(新人教A)高三数学教案《不等式》复习

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高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

高考数学第一轮复习教案专题9不等式

专题九不等式一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。

高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。

四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3π≤B ＜2π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ⇒tg 2B=tgA ·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg 21tgCtgA -+∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ⋅=2tgB 即 tg 2B-1≥2∴tgB ≥3 ∵B ≥3π……这里，抓住了tg 2B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-tgCtgA ⋅-+1tgCtgA 隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgC tgA ⋅这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0⇒y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2-12.“相等”与“不等”的构造从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2≥2abⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)a b +ba≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x ２-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2⇒ x 2+y 2=a 2⇒y ≥0 ｜y ｜≤a例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2+b 2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b-≤2b -1a 22+ b 21a -≤2a -1b 22+两式相加得a 21b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -∴a 2+b 2=1例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcos θ途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1⇒ (0≤r ≤1) y=rsin θ②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x例5 求证：nn 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n＝1+n+21)-n(n +…∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正∴2n＞21)-n(n即n n 2＜1-n 2例6 为使不等式x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+410=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ⇒b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1∴0≤r ≤1∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4π)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.x+y=6 例8 求解方程组z 2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ⇒xy ≤9故z 2=xy-9≤9-9=0∴z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2π证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2π-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π)∴cos α＜cos(2π-β)＝sin βcos β＜cos(2π-α)=sin α从而2=βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +ααsin sin =2矛盾故α+β≤2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2π(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x ２-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.解：设y=2x 2-3x-k=f(x)①若方程2x 2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0f(-1)≥0 9+8k ≥0f(1)≥0 ⇔ 2+3-k ≥0 解之得：-89≤k ≤-1 -1＜43＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-89 ⇔ ⇔ -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-89,5］ 2.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x 1的最小值，若写成y=x 2+x1≥2xx 12⋅=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x 2·x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥3322121x x x ⋅⋅=2332，即y min ＝2332(显然(2332)3=427＜8 即2332＜2＝③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2π时求y=sinx+sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2xsin 4sin ⋅=4.但y min ＝４是错误的，因为当sinx=sinx4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t4在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a4b -4ac 2②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2+bx+c 的最值如下表当a ＜0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.例12 求y=4522++x x 的最值解：y=41422+++x x ＝4x 2++412+x令t=4x 2+≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =25 (三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22简析：x 2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60°o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 22z + CA=xz -x 22z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC2)对于一些含有“A ·B 或21(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2(c -a )2+(c )2=(a )2即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a 2+b 2=c 2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或22C bB aA BA +++”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a 2+b 2=R 2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知S n =1+21+31+…n1(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=2n 1++3n 1++…+12n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.略解：∵f(n)=2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-42n 1+)＞0∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=209 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜209 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(xyyx ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)与f(21)的关系.简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1++)=f(211111)21(11+-⋅+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)=f(1n 1+)-f(2n 1+)∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］=f(21)-f(2n 1+)＞f(21)(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2n 1+)＜0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为或或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1-x 1-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立当1-x 2=0时易得x=1f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当解之得217-＜x ＜231+且x ≠1 f(2)＞0 综上217-＜x ＜231+ 2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB证明：∵A+B=π-C ＞2π ∴2π＞A ＞2π-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB同理 sinB ＞cosCsinC ＞cosA三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题（一）二元一次不等式(组)与平面区域（1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案不等关系与不等式1

第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc 同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) 同正可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >ab解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.答案：C4．已知a <0，－10，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a 1aB.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a 1a不成立，选A.答案：A2．(2016·武汉调研)若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b 2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三比较大小|(1)若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－(a 2＋a ＋1)1－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0， ∴当1－a >0，即a <1时，－(a 2＋a ＋1)1－a <0，则有a ＋2<31－a.当1－a <0即a >1时，－(a 2＋a ＋1)1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a ，当a >1时，a ＋2>31－a .(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a；当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a；当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b 得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组考点能力演练1．已知1a <1b <0，则下列结论错误的是( )A ．a 22 C ．ab >b 2D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －bab >0，∴a －b >0，∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x ，y ＝x 3的单调性知C正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 20，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a ，故选C.答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④a y >bx 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a 0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b ，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。

高中数学不等式复习教案新人教版必修5 教案

（2）求不等式的解集
考点三：二元一次不等式的几何意义
在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某侧所有点组成的平面区域，其做法分两步：
1画直线确定边界。直线画成虚线表示区域不包含边界，画成实线表示区域包含边界；
2取特殊点确定区域。
例3下列位于表示的平面区域内的点是（）
A.(-4, 1) B.(2, 2)
教学用具
多媒体课件
教学重点
不等式性质的应用，能根据二元一次不等式组画出平面区域，会解一元二次不等式（组）。
教学难点
基本不等式的应用及简单的线性规划问题。
教学步骤及要点：
一、考纲导读
1.识记不等关系与不等式。
2.理解二元一次不等式（组）与平面区域。
3.掌握一元二次不等式及其解法、简单的线性规划问题。
4.应用基本不等式。
每个考点的知识回顾采用提问的形式，便于学生记忆。
共2块黑板，留一块给学生上台板书解题过程。
教学后记：
二、考点梳理
考点一：不等式的性质
(1)(对称性)如果a>b，那么ba；如果a<b，那么ba.
(2)(传递性)如果a>b，b>c，那么ac；如果a<b，b<c，那么ac.
(3)(加数原理)如果a>b，那么a＋cb＋c.
(4)(同向不等式相加)如果a>b，c>d，那么a＋cb＋d.
(5)(乘数原理)如果a>b，c>0，那么acbc；如果a>b，c<0，那么acbc．
(6)(同向正数不等式相乘)如果a>b>0，c>d>0，那么acbd．
(7)(正数不等式的乘方法则)如果a>b>0，那么anbn(n∈N*，n≥2)．

高年级不等式复习教案

高年级不等式复习教案
一、教学目标：
1. 理解不等式的基本概念和性质；
2. 掌握不等式的基本运算方法；
3. 能够解决简单的一元一次不等式；
4. 能够解决含有绝对值的不等式；
5. 发展逻辑思维和数学分析能力。

二、教学内容：
1. 不等式的概念和符号表示；
2. 不等式的性质和判断方法；
3. 不等式的基本运算法则；
4. 一元一次不等式的解法；
5. 含绝对值的不等式的解法。

三、教学过程：
1. 导入：通过生活中的例子引入不等式的概念，并解释不等式符号的意义。

2. 讲解：介绍不等式的基本性质和判断方法，以及不等式的基本运算法则。

3. 实践：讲解一元一次不等式的解法步骤，并提供练题进行实践。

4. 拓展：介绍含有绝对值的不等式的解法方法，并提供相关的练题。

5. 总结：总结不等式的基本概念和解法方法，并进行问题的回顾和再次强化练。

6. 展示：让学生展示他们的解题过程和答案，并进行评价和讨论。

四、教学评估：
1. 教学实测：通过解决实际问题的方式来评估学生对不等式的理解和运用能力。

2. 练评估：通过练题的完成情况和答题正确率来评估学生对不等式的掌握程度。

3. 课堂表现：观察学生课堂参与和表现的情况，评估他们对课堂内容的理解和兴趣程度。

五、教学资源：
1. 教材：高年级数学教材；
2. 白板和马克笔；
3. 练题。

注：教案内容可根据实际情况进行调整和灵活安排。

高中不等式复习教案

高中不等式复习教案简介本教案旨在帮助高中学生复和巩固不等式的概念和解题方法。

通过这些练和教学方式，学生将能够更好地理解不等式，并能独立解决相关问题。

目标- 理解不等式的定义和性质- 掌握不等式的基本运算规则- 学会使用不等式进行简单问题的解决教学内容1. 不等式的定义和性质讲解- 不等式的表示形式- 不等式的比较运算- 不等式的解集表示- 不等式性质的证明和应用2. 不等式的基本运算规则- 不等式的加法和减法运算规则- 不等式的乘法和除法运算规则- 不等式的绝对值运算3. 不等式的解题方法- 一元一次不等式的解法- 一元二次不等式的解法- 综合运用不等式解决实际问题教学步骤1. 介绍不等式的概念和背景知识，引发学生对不等式的兴趣和思考。

2. 通过示例和练，讲解不等式的定义和性质，帮助学生理解不等式的含义和解集表示。

3. 教授不等式的基本运算规则，包括加法、减法、乘法、除法和绝对值运算。

4. 根据学生掌握情况，进行相关的练和答疑，巩固基本运算规则。

5. 分阶段教授一元一次和一元二次不等式的解法，并通过例题帮助学生掌握解题方法。

6. 引导学生将所学知识应用于实际问题的解决，在实际问题中综合运用不等式进行求解。

7. 总结本次教学内容，提醒学生复重点，留出时间进行练和巩固。

教学资源- 教材- 题集- 白板、彩色笔等教学工具教学评价在教学过程中，可以通过以下方式对学生进行评价：- 课堂练成绩评定- 课后作业完成情况评估- 学生参与讨论和提问情况评价- 定期进行阶段性考试评估小结通过本次教学，学生将能够对不等式有更深入的理解，并能够独立解决与不等式相关的问题。

教师应根据学生的掌握情况及时调整教学方法和内容，确保学生能够全面掌握不等式的概念和解题方法。

高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思

高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。

2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。

三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。

高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。

高中数学教案不等式

高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。

教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。

教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。

二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。

三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。

四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。

五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。

六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。

七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。

教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。

要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。

高中数学第六章不等式教案

高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。

教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。

教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。

2. 介绍不等式的性质和基本性质。

三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。

2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。

四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。

五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。

2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。

六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。

七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。

高中数学第三章不等式复习教案新人教A版必修5

第三讲不等式一、核心要点 1、不等式的性质（1）不等式的基本性质：（同向不等式可加不可减，可乘不可除）（尽量减少加和乘的次数）A 、对称性：a b b a <⇔>；B 、传递性：c a c b b a >⇔>>,；C 、可加性：c b c a b a +>+⇔>；D 、可乘性：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,；E 、加法法则：d b c a d c b a +>+⇔>>,;F 、乘法法则：bd ac d c b a >⇔>>>>0,0;G 、乘方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a nn ; H 、开方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a n n.（2）比较两数或两式的大小方法：（作差法步骤：作差—变形——定号）A 、作差法：对于任意b a ,，①b a b a >⇔>-0；② b a b a =⇔=-0；③ b a b a <⇔<-0；B 、作商法：设0,0>>b a ，则①b a b a >⇔>1；② b a b a =⇔=1；③ b a ba<⇔<1. 备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-；平方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+. 2、不等式的解法；（1）一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 及)0(02><++a c bx ax 的解法：（0<a 转化为0>a ） A 、若方程02=++c bx ax 的0>∆且两实根分别为)(,2121x x x x <，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x <<；B 、若方程02=++c bx ax 的0=∆且两相等实根分别为21x x =，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ；C 、若方程02=++c bx ax 的0<∆，则不等式02>++c bx ax 的解集为R ，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ.（2）分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解（具体见模块）；（3）高次不等式的解法：序轴标根法（过程见模块）；（4）无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式（具体见模块）；（5）绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法（具体见模块）. 3、基本不等式：如果+∈R b a ,，则ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）（一正二定三相等）.（1）特例：0>a ，21≥+a a ；2≥+abb a （b a ,同号）. （2）变形：①2)(222b a b a +≥+；②222b a ab +≤；③2)(2b a ab +≤；（3）扩展：),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab ba .（备注：调和≤几何≤算术≤平方）. 4、均值定理：已知+∈R y x ,.（1）如果S y x =+（定值），则4)2(22S y x xy =+≤（当且仅当y x =时取“=”）“和定积最大”. （2）如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”）“积定和最小”. 5、判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法—“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、线性规划中常见代数式的几何意义：（1）22y x +表示点),(y x 与原点)0,0(之间的距离；（2）22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；（3）x y表示点),(y x 与原点)0,0(连线的斜率；（4）ax b y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质：题型一：不等式的性质：例1、如果c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，那么下列选项中不一定成立的是（） A 、ac ab > B 、0)(>-a b cC 、22ab cb <D 、0)(<-c a ac练1：设10<<<a b ，则下列不等式成立的是（）A 、12< C 、bam b m a >-- D 、abm b m a >-- 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式：例2、若0,>b a 且b a ≠，试比较33b a +与22ab b a +的大小.解：由于222222233))(()2)(()())(()()(b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a ab b a b a -+=+-+=+-+-+=+-+ 又0,>b a 且b a ≠，所以0))((2>-+b a b a ，所以2233ab b a b a +>+.练3：若0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小.答案：)(2))(())(())(())((2222222y x xy y x y x y x y x y x y x y x y x --=+---+=+---+由于0<<y x ，所以0<-y x 且02<-xy ，故0)(2>--y x xy ，所以))(())((2222y x y x y x y x +->-+.练习4：设0,0>>b a 且b a ≠，试比较b a b a 与a b b a 的大小.综上所述，a b b a b a b a >.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、（10辽宁理）已知41<+<-y x 且32<-<y x ，则y x z 32-=的取值范围是 . )8,3(所以8323<-<y x ，故y x z 32-=的取值范围是)8,3(.练习2：设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则)()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，得1,3==n m .所以)1()1(3)2(f f f +-=-.因为4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f .练习3：（10江苏）设y x ,为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是 . 27考点二、一元二次不等式及其解法：题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（） ①013)1(2<+-+x x m ；② 22>-x x；③0652≥++-x x ；④ 0)1)((<+++a x a x .A 、1B 、2C 、3D 、4题型二：简单一元二次不等式的求解：例2、求下列一元二次不等式的解集：（1）652>-x x ；（2）01442≤+-x x ；（3）672>+-x x ；（4）0962>-+-x x .解：（1）由652>-x x ，得0652>--x x . 又方程0652=--x x 的两根是1-=x 或6=x ，所以原不等式的解集为}61|{>-<x x x 或.（3）由672>+-x x ，得0672<+-x x ，而0672=+-x x 的两个根是1=x 或6=x . 所以不等式0672<+-x x 的解集为}61|{<<x x .（4）原不等式可化为0962<+-x x ，即0)3(2<-x ，所以不等式的解集为Φ. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集. 练1：求下列不等式的解集：（1）02322<++-x x ；（2）0622<-+-x x ；（3）01442>++x x ；（4）x x 10252≤+.练2：设集合}73)1(|{2+<-=x x x A ，则Z A I 中有个元素. 6 练3：解下列不等式：（1）01522>-+x x ；（2）122->x x ；（3）222-<x x . 答案：（1）}35|{>-<x x x 或；（2）}1,|{≠∈x R x x 且；（3）Φ. 题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于x 的不等式0222<-+a ax x .（因式分解—比较两根大小—分类讨论求解）解：原不等式可化为0))(2(<-+a x a x ，对应的一元二次方程的根为a x a x 2,21-==，（1）当0>a 时，21x x >，不等式的解集为}2|{a x a x <<-.（2）当0=a 时，原不等式化为02<x ，无解.（3）当0<a 时，21x x <，不等式的解集为}2|{a x a x -<<.综上所述，原不等式的解集为：0>a 时，}2|{a x a x <<-；0=a 时，Φ；0<a 时，}2|{a x a x -<<. [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．练4：解关于的不等式：（1）0)(322>++-a x a a x ；（2）04)1(22>++-x a ax .答案：（1）原不等式0)(322>++-a x a a x 可化为0))((2>--a x a x .①当0<a 时，2a a <，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ②当0=a 时，2a a =，所以原不等式的解集为}0,|{≠∈x R x x 且； ③当10<<a 时，2a a >，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ④当1=a 时，12==a a ，所以原不等式的解集为}1,|{≠∈x R x x 且； ⑤当1>a 时，，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或.（2） Ⅰ）当0=a 时，原不等式可化为042>+-x ，解得2<x ，所以原不等式的解集为}2|{<x x ；练5：解不等式02)2(2>---x m mx .答案：0)1)(2(02)2(2>-+⇒>---x mx x m mx（1）当0=m 时，原不等式转化为0)1(2>-x ，即01>-x ，得不等式的解集为}1|{>x x .考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、已知不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于所有的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解：若0=a ，则原不等式可化为01<--x ，即1->x ，不合题意，故0≠a .令1)1()(2-+-+=a x a ax x f ，因为原不等式对任意R x ∈都成立，所以二次函数)(x f 的图像在x 轴的下方.[题后感悟] 不等式恒成立问题方法总结：(1) )0(02≠>++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；(2) )0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ；练1：若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：当0=a 时，原不等式可化为022>+x ，其解集不为R ，故0=a 不满足题意，舍去；练2：若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）当012=-a ，即1±=a 时，（2）当012≠-a ，即1±≠a 时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)1(4)1(01222a a a ，练3：若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：因为2=a 时，原不等式为04<-，所以2=a 时成立.当2≠a 时，由题意得⎩⎨⎧<∆<- 002a ，即⎩⎨⎧<----< 0)4)(2(4)2(4 22a a a a ，解得22<<-a . 综上两种情况可知22≤<-a .题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、若不等式02≥++c bx ax 的解集为}21|{≤≤-x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集.(1) 给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知c b a ,,之间的关系；练4：已知不等式022>++bx ax 的解集为}11|{<<-x x ，求022<++a bx x 的解集所以320)2)(3(060122202222<<-⇔<+-⇔<--⇔<--⇔<++x x x x x x x a bx x .则不等式022<++a bx x 的解集为}32|{<<-x x .题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速h km /40的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m s 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：22005.005.001.01.0x x s x x s +=+=乙甲，.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．解：由题意，对于甲车，有1201.01.02>+x x ，即01200102>-+x x .解得30>x 或40-<x (舍去).这表明甲车的车速超过h km /30，但根据题意刹车距离略超过m 12，由此估计甲车不会超过限速h km /40. 对于乙车，有10005.005.02>+x x ，即02000102>-+x x .解得40>x 或50-<x (舍去).这表明乙车的车速超过h km /40，超过规定限速. [题后感悟] (1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行： ①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； ③解不等式(或求函数最值)； ④回扣实际问题．考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法：题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式（1）0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ；（2）0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ；（3）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥ 0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ；（4）⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 例1、（12重庆理）不等式0121≤+-x x 的解集为（） A 、]1,21(-B 、]1,21[-C 、),1[)21,(+∞--∞YD 、),1[]21,(+∞--∞Y练2：不等式31≤+x x 的解集是 . }210|{≥<x x x 或解析：21000)12(01202103131≥<⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒≥-⇒≤-⇒≤-+⇒≤+x x x x x x x x x x x x x 或.题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后x 的系数为正）. 例2、解不等式：0)2)(1)(1)(2(≤--++x x x x解：设)2)(1)(1)(2(--++=x x x x y ，则0=y 的根分别是2,1,1,2--，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是}21,12|{≤≤-≤≤-x x x 或.练3：（10全国Ⅱ）不等式0162>---x x x 的解集为（） A 、}32|{>-<x x x 或B 、}312|{<<-<x x x 或C 、}312|{><<-x x x 或D 、}3112|{<<<<-x x x 或练4：不等式02322>++-x x x 的解集是 . ),2()1,2(+∞--Y 题型三：无理不等式的解法：（化无理不等式为有理不等式）（1）⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x g x f x g x g x f ；（2）⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)( 0)(0)(x g x f x g x f . 例3、解不等式125->-x x .解：原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<-≥- 01025x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x ，解Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x ，解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22 1 25x x x ，即1<x 或21<≤x ，所以2<x ，则原不等式的解集为}2|{<x x . 练5：解不等式0231≤---x x 的解集.解：移项231-≤-x x ，则⎩⎨⎧-≥-≥-x x x 123 01⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤4331x x ⇒143≤≤x ，练6：解不等式（1）x x x 211322+>+-；（2）x x x 211322+<+-.解：（1）原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<+≥+- 02101322x x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(132 0210132x x x x x x则原不等式的解集为}0|{<x x .考点五：绝对值不等式的解法：（选修4—5）（1）a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||；（2）a x a x a x a a x -<>⇔>⇔>>或22)0(||；（3）a m x a m a m x a a a m x +<<-⇔<-<-⇔><-)0(||；（4）a m x a m x a m x a m x a a m x -<+>⇔-<->-⇔>>-或或)0(||. 例1、（08四川文科）不等式2||2<-x x 的解集为（） A 、)2,1(-B 、)1,1(-C 、)1,2(-D 、)2,2(-解析：)2,1(210202222||2222-∈⇔<<-∈⇔<-->+-⇔<-<-⇔<-x x R x x x x x x x x x 且且.练1：（04全国）不等式3|1|1<+<x 的解集为（） A 、)2,0(B 、)4,2()0,2(Y -C 、)0,4(-D 、)2,0()2,4(Y --解析： 24201133113|1|1-<<-<<⇔-<+<-<+<⇔<+<x x x x x 或或.练2：（07广东）设函数3|12|)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 . ]1,1[- 解析：21222|12|53|12|5)(+-≤-≤-⇔+-≤-⇔≤++-⇔≤x x x x x x x x f⎩⎨⎧≤≤-⇔≤-≥⇔⎩⎨⎧+-≤--≤-⇔1111212 122x x x x x x x 练3：（09山东）不等式0|2||12|<---x x 的解集为 . )1,1(-解析：0)2()12(|2||12||2||12|0|2||12|2222<---⇔-<-⇔-<-⇔<---x x x x x x x x110)]2()12)][(2()12[(<<-⇔<----+-⇔x x x x x .练4：若不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解：不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|3||4|-+-x x 表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意R x ∈恒成立，显然1|)3||4(|min =-+-x x ，又a x x >-+-min |)3||4(|，故1<a ，所以实数a 的取值范围是)1,(-∞.考点六：基本不等式和均值定理：（一正二定三相等）题型一：通过加减项配凑成基本不等式：例1、已知1>x ，求11-+x x 的最小值以及取得最小值时x 的值.练1：已知5<x ，求函数124+-=x y 的最大值.得132=+-≤y ，所以函数的最大值为1.练2：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值.练3：求41622++=x x y 的最大值.题型二：“1”的变换：例2、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练4：已知2,0,0=+>>b a b a ，则b a y 41+=的最小值是 .题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则：（1）ab 的取值范围是；),9[+∞（2）b a +的取值范围是 . ),6[+∞ 0)3(2=+-+t a t a ,04)3(2≥--=∆t t ，得9≥t 或1≤t （舍）.（2）判别式法，令)0(>=+t t b a ，则a t b -=，代入原式得3)(+=-t a t a ，整理得032=++-t at a ，0)3(42≥+-=∆t t ，解得6≥t 或者2-≤t （舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决. 练5：若0,>y x 满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 . 18 练6：若0,>y x 满足2=++xy y x ，则y x +的最小值是 .练7：（10重庆）已知0,>y x 满足822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（） A 、3B 、4C 、29D 、211 考点七：简单线性规划问题：题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤- 1122y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题：例2、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求112++=y x z 的取值范围.题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量y x ,满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量y x ,满足例1中的约束条件，且目标函数y ax z +=（其中0<a ）仅在)4,3(处取得最大值，求a 的取值范围.题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤- 1 22y x m y x y x ，且目标函数y x z 32+=在)6,4(处取得最大值，求m ，例7、已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--01553 0632 032y x y x y x ，求使y x +取得最大值的整数y x ,.解：不等式组的解集为三直线01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 的交点分别为C B A ,,，则的坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ，作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，所以当l 过C 点时最大为1963，但不是整数解，又由19750<<x 知x 可取3,2,1，当1=x 时，代入原不等式组得2-=y ，所以1-=+y x ；当2=x 时，得0=y 或1-，所以2=+y x 或1；当3=x 时，1-=y ，所以2=+y x ，故y x +的最大整数解为⎩⎨⎧==02y x 或⎩⎨⎧-==13y x .ABCxyO1l 3l2l练习：线性规划问题综合练习练1：若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤2 2 2y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（）A 、]6,2[B 、]5,2[C 、]6,3[D 、]5,3(练2：满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整数（横纵坐标都是整数）有（） A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个练3：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22y x z +=的最大值和最小值分别是（）A 、1 , 13B 、2 , 13C 、54, 13D 、552, 13 练4：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥-+ 2 03062y y x y x 表示的平面区域的面积为（）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大练5：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥+ 3055x y x y x ，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数个，则的值为（）A 、3-B 、3C 、1-D 、1练6：已知3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和)1,1(-，则m 的取值范围是（） A 、)6,3(-B 、)6,0(C 、)3,0(D 、)3,3(-练7：满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是（）A 、1B 、23 C 、2D 、3练8：若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数=m （）A 、2-B 、1-C 、1D 、2练9：已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+013042022y x y x y x ，试求11++=x y z 的最大值和最小值.结合图像可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即3max ==MB k z ，此时2,0==y x ；练10：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥ 222 x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为 . 8-练11：若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥- 022 0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .练12：已知平面区域D 由以)1,3()2,5()3,1(C B A 、、，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点),(y x 可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m . 1。

人教版高中数学《不等式》全套教案

ba 0
ab 0
∴
ba 0 ab
∴1<1 ab
当 a 0,b 0 时∵ | a | | b | 即 a b
ba 0
ab 0
∴b a 0 ab
∴ 1 >1 ab
5．若 a, b 0 求证： b 1 b a a
解： b 1 b a 0
a
a
∵a 0 ∴b a 0
∴a b
b a ba 0
∵a 0
∴b a
b 10
证：∵ (a c) (b c) a b 0 ∴ a c b c
从而可得移项法则： a b c a b ( b) c ( b) a c b
推论：如果 a b 且 c d ，那么 a c b d
（相加法则）
证： a b a c b c c d bc bd
ac bd
推论：如果 a b 且 c d ，那么 a c b d （相减法则）
aa
∴b 1 a
6．若 a b 0, c d 0 求证： log sin ac
log sin bd
证：∵ 0 sin 1
>1 ∴ log sin
0
又∵ a b 0, c d 0 ∴ a c b d
∴1
1
ac bd
∴原式成立
第三教时
教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及
2
ab （当且仅当 a b 时取“ =”）
证明：∵ ( a )2 ( b ) 2 2 ab
∴ a b 2 ab
即： a b ab 2
当且仅当 a b 时 a b ab 2
注意： 1．这个定理适用的范围： a R