线性规划在垃圾收集路线优化应用3..
城市生活垃圾收集与运输路线的优化
城市生活垃圾收集与运输路线的优化摘要：为了保证城市的生活环境更加清洁，提高人们的生活质量，进行城市生活垃圾的收集工作是十分重要的。
不仅要完成城市的生活垃圾收集，同时要保证垃圾的合理运输工作，将其进行统一处理，才能够避免破坏环境。
因此本文在分析的过程中，首先阐述了城市生活垃圾收集的一些问题，同时对于运输路线的优化问题进行了重点分析，明确现阶段一些主要矛盾。
既从管理角度入手，同时也从技术角度入手，希望能够有效的解决实际问题。
关键词：城市垃圾；运输路线；优化引言：在现阶段城市生活垃圾收集的过程中，其实涉及到很多的问题。
一方面是城市生活垃圾比较分散，另外一方面是城市生活垃圾种类比较多，想要进行更好的收集工作还是比较困难的。
既浪费了大量的时间，同时也产生了严重的成本问题。
同时在城市生活垃圾进行运输的过程中，更是要考虑到集中处理的问题，相对应的也需要对路线进行优化，才能够避免影响人们的生活，提高运输效率。
因此在研究的过程中，考虑到管理问题，同时也需要对其技术进行优化，推动城市生活垃圾收集与运输路线的高质量发展。
1.城市生活垃圾收集问题分析1.1城市垃圾较为复杂为了更好的解决实际问题，保证了城市环境更好，还需要对目前城市生活垃圾收集过程中一些常见问题进行重点分析。
尤其是对于城市生活垃圾的特点进行重点探索，能够为后期的工作打下良好的基础。
在目前的城市生活垃圾分类的过程中，一般包括玻璃，塑料，废纸，塑料垃圾等等，不同的垃圾需要进行不同的处理工作。
那么在收集的过程中，需要进行分类处理，避免垃圾较为混乱，避免产生严重的后果。
目前在我国城市生活垃圾进行处理的过程中面临着以下几个问题，一是城市生活垃圾产生的范围是比较广的，同时城市生活垃圾的量比较大。
而且大多数垃圾源于家庭所产生的垃圾，也遍布在人们所居住的各个区域内。
尤其是近些年来城市化进程加快，城市生活所产生一些垃圾更是越来越复杂，影响了城市垃圾的分类工作和收集工作。
不仅如此，在城市垃圾进行处理的过程中，也会发现很多垃圾成分比较复杂，所涉及到的问题比较多。
城市生活垃圾收运路线优化的数学模型与算法
收稿 日期 ：２００９一ｌｌ一２０ 基金项 目：国家大学生创新性实验计划项 目 （ＬＡ０８０３７）；中南大学教
育教学改革研究第五批项 目 作者 简 介 ：路 玉龙 （１９６９一）．男 ，中南大学本 科生 ，研究方 向 ：应 用数学 。
１ 问题描述
城 市生活垃 圾 收运 路 线优 化 问题 可 以描述 为 ： 某地 有一 车库 ，假设 该车库 拥有多辆 运输车 ，并 且该
． ．
【０ 否 则
３ 求解 算 法
垃圾 收运 问题可 以看成是 一种带 时间 窗的 车辆 路径 问题 ，当垃圾 收集 点的数量 增大时 ，问题 求解 的 难度 增 长迅速 。其 数学 模 型具 有 变 量多 ，容量 大 等 特点 ，求解其精确解难度极大。因此，在求解这类 大
：第 ｋ辆 车在第 ｉ个 节点 开始 收集 或者 卸载垃 规模 的路 径优 化 问题 时 ，大 多采 用启 发 式 方 法 。启
路 玉龙 ，赵扶摇 ，韩靖 ，张鸿雁
（１．中南大学 数学科学与计算技术学院．湖南 长沙 ４１００８３；２．中南大学 信息科学与工程学院 ，湖南 长沙 ４１００８３）
摘 要 ：给 出了城市生活垃圾收运路线优化问题 的一般描述 ，考虑时间窗、车容量等约束 ，以收运路线总行 程最
短 为 目标。建立 了该优化 问题 的数 学模型。设计 了求解谊问题的单一组合邻域搜 索算法 。随机邻域搜 索算法和
ｏｆ Ｍｕｎｉｃｉｐａｌ Ｄｏｍｅｓｔｉｃ Ｗ ａｓｔｅ Ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ
ｌｍ Ｙｕｌｏｎｇ ，Ｚｈａｏ Ｆｕｙａｏ ，Ｈａｎ Ｊｉｎｇ ，Ｚｈａｎｇ Ｈｏｎｇｙａｎ
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ ＵｒＩｉｖｅｒｓｉｔ）ｒ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｈｕｎａｎ ４１００８３，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔ ｉｏｎ Ｓ ｃ ｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ ｉｎｇ，Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｈｔｍａｎ ４１００８３，Ｃｈｉｎａ）
废旧汽车回收物流网络中选址―路径优化问题模型构建-精选文档
废旧汽车回收物流网络中选址―路径优化问题模型构建0 引言目前现有文献针对回收物流网络的构建的研究通常是将其细分为优化设施选址和车辆路径两个NP问题分别进行单独研究。
如Kirca和Erkip、Chang和Lin对中转站选址问题进行了研究。
而Angelelli 和Speranza 提出了用带中间设施的周期性车辆路径问题模型进行车辆路径规划。
本文结合废旧汽车在回收过程中的特征，以费用为目标，协同优化中转场和拆解中心选址问题以及车辆运输路径的选择问题。
1 废旧汽车回收物流网络构建废旧汽车回收物流网络构建的最终目标是要保证整个回收系统的固定投资和周期内的运行成本之和最低。
我们将其归纳为混合整数规划问题，由此构建数学模型。
1.1 符号和变量说明：废旧汽车回收物流系统中拆解中心候选点的集合；：废旧汽车回收物流系统中中转场候选点的集合；：废旧汽车回收物流系统中所有回收站点的集合；：废旧汽车回收系统中拆解中心和回收站点的集合；：废旧汽车回收系统中拆解中心和中转场的集合；：废旧汽车回收系统中中转场和回收站点的集合；：废旧汽车回收系统中拆解中心、中转场和回收站点的集合；：所有收集车辆的集合；：所有运输车辆的集合；fh：在拆解中心候选位置h处建立拆解中心的固定费用；fi：在j处建立中转场需要的固定建设费用；ca：收集车辆单位距离的行驶费用；cb：运输车辆单位距离的行驶费用；ph：拆解中心h的拆解能力；pj：中转场j的中转能力；Qa：收集车辆的额定载重量；Qb：运输车辆的额定载重量；N：中转场建成后的使用年限qir：在第r天回收站点i的收集量；dij：从点i到点j的直线距离（其中i∈V，j∈V）；模型变量定义如下：1.2 模型构建'目标函数（3-1）式表示系统中拆解中心建设成本和车辆运行成本最低；约束条件（3-2）式表示每个回收站点仅由一辆收集车辆负责收集；约束条件（3-3）式路径连续约束，表示达到任何节点的车辆必须离开该节点；约束条件（3-4）式为废旧汽车收集车辆容量约束；约束条件（3-5）式保证每辆收集车辆在每条收集路径上只经过一个拆解中心或中转场；约束条件（3-6）式表示拆解中心一旦为某个回收站点服务，则该拆解中心一定建设；约束条件（3-7）式表示中转场一旦为某个回收站点服务，则该中转场一定建设；约束条件（3-8）式表示周期内到达中转场的废旧汽车量不超过中转场的堆放能力；约束条件（3-9）式表示周期内到达拆解中心的废旧汽车量不超过拆解中心的堆放能力；约束条件（3-10）式表示周期内每个中转场只能被访问一次；约束条件（3-11）式表示回收量平衡约束约束条件（3-12）、（3-13）、（3-14）、（3-15）、（3-16）式为保证满足整数约束。
线性规划与最优化问题的解法
稻壳学院
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求解方法：使用 单纯形法、椭球 法等算法求解线 性规划问题
线性规划的几何解释
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线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直 线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化 或最小化某个目标函数。
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线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数 和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未 知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数， 约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括 确定最优的运输路线和数量，以最小化运 输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实 现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
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在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上 的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。 通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数 取得最大值或最小值的点，即最优解。
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线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快 速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于 资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题 在现实生活中 应用广泛，如 生产计划、资 源分配和运输
问题等。
线性规划的基 本概念包括变 量、约束条件 和目标函数。
线性规划问题 通常在凸集上 进行，这使得 问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求 最大或最小化的 线性函数
约束条件：决策 变量的限制条件
基于遗传算法的最优城市垃圾收运路线探究
（） １
３ 模型 的遗 传算 法设 计
结合上面 的两个优化模型 ， 因其复杂性一 般 的迭代 算法 很难求得全局最 优解 。下 面试 图运用 改进 的遗传 算法 进行
优化 和路线 的仿 真。改进 的遗传算 法的流程 如图 ｌ 。
第 ｋ辆车的出车次数为 ｋ ， ，次 出车 的路线为第 ｋ（ 第 ｆｆ＝１ ， ２…， ） ， ｋ 条子路径 ， 其包含 收集 站点 的数 目 ｎ Ｐ ， 示第 ｋ ｋ 表 ｆ 条路径 中 ｎ， 收集站 点组 成 ， 中 Ｐ ，＝１ ２ … ， ｉ ， 个 其 （ ， ， ｋ ； ＝１ ２ … ，ｂ 代表第 条子路径第 ｉ ， ｎ） 个收集站 的点 ， 车辆 在该点 收集 的垃圾量 为 ｇ 。 ％ ２ １２ 模型 的建立 ．． 通 常在路线优 化 中会考 虑总路 程 ， 于路 程最 短 ， 立 基 建 如下基于 收运 路程 的规 划模 型 ｌ ：
２ 基 于遗传 算 法的 Ｎ Ｐ模 型建 立
城市垃圾 收运 可简 单描述 为 ： 城 市有多 个行 政 区， 某 每 个 区内均有一个车库 ， 假设某一车库拥有最大装载 量为 Ｗ的 垃圾收集车 ｋ辆 ， 并且该 区的垃圾收集点 （ 待收集垃圾 的点 ）
有 Ｉ个 ， ｔ 该城市共有垃圾 中转站 Ｐ座 。每天 ｋ 垃圾 车从 车 辆
卸 时间设为 ｔ 。在考虑 作业 时间最短 目标 下 ， 立如 下基 ％ 建
于车辆行进 时间规划模 型 ２ ：
ｍｉ ｎＴ ＝
．
ｍ
Ｊ
，
ａ ｝ ｘ｛
每 ｍ
ｈ ｎ广
ｈ ｎ广
库 出发 ， 经过收集点收 集垃圾 ， 当垃圾 负载达 到最 大装 载量
时， 垃圾车运往 中转站 ， 中转站卸 下所有 收运 的垃圾 ， 在 然后
线性规划的方法及应用
线性规划的方法及应用1 引言运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一．2 线性规划的提出经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等．②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即≤=≥,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负．线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“≤”，也可以是“≥”，还可以是“=”，这种多样性给讨论带来不便. 为了便于讨论其一般解法，我们通常将线性规划问题的约束条件归结为线性方程和一组非负性限制条件，并且对目标函数统一成求最大值,也就是说,将线性规划问题的数学模型化成如下形式,并称它为线性规划问题的标准形式:),,2,1(..max11m i b x at s x c f ij nj ijjnj j ===∑∑==),,2,1(0n j x j =≥任何非标准形式的线性规划问题都能化成上述标准形式,这是由于不等式约束k j nj ijb x a≤∑=1等价于约束条件0,1≥=+++=∑k n k k n nj j ijx b x x a；不等式约束l j nj ijb x a≥∑=1等价于约束条件；0,1≥=-++=∑l n l l n nj j ijx b x x a这里增添的变量k n x +和l n x +称为松弛变量.还有,求函数f 的最小值解可转化为求函数f -的最 大值解.以下讨论线性规划问题时以标准型为主.3 线性规划的解法3.1 图解法满足约束条件的决策变量的一组值叫做这个线性规划的一个可行解;把所有可行解构成的集合叫做这个线性规划的可行域.因此,求解一个线性规划的问题,使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为线性规划的最优解.一般求解线性规划问题是讨论它的最优解．下面介绍只有两个决策变量的线性规划问题的图解法.例１ 用图解法求解21m axx x f +-=22..21-≥-x x t s2221≤-x x 521≤+x x12,0x x ≥解 第一步 先画出可行域 以21,x x 为坐标轴作直角坐标系,因为0,021≥≥x x ，所以问题的可行解必在第一象限（含坐标轴）；约束条件222-≥-x x 要求问题的可行解必在直线222-=-x x 的右下方的半平面上；约束条件2221≤-x x ，要求问题的可行解必在直线2221=-x x 的左上方的半平面上；约束条件521≤+x x ，要求问题的可行解必在直线521=+x x 的左下方的半平面上.因为所有的约束条件都必须同时满足,所以问题的可行解域必为闭区域4321Q Q Q OQ ,如图3.1.1中的阴影部分. 第二步 从可行域中找出最优解现在分析目标函数21x x f +-=,在坐标平面上,它可以看作是以f 为参数的一族平行线:f x x +=12位于同一条直线上的点,都有相同的目标函数值,因而称它为等值线.当f 由小变大时,直线f x x +=12沿其法线方向向左上方移动.当移动到2Q 点时,f 的取值最大,这就得出了本题的最优解,如图3.1.2 ,此时f 最大,得 3411max =+⨯-=f .显然用图解法求解线性规划问题时,简单直观；但是当决策变量多于两个的时候,用图解法就失效了.3.2 单纯形法这一方法是丹泽格在1947年提出的，它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划近30年．单纯形法是求解线性规划问题的最重要、最基本的方法，它的解题思路[7](p27)是：将线性规划问题化为标准型后，先找出一个单位可行基，对这个可行基给出可行解，然后用判定定理——称为检验数，判定其是否为最优解．若是，求解过程结束；若不是，在单位可行基的基础上，进行换基迭代，该过程叫做迭代，直到得出最优解或证明无最优解为止.它有很强的程序性,它的具体操作是从一张叫做初始表的表格开始的.初始表由四部分构成[7](p27-28):第一部分A A B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的系数矩阵.第二部分b b B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的常数项构成的列向量.第三部分是检验数C A CB --1 (B C 为单位可行基变量所对应的目标函数中的系数列向量;C 是目标函数的系数行向量).第四部分b C B 该数为目标函数值.它的表格形式为:例２ 用单纯形法求解 2136m axx x f +=40x 23..21≤+x t s 21421≤+x x12,0x x ≥ ．解 第一步 将原问题化为标准型 43210036m ax x x x x f +++=40x 23..321=++x x t s214421=++x x x )4,3,2,1(0=≥j x j ．第二步 观察原问题是否存在现成的单位可行基 因为约束方程组的系数矩阵为),,,(101401234321p p p p A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ，所以原问题存在现成的单位可行基()1341001B p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第三步 列出初始表，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-10140123)111A A B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-2140)211b b B ， 3)1B C 是目标函数中基变量43,x x 的系数构成的列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛00，)0,0,3,6()4111--=-=--C C A B C B ，15)0B C b = ，1346)B x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .由上面计算结果，列出初始表（如下表）表3.2.1第四步 判定由初始表知，检验数中含有负数，故可行解Tx )21,40,0,0(=不是最优解，还需 要进行迭代运算（若检验数均为非负数，则可行解即为最优解） 第五步 迭代运算迭代一：①确定主元在检验数中，找出最小负数。
对运筹学在城市垃圾处理中的应用研究-基于线性规划及动态规划方法
对运筹学在城市垃圾处理中的应用研究-基于线性规划及动态规划方法摘要：随着经济发展，城市化进程的加快，我国城市垃圾如何处理已成一大问题。
本文通过应用线性规划的知识，建立垃圾处理费用的线性规划的数学模型，并应用Lingo软件平台对其模型求解，表明该模型可以有效地减少垃圾处理费用。
之后考虑实际情况，通过对动态规划的应用，来解决垃圾场扩建问题。
关键词：城市垃圾；线性规划；Lingo软件；动态规划一、前言自改革开放以来，我国经济飞速发展，城市化进程不断加快。
随着城市的兴起，人民生活水平的提高，人民日常生活及生产消耗不断增加，城市垃圾也越来越多。
根据统计显示，我国每年有1.6亿吨垃圾在城市中产生，庞大的垃圾数量带来的是巨额的垃圾处理费用[1]。
巨额的垃圾处理费用给我国财政带来了巨大的压力，也成为了我国经济发展的一大阻碍。
由于垃圾数量的庞大，每优化一个垃圾处理环节，都可能节省一大笔费用，每节省一笔费用都可以用来城市发展，提升国力。
本文就对两个垃圾处理的重要环节（1.垃圾运输及处理费用。
2.垃圾场的扩建带来的收益。
）进行研究，运用线性规划知识及动态规划知识分别优化两个环节。
其中还应用了Lingo软件加以验证。
其实这两类问题所建立模型均属于目标规划模型。
本文采用简单但大众化的案例进行研究，旨在起到启发式作用。
1.目标规划模型目标规划模型是运筹学中常见的一类数学规划模型，由Charness和Cooper在1961年首次提出[2]。
2.Lingo软件介绍Lingo软件是由美国Lindo系统公司研制的，其是运筹学中常用的软件。
该软件可以解决运筹学中大部分问题，诸如线性规划、运输问题、非线性规划问题、灵敏度分析等问题，运用Lingo软件可以提高运算效率[3]。
2.线性规划线性规划的概念源于1947年军事行动计划中，主要用于求最优化问题中。
是运筹学中的一个有力的研究工具[4]。
线性规划研究的问题有两类：一类是如何使用有限的资源达到最大化收益；另一类是为了达到目标，如何安排为达到目标所经历的过程，以使消耗资源最少二、正文我国城市众多，在高速发展的城市中，每天产生的垃圾也是很多的。
基于随机游走的分类垃圾回收最优路径规划
基于随机游走的分类垃圾回收最优路径规划赵红霞;刘高森;李愈【摘要】分类垃圾回收是逆向物流的重要研究内容,物流路径越短意味着回收成本越少.在垃圾分类回收过程中,通过对垃圾的回收路径进行合并可以共享运输资源从而达到节约成本的作用,故本文将垃圾分类回收的路径规划问题假设为多源多目标的路径规划问题,并给出了路径集合中不含重复边的总长度优化模型.当网络规模增长到一定程度时,通过精确计算方法得到模型的最优值几乎是不可能的,为此提出了一种基于随机游走的最优路径集合选取算法.模拟实验验证了该方法的有效性和高效性,与基于Dijkstra算法的最短路径求和算法相比不仅准确性高,而且具有很高的执行效率.【期刊名称】《交通运输工程与信息学报》【年(卷),期】2018(016)003【总页数】6页(P103-108)【关键词】物流路径;优化方法;随机游走;网络采样【作者】赵红霞;刘高森;李愈【作者单位】西南交通大学,交通运输与物流学院,成都610031;成都铁路局,调度所,成都610081;西南交通大学,交通运输与物流学院,成都610031【正文语种】中文【中图分类】N945在中国，城镇化以及城市经济的快速发展加速了城市固体垃圾的产生，这些固体垃圾的管理与回收成为当前逆向物流面临的严峻挑战之一[1]。
纵观全世界，美国、日本、德国、新加坡等发达国家已经对城市垃圾的管理与回收建立了相应的法律法规[2]。
在城市垃圾的管理与回收中，对垃圾的分类回收是关键环节之一。
通过对垃圾进行分类回收可以提高资源的重复使用，并减小有毒有害物质带来的污染。
在垃圾回收的研究中，回收路径的选择是最重要的研究内容之一[3]。
城市的交通是由网状结构组成，各种不同类型的垃圾分布在网状结构的任意角落，而垃圾回收点往往按照回收垃圾的种类分布在网络中的多个节点。
在垃圾回收过程中，不仅要考虑运输的成本，还要考虑时间因素，如垃圾的最佳处理时间，腐烂变质带来的潜在危害等[4]。
线性规划在垃圾收集路线优化应用3..
软件计算得到最优解为：
x11＝150，x21＝100，x31＝90，x41＝0，x12＝ 0，x22＝0，x32＝40，x42＝160 该城市按上面计算结果进行收集运输和处理 处置，其费用最省，每日为10820元。 计算过程详见程序求解
2、模型拓展
（1）目标函数
K N N K S＝ min X ik Cik Fk X ik k 1 i 1 i 1 k 1
9x1 + 4x2 ≤3500 4x1 + 5x2 ≤2000 3x1 +10x2 ≤3000 x1， x2 ≥0
以上是一个简单的线性规划数学模型建立过程。
2、模型特点 线性规划就是在满足一组线性约束和变量 为非负的限制条件下，求多变量线性函数 的最优值（最大值或最小值）。
决策变量：即决策人要考虑和控制的因素， 必须非负； 约束条件：一组线性等式或不等式； 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z的 最大或最小。
引例
某工厂经理为了确定该厂生产两种产品的最优生 产方案，根据产品的单位产值、产品对三种原材 料的单位消耗以及三种原材料的供应限量，如何 安排生产获得利润最大？具体数据如下表所示：
原材料 钢材(kg) 铜材(kg) 专用设备 利润(元/台) 产品一 9 4 3台时 700 产品二 4 5 10台时 1200 原材料供应限量 3500 2000 3000台时
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【例题】某城市的生活垃圾按四个区域进行收集运 输。收集的垃圾可以送两个处理、处置场处理，其 垃圾产生量及处理、处置场处理处置能力，及运输 费用情况如下表： 垃圾产生量及运费表1
垃圾发生源 垃圾产生量 收集运输费用（Ci）（元/t） （区域）（i） （t/d） 处理、处置场1 处理、处置场2
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
灵活应用线性规划知识轻松解决中考优化问题
灵活应用线性规划知识轻松解决中考优化问题在中考数学中，优化问题常常令许多同学感到头疼。
然而，当我们掌握了线性规划知识，这些问题就会变得不再棘手。
线性规划作为数学中的一个重要工具，能够帮助我们在各种实际情境中找到最优解，实现资源的最优配置和效益的最大化。
首先，让我们来了解一下什么是线性规划。
简单来说，线性规划就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
这些约束条件通常是以不等式的形式给出，而目标函数则是一个关于变量的线性表达式。
比如说，有一个生产问题：某工厂生产 A、B 两种产品，生产一件A 产品需要消耗 2 个单位的原材料和 1 个单位的劳动力，生产一件 B 产品需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的劳动力。
现拥有 100 个单位的原材料和 80 个单位的劳动力，A 产品的利润为 5 元/件，B 产品的利润为 8 元/件。
那么，怎样安排生产才能使利润最大呢？在这个问题中，我们可以设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。
则约束条件为：2x ＋3y ≤ 100 （原材料限制）x ＋2y ≤ 80 （劳动力限制）x ≥ 0 ，y ≥ 0 （产品数量不能为负数）目标函数为：Z ＝ 5x ＋ 8y （总利润）接下来，我们要通过画图的方法来解决这个线性规划问题。
先画出约束条件所对应的直线：2x ＋ 3y ＝ 100 ，当 x ＝ 0 时，y ＝ 100/3；当 y ＝ 0 时，x ＝ 50 ，连接这两点得到直线。
x ＋ 2y ＝ 80 ，当 x ＝ 0 时，y ＝ 40；当 y ＝ 0 时，x ＝ 80 ，连接这两点得到直线。
然后，确定可行域，即满足所有约束条件的区域。
可行域通常是由这些直线围成的一个多边形区域。
在这个可行域中，我们要找到目标函数的最大值。
一般来说，最大值会出现在可行域的顶点处。
我们把可行域的顶点坐标代入目标函数，比较它们的大小，就能得到最大值。
通过计算，我们可以找到最优解，也就是能使利润最大的生产方案。
最优化理论和方法-第三章 线性规划拓展及应用
数学规划基础
2 1
e1
b
-4 1
c
3
e1
LHY-SMSS-BUAA
树解计算方式的线性代数解释
给定生成树 a点流平衡： d点流平衡： c点流平衡：
(共有 m-1 条弧)
-2 a 5d
2 1
-4
c
3
b
1
e1
b点流平衡：
第 3 章 线性规划：应用及扩展
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
树解计算方式的代数理解 (续)
第 3 章 线性规划：应用及扩展
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
原始网络单纯形法－既约费用系数的更新
新的树解去掉入弧，得两棵子树！
0a
T1
10 d
2 4
?
?
-13 4
c
?
23
3
b -11 与入弧同向桥接T1和T0
rab rab rde 1 2 1
T0 rdc rdc rde 0 2 2
(i, j) 使得
，称之为入弧.
Step 4. 确定出弧：入弧和出弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个流值最小的作为出弧.
Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新树解，得 新的树解. 转 Step2.
第 3 章 线性规划：应用及扩展
这里选取节点1作为根节点
5
7 个节点 8 条弧！
2
7-1=6 个基变量(树弧)，
6
8-6=2 个非基变量(非树弧) 3
7
第 3 章 线性规划：应用及扩展
4
数学规划基础
城市生活垃圾收运路线优化研究
问题， 利用已经矿化的垃圾是完全有可能的［ ５］ 。 是一个现实的课题， 也需要随时应用新的技术解
３． ２ 发展生物反应器型垃圾填埋技术
决生产中遇到的多方面问题。
研究证明， 生物反应器型垃圾填埋场比常规
参考文献
垃 圾 卫 生 填 埋 场 消 纳 能 力 和 使 用 寿 命 高 １２． ６％。 ［ １］ 闵庆文， 裴晓菲， 余卫东． 我国城市垃圾及其处理的现状、问题与对策
３） 禁忌表： 以每次迭代得到的最好解作为禁 忌对象； 禁忌长度应根据问题规模确定。
４） 终止规则： 采用迭代指定的终止准则。 ３ 实例分析 ３． １ 区域背景
山东某沿海城市 ， 面 积 ２２０． ８ ｋｍ２， 人 口 １５ 万人， 垃圾日清运量 １２２ ｔ。该地区的卫生填埋场 位于中部， 周边地区距其 １０￣１５ ｋｍ， 无 中 转 站 。 分析垃圾污染源分布特点， 可将该区划分为 １９ 个
收稿日期： ２００７－０７－２３
约束条件： １） 每条收运路线上垃圾清运量之和不
超过车辆的载质量； ２） 每个垃圾产生点的垃圾必
须完全清运； ３） 所需车辆数不超过限定车辆数。
１． ２ 收运路线优化改进模型
垃圾收运路线优化问题不仅要经济成本最低，
而是要实现经济、环境与社会综合效益最优化。
在此， 利用多目标问题转化为单目标时常采用加
只 需 ６￣１０ ａ 即 可 达 稳 定 状 态 。 填 埋 场 稳 定 时 间 短， 可减少填埋气体的逸散机会， 减少填埋气体
［ Ｊ］ ． 城市环境与城市生态， ２００２， １５ （ ６） ： ５１－ ５４． ［ ２］ 张振营， 陈云敏． 城市垃圾填埋场沉降模型的研究［ Ｊ］ ． 浙江大学学报， ２００４， ３８ （ ９） ： １１６２－ １１６５．
线性规划模型在物流调度中的实际应用
线性规划模型在物流调度中的实际应用物流调度是指在给定的时间和资源限制下，合理安排货物的运输路线和运输方式，以满足客户需求，同时降低成本和提高效率。
线性规划模型是一种数学优化方法，能够对物流调度问题提供定量的分析和决策支持。
本文将探讨线性规划模型在物流调度中的实际应用。
首先，线性规划模型可以用于最优路径问题。
在物流调度中，常常需要选择最佳的运输路线，以减少距离和时间。
线性规划模型能够基于不同的约束条件和目标函数，计算出最优路径。
例如，在货运公司的物流调度中，需要将货物从仓库A运输到客户B，还需要考虑途中的中转站点C和D。
线性规划模型可以通过考虑不同的路径选择，来确定最佳路线，使得总运输距离最小。
其次，线性规划模型还可以用于运输资源分配问题。
在物流调度中，合理分配运输资源，如货车、船只、飞机等，是提高运输效率和降低成本的重要因素。
线性规划模型可以根据不同的约束条件和目标函数，确定如何分配运输资源，以最优的方式完成物流调度任务。
例如，在一家电子产品制造公司的物流调度中，需要合理安排运输资源来将制成品从生产线运送到仓库。
线性规划模型可以帮助确定每个仓库需要的货车数量，以最小化总运输成本。
另外，线性规划模型还可以应用于车辆调度问题。
物流行业中，合理调度车辆的使用和安排对于提高物流效率和降低成本至关重要。
线性规划模型可以考虑不同的约束条件和优化目标，为车辆调度提供科学的决策支持。
例如，在一家快递公司的物流调度中，需要合理安排不同车辆的行程和配送路线，以满足客户需求并最小化总行驶距离。
线性规划模型可以通过考虑各个约束条件和目标函数，计算出最佳的车辆调度方案。
除了上述应用，线性规划模型还可以应用于仓库布局优化问题。
在物流调度中，仓库的布局和物品的存放位置对于提高运输效率和减少操作时间具有重要影响。
线性规划模型可以通过考虑不同的约束条件和目标函数，确定最佳的仓库布局方案。
例如，在一家大型电商平台的物流调度中，线性规划模型可以帮助确定每个仓库的存货量和存储位置，以最大化仓库空间利用率和最小化货物损坏率。
数学优化算法在物流路径规划中的应用研究
数学优化算法在物流路径规划中的应用研究摘要：物流路径规划是一项复杂而关键的任务，对于提高物流效率和降低成本具有重要意义。
随着数学优化算法的不断发展，将其应用于物流路径规划领域已被广泛研究和探讨。
本文将探讨数学优化算法在物流路径规划中的应用，介绍几种常用的数学优化算法，并结合实际案例深入分析其应用效果和优化能力。
引言：物流路径规划是为了在给定条件下选择最佳路线，实现货物的快速、安全、高效交付。
传统的路径规划方法往往在时间和成本上存在较高的局限性，无法满足大规模物流运输的需要。
而数学优化算法通过建立数学模型，通过运筹学原理对大规模物流问题进行求解，能够有效克服传统方法的限制，提高物流效率，减少成本。
主体：1. 整数规划算法整数规划（Integer Programming）是一种数学规划方法，适用于物流路径规划中涉及到离散决策的问题。
其基本思想是将问题转化为一个整数线性规划问题，并通过建立目标函数和约束条件来求解最优解。
整数规划算法在规划优化中具有广泛应用，通过引入整数变量，可以更好地反映实际情况，提高规划结果的准确性和可行性。
2. 线性规划算法线性规划（Linear Programming）是一种常见的数学优化算法，也是物流路径规划中常用的算法之一。
线性规划的目标是在满足一系列线性约束条件的前提下，最大化（或最小化）线性目标函数。
通过线性规划算法，可以确定最佳的物流路径和货物分配方案，使得物流效率最大化。
3. 遗传算法遗传算法（Genetic Algorithm）是一种受到生物进化原理启发的优化方法，通过模拟自然选择，通过一代代的进化操作找到最优解。
遗传算法在物流路径规划中的应用主要集中在多目标优化和多约束优化问题上，可以有效解决实际问题中的复杂性和多样性。
案例分析：以某电商物流为例，假设其需要将100个订单从仓库分配给不同的配送中心，并通过配送中心将货物送达目的地。
现有多个仓库、配送中心和目的地可供选择，每个选择都有不同的运输时间和费用。
数学建模垃圾处理
B题组员高菊红陈虹锦郭东海城市生活垃圾年产量及垃圾收运问题的研究摘要随着经济的快速发展和人民生活水平的普遍提高，生活和生产过程中产生的日益增多的生活垃圾，已成为困扰城市发展、污染环境、影响市容、影响市民生活的社会问题。
生活垃圾的收集、运输和处理问题越来越受到关注，而收运工作的科学性和经济性的关键是合理的安排收集和运输路线。
第一问，本文选取上海市作为研究对象，通过对上海市生活垃圾产量的分析。
选用1990—2005年的数据建立灰色预测()1,1GM 模型，并利用残差百分比进行精度检验。
运用MATLAB 编写程序，得到：()()()00.051910.051915842.6()t t X t e e ∧-+=-通过精度检验，发现各年的残差百分比相差较大，仅在原点附近精确度较好，因此该模型的预测稳定性不高。
因此本文选取总人口、地区生产总值、人均消费性支出和可支配收入作为主要影响因素，将生活垃圾产量看作因变量，建立多元回归分析模型： 1234210.38700.04230.00510.00430.0250y x x x x =+--+并进行F 检验，概率0.05P <,显著性较高。
利用该模型预测各年垃圾产量的数值与真实值更为接近，历史数据拟合度较好，稳定性优于灰色预测模型。
最后预第二问，针对城市生活垃圾收集路径优化问题，以路径最短作为目标函数建立线性规划模型:11000min n n k ij ijc i j c z d A ++====∑∑∑将所有垃圾收集点分为左、中、右三个区域，根据各区域的垃圾量安排相应的车辆数，分别为3、5、3辆，共11条路线。
然后依据单亲遗传算法的基本思想得出了每条路线的最优路径和最短距离，并应用MATLAB 数学软件进行编程运算，得到全程的距离为2326800英尺。
关键词：灰色预测、多元线性回归分析、线性规划、单亲遗传算法1问题重述城市是以人口为主体的有机体,城市的发展是衡量一个国家现代化程度的指标【1】。
危险废物物流系统的LRP改进多目标线性规划模型
M ulti objective 0 1 L inear Programm ingM odel for Combined Location Routing P roblem in Hazardous W aste L ogistics System
S H UA I B in, Z HAO J iahong
从候选点中确定各中心的建设位置 , 确定加工中心 采用的技术类别 , 并制定危险废物和废物残余在各 中心之间的车辆运输路径 , 使系统总费用和风险最 小. 其中, 费用包括运输和选址费用 , 主要为危险废 物和废物残余运输费用、 各中心建设费用和运营费 用. 风险用暴露人口吨数表示 , 包括危险废物和废 物残余运输风险 , 以及各中心选址风险.
第 46 卷 第 2 期 2011 年 4 月
西 南 交 通 大 学 学 报 JOURNAL OF SOUTHW EST JI AOTONG UN IVERSI TY
DO I : 10. 3969 / . j issn . 0258 2724. 2011. 02. 025
V o.l 46 N o . 2 A pr . 2011
图 1 危险废物物流 系统 F ig. 1 H azardous w aste log istics syste m
2 数学模型
以危险废物物流系统为基础构建运输网络, 网 络节点包括危险废物源点、 各类中心建设候选点和 其他运输节点. 网络中分布有居民数量不同的居民 点, 它们都会受到运输风险和选址风险的影响 . 假设: ( 1) 网络各节点之间的道路安全等级满足运 输危险 废 物和 废 物残 余 的要 求, 且 无道 路 能力 限制 ; ( 2) 危险废物满足运输相容性条件 , 即不相容 废物不同时由同一车辆运输; ( 3) 各类危 险废 物都 有 与之 相适 应的 加工 技术 ; ( 4) 各类危险废物都有特定的运输车辆 , 废物 与车辆满足相容性条件, 且车辆无能力和工作时间 限制 ; ( 5) 各加工中心具备同时处理危险废物和废 物残余的能力. 令 N ( V, E ) 代 表 网 络, V 代 表 节点 , E 代表 道路 , 有: V = VG 式中 : VG VT VR VD VT VR VD V O, 危险废物源点 ; 加工中心建设候选点; 回收中心建设候选点 ; 处理中心建设候选点 ;
最优化理论与方法(线性部分)思考题与作业要求答案
最优化理论与方法（线性部分）思考题1.就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并举例（建立模型）。
工厂生产利润最大化问题2.举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流和安全管理中的应用。
3.对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。
4.简述线性规划求解算法的改进历史。
5.证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。
6.有人说：“原问题有多重解（多个最优解），对偶问题一定也有多重解”，此话是否正确？请举一算例。
7.D-W分解算法适合哪种类型的线性规划问题？请举一算例。
8.何谓“原始-对偶”单纯形法？请举一算例。
9.何谓有界变量的线性规划问题？如何求解？请举一算例。
10.何谓线性规划的逆问题，分别对“最优解的逆线性规划问题”和“对目标函数值的线性规划逆最优值问题”举出算例。
11.对同一优化问题，是否存在决策变量一样但所建模型不一样的情况？请举例；是否存在目标函数中没有决策变量的最优化问题？12.简述建立线性多目标规划的过程，自选一个实际问题，建立模型并用图解法和单纯形法求解。
要求每个人所举例题都不一样，否则视为抄袭！最优化理论与方法（线性部分）思考题1.解：以工厂生产利润最大化问题：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。
试求获利最大的生产方案。
设、分别代表Ⅰ、Ⅱ两种产品生产量，其线性规划模型表述为：max 102.解：以管理(指派)问题：有一份中文说明书，需翻译为日、英、德、法四种文字，分别记作A、B、C、D、现有甲乙丙丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需要的时间如下表所示。
问应指派何人去完成何种工作，使所需总时间最少？()表示指派第i人去完成j项任务的时间，引入，其取值只能使0和1。
并另取1时表示指派第i个人去完成第j项工作；取0时表示不指派第i个人去完成第j项工作。
当问题要求极小化时的数学模型是：s.t或3. 对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。
垃圾收运车辆路线的优化及其应用
％。
关键词：垃圾收运中国邮政员问题启发式算法
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
ＴＨＥ ＯＰＴＩＭＩＺＡＴＩＯＮ ０Ｆ ＲＥＦＵＳＥ ＣＯＬＬＥＣＴＩＯＮ
ＶＥＨＩＣＬＥ ＲＯＵＴＩＮＧ ＡＮＤ ＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮ
ＡＢ ＳＴＲＡＣＴ
ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｔ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉＳｔｉｃ ｏｆ ｒｅｆｕｓｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ，“ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｒｅ允ｓｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ Ｖｅｈｉｃｌｅ ｒｏｕｔｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ．ｍｏｄｅ ｏｆ ｍｕｎｉｃｉｐａｌ
针对垃圾收运车辆路线问题的数学模型，提出了一种改进的最小生成树启发式算法。 对此启发式算法的理论基础、算法思想进行了分析阐述后，结合一个模拟的收集网络，给 出了这种算法计算垃圾收运车辆路线的方法和步骤。
结合南京市玄武区兰园街道区域，对这一实际的垃圾收运系统，根据建立的数学模型， 采用启发式算法对垃圾收运车辆的路线进行了规划。与实际的收运路线相比，行程缩短２９
东南大学 硕士学位论文 垃圾收运车辆路线的优化及其应用 姓名：王康乐 申请学位级别：硕士 专业：市政工程 指导教师：傅大放
20050601
摘要
垃圾收运车辆路线的优化及其应用
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Xik —从废物源i运到处置点k的废物数量； — 处置点k按单位数量废物计算的处置费用；
返回
【例题】某城市的生活垃圾按四个区域进行收集运 输。收集的垃圾可以送两个处理、处置场处理，其 垃圾产生量及处理、处置场处理处置能力，及运输 费用情况如下表： 垃圾产生量及运费表1
垃圾发生源 垃圾产生量 收集运输费用（Ci）（元/t） （区域）（i） （t/d） 处理、处置场1 处理、处置场2
1 2 3 4
3、数学模型一般式
max(min) Z＝c1x1+c2x2+….+cnxn
s.t.
aj1x1+aj2x2+…. +ajixi + …+ajnxn ≥ (≤或＝)bj
xi ≥ 0 i =1, 2, … , n；j＝1, 2, … , m
决策变量
（x1，x2，…，xn）
线性目标函数 Z＝c1x1+c2x2+….+cnxn
软件计算得到最优解为：
x11＝150，x21＝100，x31＝90，x41＝0，x12＝ 0，x22＝0，x32＝40，x42＝160 该城市按上面计算结果进行收集运输和处理 处置，其费用最省，每日为10820元。 计算过程详见程序求解
2、模型拓展
（1）目标函数
K N N K S＝ min X ik Cik Fk X ik k 1 i 1 i 1 k 1
决策变量：产品的数量，设产品一为x1；设产品 二为x2。 目标函数：利润最大，则700x1 +1200x2→max 约束条件：① 原材料供应量约束 9x1 + 4x2 ≤3500 4x1 + 5x2 0x2 ≤3000 ② 产品数量的非负约束 x1，x2 ≥0
则该线性规划数学模型： max Z＝ 700x1 +1200x2
线性规划技术在城市生活 垃圾收运系统中的应用
二OO七年十月
一、线性规划技术简介
1、线性规划数学模型
线性规划（ Linear Programming ）是运筹学中 研究较早、应用较广、比较成熟的一个重要分 支。其理论和方法主要在两类问题中得到应用 一是如何利用一定量的人力、物力和资金等资 源来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，以 最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任 务。
线性约束条件 aj1x1+aj2x2+….+ajnxn ≥(≤或＝)bj （j
＝1，2，…，m）。
返回
4、模型求解方法
求解方法主要有图解法(两个变量)、单 纯形法等。 计算机程序（或相关软件）求解。
本课程采用计算机软件求解。
二、城市生活垃圾收运系统的优化
一个城市有两处或两处以上处置场所； 该城市划分几个垃圾收集区域； 该城市的垃圾必须全部收集及处置； 两处以上处置场所的处置能力是有限的； 现需确定各收集区收集的垃圾应送往哪几 个处理处置场，并且应运输多少量时，运 输费用加处理处置费用最省？解决该问题 的最有效方法通常采用线性规划技术。
W1＝150 W2＝100 W3＝130 W4＝160
C11＝10 C21＝8.0 C31＝12 C41＝15
C12＝15 C22＝10 C32＝7.0 C42＝6.0
垃圾处理能力及处理处置费表2
处理、处置点 （k） 1
2
处理处置能力 Bk(t) B1＝350
B2＝200
处理处置费用 Fk（元/t） F1＝10
【解】目标函数为：
minz ＝ x11C11+x21C21+x31C31+x41C41+x12C12+x22C22+ x32C32+ x42C42+ F1(x11+ x21+ x31+ x41)+ F2(x12+ x22+ x32+ x42) 带入数据得到： minz ＝ 10x11+ 8x21+ 12x31+ 15x41+ 15x12+ 10x22+ 7x32+ 6x42+ 10(x11+ x21+ x31+ x41)+ 14(x12+ x22+ x32+ x42)
F2＝14
某城市垃圾收运系统如下图所示：
处置场点1
4 1 3
2
处置场点2
废物源
废物分配方案图
1、模型建立
决策变量：四个废物源产生的垃圾（用收集区的
矩心表示）分配到两个处置场的垃圾数量xik。
目标函数：是运输和处置总费用最低。 同时，必须满足以下几项要求（约束条件）：
（1）每一个处置场(如填埋场)的能力是有限的； （2）处置废物的总量必须等于废物的产生总量； （3）从每个收集区运来的废物总数量必须大于或等 于零。
9x1 + 4x2 ≤3500 4x1 + 5x2 ≤2000 3x1 +10x2 ≤3000 x1， x2 ≥0
以上是一个简单的线性规划数学模型建立过程。
2、模型特点 线性规划就是在满足一组线性约束和变量 为非负的限制条件下，求多变量线性函数 的最优值（最大值或最小值）。
决策变量：即决策人要考虑和控制的因素， 必须非负； 约束条件：一组线性等式或不等式； 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z的 最大或最小。
＝ 20x11+18x21+22x31+ 25x41+ 29x12+ 24x22+ 21x32+
20x42
函数所受约束条件为： x11+ x12＝W1 ； x21+ x22＝W2； x31+ x32＝W3 ； x41+ x42＝W4； x11+ x21+ x31+ x41≤B1；x12+ x22+ x32+ x42 ≤ B2 即约束条件 x11+ x12＝150 x21+ x22＝100 x31+ x32＝130 x41+ x42＝160 x11+ x21+ x31+ x41 ≤ 350 x12+ x22+ x32+ x42 ≤ 200 x11，x21，……，x41，x42≥0
引例
某工厂经理为了确定该厂生产两种产品的最优生 产方案，根据产品的单位产值、产品对三种原材 料的单位消耗以及三种原材料的供应限量，如何 安排生产获得利润最大？具体数据如下表所示：
原材料 钢材(kg) 铜材(kg) 专用设备 利润(元/台) 产品一 9 4 3台时 700 产品二 4 5 10台时 1200 原材料供应限量 3500 2000 3000台时