初中数学第二章实数学案平方根一学案

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八年级上册第二章《实数》2.2.2平方根导学案

2.2.2平方根（2）【教学目标】：1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.【教学重难点】：平方根与算术平方根的区别与联系.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a探讨，总结：平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

0只有一个平方根，它是0本身。

负数没有平方根。

一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数。

正数a 的正的平方根,记作“a ”，正数a 的负的平方根,记作“-a ”，这两个平方根合在一起记作“±a ”。

开平方与平方互为逆运算。

因此，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根。

三、巩固练习：1、判断题（正确的打“∨”，错误的打“×”）；（1）任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（）（2）数a（）（3）—4的算术平方根是2；（）（4）负数不能开平方；（）（5=8．（）（6）－52的平方根为－5 （）（7）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）（8）0和负数没有平方根（）（9）4是2的算术平方根（）（10）9的平方根是±3 （）（11）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （） 2.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a 2；(6)a 2－2a +23.求下列各数的平方根.(1)121；(2)0.01；(3)297；(4)(－13)2；(5)－(－4)34.对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？5.a 中的被开方数a 在什么情况下有意义，(a )2等于什么？6、121---x x 有意义，则x 的范围___________7、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m_a的负平方根 _a的正平方根 _ 被开方数_ 根号四、作业既的平方根是。

人教版七年级数学下册实数《平方根(第1课时)》示范教学设计

平方根（第1课时）教学目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．2．了解求一个非负数的平方运算与求一个非负数的算术平方根互为逆运算的关系，会通过平方运算求某些非负数的算术平方根．教学重点通过平方运算求某些非负数的算术平方根．教学难点通过平方运算求某些非负数的算术平方根．教学过程新课导入【问题】学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？【师生活动】学生思考，教师追问：你一定会算出边长应取5 dm，说一说，你是怎样算出来的？【答案】因为52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm．【设计意图】从学生已知的正方形面积入手，让学生能根据面积求边长，为下文探究算术平方根做准备．新知探究一、探究学习【问题】填表：你能指出它们的共同特点吗？【师生活动】学生独立回答，教师引导补充．【答案】填表如下：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．【新知】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0．=（x≥0），则x所以，若2x a【设计意图】由正方形的边长与面积的关系引出算术平方根和被开方数的概念，让学生更容易理解和记忆．【思考】由2x a=和x=（1）a的取值范围是什么？（2）算术平方根x的取值范围是什么？【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．【答案】（1）a是非负数，即a≥0．（20，x≥0．【新知】非负数的算术平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即当a＜0【设计意图】通过回顾平方数和算术平方根的概念，得出被开方数和算术平方根的非负性，巩固学生对新知的理解．二、典例精讲【例1】求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）4964；（3）0.000 1．【答案】解：（1）因为210100=，所以100的算术平方根是10．（2）因为2749864⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以4964的算术平方根是7878．（3）因为20.010.0001=，所以0.000 1的算术平方根是0.01．【归纳】被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立．【思考】通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？【答案】平方运算【新知】求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算．【设计意图】检验学生对算术平方根的掌握情况，让学生知道求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．【例2】求下列各式的值：（1（2（3．【答案】解：（1；（235；（3．【新知】（1）在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，则a 的算术平方根就不带根号：若a 不是有理数的平方，则a（2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算．熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．【设计意图】进一步检验学生对算术平方根的掌握情况，总结求算术平方根的规律和技巧．【例3】计算：(－1)2 023－|－5|×(－6) 【答案】解：原式＝－1－5×(－6)＋7＝－1＋30＋7 ＝36．【新知】综合计算题的运算顺序：解决综合计算题要从高级运算到低级运算，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．【设计意图】通过该例，让学生清楚综合计算的运算顺序．【例4】已知21(2)02x y -++，求x ＋y ＋z 的值．【答案】解：21(2)02x y -++，由绝对值、平方及算术平方根的非负性知 102x -=，y ＋2＝0，302z +=，得x ＝12，y ＝－2，z ＝32-，所以x ＋y ＋z ＝12－2－32＝－3．【新知】“几个非负数的和为0”问题的解决方法：目前学过的典型的非负数有a 2，|b |和为0，则每一个非负数均为0，即若a 2＋|b |0，则a 2＝0，|b |＝00．【设计意图】检验学生对算术平方根非负性的掌握情况，总结“几个非负数的和为0”问题的解决方法．课堂小结板书设计一、算术平方根的相关概念二、算术平方根的非负性三、算术平方根的应用课后任务完成教材第41页练习1题．。

八年级数学上册第二章实数：平方根第1课时算术平方根教案新版北师大版

八年级数学上册教案新版北师大版：2.2平方根第1课时算术平方根教学目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)3．了解算术平方根的性质．(难点)教学过程一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402. 解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32； (3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6； (4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22.方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】含算术平方根式子的运算计算：49＋9＋16－225.解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】算术平方根的非负性已知x ，y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a ≥0，a ≥0教学反思让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．。

北师大版八年级数学上册导学案数学第二章实数平方根(1)

课题：八上数学2.2平方根（1）新授课
八年级班号姓名：
学习目标：
1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
3、了解算术平方根的性质．
学习重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．
归纳总结：
课堂练习
课后作业
拓展与提高
课后反思
学习难点：
对算术平方根的概念和性质的理解.
复习过程：
一、复习、预习：
1、据图填空：x2=, y2=, z2=,w2=.
2.设正方形的边长为x，面积为s，请完成下表：
S
1
4
9
16
25
x
3.一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的，记为，读作。特别地，我们规定0的算术平方根是，即。
பைடு நூலகம்3、
二、综合练习

部编版2020八年级数学上册第二章实数 2.2 平方根(1)学案

平方根教师寄语：坚韧是打开成功大门的钥匙，勤奋是到达幸福彼岸的桨叶一、学习目标——目标明确、有的放矢1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；2、会求一个正数的算术平方根；了解算术平方根的性质.课标要求：了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根．二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 学习难点：算术平方根的概念、性质．预习提示：阅读教材26-27页. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. 任意数的平方为______数，任意数的偶次幂为______数；互为相反数的两数的偶次幂_________.2. 11—19的整数平方数表：x11 12 13 14 15 16 17 18 19 2x四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：算术平方根的概念及表示方法根据右图填空：⑴ ______,2=x _________,2=y _______,2=z _______2=w⑵ x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗?算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的______.算术平方根的表示方法：记为：“a ”读做根号a .特别地，0的算术平方根是0，即0=0那么22=a ，则a =2 3b 2=，则b=3；……课题 §2.2 平方根（1）主备审阅八年级数学组时间课型新授授课教师一个非负数的算术平方根就可以表示为a探究点2：求算术平方根例题：写出下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：⑴ 900； ⑵ 1； ⑶ 6449； ⑷ 14； ⑸ -410练习：1．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：⑴ 1600；⑵ 0；⑶ 121625；⑷ 0.25；⑸ 52－32；⑹ 1916；⑺ 17；⑻ │－π│0．2．求下列各式的值．（1）36289；（2）2(13)-；（3）81；（4）226160-．探究点3：算术平方根的非负性公式：⑴a a ≥0)；⑵a ≥0 例题：已知()2130x y x y z -++++=求x ，y ，z 的值.练习：1. 如果()22+30x x y -+-=，则x y -的值为________．2．已知a 为实数，那么2a -等于( )A ． aB ． a -C ． -1D ． 0 3．若11x x ---2()x y =+，则x y -的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3探究点4：利用算术平方根解决实际问题例题：自由下落物体的高度h （米）与下落时间t(秒)的关系为24.9h t =,有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？练习：1．如图，从帐篷支撑杆AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑杆底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑杆的高是多少？2. 小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1．a 的算术平方根是它本身，则a 为（）A ．0B ．1C ．-1D ．0或1 2．下列说法正确的是（）A ．5是25的算术平方根B ．±4是16的算术平方根C ．－6是（－6）2的算术平方根D ．0.01是0.1的算术平方根3．下列各式正确的是（）A ．25-=－5B ．25-=5C ．2(3)-=－3D ．2(3)-=3 4．4的算术平方根是（）A ．2±B ．2C ．2±D ．25．9的算术平方根是（）A ． ±3B ． 3C ．－3D ．6．若2(2)a -=4，那么下列结论正确的是（）A ．a =6B ．a =-2C ．a =6或a =-2D ．以上都不对7.81的算术平方根为_________. 8．(－π)2的算术平方根为_____.9．已知012=-++b a ，那么2007)b a (+的值为（）A ．－1B ．1C ．20073D ．20073-10．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（） A.n +1B.n 2+1 C.12+n D.n +111n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．512. 已知322+-+-=x x y ，那么x y 的算术平方根为___________.。

北师大版八年级上第二章《实数》全章导学案

2.2.1算术平方根主备人：王晓妮【学习目标】1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根【自主学习】1. 叫做无理数2.平方等于4的数是3. 填表：【合作探究】活动1.自学教材，回答问题：1.算数平方根定义：一般地，如果一个___ 数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个______叫做a 的_________．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作0=____2.求下列各数的算术平方根：（1）100；(2) 6449；(3) 0.0001 ；（4） 7；活动2思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？总结：1.正数有的算术平方根 0的算术平方根是负数2.对于a ：a 0【达标检测】 1.41的算术平方根是（） A ．161 B ．81 C ．21 D ．212、若x 是49的算术平方根，则x =（）A. 7 B. －7 C. 49 D.－493、判断下列语句是否正确？具有双重非负性①5是25的算术平方根（）②-6是36的算术平方根（）③0.01是0.1的算术平方根（）④-5是-25的算术平方根（）4、填空：(1)因为()2=64，所以64的算术平方根是_____＝______；(2)因为()2=0.25，所以0.25的算术平方根是___＝_求下列各式的值：5、______；______；＝______；______；＝______；______.6. 81的算术平方根是。

（2）81的值是。

（3）81的算术平方根是。

7.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______；若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______。

8. 3x-4为25的算术平方根,求x的值. 、9.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.10.想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？（12.2.2平方根主备人：王晓妮【学习目标】1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。

新北师大版八年级数学上册第二章实数导学案

第一课平方根导学案一、学习目标：1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

二、知识要点：1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a三、复习、预习：1、据图填空：x 2= , y 2= , z 2= ,w 2= .，即，那么这个正数a 的，记为，读作。

特别地，我们规定0的算术平方根是，即。

4、由以上定义可知如果2x =a ，那么x 就叫a 的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？①5是25的算术平方根（） ②-6是36的算术平方根（） ③0.01是0.1的算术平方根（） ④-5是-25的算术平方根（）5、5的算术平方根可表示为，4的算术平方根可表示为，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下6、试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．四、典型例题例1、求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1 （4）0 （5）94（6）7例2、计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5+（6）例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？五、经典练习1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121 （3）12 （4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0- （3（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）（3）0和负数没有平方根（）（4）4是2的算术平方根（）（5）9的平方根是±3 （）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m 六、课后作业1、下列各数中没有平方根的数是（）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1） 2、2a 等于（）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对 3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算：（1）- 16964 （2）2243+121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192=400202= 625252= 676262= 729272= 784282= 841292= 900302=第二课立方根导学案一、学习目标：1、掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

北师大版八年级数学上册第2章实数【创新教案】平方根

2.2.2 平方根一、学生起点分析学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习“立方根”做基础．二、教学任务分析《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是①了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．三、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节第一环节复习旧知引入新知；第二环节形成概念，辨析概念；第三环节例题和巩固练习；第四环节课堂小结；第五环节思维拓展；第六环节布置作业．第一环节复习旧知引入新知内容:方法一复习引入1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ．52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________．展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米．2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____．方法二复习引入问题平方等于9，254，49的数还有吗？目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash 情景引入，增加动画效果．效果借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．说明数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．第二环节 : 新课学习内容（一）探究新知填空32=(9 )(－3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=(14()214= (不存在)2=－4 (12-)2（二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a 的算术平方根．表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根．记作 a ±．例如:(±4)2 =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．（四）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别联系 1．包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．2．只有非负数才有平方根和算术平方根．3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．2．表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a ．目的形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．效果由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．说明平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．第三环节例题和新知巩固（一）例题示范求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11解（1）()2648=±，648∴±的平方根是，8±=±即；（2）()24949771211211111,=∴±±的平方根为，711±=±即；（3）()20.0004,0.00040.020.02=∴±±的平方根是，0.02=±即；（4）()()()22,25252525=∴±±--2的平方根是， 25=±即；（5）11±的平方根是目的这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．效果通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言．（二）思考提升1．()25-的平方根是，的算术平方根是_____，49的平方根是_____；2．2=，=，= ，=_______；3= ，20a ≥=当．（三）巩固练习1 ．下列说法正确的是①3-②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是( ) ．(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）．(A) a (C)2a4．x 为何值，有意义？答因为02x -≥，所以0x ≤ 目的围绕本节课的重点知识（平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．效果学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．第四环节课堂小结内容引导学生总结本课时的知识、方法．目的让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．效果在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如平方根的概念若2x a =，则x 叫a 的平方根，x =平方根的个数正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．平方与开方之间的关系；求平方根的方法求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．第五环节提高训练内容 1.5a ，5b ，求a b +的值．2．已知实数a ，b 满足296b b =①若a ，b 为ABC ∆的两边，求第三边c 的取值范围；②若a ，b 为ABC ∆的两边，第三边c 等于5，求ABC ∆的面积．目的安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．第六环节作业布置习题2．４四、教学设计反思本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．（二）鼓励学生进行探究和交流本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．（四）根据学生实际，灵活使用教材教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．（五）建议根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．。

八年级数学上册第二章实数2.2平方根1算术平方根学案新版北师大版

2.2.1 算术平方根第一版块：前奏版第一环节：复习提问阅读理解：26-27页内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x 2=，y 2= ，z 2= ，w 2= ．第二版块：启动版第二环节：引入新课重点：会用根号表示一个正数的算术平方根难点：会用根号表示一个正数的算术平方根第三版块：核心板第四环节：自主学习合作探究算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为7 ，读作“根号a 〞．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．性质：1、非负性 2、负数没有算术平方根 3、非负数的算术平方根只有一个例1：求以下各数的算术平方根：〔1〕900；〔2〕1；〔3〕；〔4〕14．〔4〕14的算术平方根是．例2：教材26页第五环节：展示汇报第四版块：强化版第六环节：课堂小结〔1〕算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．〔2〕算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．〔3〕求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．第七环节：反应检测一、选择题1．以下各式中无意义的是〔〕A ．7-B ．7 C.7-D ．()27-- 2.41的算术平方根是〔〕 A ．161 B ．81C ．21D ．21±3. 以下运算正确的选项是〔〕A ．33-=B ．33-=-C ．93=±D ．93=- 确的是〔〕A.2-是2的平方根B.2是2的平方根C.2的平方根是22 5．41的算术平方根是〔〕 A.161 B.81 C.21 D.21± 二、填空题6. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．7.如果正数m 的平方根为1x +和3x -，那么m 的值是．8.9的算术平方根为__________.32的算术平方根是__________.三、解答题11．求以下各数的算术平方根。

实数平方根(1)导学案2.2

北师版八年级数学（上）第二章实数平方根(1)导学案2.2编写人：康丽娟班级：_____________姓名：_____________ 家长签字：_____________ 一、学习目标: ：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.二、温故知新1.计算：42= ； 72= ；92 = ;112 = 。

2．填底数：( )2=16，（）2=49，( )2=81， ( )2=121. 3.若x 2=a ，则a 叫x 的______________ 三、自主探究：阅读课本p26-27 回答问题探究一：1、根据勾股定理，结合图形完成填空：x 2= ，y 2= ，z 2= ，w 2= ．2.x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？3、能不能把上图中的x ，y ，z ，w 表示出来呢？.算术平方根的概念：一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的 ____记做；读叫做 . 注：特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00 ..1.判断下列语句是否正确？①5是25的算术平方根（） ②-6是36的算术平方根（） ③0.01是0.1的算术平方根（） ④-5是-25的算术平方根（） 2、 5的算术平方根可表示为，4的算术平方根可表示为，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面， 3、试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．例1、求下列各数的算术平方根：（1）36；（2）1；（3）；（4）17．（5）0.81 （6）10-4 解：注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算数平方根就带有根号。

八年级数学上册第二章实数复习教学案例

2.立方根：假如一个数的立方等于 a，则称这个数为 a 立方根。
质：互为相反数的两个数之和为 0。
数 a 的立方根用表示。
2.肯定值：表示点到原点的距离，数 a 的肯定值为
任何数都有立方根，一个正数有一个正的`立方根;一个负数有一
3.倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。非 0 实数 a 的倒数为 .0 没
定义：一般的，式子 ( a 0 ) 叫做二次根式。其中叫做二次根号，
3. (-2)2 的算术平方根是( ).
二次根号下的 a 叫做被开方数。
A. 2 B. 2 C.-2 D.
性质：1、 (a0)是一个非负数。即 0
4. 若二次根式有意义,则 x 的取值范围为( )
2、 (a0)
A.x B. x D.x
1. 如在实数 0，- ，，|-2|中，最小的是( ).
4)平方法：a、b 均为正数时，若 a2b2，则有 a 均为负数时相反
A. B. - C.0 D.|-2|
5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小(不管正负)
2. 四个数-5，-0.1，12，3 中为无理数的是( ).
二次根式学问点归纳
A. -5 B. -0.1 C. 12 D. 3
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八年级数学上册第二章实数复习教学案例
三、平方根与立方根 1.平方根：假如一个数的平方等于 a，这个数叫做 a 的平方根。
数 a 的平方根记作 (a0)
实数又可分为正实数，零，负实数
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还
2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实
上，以原点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )

七年级初一数学下册第章实数平方根导学案新人教版

6、1平方根德育目标：观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，在独立思考和小组交流中学习。

学习目标：1、了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某数非负数的算术平方根。

学习重点：算术平方根的概念。

学习难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

学习过程：一、课堂引入：（知识复习）1、你能求出下列各数的平方吗?0，-1，5，2.3，-15，-3，3，1，152、若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?25，0，4，425，1144，-14，1.693、正方形的面积若分别为1，9，16，36，425时,此正方形的边长分别为 .二、自学教材：阅读教材40—41页，并完成下列问题。

1、算术平方根是，a的算术平方根记为，读作，a叫做。

2、为什么规定:0的算术平方根是0？3、自学P40 例1：三、自学例题：例1 求下列各数的算术平方根:(1)100 (2)1 (3) 4964(4)196 (5)0 (6)106归纳：这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为 .只不过,只有才有算术平方根, 没有算术平方根.例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm2.•已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,•试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144•的算术平方根,144=12.四、当堂练习。

【实数】平方根、算术平方根导学案

【实数】平方根、算术平方根导学案一、基本知识讲解1、平方根的定义：（1）定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。

即：如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。

（2）平方根的表示法：一个正数a 的正的平方根，用符号“a ”表示，读作“根号a ”，正数a 的负平方根，表示为－a ，读作“负根号a ”。

（3）正数、零、负数的平方根：正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以表示为±a ；零的平方根有一个，仍是零；负数没有平方根；2、算术平方根（1）定义：一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ；0的算术平方根是0（2）对a 的理解：①()2a =a ；②a ≥0（3）对记号a ，－a ，±a 的理解： ①a 表示非负数（a ≥0）②－a 表示a 的算术平方根的相反数③±a 表示a 的平方根④a <0时，a ，－a ，±a 都没有意义二、例题讲解1、求下列各数的平方根：（1）49 （2）8136 （3）232⎪⎭⎫ ⎝⎛- 解：（1）∵（±7）2=49∴49的平方根是±7，即±49= ±7 立方根、实数导学案1. 立方根的概念：满足的值叫做的立方根x a x a 3= 2. 立方根的表示：数的立方根表示为，读作“三次根”或“立方根号”或“的立方根”a a a a a 3 其中a 是被开方数，3是根指数说明：这里的根指数3不能省略，而平方根中的根指数一般省略不写。

3. 弄清立方根与平方根的区别与联系：区别：（1）定义不同：如果，那么叫做的平方根x a x a 2=，如果，那么叫做的立方根x a x a 3=（2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的立方根只有一个，且同样为正数（3）表示方法不同：正数的平方根表示为a a ±，正数的立方根表示为a a 3（4）取值范围不同：任何数都有立方根，并且有唯一的与其自身符号相同的立方根，但只有非负数才有平方根，负数没有平方根（5）逆运算不同：平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算联系：零的平方根与立方根都是零本身4. 立方根的性质：一个正数只有一个正的立方根负数有一个负的立方根零的立方根为零5. 开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方亦可以这样定义：求立方根号a ，叫做对a 开立方6. 用计算器求立方根：跟用计算器求平方根的方法一样，先阅读说明书，再根据说明书中所指明的步骤具体操作。

初中八年级初二数学教案第2章勾股定理与平方根学案实数1

2.5．2实数【学习目标】1、了解有理数的运算在实数范围内仍然适用。

2、能用有理数估计一个无理数的大致范围。

3、能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算。

4、通过用不同的方法比较两个无理数的大小，理解估算的意义、发展数感和估算能力，在运用实数运算解决实际问题的【重点】在实数范围内会运用有理数运算。

【难点】用有理数估算一个无理数的大致范围【预习指导】一、学前准备1、把下列各数分别填入相应的集合内。

32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）有理数集合无理数集合2、2的相反数是， 35的倒数是=3 =-π ，=-π3 。

3、a 是一个实数，它的相反数为，绝对值为；如果0≠a ，那么它的倒数为。

二、合作探究问题1、比较3与7的大小，说说你的方法。

八年级上第2章勾股定理与平方根学案常州市同济中学八年级数学备课组问题2、你还会比较-7与-1.5的大小吗？问题3、你认为215- 与0.5哪个大？你是怎么想的？与同学交流【典题选讲】1、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：（1）3.8 （2）21- （3）π- （4）3 （5）3100272、在数轴上作出5对应的点。

3、通过估算，你能比较215-与43的大小4、利用计算器比较39-与3265.4-的大小【学习体会】我们经历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原有的运算法则和运算性质，从中我们可以体会到数学的和谐【课堂练习】 1．的相反数是________，||＝___________；－π的相反数是_________，|－π|＝_________； 0的相反数是_________，|－0|＝____________．2．求的绝对值．3．已知一个数的绝对值为，求这个数．4.计算：（结果保留3位有效数字）5、请尝试用估算的方法比较215-与85的大小（编写者：花颖）22364-323⋅。

初中数学2_平方根_学案1

2.2平方根(一)学案学习目标：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.学习重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.学习难点：了解算术平方根的概念、性质.预习.导学1、无理数的概念。

2、有理数和无理数的区别3、若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？4、下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空x2=_________y2=_________z2=_________w2=________4、请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？5、大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看书后回答.6、算术平方根的定义。

学习过程：［例1］求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14.［例2］自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？归纳总结：负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则=－2对吗？或者=－2对吗？课堂练习1、P39随堂练习1、2题.2、补充练习.一、填空题1）.若一个数的算术平方根是，则这个数是_________.2）.的算术平方根是_________.3）.正数_________的平方为的算术平方根为_________.4）.(－1.44)2的算术平方根为_________.5）.的算术平方根为_________，=_________二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2； (2)(－3.9)2； (3)2.25； (4)2.课后作业P40习题1、2活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？。

北师大版八年级上册第二章《实数》(平方根、立方根、估算)学案

实数（平方根、立方根、估算）教学目标1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）2.平方（立方）、开平方（开立方）；3.估算重点难点1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）2.平方（立方）、开平方（开立方）；3.估算知识解析知识要点：一、无理数概念：无限不循环小数叫无理数。

满足条件：（1）小数（2）是无限小数（3）不循环二、平方根1．算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，读作“根号a ”，a 被称为被开方数。

性质：（1）正数有一个算术平方根（2）0的算术平方根是0（3）负数没有算术平方根（40a ≥）是一个非负数2．平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 就叫做a 的平方根。

性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数（2）0的平方根为0（3）负数没有平方根3．开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数，开平方时，被开方数a 必须是非负数。

注：()20a a =≥()()00a a a a a ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩三、立方根1．立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根。

性质：（1）正数有一个正的立方根（2）负数有一个负的立方根（3）0的立方根是02．开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数。

开立方与立方互为逆运算。

开立方时，被开方数可以是正数也可以是负数。

典例解析考点一：定义及基本性质【例1】在下列实数中，无理数是（）A ．13B ．π CD ．227【变式1】下列各数654.0 、23π、0)(π-、14.3、80108.0、ππ--1、 1010010001.0、4、 544514524534.0,其中无理数的个数是 ( )(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4【例2】若实数a ，b 满足，则a-b=( ) A.6 B.-6 C.2 D.-2【变式1】若2)2(+a 与1+b 互为相反数，则b a -的值为（）A ．2B ．12+C ．12-D ．21-【变式2】已知()2230x y -+-=，求x ，y ，z 的值。

八年级数学上册第二章《实数》第1讲平方根学案(无答

第1讲：平方根和算术平方根一、新知导入1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

如1.414213=L ，－1.010010001…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根，即当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x ，读作“根号a ”。

因此：①当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；②当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=；③当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

3、算术平方根：我们规定若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

记为“a ”，读作“根号a ”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0。

算术平方根的性质：具有双重非负性，即：00≥≥a a 。

一个正数有个算术平方根，是；0有个算术平方根，是；负数。

4、常用数的平方121)11(2=±，144)12(2=±，169)13(2=±，196)14(2=±，225)15(2=±，256)16(2=±，289)17(2=±，324)18(2=±，361)19(2=±5、区分a 、2)(a 、2a①a 表示非负数a 的算术平方根，其结果也是非负数；②若0≥a ，则2)(a =a ；③而2a总有意义，且当0≥a 时，2a =a ；当0≤a 时，2a =a -， 00.........(0)......(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩6、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。