高中数学第2章函数2-1-2函数的表示方法(二)配套课件苏教版必修
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高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法课件苏教版必修108012158
____________．
【解析】 ∵f x－1x＝x2＋x12＝x－1x2＋2，
∴f (x)＝x2＋2(x≠0)．
第三十二页，共37页。
2．已知 f (x)是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则 f (x)＝________. 【解析】 设 f (x)＝kx＋b(k≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴kk＋－bb＝＝15，， ∴bk＝＝3－，2， ∴f (x)＝3x－2. 【答案】 3x－2
第二页，共37页。
[基础·初探] 教材整理 1 函数的表示方法 阅读教材 P33 开头至例 1，完成下列问题． 函数的表示方法
列表(liè biǎo)
等式(děngshì)
图象(tú xiànɡ)
第三页，共37页。
1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．( ) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．( ) (3)有些函数能用三种方法来表示．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√
第十五页，共37页。
3．配凑法：已知 f(g(x))的解析式，要求 f(x)时，可从 f(g(x))的解析式中拼凑出 “g(x)”，即用 g(x)来表示，再将解析式两边的 g(x)用 x 代替即可．
4．代入法：已知 y＝f(x)的解析式求 y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量 g(x)替换 y＝f(x)中的 x.
3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
第二十三页，共37页。
[再练一题] 2．例 2 中求 f (x)与直线 y＝b 的交点个数． 【解】 当 b<－1 时，y＝b 与 y＝f (x)有一个交点； 当－1≤b<0 时，y＝b 与 y＝f (x)有两个交点； 当 0≤b<3 时，y＝b 与 y＝f (x)有一个交点； 当 3≤b<8 时，y＝b 与 y＝f (x)有两个交点； 当 b≥8 时，y＝b 与 y＝f (x)有一个交点．
高中数学 第2章 函数2.1.1函数的概念和图象(一)配套课件 苏教版必修1
第一页，共24页。
2.1.1 函数的概念和图象(一)
【学习要求】 1．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素； 2．学会求某些函数的定义域； 3．掌握判定两个函数是否相同的方法； 4．理解静与动的辩证关系． 【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应法则在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要 性与重要性.
第二十一页，共24页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处 2．下列关于函数与区间的说法正确的是___④_____．(填序号)
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可 以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
(3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ____根__号__(ɡ_ē_n__h_à_o_)_内__的_式__子__不__小__于__零___的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ____使__各__部__分__式__子_都__有__意__义___________的实数的集合(即使每个部 分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合____实__际__意__义______的实数的集合.
第三页，共24页。
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下 疑难点 2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取
2.1.1 函数的概念和图象(一)
【学习要求】 1．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素； 2．学会求某些函数的定义域； 3．掌握判定两个函数是否相同的方法； 4．理解静与动的辩证关系． 【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应法则在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要 性与重要性.
第二十一页，共24页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处 2．下列关于函数与区间的说法正确的是___④_____．(填序号)
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可 以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
(3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ____根__号__(ɡ_ē_n__h_à_o_)_内__的_式__子__不__小__于__零___的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ____使__各__部__分__式__子_都__有__意__义___________的实数的集合(即使每个部 分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合____实__际__意__义______的实数的集合.
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填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下 疑难点 2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取
高中数学第2章函数2-1-1函数的概念和图象(二)配套课件苏教版必修
＝ f(x)的图象．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 函数的值域 问题 1 上一节我们从集合的角度定义了函数的定义域，那么 从集合与对应的角度如何定义函数的值域？
答 若 A 是函数 y＝f(x)的定义域，则对于 A 中的每一个 x， 都有一个输出值 y 与之对应．我们将所有输出值 y 组成的集 合{y|y＝f(x)，x∈A}称做函数的值域．
研一研•问题探究、课堂更高效
例 3 试画出函数 f(x)＝x2＋1 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较 f(－2)，f(1)，f(3)的大小； (2)若 0<x1<x2，试比较 f(x1)与 f(x2)的大小． 解 函数的图象如下：
(1)根据图 1，容易发现 f(－2)＝f(2)， f(3)>f(2)>f(1)，所以 f(3)>f(－2)>f(1)． (2)根据图 2 容易发现，当 0<x1<x2 时，f(x1)<f(x2)．
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，求函数 f(x)的值域．
解 ∵x＝1,2,3,4,5， ∴f(1)＝－1，f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝5，f(5)＝7， 即这个函数的值域为{－1,1,3,5,7}．
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探究点二 导引 函数的图象 在初中， 我们已学过函数的图象， 并能作出函数 y＝ 2x－ 1，
义域内的图象要画成实线， 定义域外的要画成虚线或者不画； 若给出的函数的定义域是开区间，函数图象的端点要画成虚 点，若给出的函数的定义域是闭区间，函数图象的端点要画 成实点．
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跟踪训练 2 画出函数 f(x)＝(x－1)2＋ 1，x∈[－1,4]的图象．
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探究点一 函数的值域 问题 1 上一节我们从集合的角度定义了函数的定义域，那么 从集合与对应的角度如何定义函数的值域？
答 若 A 是函数 y＝f(x)的定义域，则对于 A 中的每一个 x， 都有一个输出值 y 与之对应．我们将所有输出值 y 组成的集 合{y|y＝f(x)，x∈A}称做函数的值域．
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例 3 试画出函数 f(x)＝x2＋1 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较 f(－2)，f(1)，f(3)的大小； (2)若 0<x1<x2，试比较 f(x1)与 f(x2)的大小． 解 函数的图象如下：
(1)根据图 1，容易发现 f(－2)＝f(2)， f(3)>f(2)>f(1)，所以 f(3)>f(－2)>f(1)． (2)根据图 2 容易发现，当 0<x1<x2 时，f(x1)<f(x2)．
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，求函数 f(x)的值域．
解 ∵x＝1,2,3,4,5， ∴f(1)＝－1，f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝5，f(5)＝7， 即这个函数的值域为{－1,1,3,5,7}．
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探究点二 导引 函数的图象 在初中， 我们已学过函数的图象， 并能作出函数 y＝ 2x－ 1，
义域内的图象要画成实线， 定义域外的要画成虚线或者不画； 若给出的函数的定义域是开区间，函数图象的端点要画成虚 点，若给出的函数的定义域是闭区间，函数图象的端点要画 成实点．
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跟踪训练 2 画出函数 f(x)＝(x－1)2＋ 1，x∈[－1,4]的图象．
高中数学2.1.2函数的表示方法(2)教案苏教版必修1
2.1.2 函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A= {1 , 2, 3, 4} , B= {1 , 3, 5}，试写出从集合A到集合B的两个函数.2．问题．函数f （x）= | x|与f （x）= x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1. 画出函数f （x）= |x|的图象；2. 根据实际情况,能准确地写出分段函数的表达式.三、数学建构1.分段函数：在定义域内不同的部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数.（1）分段函数是一个函数,而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线, 也可能是由几条曲线共同组成；5）分段函数的图象未必是不连续,不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数,如反比例函数的图象;(6)分段函数是生活中最常见的函数.四、数学运用1.例题.例1某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费•试写出收费额关于路程的函数解析式.例2如图，梯形OAB各顶点的坐标分别为O0 , 0) , A(6 , 0) , B(4 , 2) , Q2 , 2).条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A 点为止.设直线I与x轴的交点为M OW x，记梯形被直线I截得的在I左侧的图形的面积为y.求函数y =f(x )的解析式、定义域、值域.例3 将函数f(x) = | x+ 1| + | X—2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f(x) 的值域.2•练习：练习1:课本35页第7题，36页第9题.练习2:「x—1 (x> 0)(1) 画出函数f (x) = ■< 1 x(X V的图象.x2—1, x》0, 1(2) 若f(x) = [2X+ 1, x V c求f( —1)，f(0)，f(2)，f(f(—1)) ,f(f(0)) ,f(f(^)的值.(3) 试比较函数f (x) = | x + 1| + | x|与g(x) = |2 x + 1|是否为同一函数.(4) 定义[x]表示不大于x的最大整数，试作出函数f(x) = [x] (x € [ —1,3))的图象.并将其表示成分段函数.练习3:如图，点P在边长为2的正方形边上按A^ B^ C^ D^A的方向移动，试将AP表示成移动的距离x的函数.五、回顾小结分段函数的表示T分段函数的定义域T分段函数的图象;含绝对值的函数常与分段函数有关;利用对称变换构造函数的图象.六、作业课堂作业：课本35页习题第3题，36页第10，12题；课后探究：已知函数f(x) = 2x —1 ( x€ R),试作出函数f(| X|) , |f(x)|的图象.。
高中数学2.1.2函数的表示方法(2)课件苏教版必修.pptx
x＜－0．5 x≥－0．5
－2x－1
g(x)＝ 1 2x＋1
x＜－1 －1≤x＜0
x≥0
y f(x)＝| 2x＋1|
x O y
g(x)＝| x＋1| ＋| x| x
O
数学应用：
x2－1，x≥0， 3f(．f(0若.5f)()x的)＝值．2x＋1，x＜0求．f(－1)，f(0)，f(2)，f(f(－1))，f(f(0))，
x＜－1 －1≤x＜2
x≥2
y
f (x)
x O
数学应用：
2．函数f(x)＝| 2x＋1|与g(x)＝| x＋1| ＋| x| 是同一函数吗？ 列表对比：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
531来自135
7
g(x)
5
3
1
1
3
5
7
画出函数f(x)与g(x)的图象．
数学应用：
－2x－1，
f(x)＝ 2x＋1，
高中数学 必修1
2.1.2 函数的表示方法（2）
情境问题:
列表法 函数的表示法 解析法
图象法
如果函数y＝f(x) 在不同的区间上具有不同的对应法则呢?
数学应用:
例1．某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元 收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函 数解析式．
小结：
1．分段函数与分类讨论．
2．分段函数的应用 ．
注：分段函数不是几个函数，而是一个完整的函数，只是在不同的区 间上具有不同的对应关系．
作业：
P32第3，10，12题．
实际问题中，分段函数是常见的函数模型．
高中数学 2.1.2 函数的表示方法课件 苏教版必修1
2元, 试分别用解析法、列表法、图象法将y表示
成xx 1,2,3, 4的函数, 并指出函数的值域.
解 1解析法: y 2x, x 1,2,3,4 .
2列表法:
y
x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8
8
6
3图象法:图象由点1,2、 2,4 、3,6、4,8 组成, 如图
所示.
函数的值域是2,4,6,8 .
4
2
0 123 4 5 x
例2 画出函数 f x | x |的图象,并求 f 3, f 3, f 1, f 1的值,
x,x 0,
解 因为 f x | x | x , x 0 ,
所以函数 f x的图象为过原点且
例2例3中的函数具有共同特点: 在定义 域 内 不 同 部 分 上, 有 不 同 的 解 式 表 达 式. 像这样的函数通常叫做 分段函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数.
练1 某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5
个笔记本需要元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
2一物体从静止开始下落,下落的距离ym与 下落时间xs之间近似地满足关系y 4.9x2.若
一物体下落2s, 你能求出它下落的距离吗? 在第二个问题中,物体下落时间x 与下落距离y
的函数关系为y 4.9x2 x 0.这种用等式来
表示两个变量之间函数关系的方法称 为 解析 法.这个等式通常叫做函数的解析表达式, 简称
平分第一、第二象限的一条折线,
如图所示.其中 f 3 3, f 3 3, f 1 1, f 1 1.
高中数学 第2章 函数2.1.2函数的表示方法(二)配套课件 苏教版必修1
答 通常分三步，即列表、描点、连线．
第八页，共20页。
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例2 画出函数 f(x)＝|x|的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)， f(1)的值． 解 由绝对值的概念，有 f(x)＝－x，x，x≥x<0，0. 所以，函数 f(x)＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的 一条折线，如下图所示，
第十八页，共20页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
落实处
－2x－1 x≤－2，
＝3
－2<x≤1，
2x＋1 x>1.
在相应的 x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，
即为所求函数的图象．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为 R，值域为[3，＋∞)．
第十九页，共20页。
1．求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼 凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据 题目特点选用不同的方法求解．
解析 ∵－3<0，∴f(－3)＝2×(－3)＋1＝－5.
第十七页，共20页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成落 实处 3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分 段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为三部 分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y＝|x－1|＋|x＋2|
析式为
y＝77， ＋2.4x－3，
0<x≤3， x>3
即 y＝72， .4x－0.2，
0<x≤3， x>3.
第八页，共20页。
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例2 画出函数 f(x)＝|x|的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)， f(1)的值． 解 由绝对值的概念，有 f(x)＝－x，x，x≥x<0，0. 所以，函数 f(x)＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的 一条折线，如下图所示，
第十八页，共20页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
落实处
－2x－1 x≤－2，
＝3
－2<x≤1，
2x＋1 x>1.
在相应的 x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，
即为所求函数的图象．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为 R，值域为[3，＋∞)．
第十九页，共20页。
1．求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼 凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据 题目特点选用不同的方法求解．
解析 ∵－3<0，∴f(－3)＝2×(－3)＋1＝－5.
第十七页，共20页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成落 实处 3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分 段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为三部 分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y＝|x－1|＋|x＋2|
析式为
y＝77， ＋2.4x－3，
0<x≤3， x>3
即 y＝72， .4x－0.2，
0<x≤3， x>3.
高中数学 2.1函数及其表示方法配套课件 苏教版
(4)已知f(x)满足2f(x)+f( )=3x，求f(x)的解析(jiě xī)式. 1
【解题指南】求f(x)的解析(jiěx xī)式是寻找函数的自变量x与f(x)之
间的关系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程思想等.
第二十九页，共56页。
【规范(guīfàn)解答】(1)∵xf(
1 )= x2 x
(3)设集合A={x|y=
},集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=_____.
x2
第八页，共56页。
【解析】(1)①否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； ②否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同； ③否，函数f(x)与g(x)的值域不同； ④是,函数f(x)= =x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一(tóngyī)函数.
于集合A中的__每__一_个__(元yī素ɡè) 对于A中的__每__一__个__元_
x,在集合B中都有_惟__一__(的wéiyī)_素_，在B中都有_惟__一_的
_元__素__(_y和uá它n 对sù应)y
_元__素__与之对应
y=f(x),x∈A
f:A→B
第三页，共56页。
【即时应用】
(1)判断下列对应是否是函数.(请在括号中填“是”或“否”)
【反思·感悟】 1.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出 不等式(组)，从而求解. 2.f(g(x))的定义域为［a,b］,指的是x的取值范围(fànwéi)是 ［a,b］,而不是g(x)的取值范围(fànwéi)是［a,b］. 3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判 断单调性则用单调性法求解；若能满足用均值不等式的条件，则用 均值不等式求解.
高中数学 第2章 函数2.1.2函数的表示方法(一)配套课件 苏教版必修1
第十六页，共23页。
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例 3 设二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(2－x)，且 f(x)＝0 的两实根平 方和为 10，图象过点(0,3)，求 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函
第二十一页，共23页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处
3．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)的解析式． 解 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
则有kkb2＝＋4b＝－1 ⇒k2＝ b＋2b＝－1
第二十页，共23页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成 落实处 2．已知 f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 g(x)＝____2_x_－__1______.
解析 由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令 t＝x＋2，则 x＝t－2，代 入 g(x＋2)＝2x＋3，则有 g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 所以 g(x)＝2x－1.
第二页，共23页。
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[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又 有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！” 用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday! …， 那 么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
第三页，共23页。
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
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例 3 设二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(2－x)，且 f(x)＝0 的两实根平 方和为 10，图象过点(0,3)，求 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函
第二十一页，共23页。
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3．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)的解析式． 解 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
则有kkb2＝＋4b＝－1 ⇒k2＝ b＋2b＝－1
第二十页，共23页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成 落实处 2．已知 f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 g(x)＝____2_x_－__1______.
解析 由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令 t＝x＋2，则 x＝t－2，代 入 g(x＋2)＝2x＋3，则有 g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 所以 g(x)＝2x－1.
第二页，共23页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng) 更高效
[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又 有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！” 用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday! …， 那 么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
第三页，共23页。
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
2019-2020学年苏教版必修一 第2章 2.2 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值 课件(48张)
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【例 3】 求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值． 思路点拨：f(x)的对称轴是 x＝a，a 是运动变化的，故求最值时， 应该讨论 a 与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．
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[解] ∵函数图象的对称轴是 x＝a，∴当 a<2 时，f(x)在[2,4]上 是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
(2)函数 f(x)＝2，1<x<2， 3，x≥2
的最大值是________．
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(1)1 (2)3 [(1)f(x)＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1) ＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.
(2)作出 f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.
]
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利用单调性求函数的最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x－x 1. (1)用函数单调性定义证明 f(x)＝x－x 1在(1，＋∞)上是单调减函 数； (2)求函数 f(x)＝x－x 1在区间[3,4]上的最大值与最小值．
(－∞，0)∪12，2 [函数 f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋ ∞)上也是减函数，而 x∈(－∞，1)∪[2,5)，
所以 y∈(－∞，0)∪12，2.]
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3．函数 y＝x2－2x－1 在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是 ________．
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[提示] (1)×.因为在定义域内找不到 x 使得 x2＝－1 成立． (2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确． (3)×.“＋∞”不是一个具体数．
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2.函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是 _________．
【例 3】 求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值． 思路点拨：f(x)的对称轴是 x＝a，a 是运动变化的，故求最值时， 应该讨论 a 与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．
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[解] ∵函数图象的对称轴是 x＝a，∴当 a<2 时，f(x)在[2,4]上 是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
(2)函数 f(x)＝2，1<x<2， 3，x≥2
的最大值是________．
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(1)1 (2)3 [(1)f(x)＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1) ＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.
(2)作出 f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.
]
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利用单调性求函数的最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x－x 1. (1)用函数单调性定义证明 f(x)＝x－x 1在(1，＋∞)上是单调减函 数； (2)求函数 f(x)＝x－x 1在区间[3,4]上的最大值与最小值．
(－∞，0)∪12，2 [函数 f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋ ∞)上也是减函数，而 x∈(－∞，1)∪[2,5)，
所以 y∈(－∞，0)∪12，2.]
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3．函数 y＝x2－2x－1 在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是 ________．
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[提示] (1)×.因为在定义域内找不到 x 使得 x2＝－1 成立． (2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确． (3)×.“＋∞”不是一个具体数．
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2.函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是 _________．
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研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 已知 y＝ f(x)的图象如右图所示，求 f(x)．
x＋1x<0， f(x)＝ －x0≤x≤1.
解
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例 3 某市出租汽车收费标准如下：在 3 km 以内(含 3 km)路 程按起步价 7 元收费，超过 3 km 以外的路程按 2.4 元 /km 收费．试写出收费额(单位：元)关于路程 (单位：km)的函数 解析式． 解 设路程为 x km 时，收费额为 y 元，则由题意得：当 x≤3 时，y＝7；当 x>3 时，按 2.4 元/km 所收费用为 2.4×(x－3)， 那么有 y＝7＋2.4×(x－3)．于是，收费额关于路程的函数解 析式为
互为相反数，如 f(x)、f(－ x)，通过对称代换构造一个对称方程组， 解方程组即得 f(x)的解析式．
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跟踪训练 1 设 f(x)满足关系式 f(x)＋2f(－x)＝3x，求 f(x)．
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝3x，
①
∴f(－x)＋2f(x)＝－3x，
①②联立得：f(x)＝－3x.
7， y＝ 7＋2.4x－3， 7， y＝ 2.4x－0.2，
0<x≤3， x>3 0<x≤3， x>3.
即
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小结 (1)分段函数的定义：例 2、例 3 中的函数具有共同特点：在
定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫 做分段函数．
答 根据已知条件构造出含有 f(x)与 f(－x)的另一个方程， 采 用解方程组的方法消去不需要的函数式，从而得到 f(x)的表 达式，此种方法称为消元法．
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1 例 1 已知函数 y＝f(x)满足 af(x)＋bf( )＝cx，其中 a、b、c x 都是非零常数，a≠± b，求函数 y＝f(x)的解析式． 1 1 c 解 在已知等式中，将 x 换成 ，得 af( )＋bf(x)＝ ，把它与原条 x x x
当 2.5<t≤3.5 时，s＝150； 当 3.5<t≤6.5 时，s＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325；
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60t， 0<t≤ 2.5， 2.5<t≤ 3.5， 所以， s＝150， － 50t＋ 325， 3.5<t≤ 6.5. 60， v＝0， 50， 0<t≤2.5， 2.5<t≤ 3.5， 3.5<t≤ 6.5.
解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分 段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为三部 分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y＝ |x－1|＋ |x＋2|
练一练•当堂检测、目标达成落实处
－ 2x－ 1 x≤－ 2， － 2<x≤ 1， ＝3 2x＋ 1 x>1 . 在相应的 x 取值范围内， 分别作出相应函数的图象， 即为所求函数的图象．
练一练•当堂检测、目标达成落实处
2 1 f ( x ) ＝ －x 1．已知 f(x)＋2f( )＝3x(x≠0)，则 f(x)的解析式为____________ ． x x 1 1 3 解析 由 f(x)＋2f( )＝3x 知 f( )＋2f(x)＝ . x x x 1 2 由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)＝ －x. x x
4．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定
解析式 的图象． 义域所对应的 ____________
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探究点一 导引
消元法求函数解析式
有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程 1 中同时含有 f(x)与 f(－x)或 f(x)与 f (x)， 那么如何求函数的解 析式？
填一填·知识要点、记下疑难点
1．在求函数解析式时，若已知以函数为元的方程形式，若能设法构 造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称 这个方法为消元法． 2．分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的
解析表达式 ，像这样的函数叫做分段函数． ________________
并 集，其值域是各段值域 3．分段函数定义域是各段定义域的 ________ 并 集． 的 ________
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为 R，值域为[3，＋∞)．
1．求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼 凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据 题目特点选用不同的方法求解． 2． 分段函数求值要先找准自变量所在的区间； 分段函数的定义 域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
②
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探究点二 分段函数 问题
答
作函数的图象通常分哪几步？
通常分三步，即列表、描点、连线．
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例2 画出函数 f(x)＝|x|的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)，
x，x≥0， f(x)＝ －x，x<0.
f(1)的值．
解 由绝对值的概念，有
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2x＋ 1 y＝ － 2x
2．若函数
x≤0 x>0
Байду номын сангаас
－5 ． ，则 f(－3)的值为________
解析 ∵－3<0，∴f(－3)＝2×(－3)＋1＝－5.
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3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．
所以，函数 f(x)＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的 一条折线，如下图所示，
其中 f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.
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小结
(1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域；(2)要标出关键
点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键 点是实心还是虚心；(3)要掌握常见函数图象的特征；(4)函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先 要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析表达式； 画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．
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跟踪训练 3 某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地，在 B 地停留 1 h 后，再以 50 km/h 的速度返回 A 地，把汽 车离开 A 地的路程 s(km)表示为时间 t(h)(从 A 地出发是开始)的函 数，再把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数． 150 解 从 A 地到 B 地所需时间为 ＝2.5(h)，从 B 地到 A 地所需 60 150 时间为 50 ＝3(h)， 所以，当 0<t≤2.5 时，s＝60t；
问题 1 在一个等式中同时含有 f(x)与 f(－x)能不能求出函数的 解析式？为什么？
答 不能．因为把 f(x)与 f(－x)分别看作未知数，那么这个等 式相当于一个二元方程，而一个二元方程求不出唯一的解．
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问题 2 仅仅利用“导引”中的条件，求不出函数的解析式，那 么如何创造条件来求出解析式？
2.1.2 函数的表示方法(二)
【学习要求】 1.进一步掌握求函数解析式的方法； 2.了解分段函数的定义； 3.学会求分段函数的定义域、值域； 4.学会运用函数图象来研究分段函数． 【学法指导】 通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段 函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高 分析问题、解决问题的能力 .
件式联立，得 1 afx＋bfx＝cx， af1＋bfx＝c. x x
① ②
2
b ①×a－②×b 得(a －b )f(x)＝c(ax－ )， x c b ∵a≠± b，∴f(x)＝ 2 (ax－ )(x≠0)． x a －b2
2
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小结
1 消元法适用于自变量的对称规律．互为倒数，如 f(x)、f( )； x