NURBS曲面控制点重构方法
基于NURBS的散乱数据点自由曲面重构
计算机辅助设计与图形学学报JOURNAL OF COMPUTER-AIDED DESIGN& COMPUTER GRAPHICS1999 Vol.11 No.5 P.433～436基于NURBS的散乱数据点自由曲面重构来新民 黄田 曾子平 林忠钦摘 要：针对散乱数据点, 首先提出基于曲率测度的大规模散乱数据点自适应压缩方法. 在此基础上,提出先压缩后重构的基于NURBS的曲面重构策略.该方法可在保持原数据点集基本特征的前提下，将散乱数据点压缩到NURBS曲面重构要求的规模，从而实现了大规模散乱数据点的精确曲面重构.关键词：曲面重构，非均匀有理B样条，数据压缩，散乱测点分类号：TP391NURBS BASED APPROACH OF SURFACE RECONSTRUCTIONFROM SCATTERED DATALAI Xin-Min（Department of Mechanical and Electronic Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300130）（School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030） HUANG Tian ZENG Zi-Ping（School of Mechanical Engineering, Tianjin University， Tianjin 300072）LIN Zhong-Qin（School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030）Abstract：For the large scale scattered data, a two-step adaptive surface reconstruction approach is developed. The first step employs the adaptive extraction of key points based on the measure of curvature to produce the topologic mesh. It follows the second step by reconstructing the surface from the topologic rectangular mesh based on the NURBS method. By this approach, the large scale scattered data can be reduced to the reasonable scale, while main characteristics of the whole scattered data are remained, thereby the precise surface reconstruction with NURBS is realized.Key words：surface reconstruction, NURBS, data extraction, scattered data▲1 引言 采用计算机视觉技术(如激光扫描)对自由曲面数字化，将得到大规模散乱数据点，依据该数据点集恢复形状(即曲面重构)是采用逆向工程方法生成CAD模型的关键步骤.曲面重构分为隐式格式和显式格式两大类.隐式格式中广泛使用二次曲面(平面、球、柱、回转体等)［1，2］，文献［3］对隐式格式下曲面重构的几何不变性、鲁棒性作了详细论述; 显式格式的曲面重构包括曲面逼近和曲面插值. 曲面逼近格式一般可归结为变分问题，Terzopoulos采用有限元法由薄板样条拟合曲面片［4］，再将不同曲面片用薄膜条沿不连续边界拼合.Gu采用多层BP网络实现散乱点曲面重构，其计算费用惊人［5］.通常情况下，曲面逼近格式重构的精确性和光顺性受到限制. 整体插值重构的明显缺陷是计算工作量随插值点的增多而显著增加，而局部插值重构利用数据点的子集构造建模函数，更适合于大量的数据点.针对散乱数据，Shepard通过指定局部影响半径，方便地将整体插值转化成局部插值格式，但插值精度和光顺性较差［6］.Bradely采用多重二次方法构造局部曲面片，借助于特定算法使各局部曲面片融合，以保证局部区域的连续性［6］.这些方法一般不具备几何不变性且不利于图形信息的交换. NURBS方法由于具有许多优良性能，已成为STEP标准中描述产品几何形状的唯一方法，因而在曲面重构中占有重要地位．但就目前CAGD技术而言，NURBS曲面重构不适合于大规模散乱数据点，必须首先将数据量压缩，再进行曲面重构.图1示出曲面重构的一般步骤.文献［7］采用体积剖分(Spatial binning)法压缩数据，但曲率变化较大时得到的仍然是散乱点.文献［7］还提出了先通过局部多重二次技术生成曲面的规则拓扑网格，再进行NURBS拟合，但一般只适合于曲率变化较小的情况.文献［8］考虑到曲率变化，布点数随曲率的增大而增多，同时需要人机交互地选择型值点，效率较低且不易实现优化布点.图1 曲面重构的一般步骤 本文首先借助于Shepard局部插值方法构造初始曲面模型，然后依据所提出的基于曲面曲率的数据自适应压缩方法，生成矩形拓扑压缩网格；最后，实现基于NURBS的散乱点曲面重构.2 Shepard局部插值法曲面拟合 若散乱测点数据集合为{x i,y i,z i},i=1,2,…,n，则由Shepard局部插值函数构造的曲面模型为 (1)式中，R为所限定的局部影响区域.经过适当地参数化可将式(1)写成为p(u,v)=(x(u,v) y(u,v) s(u,v)) (2) 图2为采用激光位移传感器扫描得到的高尔夫球拍曲面的散乱数据点，共4219个测点；图3为由Shepard局部插值法拟合的初始重构曲面形状，曲面的平均主曲率可由式（1）通过一二阶数字差分来近似.图2 高尔夫球曲面散乱数据点图3 由Shepard法生构的曲面形状3 基于曲率的自由曲面抽样网格规划 连续的自由曲面为三维空间上无限多点组成的集合，对曲面的任何离散抽样都是对曲面的近似.因此，为在有限的抽样点基础上最大限度地提取自由曲面的形状信息，根据抽样定理，抽样点的疏密应随曲面曲率的变化而变化，曲率越大抽样点应越密，反之亦然. 设自由曲面的数学模型为p(u,v)=(x(u,v) y(u,v) z(u,v)) (3)式中，u,v为曲面的参数.若离散曲面的M个抽样点集合D为D={p i|i=1,2,…,M} (4)式中，p i=(x(u i,v i) y(u i,v i) z(u i,v i))T.参数域上的抽样点集合C为C={c i|i=1,2,…,M} (5)式中，c i=(u i v i)T.若N i为第i个抽样点的邻域集合，则所有邻域集合的集合N为N={N i|i=1,2,…,M} (6)式中，i N i，且若i∈N j，j∈N i,则N i可以定义为网格的四邻域.现考察图4所示的质点系，若沿x轴分布的质点m1和m3分别位于x1和x3处，则质点系的质心x2满足 (7)图4 质点系 令r(c)为反映曲面曲率的形状函数(r(c)>0)，若将形状函数r(c)看成质点的质量，则式(7)可推广为 (8)该式确定了与形状函数相适应的抽样集合C.显然，在形状函数r(c)较大的地方，所需抽样点也就越多.考虑到抽样网格的不变性，形状函数r(c)应只依赖于曲面固有的曲率测度, 取为［9］ (9)式中，k(u,v)为点p(u,v)处主曲率的几何平均值，参数q(q>0)的大小影响到曲面上离散点间r(c)的比值.将式(8)改写为 (10)它可以通过如下迭代算法求解［9］ (11)式中，可见，c i等于它的邻域值加权之和.为充分反映迭代过程中网格的实时变化影响，在迭代循环过程中，c i要实时更新网点矢量，故式(11)改写成 (12)式中，c u,t j是更新的网点矢量.迭代求解过程中，收敛准则取为‖c t+1-c t‖<ε (13)式中，‖.‖是平方范数，ε是给定的精度. 以Shepard局部插值函数为曲面模型，采用式（12）给出的基于曲率的抽样网格产生算法，对图3所示的曲面进行抽样网格规划．图5为参数域上初始随机抽样网格，该网格除边界上节点的u、v参数具有约束外，其他节点参数值均为随机值，故初始随机抽样网格呈杂乱状.利用式(12)进行网格节点矢量的迭代运算，N i为节点i的四邻域，c t+1i为其邻域节点矢量的加权平均，由式(13)控制收敛过程.迭代过程中，不需进行参数调整等人工干预，经迭代收敛后，物理域上最终抽样网格见图6.该算例表明，上述算法不需人工干预即可由初始随机网格迭代收敛为矩形拓扑网格(本文称之为网格自组织特征)；抽样的疏密依赖于曲面曲率，该方法不仅适合于曲率平坦的区域，也适合于曲率变化较剧烈的区域.图5 参数域上初始抽样网格4 呈矩形拓扑阵列数据点的NURBS曲面拟合 将NURBS曲面表示成有理基函数形式为［10］ (14) (15)式中，d i,j为控制顶点，N i,k(u)、N j,l(v)分别为u、v方向的k次和l次B样条基函数，w ij为权因子.若NURBS曲面的节点矢量u和v取为u=(0,0,…,0,u k+1,…,u m,1,…,1,1)， v=(0,0,…,0,v l+1,…,v n,1,…,1,1). 其中，u节点矢量两端节点重复k+1次，v节点矢量两端点重复l+1次.与一维数据点参数化相仿［11］，节点矢量u, v内节点可通过数据点阵p i,j=0,1,…,r;j=0,1,…,s的参数化确定. 对于曲面参数化，沿同一参数方向的网格线具有公共的参数分割，但由于同一方向的各排数据点分布一般不一样，公共参数分割只能是各排数据点参数分割的折衷.鉴于各排数据点一般为非均匀分布，本文先对每排采用向心参数化方法，再将各排参数代数平均.给定呈矩形拓扑阵列的数据点p i,j, i=0,1,…,r;j=0,1,…,s，设沿u向第j排数据点p i,j的参数为u ij，则公共参数为 (16)同理 (17) 对于给定的数据点p i,j，由式(14)得出(r+1).(s+1).3个线性方程组，以矩阵形式表示为P=RD (18)式中，P为曲面数据点坐标阵列，维数为(r+1).(s+1).3;R为基函数系数矩阵，维数为(r+1).(s+1).3×(m +1).(n+1).3;D是控制网点列阵，维数为(m+1).(n+1).3;m+1和n+1分别为参数u和v方向的控制顶点数. 若r.s=m.n,则R为方阵.由下式可直接求出控制网点D=R-1P (19) 此时，NURBS曲面将严格通过数据点P，实现了NURBS曲面插值.此种情况适用于测量数据精确的情况. 若r.s≥m.n，则NURBS曲面对数据点集P是一种平均意义上的近似.依矩阵论［11］，式(18)可写成D=［R T R］-1R T P (20)在给定m,n，阶数k,l，节点向量u和v及对p i,j参数化的情况下，系数矩阵R已知，由式(20)可计算D，此时得到的初始重构曲面可能与数据点之间存在较大误差，可用参数值的迭代改善逼近精度［12］.5 散乱数据点NURBS曲面重构 对于大规模散乱数据点，采用两步法实现NURBS曲面重构.首先由所提出的基于曲面曲率的数据压缩方法将数据量压缩到NURBS拟合允许的规模，再由NURBS拟合实现被测曲面重构， 其基本步骤如下： (1) 用Shepard局部插值法拟合曲面. (2) 产生基于曲率信息的抽样拓扑矩形阵列. 以Shepard局部插值函数为曲面模型，由基于曲率的自由曲面抽样规划方法确定基于曲率信息的抽样拓扑矩形阵列. (3) 产生数据压缩后实际的拓扑矩形阵列； 依据抽样拓扑矩形阵列，在测量数据集合中抽取距抽样拓扑矩形阵列中每个节点最近的数据点，产生实际的拓扑矩形阵列. (4) 对实际产生的拓扑矩形阵列进行NURBS拟合，得到最终重构曲面. 该方法中，Shepard局部插值函数用于对散乱数据点插值，构造初始重构曲面.虽然Shepard方法构造的曲面精度和光顺性稍差，但它反映了曲面的基本形状(见图3).因而，以Shepard插值函数为曲面模型构造基于曲率测度的形状函数，再采用基于曲率的自由曲面抽样自适应规划方法即可确定基于曲率的拓扑矩形网格（见图6）.由步骤2给出的拓扑矩形网格点实际上是由Shepard插值函数确定的，为消除Shepard插值带来的误差，提高曲面重构精度，将上述拓扑网格作为抽样网格，从大规模散乱数据点中抽取实际网格（见图7），其数据量从4219锐减为400.故采用该方法可基于曲率自适应地将大规模散乱数据点压缩到合适规模的拓扑矩形阵列.图8为NURBS曲面重构后的形状.比较图8和图3可见，NURBS方法较Shepard局部方法重构后的曲面更光顺.图6 物理域上基本于曲率抽样网格图7 基于曲率抽样压缩后的数据点图8 NURBS曲面重构的形状6 结语 自由曲面重构是采用逆向工程方法生成CAD模型的关键步骤，因而成为CAD研究的热点问题，但大规模散乱数据点的处理是曲面重构的制约因素.由于NURBS方法的优越性能，基于NURBS的曲面重构成为逆向工程中的上选方法.鉴于目前NURBS曲面拟合的限制，本文提出先压缩后拟合的两步法重构策略.首先提出基于曲率的数据自适应压缩方法，一方面将数据压缩到NURBS拟合允许的规模，另一方面将散乱的数据点转化成拓扑矩形网格；然后再采用NURBS方法拟合成最终重构曲面.算例表明，该方法可在保持原数据点集基本特征的前提下，将散乱数据点压缩到NURBS曲面重构要求的规模，从而实现了大规模散乱数据点的精确曲面重构，同时NURBS的性质也保证了重构的几何不变性. ■作者简介：来新民，男，1964年8月生，博士，讲师，现为上海交通大学博士后，主要研究方向为CAD/CAM，计算机视觉检测、汽车车体质量控制. 黄田，教授，博士生导师，主要研究方向为CAD/CAM、振动冲击噪声技术、虚轴机床. 曾子平，教授，博士生导师，主要研究方向为CAD/CAM、振动冲击噪声技术. 林忠软，教授，博士生导师，主要研究方向为轿车车体制造技术.作者单位：来新民（河北工业大学机电工程系 天津 300130 上海交通大学机械工程学院 上海 200030） 黄田（天津大学机械工程学院 天津 300072） 曾子平（天津大学机械工程学院 天津 300072） 林忠钦（上海交通大学机械工程学院 上海 200030）参考文献：［1］ Bolle R M, Cooper D B. Bayesian recognition of local 3-D shape by approximating image intensity functions with quadric polynomials. IEEE Transactions on Pattern Anal Machine Intelligence,1984, PAMI-6：418-429［2］ Bolle R M, Cooper D B. On optimally combining pieces of information, with application to estimating 3-D complex-object position from range data. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 1986, PAMI-8：619-638［3］ Bolle R M, Vemuri B C. On three dimensional surface reconstruction methods. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 1991,13(1)：1-12［4］ Terzopoulos D. The computation of visible-surface representations. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 1988,10(4)：417-438［5］ Gu P, Yan X. Neural network approach to the reconstruction of freeform surface for reverse engineering. Computer-Aided Design, 1995,27(1)：59-64［6］ Bradley C, Vickers G W. Free-form surface reconstruction for machine vision rapid prototyping. Optical Engineering, 1993,32(9)：2191-2199［7］ Weir D J, Milroy M J, Bradley C, et al. Reverse engineering physical models employing wrap-around B-spline surfaces and quadrics. Proceedings of the Institution Mechanical Engineering, Journal of Engineering Manufacture,Part B, 1996,210：147-157［8］ Jones C, Bradely C, Vickers G W. Laser scanning and quasi-helical tool path definition of arbitrary curved surface models. Computers & Industry Engineering, 1994, 26(2)：349-357［9］ Li S Z. Adaptive sampling and mesh generation. Computer-Aided Design, 1995, 27(3)：235-240 ［10］ Shi Fa-Zhong. CAGD & NURBS. Beijing： Beijing University of Aeronautics & Astronautics Press,1994 (施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条. 北京：北京航空航天大学出版社，1994) ［11］ Wu Xiong-Hua,Chen Bing-Dong,Qian Zhong-Yuan. Theory of Matrix. Shanghai： Tongji University Press,1994 (吴雄华，陈秉东，钱仲苑. 矩阵论. 上海：同济大学出版社，1994)［12］ Rogers D F, For N G. Constrained B-spline curve and surface fitting. Compute-Aided Design, 1989,21 (10)：641-648收稿日期：1998-05-26修稿日期：1998-09-07基于NURBS的散乱数据点自由曲面重构作者：来新民， 黄田， 曾子平， 林忠钦， LAI Xin-Min， HUANG Tian， ZENG Zi-Ping， LIN Zhong-Qin作者单位：来新民,LAI Xin-Min(河北工业大学机电工程系,天津,300130;上海交通大学机械工程学院,上海,200030)， 黄田,曾子平,HUANG Tian,ZENG Zi-Ping(天津大学机械工程学院,天津,300072)， 林忠钦,LIN Zhong-Qin(上海交通大学机械工程学院,上海,200030)刊名：计算机辅助设计与图形学学报英文刊名：JOURNAL OF COMPUTER-AIDED DESIGN & COMPUTER GRAPHICS年，卷(期)：1999，11(5)引用次数：55次1.Bolle R M.Cooper D B Bayesian recognition of local 3-D shape by approximating image intensity functions with quadric polynomials 19842.Bolle R M.Cooper D B On optimally combining pieces of information, with application to estimating 3-D complex-object position from range data 19863.Bolle R M.Vemuri B C On three dimensional surface reconstruction methods 1991(01)4.Terzopoulos D The computation of visible-surface representations 1988(04)5.Gu P.Yan X Neural network approach to the reconstruction of freeform surface for reverse engineering 1995(01)6.Bradley C.Vickers G W Free-form surface reconstruction for machine vision rapid prototyping 1993(09)7.Weir D roy M J.Bradley C Reverse engineering physical models employing wrap-around B-spline surfaces and quadrics 19968.Jones C.Bradely C.Vickers G W Laser scanning and quasi-helical tool path definition of arbitrary curved surface models 1994(02)9.Li S Z Adaptive sampling and mesh generation 1995(03)10.施法中计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条 199411.吴雄华.陈秉东.钱仲苑矩阵论 199412.Rogers D F.For N G Constrained B-spline curve and surface fitting 1989(10)1.期刊论文史国友.贾传荧基于NURBS的三维船体曲面重构-交通运输工程学报2004,4(3)针对重大件货仿真系统中船体曲面造型问题,给出了基于NURBS(非均匀有理B样条方法)技术重构船体曲面的主要步骤.对于给定的船舶型值点,用累加弦长参数化方法构造节点矢量,用非均匀有理B样条方法进行横剖线和水线的全局插值,并构造出规整的船体曲面的插值点网格,进而重构出以NURBS为统一数学表达式的船体曲面.仿真结果表明应用NURBS方法重构出的三维船体具有高度真实感.2.学位论文赵作智基于非均匀有理B样条(NURBS)的曲面反求的研究2000反求工程作为复杂工业产品设计与制造的重要技术手段之一,深受CAD/CAM领域的广 泛重视.特别是自由曲面重构技术作为复杂曲面产品反求工程中的"瓶颈"问题,是今后一个时期的研究热点.CAD/CAM中用有理多项式函数表示曲线曲面越来越广泛. 由于非均匀有理B样条(NURBS)可以精确表示解析形状自由曲线曲面,国际标准组织(ISO)于1991年把NURBS作为表示工业产品几何形状的工业标准.目前各种文献大都在理论上阐述了由数据点重构NURBS曲面的方法,尚未见具体的算法实现和实例.该文提 出了由数据点直接重构NURBS曲线曲面切实可行的插值和逼近基本算法,并给出了程 序实现算法和数据结构.3.期刊论文韩庆瑶.赵保亚.谭建鑫.李巧红.HAN Qing-yao.ZHAO Bao-ya.TAN Jian-xin.LI Qiao-hong NURBS曲线曲面重构的方法-机械设计与制造2006,""(3)CAD/CAM中用有理多项式函数表示曲面越来越广泛.由于非均匀有理B样条(NURBS)可以精确表示解析形状和自由曲线曲面,国际标准组织(ISO)与1991年把NURBS作为表示工业产品几何形状的工业标准.这里主要讨论了NURBS曲线曲面重构的方法.4.期刊论文赵柳.纪丽婷.王立建.黄福逆向工程中点云数据的曲面重构方法研究-电子测试2010,""(2)逆向工程是数字化产品开发方法之一,它极大地缩短了产品的开发周期,提高了产品精度,是消化、吸收先进技术进而创造和开发各种新产品的蕈要手段.在逆向工程中,曲面模型重建是整个逆向工程中最关键、最复杂的一环.本文提出一种基于传统的参数曲线曲面方法:Bezier法、B-样条法,而义有所创新的C2连续保形五次样条曲线曲面方法.充分利用相邻四个控制点的几何信息,构造了通过中间两点的五次参数曲线段,使得相邻段之间自然C2连接.并通过实验加以验证,最后对该算法做了总结.5.期刊论文陆进.Lu Jin SOFM和NURBS为基的散乱数据点自由曲面重构-现代制造工程2008,""(9)利用自组织神经网络对原始曲面上的散乱数据点进行聚类,应用Unigraphics软件中的NURBS对聚类数据进行曲面重构,以获取原始曲面的CAD数字化模型.具体方法是利用Unigraphics软件设计原始曲面,在所设计的原始曲面上随机设置大量的散乱点数据,应用MATLAB中的神经网络工具箱中的自组织神经网络,对原始曲面上的散乱点数据进行聚类,获取样条曲线,再应用Unigraphics软件中的NURBS完成曲面重构.6.学位论文蔡清华散乱数据的NURBS曲面建模与数控加工技术研究2004随着当前数字化测量技术的快速发展,反求工程技术在工程中已经得到广泛的应用.与此相应,对点云数据的曲面重构研究也引起了足够的重视.该文主要研究了散乱数据的NURBS曲面重构和在重构网格基础上的后续数控加工路径规划问题.散乱数据重建存在点与点之间几何拓扑关系建立困难和存在大量冗余数据两大难点.为了实现数据的精确压缩,简化点与点之间拓扑结构的建立,把散乱数据转化为扫描线数据,对点云数据进行了直接分层处理,采用了基于最小距离关联点对的线面截交算法和截面轮廓数据的八方向编码追踪算法,并用实例验证了方法的可行性.基于截面轮廓数据,详细探讨了NURBS曲线的拟合方法.用积累弦长的方法对截面轮廓数据进行参数化;给出了节点矢量选择的合理数学模型;用最小二乘法对截面轮廓数据进行了NURBS曲线的拟合;二分法寻找最优控制点的算法使NURBS曲线的拟合达到全自动化的程度.基于轮廓曲线,详细探讨了网格生成技术.在曲线相容、蒙皮的基础上,形成了四边形网格;在曲线相容的基础上,实现了三角剖分算法;通过计算NURBS曲线的曲率,实现了三角网格简化算法,并且分析了简化后三角网格的精度.最后用实例验证了算法的可行性.面向数控加工,该论文讨论了STL模型的刀具路径规划问题.在STL切片的基础上,对切片数据进行三次分段NURBS曲线插值,通过刀触点计算出刀位点,实现了数控加工路径的规划.最后对论文的工作进行了总结.介绍了建模模块的界面、整体框架以及OpenGL下曲线、曲面的显示.文中还给出了一个具体工程实例,验证了该建模模块的功能.7.期刊论文张伟.姜献峰.孙毅.马亚良.王秋成基于ANN-NURBS的散乱数据点自由曲面重构-浙江工业大学学报2003,31(5)探讨了曲面三维密集散乱点数据的几何建模方法.按照先压缩后拟合的两步方法重构策略,实施基于ANN-NURBS的散乱点自由曲面重构.提出了基于人工神经网络(ANN)的散乱数据点的拓扑矩形网格重建方法并建立了神经网络模型.该模型利用神经元对曲面散乱点的学习和训练来模拟曲面上的点与点之间的内在关系,结点连接权矢量集作为对散乱点集的工程近似化并重构曲面样本点的内在拓扑关系.算例表明,该方法可实现三维密集散乱点数据自组织压缩,生成期望疏密程度和精度的矩形拓扑网格,并可有效保持原数据点集的拓扑特征,从而实现了基于NURBS的大规模散乱数据点的精确曲面重构.8.学位论文李院生基于网格的NURBS曲面重构算法的研究2008网格计算是构筑在Internet上的一组新兴技术，其基础设施一定是基于IP协议的宽带数字通信网络，它将改变传统的Client/Server和Client/Cluster结构，形成新的Pervasive/Grid体系结构，这种体系结构将使得用户把整个网络视为一个巨大的计算机，并从中享受一体化的、动态变化的、可灵活控制的、智能的、协作式信息服务。
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权威3DMAX NURBS曲线和曲面教程一、NuRBS曲线作用：可制作圆滑的曲线外形‘Create(创建)‘shape(外形)‘NURBSpoint curve(点曲线)CV curve(控制点曲线)：曲线在各控制点连接的多边形内参数：attach(附加)：将其它曲线附加到当前曲线中二、NURBS曲面作用：可制作圆滑的面，如汽车外壳，床罩，窗帘丝织物品表面‘create(创建) →‘Geomotry(三维几何体) →‘NurBs surface(NurBs曲面) →‘point surface(点曲面)‘cv surface(控制点曲面)1、point surface(点曲面)参数：u lines:X轴节点数v lines:Y轴节点数次对象：point(点)：选择1个顶点（单个）：选择一行顶点（单行）：选择一列顶点（单列）：选择交叉的一行一列顶点（行列）：选择所有顶点2、cv suface(控制点曲面)参数：Length cvs:长控制点数Width cvs:宽控制点次对象：与点曲面相同三、NurBs创建工具箱作用：方便创建曲线或者曲面1、Curves（曲线）工具箱第一个（）：建立cv curve(控制点曲线)第二个（）：建立Point curve(点曲面)第三个（）：连接两个顶点，限定在点曲线面类第四个（）：复制曲线第五个（）：连接2个顶点，点曲线，CV曲面都可相连第六个（）：产生曲线的轮廓线第七个（）：镜像复制曲线3、surface(曲面)工具箱第一个（）：建立cv surface(控制点曲面)第二个（）：建立point surface(点曲面)第三个（）：复制曲面第四个和第九个（）：将2个曲线连接成面第五个（）：复制曲面，不能分开第六个（）：镜向复制曲面第七个（）：将曲面拉伸成面第八个（）：将曲线旋转成面3DMAX 第十五讲（材质1）一、材质编辑器作用：赋于物体材质，表现出各种实际效果1、主窗口组成①样本窗②水平工具栏③垂直工具栏④材质名称类型⑤参数展示栏2、样本窗显示方式选择某样本球’→‘5╳3或‘6╳43、垂直工具栏①样本类型：以何种方式显示样本②背光：显示/隐藏样本球暗区光线③背景：检查透明材质效果④重复：检查透明材质效果⑤视频颜色检查：检查材质颜色以适应电视输出⑥材质动画预览⑦选项：设置材质，相关参数⑧按材质选择物体4、水平工具栏（1）获取材质（包括复合标准材质）（2）将冷材质重新赋予场景中的物体（3）将材质赋予场景中被选择的物体（4）清除材质（5）热材质变为冷材质（6）保存材质备以后使用（8）材质效果通道，给材质起编号（9）显示场景中物体的贴图（10）显示最后结果（11）回到父层级（12）到同一层次（13）材质/贴图导航器二、同步材质，异步材质1、同步材质称为热材质，当改变材质参数，场景中的物体材质会同步变化，样本球4个角为白三角形2、异步材质称为冷材质，当改变材质参数，场景中的物体材质不随之变化三、给物体贴图选择物体→（材质编辑器按钮）→选择一个样本球→diffuse(散播颜色) →‘（贴图按钮）→“Bitmap(位图) →选择某图片→‘打开→‘（显示贴图按钮）。
最小二乘法的nurbs曲面
最小二乘法的nurbs曲面
（原创实用版）
目录
1.最小二乘法的基本原理
2.Nurbs 曲面的基本概念
3.最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
4.应用实例与结果分析
5.结论与展望
正文
一、最小二乘法的基本原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
在最小二乘法中，拟合函数通常表示为参数的形式，而参数的值则是通过最小化误差平方和来确定的。
二、Nurbs 曲面的基本概念
urbs（Non-Uniform Rational B-Splines）曲面是一种通过基函数和控制点加权求和来描述的曲面。
它具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、数值分析和建模等领域。
三、最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
在最小二乘法中，我们通过拟合数据点来确定 Nurbs 曲面的控制点，以达到最佳拟合效果。
具体来说，就是将数据点上的误差平方和最小化，从而得到最佳的控制点坐标。
四、应用实例与结果分析
我们可以通过一个具体的例子来说明最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用。
假设我们有一组三维数据点，我们希望通过最小二乘法拟合一
个 Nurbs 曲面。
首先，我们需要确定 Nurbs 曲面的阶数和控制点个数。
然后，我们通过最小化误差平方和来确定控制点的值。
最后，我们得到最佳拟合的 Nurbs 曲面。
五、结论与展望
最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中具有很好的应用效果，可以得到较为精确的拟合结果。
弧齿锥齿轮测量齿面的NURBS重构
i =0
B ∑
i,k
N U RBS 曲面是 N U RBS 曲线的张量积形式的
推广 ,设 B j , l 为沿 v 向的 l 次 B 样条基函数 , 可由
de2Boor 递推公式求出 ;q i , j 为曲面的控制顶点 ; w i , j
为 q i , j 的权因子 . 故 N U RBS 曲面的表达式为 :
U =
ui+3 =
i =1
∑|
Pi P i+1 | / S
(3 )
un+3 = un+4 = un+5 = un+6 = 1
b. 建立方程组 . 将非均匀有理 B 样条表示成矩
阵形式为 [ 6 ] :
ri ( t ) = TM i V TM i W
2 3
(4 )
T = [1 ,t , t ,t ], M i 是一个 4 × 4 的矩阵 ,M i 元
摘要 : 利用三坐标测量机获得了弧齿锥齿轮齿 面上采样点的坐标值 , 然后采用双三次 NU RBS 插 值方法拟合出了数值齿面 , 能够为弧齿锥齿轮的数 字化啮合分析提供参数化的齿面模型 . 最后 ,通过一 个实例说明了该方法的可行性 . 关键词 : 弧齿锥齿轮 ;NU RBS ; 拟合 ; 重构 ; 测量 齿面 中图分类号 : T H132. 4 文献标识码 :A 文章编号 :100122257 ( 2010) 0220041203 Abstract : The t hree coordinates’values o n t he
素的值可参照参考文献 [ 7 ]计算得到 . T V = [w i q i , w i + 1 qi + 1 , ∗ ,w i + 3 qi + 3 ]
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系摘要：1.NURBS 简介2.NURBS 节点矢量3.NURBS 阶数4.NURBS 控制点数量5.NURBS 节点矢量、阶数、控制点数量关系正文：1.NURBS 简介URBS（Non-Uniform Rational B-Splines，非均匀有理B 样条）是一种用于曲线和曲面建模的数学表示方法。
它具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、数值分析、建模等领域。
2.NURBS 节点矢量URBS 节点矢量是一个有序的点集，用于描述NURBS 曲线或曲面的基函数和控制点。
节点矢量中的点按照一定的规则排列，通常包括两个部分：节点和控制点。
节点决定了基函数的阶数，而控制点则决定了曲线或曲面的形状。
3.NURBS 阶数URBS 阶数是一个非负整数，用于表示NURBS 曲线或曲面的光滑程度。
阶数越大，曲线或曲面越光滑。
NURBS 阶数与节点矢量中的节点数量有关，具体关系为：阶数= 节点数量- 1。
4.NURBS 控制点数量URBS 控制点是指在节点矢量中，除了节点之外的其余点。
控制点决定了NURBS 曲线或曲面的形状，数量越多，形状越复杂。
NURBS 控制点数量与节点矢量中的控制点数量有关，具体关系为：控制点数量= 节点矢量长度- 节点数量。
5.NURBS 节点矢量、阶数、控制点数量关系URBS 节点矢量、阶数和控制点数量之间的关系可以通过以下公式表示：阶数= 节点数量- 1控制点数量= 节点矢量长度- 节点数量通过这个关系，我们可以在已知其中两个参数的情况下，求解第三个参数。
NURBS基础教程
转载】NURBS基础教程NURBS, 模型像3DMAX的其它物体一样，一个NURBS模型也能集合多个NURBS次物体。
例如，一个NURBS物体可能包含两个曲面，而它们在空间里是相互独立的，没有依附关系。
无论是NURBS曲线还是NURBS曲面都是可以进入其次物体级别，用点或者可控点来调节。
这里的点和可控点与传统的3DMAX的Spline Objects(样条物体）的控制点表现都很出色。
在NURBS模型的父物体如果是一个NURBS曲面，下面列出了NURBS Sub-Objects(次物体）有可能包含的所有项目：Surfaces(曲面）：在3DMAX中有两种NURBS曲面。
一种是用点来控制的Point surface(点曲面），这些点总是在曲面上。
另一种使用CV（可控点）来控制的CV surface(可控曲面），这些点可以在曲面的外部来控制曲面的形态，调节起来更加灵活。
Curves(曲线）：在3DMAX中也有两种NURBS曲线。
这两种是完全符合上面提到的那两种曲面的。
Point Curve(点曲线）是由曲线上的点来控制的，这些点总在曲线上。
CV Curve(可控曲线）是由可控点来控制的，这些点不一定在曲线上。
Points(点）：点曲面和点曲线的Sub- Objects(次物体）里有这个项目。
能建立一个点次物体，可以不是曲线或曲面的一部分。
CV(可控点）：可控曲面和可控曲线有CV（可控点）次物体。
不像点那样，CV（可控点）总是曲线或曲面的一部分。
Import(引入）：引入是NURBS物体把其它3DMAX物体引入到自身造型内的一个过程。
在NURBS造型内部，被引入的物体会被当作NURBS造型来渲染，但是保持最初的参数和变动修改。
2.1 建立NURBS模型3DMAX提供了多种途径来建立NURBS曲面。
下面是建立NURBS物体的几种方法：可以在Create(建立）命令面板的Shape(图形）面板中建立NURBS Curves(曲线）。
最小二乘法的nurbs曲面
最小二乘法的nurbs曲面
【最新版】
目录
1.最小二乘法简介
2.Nurbs 曲面简介
3.最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
4.结论
正文
1.最小二乘法简介
最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
该方法广泛应用于数据分析、工程建模和科学研究等领域。
最小二乘法可以解决的问题包括线性回归、非线性回归以及曲线拟合等。
2.Nurbs 曲面简介
urbs（Non-Uniform Rational B-Splines）曲面是一种通过基函数和控制点加权求和来描述的曲面。
Nurbs 曲面具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、数值分析和建模等领域。
Nurbs 曲面的控制点决定了曲面的形状，而基函数则决定了曲面在不同方向上的平滑程度。
3.最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
在最小二乘法的框架下，可以通过拟合数据点来构造 Nurbs 曲面。
具体来说，可以将数据点视为 Nurbs 曲面上的控制点，然后使用最小二乘法寻找最佳的 Nurbs 曲面。
为了实现这一目标，需要将 Nurbs 曲面表示为基函数的线性组合，并将基函数的系数视为待求解的参数。
接着，将问题转化为求解线性最小二乘问题，从而得到最佳的 Nurbs 曲面。
4.结论
最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中发挥了重要作用。
通过将数据点视为 Nurbs 曲面上的控制点，并使用最小二乘法寻找最佳的 Nurbs 曲面，可以实现对复杂数据的精确拟合。
此外，Nurbs 曲面具有很好的局部性和灵活性，可以很好地适应数据的变化。
基于NURBS的光学镜片重构算法研究
几
％在
程中，选
值设置为1以
简
的计算难度％
2.2节点 参数化
到曲面的表达式，欲构
面，正
除了要控制点和次数还需要确定节点矢量。控制矩阵
构造的控制网格只能控制曲面大体走向，而要曲面
贴 值点，需要选择较优的节点矢量参数
％
选择修正弦长参数 ［12］,修正弦长参数化的表
达式
[M0 = 0 [Mi = M+1 + 代 I /
modiication ; evaluation of the lens ; FFV simulation
渐进多焦点镜片能够为近视或远视患者提供连续
清晰的视觉,给配戴 来舒适的体验，得到
的应用。随着
点镜片和自 面技术的发
展，设计
变得
重要［1］%在光学
镜片设
计实验中，用 学计算出的渐进镜片总
不必
要的侧向散光和聚集误差，镜
面（6）%
点镜片在上为远视区，在下为近视
区，
区的渐变区为 ，
数渐变。渐
进镜 图1
%
结构排列（8）%
1.2 点的
制
产生影响，从而影
重构出来的曲面。
点数据
面重
建， 点的
能导致 局部曲率变化大的问
，在后期
面重建的过程中
面光滑度
不够，增加曲面重构计算负担。
，需要
处
理，去
点。点数据由大量的型值点构成，而噪
点可以认为 种高频的随
样点，大量随机变
量服从或近似正态分布。所以， 使用高斯滤波来
处理， 高滤波器在指定 的权重服
从高斯分布的特征来去
点，并 保持原有的数
一种NURBS曲面几何特征修改方法
之 最小化 ， 实现 了 Ｎ Ｂ ＵＲ Ｓ曲面上给定一点 处的位置 、 一阶偏导 矢、 二阶偏 导矢和法 矢等 几何 特征 的修 改。数值 实 例表 明该方法用于微调 时， 可实现对 曲面局部形状 的多种修改效果 ， 于交互设计 。 便 关键词 ： ＵＲ Ｓ曲面； Ｎ Ｂ 约束优化 ； 几何特 征 ； 形状修 改 中图分类号 ： Ｐ ９ Ｔ ３１ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ７ ２４ ２ ０ ）３ １ ３ ３ １０ —３ ６ （０ ８ ０ —０ ３ —０
维普资讯
２０ ０ ８年 ５月
西
安
邮
电 学
院
学
报
Ｍａ ０ ８ ｙ２０
Ｖ １１ ｏ ３ ｏ ．３ Ｎ ．
笫ｌ ３卷 第 ３期
Ｊ ＵＲ Ａ Ｏ Ｎ ＬＯＦＸＩＡ ＵＮＩ ＲＳＴＹ Ｏ ’Ｎ ＶＥ Ｉ ＦＰ Ｓ Ａ Ｄ Ｔ Ｌ Ｃ ＭＭＵＮＩ Ａ Ｉ Ｓ Ｏ Ｔ Ｎ Ｅ Ｅ Ｏ Ｃ Ｔ ＯＮ
领域做出了许多有益的研究工作 。 本文基于约束优化给出了一种修改 Ｎ 瓜Ｂ Ｉ ｓ曲 面几何 特征 的方 法 。通 过对 Ｎ ＵＲＢ Ｓ曲面 的控 制顶 点进行 扰动 ， 曲 面控 制 网格 变 化 量 为 目标 函数 并 以 使之最 小 化 ， 现 了 Ｎ Ｂ 实 Ｉ Ｓ曲面 上 给定 一点 处 的 位置、 阶偏导矢 、 一 二阶偏导矢和法矢等几何特征的
一
种 ＮＵＲ Ｓ曲面几 何 特 征 修 改方 法 Ｂ
柳 晓燕
（ 西安邮 电学 院 应用数理 系， 陕西 西安 ７０２ ） １ １ １
摘 要 ： ＵＲ Ｓ曲线曲面形状修 改一直是 Ｃ Ｄ 中的关键技 术之一 。本 文针 对 Ｎ Ｎ Ｂ ＡＧ ＵＲＢ Ｓ曲面的几何 特征 修改 ， 出 提
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系摘要：一、引言二、NURBS节点矢量的概念1.NURBS曲线的节点矢量2.NURBS曲面的节点矢量三、NURBS阶数与控制点数量的关系1.NURBS阶数的概念2.控制点数量与阶数的关系四、不同阶数NURBS曲线的特点1.低阶NURBS曲线2.高阶NURBS曲线五、NURBS曲线与曲面的应用领域1.计算机图形学2.工业设计3.数字娱乐六、结论正文：一、引言URBS（Non-Uniform Rational B-Splines）是一种广泛应用于计算机图形学、工业设计和数字娱乐等领域的高度非线性曲线和曲面建模方法。
NURBS曲线和曲面的质量和性能在很大程度上取决于它们的节点矢量、阶数和控制点数量等因素。
本文将重点探讨NURBS节点矢量、阶数和控制点数量之间的关系。
二、NURBS节点矢量的概念URBS曲线和曲面的节点矢量是用于定义其局部和非局部几何形状的关键数据结构。
在NURBS曲线中，节点矢量定义了曲线在各个节点处的切线方向；在NURBS曲面中，节点矢量定义了曲面在各个节点处的法线方向。
节点矢量的数量决定了NURBS对象的阶数。
三、NURBS阶数与控制点数量的关系1.NURBS阶数的概念URBS阶数是指NURBS曲线或曲面在某个方向上的局部多项式次数。
它决定了NURBS对象在各个节点处的局部几何形状。
NURBS阶数可以从1到无穷大。
一般来说，阶数越高，NURBS对象的局部几何形状越接近理论上的连续曲线或曲面。
2.控制点数量与阶数的关系在NURBS曲线和曲面中，控制点数量决定了NURBS对象的阶数。
具体而言，控制点数量等于阶数加一。
例如，一个二次NURBS曲线有三个控制点，一个三次NURBS曲线有四个控制点，依此类推。
四、不同阶数NURBS曲线的特点1.低阶NURBS曲线低阶NURBS曲线通常具有较少的控制点，因此在节点处的局部几何形状较为简单。
这使得低阶NURBS曲线易于编辑和操作，但在表示复杂几何形状时可能不够精确。
NURBS曲线算法
NURBS曲线算法说明：本文中的所有曲线都是由型值点拟合而成的，通过调整型值点达到调整曲线形状的目的。
设计算法时，请注意误差控制，所有涉及到误差的地方请用变量来控制。
算法封装成C++类1、通过型值点反算控制点（曲线拟合）；2、给定插值点数重新插值：如原曲线是由21个型值点拟合的，现在需要将型值点（插值点）数调整为5个或者更多（如30个），尽量保持原曲线形状。
3、定长调整曲线：如原曲线长度为50，现在需要通过调整曲线上的某个顶点使曲线长度变更为55。
4、计算曲线上离曲线外点P(x,y)最近的点P0。
5、计算插入点位置：如上图所示，当给定一个坐标时P(x,y)时，计算出曲线上的最近点P0，并计算出插值位置（如原曲线是由型值点P1,P2,P3,P4,P5生成的，这时计算出插入点位置为2，则插入点后的曲线由点P1,P2,P0,P3,P4,P5组成）。
6、延长曲线：给定一个延长量，并指定延长端，生成一条新的延长后的曲线，尽量保持原曲线部分不变化。
6、将曲线转换为多义线（一系列线段，折线），可以通过给定的圆顺系数控制多义线的圆顺度。
7、相似曲线算法：如原曲线前首尾端点为A和B，现在给定两个点C和D，并曲线相似到C、D位置：可以通过布尔参数（如bInvert）控制曲线方向，如果bInvert = true，则新曲线是翻转后的曲线：7、调整曲线上两点间的曲线形状：如原曲线由点P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9组成，现在需要调整P5到新的位置P5`，要求P3-P8间的点能跟随自动调整（注：P3和P8也不能动，在本例中P1、P2、P3、P8、P9是锁定点），从而保证调整后的曲线与原曲线形状相似：8、给定任意一个坐标点P(x,y)，计算该点在曲线上的节点矢量（注点P(x,y)有可能在曲线上，也有可能不在曲线上，如果不在曲线上，则映射到曲线上的最近点）。
9、曲线长度计算，及计算任意两个节点矢量间的曲线长度。
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系（原创实用版）目录1.NURBS 简介2.NURBS 节点矢量3.NURBS 阶数4.NURBS 控制点数量5.NURBS 节点矢量、阶数、控制点数量关系正文1.NURBS 简介URBS（Non-Uniform Rational B-Splines，非均匀有理 B 样条曲线）是一种用于曲线和曲面建模的数学表示方法，广泛应用于计算机图形学、数值分析和建模领域。
NURBS 曲线具有很好的局部性和灵活性，可以精确表示各种复杂形状。
2.NURBS 节点矢量URBS 节点矢量是用来描述 NURBS 曲线或曲面的控制点集合。
节点矢量中的每个元素都是一个控制点，控制点决定了曲线或曲面的形状。
节点矢量的大小等于控制点的数量，通常用 n 表示。
3.NURBS 阶数URBS 阶数是用来描述 NURBS 曲线或曲面的平滑程度的参数。
阶数越高，曲线或曲面越平滑。
NURBS 阶数通常用 p 表示。
4.NURBS 控制点数量URBS 控制点数量决定了 NURBS 曲线或曲面的形状复杂程度。
控制点数量越多，曲线或曲面越复杂。
控制点数量通常用 n 表示。
5.NURBS 节点矢量、阶数、控制点数量关系URBS 节点矢量、阶数和控制点数量之间存在一定的关系。
具体关系如下：- 节点矢量大小等于控制点数量，即 n。
- 阶数等于节点矢量中基函数的阶数，即 p。
- 控制点数量等于节点矢量的大小，即 n。
总结起来，NURBS 节点矢量、阶数和控制点数量共同决定了 NURBS 曲线或曲面的形状和复杂程度。
nurbs曲线建模
NURBS曲线建模是一种基于数学原理的三维建模技术，它使用曲线来定义曲面，进而构建模型的表面。
NURBS，全称为非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Splines），是一种用于表示曲线和曲面的数学模型。
在三维建模中，NURBS曲线通过控制点来定义，这些控制点可以影响曲线的曲率、方向和长度。
通过调整控制点的位置，设计师可以精确地控制曲线的形状，从而创建出复杂的几何形状。
NURBS曲线建模的过程通常包括以下几个步骤：
1. 创建控制点：首先确定一系列控制点的位置，这些点将作为定义曲线的基础。
2. 生成曲线：通过控制点生成NURBS曲线。
曲线的形状由控制点的位置和权重决定。
3. 编辑曲线：通过移动控制点或调整它们的权重来编辑曲线的形状，直至达到所需的设计要求。
4. 生成曲面：一旦曲线被定义，就可以使用这些曲线来生成曲面。
这些曲面可以进一步组合和编辑，形成复杂的三维模型表面。
5. 模型细化：对模型进行细化处理，包括添加细节、调整曲面光滑度等，以完成最终的三维模型设计。
NURBS建模的优势在于其高度的灵活性和精确性，能够创建出平滑且连续的曲面，非常适合于需要高精度和流线型设计的领域，如汽车设计、航空航天和工业
产品设计等。
此外，NURBS曲线和曲面是基于数学表达式构建的，这使得它们在计算机辅助设计和制造中具有很高的效率和兼容性。
第五章 曲线曲面(NURBS)的操作概要
七、 边框建模的方法
（1）、创建新的场景，命名为Boundary。 （2）、应用CV工具在Top视图中创建一条曲线。 （3）、在Front视图中创建两条直线，同时复制一条曲线。 （4）、 选择 所有线，使用Surface——Boundary选项，点 击图标调出设置窗口。Curve Ordering部分的Automatic 的作用是自动根据边框创建曲面 （5）、 点击Boundary即可创建边界曲面。
四、旋转（Revolve）
（1）、创建一个场景。 （2）、应用CV工具在Front视图中创建一条曲线。 （3）、选择该曲面，使用Surface——Revolve选项，点击 属性图标调出设置窗口。Axis Preset定义曲线旋转 轴；Start Sweep Angle和End Sweep Angle定义开始 和结束的角度。
五、倒角（Bevel）
（1）、新建场景命名为Bevel。 （2）、创建字体。使用Create→Text命令，在场景中创建 文字。 （3）、选择一个字母，使用Surface→Bevel Plus选项，点 击图标调出设置窗口。 （4）、点击Apply按钮，创建一个倒角字母。 （5）、依次选择其他字母进行倒角，完成倒角创建模型的 操作。
一、切割曲面（Trim Surfaces）与布尔运算 （Booleans）
• 1、切割曲面的方法（以圆柱体为例） • （1）、创建一个场景，命名为Trim。 • （2）、在场景中创建一个NURBS圆柱体，并同时创建 一个Curve的圆。 • （3）、使用缩放工具放大该圆，同时进行旋转。 • （4）、选择圆柱和曲线，使用Edit NUEBS—— Project Curve on Surface命令，点击图标调出设置 窗口。完成参数设置，圆环按照法线的方向投射在圆 柱上。 • （5）、选择圆柱，使用Edit NUEBS——Trim Tool命 令，点击图标调出设置窗口。Keep的作用是保留分割 点所在的曲面；Fitting Tolerance定义切割的精确度， 值越小越精确。 • （6）、点击鼠标左键，在保留的曲面上画一个点，也 可以画多个点，回车键结束运行。 • （7）、通过移动切割边界，可以修改切割位置，移动 圆环还可以调整切割形状。
matlab nurbs曲线拟合
MATLAB NURBS曲线拟合在计算机辅助设计和计算机图形学领域，NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）曲线是一种常用的数学表示方法。
在MATLAB中，我们可以使用NURBS曲线进行曲线拟合，以逼近给定的数据点集合。
1. NURBS曲线简介NURBS曲线是一种基于B样条的曲线表示方法。
它由控制点、节点序列和权重三个要素构成。
NURBS曲线可以描述各种复杂的曲线形状，并且具有良好的局部控制性质。
NURBS曲线的数学表示如下：其中，u是参数，P是控制点，N是基函数，w是权重。
2. MATLAB中的NURBS曲线拟合在MATLAB中，我们可以使用Curve Fitting Toolbox提供的函数进行NURBS曲线拟合。
以下是一个基本的示例：% 创建一个包含10个数据点的曲线x = linspace(0, 1, 10);y = sin(2*pi*x);% 定义NURBS曲线的阶数和控制点degree = 3;knots = linspace(0, 1, 10);weights = ones(size(x));% 进行NURBS曲线拟合nurbs = nrbmak([x; y], degree, knots, weights);在上述示例中，我们首先创建了一个包含10个数据点的曲线，然后定义了NURBS 曲线的阶数、节点序列和权重。
最后，使用nrbmak函数进行NURBS曲线拟合，得到了拟合曲线的控制点和节点序列。
3. NURBS曲线拟合的参数选择在进行NURBS曲线拟合时，我们需要合理选择曲线的阶数、节点序列和权重。
以下是一些常用的参数选择策略：3.1 阶数选择阶数决定了NURBS曲线的灵活性和逼近能力。
一般来说，较高的阶数可以更好地逼近复杂的曲线形状，但也会增加计算复杂度。
通常情况下，3阶或4阶的NURBS曲线已经能够满足大多数应用需求。
3.2 节点序列选择节点序列决定了曲线在参数空间中的分布情况。
threejs nurbssurface参数
threejs nurbssurface参数Three.js 是一个用于创建交互式 3D 图形的 JavaScript 库。
其中的 NURBS 曲面（Non-Uniform Rational B-Spline Surface）是一种高级的曲面形状，由一系列控制点和控制顶点定义。
在Three.js 中，我们可以使用 NURBS 曲面来创建复杂的非线性形状。
NURBS 曲面具有许多参数，用于控制其外观和行为。
下面是一些与 Three.js 中 NURBS 曲面相关的参数：1. 控制点（Control Points）：定义 NURBS 曲面形状的关键参数是控制点。
它们是曲面上的点，通过它们来控制整个曲面的形状。
在 Three.js 中，可以通过设置一个控制点数组来指定NURBS 曲面的控制点。
2. 控制顶点（Control Vertices）：控制顶点是曲面的一个特殊类型的控制点。
它们不同于一般的控制点，它们可以指定在曲面上的不同位置的权重。
权重越高，曲面在该位置的形状受该控制顶点的影响越大。
3. 度（Degree）：度是 NURBS 曲面中多项式的最高项次数。
度数越高，曲面的复杂性也增加。
在 Three.js 中，可以通过设置曲面的度来调整曲面的光滑程度。
4. 节点（Knots）：节点是用于定义曲线形状的一组参数。
它们可以看作是曲线或曲面上的关键点。
在 Three.js 中，可以通过设置一个节点数组来定义 NURBS 曲面的节点。
5. 权重（Weights）：权重是一个与控制顶点关联的值，用于控制控制顶点对曲面的影响程度。
通过调整权重，可以改变曲面的形状和平滑度。
6. 网格大小（Grid Size）：网格大小是指产生的 NURBS 曲面中使用的控制点和控制顶点的数量。
网格越大，曲面的分辨率越高，细节也越丰富。
7. 自动更新（Automatic Updates）：Three.js 的 NURBS 曲面默认情况下会自动更新。
NURBS建模
NURBS 建模一、“点”顶点和“CV控制点”顶点NURBS的所有编辑都是基于控制点的，对NURBS曲线和表面的编辑，其实也就是对顶点集合的编辑，NURBS曲线和NURBS表面有两种控制方法：“点”顶点和“CV控制点”顶点。
“点”：该类型的顶点与曲线和表面紧密相连，并对曲线和表面的曲率作相应的调整。
调整“点”顶点时，面或曲线直接被其带动，“点”顶点能够使曲线或表面穿过空间中的某一点。
“CV控制点”：该顶点和CV曲线或表面保持一定距离，根据CV权重值，来影响曲线和表面，使其朝向或远离CV。
“CV控制点”顶点会使曲线或表面向空间某一位置倾斜。
二、创建NURBS对象第1种方法是在场景中直接创建NURBS曲线或NURBS曲面。
第2种方法是通过编辑修改器将对象转化为NURBS对象。
第3种方法是直接将对象塌陷为NURBS对象。
第4种方法是在创建NURBS对象后，进入“修改”命令面板，在“常规”卷展栏内单击“NURBS创建工具箱”按钮，打开NURBS创建工具箱，通过该工具箱可以创建NURBS 对象。
三、对象层级四、创建点1.创建点2.创建偏移点3.创建曲线点4.创建曲线-曲线点“创建曲线-曲线点”：该命令按钮可在两条曲线的交叉处创建点。
5.创建曲面点6.创建曲面-曲线点“创建曲面-曲线点”：使用该命令可以在一个曲面和一条曲线的相交处创建依附点。
五、创建曲线“曲线”功能区中的命令按钮是用来创建NURBS曲线的，包括点曲线、CV曲线、独立曲线和附属曲线。
点曲线是由点控制的曲线，CV曲线是由CV控制顶点控制的曲线。
NURBS中的独立曲线不依附于任何对象，直接由点或控制顶点控制，附属曲线的形状依附于其他对象，当其依附的对象形状发生改变时，附属曲线的形状也会改变。
1.创建CV曲线2.创建点曲线3.创建拟合曲线依据选择的点创建一条适配的曲线。
4.创建变换曲线“创建变换曲线”：该命令可将具有不同位置、旋转或缩放的原始曲线创建出一个副本。
基于点云数据NURBS曲面重构技术探究C#
Zhang Nan, Wang Yanmin
( School of G emat ics and U rban Informat ion , BU CEA Beijing 100044)
Abstract: Based on researching NURBS reconst ruct ion algorithm, analyzing many methods of some sof tw are and apply ing 3D laser point s, t he cont rol points w it h rectangular topology are constructed by using t he knot insert ion algorit hm. T he 3D models are displayed under C# environment by using OpenGL . Key words: NURBS; surface reconstruction; ancient archit ecture prot ect ion
将 j 列方向设为参数 v 方向, 划分 uv 的目的即定
义局部坐标系. 沿 u 向第 j ( j = 0, ∀m - l - 1) 列数 据点 Pi, j ( i = 0, ∀, n - k - 1) 的 规范 参数 化 为
ui , j :
u0, j = 0, un- k- 1, j = 1( j = 0, ∀m - l - 1)
i= 0 j= 0 nm
( 1)
Bi, k( u ) Bj, l ( v ) Wi, j
i= 0 j = 0
式表示 k ! l 次 N U RBS 曲面, 其中, di , j ( i = 0, ∀,