东南大学离散数学第一章

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离散数学第一章第一节

PQ PQ PQ PQ
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111源自(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为命题变元。
7、练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化结果是（）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。

离散数学课件第一章(第1讲)

3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或例如：灯泡有故障或开关有故障。今天下雨或打雷。以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时，则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例：他通过电视看杂技或到剧场看杂技。他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》：具有唯一值的陈述句叫命题。讨论定义：
(1)命题的值：命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时既为真又为假。
(2)命题的真假值表示：命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取，读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ，则ＰΛＱ的真值为Ｔ。否则，其真值为Ｆ。
第一篇数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合理的结论的规律。数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑和谓词逻辑。数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处理思维的形式和规律。
第一章命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词

离散数学第一章(第2讲)

P Q P ∨Q
FF F FT T TF T TT T
（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ
F F T T
¬（（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ）
T T F F
P Q R ＱΛＲＰ∨（ＱΛＲ)
FFF F
F
FFT F
F
FTF F
F
FTT T
TTTF F
T
TTT T
T
例２．写出命题公式Ｐ∨（ＱΛＲ）的真值表
由上二例可见，２个命题变元有４组真值指派；３个命题变元有23＝８组真值指派，ｎ个命题变元则有 2n个真值指派。
翻译：P ：今天是周六 R: 我们到圆明园玩 T:我们到动物园玩
Q:我们到颐和园玩 S:颐和园游人太多
前提： P (Q∨R), S Q, P ， S
结论： R∨T
(11) 设P:明天下雨，Q:明天刮风，R:我去学校，则下列命题公式各表示什么意思。
1） (PQ) R 如果明天不是风雨交加，则我去学校。
2） (PQ) R 如果明天不下雨也不刮风，我才去学校。
3） P ∨ Q R 若明天下雨或刮风，则我不去学校。
§３命题公式的翻译
步骤如下： (1)找出各简单命题，分别符号化。 (2)选择适当的联结词，把简单命题逐个联结起来。
例. 将下列命题符号化. (1)李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。解：首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。该命题符号化为：P（Q▽R）
《定义》：命题公式A在其所有可能的赋值下取得的值列成的表称为A的真值表。
构造真值表的步骤如下： 1)找出给定命题公式中所有的命题变元，列出所有可能的赋值。 2)按照命题公式的运算次序列出命题公式的各层次。 3)对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到最后计算出整个命题公式的值。

（完整版）离散数学电子教材1（可编辑修改word版）

（完整版）离散数学电子教材1（可编辑修改word版）第1 章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。

辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。

形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。

数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。

所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。

因此数理逻辑也称为符号逻辑。

数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。

本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2 章进行讨论。

1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。

在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。

因此命题就成为推理的基本单位。

在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。

定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。

命题的判断结果称为命题的真值，常用T(True)（或1）表示真，F(False)（或0）表示假。

真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。

从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。

例1.1.1 判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。

（2）请勿吸烟！（3）雪是黑的。

（4）明天开会吗？（5）x+y=5。

（6）我正在说谎。

（7）9+5≤12 。

（8）1+101=110 。

（9）今天天气多好啊！（10）别的星球上有生物。

解在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y 取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。

离散数学第1章

为或非联结词。

P Q为真当且仅当P、Q同时为假。
27
极小全功能集

定义1.15 称联结词集G为全功能集，如果由G中联结词构成的公式能等价表示任意命题公式。

定义1.16 称联结词集G为极小全功能集，如果G满足条件：①由G中联结词构成的公式能等价表示任意公式；②G中的任一联结词不能用其余联结词等价表示。
16

等值式有下列性质：
① 自反性，即对任意公式A，有A A。

② 对称性，即对任意公式A和B，若A
B，则B A。

③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若
A B、B C，则A C。
17
基本等值式——命题定律

双否定: (1)AA
幂等律：(2)A∨AA
(3)A∧AA
2
1.1 命题符号化及联结词

命题真值：T（1）
命题标识符

F（0）

3
命题联结词

复合命题、原子命题命题联结词否定l 合取∧ 析取∨ 蕴涵→ 等价
4

否定

定义1.1 设P表示一个命题，复合命题 “非P” 称为P的否定式，记作 lP。 l为否定联结词。
lP为真当且仅当P为假。

5
记为H1∧H2∧…∧HnP。

定理公式P是H1, H2,…, Hn的逻辑结论，当且仅当H1∧H2∧…∧Hn→P是永真式。
40
推理规则

Ｐ规则(也称前提引入规则)：在推导过
程中，前提可视需要引入使用。

Ｔ规则(也称结论引入规则)：在推导过
程中，前面已导出的有效结论都可作为

东南大学离散数学第一章

– 王华的成绩很好并且品德很好 pq • p：王华的成绩很好 • q：王华的品德很好
计算机科学与工程学院
p q
F F F T T F T T
pq
F F F T
21
1.1 命题与联接词
析取联接词
– 符号,读作“析取”
定义：命题 p，q – p与q的析取式：复合命题“p或q” – 符号：pq(符号称作析取联结词) – pq为假当且仅当p和q同时为假例子
数理逻辑提供了计算机科学与技术研究中的重要工具与方法
计算机科学与工程学院
12
第一部分数理逻辑
■ 主要内容命题逻辑基本概念
命题逻辑等值演算
命题逻辑推理理论一阶逻辑基本概念一阶逻辑等值演算与推理
计算机科学与工程学院
13
第1章命题逻辑基本概念 Propositional Logic
• 离散数学与数据库理论
数据库理论中的关系演算与关系模型需要用到谓词逻辑关系数据库是行和列组成的二维表，表间的连接操作由笛卡尔积理论支持表的操作（查询、删除、修改）与关系代数和数理逻辑密切相关
计算机科学与工程学院
6
绪论：离散数学与计算机科学(续)
• 离散数学与人工智能
计算机智能化（推理）的前提——自然语言的符号化语言符号化是数理逻辑研究的基本内容
– 自然数、整数，真假值，有限节点等
研究方法：推理、运算及实验等
计算机科学与工程学院
2
绪论：为什么要学习离散数学
计算机技术的支撑科学：计算机只能处理离散的或
离散化了的数量关系
培养离散思维与抽象思维能力计算机专业课程学习的重要基础
培养理论研究和应用开发的离散建模能力

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p→q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：⌝, ∧, ∨, →, ↔，组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔}，联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=⌝B, B是n层公式；(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q→p)∧q→p，B =⌝(⌝p∨q)∧q，C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式说明：定义中，A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律：A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔(⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德⋅摩根律，置换规则）⇔(p∧q) →r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德⋅摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ⇔ B，则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的→, ↔（若存在）(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , （析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) （交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) （分配律）B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) （分配律）B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p→r, r→⌝s结论：s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

离散数学第一章知识点总结

离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。

以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合中的对象称为元素。

我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。

如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

集合之间的关系包括子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。

集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。

此外，还有补集的概念。

如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。

集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。

例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。

离散数学第1章答案

习题1.11、（1）否（2）否（3）是，真值为0（4）否（5）是，真值为12、（1）P：天下雨 Q：我去教室┐P → Q（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q（3）P，Q同（2） Q → P（4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q3、（1）0（2）0（3）14、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。

（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。

（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。

习题1.21、（1）是（2）是（3）否（4）是（5）是（6）否2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P（3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P → Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q)（2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R)) （3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q)4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q)习题1.31、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 13、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式（2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式（3）原式 <=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式（4）原式 <=> P∧(Q∨R) ←→ P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式（5）原式 <=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式（6）原式 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式（7）原式 <=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式（8）原式 <=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式4、（1）左 <=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右（2）左 <=> ┐(┐P∨Q) <=> 右（3）左 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右（4）左 <=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右(5)左⇔(⌝P∨Q)∧(⌝R∨Q)⇔⌝(P∨Q)∨Q⇔右5.(1)左⇒Q⇒⌝P∨Q⇒右(2)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))⇔⌝(⌝P∨⌝Q∨R)∨⌝(⌝P∨Q) ∨(⌝P∨R)⇔(P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q)∨⌝P∨R⇔(P∧Q∧⌝R)∨((P∨⌝P)∧(⌝Q∨⌝P))∨R⇔(P∧Q∧⌝R)∨(⌝Q∨⌝P∨R)⇔(P∧Q∧⌝R) ∨⌝(P∧Q∧⌝R)⇔T故P→(Q→R)⇒(P→Q)→(P→R)(3).(P→Q)→(P→P∧Q)⇔⌝(⌝P∨Q)∨⌝P∨(P∧Q)⇔⌝(⌝P∨Q)∨(⌝P∨P)∧(⌝P∨Q)⇔⌝(⌝P∨Q)∨(⌝P∨Q)⇔T故P→Q⇒P→P∧Q(4).((P→Q) →Q) →P∨Q⇔⌝(⌝(⌝P∨Q) ∨Q) ∨P∨Q⇔((⌝P∨Q)∧⌝Q)∨P∨Q⇔(⌝P∧⌝Q)∨(Q∧⌝Q) ∨P∨Q⇔⌝(P∨Q)∨(P∨Q)⇔T故(P→Q) →Q⇒P∨Q(5).((P∨⌝P)→Q)∧((P∨⌝P)→R)→(Q→R)⇔⌝((⌝T∨Q)∧(⌝T∨R)) ∨⌝Q∨R⇔⌝(Q∧R)∨⌝Q∨R⇔⌝Q∨⌝R∨⌝Q∨R⇔⌝Q∨T⇔T故((P∨⌝P) →Q)∧((P∨⌝P)→R)⇒Q→R(6)左⇔(Q→F)∧(R→F)⇔(⌝Q∨F)∧(⌝R∨F)⇔⌝Q∧⌝R⇒⌝R⇒⌝R∨Q⇔右6.(1)原式⇔(⌝P∧⌝Q∧R)(2)原式⇔⌝P∨⌝Q∨P⇔⌝(P∧Q∧⌝P)(3)原式⇔P∨(Q∨⌝R∨P)⇔P∨Q∨⌝R⇔⌝(⌝P∧⌝Q∧R)7.(1)原式⇔⌝(⌝P∨⌝Q∨P)(2)原式⇔(⌝P∨Q∨⌝R) ∧⌝P∧Q⇔⌝(⌝(⌝P∨Q∨⌝R)∨P∨⌝Q)(3)原式⇔⌝P∧⌝Q∧ (R∨P) ⇔⌝(P∨Q∨⌝(R∨P))8. (1) (P∨Q)∧((⌝P∧ (⌝P∧Q))∨R)∧⌝P(2)(P∨Q∨R)∧(⌝P∧R)(3)(P∨F)∧(Q∨T)习题1.41.(1)原式⇔⌝(⌝P∨⌝Q)∨((⌝P∨⌝Q)∧(Q∨P))⇔⌝(⌝P∨⌝Q)∨(Q∨P)⇔(P∧Q) ∨Q∨P⇔Q∨P,既是析取范式又是合取范式(2)原式⇔((⌝P∨Q)∨(⌝P∨⌝Q))∧(⌝(⌝P∨Q) ∨⌝(⌝P∨⌝Q)) ⇔(P∧Q)∨(P∧⌝Q) 析取范式⇔P∧(Q∨⌝Q)合取范式(3)原式⇔⌝P∨Q∨⌝S∨ (⌝P∧Q)析取范式⇔(⌝P∨(⌝P∧Q))∨Q∨⌝S⇔⌝P∨Q∨⌝S合取范式(4)原式⇔P∨P∨Q∨Q∨R既是析取范式又是合取范式2.(1)原式⇔P∨⌝Q∨R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为:(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝∧QR)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)(2)原式⇔(P∧⌝Q) ∨R⇔(P∧⌝Q∧(R∨⌝R))∨((P∨⌝P)∧R)⇔(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q)∨( ⌝P∧R)⇔(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R) ⇔(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)⇔(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R) ∨(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)为真的解释是101，100，111，011，001(3)原式⇔(⌝P∨(Q∧R))∧(P∨(⌝Q∧⌝R))⇔((⌝P∨ (Q∧R)) ∧P)∨(( ⌝P∨ (Q∧R))∧( ⌝Q∧⌝R))⇔(⌝P∧P)∨(Q∧P∧R)∨( ⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(Q∧R∧⌝Q∧⌝R)⇔(P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)为真的解释是：000,111(4)原式⇔P∨P∨Q∨Q∨R⇔P∨Q∨R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为：(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)3.(1)原式⇔⌝P∨Q∨⌝P∨⌝Q⇔T主合取范式，无为假的解释。

离散数学第一章知识点总结

离散数学第一章知识点总结（仅供参考）1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤：首先应是陈述句；其次要有唯一的真值。

例：（1）我正在说谎。

不是命题。

因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。

这其实是一个语义上的悖论。

悖论不是命题（2）x-y?＞2。

不是命题。

因为x, y的值不确定，某些x, y使x?y＞2为真，某些x, y使x?y＞2为假，即x?y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。

因此x?y＞2的真假无法确定，所以x?y＞2不是命题。

2.命题可以分为两种类型：原子命题（不能再分解为更简单命题，又可称为简单命题）；复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题）3.命题常元：一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元命题变元：如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元注：当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派4.联接词：（1）否定联接词：﹁假为真，真为假；还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并不”等多种方式表示否定（2）合取联接词：∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方式表达合取（3）析取联接词：∨一个为真就为真；一般用或表示注：联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。

但自然语言中的“或”既可以是“排斥或?”也可以是“可兼或?”。

例晚上我们去教室学习或去电影院看电影。

（排斥或）例他可能数学考了100分或英语考了100分。

（可兼或）例刘静今天跑了200米或300米远。

（既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结词，故例是原子命题。

）（4）蕴涵联结词： ? 前真后假才为假；还可以用当……则……、因为……所以……、仅当、只有……才……、除非……才……、除非……、否则非……表示(5)等价联接词：? 同真同假才为真；还可以用当且仅当、充分必要表示5.命题公式：1）单个命题变元是合式公式，并简称为原子命题公式；2）如果A是合式公式，那么(﹁A)也是合式公式；3）如果A, B都是合式公式，那么(A∧B ), (A∨B ), (A?B ), (A B )都是合式公式；4）当且仅当有限次地应用1), 2), 3)所得到的包含命题变元、联结词和括号的字符串是合式公式。

离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论集合论基础图论基础逻辑基础组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。

离散数学第一章知识点总结

原子命题(原子命题)：不能分解成更简单的命题的命题。

复合命题：由若干个原子命题用命题联结词、标点符号联结起来的命题。

命题标识符：用字母p 、q 、r 、s 、p 1、…来表示命题，这些字母称为命题标识符。

1. 否定符号：┑P 是命题， ┑ P 读作“非P”。

2 合取符号：∧， p ∧q 读作“p 且q”，“p 合取q”。

3 析取符号：∨ p ∨ q 读作“p 或q”，“p 析取q”。

4 蕴含符号： ® ， p ® q 读作“p 蕴含q”，“如果P 则q”，“当p ，则q”，“p 是q 的充分条件”。

运算联结词的优先级： ┓ 最高；∧,∨, 其次；→，最低.命题公式的赋值指派（赋值）：命题公式中出现n 个不同的命题变项P 1 P n ，对这n 个命题给定一组真值指定称为这个公式的一个指派或赋值或解释。

若一个公式中出现n 个不同的命题变项，每个变项分别可以取成1、0，那么该公式共有个2n 不同的指派。

命题公式的类型永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假可满足式：如公式不是矛盾式就是可满足式，即至少存在一个赋值使公式为真常见的等值式（记住）1) 双重否定律： ┑( ┑A)ÛA2) 幂等律: A ∨A Û A, A ∧ A Û A 3) 交换律: A ∨B Û B ∨A,4) 结合律: (A ∨B)∨C ÛA ∨(B ∨C)， 5) 分配律： A ∨(B ∧C) Û(A ∨B)∧(A ∨C)A ∧(B ∨C) Û(A ∧ B)∨(A ∧ C) 6)德摩根律: ┑(A ∨ B) Û ┑A ∧┑B, ┑(A ∧ B) Û ┑A ∨┑Bïîïíìîíì永真式仅可满足式可满足式矛盾式公式7) 吸收律 : A ∧(A ∨ B) Û A, A ∨(A ∧B) Û A 8) 零律 : A ∨ 1Û 1 , A ∧0Û0 9) 同一律： A ∨ 0Û A, A ∧1Û A 10) 排中律： A ∨ ┑A Û 1 11) 否定律： A ∧ ┑A Û0 12) 蕴含等值式：A ®B Û ¬A ∨B13) 等价等值式：A↔B Û (A ®B)∧(B ®A) 14) 假言易位： A ®B Û ┑B ® ┑A 15) 等价否定等值式： A↔B Û ¬A ® ¬B 16) 归缪论: (A ®B) ∧( A ®¬B) Û ┑A1.5 对偶式与范式一对偶式定义在仅含有联结词Ø , Ú，Ù，的命令题公式A 中，将Ú换成Ù，将Ù换成Ú，同时T 和F （既0和1）互相替代，所得公式A*称为A 的对偶式。

离散数学第1章2019.2.17(终极版)

P：今天下雨， ¬P：今天不下雨。 Q：每一种生物均是动物。——F
¬Ｑ：有一些生物不是动物。——T 注：这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” ——F. 即对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量化词也要加以否定。
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2、合取词( ∧ )
定义：给定两个命题P、Q，则 P∧Q 称为 P 与 Q
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７、命题联结词小结：
(1)五个联结词的含义与日常生活中的联结词的含义大致
相同。 (2)“或”可分为可兼或（∨）和异或（▽）即不可兼或 (3) 除“”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 (4) “→”分为形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”
时，不论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。
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二、命题联结词在命题逻辑中有以下几种基本的联结词： ¬ 1、否定词( ¬ ) 定义：给定命题 P，则在Ｐ的前面加否定词 ¬，变为命题 ¬P，称其为 P 的否定或非 P，记为： ¬P。 ¬P P 其定义可用如下真值表表示: 0 1
1
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例如
（4）老王或小李中有一个去上海出差。（5）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。
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解：（1）首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。该命题符号化为：P （Q▽R）（2）张三和李四是朋友。是一个简单句该命题符号化为：P
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（3）首先用字母表示简单命题。

离散数学大一第1章知识点总结

离散数学大一第1章知识点总结离散数学是一门学科，它主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。

它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续的数学结构和连续的数学对象。

离散数学在计算机科学、信息科学、数学、电子工程等领域有着广泛的应用。

离散数学的第1章主要介绍了一些基本概念和基础知识。

这些知识对学习离散数学后续的内容起到了铺垫作用。

首先，我们来讨论集合的概念。

在离散数学中，集合是一个基本的概念。

它是指具有确定的、互不相同的对象所组成的整体。

集合中的对象称为元素。

集合可以用列表、描述、特征等方式表示。

在集合中，元素的顺序是不重要的，而且每个元素只能在集合中出现一次。

集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。

接下来，我们介绍了逻辑的基本概念。

在离散数学中，逻辑主要研究命题和命题之间的关系。

命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。

逻辑运算符包括否定、合取、析取、条件、双条件等。

通过使用逻辑运算符，我们可以构建复合命题。

离散数学中还介绍了数学归纳法。

数学归纳法是一种证明方法，它用于证明与自然数有关的命题。

数学归纳法的基本思想是：首先证明基础情况成立，然后假设一个数k的情况成立，再证明k+1的情况也成立。

通过这种方式，我们可以证明自然数的某个性质对所有数值都成立。

离散数学的第1章还介绍了关系和函数。

关系是一个集合，其中包含了有序对。

关系可以是自反的、对称的、传递的等。

函数是一种特殊的关系，它的每一个输入都有且只有一个输出。

函数可以表示为图表、公式或算法的形式。

函数的定义域和值域是函数的重要概念。

另外，离散数学的第1章还介绍了图论的基础知识。

图是由节点和边组成的结构。

节点表示对象，边表示节点之间的关系。

图可以是有向的、无向的、加权的、连通的等。

图的表示方法包括邻接矩阵和邻接表等。

总的来说，离散数学的第1章主要介绍了集合、逻辑、数学归纳法、关系、函数和图论的基本概念和基础知识。

这些知识对后续章节的学习至关重要，构建了离散数学的基础框架。

离散数学第1章习题答案

<><><>100;{[];;} ;( *S){>1;}( * x){(>1){("\n !"); 0;}>;>[>];1;}( *S){(>1);}( * *x){((S)){("\n !");0;}*>[>];>;1;}( N){e;*(*)(());(S); (N){(2);2;}((S)){();(" ");}}(){ n;("请输入待转换的值n：\n");("");(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。

(2)李梅能歌善舞。

(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。

(5)只要我有时间，我就来看你。

(6)x＝５。

(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。

(8)太阳系外有宇宙人。

(9)小王和小张是同桌。

(10)不存在最大的素数。

解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。

(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。

其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。

其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。

2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P(P∨Q))。

(2)(P Q)(Q P)))。

(3)((P Q)(Q P))。

(4)(Q R∧S)。

(5)(P∨)S。

(6)((R(Q R)(P Q))。

解 (1)是命题公式。

(2)不是命题公式，因为括号不配对。

(3)是命题公式。

(4)是命题公式。

(5)不是命题公式，因为没有意义。

(6)不是命题公式，因为R(Q R)(P Q) 没有意义。

3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。

(2)我去新华书店，仅当我有时间。

离散数学第一章

离散数学第一章1.N是正整数的集合，Z是非负整数的集合，I是所有整数的集合，P是素数的集合（无限集），Nm：从1到m个正整数，Zm：从0到m-1。

2.幂集:集合A的所有子集组成的集合。

3.差集:所有属于B而不属于A的元素组成的集合，也称A关于B的相对补集,记为B-A。

绝对补就是相对全集而言记为A’4.对称差又叫环和，B-A并上A-B，也等于A并B减A交B。

有很多定律自己看书5.德•摩根律: (A⋃B)' = A'⋂B'(A⋂B)' = A'⋃B'6.设A1，A2，…，A r是全集合U的子集，对这些集合以及Φ 和U有限次地施加补、并、交运算，可以产生出一些新的集合，这样产生的集合称为是由A1，A2，…，A r所产生的集合。

7.可以利用集合成员表证明集合恒等式。

8.集合的分划，分划块，细分，真细分。

集合的覆盖就是去掉分划中交集为空的限制，分划一定是覆盖。

9.由A1, A2…, A r所产生的所有非空最小集的集合构成U的一个分划。

最小集是包含所有r 个子集的交10.由A1, A2, …, A r产生的每个非空集合S 恒可表示为由A1, A2, …, A r产生的不同最小集的并集。

当一个集合被表示为不同最小集的并的形式时，此形式称为该集合的最小集标准形式（范式）11. 例题：B∪C '= ((A∪A')∩B∩(C∪C '))∪((A∪A')∩(B∪B')∩C ')= ((A∩B∩(C∪C '))∪(A'∩B∩(C∪C ')))∪(A∩(B∪B')∩C ')∪(A'∩(B∪B')∩C ')= (A∩B∩C)∪(A∩B∩C ')∪(A'∩B∩C)∪(A'∩B∩C ')∪(A∩B∩C ')∪(A∩B'∩C ')∪(A'∩B∩C ')∪(A'∩B'∩C ')= m111∪m110∪m011∪m010∪m100∪m00012.最大集是包含所有r 个子集的并.最大集的集合不构成分划。

离散数学第一章(第4讲)

（5）对应于有ｎ个变元的命题公式，则一定有：主析范式小项数＋主合范式大项数＝2n
下面介绍不用真值表求一命题公式主合取范式的方法：（1）将命题公式化为与其等价的合取范式；（2）除去永真项，合并析取项中相同变元，变为最简合取式；例：Ｐ∨¬Ｐ∨Ｑ为永真项，去掉。
Ｐ∨Ｐ∨ＱＰ∨Ｑ，合并析取项中相同变元。
----合并析取项中相同变元，化为最简合取范式
（Ｐ∨Ｑ）∧(Ｑ∨（Ｐ∧Ｐ）)
----添项
（Ｐ∨Ｑ）∧ （Ｐ∨Ｑ） ∧ （Ｐ∨Ｑ）（Ｐ∨Ｑ）∧ （Ｐ∨Ｑ）
----合并相同大项
4．主析(合)取范式的编码表示为了能够用编码的形式表达主析(合)取范式，作如下规定：小项和大项中的各命题变元的出现位置必须安排一固定次序。
——“¬”深入到变元前，并最多保留一个（Ｐ∧ ¬Ｑ∧¬R) ∨ （ ¬Ｐ∧ Ｑ）∨ （ ¬Q∧ Ｑ）
——“∧”对“∨”的分配律（Ｐ∧ ¬Ｑ∧¬R) ∨ （ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）
——去掉永假的合取项
注：给定一命题公式的析取范式不是唯一的，但同一命题公式的析取范式一定是等价的。
[定义]一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A1∧A2∧…∧An(n≥1),其中A1，A2，…，An都是由命题变元或其否定所组成的析取式。
如：（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） ∧（¬Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨¬Ｑ）是一
个合取范式。
求一个命题公式的合取范式的方法和求析取范式的方法类同：
（１）利用等价公式：化去“→”、“”联结词，把命题公式变为与其等价的用{¬，∧，∨}表达的公式。
（２）将“¬”深入到原子命题变元之前，并使变元之前最多只有一个“¬”词。
（３）利用“∨”对“∧”的分配律，将公式化为合取范式；
（3）命题公式的主析取范式中小项的个数一定等于对应真值表中真值为“Ｔ”的个数。