppvpl p pmvmlm
vm
vp
lp pp lm Pm
300 20 1 200km/ h 1 30
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力
vp
lp lm
300 20 1
60
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
201.007106 300 115.7 106
PP
P vP2
Pm
m vm2
无量纲数
Eu
p
v 2
p
v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
改成
FIP FIm FEP FEm
FE El 2 E——弹性模量 FI l 2v2
P
v
2 p
mvm2
Ep
Em
（*）
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m 原型是空气υp=15.7×10-6m2/s Re vd 3107 属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
Re
vm 0.12 15.7 106
50000
vm
6.5m / s
此时
v
8 6.5
1.23
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、 压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
密度比例尺 质量比例尺
p m
m
mp mm
pVp mVm
3l
力的比尺
F
Fp Fm
ma
l22v
力多边形法则： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
动力粘度的比例尺
lv
无量纲系数的比例尺
C 1
相同介质重力加速度的比例尺
g 1
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组 成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似 流动中应该是相等的
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
up um
v
λv——速度比尺
时间比例尺
t
tp tm
lp lm
vp vm
l v
加速度比尺
a
v t
v2 l
流量比例尺
q
qV p qVm
l
3 p
lm3
tp tm
3l t
2lv
运动粘度比例尺 角速度比例尺
lv
v l
解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
Q vA vl 2 Q vl2
佛劳德准则： v l
Q
5 2 l
Qp Qm5l 2 300 205 2 537000L / s 537m3 / s
无量纲数
Ca
v2
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a E 代入（*）式，得
vP vm aP am
无量纲数 M v a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W v2l
表惯面性张力力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时位变变惯惯性性力力
10 2
υp——水 υm——很困难
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s） 自模区——阻力平方区
υm——水（1.007×10-6m2/s）
（与Re无关）
l 6.24
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
第四章 相似原理和量纲分析
§4-1相似原理
1.力学相似的基本概念
（1）几何相似
lp lm
dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am
l
2 p
lm2
l2
vp vm
l
3 p
lm3
3l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
vp vm
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
Ar
gd0T0
v02Te
浮力与重力之差（有效 惯性力
重力）
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择
很难实现同时满足两个以上准数相等
例：若同时满足Re数相等和Fr数相等
（1）同种介质（υp=υm）
Re：vpl p vmlm
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
v
1
l
Fr（gp=gm）：
v
2 p
vm2
lp lm
v l
1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
Re：vplp vmlm
p m
v
l
Fr：
3
l2
v l
取 l 10
m
p
3
p
31.62