范畴中的自等价群

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代数K理论

K1函子性质
K1为函子。森田不变性
K2函子性质
K2函子定义
设R为幺环，St(R)为施坦贝格群。则K2(R)=ker(St(R)→E(R))。K2为函子。
K2函子性质
森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。
学科发展
学科发展
代数K理论主要介绍K0,K1,K2函子及相关的内容。对，，现已有多种定义，其中最著名的是奎伦（Quillen, D. G.)于1970年定义的。更进一步地，对i为任意整数，研究函子，这些内容可查阅有关文献。下面，凡提到模（即环模）均指左环模，塞尔（Serre，J. P.)于1955年证明：一个仿射簇上的向量丛范畴与这个仿射簇之坐标环上的有限生成投射模范畴等价。斯万（Swan，R. G.)于1962年又将此结果推广到紧致的豪斯多夫空间，从而给出了拓扑K理论与代数K理论的一个紧密的，大大推动了代数K理论的发展。
设R为幺环，ProjR为R上有限生成投射模同构类的半群，则K0(R)为ProjR的格罗滕迪克群。K0为函子。
K0函子性质
1.K0为连续函子，即保持归纳极限。 2.若R为除环，则ProjR同构于，而K0(R)同构于。 3.若R为交换幺环，则K0(R)对于张量积而言是交换幺环。 4.R上可数生成投射模同构类的交换幺半群的格罗滕迪克群平凡。 5.森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。 6.对任意环R，ProjR相当于幂等矩阵的集合Idem(R)上GL(R)的共轭轨道。
相对K0群
切除定理：设I为环R的双边理想，则。
K1函子
K1函子定义
K1函子性质
K1函子定义
设R为幺环，E(R)为n维初等矩阵(对角元为1，且最多一个非对角元非零的矩阵)生成的GL(R)的子群。则 K1(R)=GL(R)/E(R)。

关于有限群模范畴的商范畴及其等价函子

关于有限群模范畴的商范畴及其等价函子黄文林【期刊名称】《《浙江大学学报（理学版）》》【年(卷),期】2019(046)006【总页数】6页(P651-655,665)【关键词】p-可除模; 模范畴; 商范畴; 等价【作者】黄文林【作者单位】中国人民大学数学学院北京 100872【正文语种】中文【中图分类】O152.60 引言表示范畴是有限群表示论的重要研究对象，有限群模表示论中的表示范畴有模范畴、稳定模范畴、相对稳定模范畴、导出范畴等。

这些范畴是有限群及其表示上的同调方法的主要对象，也是代数表示论中极为重要的代数表示范畴例子。

该研究领域的问题和成果不胜枚举[1-4]。

对于有限群G，可除kG-模是一类较大的模类，它包含所有的投射kG-模和相对投射kG-模，并被用于研究Green环中的幂零元素[5]、张量积的直和分解以及有限群表示中的几乎可裂序列[6]。

基于稳定模范畴的工作思路，笔者证明了所有能被可除kG-模分解的态射做成有限生成kG-模的模范畴mod(kG)的一个理想，利用HAPPEL[4]的方法，构造了与稳定模范畴(相对稳定模范畴)相似的商范畴，分析了该商范畴中的零对象，并证明了该范畴上的3个等价函子(定理1～定理3)。

文中设定p为素数，G为阶含有素因子p的有限群，k为特征为p的代数封闭域；所有的模都是有限生成的左幺模，所有的映射都是左模上的映射；具体记号和术语可参见文献[7]。

1 有限群 GG的商范畴定义1 设V是kG-模，p是素数；如果V的任意不可分解直因子的维数能被p整除，则称V为可除kG-模[5]。

注1 限制到特征为素数p的代数封闭域k，任何不可分解kG-模是绝对不可分解的。

由此，本质上，可除kG-模是由p控制的，并且，文献[5]中的绝对可除kG-模即是本文中的可除kG-模。

引理1 设U和V都为可除kG-模，X为U的直因子；那么，U*,X,U⊕V都是可除kG-模。

证明引理1易证，此略。

对于任意的kG-模V和W，以及任意的g∈G，v∈V，w∈W，f∈Homk(V，W)；按 G-作用：g(v⊗kw):=gv⊗kgw，它们的k-张量积V⊗W做成一个 kG-模；同时，令g ·f:=gfg-1，它们的k-同态Hom(V，W)也做成一个kG-模；不难证明Hom(V，W)≅V*⊗W。

群的七个等价定义及证明

群的七个等价定义及证明群是数学抽象概念的典型之一，在代数数论、几何学、拓扑学等领域有着广泛的应用。

把群的定义、相关的概念全面而深入地理解以及熟练掌握群的性质，对于理解和研究其他抽象数学概念和结构有着重要的作用。

定义一个群的时候，我们会规定它的元素、运算。

但给定一个群G，还可以用七种不同的定义来确定它是否是一个群，而这七种定义就是群的七等价定义，它们之间彼此等价，即只要一个非空集合满足其中的任何一种定义，就是一个群。

这七种定义包括：（1）结合律：对于任意的a、b、c∈G，有a（bc）＝（ab）c （2）可逆性：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，对于任意的a∈G，G中存在一个元素a^(-1)，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e（3）封闭性：对于任意a、b∈G，有ab∈G（4）分配律：对于任意的a、b、c∈G，有（ab）c = a（bc）（5）单位元：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，其中a∈G（6）可消性：对于任意的a、b∈G，如果ab = e，则a = b = e （7）交换律：对于任意的a、b∈G，有ab = ba现在我们来证明这七等价定义。

首先，由定义（1）中的结合律可知有ab∈G，所以定义（3）封闭性得证。

其次，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G。

由定义（2）可知存在a^(-1)∈G，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e，从而aba^(-1) = ae = a，即b = aa^(-1) = a^(-1)，所以定义（2）可逆性得证。

同理，由定义（3）封闭性可知有ab、c∈G，由定义（4）可知（ab）c = a（bc），所以定义（4）分配律得证。

根据定义（1）、（2）、（3），群G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，所以定义（5）单位元得证。

此外，由定义（5）单位元可知存在单位元e∈G，使得ae = ea = a，若ab = e，有a = ae = ab，所以a = b，即ab = e时，必有a = b = e，所以定义（6）可消性得证。

高等代数合同的定义

高等代数合同的定义高等代数合同是指代数结构中的一种等价关系，通过此等价关系可以定义代数结构中元素的相等性。

在抽象代数中，代数结构是一种特定的集合与一系列满足特定性质的运算符号的组合。

代数结构可以包括各种各样的数学对象，例如集合、群、环、域等。

通过高等代数合同的定义，我们可以研究代数结构中元素之间的相等关系，进而探讨代数结构的性质与结构。

1. 代数结构的定义在开始讨论高等代数合同的定义之前，首先需要明确代数结构的概念。

代数结构是指一个集合，连同在此集合上定义的一个或多个运算。

常见的代数结构包括群、环、域等。

例如，群是一个代数结构，其具有一个二元运算（通常称为群乘法），满足封闭性、结合律、单位元与逆元等性质。

2. 代数结构中的等价关系在代数结构中，我们通常关心元素之间的相等性。

例如，在一个群中，我们关心两个元素是否相等。

一般来说，我们会使用等价关系来定义元素的相等性。

在集合论中，等价关系具有自反性、对称性、传递性等性质。

通过等价关系，我们可以将集合中的元素划分成不同的等价类，从而定义等价关系下的相等性。

3. 高等代数合同的定义高等代数合同是一种用来定义代数结构中元素相等性的方法。

具体来说，设A是一个代数结构（例如群、环、域），其上定义了一个或多个运算。

如果在A上存在一个等价关系∼，满足以下性质，那么我们称此等价关系为A上的合同。

（1）自反性：对于A中的任意元素a，都有a∼a。

（2）对称性：对于A中的任意元素a和b，如果a∼b，则b∼a。

（3）传递性：对于A中的任意元素a、b和c，如果a∼b且b∼c，则a∼c。

根据这个定义，高等代数合同可以帮助我们刻画代数结构中元素相等的特点。

其基本思想是通过等价关系划分出等价类，这些等价类中的元素在代数结构中具有相同的性质。

因此，高等代数合同可以帮助我们更深入地研究代数结构中元素的关系，探讨代数结构的性质与结构。

4. 高等代数合同的性质在代数结构中，高等代数合同具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解代数结构中的等价关系至关重要。

数学专业术语

数学专业词汇
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
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周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出

群的几种等价定义

１群是数学中重要的概念。关于群的定义有以下几种定义１设Ｇ为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足：（１）乘法封闭。即Ｖａ，ｂ∈Ｇ都有ａｂ∈Ｇ．（２）乘法满足结合律。即Ｖａ，ｂ，Ｃ∈Ｇ都有ａ（ｂｃ）＝（ａｂ）Ｃ．（３）Ｖａ，ｂ∈Ｇ方程：ａｘ＝ｂ与ｙａ＝ｂ在Ｇ中有解。则称Ｇ关于所给乘法构成一个群。定义２设Ｇ为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足：（１）乘法封闭。即Ｖａ，６∈Ｇ都有ａｂ∈Ｇ．（２）乘法满足结合律。即Ｖ口，ｂ，ｃ∈Ｇ都有ａ（ｂｃ）＝（）ｃ（３）Ｇ中存在左单位元．即存在ｅ∈Ｇ使得Ｖａ∈Ｇ都有ｅａ￣．ａ．（４）Ｇ中每一个元都存在左逆元。即Ｖａ∈Ｇ都有 ∈Ｇ使得ｄａ＝ｅ．则称Ｇ关于所给乘法构成一个群．定义３设Ｇ为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足：（１）乘法封闭。即Ｖａ，ｂ∈Ｇ都有ａｂ∈Ｇ．（２）乘法满足结合律。即Ｖａ，ｂ，Ｃ∈Ｇ都有ａ（ｂｃ）＝（ｃ（３）Ｇ中存在右单位元。即存在ｅ∈Ｇ使得Ｖａ∈Ｇ都有础＝（４）Ｇ中每一个元都存在右逆元。即Ｖａ∈Ｇ都有使得ｏａ／＝ｅ．．则称Ｇ关于所给乘法构成一个群。定义４设Ｇ为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足（１）乘法封闭。即Ｖａ，ｂ∈Ｇ都有ａｂ∈Ｇ．（２）乘法满足结合律。即Ｖａ，ｂ，ｃ∈Ｇ都有ａ（ｂｃ）＝（）ｃ
收稿日期：２０１０一Ｏ１—１８作者简介：贾正华（１９６３一），男，安徽含山县人。巢湖学院教学系副教授，研究方向：代数学。

群的七个等价定义及证明

使 aa −1 = e, a −1a ' = e
(a −1a)e = (a −1a )(a−1a' ) = a−1(aa −1)a' = a −1(ea' ) = a −1a ' = e = e ⋅ e 由定义 4 的 V 有 a−1a = e 所以 a−1 是 a 的左逆元
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 的右单位元
集宁师专学报 JOURNAL OF JINING TEACHERS COLLEGE 2004，26(4) 0次
参考文献(1条) 1.张禾瑞近世代数基础 1978
相似文献(10条)
1.学位论文梁常建格值正则语言及其截集性质研究 2007
自动机性质的研究是自动机理论的中的一个重要课题。文献[6,7,8]在广泛的代数系统一格半群的意义下给出了一个新的自动机模型，即格值有限自动机，在格半群上研究了自动机及其接受的语言的性质，给出了格值自动机比模糊自动机和经典自动机具有更强的计算能力。因此，对格值自动机及其接受语言的性质的研究就显得更为重要。
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 中单位元
定义 7 ⇒ 定义 1 显然成立
参考文献 [1] 张禾瑞近世代数基础[M] 北京高等教育出版社 1978
(上接第１０页)
以上 s 从 2 取遍 l 即可得第 2 个直至第 l 个 K m,n 的各项顶点标号可以验证形 lK m,n 的 K 优美标号
定义 5 群 G 是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足 I II 同上 III 右

基本群

平凡群在数学里，平凡群是指一个只包含单一元素e的群，其群运算只有e + e = e，单位元素平凡是e，且为阿贝尔群；这些结果都是平凡的，因此以此命名。

平凡群通常被写做Z1，或尽标示为0。

不可把平凡群和空集相混淆，空集中没有任何元素，因此缺少一个单位元而无法形成一个群，虽然这两者在其各自的范畴中扮演着极相近的角色。

每一个群都包含着一个平凡群。

直观诠释：二维环面的情形二维环面上由p点出发的环路首先，让我们考虑二维环面（或甜甜圈面）的例子作为热身，固定其上一点。

从此点出发，则可以建构环路（即：从出发的并回到的闭曲线）。

设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长，只要起点与终点仍是且环路仍处在环面上即可。

这种变形叫做同伦，若一环路可以从另一环路借此变形而得到，则称两者同伦等价。

我们只探讨环路的同伦类。

二维环面的基本群由环路的同伦类组成。

a与b非同伦等价在上图中，与并非同伦等价：无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”，它们代表基本群中的不同元素。

借着增加环绕圈数，可以获得更多的同伦类。

a、b两条环路的衔接顾名思义，基本群不只是一个集合，它带还有群结构：二元运算由环路的衔接给出，即先走完第一条环路，再走第二条环路，使得两段环路上的速率相同。

基本群中的单位元素由静止在点的环路代表，逆元由环路的逆行代表之，即：若一元素由环路代表，则其逆元由代表，其中。

形式定义设为拓扑空间，为其中定点。

一条连续道路是一个连续映射，而一个以为基点的环路是一条满足的连续道路。

以下若不另外说明，则环路皆以为基点。

对两条环路，如果存在一个连续函数（保持基点的同伦）使得•••则称两者同伦等价。

不难验证此关系确为等价关系。

因此我们可考虑环路对此关系的等价类，以表一环路隶属的等价类，亦称同伦类。

现在定两条环路的衔接为：直观地说，此环路是先走再走，每一段都将速度加倍，以在单位时间内走完全程。

可证明决定于，因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。

群的等价定义及其证明

群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)，则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=．定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ，都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明（此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ．在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==．令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ，可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===．显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性．同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。

群的七个等价定义及证明

群的七个等价定义及证明首先，让我们来回顾一下什么是群的定义。

群是一类数学中的抽象概念，是一组具有特定结构的元素。

群的基本元素必须满足特殊的性质，即群必须满足结合律、可逆性、存在单位元以及存在可逆元。

这里，我们将介绍群的七个等价定义及证明。

首先，群的第一个等价定义是正交定义。

正交定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a、b、c满足a*b=b*a，那么a*b*c=a*(b*c)。

可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*b*c=a*b*c=a*(b*c)=b*(a*c)，从而证明了正交定义。

其次，群的第二个等价定义是可逆性定义。

其中，满足以下关系的元素都被认为是可逆元：存在一个元素e，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a。

可以这样证明：由于存在元素e，使得a*e=e*a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a。

也就是说，e的正负号的存在是可逆性的必要条件。

第三个等价定义是存在单位元定义。

存在单位元的定义指的是，存在一个叫做单位元的元素，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a=a。

可以这样证明：由于存在一个元素e，使得a*e=e*a=a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a=e=a。

也就是说，单位元的存在是存在单位元的必要条件。

第四个等价定义是结合律定义。

结合律定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a*(b*c)=(a*b)*c，那么就满足结合律。

可以这样证明：由于a*(b*c)=(a*b)*c，因此a*((b*c)*c)=(a*(b*c))*c=(a*b)*(c*c)=(a*b)*c=a*(b*c)，从而证明了结合律。

第五个等价定义是交换定义。

交换定义指，对于任意的元素a、b，如果满足a*b=b*a，那么就满足交换性质。

可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*(b*b)=(a*b)*b=b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=b*a=a*b，从而证明了交换定义。

分析拓扑意义下的不动点定理

定理 1.1 拓扑空间 Χ 中以 x ∈ X 为基点的所有环路同伦类在定义 1.3 中的乘积和逆下构成一个群，称为 Χ 在点 x ∈ X 处的基本群，记为π（1 X , x）．这个群以 x 处的常值环路 e 的同伦类
[e] 为单位元素．
现已通过同伦对空间 Χ 的每一点 x 建立一个基本群 π（1 X , x），紧接着就会产生这样的问题：同一空间在不同点处的基本群是否相同即是否同构呢？答案是否定的．但对空间 Χ 略加一点容易
Newman 提到 Nielsen 在研究曲面的自映射的不动点时运用了曲面的基本群与其他同伦群的运用将促使不动点理论得到实质性的发展. 1962 年前后，我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人的工作大大推广了可计算尼尔森数的情形，并得出 Lefschetz 不动点定理的逆定理. 为什么他们的工作常常有意义，令人深省.
不动点理论实质上是方程解的存在性与解的个数的理论. 反之, 方程解的存在性与解的个数问题实际上就是不动点的有无问题和不动点的个数问题.
早在 1799 年，Gauss 的代数基本定理的证明中已经运用根的重数与映射的同伦这两个概念. 1881-1886 年 Poincare 的 ODE 的定性理论的一系列论文研究了闭曲面上向量场的奇点，相当于恒同映射类的不动点. 他对于孤立奇点引进了指数这一概念并证明了 Lefschetz 定理的一个特例. 上世纪初，荷兰的直觉主义拓扑学家 Brouwer 引进了闭 n 维流形之间的映射的映射度，把指数的概念从二维推广到 n 维. 1923 年，Lefschetz 发现了 Lefschetz 定理，他最初提出的只限于 X 是一个能定向的闭流形，后来瑞士数学家 Hopf 打破了流形这一限制，对齐性的连通的多面体 X，可贵的是，更容易的证明了这一定理.

范畴论

目录[隐藏]∙ 1 背景∙ 2 历史注记∙ 3 范畴o 3.1 定义o 3.2 范畴举例o 3.3 态射分类∙ 4 函子∙ 5 自然和自然同构o 5.1 定义o 5.2 举例∙ 6 泛结构，极限和上极限∙7 等价范畴∙8 进一步的概念和结果∙9 范畴分类∙10 参考书目∙11 外部链接[∙一个“对象”的类∙对于任何两个对象A和B，存在一个从A到B的态射集合 Mor(A,B)。

如果f 属于 Mor(A,B)，则记为f : A→B（有些作者将态射集记为 Hom(A,B) ）∙对于任何三个对象A，B和C，存在一个二元运算 Mor(A,B) × Mor(B,C) →Mor(A,C)，称此为“复合态射”；由f : A→B和g : B→C复合而成，记为g·f、g o f，或者gf（有些作者将此记为fg）。

以上组成部分若满足如下两条公理，则称为范畴：∙（结合性）如果有f : A→B，g : B→C和h : C→D，则h·(g·f) = (h·g)·f；∙（等价性）对任意对象X，存在一个态射id X : X→X，称为“X的恒等态射”，使得对任何态射f : A→B，都有id B·f = f = f·id A。

从以上公理出发可以得到，一个对象的恒等态射是唯一的。

有些作者将对象本身用恒等态射来定义，这在本质上是相同的。

如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。

许多重要的范畴不是小范畴。

范畴中的态射有时又称为“箭头”，这种叫法来自于交换图。

[编辑]范畴举例每一范畴都由其对象，态射，和复合态射来表述。

为了方便起见，以下的“函数”即是指态射，不再一一说明。

∙单态射，如果fg1 = fg2，则有g1 = g2，此关系对所有态射g1，g2 : X→A成立。

映射之间的关系（比如fg = h）在大多数情形下可用更直观的交换图来表示，在此图中对象被表示成顶点，态射被表示为箭头。

群的概念教学中几个有限生成群的例子

群的概念教学中几个有限生成群的例子霍丽君(重庆理工大学理学院重庆400054)摘要：群的概念是抽象代数中的最基本的概念之一，在抽象代数课程的教学环节中融入一些有趣的群例，借助于这些较为具体的群例来解释抽象的群理论，对于激发学生的学习兴趣以及锻炼学生的数学思维能力等方面都会起到一定的积极作用。

该文介绍了一种利用英文字母表在一定的规则下构造的有限生成自由群的例子，即该自由群的同音商，称为英语同音群。

此外，该文结合线性代数中的矩阵相关知识，给出了有限生成群SL2(Z )以及若于有限生成特殊射影线性群的例子。

关键词：有限生成群英语同音群一般线性群特殊射影线性群中图分类号：O151.2文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)03(b)-0165-04Several Examples of Finitely Generated Groups in the ConceptTeaching of GroupsHUO Lijun(School of Science,Chongqing University of Technology,Chongqing,400054China)Abstract:The concept of group is one of the most basic concepts in abstract algebra.Integrating some interesting group examples into the teaching of abstract algebra course and explaining the abstract group theory with the help of these more specific group examples will play a positive role in stimulating students'learning interest and training students'mathematical thinking ability.In this paper,we introduce an example of finitely generated free group by using the English alphabet under some certain rules,which is called homophonic quotients of free groups,or briefly called English homophonic group.In addition,combined with the theory of matrix in linear algebra,we give some examples of about finitely generated group SL_2(Z)and finitely generated special projective linear groups.Key Words:Group;Finitely generated group,English homophonic group;General linear group;Special projective linear group1引言及准备知识群是代数学中一个最基本的代数结构，群的概念已有悠久的历史，最早起源于19世纪初叶人们对代数方程的研究，它是阿贝尔、伽罗瓦等著名数学家对高次代数方程有无公式解问题进行探索的结果，有关群的理论被公认为是19世纪最杰出的数学成就之一[1-2]。

群的定义——精选推荐

群的等价定义及证明风雷摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用.关键词:群；等价性；单位元；逆元1 引言近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些n 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群.群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“⋅”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 a b ，而写a b ⋅ ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析.2 群的第一定义设G 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 ⅠG 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ 结合律成立：()()a bc ab c =对于的G 任意三个元素都成立;Ⅲ G 中有单位元素的存在，即存在元素e ，使的对于G 的每一元素a ，都有 ;ea ae a ==Ⅳ G 中元素有逆元，即对于G 的每一个元素a ，存在的G 元素1a -，使得11a a aa e --==.当群的运算“ ”满足交换律时，称(),G 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z 关于数的加法构成交换群(),G ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z 关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆.例1 设G 为整数集，问：G 对运算4ab a b =++ 是否作成群？解：由于对任意整数显然4a b ++为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有()(4)(4)48ab c a b ca b c a b c =++=++++=+++同理有()8a bc a b c =+++.因此，对G 中任意元素,,a b c 有 ()()ab c a bc =即Ⅱ成立.又因为对任意整数a 均有(4)(4)44a a a a -=-=-+=.即Ⅲ成立.最后，由于(8)(8)844a a a a a a --=--=--++=- 即Ⅳ成立.因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群.例2 设 G ={1,-1,i,-i}，“。

3.5等价关系和划分

定义3.5―2设k是一正整数而a,b∈I. 如果对某整数m，a-b=m·k，那么a和b是模k等价,写成 a≡b(modk) 整数k叫做等价的模数。（a除以k的余数与b除以k的余数相等）
例 [0] ={ kn|k∈Z}, [1] ={ 1+kn|k∈Z}, [2] ={ 2+kn|k∈Z},…, [n-1]={(n-1)+kn|k∈Z}.
(b)将一张纸撕成几片,则所得的各个碎片是该纸的一个划分(参看图3.5―5). π={A1,A2,A3,A4}是A的划分,秩是4.
图 3.5―5
(c)集合族 {{x,-x}|x∈I }是I的秩无限的一个划分。的秩无限的一个划分。
(d)设A是非空集合，是非空集合，那么ρ(A)-{∅}是非空集合族，是非空集合族，这个集合族是A的一个覆盖，的一个覆盖，而不是A的划分，的划分，除非A是单元素集合。元素集合。
1. 在全体中国人所组成的集合上定义的“ 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓” 同姓”关系；关系； 2. 对任何非空集合A，A上的全关系；上的全关系； 3. 三角形的“ 三角形的“相似关系” 相似关系”、“全等关系” 全等关系”； 4. 直线的“ 直线的“平行关系” 平行关系”； 5. “朋友” 朋友”关系。关系。
离散数学
Discrete Mathematics
3.5等价关系和划分
张晓西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10
目录
3.5.1 等价关系 3.5.2 划分 3.5.3 划分的积与和
8个定义 16个定理
2011-1-10
离散数学
2
3.5.1 等价关系
定理 3.5―7 设A是非空集合， R是 A上的等价关系。R的等价类集合{［ a］ R｜ a∈A}是A 的划分。的划分定义3.5―6 设R是非空集合A上的等价关系，称划分{［a］R｜a∈A}为商集商集A/R，也叫A 模R。显然， ∪A/R=A（商集就是A的一个划分）由商集的定义和定理3.5―5立即可得: 定理 3.5―8 设 R1 和 R2 是非空集合 A 上的等价关系，那么R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。

离散数学中文—英文名词对照表

succedent
well-formed formula (wff)
magic
circuit
t
k
prime to each other
characteristic of ring
minimal polynomial
order
product
simple graph simple proposition (atomic proposition)
Euler 函数
Euler 迹
Euler 数
Euler 图
Euler 特征
二元关系
二分图
反演
赋值
复合运算
复合（分子）命题
覆盖
分配格
个体变元
格
格同态
公因子
割边
割点
Hamilton 圈
Hamilton 图
Hamilton 路
环
后件
合式公式(wff)
幻方
回路
t
k
互素
环的特征
极小多项式
阶
积
简单图简单（原子）命题
离散数学中文—英文名词对照表
中文
英文
群(交换群) 半群悖论定理代数函数同态格伴随标准满态射闭包补图(子图的余) 补元边色数边着色边连通度边覆盖边覆盖数边割集边集边独立数不动点包含与排斥原理包含关系不变因子本原元本原多项式并(并集) 并运算存在量词存在推广规则存在指定规则出弧
迹
基
Euler function
Euler trail
Euler number
Euler gralation
bipartite graph

离散数学中英文名词对照表

离散数学中英⽂名词对照表离散数学中英⽂名词对照表外⽂中⽂AAbel category Abel 范畴Abel group (commutative group) Abel 群(交换群)Abel semigroup Abel 半群accessibility relation 可达关系action 作⽤addition principle 加法原理adequate set of connectives 联结词的功能完备（全）集adjacent 相邻（邻接）adjacent matrix 邻接矩阵adjugate 伴随adjunction 接合affine plane 仿射平⾯algebraic closed field 代数闭域algebraic element 代数元素algebraic extension 代数扩域（代数扩张）almost equivalent ⼏乎相等的alternating group 三次交代群annihilator 零化⼦antecedent 前件anti symmetry 反对称性anti-isomorphism 反同构arboricity 荫度arc set 弧集arity 元数arrangement problem 布置问题associate 相伴元associative algebra 结合代数associator 结合⼦asymmetric 不对称的(⾮对称的)atom 原⼦atomic formula 原⼦公式augmenting digeon hole principle 加强的鸽⼦笼原理augmenting path 可增路automorphism ⾃同构automorphism group of graph 图的⾃同构群auxiliary symbol 辅助符号axiom of choice 选择公理axiom of equality 相等公理axiom of extensionality 外延公式axiom of infinity ⽆穷公理axiom of pairs 配对公理axiom of regularity 正则公理axiom of replacement for the formula Ф关于公式Ф的替换公式axiom of the empty set 空集存在公理axiom of union 并集公理Bbalanced imcomplete block design 平衡不完全区组设计barber paradox 理发师悖论base 基Bell number Bell 数Bernoulli number Bernoulli 数Berry paradox Berry 悖论bijective 双射bi-mdule 双模binary relation ⼆元关系binary symmetric channel ⼆进制对称信道binomial coefficient ⼆项式系数binomial theorem ⼆项式定理binomial transform ⼆项式变换bipartite graph ⼆分图block 块block 块图（区组）block code 分组码block design 区组设计Bondy theorem Bondy 定理Boole algebra Boole 代数Boole function Boole 函数Boole homomorophism Boole 同态Boole lattice Boole 格bound occurrence 约束出现bound variable 约束变量bounded lattice 有界格bridge 桥Bruijn theorem Bruijn 定理Burali-Forti paradox Burali-Forti 悖论Burnside lemma Burnside 引理Ccage 笼canonical epimorphism 标准满态射Cantor conjecture Cantor 猜想Cantor diagonal method Cantor 对⾓线法Cantor paradox Cantor 悖论cardinal number 基数Cartesion product of graph 图的笛卡⼉积Catalan number Catalan 数category 范畴Cayley graph Cayley 图Cayley theorem Cayley 定理center 中⼼characteristic function 特征函数characteristic of ring 环的特征characteristic polynomial 特征多项式check digits 校验位Chinese postman problem 中国邮递员问题chromatic number ⾊数chromatic polynomial ⾊多项式circuit 回路circulant graph 循环图circumference 周长class 类classical completeness 古典完全的classical consistent 古典相容的clique 团clique number 团数closed term 闭项closure 闭包closure of graph 图的闭包code 码code element 码元code length 码长code rate 码率code word 码字coefficient 系数coimage 上象co-kernal 上核coloring 着⾊coloring problem 着⾊问题combination number 组合数combination with repetation 可重组合common factor 公因⼦commutative diagram 交换图commutative ring 交换环commutative seimgroup 交换半群complement 补图(⼦图的余) complement element 补元complemented lattice 有补格complete bipartite graph 完全⼆分图complete graph 完全图complete k-partite graph 完全k-分图complete lattice 完全格composite 复合composite operation 复合运算composition (molecular proposition) 复合（分⼦）命题composition of graph (lexicographic product)图的合成（字典积）concatenation (juxtaposition) 邻接运算concatenation graph 连通图congruence relation 同余关系conjunctive normal form 正则合取范式connected component 连通分⽀connective 连接的connectivity 连通度consequence 推论（后承）consistent (non-contradiction) 相容性（⽆⽭盾性）continuum 连续统contraction of graph 图的收缩contradiction ⽭盾式（永假式）contravariant functor 反变函⼦coproduct 上积corank 余秩correct error 纠正错误corresponding universal map 对应的通⽤映射countably infinite set 可列⽆限集（可列集）covariant functor (共变)函⼦covering 覆盖covering number 覆盖数Coxeter graph Coxeter 图crossing number of graph 图的叉数cuset 陪集cotree 余树cut edge 割边cut vertex 割点cycle 圈cycle basis 圈基cycle matrix 圈矩阵cycle rank 圈秩cycle space 圈空间cycle vector 圈向量cyclic group 循环群cyclic index 循环（轮转）指标cyclic monoid 循环单元半群cyclic permutation 圆圈排列cyclic semigroup 循环半群DDe Morgan law De Morgan 律decision procedure 判决过程decoding table 译码表deduction theorem 演绎定理degree 次数,次(度)degree sequence 次(度)序列derivation algebra 微分代数Descartes product Descartes 积designated truth value 特指真值detect errer 检验错误deterministic 确定的diagonal functor 对⾓线函⼦diameter 直径digraph 有向图dilemma ⼆难推理direct consequence 直接推论（直接后承）direct limit 正向极限direct sum 直和directed by inclution 被包含关系定向discrete Fourier transform 离散 Fourier 变换disjunctive normal form 正则析取范式disjunctive syllogism 选⾔三段论distance 距离distance transitive graph 距离传递图distinguished element 特异元distributive lattice 分配格divisibility 整除division subring ⼦除环divison ring 除环divisor (factor) 因⼦domain 定义域Driac condition Dirac 条件dual category 对偶范畴dual form 对偶式dual graph 对偶图dual principle 对偶原则(对偶原理) dual statement 对偶命题dummy variable 哑变量（哑变元）Eeccentricity 离⼼率edge chromatic number 边⾊数edge coloring 边着⾊edge connectivity 边连通度edge covering 边覆盖edge covering number 边覆盖数edge cut 边割集edge set 边集edge-independence number 边独⽴数eigenvalue of graph 图的特征值elementary divisor ideal 初等因⼦理想elementary product 初等积elementary sum 初等和empty graph 空图empty relation 空关系empty set 空集endomorphism ⾃同态endpoint 端点enumeration function 计数函数epimorphism 满态射equipotent 等势equivalent category 等价范畴equivalent class 等价类equivalent matrix 等价矩阵equivalent object 等价对象equivalent relation 等价关系error function 错误函数error pattern 错误模式Euclid algorithm 欧⼏⾥德算法Euclid domain 欧⽒整环Euler characteristic Euler 特征Euler function Euler 函数Euler graph Euler 图Euler number Euler 数Euler polyhedron formula Euler 多⾯体公式Euler tour Euler 闭迹Euler trail Euler 迹existential generalization 存在推⼴规则existential quantifier 存在量词existential specification 存在特指规则extended Fibonacci number ⼴义 Fibonacci 数extended Lucas number ⼴义Lucas 数extension 扩充（扩张）extension field 扩域extension graph 扩图exterior algebra 外代数Fface ⾯factor 因⼦factorable 可因⼦化的factorization 因⼦分解faithful (full) functor 忠实（完满）函⼦Ferrers graph Ferrers 图Fibonacci number Fibonacci 数field 域filter 滤⼦finite extension 有限扩域finite field (Galois field ) 有限域（Galois 域）finite dimensional associative division algebra有限维结合可除代数finite set 有限（穷）集finitely generated module 有限⽣成模first order theory with equality 带符号的⼀阶系统five-color theorem 五⾊定理five-time-repetition 五倍重复码fixed point 不动点forest 森林forgetful functor 忘却函⼦four-color theorem(conjecture) 四⾊定理（猜想）F-reduced product F-归纳积free element ⾃由元free monoid ⾃由单元半群free occurrence ⾃由出现free R-module ⾃由R-模free variable ⾃由变元free-?-algebra ⾃由?代数function scheme 映射格式GGalileo paradox Galileo 悖论Gauss coefficient Gauss 系数GBN (G?del-Bernays-von Neumann system)GBN系统generalized petersen graph ⼴义 petersen 图generating function ⽣成函数generating procedure ⽣成过程generator ⽣成⼦（⽣成元）generator matrix ⽣成矩阵genus 亏格girth （腰）围长G?del completeness theorem G?del 完全性定理golden section number 黄⾦分割数（黄⾦分割率）graceful graph 优美图graceful tree conjecture 优美树猜想graph 图graph of first class for edge coloring 第⼀类边⾊图graph of second class for edge coloring 第⼆类边⾊图graph rank 图秩graph sequence 图序列greatest common factor 最⼤公因⼦greatest element 最⼤元（素）Grelling paradox Grelling 悖论Gr?tzsch graph Gr?tzsch 图group 群group code 群码group of graph 图的群HHajós conjecture Hajós 猜想Hamilton cycle Hamilton 圈Hamilton graph Hamilton 图Hamilton path Hamilton 路Harary graph Harary 图Hasse graph Hasse 图Heawood graph Heawood 图Herschel graph Herschel 图hom functor hom 函⼦homemorphism 图的同胚homomorphism 同态（同态映射）homomorphism of graph 图的同态hyperoctahedron 超⼋⾯体图hypothelical syllogism 假⾔三段论hypothese (premise) 假设(前提)Iideal 理想identity 单位元identity natural transformation 恒等⾃然变换imbedding 嵌⼊immediate predcessor 直接先⾏immediate successor 直接后继incident 关联incident axiom 关联公理incident matrix 关联矩阵inclusion and exclusion principle 包含与排斥原理inclusion relation 包含关系indegree ⼊次（⼊度）independent 独⽴的independent number 独⽴数independent set 独⽴集independent transcendental element 独⽴超越元素index 指数individual variable 个体变元induced subgraph 导出⼦图infinite extension ⽆限扩域infinite group ⽆限群infinite set ⽆限（穷）集initial endpoint 始端initial object 初始对象injection 单射injection functor 单射函⼦injective (one to one mapping) 单射（内射）inner face 内⾯inner neighbour set 内（⼊）邻集integral domain 整环integral subdomain ⼦整环internal direct sum 内直和intersection 交集intersection of graph 图的交intersection operation 交运算interval 区间invariant factor 不变因⼦invariant factor ideal 不变因⼦理想inverse limit 逆向极限inverse morphism 逆态射inverse natural transformation 逆⾃然变换inverse operation 逆运算inverse relation 逆关系inversion 反演isomorphic category 同构范畴isomorphism 同构态射isomorphism of graph 图的同构join of graph 图的联JJordan algebra Jordan 代数Jordan product (anti-commutator) Jordan乘积（反交换⼦）Jordan sieve formula Jordan 筛法公式j-skew j-斜元juxtaposition 邻接乘法Kk-chromatic graph k-⾊图k-connected graph k-连通图k-critical graph k-⾊临界图k-edge chromatic graph k-边⾊图k-edge-connected graph k-边连通图k-edge-critical graph k-边临界图kernel 核Kirkman schoolgirl problem Kirkman ⼥⽣问题Kuratowski theorem Kuratowski 定理Llabeled graph 有标号图Lah number Lah 数Latin rectangle Latin 矩形Latin square Latin ⽅lattice 格lattice homomorphism 格同态law 规律leader cuset 陪集头least element 最⼩元least upper bound 上确界（最⼩上界）left (right) identity 左（右）单位元left (right) invertible element 左（右）可逆元left (right) module 左（右）模left (right) zero 左（右）零元left (right) zero divisor 左（右）零因⼦left adjoint functor 左伴随函⼦left cancellable 左可消的left coset 左陪集length 长度Lie algebra Lie 代数line- group 图的线群logically equivanlent 逻辑等价logically implies 逻辑蕴涵logically valid 逻辑有效的（普效的）loop 环Lucas number Lucas 数Mmagic 幻⽅many valued proposition logic 多值命题逻辑matching 匹配mathematical structure 数学结构matrix representation 矩阵表⽰maximal element 极⼤元maximal ideal 极⼤理想maximal outerplanar graph 极⼤外平⾯图maximal planar graph 极⼤平⾯图maximum matching 最⼤匹配maxterm 极⼤项（基本析取式）maxterm normal form(conjunctive normal form) 极⼤项范式（合取范式）McGee graph McGee 图meet 交Menger theorem Menger 定理Meredith graph Meredith 图message word 信息字mini term 极⼩项minimal κ-connected graph 极⼩κ-连通图minimal polynomial 极⼩多项式Minimanoff paradox Minimanoff 悖论minimum distance 最⼩距离Minkowski sum Minkowski 和minterm (fundamental conjunctive form) 极⼩项（基本合取式）minterm normal form(disjunctive normal form)极⼩项范式（析取范式）M?bius function M?bius 函数M?bius ladder M?bius 梯M?bius transform (inversion) M?bius 变换（反演）modal logic 模态逻辑model 模型module homomorphism 模同态(R-同态)modus ponens 分离规则modus tollens 否定后件式module isomorphism 模同构monic morphism 单同态monoid 单元半群monomorphism 单态射morphism (arrow) 态射（箭）M?bius function M?bius 函数M?bius ladder M?bius 梯M?bius transform (inversion) M?bius 变换（反演）multigraph 多重图multinomial coefficient 多项式系数multinomial expansion theorem 多项式展开定理multiple-error-correcting code 纠多错码multiplication principle 乘法原理mutually orthogonal Latin square 相互正交拉丁⽅Nn-ary operation n-元运算n-ary product n-元积natural deduction system ⾃然推理系统natural isomorphism ⾃然同构natural transformation ⾃然变换neighbour set 邻集next state 下⼀个状态next state transition function 状态转移函数non-associative algebra ⾮结合代数non-standard logic ⾮标准逻辑Norlund formula Norlund 公式normal form 正规形normal model 标准模型normal subgroup (invariant subgroup) 正规⼦群（不变⼦群）n-relation n-元关系null object 零对象nullary operation 零元运算Oobject 对象orbit 轨道order 阶order ideal 阶理想Ore condition Ore 条件orientation 定向orthogonal Latin square 正交拉丁⽅orthogonal layout 正交表outarc 出弧outdegree 出次(出度)outer face 外⾯outer neighbour 外（出）邻集outerneighbour set 出(外)邻集outerplanar graph 外平⾯图Ppancycle graph 泛圈图parallelism 平⾏parallelism class 平⾏类parity-check code 奇偶校验码parity-check equation 奇偶校验⽅程parity-check machine 奇偶校验器parity-check matrix 奇偶校验矩阵partial function 偏函数partial ordering (partial relation) 偏序关系partial order relation 偏序关系partial order set (poset) 偏序集partition 划分,分划,分拆partition number of integer 整数的分拆数partition number of set 集合的划分数Pascal formula Pascal 公式path 路perfect code 完全码perfect t-error-correcting code 完全纠-错码perfect graph 完美图permutation 排列（置换）permutation group 置换群permutation with repetation 可重排列Petersen graph Petersen 图p-graph p-图Pierce arrow Pierce 箭pigeonhole principle 鸽⼦笼原理planar graph （可）平⾯图plane graph 平⾯图Pólya theorem Pólya 定理polynomail 多项式polynomial code 多项式码polynomial representation 多项式表⽰法polynomial ring 多项式环possible world 可能世界power functor 幂函⼦power of graph 图的幂power set 幂集predicate 谓词prenex normal form 前束范式pre-ordered set 拟序集primary cycle module 准素循环模prime field 素域prime to each other 互素primitive connective 初始联结词primitive element 本原元primitive polynomial 本原多项式principal ideal 主理想principal ideal domain 主理想整环principal of duality 对偶原理principal of redundancy 冗余性原则product 积product category 积范畴product-sum form 积和式proof (deduction) 证明（演绎）proper coloring 正常着⾊proper factor 真正因⼦proper filter 真滤⼦proper subgroup 真⼦群properly inclusive relation 真包含关系proposition 命题propositional constant 命题常量propositional formula(well-formed formula,wff)命题形式（合式公式）propositional function 命题函数propositional variable 命题变量pullback 拉回(回拖) pushout 推出Qquantification theory 量词理论quantifier 量词quasi order relation 拟序关系quaternion 四元数quotient (difference) algebra 商（差）代数quotient algebra 商代数quotient field (field of fraction) 商域（分式域）quotient group 商群quotient module 商模quotient ring (difference ring , residue ring) 商环（差环，同余类环）quotient set 商集RRamsey graph Ramsey 图Ramsey number Ramsey 数Ramsey theorem Ramsey 定理range 值域rank 秩reconstruction conjecture 重构猜想redundant digits 冗余位reflexive ⾃反的regular graph 正则图regular representation 正则表⽰relation matrix 关系矩阵replacement theorem 替换定理representation 表⽰representation functor 可表⽰函⼦restricted proposition form 受限命题形式restriction 限制retraction 收缩Richard paradox Richard 悖论right adjoint functor 右伴随函⼦right cancellable 右可消的right factor 右因⼦right zero divison 右零因⼦ring 环ring of endomorphism ⾃同态环ring with unity element 有单元的环R-linear independence R-线性⽆关root field 根域rule of inference 推理规则Russell paradox Russell 悖论Ssatisfiable 可满⾜的saturated 饱和的scope 辖域section 截⼝self-complement graph ⾃补图semantical completeness 语义完全的（弱完全的）semantical consistent 语义相容semigroup 半群separable element 可分元separable extension 可分扩域sequent ⽮列式sequential 序列的Sheffer stroke Sheffer 竖（谢弗竖）simple algebraic extension 单代数扩域simple extension 单扩域simple graph 简单图simple proposition (atomic proposition) 简单（原⼦）命题simple transcental extension 单超越扩域simplication 简化规则slope 斜率small category ⼩范畴smallest element 最⼩元（素）Socrates argument Socrates 论断（苏格拉底论断）soundness (validity) theorem 可靠性（有效性）定理spanning subgraph ⽣成⼦图spanning tree ⽣成树spectra of graph 图的谱spetral radius 谱半径splitting field 分裂域standard model 标准模型standard monomil 标准单项式Steiner triple Steiner 三元系⼤集Stirling number Stirling 数Stirling transform Stirling 变换subalgebra ⼦代数subcategory ⼦范畴subdirect product ⼦直积subdivison of graph 图的细分subfield ⼦域subformula ⼦公式subdivision of graph 图的细分subgraph ⼦图subgroup ⼦群sub-module ⼦模subrelation ⼦关系subring ⼦环sub-semigroup ⼦半群subset ⼦集substitution theorem 代⼊定理substraction 差集substraction operation 差运算succedent 后件surjection (surjective) 满射switching-network 开关⽹络Sylvester formula Sylvester公式symmetric 对称的symmetric difference 对称差symmetric graph 对称图symmetric group 对称群syndrome 校验⼦syntactical completeness 语法完全的（强完全的）Syntactical consistent 语法相容system ?3 , ?n , ??0 , ??系统?3 , ?n , ??0 , ??system L 公理系统 Lsystem ?公理系统?system L1 公理系统 L1system L2 公理系统 L2system L3 公理系统 L3system L4 公理系统 L4system L5 公理系统 L5system L6 公理系统 L6system ?n 公理系统?nsystem of modal prepositional logic 模态命题逻辑系统system Pm 系统 Pmsystem S1 公理系统 S1system T (system M) 公理系统 T(系统M)Ttautology 重⾔式（永真公式）technique of truth table 真值表技术term 项terminal endpoint 终端terminal object 终结对象t-error-correcing BCH code 纠 t -错BCH码theorem (provable formal) 定理（可证公式）thickess 厚度timed sequence 时间序列torsion 扭元torsion module 扭模total chromatic number 全⾊数total chromatic number conjecture 全⾊数猜想total coloring 全着⾊total graph 全图total matrix ring 全⽅阵环total order set 全序集total permutation 全排列total relation 全关系tournament 竞赛图trace (trail) 迹tranformation group 变换群transcendental element 超越元素transitive 传递的tranverse design 横截设计traveling saleman problem 旅⾏商问题tree 树triple system 三元系triple-repetition code 三倍重复码trivial graph 平凡图trivial subgroup 平凡⼦群true in an interpretation 解释真truth table 真值表truth value function 真值函数Turán graph Turán 图Turán theorem Turán 定理Tutte graph Tutte 图Tutte theorem Tutte 定理Tutte-coxeter graph Tutte-coxeter 图UUlam conjecture Ulam 猜想ultrafilter 超滤⼦ultrapower 超幂ultraproduct 超积unary operation ⼀元运算unary relation ⼀元关系underlying graph 基础图undesignated truth value ⾮特指值undirected graph ⽆向图union 并(并集)union of graph 图的并union operation 并运算unique factorization 唯⼀分解unique factorization domain (Gauss domain) 唯⼀分解整域unique k-colorable graph 唯⼀k着⾊unit ideal 单位理想unity element 单元universal 全集universal algebra 泛代数（Ω代数）universal closure 全称闭包universal construction 通⽤结构universal enveloping algebra 通⽤包络代数universal generalization 全称推⼴规则universal quantifier 全称量词universal specification 全称特指规则universal upper bound 泛上界unlabeled graph ⽆标号图untorsion ⽆扭模upper (lower) bound 上（下）界useful equivalent 常⽤等值式useless code 废码字Vvalence 价valuation 赋值Vandermonde formula Vandermonde 公式variery 簇Venn graph Venn 图vertex cover 点覆盖vertex set 点割集vertex transitive graph 点传递图Vizing theorem Vizing 定理Wwalk 通道weakly antisymmetric 弱反对称的weight 重（权）weighted form for Burnside lemma 带权形式的Burnside引理well-formed formula (wff) 合式公式(wff) word 字Zzero divison 零因⼦zero element (universal lower bound) 零元（泛下界）ZFC (Zermelo-Fraenkel-Cohen) system ZFC系统form)normal(Skolemformnormalprenex-存在正则前束范式(Skolem 正则范式)3-value proposition logic 三值命题逻辑。

分次代数与商范畴的等价

分次代数与商范畴的等价胡海刚;何济位【摘要】设G为一个有限群,A=⊕g∈GAg为一个G-分次代数.设φ为ModAe的一个局部化子范畴,则有φ诱导的GrModGA的局部化子范畴φG,以及阿贝尔范畴间的函子(一)φ:GrModGA/φG→ModAe/φ.同时给出函子(一)φ是等价函子的一些等价条件.【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷),期】2019(041)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】分次代数;商范畴;局部化子范畴;Dade定理【作者】胡海刚;何济位【作者单位】杭州师范大学数学系,浙江杭州311121;杭州师范大学数学系,浙江杭州311121【正文语种】中文【中图分类】O1530 引言分次代数是代数中重要的研究内容[1-3].一个G-分次代数A=⨁g∈GAg被称为强分次代数，如果对于任意的g,h∈G,有AgAh=Agh.Dade研究了强分次代数的各种性质，给出Dade定理,并描述了分次代数A为强分次代数的各种等价条件[1].Del Rio讨论了分次模范畴等价的各种性质[3].He等提出了Hopf稠密伽罗瓦扩张的概念，证明了在Hopf稠密伽罗瓦扩张的条件下,有Auslander定理[4],同时在Hopf稠密伽罗瓦扩张的基础上还提出了稠密分次代数.设G为有限群,e为G的单位元,如果对于一个G-分次代数A,对于任意的g,h∈G,Agh/AgAh是有限维的,则A被称为稠密分次代数，并给出了稠密分次代数的Dade定理[4],描述了分次代数A为稠密分次代数的各种等价条件.稠密分次代数很重要的一部分是GrModGA和ModAe的商范畴的等价,这里的GrModGA是右分次A-模范畴,ModAe是右Ae-模范畴.在此基础上,胡海刚提出了与Ore集相关的伪强分次环[5].对于分次环A,设S为一个包含于Ae的Ore集,则可以建立一个ModAe的由S诱导的局部化子范畴TorAe.如果对于任意的g,h∈G,都有Agh/AgAh∈TorAe,则A被称为伪强分次环.文献[5]主要给出了伪强分次环的Dade定理.对于一般的ModAe的局部化子范畴L,有一个由L引导的GrModGA的局部化子范畴LG和一个阿贝尔范畴间的函子(-)L:GrModGA/LG→ModAe/L.因为在稠密分次代数和伪强分次环这两个例子中,很关键的部分就是相应的函子为等价函子.本文主要讨论当函子(-)L是一个阿贝尔范畴间的等价函子时,分次代数A具有的性质.本文的主要结论是定理1和定理2.定理1描述了使函子(-)L为等价函子的“最小”的ModAe的局部化子范畴性质.定理2讨论了一般的满足条件的局部化子范畴. 符号约定:本文讨论的对象都是域上的向量空间,并且的特征为零.讨论的子范畴都是完全子范畴.阿贝尔范畴到其商范畴的自然函子都记为T.1 条件p(L)给定一个有限群G,其单位元为e,以及一个G-分次代数A=⨁g∈GAg.记GrModGA为右分次A-模范畴,记ModAe为右Ae-模范畴.记(-)e:ModAe→G rModGA为将右分次A-模M映射到Me的自然函子.因为G为有限群,函子HomAe(A,-):ModAe→GrModGA为(-)e的右伴随函子.设L为ModAe的一个局部化子范畴，则有一个由L诱导的GrModGA的子范畴LG,其对象类定义为(本文借用集合的记号来表示对象类)：O(LG)={M∈GrModGA|对于所有的g∈G,Mg作为一个右Ae-模属于L}. (1)因为对于M∈GrModGA,M=⨁g∈GMg可以看作是右Ae-模的直和.条件(1)式等价于O(LG)={M∈GrModGA|M作为Ae-模属于L}.(2)给定一个GrModGA中的正合列：0→M′→M→M″→0.(3)那么其同时也是ModAe中的正合列.于是LG是一个GrModGA的Serre子范畴.同时,GrModGA中的直和也可以看作ModAe中的直和.于是有以下命题：命题1 给定ModAe的局部化子范畴L,由其诱导的GrModGA的子范畴LG也是一个局部化子范畴.因为L是ModAe的一个局部化子范畴,于是有一个自然函子：T:ModAe→ModAe/L.(4)令G:ModAe/L→ModAe为T的截面(section)函子.记F=T∘(-)e, G=HomAe(A,-)∘G.(5)因为F是一个正合函子,G是其右伴随函子,且F∘G≅1.于是由文献[6]得到局部化子范畴ker F及一个等价函子(使用相同的符号)：(-)e:GrModGA/ker F→ModAe/L.(6)因为函子F将每个LG中的对象对应于L中的对象,于是得到文献[7]唯一的正合函子：(-)L:GrModGA/LG→ModAe/L，(7)使得以下图交换：因为LG是ker F的子范畴,于是得到唯一的正合函子:U:GrModGA/LG→G rModGA/ker F，(8)使得以下图交换：由函子的唯一性得到以下交换图：且对于第二行的两个函子,有(-)e∘U=(-)L.给定ModAe的一个局部化子范畴L,定义分次代数A如下条件：p(L):LG=ker F.下面讨论当A满足条件p(L)时具有的性质.命题2 延用上面的符号,有如下等价条件：(a) 分次代数A满足条件p(L).(b) 对于M∈GrModGA，如果Me∈L，则M∈LG.(c) 函子(-)L:GrModGA/LG→ModAe/L是一个阿贝尔范畴间的等价函子.证明 (a)⟺(b)，因为LG是ker F的子范畴,所以LG=kerF，当且仅当ker F是LG的子范畴,也就是条件(b).(a)⟺(c)，因为函子(-)e:GrModGA/ker F→ModAe/L是一个等价函子,且(-)e∘U=(-)L,所以函子(-)L是一个等价函子，当且仅当函子U是一个等价函子.另一方面,由函子U的定义知,其是一个等价函子当且仅当LG=ker F.设f:M→M′为一个右分次A-模的态射.记fg为f在Mg上的限制,其中g∈G，那么fg:Mg→M′g是一个右Ae-模态射.推论1 设分次代数A满足条件p(L).设f:M→M′为一个右分次A-模的态射,则T(f)在GrModGA/LG中是单射(或满射,同构)，当且仅当对于任意的g∈G,T(fg)在ModAe/L中是单射(或满射,同构).给定一个阿贝尔范畴C,对于任意的两个局部化子范畴L和L′,L∩L′仍是C的局部化子范畴.由命题2中的等价条件(b)得到如下推论：推论2 设L和L′为ModAe的两个局部化子范畴.如果A满足条件p(L)和p(L′),则A也满足条件p(L∩L′).设M为一个右分次A-模.对于g,h∈G,设M(g)h=Mgh，令M(g)=⨁h∈GM(g)h,则M(g)也是一个右分次A-模.对于g∈G,定义右分次A-模态射：φg:Mg⊗AeA→M(g),x⊗a →x·a.(10)命题3 设M为一个右分次A-模.如果A满足条件p(L),则对于任意的g∈G,态射T(φg):T(Mg⊗AeA)→T(M(g))在GrModGA/LG中是一个同构.证明假设A满足条件p(L).对于任意的g∈G,(φg)e:Mg⊗AeAe→M(g)e是一个右Ae-模同构.于是(kerφg)e和(cokerφg)e属于L.因为A满足条件p(L),由命题2的等价条件(b),得到kerφg和coker φg属于LG.所以T(φg)在GrModGA/LG中是一个同构.命题4 如果A满足条件p(L),则对于任意的g,h∈G,有Agh/AgAh∈L.证明假设A满足条件p(L).考虑右分次A-模AA.由命题3知,对于任意的g∈G,态射T(φg):T(Ag⊗AeA)→T(A(g))在GrModGA/LG中是一个同构.于是coker φg∈LG，则对于任意的h∈G,(coker φg)h∈L.于是对于任意的g,h∈G,有:A(g)h/φg(Ag⊗A h)=Agh/AgAh∈L.记0为ModAe的零子范畴,即其对象只有零Ae-模.推论3 如果A满足条件p(0),则A是一个强分次代数.2 条件P(L)和主要结论记P为由{Ae/Ag-1Ag}g∈G生成的ModAe的局部化子范畴.也就是说,先给出对象类：H={H∈ModAe|HomAe(Ae/Ag-1Ag,H)=0对于任意的g∈G},(11)再由其定义P的对象类：O(P)={P∈ModAe|HomAe(P,H)=0对于任意的H∈H}.(12)于是P是包含{Ae/Ag-1Ag}g∈G最小的ModAe局部化子范畴[8].由命题4知,如果存在ModAe的局部化子范畴L使得A满足条件p(L),则P是L的子范畴.引理1 设P为如上所定义的ModAe的局部化子范畴,则对于N∈ModAe和任意的g∈G,有:N⊗Ae(Ae/Ag-1Ag)∈P.证明对于N∈ModAe,对于任意的g,h∈G和任意的H∈H,HomAe(N⊗Ae(Ae/Ag-1Ag,H)≅HomAe(N,HomAe(Ae/Ag-1Ag,H))=0.所以N⊗Ae(Ae/Ag-1Ag)∈P.设M∈GrModGA,设L为ModAe的一个局部化子范畴.定义分次代数A的如下条件：P(L):Me∈L⟺对于任意的g∈G,MeAg∈L.因为MeAg⊆Mg,所以当A满足条件p(L)时,显然A也满足条件P(L).定理1 分次代数A满足条件p(P)，当且仅当A满足条件P(P).证明 (⟺)显然.(⟺)设A满足条件P(P).设M∈GrModGA,且Me∈L.对于g∈G,考虑正合列：0→Ag-1Ag→Ae→Ae/Ag-1Ag→0.作用函子Mg⊗Ae-,可以得到正合列：Mg⊗AeAg-1Ag→Mg⊗AeAe→Mg⊗Ae(Ae/Ag-1Ag)→0.(13)于是Mg/(MgAg-1Ag)≅Mg⊗Ae(Ae/Ag-1Ag).由引理1,得:Mg⊗Ae(Ae/Ag-1Ag)∈P.所以Mg/(MgAg-1Ag)∈P.因为MgAg-1Ag⊆MeAg,所以Mg/MeAg∈P.由假设知MeAg∈P，所以Mg∈P,即M∈PG.以下定理是对Dade定理(强分次代数[1]、稠密分次代数[4]、伪强分次环[5]的推广,是本文的主要结论.定理2 设G为一个有限群,设A为一个G-分次代数.设L为ModAe的一个局部化子范畴,则下列条件等价：(a) A满足条件p(L).(b) 对于M∈GrModGA,如果Me∈L,则M∈LG.(c) A满足条件P(L),且对于任意的M∈GrModGA和g∈G,态射T(φg):T(Mg⊗AeA)→T(M(g))在GrModGA/LG中是一个同构.(d) A满足条件P(L),且对于任意的g,h∈G,有Agh/AgAh∈L.(e) A满足条件P(L),且对于任意的g∈G,有Ae/Ag-1Ag∈L.(f) A满足条件P(L),且P是L的子范畴.(g) 函子(-)L：GrModGA/LG→ModAe/L是一个阿贝尔范畴间的等价函子.证明 (a)⟺(b)⟺(g)由命题2得到.由命题3(a)能推出(c)的后半部分.由命题4(c)的后半部分能推出(d)的后半部分.又因为由条件p(L)能推出条件P(L),所以有(a)⟺(c)⟺(d)⟺(e)⟺(f).(f)⟺(b)的证明类似于定理1“(⟺)”部分的证明.注即使L满足上述等价条件,仍不能得到A满足条件P(P).也就是说,函子(-)L是一个等价函子，不一定能推出(-)P是一个等价函子.3 一些推论与应用对于ModAe的局部化子范畴L,当P是L的子范畴时,由定理2可以得到一个类似于定理1的推论.推论4 设L为ModAe的一个包含P的局部化子范畴,则A满足条件p(L)当且仅当A满足条件P(L).推论5 设L为ModAe的一个包含P的局部化子范畴.当A满足条件P(P)和条件P(L)时,有如下交换图：其中，(-)P和(-)L是阿贝尔范畴间的等价函子.最后将本文的结论用于伪强分次代数[5]的情形.对于分次代数A=⨁g∈GAg，设S 为包含于Ae的Ore集，有一个由S诱导的Mod Ae的局部化子范畴T,其对象类定义为：O(T)={N∈Mod Ae|对于x∈N,存在s∈S,使得xs=0}.A被称为伪强分次代数，当对于任意的g,h∈G,有Agh/AgAh∈T.考虑M∈GrModGA,声明如果Me∈T，则说明对于任意的g∈G,MeAg∈T.事实上,对于x∈Me,a∈Ag,因为Me∈T,所以存在s∈S,使得xs=0.又因为S是一个Ore集,所以存在t∈S,b∈A,使得sb=at.由于xat=xsb=0，所以MeAg∈T，也就是A满足条件P(T).因此由定理2可以得到代数情况下的文献[5]中的定理3.6.定理3 设G为有限群,A为一个G-分次代数，则下列条件等价：(a) A是一个伪强分次代数.(b) 对于M∈GrModGA,如果Me∈T,则M∈TG.(c) 对于任意的M∈GrModGA和g∈G,态射T(φg):T(Mg⊗AeA)→T(M(g))在GrModGA/TG中是一个同构.(d) 函子(-)T:GrModGA/TG→ModAe/T是一个阿贝尔范畴间的等价函子.参考文献：【相关文献】[1]DADE E C.Group-graded rings and module[J].Math Z,1980,174:241-262.[2]NASTASESC C,VAN OYSTAEYEN F.Graded Ring Theory[M].New York:North-Holland Publishing Co,1982:1-322.[3]DEL R A.Graded rings and equivalences of categories[J].Comm Algebra,1991,19:997-1 012.[4]HE J W,VAN O F,ZHANG Y.Hopf dense Galois extensions with application[J].J Algebra,2017,476:134-160.[5]胡海刚.Hopf稠密Galois扩张与伪强分词代数[D].杭州:杭州师范大学,2019:24-36.[6]POPESCU N,POPESCU L.Theory of Categories[M].Romania:Sijthoff&Noordhoff International Publishers,1979:267-317.[7]GABRIEL P.Des catégories abéliennes[J].Bull Soc Math France,1962,90:323-448.[8]STENSTROM B.Rings of Quotients[M].New York:Springer,1975:136-156.。

第二章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规子群与商群

第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。

⼀、陪集定义设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。

类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。

（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。

(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。

(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。

证明:　(iV)　有b=ah,\, h\in H。

则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V)　⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。