山东省平度市第九中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。
2019-2020学年山东省青岛市平度九中高二(上)期中数学试卷附答案
2019-2020学年山东省青岛市平度九中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线x ﹣y+2＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（4分）双曲线﹣y2＝1的虚轴长等于（）A ．B．1C．2D．23．（4分）已知直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，则a＝（）A．3B．﹣2C．﹣2或3D．54．（4分）观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9…，则该数列的第20项等于（）A．2020B．20C．sin20D．ln205．（4分）若点P 在椭圆上，F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（）A ．B．3C．4D．16．（4分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，S2＝4，a3＝9，则＝（）A ．B ．C．3D．27．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2+6x﹣8y﹣24＝0，则两圆的位置关系为（）A．相离B．外切C．相交D．内切8．（4分）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球的半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，则卫星轨道的离心率等于（）A ．B ．C ．D ．9．（4分）已知直线l：x+ay+1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4相交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数a＝（）第1页（共14页）A ．﹣B ．C．1D．﹣110．（4分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，S12＞0，S13＜0，则S n的最大值为（）A．S5B．S6C．S7D．S12二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．11．（4分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0 12．（4分）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A．椭圆C 的方程为+x2＝1B．椭圆C 的方程为+y2＝1C．|PQ|＝D．△PF2Q的周长为413．（4分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F ，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是（）A．p＝2B．F为AD中点C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝2三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14．（4分）若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是．15．（4分）已知双曲线C ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线于直线l：x﹣2y+2020＝0垂直，则双曲线C的离心率e＝．16．（4分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为零，若a2，a3，a6成等比数列，则数列{a n}的前8项的和为．17．（4分）已知圆x2+（y﹣2）2＝1上一动点A，定点B（6，1）；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于．第2页（共14页）。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_9
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A. ,B. ,C. ,D. ,已知向量=（2m+1，3，m-1），=（2，m，-m），且∥，则实数m的值等于（）A. B. C. 0 D. 或等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n-1+b，则=（）A. B. C. 1 D. 3关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 . A. B.C. D.空间四边形ABCD中，若向量=（-3，5，2），=（-7，-1，-4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A. 3,B.C.D. 2,已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），Sn为其前n 项和，则S5的值为（）A. 57B. 61C. 62D. 63在数列{an}中，a1=2，，则an=（）A. B. C. D.设a＞b＞0，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）已知=（2，3，1），=（-4，2，x）且⊥，则||=______．不等式≥2的解集是______．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8=______．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32﹕27，则公差d= ______ ．命题p：（x-m）2＞3（x-m）是命题q：x2+3x-4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______．已知等差数列{an}中，a3=7，a9=19，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共64.0分）已知U=R且A={x|a2x2-5ax-6＜0}，B{x||x-2|≥1}．（1）若a=1，求（∁UA）∩B；（2）求不等式a2x2-5ax-6＜0（a∈R）的解集．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2，AB=1，E为AD中点，F为CC1中点．（Ⅰ）求证：AD⊥D1F；（Ⅱ）求证：CE∥平面AD1F；（Ⅲ）求AA1与平面AD1F成角的余弦值．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使成立的最大的正整数n．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=，平面EDCF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE 所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明数列{}为等差数列；（3）设数列{cn}的通项公式为：Cn=，其前n项和为Tn，求T2n．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A. ,B. ,C. ,D. ,已知向量=（2m+1，3，m-1），=（2，m，-m），且∥，则实数m的值等于（）A. B. C. 0 D. 或等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n-1+b，则=（）A. B. C. 1 D. 3关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 .A. B.C. D.空间四边形ABCD中，若向量=（-3，5，2），=（-7，-1，-4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A. 3,B.C.D. 2,已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），Sn为其前n项和，则S5的值为（）A. 57 B. 61 C. 62 D. 63在数列{an}中，a1=2，，则an=（）A. B. C. D.设a＞b＞0，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）已知=（2，3，1），=（-4，2，x）且⊥，则||=______．不等式≥2的解集是______．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8=______．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32﹕27，则公差d= ______ ．命题p：（x-m）2＞3（x-m）是命题q：x2+3x-4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______．已知等差数列{an}中，a3=7，a9=19，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共64.0分）已知U=R且A={x|a2x2-5ax-6＜0}，B{x||x-2|≥1}．（1）若a=1，求（∁UA）∩B；（2）求不等式a2x2-5ax-6＜0（a∈R）的解集．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2，AB=1，E为AD中点，F为CC1中点．（Ⅰ）求证：AD⊥D1F；（Ⅱ）求证：CE∥平面AD1F；（Ⅲ）求AA1与平面AD1F成角的余弦值．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使成立的最大的正整数n．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=，平面EDCF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明数列{}为等差数列；（3）设数列{cn}的通项公式为：Cn=，其前n项和为Tn，求T2n．。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_6
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题.14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【答案】3.【解析】【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出所有男生打卡天数总和再除以男生人数即平均打卡天数；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任选2人交流心得，求出基本事件总数和选到男生和女生各1人所包含的基本事件个数即可求解概率.【详解】（1）男生平均打卡的天数.（2）男生打卡21天的2人记为，，女生打卡21天的3人记为，，，则从打卡21天的小朋友中任选2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中男生和女生各1人的情况有，，，，，，共6种.故所求概率.【点睛】此题考查求平均数和古典概率，关键在于准确求出打卡天数总和以及根据计数原理求出基本事件个数.18.求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且；（2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可..（2）根据和求解，注意两种情况.【详解】（1）因为焦点坐标为和，所以.因为，所以，即所以.故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意可得解得，解得，.故所求椭圆标准方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].【解析】【分析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．【详解】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，所以，或，所以，，或，所以a≥3．所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．实数m的取值范围（-∞，4]．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.已知椭圆：的离心率为，且经过点，为椭圆的左焦点.直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用离心率和过点联立方程组计算得到答案.（2）点到直线的距离，，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）因为为椭圆的左焦点，所以的坐标为，则点到直线的距离.联立，整理得，则，，，，从而故的面积为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，三角形的面积，意在考查学生的计算能力.21.某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.【详解】（1）由题意得该校学生总人数为人，则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，，，，共6种.故所求概率【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.22.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，且上的动点到的距离的最大值为4，最小值为2.（1）证明：.（2）若直线：与相交于，两点（，均不与，重合），且，试问是否经过定点？若经过，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意，可得，即可解得椭圆的标准方程，设，表示出，，利用坐标法表示，由，即可证明；（2）联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理可得根与系数的关系，由，运用坐标相乘可得，解出与的关系，进行判断即可得出结论.【详解】解：（1）证明：由题意可得，解得，则，故的方程为.设，则.∵，，∴，∵，∴.（2）解：设，，联立，得，则，即，且，，∴.∵，，∴，，即，所以或.当时，直线为，此时过定点，不合题意；当时，直线为，此时直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，联立方程运用韦达定理根据题意判断直线是否恒过定点问题，属于较难题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题. 14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）。
2019-2020年高二数学上学期期中试卷(含解析)
2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_20
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．2.数列，，，，，，的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．3.命题“若，则，”的否命题为（）A. 若，则，B. 若，则或C. 若，则，D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【详解】x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.设是等差数列的前项和，若，则( )A. 21B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可求出，再结合可求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，即，则.故选C.【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于基础题.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出变量满足可行域，目标函数可化为，直线在轴上的截距最小时，最小，当直线过点时满足题意.【详解】画出变量满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为，显然直线在轴上的截距最小时，最小，平移直线经过点时，最小，联立，解得，此时.故选A.【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选B．9.在△ABC中，若<cosC，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意，由余弦定理得，化简得，所以，故为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】【详解】如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B、C 两点间的距离是10海里．考点：解三角形．11.已知若x，y均为正数，则的最小值是A. B. C. 8 D. 24【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．【详解】，y均为正数，则当且仅当且即，时取等号，的最小值是8．故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．12.已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）13.若不等式的解集为R，实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】由题意，可得，即，求解即可.【详解】由题意，可得，即，解得.故答案为.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.14.数列中，，，则的通项公式为；【答案】【解析】试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则.考点：等比数列15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.则【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．【答案】2【解析】【分析】结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.【详解】将所给的数列分组，第1组为：，第2组为：，第3组为：，，则数列的前n组共有项，由于，故数列的前63组共有2016项，数列的第2017项为，数列的第2018项为.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，，．若，求的值；若的面积为，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值．由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．【详解】解：在中，，，，由正弦定理，可得：；，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当时，当时，也适合时，∴（2），∴考点：数列求通项及分组求和19.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）[2，3）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q为真命题的x的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．【详解】（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．∴p，q都为真命题时x取值范围是[2，3）；（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），则，即．【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．20.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用：万元．建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立．学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知数列是递增的等差数列，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可求出，由数列是递增的等差数列，可知，由成等比数列，可得到，即可求出，进而可求出的通项公式；（2）结合（1）可求出，，进而可求得，然后利用裂项求和法可求得的前项和.【详解】（1）因为数列是递增的等差数列，所以，，故，又成等比数列，则，即，解得.则，故.（2），则，，故，则.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式的求法，考查了裂项相消求和法的运用，属于中档题. 22.如图，在中，点在边上，为的平分线，．（1）求；（2）若,,求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，，再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线，令在中，，由正弦定理，得所以.(2) 因为，所以，又由,得，，因为，所以所以.【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．2.数列，，，，，，的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．3.命题“若，则，”的否命题为（）A. 若，则，B. 若，则或C. 若，则，D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【详解】x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.设是等差数列的前项和，若，则( )A. 21B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可求出，再结合可求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，即，则.故选C.【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于基础题.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出变量满足可行域，目标函数可化为，直线在轴上的截距最小时，最小，当直线过点时满足题意.【详解】画出变量满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为，显然直线在轴上的截距最小时，最小，平移直线经过点时，最小，联立，解得，此时.故选A.【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选B．9.在△ABC中，若<cosC，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意，由余弦定理得，化简得，所以，故为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】【详解】如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10海里．考点：解三角形．11.已知若x，y均为正数，则的最小值是A. B. C. 8 D. 24【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．【详解】，y均为正数，则当且仅当且即，时取等号，的最小值是8．故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．12.已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）13.若不等式的解集为R，实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】由题意，可得，即，求解即可.【详解】由题意，可得，即，解得.故答案为.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.14.数列中，，，则的通项公式为；【答案】【解析】试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则.考点：等比数列15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.则【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．【答案】2【解析】【分析】结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.【详解】将所给的数列分组，第1组为：，第2组为：，第3组为：，，则数列的前n组共有项，由于，故数列的前63组共有2016项，数列的第2017项为，数列的第2018项为.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，，．若，求的值；若的面积为，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值．由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．【详解】解：在中，，，，由正弦定理，可得：；，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当时，当时，也适合时，∴（2），∴考点：数列求通项及分组求和19.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）[2，3）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q 为真命题的x的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．【详解】（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．∴p，q都为真命题时x取值范围是[2，3）；（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），则，即．【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．20.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用：万元．建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立．学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知数列是递增的等差数列，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可求出，由数列是递增的等差数列，可知，由成等比数列，可得到，即可求出，进而可求出的通项公式；（2）结合（1）可求出，，进而可求得，然后利用裂项求和法可求得的前项和.【详解】（1）因为数列是递增的等差数列，所以，，故，又成等比数列，则，即，解得.则，故.（2），则，，故，则.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式的求法，考查了裂项相消求和法的运用，属于中档题.22.如图，在中，点在边上，为的平分线，．（1）求；（2）若,,求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，，再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线，令在中，，由正弦定理，得所以.(2) 因为，所以，又由,得，，因为，所以所以.【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_11
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知全集，，，则__________.【答案】3【解析】【分析】先根据和确定是中元素，不是中元素，由此计算的值.【详解】因为，，所以，解得.【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素.2.方程组增广矩阵为____________【答案】【解析】【分析】直接利用增广矩阵的概念得到答案.【详解】的增广矩阵为故答案为：【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.3.若，则化简后的值等于________．【答案】【解析】【分析】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出的值.【详解】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.幂函数经过点，则此幂函数的解析式为_______.【答案】【解析】设幂函数为，代入点，所以所以，，填。
5.若直线过点，且法向量为，则直线的点方向式方程为________．【答案】【解析】【分析】求出直线的一个方向向量，根据直线的点方式方程可得出直线的点方向式方程.【详解】由于直线过点，且法向量为，则直线的一个方向向量为，因此，直线的点方向式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线的点方向式方程的求解，求出直线的方向向量是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6.______【答案】【解析】【分析】运用等差数列的求和公式和，结合极限的运算性质可得所求值．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题．7.设为奇函数，且当时，，则当时，=____【答案】【解析】【分析】根据函数是奇函数，得，由，得，代入已知的函数关系中，可得解.【详解】是奇函数，，因为时，．当时，，，所以时，．故填：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.8.若，，，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示得出，利用正弦函数的最值可得出实数的最小值.【详解】，，，且，，则，由于，因此，实数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的最值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.9.过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为__________．【答案】【解析】不妨设与交点为，圆心，当，关于对称时，则直线，则，设在上的切点为，则，∴，∴，故，夹角为，故答案为.10.已知、是关于的方程的两个实数根，则经过两点、的直线与圆公共点的个数是________．【答案】或【解析】【分析】列出韦达定理，求出直线的方程为，可求出直线所过定点的坐标，并判断点与圆的位置关系，从而可得出直线与圆的公共点个数.【详解】由韦达定理得，，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，即，即，即，令，得，所以，直线恒过定点.，则点在圆上，因此，直线与圆的公共点个数为或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的公共点个数的判断，同时也考查了韦达定理的应用，求出直线所过定点的坐标是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11.设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．(1)不论为何值，点N都不在直线上；(2)若，则过M，N的直线与直线平行；（3）若，则直线经过MN的中点；（4）若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用分母不等于零判断(1)，利用斜率相等判断（2）；利用中点坐标满足方程判断（3）；根据，以及M、N在直线的距离不同判断（4）.【详解】(1)因为，所以不在直线上，正确；（2）时，由可得，化为，即直线的斜率为，所以过M，N的直线与直线平行，时，过M，N的直线与直线都与轴平行，综上可得（2）正确；（3）时，化为，即直线经过MN的中点，正确；（4）可得，可得M、N在直线的同侧，进而得，M、N在直线的距离不同，直线与线段MN的延长线相交，正确.即正确命题的序号为(1)(2)(3)(4)，故答案为(1)(2)(3)(4).【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查直线的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.如图，正方形边长为米，圆的半径为米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以米/秒的速度从出发向移动，同时，点以米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约________秒（精确到）．【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出点、的坐标和直线的方程以及圆的方程，利用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件下，解不等式即可得出所求时长.【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系：可设点，，可得出直线的方程为，圆的方程为，由直线与圆有公共点，可得，化为，解得，而，因此，点在点的盲区中的时长约为秒.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查坐标法与一元二次不等式的解法，属于中等题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】如图.要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是. 选C.14.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是A. 系数行列式B. 比例式C. 向量不平行D. 直线，不平行【答案】D【解析】【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到为充要条件，直线分共面和异面两种情况．【详解】解：当两直线共面时，直线，不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线，不平行，二元一次方程组无解，故直线，不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．15.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得知与同向的单位向量和与同向的单位向量是相反向量，由此可得出、方向相反，由此可得出正确选项.【详解】由题意知，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以，、方向相反.因此，使得成立的条件为.故选：A.【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，考查推理能力，属于基础题.16.到两条坐标轴距离之差的绝对值为的点的轨迹是（）A. 两条直线B. 四条直线C. 四条射线D. 八条射线【答案】D【解析】【分析】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，可得出、，分析出方程所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条数.【详解】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，所以，或，下面来考查所代表的射线条数.①当，时，；②当，时，；③当，时，；④当，时，.可知方程代表四条射线，同理可知方程也代表四条射线.因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为的点的轨迹是八条射线.故选：D.【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在中，已知、．（1）若点坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出的值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.【详解】（1），即，，且，，设点的坐标为，，，，解得，.直线的斜率为，，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，，解得或.因此，关于的函数关系式为或.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足．（1）求动点所在曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且满足，又点关于原点的对称点为点，求点、的坐标．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程；（2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再由点关于原点的对称点为点，可求出点的坐标.【详解】（1），，，即，化简得，即，因此，曲线的方程为；（2）设点、，直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，得．由韦达定理得，，，，所以，点的坐标为，又点关于原点的对称点为点，则点的坐标为.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，涉及了利用向量的坐标运算求解点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.19.有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，现地的居民从、两地之一购得商品后回运的运费是：地每公里的运费是地运费的倍，已知、两地相距，居民选择或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．（1）求地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状；（2）指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【答案】（1）点所在曲线的形状是圆；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，设点，然后根据题意建立、的方程，即可得出动点的轨迹方程，即可判断出点所在曲线的形状；（2）先考虑居民在地购货费用较低，得出，由此得出，可得出圆内的居民从地购货费用较低，同理得出圆外的居民从地购货费用较低．【详解】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，则、，设地的坐标为，且地到、两地购物的运费分别是、（元/公里），当地到、两地购物总费用相等时，价格地运费价格地运费，即，整理得．故地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状是圆；（2）若居民在地购货费用较低时，即：价格地运费价格地运费，得，化简得，所以，此时点在圆内，即圆内的居民从地购货费用较低.同理，圆外的居民从地购货费用较低．【点睛】本题考查轨迹方程，考查圆的方程的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点(1)求的值；(2)设为曲线上的动点，求的最小值；(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_25
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂累.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第10至13为多选题，有多个正确选项，选对一个即可得到2分，全部选对得4分，有一个错误选项不得分.1.若命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】存在性命题的否定,,对条件进行否定【详解】由题,则的否定为,故选：C【点睛】本题考查存在性命题的否定,属于基础题2.在数列{}中，，n∈N*，则的值为（）A. 49B. 50C. 89D. 99【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】解：∵，（），∴数列{}是等差数列，则．故选A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把不等式化为，求出解集即可．【详解】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（4，3）．故选C．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A. 8岁B. 11岁C. 20岁D. 35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．5.设等差数列的前n项和为，若，则（）A. 24B. 48C. 8D. 16【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质，以及下标和的性质，即可求得结果.【详解】因为数列是等差数列，故可得，解的；根据等差数列的下标和性质，故可得.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的前项和的性质以及下标和性质，属综合基础题.6.已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的方程，即可求得，根据离心率的计算公式即可求得.【详解】因为，故可得离心率.故选：C.【点睛】本题考查用直接法求椭圆的离心率，属基础题.7.已知等比数列满足,,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.8.已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和，有最大值，那么取得最小正值时n等于（）A. 22 B. 21 C. 20 D. 19【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，判断出的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得因为，故可得，整理得，即，又因为，故可得.又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，以及前项和的性质，属综合中档题.9.已知a∈R，则“a＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；但当，一定能推出a＜1，从而得到答案．【详解】解：由a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；但当时，有0＜a＜1，从而一定能推出a＜1，则“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．10.设，，若，则的最小值为A. B. 6 C. D.【答案】C【解析】试题分析：：∵a＞1，b＞0，a+b=2，∴a-1＞0，a-1+b=1．∴=[(a−1)+b]()=3+．当且仅当,即时取等号．的最小值为．故选C．考点：基本不等式的性质11.与的等比中项是（）A. 1B.C. 与n有关D. 不存在【答案】AB【解析】【分析】设出等比中项，根据等比中项的性质，求解即可.【详解】设与的等比中项是，故可得，解得.故选：AB.【点睛】本题考查等比中项的求解，属基础题.12.下列命题中是真命题的有（）A. 有四个实数解B. 设a、b、c是实数，若二次方程无实根，则C. 若，则D. 若，则函数的最小值为2【答案】BC【解析】分析】根据方程根的求解，利用对勾函数求最值得方法，以及二次方程根的情况与系数之间的关系，结合选项进行逐一分析即可.【详解】对：令，容易知其为偶函数，又当时，令，解得；故函数有两个零点，即，故错误；对：若二次方程无实根，故可得，即可得，故正确；对：，则，解得，且，此时一定有，故正确；对：令，，则原函数等价于，根据对勾函数的单调性可知，该函数在区间上是单调增函数，故可得函数的最小值为.故错误.故答案为：.【点睛】本题考查简单命题真假的判断，属综合基础题.13.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（）.A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的图象分析列式可得,【详解】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则解得，.又，故可以为6，7，8.故选ABC【点睛】本题考查了二次函数的图象,一元二次不等式,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，单空题每小题4分，双空题每空2分，共16分.14.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求出的最小值，只需其小于零即可求得命题为真的参数范围，再求其补集即可.【详解】令，故可得，若命题为真，只需，整理可得，即可得，或.则命题为假时，.故答案为：.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的范围，属基础题.15.已知数列的前n项和为，则这个数列的通项公式为______.数列的前n项和为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据与之间的关系，即可求得通项公式；再利用裂项求和法即可求得数列的前项和.【详解】因为，故当时，，又当时，满足上式，综上所述，；则，则其前项和为.故答案为：；.【点睛】本题考查由求，以及利用裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.16.已知关于的不等式的解集是，则的解集为_____.【答案】【解析】【分析】由不等式的解集与方程的根的关系，求得，进而化简不等式，得，进而得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，关于的不等式的解集是，则，解得，所以不等式，即为，即，即，解得即不等式的解集为．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系的应用，其中解答中熟记三个二次式之间的关系，以及一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．17.椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为______时，的面积是______.【答案】 (1). 8 (2). 3【解析】【分析】根据椭圆的定义以及性质，即可容易求得.【详解】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可知，当且仅当经过右焦点时，取得最大值.此时直线，代入椭圆方程可得，此时.故答案为：8；3.【点睛】本题考查椭圆的定义以及性质，属综合中档题.三、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式以及绝对值不等式即可求得命题为真命题时，对应的参数范围，取其交集即可；（2）根据命题的充分性，推出集合之间的包含关系，据此即可解得的取值范围.【详解】（1）由得当时，即p为真，由得，即q为真，若都为真时，实数的取值范围是.（2）由得，∵，∴，由得设由已知则是的真子集，故，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，以及由充分必要条件求参数范围的问题，属基础题.19.已知数列{}满足，（）．（1）求，，的值；（2）证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式．【答案】（1），，（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式直接求得，，的值；（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果．【详解】解：（1）由，，得，，；证明：（2）当时，由，得，∴{}是公差为1的等差数列，又∵，∴，则．【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题．20.已知椭圆的焦距为2，离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆上一点，且，求△F1PF2的面积．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由已知可得，再由离心率求得，结合隐含条件求得的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF1||PF2|=4，代入三角形的面积公式得答案.【详解】（Ⅰ）椭圆方程可设为且c=1，又，得a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆的方程为或.（Ⅱ）在△PF1F2中，由余弦定理可得：∠F1PF2，即2|PF1||PF2|×cos60°，∴4=16-3|PF1||PF2|，即|PF1||PF2|=4．∴△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin60°=．【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆焦点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目.21.设数列满足（）.（1）若是等差数列，求的通项公式：（2）是否可能为等比数列？若可能，求此数列的通项公式；若不可能，说明理由.【答案】（1）（2）不可能为等比数列，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据数列是等差数列，设出首项和公差，根据递推公式，结合基本量运算，即可求得；（2）假设数列是等比数列，设出，根据题意，推出矛盾，即可证明.【详解】（1）设首项为，公差为d，通项为代入已知得到，则有否则上式不0，所以即通项为，（2）不可能为等比数列若成等比数列，不妨设公比为q，，由已知得，左边为常数，所以为常数，设为得到，即n为等比数列，故不可能为等比数列.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义以及通项公式，属综合基础题.22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．求椭圆的方程；求直线MN的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】运用离心率公式和，解方程可得；设，，，，同理可设直线AC方程为，直线方程为，则直线BC方程为，直线BD方程为可得直线AC、BD相交点直线AD、BC相交点可得直线MN的斜率．【详解】解：椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，，，，．椭圆方程为：；设，，，同理可设直线AC方程为，直线AD方程为则直线BC方程为，直线BD方程为由可得直线AC、BD相交点同理可得直线AD、BC相交点直线MN斜率．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．23.某市2018年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张，为了节能减排和控制牌照总量，从2018年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变，记2018年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放电动型汽车牌照数构成数列.（1）完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；________________________（2）累计每年发放的牌照数，哪一年开始不低于200万（注：）？【答案】（1）表格中数据见详解，；；（2）2033.【解析】【分析】（1）根据题意，结合数列的变化规律，即可求得表格中空缺的数值；结合数列类型，以及数列的定义，即可求得通项公式；（2）根据（1）中所求，求出数列的前项和，根据题意，结合参考数据以及即可求得结果.【详解】（1）如表所示，当且时，，当且时，，故又，，.（2）当时，，当时，，由，得，即，又一元二次方程的两个根为，，∴，又且，∴不等式可化为，∴且，∴到2033年累计发放汽车拍照数不低于200万.【点睛】本题考查实际问题中等差数列和等比数列通项公式求解和前项和的求解，属综合中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂累.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第10至13为多选题，有多个正确选项，选对一个即可得到2分，全部选对得4分，有一个错误选项不得分.1.若命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】存在性命题的否定,,对条件进行否定【详解】由题,则的否定为,故选：C【点睛】本题考查存在性命题的否定,属于基础题2.在数列{}中，，n∈N*，则的值为（）A. 49B. 50C. 89D. 99【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】解：∵，（），∴数列{}是等差数列，则．故选A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把不等式化为，求出解集即可．【详解】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（4，3）．故选C．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．5.设等差数列的前n项和为，若，则（）A. 24B. 48C. 8D. 16【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质，以及下标和的性质，即可求得结果.【详解】因为数列是等差数列，故可得，解的；根据等差数列的下标和性质，故可得.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的前项和的性质以及下标和性质，属综合基础题.6.已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的方程，即可求得，根据离心率的计算公式即可求得.【详解】因为，故可得离心率.故选：C.【点睛】本题考查用直接法求椭圆的离心率，属基础题.7.已知等比数列满足,,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.8.已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和，有最大值，那么取得最小正值时n等于（）A. 22B. 21C. 20D. 19【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，判断出的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得因为，故可得，整理得，即，又因为，故可得.又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，以及前项和的性质，属综合中档题.9.已知a∈R，则“a＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；但当，一定能推出a＜1，从而得到答案．【详解】解：由a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；但当时，有0＜a＜1，从而一定能推出a＜1，则“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．10.设，，若，则的最小值为A. B. 6 C. D.【答案】C【解析】试题分析：：∵a＞1，b＞0，a+b=2，∴a-1＞0，a-1+b=1．∴=[(a−1)+b]()=3+．当且仅当,即时取等号．的最小值为．故选C．考点：基本不等式的性质11.与的等比中项是（）A. 1B.C. 与n有关D. 不存在【答案】AB【解析】【分析】设出等比中项，根据等比中项的性质，求解即可.【详解】设与的等比中项是，故可得，解得.故选：AB.【点睛】本题考查等比中项的求解，属基础题.12.下列命题中是真命题的有（）A. 有四个实数解B. 设a、b、c是实数，若二次方程无实根，则C. 若，则D. 若，则函数的最小值为2【答案】BC【解析】分析】根据方程根的求解，利用对勾函数求最值得方法，以及二次方程根的情况与系数之间的关系，结合选项进行逐一分析即可.【详解】对：令，容易知其为偶函数，又当时，令，解得；故函数有两个零点，即，故错误；对：若二次方程无实根，故可得，即可得，故正确；对：，则，解得，且，此时一定有，故正确；对：令，，则原函数等价于，根据对勾函数的单调性可知，该函数在区间上是单调增函数，故可得函数的最小值为.故错误.故答案为：.【点睛】本题考查简单命题真假的判断，属综合基础题.13.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（）.A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的图象分析列式可得,【详解】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则解得，.又，故可以为6，7，8.故选ABC【点睛】本题考查了二次函数的图象,一元二次不等式,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，单空题每小题4分，双空题每空2分，共16分.14.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求出的最小值，只需其小于零即可求得命题为真的参数范围，再求其补集即可.【详解】令，故可得，若命题为真，只需，整理可得，即可得，或.则命题为假时，.故答案为：.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的范围，属基础题.15.已知数列的前n项和为，则这个数列的通项公式为______.数列的前n项和为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据与之间的关系，即可求得通项公式；再利用裂项求和法即可求得数列的前项和.【详解】因为，故当时，，又当时，满足上式，综上所述，；则，则其前项和为.故答案为：；.【点睛】本题考查由求，以及利用裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.16.已知关于的不等式的解集是，则的解集为_____.【答案】【解析】【分析】由不等式的解集与方程的根的关系，求得，进而化简不等式，得，进而得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，关于的不等式的解集是，则，解得，所以不等式，即为，即，即，解得即不等式的解集为．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系的应用，其中解答中熟记三个二次式之间的关系，以及一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．17.椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为______时，的面积是______.【答案】 (1). 8 (2). 3【解析】【分析】根据椭圆的定义以及性质，即可容易求得.【详解】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可知，当且仅当经过右焦点时，取得最大值.此时直线，代入椭圆方程可得，此时.故答案为：8；3.【点睛】本题考查椭圆的定义以及性质，属综合中档题.三、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式以及绝对值不等式即可求得命题为真命题时，对应的参数范围，取其交集即可；（2）根据命题的充分性，推出集合之间的包含关系，据此即可解得的取值范围.【详解】（1）由得当时，即p为真，由得，即q为真，若都为真时，实数的取值范围是.（2）由得，∵，∴，由得设由已知则是的真子集，故，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，以及由充分必要条件求参数范围的问题，属基础题.19.已知数列{}满足，（）．（1）求，，的值；（2）证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式．【答案】（1），，（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式直接求得，，的值；（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果．【详解】解：（1）由，，得，，；证明：（2）当时，由，得，∴{}是公差为1的等差数列，又∵，∴，则．【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题．20.已知椭圆的焦距为2，离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆上一点，且，求△F1PF2的面积．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由已知可得，再由离心率求得，结合隐含条件求得的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF1||PF2|=4，代入三角形的面积公式得答案.【详解】（Ⅰ）椭圆方程可设为且c=1，又，得a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆的方程为或.（Ⅱ）在△PF1F2中，由余弦定理可得：∠F1PF2，即2|PF1||PF2|×cos60°，∴4=16-3|PF1||PF2|，即|PF1||PF2|=4．∴△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin60°=．【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆焦点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目.21.设数列满足（）.（1）若是等差数列，求的通项公式：（2）是否可能为等比数列？若可能，求此数列的通项公式；若不可能，说明理由.【答案】（1）（2）不可能为等比数列，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据数列是等差数列，设出首项和公差，根据递推公式，结合基本量运算，即可求得；（2）假设数列是等比数列，设出，根据题意，推出矛盾，即可证明.【详解】（1）设首项为，公差为d，通项为代入已知得到，则有否则上式不0，所以即通项为，（2）不可能为等比数列若成等比数列，不妨设公比为q，，由已知得，左边为常数，所以为常数，设为得到，即n为等比数列，故不可能为等比数列.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义以及通项公式，属综合基础题.22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．求椭圆的方程；求直线MN的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】运用离心率公式和，解方程可得；设，，，，同理可设直线AC方程为，直线方程为，则直线BC方程为，直线BD方程为可得直线AC、BD相交点直线AD、BC相交点可得直线MN的斜率．【详解】解：椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，，，，．椭圆方程为：；设，，，同理可设直线AC方程为，直线AD方程为则直线BC方程为，直线BD方程为。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_29
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B 错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；综上所述，当时，所求不等式的解集为或；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，由抛物线的定义，得，解得，所求抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线：，设点，.点均在轴的上方，，，由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.联立直线的方程与抛物线的方程，即，消去并整理得.由，得（因为），且有，，，解得或，又，，：，直线的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，整理得，解得，又，，最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，，又，，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.21.数列的前项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析;(3).【解析】【分析】，，又成等差数列，解得，当时，得到，代入化简，即可证得结果由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果【详解】（1）在中令，得即，①又②则由①②解得.（2）当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即.（3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是.【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，.①又椭圆离心率为，，.②联立①②得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：当直线斜率不存在时，则，；当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，.联立，消去并整理得.由于，，，，，.综上所述，.方法二：当直线斜率为0时，，则；当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，联立，消去并整理得.由于，，，.，综上所述，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_27
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选A.2.双曲线的虚轴长等于（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可．【详解】双曲线，可得b=1，所以双曲线的虚轴长等于2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．3.已知直线与直线平行，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得：或，当时，与重合，不满足题意，舍去；当时，与平行，满足题意.故选：B【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.4.观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第20项等于（）A. 2020B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数．【详解】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由，所以该数列的第20项为．故选：D．【点睛】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．5.若点在椭圆：，，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（）A. B. 3 C. 4 D. 1【答案】D【解析】根据椭圆方程算出c，从而中得到，结合椭圆的定义联解，得到，最后用直角三角形面积公式，即可算出的面积．【详解】∵椭圆C：，∴a2=4，b2=1．可得，因此中，，由勾股定理得①根据椭圆的定义，得②①②联解，可得，∴的面积．故选：D．【点睛】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题．6.已知正项等比数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为q＞0，利用通项公式即可得出．【详解】设正项等比数列的公比为q＞0．，，，，解得：，，则.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．【详解】化圆：为，可得圆的圆心坐标为，半径为7；由圆：的圆心坐标为，半径为2，∴，而，∴两圆的位置关系为内切．故选：D．【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．8.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率．【详解】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，，，所以．故选：A．【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力．9.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数（）A B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a．【详解】由题意，圆心，半径，由几何知识可得，圆心C到直线l的距离，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题．10.若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出，，，由此能求出的最大值．【详解】∵等差数列的前n项和为，，，，∴，，∴，，的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：ABC．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．12.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）A. 椭圆方程为B. 椭圆方程为C. D. 的周长为【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．【详解】由已知得，2b=2，b=1，，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A. B. 为中点 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案.【详解】如图所示：作准线于，轴于，准线于.直线的斜率为，故，，，故，.，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.准线方程为的抛物线的标准方程是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得．该抛物线的标准方程是．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．15.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的离心率______.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线C：的一条渐近线，由于一条渐近线与直线垂直，则有，，则离心率为．故答案：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．16.已知等差数列的首项为1，公差不为零，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为______.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】等差数列的首项为1，公差d不为零，若，，成等比数列，可得，即，解得（0舍去），数列前8项的和为．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为：.（2）由（1）知：，所以.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.已知为坐标原点，点和点，动点满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程.【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支；（2）或【解析】【分析】（1）由动点满足，可得到轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为，后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程，解出即可．【详解】解：（1）根据双曲线的定义：点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支且，所以，，，，所以动点的轨迹方程为：.（2）因为曲线的顶点为，所以抛物线的方程为：，当直线斜率不存时，不满足题意，设直线：，由抛物线的定义知：，，，所以，将代入得：，所以，解得，所以直线的方程为：或.【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用抛物线的定义求其弦长公式即可快速求解，属于中档题．21.已知为坐标原点，定点，定直线：，动点到直线的距离为，且满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线：与曲线交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，P到F的距离，P到定直线l的距离为，进而求解；（2）设，，联立直线方程和椭圆方程，求出t的取值范围，进而由三角形面积公式求解；【详解】解：（1）设点，由题知：，所以，整理得点的轨迹方程为：.（2）将带入得：，所以，，得，，点到直线的距离，∴，当且仅当即时等号成立满足，面积最大值为.【点睛】（1）考查椭圆轨迹方程解析式求解；，点到直线距离，点到点的距离公式应用；（2）考查圆锥曲线与直线相交，求三角形面积最值问题，解决本题关键点在于怎么表示三角形的面积；22.已知数列的前项和为，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知曲线若为椭圆，求的值；（3）若，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）利用的递推公式证明出为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出，由与之间的关系求出，结合题意得出，可求出的值；（3）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.【详解】（1）对任意的，，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，，也适合上式，所以，.由于曲线是椭圆，则，即，，解得或；（3），，①，②①②得，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.23.已知为坐标原点，椭圆：上顶点为，右顶点为，离心率，圆：与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，，为椭圆上的三个动点，直线，，的斜率分别为.（i）若的中点为，求直线的方程；（ii）若，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率和直线AB与圆相切分别得到a，b的关系式，求解得椭圆的方程；（2）（i）由点差法求出直线EF的斜率，然后写出方程；（ⅱ）由直线DE、DF与椭圆的相交关系，分别求出E、F两点的横坐标，再利用，求得，另设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示，求得，故得结论直线EF过定点．【详解】解：（1）由题意，直线的方程为：，即为，因为圆与直线相切，所以，①设椭圆的半焦距为，因为，，所以②由①②得：，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，，，（i）由题知：，，两式做差得：，，整理得：，所以此时直线的方程为：；（ii）设直线：，设直线：，将代入，得：，所以，，因此.又因为，且同理可得：，可得，设直线的方程为：，将代入，得：，得，所以，所以直线过定点.【点睛】本题考查了椭圆的基本的几何性质，考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，属于难题．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选A.2.双曲线的虚轴长等于（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可．【详解】双曲线，可得b=1，所以双曲线的虚轴长等于2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．3.已知直线与直线平行，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得：或，当时，与重合，不满足题意，舍去；当时，与平行，满足题意.故选：B【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型. 4.观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第20项等于（）A. 2020B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数．【详解】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由，所以该数列的第20项为．故选：D．【点睛】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．5.若点在椭圆：，，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（）A. B. 3 C. 4 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程算出c，从而中得到，结合椭圆的定义联解，得到，最后用直角三角形面积公式，即可算出的面积．【详解】∵椭圆C：，∴a2=4，b2=1．可得，因此中，，由勾股定理得①根据椭圆的定义，得②①②联解，可得，∴的面积．故选：D．【点睛】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题．6.已知正项等比数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q＞0，利用通项公式即可得出．【详解】设正项等比数列的公比为q＞0．，，，，解得：，，则.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．【详解】化圆：为，可得圆的圆心坐标为，半径为7；由圆：的圆心坐标为，半径为2，∴，而，∴两圆的位置关系为内切．故选：D．【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．8.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率．【详解】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，，，所以．故选：A．【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力．9.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数（）A B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a．【详解】由题意，圆心，半径，由几何知识可得，圆心C到直线l的距离，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题．10.若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出，，，由此能求出的最大值．【详解】∵等差数列的前n项和为，，，，∴，，∴，，的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：ABC．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．12.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）A. 椭圆方程为B. 椭圆方程为C. D. 的周长为【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．【详解】由已知得，2b=2，b=1，，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A. B. 为中点 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案.【详解】如图所示：作准线于，轴于，准线于.直线的斜率为，故，，，故，.，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.准线方程为的抛物线的标准方程是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得．该抛物线的标准方程是．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．15.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的离心率______.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线C：的一条渐近线，由于一条渐近线与直线垂直，则有，，则离心率为．故答案：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．16.已知等差数列的首项为1，公差不为零，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为______.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】等差数列的首项为1，公差d不为零，若，，成等比数列，可得，即，解得（0舍去），数列前8项的和为．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为：.（2）由（1）知：，所以.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.已知为坐标原点，点和点，动点满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程.【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支；（2）或【解析】。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_4
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故可得，故选C.2.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件采用排除法即可选出答案.【详解】对于A,当时显然无意义，故不成立，错误；对于B, 时不成立，故错误；对于C,时显然不成立，故错误；因此选D.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，注意使用排除法，属于中档题.3.已知等差数列中，，，则的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】由等差数列的性质得，，，故选A.4.不等式的解集是( )A. {x|x＜－8或x＞－3}B. {x|x≤－8或x＞－3}C. {x|－3≤x≤2}D. {x|－3＜x≤2}【答案】B【解析】【分析】先将分式不等式转化为整式不等式，再解二次不等式即可得解.【详解】解:因为,所以,所以 ,解得或,故选：B.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，主要要注意分母不为0，重点考查了二次不等式的解法及运算能力，属基础题.5.等比数列中, 则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.【详解】，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.【点睛】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．6.等差数列，，，则此数列前项和等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=所以S20=故选D7.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为( )A. 5B. 5C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，得，再结合三角形的性质及正弦定理可得三角形的最大边长，得解.【详解】解：由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，则，因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大，由正弦定理可得，，故选:A.【点睛】本题考查了三角形的性质及三角形基本量的运算，重点考查了正弦定理，属基础题.8.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.9.若实数a，b满足a＋b＝2，则的最小值是( )A. 18B. 6C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由重要不等式可得，再根据a＋b＝2，代入即可得解.【详解】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有，当且仅当，即时取等号，故选:B.【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.10.若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )A. m<－2或m>2B. －2<m<2C. m≠±2D. 1<m<3【答案】A【解析】【分析】由二次函数f(x)＝－x2＋mx－1开口向下，又f(x)的函数值有正值，则图像与轴有两个交点，即，求解即可.【详解】解：因为f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则，整理得，解得m<－2或m>2，故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的图像，重点考查了函数的最值，属基础题.11.△ABC中, 如果, 那么△ABC是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.考点：正弦定理在三角形中的应用.12.在中, ，那么满足条件的 ( )A. 有一个B. 有两个C. 不存在D. 不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可得：，满足条件不存在，满足条件的不存在，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若数列满足，，则_____________；前8项的和______________.（用数字作答）【答案】 (1). 16 (2). 255【解析】【分析】利用递推式推导出数列为等比数列，利用通项公式和求和公式，代入即可求解, 属于基础题.【详解】由知是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前项和公式知【点睛】本题考察求通项和求前n项和的问题，属于基础题.14.给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出成立的有_____．(填序号)【答案】①②④【解析】【分析】由的充要条件为，再判断的充分条件即可.【详解】因为的充要条件为，对于①，当b>0>a时，能够推出；对于②，当0>a>b时，能够推出；对于③，当a>0>b时，则，不能推出；对于④，当a>b>0时，能够推出.故答案：①②④.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了充分条件，属基础题.15.在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC为______三角形．【答案】等腰直角【解析】【分析】由B＝2A，得，由正弦的二倍角公式可得，又b＝a，由正弦定理可得，再运算即可得解.【详解】解：因为在△ABC中，若b＝a，B＝2A，所以，即，由正弦定理，则又b＝a，所以，又，所以，即，即△ABC为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状及正弦的二倍角公式，重点考查了运算能力，属基础题.16.函数的值域为________．【答案】(-∞，-2]【解析】令，由对勾函数可知，则的值域为。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_16
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设，则一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误．【详解】因为，选项A中，取，，可知，因此不正确；选项B中，取，，可知和不存在，因此不正确；选项C中，取，，可知，因此不正确；选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题.2.若数列满足，，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.【详解】因为，，所以，，故选：C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.3.若，，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，求出的最大值，得到答案.【详解】因为，，且，由基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题.4.若数列满足，则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，根据裂项相消法求出其前项的和.【详解】因为所以前项和.故选：C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设是任意实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案.【详解】根据基本不等式可知，所以由可以得到，当，，时，满足，但不满足所以由不能得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率得到椭圆的，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案.【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为，离心率为，所以由，得，而太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以地球到太阳的最小距离为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出与之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，设与直线交于点，由题意可知为线段的中点，所以，又因，所以，，在中，，，可得，，故，，根据椭圆的定义，得，即，得，所以，所以椭圆离心率.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是函数的零点，得到的大小关系，从而得到成等差数列和等比数列的情况，得到关于的方程，求出的值，从而得到【详解】因为是函数的两个不同的零点，所以，，可得都是正数，由，可得，所以，不妨假设，这三个数可适当排序后成等差数列，则需按从大到小或从小到大排列，为的等差中项，即或成等差数列，所以，这三个数可适当排序后成等比数列，则需为的等比中项，即或成等比数列，即所以解得，，（舍去负值）从而得到，，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.不等式的解集为________________.【答案】.【解析】试题分析：将原不等式变形为，∴不等式的解集为.考点：解一元二次不等式.10.命题“”的否定是____________．【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.【详解】椭圆的标准方程为，从而得到点的纵坐标的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.12.已知数列的前项和，且，则______.【答案】【解析】【分析】由，得到关于的方程，得到的值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】问题转化为对恒成立，根据基本不等式，得到的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式对恒成立，所以问题转化对恒成立，即，因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，所以得到.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则______；数列的前项和______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等积数列的定义，得到，，，，，得到为周期为的数列，从而得到数列的第三项以及前项的和.【详解】数列是等积数列，，公积为，所以，，，所以前项的和，有个，个，所以，得到当为偶数时，，有个，个，所以，得到当为奇数时，所以故答案为：，.【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求证：.（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？【答案】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.【解析】【分析】（1）通过作差法，进行证明；（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）当时，，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的值最小，最小值是.【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设是等差数列，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最小值；（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，.因为，，成等比数列，所以，即有，解得，则.（2）由（1）中等差数列的通项，所以的前项和，由于为自然数，可得或时，取得最小值.（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，设为第项，和相同，则，设根据与的公差不相等，可知由，得，即，由和相同，得到则，即整理得，因为且，所以方程无解.故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用，等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）求使的的取值范围；（3）写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）.【解析】【分析】（1）根据解一元二次不等式，得到答案；（2）按，，进行分类讨论，得到满足的的取值范围；（3）由（2）可知满足题意.【详解】（1）当时，，所以不等式，即为所以解集为.（2）由，可得，即，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（3）由（2）可知，当时，，恒成立，所以“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件为.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.已知椭圆两个焦点分别是，，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？【答案】（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因为椭圆的焦点分别是，，所以，将点代入椭圆方程得，根据，得到，，所以椭圆的标准方程为.（2）直线与椭圆联立，，得，则，①当，即，解得，方程有两个不同的实数根，即直线与椭圆有两个公共点；②当，即，解得或，方程有两个相同的实数根，即直线与椭圆只有一个公共点；③当，即，解得或，方程没有实数根，即直线与椭圆没有公共点；【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设是等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）求；（3）在和之间插入个数，其中，，使这个数成等差数列.记插入的个数的和为，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据得到公比，再结合，得到的通项；（2）由（1）得到的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；（3）根据个数成等差数列，得到，再由，从而解得的值，得到的最大值.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，因为，所以；（2），所以；（3）因为，所以，因为在和之间插入个数，这个数成等差数列，所以，设的第项最大，则，即，解得，所以或时，取得最大值，.【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求椭圆长半轴长；（2）求最大值；（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，因为离心率为，所以，而，所以，所以求椭圆长半轴长为；（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，可知当为长轴时候最长，此时.（3）由对称性可知、两点关于原点对称，所以设，则，不妨假设，则直线的方程为，令，得到，所以，同理，所以，所以而在椭圆上，所以，即，所以.所以的面积与的面积的乘积为定值.【点睛】本题考查椭圆几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设，则一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误．【详解】因为，选项A中，取，，可知，因此不正确；选项B中，取，，可知和不存在，因此不正确；选项C中，取，，可知，因此不正确；选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题.2.若数列满足，，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.【详解】因为，，所以，，故选：C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.3.若，，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，求出的最大值，得到答案.【详解】因为，，且，由基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题.4.若数列满足，则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，根据裂项相消法求出其前项的和.【详解】因为所以前项和.故选：C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设是任意实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案.【详解】根据基本不等式可知，所以由可以得到，当，，时，满足，但不满足所以由不能得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率得到椭圆的，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案.【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为，离心率为，所以由，得，而太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以地球到太阳的最小距离为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出与之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，设与直线交于点，由题意可知为线段的中点，所以，又因，所以，，在中，，，可得，，故，，根据椭圆的定义，得，即，得，所以，所以椭圆离心率.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是函数的零点，得到的大小关系，从而得到成等差数列和等比数列的情况，得到关于的方程，求出的值，从而得到【详解】因为是函数的两个不同的零点，所以，，可得都是正数，由，可得，所以，不妨假设，这三个数可适当排序后成等差数列，则需按从大到小或从小到大排列，为的等差中项，即或成等差数列，所以，这三个数可适当排序后成等比数列，则需为的等比中项，即或成等比数列，即所以解得，，（舍去负值）从而得到，，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.不等式的解集为________________.【答案】.【解析】试题分析：将原不等式变形为，∴不等式的解集为.考点：解一元二次不等式.10.命题“”的否定是____________．【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.【详解】椭圆的标准方程为，从而得到点的纵坐标的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.12.已知数列的前项和，且，则______.【答案】【解析】【分析】由，得到关于的方程，得到的值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】问题转化为对恒成立，根据基本不等式，得到的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式对恒成立，所以问题转化对恒成立，即，因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，所以得到.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则______；数列的前项和______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等积数列的定义，得到，，，，，得到为周期为的数列，从而得到数列的第三项以及前项的和.【详解】数列是等积数列，，公积为，所以，，，所以前项的和，有个，个，所以，得到当为偶数时，，有个，个，所以，得到当为奇数时，所以故答案为：，.【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求证：.（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？【答案】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.【解析】【分析】（1）通过作差法，进行证明；（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）当时，，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的值最小，最小值是.【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设是等差数列，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最小值；（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，.因为，，成等比数列，所以，即有，解得，则.（2）由（1）中等差数列的通项，所以的前项和，由于为自然数，可得或时，取得最小值.（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，设为第项，和相同，则，设根据与的公差不相等，可知由，得，即，由和相同，得到则，即整理得，因为且，所以方程无解.故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用，等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）求使的的取值范围；（3）写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）.【解析】【分析】（1）根据解一元二次不等式，得到答案；（2）按，，进行分类讨论，得到满足的的取值范围；（3）由（2）可知满足题意.【详解】（1）当时，，所以不等式，即为所以解集为.（2）由，可得，即，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（3）由（2）可知，当时，，恒成立，所以“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件为.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.已知椭圆两个焦点分别是，，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？【答案】（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因为椭圆的焦点分别是，，所以，将点代入椭圆方程得，根据，得到，，所以椭圆的标准方程为.（2）直线与椭圆联立，，得，则，①当，即，解得，方程有两个不同的实数根，即直线与椭圆有两个公共点；②当，即，解得或，方程有两个相同的实数根，即直线与椭圆只有一个公共点；③当，即，解得或，方程没有实数根，即直线与椭圆没有公共点；【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设是等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）求；（3）在和之间插入个数，其中，，使这个数成等差数列.记插入的个数的和为，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据得到公比，再结合，得到的通项；（2）由（1）得到的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；（3）根据个数成等差数列，得到，再由，从而解得的值，得到的最大值.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，因为，所以；（2），所以；（3）因为，所以，因为在和之间插入个数，这个数成等差数列，所以，设的第项最大，则，即，解得，所以或时，取得最大值，.【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求椭圆长半轴长；（2）求最大值；（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，因为离心率为，所以，而，所以，所以求椭圆长半轴长为；（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，可知当为长轴时候最长，此时.（3）由对称性可知、两点关于原点对称，所以设，则，不妨假设，则直线的方程为，令，得到，所以，同理，所以，所以而在椭圆上，所以，即，所以.所以的面积与的面积的乘积为定值.【点睛】本题考查椭圆几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.。
学2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析) 2)
学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设,命题“若且,则”的逆否命题是( )A. 若且,则B. 若或,则C. 若,则且D. 若,则或【答案】D【解析】【分析】直接利用逆否命题的定义解答得解.【详解】命题“若且,则”的逆否命题是“若,则或”，故答案为D【点睛】本题主要考查逆否命题的定义和逻辑联结词的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2. 椭圆的焦距为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得椭圆的焦点在轴上且，由焦距可得：，代入公式即可得解.【详解】由，设短轴长为，可知：椭圆的焦点在轴上，且，由焦距可得：，所以由，所以，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆的基本性质，是概念题，属于基础题.3. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cmA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意先求大椭圆离心率为，根据两个椭圆的离心率相同，小椭圆的离心率为，再根据小椭圆的短轴长为10cm，代入公式即可得解.【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即cm，由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.【点睛】本题考查了利用离心率求椭圆基本量的问题，考查了公式的理解应用，属于基础题.4. 命题“且”与命题“或”都是假命题，则下列判断正确的是（）A. 命题“且”是真命题B. 命题“”与“”至少有一个是假命题C. 命题“”与“”真假相同D. 命题“”与“”真假不同【答案】A【解析】【分析】由已知条件可知、均为假命题，再由复合命题的真假可判断各选项的正误.【详解】由于命题“且”与命题“或”都是假命题，则、均为假命题.所以，命题“且”是真命题，命题“”与“”都为真命题，命题“”与“”真假不同，命题“”与“”真假相同.故选：A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假判断复合命题的真假，解题的关键就是判断出两个简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题.5. 已知点为椭圆上的任意一点，为原点，满足，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点坐标为，则有，设，根据，可得：，代入椭圆方程即可得解.【详解】设点坐标为，则有，，根据，可得：，代入椭圆方程可得：，故选：B.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹方程，题型相对比较典型，解题关键是根据条件联系变量之间的关系，属于基础题.6. 设，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果．【详解】解：，是两个非零向量，则，，，．．，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是．故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力．7. 直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法，两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设，，两式相减得，即，当时，，因为点是的中点，所以，，解得：故选：A【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.8. 已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. ＋1 D. －1【答案】C【解析】试题分析：如图所示，，∵两条曲线交点的连线过点Ｆ，∴两条曲线交点为（），代入双曲线方程得１，又，化简得，，，，故选C.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.9. 已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，，又由椭圆的方程为，其中，则有，，联立可得，则△的面积；故选：C．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．10. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图像，准线于，设圆心，坐标为求到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点到圆心的距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值，可得当三点共线时，距离之和最小，代入数值即可得解.【详解】如图，准线于，设圆心，坐标为求到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点到圆心的距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值，由点到直线的距离垂线段最短，可得当三点共线时，距离之和最小，此时，此时点为与圆的交点，所以到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线和圆的最短距离问题，考查了抛物线的定义以及点和圆的位置关系，主要考查了转化思想，计算量不大，属于基础题.11. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由线段的中垂线过点得，设交轴于点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则，带值即可得解.【详解】由线段的中垂线过点得，设交轴于点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则，故，即，故，即.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围问题，考查了椭圆和几何关系的结合，关键点是正确的把几何关系转化为数量关系，属于基础题.12. 已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点.若，，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，，由椭圆定义知，所以，所以，故点为椭圆的上（下）顶点，即，由，得，代入椭圆方程即可得解.【详解】设，则，，由椭圆定义知，所以，所以，故点为椭圆的上（下）顶点，即，由，得，点在椭圆上，故，解得，又由，可得，故椭圆方程为.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数量关系，考查了转化思想，有一定的计算量，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；详解】由题意得：，双曲线的方程为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题.15. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【答案】2米【解析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为米．考点：抛物线的应用16. 圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是________①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点【答案】①②④⑤【解析】【分析】由题设条件线段垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.【详解】（1）因为为圆内的一定点，为上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，可得，即动点到两定点的距离之和为定值，①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆；②当重合时，点的轨迹是圆；（2）当为圆外的一定点，为上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，可得，即动点到两定点的距离之差为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：以为焦点的双曲线；（3）当为圆上的一定点，为上的一动点，此时点的轨迹是圆心.综上可得：点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.故答案为：①②④⑤【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. 的内角的对边分别为，已知，，.（1）求边；（2）设为边上的一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，求得，在中，由余弦定理列出方程，即可求解；（2）在中，由余弦定理求得，再在中，利用正弦定理，求得，得到点是的中点，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，在中，因为，由余弦定理，可得，解得，或（舍去）.（2）如图所示，在中，由余弦定理，可得在中，，所以，所以是的中点，所以的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18. 已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）bn＝log2an＝log24n＝2n，∁n an4n 4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】（Ⅰ）由和得，∴.设等比数列的公比为，∵∴，计算得出∴（Ⅱ）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均等边三角形,为中点.（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）平面（Ⅱ）二面角的余弦值为【解析】【详解】证明：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，SO=SA，从而OA2+SO2=SA2，所以△SOA为直角三角形，.又AO∩BC=O，所以SO⊥平面ABC.（Ⅱ）解法一：取SC中点M, 连结AM,OM, 由（Ⅰ）知, 得OM⊥SC，AM⊥SC.为二面角的平面角.由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC得AO⊥平面SBC，所以AO⊥OM.又，故所以二面角的余弦值为解法二：以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设B(1,0,0)，则SC的中点，.故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角.所以二面角的余弦值为20. 设抛物线的焦点为，是抛物线上的点.（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由是抛物线上的点，代入方程可得抛物线的方程；（2）设，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义求出直线的斜率，进而得出直线方程．【详解】（1）因为是抛物线上的点，所以，又，解得，则抛物线C的方程为.（2）设，设直线方程为由得，由抛物线的定义知则解得，所以直线的方程为【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程和定义，属于中档题．21. 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【答案】(1) (2)见解析【解析】【详解】解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，则由于,当时为减函数，则在上为减函数当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．22. 已知椭圆左、右焦点为、，，若圆方程，且圆心满足.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，过与垂直的直线交圆于两点，为线段中点，求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标以及圆心满足求得椭圆的标准方程；（2）若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，可求出的面积；的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，分别求出弦长和点到的距离，代入面积公式中，利用的范围求出的面积的取值范围．【详解】（1）由题意可知：，，，故，从而，，椭圆的方程为（2）①若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，此时②的斜率存在时，设，设，，由，消，得，，，，，直线与椭圆相交，故，即，为线段中点，，又，，，又点到的距离，令，则，令，在单调递减，故综上，【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式和面积公式，考查换元法求最值，属于中档题．学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设,命题“若且,则”的逆否命题是( )A. 若且,则B. 若或,则C. 若,则且D. 若,则或【答案】D【解析】【分析】直接利用逆否命题的定义解答得解.【详解】命题“若且,则”的逆否命题是“若,则或”，故答案为D【点睛】本题主要考查逆否命题的定义和逻辑联结词的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2. 椭圆的焦距为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得椭圆的焦点在轴上且，由焦距可得：，代入公式即可得解.【详解】由，设短轴长为，可知：椭圆的焦点在轴上，且，由焦距可得：，所以由，所以，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆的基本性质，是概念题，属于基础题.3. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cmA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意先求大椭圆离心率为，根据两个椭圆的离心率相同，小椭圆的离心率为，再根据小椭圆的短轴长为10cm，代入公式即可得解.【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即cm，由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.【点睛】本题考查了利用离心率求椭圆基本量的问题，考查了公式的理解应用，属于基础题.4. 命题“且”与命题“或”都是假命题，则下列判断正确的是（）A. 命题“且”是真命题B. 命题“”与“”至少有一个是假命题C. 命题“”与“”真假相同D. 命题“”与“”真假不同【答案】A【解析】【分析】由已知条件可知、均为假命题，再由复合命题的真假可判断各选项的正误.【详解】由于命题“且”与命题“或”都是假命题，则、均为假命题.所以，命题“且”是真命题，命题“”与“”都为真命题，命题“”与“”真假不同，命题“”与“”真假相同.故选：A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假判断复合命题的真假，解题的关键就是判断出两个简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题.5. 已知点为椭圆上的任意一点，为原点，满足，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点坐标为，则有，设，根据，可得：，代入椭圆方程即可得解.【详解】设点坐标为，则有，，根据，可得：，代入椭圆方程可得：，故选：B.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹方程，题型相对比较典型，解题关键是根据条件联系变量之间的关系，属于基础题.6. 设，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果．【详解】解：，是两个非零向量，则，，，．．，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是．故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力．7. 直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法，两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设，，两式相减得，即，当时，，因为点是的中点，所以，，解得：故选：A【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.8. 已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. ＋1 D. －1【答案】C【解析】试题分析：如图所示，，∵两条曲线交点的连线过点Ｆ，∴两条曲线交点为（），代入双曲线方程得１，又，化简得，，，，故选C.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.9. 已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，，又由椭圆的方程为，其中，则有，，联立可得，则△的面积；故选：C．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．10. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图像，准线于，设圆心，坐标为求到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点到圆心的距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值，可得当三点共线时，距离之和最小，代入数值即可得解.【详解】如图，准线于，设圆心，坐标为求到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点到圆心的距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值，由点到直线的距离垂线段最短，可得当三点共线时，距离之和最小，此时，此时点为与圆的交点，所以到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线和圆的最短距离问题，考查了抛物线的定义以及点和圆的位置关系，主要考查了转化思想，计算量不大，属于基础题.11. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由线段的中垂线过点得，设交轴于点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则，带值即可得解.【详解】由线段的中垂线过点得，设交轴于点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则，故，即，故，即.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围问题，考查了椭圆和几何关系的结合，关键点是正确的把几何关系转化为数量关系，属于基础题.12. 已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点.若，，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，，由椭圆定义知，所以，所以，故点为椭圆的上（下）顶点，即，由，得，代入椭圆方程即可得解.【详解】设，则，，由椭圆定义知，所以，所以，故点为椭圆的上（下）顶点，即，由，得，点在椭圆上，故，解得，又由，可得，故椭圆方程为.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数量关系，考查了转化思想，有一定的计算量，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；详解】由题意得：，双曲线的方程为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题.15. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【答案】2米【解析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为米．考点：抛物线的应用16. 圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是________①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点【答案】①②④⑤【解析】【分析】由题设条件线段垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.。
2019-2020年高二上学期期中质量检测数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期期中质量检测数学试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若，，则有（）A． B． C． D．2．不等式的解集为（）A．B．C．D．3．数列的通项公式，则此数列（）A．是首项为5的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是公差为2的等差数列D．是公差为的等差数列4．如果数列是等比数列，那么（）A．数列是等比数列B．数列是等比数列C．数列是等比数列D．数列是等比数列5．在△中，已知，则（）A．B．C．D．或6．在△中，若，则为（）A．B．C．或D．或7．已知△中，，，，则△的面积为（）A．9 B．18 C．D．8．已知，满足约束条件0,1,1,x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则的最大值为（）A．B．C．D．9．在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为（）A．B．C．D．10．下列不等式中，对任意都成立的是（）A． B． C． D．11．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项的和为（）A．130 B．170 C．210 D．26012．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若，，则、的大小关系为 ．14．在△中，已知，则△的形状是 ．15．已知数列的前项和，则 ．16．若实数，满足，则的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知数列是一个等差数列，且，．求：（1）的通项；（2）前项和的最大值．19．（本小题满分12分）证明不等式：，，，444()a b c abc a b c ++≥++．20．（本小题满分12分）设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，． （1）求的大小；（2）若，，求．21．（本小题满分12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．求：（1）数列的通项公式；（2）求数列的前项和．22．（本小题满分12分）某工厂家具车间造、型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张、型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张、型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张、型桌子分别获利润xx 元和3000元，试问工厂每天应生产、型桌子各多少张，才能获利润最大？。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_18
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）命题p：“∀x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）A. ,B. ,C. D.在等比数列{an}中，a3=2，a5=8，则a4=（）A. 4B. 5C.D.若a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.设0＜x＜1，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（）A. aB. bC. cD. 不能确定在等比数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（）A. 2nB. 3nC.D.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A. 4B. 2C.D.设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（）A. 是等比数列B. ,,,,或,,,,是等比数列C. ,,,,和,,,,均是等比数列D. ,,,,和,,,,均是等比数列,且公比相同设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x （0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（本大题共6小题）数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N*），则a7= ______ ．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______ ．（填序号，只有一个正确选项）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn=2n-1，则a+a22+…+an2=______．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999-12-20标示澳门回归日，中央靠下有23-50标示澳门面积约为23.50 平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 共100 个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2 中对角线上数字（从左上到右下）之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．(1)若a3=4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．已知命题：“∃x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x2-x-m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．已知p：（x+1）（2-x）≥0，q：关于x的不等式x2+2mx-m+6＞0恒成立．（1）当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和．（1）求a1、d和Tn；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．已知无穷数列{an}（an∈Z）的前n项和为Sn，记S1，S2，…，Sn中奇数的个数为bn．（Ⅰ）若an=n，请写出数列{bn}的前5项；（Ⅱ）求证：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若ai=bi，i=1，2，3，…，求数列{an}的通项公式．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）命题p：“∀x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）A. ,B. ,C. D.在等比数列{an}中，a3=2，a5=8，则a4=（）A. 4B. 5C.D.若a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.设0＜x＜1，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（）A. aB. bC. cD. 不能确定在等比数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（）A. 2n B. 3n C. D.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A. 4B. 2C.D.设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（）A. 是等比数列B. ,,,,或,,,,是等比数列C. ,,,,和,,,,均是等比数列D. ,,,,和,,,,均是等比数列,且公比相同设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（本大题共6小题）数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N*），则a7= ______ ．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______ ．（填序号，只有一个正确选项）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn=2n-1，则a+a22+…+an2=______．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999-12-20标示澳门回归日，中央靠下有23-50标示澳门面积约为23.50 平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 共100 个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2 中对角线上数字（从左上到右下）之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．(1)若a3=4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．已知命题：“∃x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x2-x-m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．已知p：（x+1）（2-x）≥0，q：关于x的不等式x2+2mx-m+6＞0恒成立．（1）当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和．（1）求a1、d和Tn；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．已知无穷数列{an}（an∈Z）的前n项和为Sn，记S1，S2，…，Sn中奇数的个数为bn．（Ⅰ）若an=n，请写出数列{bn}的前5项；（Ⅱ）求证：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若ai=bi，i=1，2，3，…，求数列{an}的通项公式．。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试题 含答案(V)(可打印修改)
A．15
B．30
C．31
D．64
3．锐角中，角、所对的边长分别为、，若，则角等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 4 : 5 ，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．已知数列的前 n 项和，则的值为（ ）
A．80
B．40
C．20
D．10
6．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是( ）
A．
B．
C．
D．
高二数学试卷 邢弘引
第 II 卷
二、填空题（共 4 题，共计 20 分） 13．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，米，并在点测得 塔顶的仰角为，则塔高 ．
14．设等比数列的前项和为，已知，则
.
15．已知在中，，，，若有两解，则的取值范围是____．
，所以，则 sin A sin B sin A sin(1200 A) 3 sin A 3 cos A 3 sin( A 300 ) ，当时，
2
2
有最大值，此时最大值为，故选 C．
考点：三角函数的性质；正弦定理．
9．B
【解析】
试题分析：因为是等差数列，又前四项之和为 20，，且最后四项之和为 60，
当时， 2 5 8
26 29 2 ．
所以，解得，．故 D 正确．
考点：数列．
13．
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理，得 BC sin1200 10 10 3m ，在中， sin 300
AB BC tan 600 10 3 3 30m ．
考点：三角形的实际应用． 【方法点晴】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定 理、直角三角形的性质、三角函数的定义等知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中正 确的理解题意，恰当选择三角形，利用正、余弦定理求解是解答的关键． 14． 【解析】 试题分析：由等比数列的连续项和成等比的性质可知，将代入可得.故本题填. 考点：等比数列的性质
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山东省平度市第九中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题本试卷共4页，23题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线:20l x +=的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．双曲线2212x y -=的虚轴长为（ ）AB ．1C ．2D．3．已知直线1:220l x ay ++=与直线2:l (1)320a x y -++=平行，则a =（ ）A ．3B ．2-C ．2-或3D ．54．观察数列1ln 2,sin 3,4,ln 5,sin 6,7,ln8,sin 9L L ，，则该数列的第20项为（ ）A ．2020B ．20C ．sin 20D ．ln 205．若点P 在椭圆22:143x y C +=上，21,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，且1290F PF ∠=︒，则21PF F ∆的面积为（ ）AB ．3C ．4D ．16．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，*N n ∈，234,9S a ==，则2413a a a a +=+（ ）A ．13B ．34C ．3D ．27．已知圆221:4C x y +=与圆222:68240C x y x y ++--=，则两圆的位置关系为（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆．设地球的半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为12,r r ，则卫星轨道的离心率为（ ） A ．21122r r R r r ++-B ．21122r r R r r +++C ．11222r R r r +-D ．21222r R r r +-9．已知直线:10l x ay ++=与圆22:(1)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，若||AB =，则实数a =（ ）A ．34-B ．54C ．1D ．1- 10．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*N n ∈，120S >，130S <，则n S 的最大值为（ ）A ．5SB ．6SC ．7SD ．12S二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ）A ．10x y -+=B ．03=-+y xC ．02=-y xD ．01=--y x12．已知椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在y 轴上，且短轴长为2点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于,P Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆方程为2213y x += B ．椭圆方程为2213x y +=C ．3PQ =D ．2PF Q ∆的周长为13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l F ，直线l与抛物线C 交于点,A B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若||4AF =，则以下结论正确的是（ ）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．||2||BD BF =D ．||2BF =三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14．若抛物线的准线方程为2y =，则该抛物线的标准方程是 ．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线:220200l x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率e = ．16．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差不为零，若236,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前8项和为 ．17．已知圆22(2)1x y +-=上一动点A ，定点(6,1)B ，x 轴上一点W ，则||||AW BW +的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，326a S ==，*N n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2(1)(1)n n n b a a =-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．19．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，圆C 的圆心在直线0x y -=上，且圆C 经过点(2,0)P 和点(Q -．（1）求圆C 的标准方程； （2）求经过点(21)M ，且与圆C 恰有1个公共点的直线的方程．20．（本题满分14分）已知O 为坐标原点，点(2,0)G -和点(2,0)H ，动点P 满足：||||2PG PH -=． （1）说明动点P 的轨迹W 是何种曲线并求曲线W 的方程；（2）若抛物线2:2(0)Z y px p =>的焦点F 恰为曲线W 的顶点，过点F 的直线l 与抛物线Z 交于M ，N 两点，||8MN =，求直线l 的方程．21．（本题满分14分）已知O 为坐标原点，定点(1,0)F ，定直线:4l x =，动点P 到直线l 的距离为d ，且满足：||12PF d =． （1）求动点P 的轨迹曲线W 的方程；（2）若直线:m y x t =+与曲线W 交于A ，B 两点，求AOB ∆面积的最大值．22．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，*N n ∈．（1）证明：数列{1}n S +为等比数列；（2）已知曲线:n C 22(19)1n x a y +-=，若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33()log ()22n n n a ab =⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．23．（本题满分14分）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，右顶点为B ，离心率2e =，圆222:3O x y +=与直线AB 相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,,D E F 为椭圆C 上的三个动点，直线,,EF DE DF 的斜率分别为1212,,(0)k k k kk k ≠． （ⅰ）若EF 的中点为1(1,)2W ，求直线EF 的方程； （ⅱ）若1212k k =-，证明：直线EF 过定点．答案及评分标准一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分． A C B D B C D A A B二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分． 11．ABC ； 12．ACD ； 13．ABC .三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14．28x y =-； 1516．48-； 17．1.四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为326a S ==，所以112626a d a d +=⎧⎨+=⎩， ··················· 2分解得12a d == ····························· 4分所以数列{}n a 的通项公式为：2(1)22n a n n =+-⨯=*(N )n ∈ ········ 6分（2）由（1）知：2211(1)(1)(21)(21)2121n n n b a a n n n n ===--+-+-+ ···· 9分所以11211121121...5131311<+-=+--++-+-=n n n T n ·········· 12分19. （本小题满分14分）解: （1）由题意得，直线PQ的斜率13k =-， PQ 中点的坐标为1(22，， · 2分 所以PQ中垂线的方程为1)2y x =-，即为y = ········· 4分由y xy =⎧⎪⎨=⎪⎩得，圆心(0,0)C ，所以||2r CP ==所以圆C 的标准方程为：224x y += ···················· 6分 （2）①若所求直线的斜率不存在，则直线方程为2x =，满足题意 ······· 8分 ②若所求直线的斜率存在，设为k则所求直线方程为：1(2)y k x -=-，即为210kx y k --+= ········· 9分 因为该直线与圆C 恰有1个公共点，所以圆心到直线距离2d ==，解得34k =- ············· 12分 此时，直线方程为34100x y +-= ····················· 13分 由①②得，所求直线方程为：2x =或34100x y +-= ············ 14分20．（本小题满分14分） 解：（1）因为||||2PG PH -=所以，由双曲线的定义得：W 是以(2,0)G -，(2,0)H 为焦点的双曲线的右支 ·· 3分又22,1a a ==，2c =，所以2223,b c a b =-==所以曲线W 的方程为：221(1)3y x x -=≥ ·················· 6分 （2）因为曲线W 的顶点为(1,0)F ，所以抛物线Z 的方程为：24y x = ····· 7分 设直线)1(:-=x k y l ·························· 8分 由2(1)4 y k x y x =-⎧⎨=⎩得，2222(2)0k x k x k -++= ················ 9分设11(,)M x y ，22(,)N x y由韦达定理得，21222(2)k x x k ++=由抛物线的定义知：12||1,||1,MF x NF x =+=+所以21222(2)||228k MN x x k +=++=+= ················· 12分 解得1k =± ······························· 13分 所以直线l 的方程为：1y x =-或1y x =-+ ················· 14分21．（本小题满分14分）解：（1）设点),(y x P12=， ············ 2分所以222)4(4)1(4-=+-x y x整理得点P 的轨迹方程为：13422=+y x ·················· 4分 （2）由22 143y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22784120x tx t ++-= ·············· 5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1287tx x +=-，2124127t x x -= ········· 6分由2226428(412)48(7)0t t t ∆=--=->得，207t << ··········· 7分12|||AB x x =-==············10分 点O 到直线m的距离d = ······················· 11分所以12AOBS ∆==·············12分≤=272t =时等号成立，满足0∆>）所以AOB ∆······················· 14分22．（本小题满分14分）解：（1）因为132n n S S +=+，12a =所以113(1)n n S S ++=+，11113S a +=+= ················· 3分所以3111=+++n n S S ，数列{1}n S +是首项为3且公比为3的等比数列 ······· 4分 （2）由（1）知：n n n S 33311=⨯=+-，所以13-=nn S ··········· 5分 当2≥n 时，1132--⨯=-=n n n n S S a ；又12a =适合上式；所以1*23(N )n n a n -=⨯∈ ························· 7分 因为曲线:n C 22(19)1n x a y +-=表示椭圆所以190n a ->且191n a -≠，即12319n -⨯<且12318n -⨯≠解得1n =或2n = ···························· 9分 （3）由题知：133()log ()322n n n n a ab n -=⨯=⨯ ················ 10分 所以1211123333n n H n -=⨯+⨯+⨯++⨯L L12313 132333(1)33n n n H n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L L所以12312133333n nn H n --=+++++-⨯L L ··············· 12分所以nn n n H 331)31(12⨯---⨯=-，所以4143)12(+-=n n n H ·········· 14分23. （本小题满分14分）解:（1）由题意，直线AB 的方程为：1x ya b+= ，即为0bx ay ab +-= 因为圆O 与直线AB=222223a b b a =+ ① ······ 2分 设椭圆的半焦距为c ，因为222b c a +=，2c e a ==，所以22212a b a -= ② · 3分 由①②得：222,1a b == ，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y += ······ 4分 （2）设00(,)D x y ，11(,)E x y ，22(,)F x y（ⅰ）因为,E F 在椭圆C 上，所以222212121,122x x y y +=+= ·········· 5分 两式做差得：2222121202x x y y -+-= ···················· 6分 整理得：121212121()2EF y y x xk x x y y -+==--+ ··················· 7分 因为EF 的中点为1(1,)2W ，所以122x x +=，121y y +=，1EF k =-所以此时直线EF 的方程为：32y x =-+·················· 8分 （ⅱ）设直线010:()DE y y k x x -=-，设直线020:()DF y y k x x -=-由01022()1 2y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：02)(2)(4)21(20100101221=--+-++x k y x x k y k x k · 9分所以101010214(),12k y k x x x k --+=+210101214(21)12k y k x x k -+-=+ ············ 10分同理：220202224(21)12k y k x x k -+-=+，因为1212k k =-，所以210102214(12)12k y k x x k +-=+ · 11分 所以120x x += ····························· 12分设直线EF 的方程为：y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：0224)21(222=-+++t ktx x k所以1224012ktx x k-+==+，所以0=t ··················· 13分 所以直线EF 过定点)0,0(O ························ 14分。