2005-2006(一)高等数学期末考试试题A卷

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2005-2006(2)期末考试试卷(A)(高等数学)

L x2 y2
2、计算积分值 u(s,t) (s,t) xdx ydy 。
(1,0) x2 y2
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zdxdydz ，其中由曲面 z x2 y2 及平面 z 4 所围成的闭区域。
5、(1) 求变力 F (2x 3y x 2 y, x 2 y xy 2) 将圆周 L ： x2 y2 2 上的质点沿顺时针方
向移动一周所做的功。(6 分)
(2) 利用高斯公式计算 (x 2 y)dydz (3y z)dzdx (3x 2z)dxdy ，其中是由 x 0, y 0, z 0 及 x y z 1在第一卦限所围成的立体的表面外侧。（6 分） 123
。
5、设 L 为连接(3, 0) 和(0,3) 两点的直线段，则 (x y)ds ＝
。
L
6、lim sin(xy) ＝
。
x y3
x
7、函数 u x2 y2 z2 在点 (1,1,1) 处沿方向 l 的方向导数是
度
。（其中l 的方向角为60o , 45o , 6
设
f
(x,
y)
( x 2
y2 ) sin
x2
1
y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
，试讨论在点(0, 0) 处：
1、 f (x, y) 是否连续？ 2、 f (x, y) 的偏导数是否存在？ 3、 f (x, y) 是否可微？
五、证明题（5 分×2＝10 分）
1、证明曲线积分 xdx ydy 与路径无关，其中 L 为不通过原点的任一曲线。
一、填空题（2 分 7＝14 分）
1、以 a {2, 1,1} 和b {1, 2, 3} 为边的平行四边形的面积等于

高数期末考试题

往届高等数学期终考题汇编2021-01-12一．解答以下各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim10xx e x ++→.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d xy .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.7.⎰-π03d sin sin x x x .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴与曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 与曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)〔1〕证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.〔2〕求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域与与函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b af a b b a f a b dx x f ξ324122021．1．15一．解答以下各题(6*10分): 1.计算极限 ()xx x e x x 30sin 22lim++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x e y x 求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.72+=x y 与532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积.二.(9分)证明:当0≥x 时,有三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 与b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五．〔8分〕求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域与其与函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算以下各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y . 4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 与π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 假设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x xte xf x t 在0=x 点可导. 求a 与()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0x e x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的与函数并求出级数()∑∞=+1211n nn n 的与.六. (6分) 函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x 2006年1月一. 计算以下各题(6*10分):1. 30sin tan lim xxx x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x , 求()x x f d 121⎰--. 4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性.5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数. 8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间.9. 求微分方程x e x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α.三. (9分). 设()⎰-=221d x t t ex f , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克制阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的与.六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:2005年1月15日一. 解答以下各题〔6×10分〕1．计算极限()xx x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2．设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3．设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 与b .4．判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝对收敛5．设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '.6．设()x f 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7．求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8．计算不定积分⎰-xxx 2ln 4d .9．计算定积分x x d arctan1⎰.10．求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间.四. (9分) ()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d lim x t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→. 五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域与与函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2004年1月一、解以下各题1、10lim ,(0,0)2xxxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中2、设22(sin )x x y x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===与x 轴围成的图形的面积。

高数历年考题(第一学期)

历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一．试解下列各题（24分）1．讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二．试解下列各题（35分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2．设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3．求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三．求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四．设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五．设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六．连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一．试解下列各题（30分） 1．求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四．求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五．设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六．证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。

大一高数期末题(附答案)

2001级高等数学（上）期末试卷（部分摘抄）一、填空题（每小题3分、共24分）8、函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为不存在 ; 二、计算下列各题(每小题5分,共25分).),arcsin(ln ,2y x x y '=求[解]：xx x x xx y 22ln 11)arcsin(ln 1ln 11)arcsin(ln -+=-+=' .)sin cos (2)sin cos (2cos cos (2cos 2sin 2sin 5C x x x t t t tdt t t t td tdt t dx x tx +--=--=--=-==⎰⎰⎰⎰=三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、122)1(111=-=-⎰⎰-xdx dx x五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.解：平面,0742:1=-+-z y x π法向量{}4,2,11-=n ，平面,01253:2=+-+z y x π法向量{}2,5,32-=n ，取所求平面的法向量},11,14,24{25342121-=--=⨯==kj i n n s n由点法式方程可得所求平面方程为 ,0)3(11)0(14)2(24=++-+--z y x 即,081111424=-+-z y x 六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及)0(0>=b x 所围图形的面积. 解：曲线b y x y ln ,ln ==及)0(0>=b x 所围图形为无界区域，其面积为b b x x b b dx x b S b b=+-=-=+⎰0ln ln )ln (ln2002级高等数学（上）期末试题（部分摘抄）一、填空题（3分×10=30分）3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x 则.sin 2x x dxd -=Φ6、设x cos 是)(x f 的一个原函数,则x x f cos )('-=.7、⎰=--dx xx 221211arcsin 0 。

2005—2006学年度第一学期期末考试

2005—2006学年度第一学期期末考试高一数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。

其中每小题只有一个正确选项，请把正确选项的序号填在题后括号内） 1、函数x y +=2的定义域是（）（A ）]2,(-∞ （B ）]2,(--∞ （C ）]2,3[- （D ）),2[+∞-2、命题p ：0)2)(1(=--y x ，命题q ：0)2()1(22=-+-y x ，命题p 是命题q 成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 3、命题“a ，b 都是奇数，则a+b 是偶数”的逆否命题是（）（A ）a ，b 都不是奇数，则a+b 不是偶数（B ）a+b 是偶数，则a ，b 都是奇数（C ）a+b 不是偶数，则a ，b 都不是奇数（D ）a+b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数 4、若lg2=0.3010，则81lg4lg +的值为（）（A ）0.3010 （B ）0.6020 （C ）-0.3010 （D ）-0.6020 5、已知函数)(x f y =的反函数为121-=x y ，则)2(f 的值为（）（A ）6 （B ）5 （C ）3 （D ）2 6、把集合}66{N xNx M ∈-∈=用列举法表示出来的集合为（）（A ）{0，1，2，3，4，5} （B ）{0，3，4} （C ）{0，4，5} （D ）{0，3，4，5}7、已知函数)(x f y =是一次函数，且23)1(+=+x x f ，则)(x f 的解析式为（）（A ）)2(3-x （B ）13-x （C ）x 3 （D ）13+x 8、已知数列}{a 的前n 项和12-=n S ，则其第四项a 的值为（）（A ） 8 （B ） 4 （C ） 2 （D ） 19、给定映射33:2--→x x x f ，在映射f 下，象1所有可能的原象的集合为（）（A ）{1，4} （B ）{1，-4} （C ）{-1，4} （D ）{-1，-4}10、若甲、乙两个工厂88年至2003年年产值的变化如图所示，则下列结论中，错误的是（）（A ）两厂的年产值有三年相同（B ）甲厂年产值仅有两年超过乙厂（C ）1991年前，甲厂年产值低于乙厂（D ）1998年至2003年底，甲厂年产值比乙厂增长的快二、填空题：（每小题5分，共20分）11、已知集合U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1，2，4，8，9}，集合B={0，3，5，6，9}，则=⋂B A C u )(12、已知两实数a 、b 的等差中项为2，那么a3与b3的等比中项为 13、定义在R 上的函数满足1)(2)1(-=+x f x f ，且2)1(=f ，则=)4(f 14、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =三、解答题：（本大题共有6个小题，共60分） 15、(8分)已知数列}{n a 是等差数列且32=a ,1910=a(1)求数列}{n a 的公差d ； (2)求数列}{n a 的通项公式； (3)求数列}{n a 的前n 项和。

2005-2006高数下(8学分)期末试题A及解答

华东理工大学2005-2006学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2006.6一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.一阶微分方程0)21(22=-+'y x y x 的通解是y =____________.2.微分方程052=+'+''y y y 满足初始条件3)0(,1)0(='=y y 的特解为y =___________.3.已知ABC ∆的三个顶点为)2,3,4(),4,3,2(),1,1,1(C B A =, 则ABC ∆的面积S =_______.4.已知)0,2,2(),1,,0(-=ππB A , 则函数)sin(2yz e u x =在点A 处沿方向B A方向导数A lu |∂∂=_______.5.空间曲线)(),(z g y y f x ==(其中g f ,是可微函数)上对应于0z z =点的切线方程是_____________________6.设函数)(⋅f 具有二阶连续导数, ),(⋅⋅g 具有二阶连续偏导数, ),()(z xyz g z xy f u ++=,则zx u ∂∂∂2=_____________.7.二次积分dy e dx xy ⎰⎰-2222的值等于______________.8.某公司生产产品A , 当生产到第x 个单位的边际成本是34)(+='x x c (万元/单位), 其固定成本是100万元, 则生产量为10单位时的平均成本等于_______(万元/单位). 9.设22224|),,{(y x z y x z y x --≤≤+=Ω, 则Ω的体积V =________. 10.函数)1ln(),,(2z x ye z y x f z ++=在点)0,1,1(P 处的梯度)(P gradf ________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1. 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有形式(式中b a ,为常数), ( ) (A)b ae x +; (B)b axe x +; (C)bx ae x +; (D)bx axe x +.2.函数),(y x f y =在点),(00y x 处具有偏导数),(00y x f x , ),(00y x f y 是该函数在点),(00y x 可微的()(A)充要条件; (B)必要条件; (C)充分条件; (D)既非充分条件也非必要条件.3.已知非零向量b a,满足||||b a b a +=-,则必成立的是 ( )(A)b a b a +=-; (B)b a =; (C)0=⨯b a ; (D)0=⋅b a.4.下列广义积分中收敛的是( ) (A)dx xx e⎰1ln 1; (B)dx xx e⎰+∞ln 1; (C)dxxx e⎰+∞ln 1; (D)dxxx e⎰12ln 1.5*.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(点处( )(A)连续且偏导数存在; (B)连续, 偏导数不存在;(C)不连续, 偏导数存在; (D)不连续, 偏导数不存在三. (本题8分) 设函数yz e x u =, 而)(x z z =与)(y z z =分别是由方程1=-xz e z 与2sin =-y z e z所确定,计算yux u ∂∂∂∂,. 四. (本题6分)曲线过点)1,1(, 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的法线在x 轴上截距的乘积的两倍, 求曲线方程.五. (本题6分) 计算数列极限2)1tan511(lim 2nn nn-+∞→.六. (本题8分)在曲面1:=++∑z y x 上作一切平面, 使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大, 求切平面方程.七、(本题8分)设1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线22x y =和直线a x y ==,0所围成的平面区域, 其中20<<a .(1)求1D 绕x 轴旋转而生成的旋转体体积)(1a V , 求2D 绕x 轴旋转而生成的旋转体体积)(1a V ; (2)当a 取何值时, )()(21a V a V +取得最大值? 并求此最大值. 八、设函数)(x f 在]1,0[上连续, 2)(1=⎰dx x f , 证明:3)(1)(11)(≥⋅⎰⎰dx x f dx ex f x f .华东理工大学2005-2006学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共40分）1.cx x +-2||ln 1 2.)2si n (cos x x e y x +=- 3. 62 4.32π+5.1)()()()]([)]([000000z z z g z g y z g z g f z g f x -='-='⋅'- 6. 22321221g zx g zy g zf y -+-''7. 41--e 8. 33 9.二．选择题（每小题4分，共32分）：5.C;A ; 4.D; 3.;B 2.;1.B三．xz xyeexu yzyz∂∂+=∂∂,yz xyexze yu yzyz∂∂+=∂∂而xe z xz z-=∂∂,ye z z yz zsin cos -=∂∂, ------------------------------------------------（2分xe xyzeex z zyzyz-+=∂∂, ------------------------------------------------（2分）ye xyzexzeyz zyzyzsin -+=∂∂, -----------------------------------------(2分)四．曲线在点),(y x 处的法线方程为: )(1x X y y Y -'-=-,令0=Y , 得曲线在x 轴上截距为: y y x X '+=,根据题意得: )(222y y x x y x '+=+或 x y xy y -=-'212, 1)1(=y , -------------( 2分)令2y z =,x z xdxdz -=-1 ------------(3分))())(()1()1(2c x x c dx ex ez y dxxdxx+-=+-==⎰⎰-⎰--, -------------------------------------(3分)由1)1(=y , 得2=c ,所求曲线为)2(2x x y -=或.222x y x =+ ----------------------------(1分)六．（本题8分）曲面∑在点),,(000z y x 处的切平面方程为:0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , -------------------------------（2分）,100=++z z y y x x ,截距分别为000,,z y x ,问题为求xyz V 61=在条件1000=++z y x 下的最大值, ---------（2分）令 )1(6100-+++=z y x xyz L λ,⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=010212102121,02121z y x L zzxy L yy xz L xx yz L zy yxλλλ, 解得: 91===z y x ,-----------------------------------------（3分）因为问题的最大值存在,故91===z y x 就是最大值点,此时截距为31000===z y x ,所求切平面为: 31=++z y x . --------------------------（1分）七、)32(54)2()(52221a dx x a V a-==⎰ππ, -------------------------（2分）422222)(a dx x x a V aππ=⋅=⎰, -------------------------(2分)设)()()(21a V a V a V +=, 令 0)1(4)(3=-='a a a V π, 得唯一驻点: 1=a , ----（2分）当10<<a 时, 0)(>'a V ; 当21<<a 时, 0)(<'a V ;故当1=a 时, )()()(21a V a V a V +=取到最大值π5129)1(=V . --------------------（2分）八、dx x f dx e x f x f ⎰⎰⋅110)()(1)(dy y f dx ex f x f ⎰⎰⋅=11)()(1)(⎰⎰=Dx f dxdy ey f x f )()()(,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D , --------------------(2)又dx x f dy ey f y f ⎰⎰⋅=11)()(1)(⎰⎰=Dy f dxdy ex f y f )()()(,所以dx x f dx ex f x f ⎰⎰⋅11)()(1)(⎰⎰+=Dy f x f dxdy ex f y f ey f x f ])()()()([21)()(⎰⎰+≥Dy f x f dxdye)]()([21--------------------(2)⎰⎰++≥Ddxdy y f x f ]2)()(1[3)(21)(2111111=++≥⎰⎰⎰⎰dy y f dx dy dx x f . ----------(2)填空题解答:1. 0)21(22=-+'y x y x , 是可分离变量微分方程,分离变量得: dx xx dy y )12(2-=, 积分得: c x x y--=-||ln 12,化简为:cx x +-2||ln 1.2. 特征方程: 0522=++λλ, 解得: i 212542222,1±-=⨯-±-=λ,故通解为: )2si n (co s x x e y x +=-. 3.|}1,2,3{}3,2,1{|21||21⨯=⨯=AB AC S 6216641621|}4,8,4{|21=++=--=.4.}1,2,2{--=B A , 32cos =α,32cos -=β, 31cos -=γ ,0|)sin(2|2==∂∂A xA exy x xu ,1|)cos(|2-==∂∂A xA eyz z yu ,π-==∂∂A xeyz y zu |)cos(2,γβαcos |cos |cos |A A A zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=323132)1(320ππ+=-⨯+-⨯-+⨯.。

广州大学2005-2006(1)高等数学试题(A卷)

广州大学2005-2006一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,0,)1()(11x e x ax x f x x ，则=+→)(lim 0x f x ______. 当常数=a ______时，)(x f 在0x =处连续.2．曲线xx x y 1sin 322-=有水平渐近线=y ______和铅直渐近线=x ______. 3．设2x y =，当2=x ，01.0=∆x 时，=∆y ________，=dy ________. 4．曲线23x x y -=的拐点横坐标为=x ______，凸区间为__________.5．设C x dt t f x+-=⎰90)1()(，则常数=C ______，=)(x f ____________.二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1. 当0→x 时, x x -tan 是x ( )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2. 函数3x y =在点0=x 处 ( ).(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微. 3．3x y =在闭区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( ). (A) 3; (B) 3-; (C) 33; (D) 33-. 4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极小值, 则必有 ( ) .(A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在；(C) 0)(0>''x f ; (D) 0)(0='x f 且0)(0>''x f .5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数, 则=')(x f ( ).(A) x sin ; (B) x cos ; (C) x sin -; (D) x cos -.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分） 1．=y )11(sin 2x-，求y '. 2．xx x y )1ln(arctan 22+-=，求dy . 四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）1．求曲线⎩⎨⎧++=+-=1135t t y t t x 上与参数1=t 相应的点处的切线方程.2．)1cos(11lim 231--+--→x x x x x . 3．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(21x x e x f x ，求()x f '.五．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．⎜⎠⎛+-dx x x x 123. 2．⎜⎠⎛++2021dx x x . 3．⎰∞+-0dx xe x .六．（本题满分10分）设平面图形是由曲线x y sin =(π≤≤x 0)与x 轴所围成.1) 求此平面图形的面积S ；2) 求此平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V .七．（本题满分5分）证明: 当1>x 时, 1ln ->x x x .八．（本题满分7分）1）设)(x f 在]1,0[上连续，证明⎜⎠⎛+-+=⎜⎠⎛+102102)11(111)(dx xx f x dx x x f ； 2）计算定积分⎜⎠⎛++=1021)1ln(dx x x I .。

2005-2006第一学期工商学院高数期末试卷A(8学分)答案

x
2 x 1 2
](1
2 2 ) e 2x 1
1
(cot x) ln x . 2．求极限 lim
x 0 1 ln x
(cot x) 解： lim
x 0
e ＝ lim
x 0
1 ln cot x ln x
e 1
1 ( csc 2 x) ln cot x x cot x 其中 lim lim lim ( ) 1 . x 0 x 0 x 0 1 ln x sin x cos x x
Q
50 Q 10Q 200 2
1 Q 2 15Q 200 2
L(Q) Q 15 ，所以，当 Q 15 时， L(Q) 0 .
当 Q 15 时，工厂日总利润 L 最大.
6

九、(７分)某工厂生产某产品,日总成本为 C 元, 其中固定成本为 200 元, 每多生产一单位产品, 成本增加 10 元. 该商品的需求函数为 Q 50 2 P ,求 Q 为多少时工厂日总利润 L 最大?
得分
解： L(Q) R(Q) C (Q)
Q P (10Q 200)
1 1 ( , ) ，下凸区间为 ( ,1), (1, ) ，极小值为 f (0) 1 . 2 2
x 2 , x 1 七、（５分）确定常数 a 、 b 的值，使函数 f ( x) 在其定义域内可导． ax b , x 1
得分
解：显然函数 f ( x) 在 x 1 及 x 1 时是可导的， x 1 处，
得分
五、证明题（每题５分，共 1０分）
得分
１．函数 f ( x) 和 g ( x) 都在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， f (1) g (1) ，且对所有 x (0, 1) 有

2005-2006学年度第一学期高一数学期考试卷(2)

2005——2006学年度第一学期期末考试试卷高一数学一、选择题（ 5*12=60分）1. 若U={1,2,3,4},M={1,2}, N={2,3}, 则C U (M ∪N)=( )(A){1,2,3}(B) {4}(C) {1,3,4}(D) {2}2、下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（） A．12()(0)x x =-> B13(0)y y =<C．340)xx -=> D．130)x x -=≠3．函数()2log 1y x =+ （）（A ）()0,2（B ）[]0,2（C ）()1,2-（D ）(]1,2-4、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各面上的对角线与正方体的对角线ＡＣ１垂直的条数是（）Ａ、４条Ｂ、６条Ｃ、１０条Ｄ、１２条5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是（A ．12B ．2CD ．6、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线，则ｍ的值为（）Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２Ｄ、２7、以Ａ（１，３）和Ｂ（－５，１）为端点线段ＡＢ的中垂线方程是（）Ａ、3x-y+8=0 Ｂ、3x+y+4=0 Ｃ、2x-y-6=0 Ｄ、3x+y+8=08、方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（）A 、2≤mB 、m ＜ 2C 、 m ＜21 D 、21≤m9、圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是--------------( )A ．223 B ．2234- C ．2234+ D ．010、直线过点P （0，2），且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为（）A 、32±B 、C 、3±D 、11．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A ．B ．C ．D ．12、直线l ：b x y +=与曲线c ：21x y -=有两个公共点，则b 的取值范围是（） A. 22<<-b B. 21≤≤b C. 21<≤b D. 21<<b二、填空题（4*4=16分）13、函数2()23f x x mx =-+，当[)2,x ∈-+∞时是增函数，则m 的取值范围是14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则它的体积为___________.15、已知Ａ（－２，３，４），在ｙ轴上求一点Ｂ，使AB =，则点Ｂ的坐标为。

2005-2006第一学期高数期末A卷

x 1

2
x
2．求极限
lim[(1 x)e
x
1 x
x]
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2
对外经济贸易大学信息学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
f x) 二阶可导，求 y 。 3. 设 y f ln 1 x ，其中（
4. 设参数方程
x ln(1 t 2 ) y t arctgt
B D
f '(0) f (1) f (0) f '(1) f '(0) f '(1) f (1) f (0)
第 1 页共 6 页
1
对外经济贸易大学经贸学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
5 3．函数 y ln sin x 在 , 上满足罗尔定理的 = （ 6 6
（1） f x 在 , 上连续；（2） f x 在 , 上可导。解：（1）显然 f x 除了 x 0 外必连续，而 f 0 0 lim ln ax b ln b f 0 ， f 0 0 lim sin x 0 ，
D
）。
(B) ( x x0 )[ f ( x) f ( x0 )] 0 ; (D) lim
t x0
f (t ) f ( x) 0 ( x x0 ) ; (t x) 2
2
t x0
f (t ) f ( x) 0 (t x) 2
( x x0 ) 。
得分
三、计算题：（每题 6 分，共 42 分） 1．求极限 lim(1 x ) tan
2
5．设 f ( x) 为可导函数，且 lim 切线斜率是_________.

2005―2006学年度第一学期期末考试题高一数学参考答案及评分标准

2005―2006学年度第一学期期末考试题高一数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题6分.二、填空题：每小题6分（11）()141212-+-nn n（12）51 （13）41 （14） ①、②、③ (15) ()15+=x x f三、解答题(16) 解: ①当0=x 时，1=n S ； -------------------------------------- 2分 ②当1=x 时，()21321+=+⋯+++=n n n S n ------------------------- 6分③当0≠x 且1≠x 时，12321-+⋯+++=n n nx x x S ①()nn nnx xn xx xS+-+⋯++=-1212 ②① －②得 ()nnnn n nx xxnxxx x S x ---=-+⋯+++=--111112∴ ()xnxx xS nn n ----=1112-------------------------- 15分（17）解：①当0<x 时，有xx x ->-112，从而有122-<-x x ，0122>-+x x ，21>x 或1-<x ，此时解为1-<x -------------------- 5分② 当10<<x 时，有xx x 112>-，从而有122-<x x ，0122<+-x x ，此时解集为∅ ----------------------- 9分 ③ 当1>x 时，有x x x 112>- ，从而有122->x x ，0122>+-x x ，R x ∈，此时解为1>x --------------------------------------------- 14分综上，原不等式解集为{}1,1>-<x x x 或 --------------------- 15分(18) 解: 设原计划生产辆数为)0(,,>+-d d a a d a ，则实际生产辆数为600,,200++--d a a d a ------------------- 3分依题意有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++++--=②①a d a d a d a a 3326006002002 ------------------- 8分由②得600+=d a 代入①整理，得 01200004002=-+d d--------------- 12分解得200=d 或600-=d （舍）, 从而800=a∴ 原计划生产汽车辆数分别为600、800、1000. --------------------------- 15分 (19) 解: （Ⅰ）设()y x Q ,，∵ p 、Q 两点关于原点对称，∴p 点的坐标为（-x,-y ），又点 p(-x,-y)在函数y=f(x)的图象上，∴-y=log a (-x+1)，即g(x)=-log a (1-x) -------3分（Ⅱ）由2f(x)+g(x)≥0得2log a (x+1)≥log a (1-x)∵0＜a ＜1 ，∴由对数性质有 2x +1>01x >0x (1,0](x +1)1x-∴∈-≤-⎧⎪⎨⎪⎩ ------------ 7分（Ⅲ）由题意知：a ＞1且x ∈[0，1]时2(x 1)lo g m1xa+≥-恒成立。

_高等数学(1)(A卷)

(A 卷)一填空题（每小题4分,共12分） 1．极限()=+-+-∞→2sin212lim 1πn n nnn .2．已知点()1,2是曲线()32y f x x ax bx ==++的拐点,则a = ,b = . 3．2sin cos 1cos x xdx x =+⎰.答案：1 2 . 2 a =,b =4 . 3()C x ++-2c o s 1ln 21.二、单选题(每小题4分,共12分，多选,错选均不得分)1．0tan tan44lim t t t→⎛⎫+- ⎪⎝⎭=ππ（）（A ） 2 （B ）2（C ）12（D ）2．函数()1ln 1f x x x=+，则()f x 有（）（A ）两个可去间断点（B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点和一个跳跃间断点（D ）一个可去间断点和一个无穷间断点3．如果()f x 在[],a b 上连续，积分上限函数()[](),x af t dt x a b ∈⎰是（）（A ）常数（B ）函数()f x （C ）()f x 的一个原函数（D ）()f x 的所有原函数答案1 （ A ） 2 （ D ） 3 （ C ）三、计算题（每小题5分,共40分）1 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 。

解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim 1311lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→112lim 21-=+++-=→xx x x .2 设函数()x f 可导，求函数()()xf x f y 22cos sin +=的导数dxdy 。

解y '=f'(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f'(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )]. 3 求参数方程⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x （设)(''t f 存在且不为零）所确定的函数的二阶导数22dx y d ： ,解t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()()(1)(22t f x y dx y d t tx ''='''=。

高等数学(上)期末试卷

华东理工大学2005–2006学年第一学期《高等数学(上)11学分》课程期末考试试卷 2005.12 A开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名：学号：任课老师：班级：题序一二三四五六七八九十总分得分评卷人注意：试卷共3大张，10大题一．填空题.(每小题4分，共28分)1．极限0lim_______________.sin()4x x x e e x x π−→−=+2．设()f x 与()x ϕ都是可导函数,且[][](2)(3),(0)0,(0)0y f x f x f ϕϕϕ=+==则'(0)______________.y =3．已知()f x 的一个原函数是sin ln ,x x ⋅则1'()_____________.xf x dx π=∫4．极限121lim _____________.1n n x x x x x nx −→++++−=−"5．1min(_________________.2x e dx +∞−=∫，6．设1()(0),xy x x x =>，则2____________.x dy dx ==7. 幂级数2342342222222510171n n x x x x x n +++++++""的收敛域是___________.二．单选题.(每小题4分，共16分)1. 下列级数中，条件收敛的是：( )A.112(1)()3n n n −∞=−∑ B. 11(1)n n −∞=−∑C.1211(1)n n n−∞=−∑ D. 111(1)2n n n n −∞=−∑2. 曲线2ln(1)y x =−上满足102x ≤≤的一段弧的弧长s =( ) A.122211x dx x +−∫ B.∫C.∫ D.∫3. 心形线4(1cos )ρθ=+与射线0,2πθθ==围成的平面图形绕极轴旋转所得的旋转体的体积V ( ) =A. 2216(1cos )d ππθθ+∫B. 22216(1cos )sin d ππθθ+∫　θC. []022216(1cos )sin4(1cos )cos d ππθθθ++∫　θD. []22216(1cos )sin 4(1cos )cos d ππθθθ++∫　θ4. 质线位于区间[],a b 上,在[],a b 上任一点x 处其密度函数为2,x u e −=则该线段的质量为M =( ) A. B. 2()b a x ae −+∫dx x x 2()b x a ae d −−∫C.D.2b a x edx −−∫2()0b a a x e d −−+∫三．（本题6分）求数列的极限1lim(arctan4n n n π→∞+−如图，2x y a =是区间[]0,2上的抛物线，直线y a =(04)a <<与曲线2x y a=相交，问为何值时，能使图中的阴影部分面积相等？a五．（本题6分）设211()cos ,()1,2244f x x P x x ==−+x 求能使极限式0()()lim 0n x f x p x x →−=成立的正整数的最大值.n设1ln ,e n n I xdx n =∫为正整数，试导出n I 与1n I −之间的关系式(递推公式).七．(本题8分)求.设()f x 在[],a b 上有阶导数且n (1)()()'()()0,n f b f a f a f a −==="=试证明：至少有一点[],a b ξ∈，使()()0n f ξ=.九．(本题8分)试将函数展开为麦克劳林级数. ln() (0,0)y a bx a b =+>>设221(),t x f t e−=∫dx 计算1().I tf t dt =∫华东理工大学2006–2007学年第_一_学期《高等数学（上）11学分》课程期末考试试卷 A 2007.1开课学院：理学院，专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级任课教师题序一二三四五六七总分得分阅卷注意：试卷共三页七大题一．填空题（每小题4分，共32分）：1．若存在，，)(x f ′′2)1(−=f 10)1(=′f ，2)1(=′′f ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x f x g 21e)(，则=′′)2(g __________．2．若记曲线与轴交点为2sin 22323=−+y x y x y P ，则曲线在P 点处的法线方程为______________________．3．=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∞→xx x x x 122lim 22__________． 4．函数在区间xx x f −−=e )1()(),0[+∞上的最大值为．5．设∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=xu u t tx f 023d 1d )(则=′′)2(f _________． 6．若函数在区间上连续，且)(x f ′′]1,0[1)0(+=πf ，1)1(−=πf ，，，则___________．0)0(=′f 2007)1(=′f =′′−∫1d )()1(x x f x 7．无界区域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≥=340,0),(2x x y x y x D 绕x 轴旋转一周所形成的无界旋转体的广义体积为=V ______________．8．设∑∞=+−+−=0123)3(!)1()(n n n x nn x f ，则_________． =)3()5(f二．选择题（每小题4分，共32分）：1．若2111)(xx x f −+=间断点的个数为，可去间断点的个数为，则（） n k （A ）；（B ）1,2==k n 2,2==k n ；（C ）；（D ）1,3==k n 2,3==k n ．2．若，则（） 0)(=′a f （A ）)()()(a x o a f x f −=−；（B ）a x a f x f −−~)()(；（C ）；（D ）以上都不对．)]()([a f x f o a x −=−3．设x x f πsin )(=，则（）（A ）ππ−=′=′+−)1(,)1(f f ；（B ）ππ=′−=′+−)1(,)1(f f ；（C ）π=′=′+−)1()1(f f ；（D ）π−=′=′+−)1()1(f f ． 4．若，则C x x x f +=∫)cos(d )(2=′)(πf （）（A ）；（B ）；（C ）1−0π2−；（D ）π4．5．在换元t x cos =下定积分∫−−012d )1(x x f 可化为（）（A ）∫−ππ2d sin )sin (t t t f ；（B ）∫ππ2d sin )(sin t t t f ；（C ）∫−ππ2d sin )(sin t t t f ；（D ）∫−−ππ2d sin )sin (t t t f ．6．心形线)cos 1(θρ+=a )0(>a 所围成区域在第一象限内的部分绕x 轴旋转生成立体的体积为（）（A ）∫′++202d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（B ）∫′++22d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ；（C ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（D ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ．7．“” 是“L n f n =+∞→)(lim L n f n =+∞→)2(lim ”的（）（A ）充分条件，非必要条件；（B ）必要条件，非充分条件；（C ）充要条件；（D ）既不是必要条件，也不是充分条件．8．级数∑∞=+−11)1(n n n n α条件收敛的充要条件是（）（A ）10≤<α；（B ）21<≤α；（C ）2321≤<α；（D ）223<<α．三．（本题8分）求曲线上拐点处的法线方程．∫−++=1)1(d e 312xt t x y四．（本题6分）已知∫=13d )sin()(xt t x f π，求．∫1d )(x x f五．（本题8分）半径为1（m ）深为2（m ）的圆锥形水池，其中盛满了水，现在要将其中的水从上口全部抽尽，问需作功多少（KJ ）？（取14.3≈π，，水的密度为）2m/s 81.9=g 3g/m 1000k =ρ六．（本题8分）求幂级数∑∞=−+−0)1(!)12()1(n n n x n n 的收敛域与和函数．七．（本题6分）设函数在闭区间上连续，在开区间内有二阶导数，且函数在闭区间上的最大值点和最小值点都在开区间内．试证明：存在)(x f ],[b a ),(b a )(x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使)()(ξξf f ′=′′．华东理工大学2007-2008学年第一学期《高等数学（上）11学分》课程期终考试试卷（A ）2008.1开课学院：理学院考试方式：闭卷所需时间：120分钟考生姓名____________学号_______________班级_________任课老师____________题号一二三四五六七八总分得分阅卷注意：试卷共三页八大题一.填空题(每小题4分,共32分):1. 数列极限nn n n )11(lim 2++∞→=____________.2. 设x b x a x x f 2sin 2sin )(−−=满足,0)(lim 50≠=→A x x f x 则.______=−b a3. 积分∫−πθθ202cos 1d =___________.4. 积分=−+∫21212211arcsin －dx xx x =___________.5. 设是可导函数, )(u f 21)2(',1)2(==f f , 又设,则___________.])2([)(2x x f f x F +==)1('F 6. 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则＝________.)(x f ∫−=≠′=x dt t f t x x F f f 022)()()(0)0(0)0(，，，0→x )(x F ′kx k 7. 幂级数∑∞=+−⋅01!)(32n n n n x 的和函数是___________.8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−=2233t y tx t 相应于30≤≤t 的弧长为____________.二.选择题(每小题4分,共24分):1. 设在区间[]上b a ，0)(0)(0)(>′′<′>x f x f x f ，，，，∫=b ax x f S d )(1[]，，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S −+=−=则有 ( ). (A) 321S S S <<; (B) 312S S S <<;(C) ; (D) 213S S S <<132S S S <<.2. 设x x x f sin )2()(+=则在)(x f 0=x 处 ( ).(A) ; (B) 2)0(=′f 0)0(=′f ; (C) 1)0(=′f ; (D) 不可导.3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤−+−=02sin 0244)(2x xx x xx x x f ，当，当,则关于的连续性的正确结论是 ( ).)(x f (A) 仅有一个间断点; (B) 仅有一个间断点0=x 2=x ;(C) 有二个间断点及; (D) 处处连续.0=x 2=x 4. 设有级数∑∞=12)1(23cos n nn n π 和级数)2()(ln 1ln ∑∞=n nnn n , 其敛散性的判定结果是( ).（A）（1）（2）都发散; （B）（1）（2）都收敛; （C）（1）发散,（2）收敛; （D）（1）收敛,（2）发散.5. 的阶泰勒展开式的拉格朗日余项为)(x f n =)(x R n ( ). (式中10<<λ)(A) 10)1()()!1()(++−+n n x x n x fλ ; (B)n n x x n x f )(!)(0)(−λ ; (C)100)1()()!1(])1([++−+−+n n x x n x x fλλ; (D)n n x x n x x f )(!])1([00)(−−+λλ.6. 设在)(x f 0x 如果阶导数的某邻域内有连续的三,0)()(00=′′=′x f x f ,, 则 ( ).0)(0>′′′x f (A) 是; (B) 是的极小值点; 0x )(x f 的极大值点0x )(x f (C) 不是的极值点; (D) 不能断定是否为极值点.0x )(x f 0x三.(8分)求)286(lim 22x x x x x x ++++−∞→.四.(8分) 求微分方程yy x y 2sin cos 1+=′的通解.五. (8分) .12cos 22确定的平面图形的面积和求由不等式≥≤ρθρ六.（8分）;)1.(02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=−==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x七.(6分) 试将函数展开为2arctan x y =x 的幂级数.八. (6分) 设在[上可微, 且满足)(x f ]10，0)(2)1(21=−∫dx x xf f , 试证明在内存在点)10(，ξ, 使得:ξξξ)()(f f −=′ .。

2005-2006学年第一学期期末考试《高等数学》(A)评分标准及标准答案

e y + (xe y − e−y + ye−y ) y′ = 2x
Байду номын сангаас∴ y′ = 2x − e y
(1′)
xey − e−y + ye−y
x=0⇒ y=0
(1′)
∴ y′ x=0 = 1
(1′)
∫ ∫ 5、
x+
3
x
dx
( 2′)
==
(
x
+
−1
x6
) dx =
2
3
x2
+
6
5
x6
+
c
(3′) ；
x
35
∫ ∫ ∫ 6、
x→ 0
x→ 0
(1′)；
∫ 3、 f ′ ( x) = 2x x ln tdt + x2ln x, (3′) ∴ f′ ( e) = e2 (2′) ； e
4、方程两边同时对 x 求导（ y 是 x 的函数），得
e y + xey y′− y′e− y − ye− y (− y′) = 2x
(2′)
0
0
0
0
(1′)
∫ ∫ =
1
e
f(
x) dx
+
xe
f
( x)
0
1 0
−
1 e f (x)dx
0
(2′)
= e f (1)
(1′)
四、解答题
1、①定义域： (−∞, +∞) ；
② y′ = 6x2 −12x −18 = 0,⇒ x = −1, x = 3;
③列表
x (−∞, −1)

2005～2007高数一考卷

一、填空题(每题2分，共10分)_______ )1(1.310lim ==-→a e ax xx 则， ___________ 4 32 .22=⎩⎨⎧-=-=dx dy t t y t x 则，设_______]2 1[12 .32=-+-=ξ理的上满足拉格朗日中值定，在区间函数x x y _________.4 0=⎰∞+-dx e x ._______)()( 54==+'z y x Q y x P y 应作代换解微分方程、二、选择题(每题 2分，共10分). )( )( )( )( )(11 1 1.2低阶无穷小高阶无穷小，同阶不等价无穷小，等价无穷小，的是时，当D C B A x x x --→ .tan )( tan )( sec )( sec )( ) ( cos ln 2.22x D x C x B x A y x y ，，，则，设--=''=).1 1( )( )1 0( )( ) 1( )( ) ( )( ) ( 3.22，，，，，，，的单调增区间是函数-∞+∞+-∞=-D C B A xey x.ln )( ln )( 1 )( 1 )( ) ()(ln )( .4222C x D C x C C x B C x A dx x x f e x f x+-++-+='=⎰-，，，则，设).(* )( )(* )( )(* )( )(* )( ).( 96 .5232333b ax x y D e b ax x y C e b ax x y B e b ax y A xe y y y x x x x +=+=+=+==+'+''----，，，应设的特解时，求微分方程三、计算题(每题 6分，共48分))ln 11(.1lim1xx x x --→n n n n 2a r c s i n )11s i n1(.22lim-+∞→ dy x y y x y xy 求，确定设方程 )(cos .33=-= 处的连续与可导在点，，讨论00 001sin )( 4.2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f dx x x ⎰2cot 5.dxx x )cos 2( .631+-⎰.10)0( 6)0(034 .7的特解，满足初始条件求方程='==+'-''y y y y y ).( 1sin )(2cos )()( .8 0x f x dt t t f x x f x f x求，满足设可导函数+=+⎰四、综合应用题(每题 8分，共24分). )(3 1500 1.3使总造价最低求仓库底的边长和高，，底的造价忽略不计倍是四周墙壁造价的的造价已知仓库屋顶单位面积，设仓库容积是的平顶仓库，欲建一座底面是正方形m).( cos 2sin )()( 2. 02x f dt t tt f x f x求，设⎰+=.213.22体积轴旋转所得的旋转体的图形绕所围平面图形面积及该，求由曲线y x y x y +==五、证明题(8分).cos 1sin )2( )(sin 2)(sin (1) ]1 0[)( 02dx xx x dx x f dx x xf x f ⎰⎰⎰+=ππππ求；证明上连续，，在设一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt ty x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、 _________141=+⎰dx x x、______________sec 52的通解为微分方程、y e y x='二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A ) ()sin 11(122limx xx x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) ( )()1ln( arctan 2t t t dx y d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、 xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)(0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sin A.) ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx x f xx x f ++-++-='=⎰则，设、x x x x x e C C y e C e C y e x C C y e x C C y y y y 21212121 D. C. )( B. )( A.) (02 5+=+=+=+==+'-''--通解为、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 1 12lim--→求、 )22(2lim n n n n n --+∞→求、y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 dxx x ⎰-221 4求、 dx x x ⎰10 arctan 5求、的通解求微分方程、x e y y =-''4 6. )2 2( 7求其方程横坐标，轴上的截距等于该点的且在任一点处的切线在，一曲线过点、y四、综合应用题(每题 9分，共18分)线方程的点处的切线方程与法在横坐标求曲线、0 1==+x e xy e y2、设2x y =定义在闭区间[0, 1]上，t 是[0, 1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小五、证明题(8分)0)()2 1( 0)2( ]2 1[)( )()1()(2=''∈=-=ξξF f x f x f x x F 使，证明存在，且上具有二阶导数，，在其中，设2007级《高等数学Ⅰ》期末考试卷一、填空题(每题2分，共10分)1t2x y =xy_____sin 1sin 12lim=→xx x x 极限、 ________cos sin 2='+=y x x x y 则，设、 __________)2)(1(12 32的水平渐近线为曲线、-+-+=x x x x y _________ 42围成平面图形面积为及直线由曲线、x y x y ==_______________ 5的通解为微分方程、x yy =' 二、选择题(每题 3分，共15分)D. 1 C. 2 B. 3 A.) ()23()1()( 12第一类间断点的个数为函数、+--=x x x x x x f0 D. 4!1 C. 5!1 B. 6!1 A.) ()1(124)( 2)16(515=+-+=f x x x x f ，则设、dxx f x f dx x f x f dx x f dx x f a a x f aaaaa⎰⎰⎰⎰---+=-- 0)]()([ D. )]()([ C. )(2B. 0 A.)()( ] [)( 3则上连续，，在设函数、arctan 1D. arctan 1 C. arctan 1 B. arctan 1 A.) ()1(1422C x x C x x C x x C x x dx x x+++-++-+--=+⎰不定积分、D. 4C. 2 B. A.) (1 5 2πππ=+⎰∞+∞-dx e e x x反常积分、三、解答题(每题 7分，共49分).)( 1322limxdte exttx ⎰-→-求极限、. ?11 0 2说明理由是否为等价无穷小与时，当、x x x x --+→. )( 333dy x y y e y xy x 求，确定隐函数设方程、==++ .ln 42的凹凸区间及拐点求曲线、x x y =dxx x ⎰+)1ln( 5求不定积分、⎰-22221 6dxxx求定积分、的通解求微分方程、x e y y y =+'-''2 7四、综合题(每题 9分，共18分)的通解求微分方程、xxe y x y ='-''1 1的体积轴旋转一周所得旋转体绕求轴围成平面图形为及该切线与曲线的切线，经过坐标原点作曲线、.ln ln 2y D D x x y x y ==五、证明题(8分).0)()(201 ) ( 0)()() ( ] [)(='+∈==ξξξf f b a b f a f b a b a x f 使得，，存在，证明：内可导且，在上连续，，在设。