有关抛物线的动点问题 (中考)

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中考数学动点问题归纳总结5.因动点产生的平行四边形问题

5.因动点产生的平行四边形问题1.如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()5,0A 、()1,0B -两点，过点A 作直线AC x ⊥轴，交直线2y x =于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A 关于直线2yx =的对称点A '的坐标，判定点A '是否在该抛物线上，并说明理由；（3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA '于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()5,0A 、()1,0B -两点 ∴25504104b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得154b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴抛物线的解析式为21544yx x =-- （2）过点A '作A E x '⊥轴于E ，AA '与OC 交于点D∵点C 在直线2y x =上，()5,10C ∴∵点A 和A '关于直线2yx =对称，OC AA '∴⊥，A D AD '= 5,10,OA AC ==OC ∴===1122OAC S OA AC OC AD ∆=⋅=⋅，AD AA '∴=∴=在Rt A EA '∆和Rt OAC ∆中90A AE A AC ''∠+∠=︒，90ACD A AC '∠+∠=︒A AE ACD '∴∠=∠又90A EA OAC '∠=∠=︒，A EA OAC '∆∆∽A E AE AA OA AC OC''∴==，即510A E AE '==4,8,3A E AE OE AE OA '∴===-=∴点A '的坐标为()3,4-当3x =-时，()21533444y =⨯-+-=∴点A '在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA '的解析式为y kx b =+则51034k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得34254k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CA '的解析式为32544y x =+ 设215,44P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则325,44M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ PM AC ∥∴要使四边形PACM 是平行四边形，只需PMAC = 又点M 在点P 的上方，232515104444x x x ⎛⎫∴+---= ⎪⎝⎭ 解得122,5x x ==（不合题意，舍去）当2x =时，94y =-∴当点P 运动到92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭时，四边形PACM 是平行四边形 2.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点()0,4C ，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为()2,0-，抛物线的对称轴1x =与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．解析：（1）由抛物线经过点()0,4C可得4c = ① ∵对称轴1,22b x b a a =-=∴=- ② 又抛物线过点()2,0A -，042a b c ∴=-+③ 由①②③解得：1,1,42a b c =-== ∴抛物线的解析式为2142yx x =-++ （2）假设存在满足条件的点F ，连接BC 、CF 、OF ，作FHx ⊥轴于H ，FG y ⊥轴于G设点F 的坐标为21,42t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，其中04t << 则2142FH t t =-++，FG t =221114428222OBF S OB FH t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=⨯⨯-++=-++ ⎪⎝⎭ 114222OCF S OC FG t t ∆=⋅=⨯⨯= 224282412AOC OBF OFC ABFC S S S S t t t t t ∆∆∆∴=++=-+++=-++四边形令241217t t -++=，即2450t t -+=则()244540∆=--⨯=-<，方程无解故不存在满足条件的点F（3）设直线BC 的解析式为()0y kx bk =+≠，又过点()4,0B ，()0,4C044k b b =+⎧∴⎨=⎩解得14k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4yx =-+ 由()2211941222y x x x =-++=--+，得91,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭又点E 在直线BC 上，则点()1,3E于是93322DE =-= 由于DE PQ ∥，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，只需DE PQ =设点(),4P m m -+，则21,42Q m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭①当04m <<时，()221144222PQ m m m m m =-++--+=-+ 由213222m m -+=，解得1m =或3m = 当1m =时，线段PQ 与DE 重合，1m =舍去3m ∴=，此时()13,1P②当0m <或4m >时，221144222PQ m m m m m ⎛⎫=-+--++=- ⎪⎝⎭由213222m m -=，解得2m =±此时，((232,2P P +--+综上所述，满足条件的点P 有三个，分别是()13,1P ，((232,2P P +--+. 3.如图，抛物线222y x x m=-与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C ．（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为()0,2，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得AMC ∆的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．解析：（1）222211222y x x x m m m m ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ∴抛物线的顶点B 的坐标为11,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）令2220x x m-=，解得10x =，2x m = ∵抛物线222y x x m=-与x 轴负半轴交于点A (),0A m ∴且0m <.过点D 作DF x ⊥轴于F由D 为BO 中点，DF BC ∥，可得12CF FO CO == 12DF BC ∴= 由抛物线的对称性得3,4AF AC OC AO =∴=DF EO ∥，ADF AEO ∴∆∆∽，DF AF EO AO∴= 由()0,2E ，11,22B m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得12,4OE DF m ==- 13424m -∴=，6m ∴=- ∴抛物线的解析式为2123yx x =-- （3）依题意，得()6,0A -，()3,3B -，()3,0C -可得直线OB 的解析式为y x =-，直线BC 为3x =-作点C 关于直线BO 的对称点()10,3C ，连接1AC 交BO 于M ，则M 即为所求由()6,0A -，()10,3C ，可得直线1AC 的解析式为132y x =+ 由132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得22x y =-⎧⎨=⎩ ∴点M 的坐标为()2,2-由点P 在抛物线2123yx x =--上，设21,23P t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①当AM 为平行四边形的一边时如图，过M 作MG x ⊥轴于G ，过P 作PHBC ⊥于H 则2,3G M H B x x x x ==-==-可证AMG PQH ∆∆≌，得4PH AG ==()34t ∴--=，1t ∴=171,3P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭如图，同理可4PH AG ==34,7t t ∴--=∴=-277,3P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ②当AM 为平行四边形的对角线时如右图，过M 作MHBC ⊥于H ，过P 作PG x ⊥轴于G 则3,H B G P x x x x t ==-==可证APG MQH ∆∆≌，得1AG MH ==()61,5t t ∴--=∴=-35:5,3P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 综上，点P 的坐标为171,3P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，277,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，355,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭4.已知正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 坐标为()4,4，点(),0P t 是x 轴上一动点，过点O 作OH AP ⊥于点H ，直线OH 交直线BC 于点D ，连接AD ．（1）如图1，当点P 在线段OC 上时，求证：OP CD =；（2）在点P 运动过程中，AOP ∆与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，求t 的值；（3）如图2，抛物线212463y x x =-++上是否存在点Q ，使得以P 、D 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）证明：正方形OABC ，OA OC ∴=，90AOP OCD ∠=∠=︒90OAP APO ∴∠+∠=︒OH AP ⊥，90COD APO ∴∠+∠=︒OAP COD ∴∠+∠，AOP OCD ∴∆∆≌OP CD ∴=（2）解：当点P 在线段OC 上时若AOP ABD ∆∆∽，AO AB =，AOP ABD ∴∆∆≌ ,2,2OP CD OP BD CD t ∴=∴===∴=当点P 在OC 延长线上时，如图1ADB ODC APO ∠>∠=∠∴若AOP DBA ∆∆∽，则AO OP DB AB= 可证AOP OCD ∆∆≌，OP CD ∴=，4DB PC t ∴==-444t t ∴=-，解得2t =-（舍去）或2t =+ 当点P 在CO 延长线上时，如图290COD ODC ∠+∠=︒，90HOP APO ∠+∠=︒又COD HOP ∠=∠，ODC APO ∴∠=∠ODC ADB ∠>∠，APO ADB ∴∠>∠∴若AOP DBA ∆∆∽，则AO OP DB AB= 可证AOP OCD ∆∆≌，OP CD ∴=,4DB PC t ∴==-444t t -∴=-，解得2t =+（舍去）或2t =-∴当AOP ∆与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，2t=或2+或2- （3）①若CD 为平行四边形的对角线则,DQ PC DQ PC =∥（i ）当点P 在线段OC 上时，如图3,,4OP t DC OP t DQ PC t =∴====-()8,Q t t ∴-，代入212463y x x =-++，得 ()()21288463t t t --+-+=，解得2t =或4t =（舍去）（ii ）当点P 在CO 延长线上时，如图OP t =-，DC OP t ∴==-，4DQ PC t ==-()8,Q t t ∴-，代入212463y x x =-++，得 ()()21288463t t t --+-+=，解得2t =（舍去）或4t =（舍去） ②若CD 为平行四边形的边则,PQ DC PQ DC =∥（i ）当点P 在OC 延长线上时，如图5,OP t PQ DC OP t =∴===(),Q t t ∴-，代入212463y x x =-++，得 212463t t t -++=-，解得2t =-（舍去）或12t = （ii ）当点P 在CO 延长线上时，如图6、图7OP t =-，PQ DC OP t ∴===-(),Q t t ∴或(),Q t t -把(),Q t t 代入212463y x x =-++，得 212463t t t -++=，解得6t =-或4t =（舍去）把(),Q t t -代入212463y x x =-++，得 212463t t t -++=-，解得2t =-或12t =（舍去）综上所述，抛物上存在点Q ，使得以P 、D 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形， t 的值为：12t =，212t =，36t =-，42t =-5.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的顶点)A ，()0,1C ，将AOC ∆沿AC 翻折得APC ∆．（1）求点P 的坐标；（2）若抛物线243yx bx c =-++经过P 、A 两点，试判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）设（2）中的抛物线与矩形OABC 的边BC 交于点D ，与x 轴交于另一点E ，点M 在x 轴上运动，N 在y 轴上运动，若以点E 、M 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点M 、N 的坐标．解析：（1）在Rt OAC ∆中，OA =1OC =，30,OAC ∴∠=︒过P 作PQ OA ⊥于Q ，如图1⑦在Rt PAQ ∆中，60,PAQ AP ∠=︒=2OQ AQ ∴==，32PQ =，322P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭（2）将P 、A 两点坐标代入抛物线的解析式中，得：312240c c ⎧-++=⎪⎨⎪-++=⎩解得1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线的解析式为2413yx =-++ 当0x =时，1y =，∴点()0,1C 在该抛物线上（3）①若DE 是平行四边形的对角线，如图2点C 在y 轴上，CD x ∥轴，∴过点D 作DM CE ∥交x 轴于M ，则四边形EMDC 为平行四边形把1y =代入抛物线解析式，得点D的坐标为4⎛⎫ ⎪⎝⎭把0y =代入抛物线解析式，得点E的坐标为4⎛⎫- ⎪⎝⎭2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，N 点即为C 点，坐标是()0,1②若DE 是平行四边形的边，如图3、图4过点A 作AN DE ∥交y 轴于N ，四边形DANE 是平行四边形2DE AN ∴====3ON OA =，30EAN ∴∠=︒ ,30AN DE DEA EAN ∴∠=∠=︒∥)(),0,1M N ∴- 同理过点C 作CM DE ∥交x 轴于M ，四边形CMED 是平行四边形()(),0,1M N ∴6.如图，已知抛物线211:4C y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，点A 、B 的对称点分别是E 、D ，连接CD 、CB ，设AD m =．（1）当2m =时，求b 的值；（2）若点P 是抛物线1C 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），试判断点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2C 上，请说明理由；（3）将CDB ∆沿直线BC 折叠，点D 的对应点为G ．是否存在实数m ，使得四边形CDBG 为平行四边形，且点G 恰好落在抛物线2C 上，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵抛物线211:4C y x bx c =-++的对称轴为直线2x b = 抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称∴抛物线2C 的对称轴为直线2x b =-12,222,2m b b b =∴--=∴=- （2）∵抛物线211:4C y x bx c =-++，抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称 ∴抛物线221:4C y x bx c =--+ 设(),P x y 是抛物线1C 上任意一点(0)y ≠则点P 关于原点的对称点()11,Qx y --，且21114y x bx c =-++ 将点Q 的横坐标代入抛物线2C 的解析式得2111114Q y x bx c y y =-++=≠- ∴点Q 不在抛物线2C 上（3）存在B 、D 关于y 轴对称，点C 在y 轴上，CD CB ∴=由折叠知CG CD =∵四边形CDBG 是平行四边形，CD BG ∴=CB CG BG ∴==，CGB ∴∆是等边三角形CDB ∴∆是等边三角形假设点G 恰好落在抛物线2C 上由抛物线和等边三角形的对称性可知B 点一定在抛物线2C 的对称轴上BD BE AD m ∴===1,2OD OB m ∴==31,0,,022A m B m ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭CDB ∆为等边三角形，2c CO m ∴=== 对于抛物线211:4C y x bx c =-++，根据根与系数的关系，有31422m m c -⋅=-314222m m m ∴-⋅=-⨯0,3m m ≠∴=∴存在实数3m =，使得四边形CDBG 为平行四边形，且点G 恰好落在抛物线2C 上 7.已知抛物线212y x c =+经过点()3,5A -，顶点为Q ，点P 是y 轴上位于点Q 上方的一个动点，连接AP 并延长，交抛物线于点B ，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为C 、D ，连接AQ 、BQ ．（1）求抛物线的解析式；（1）当A 、Q 、B 三点构成直角三角形时，求点P 的坐标；（2）当AC 、AP 、BD 、BP 四条线段构成平行四边形时，求点P 的坐标．解析：（1）∵抛物线212y x c =+经过点()3,5A - ()21532c ∴=⨯-+，12c ∴= ∴抛物线的解析式为21122y x =+（2）21122y x =+，10,2Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭①若90AQB ∠=︒过点Q 作EF x ∥轴，分别交AC 、BD 于E 、F 则195,322AE AC EC EQ =-=-== 易证AEQ QFB ∆∆∽，AE EQ QF FB ∴= 32AE FQ QE FB ∴== 设13,22B m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，得49m = 425,318B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭可得直线AB 的解析式为5562y x =-+ 50,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ ②若90QAB ∠=︒过点Q 作QE x ∥轴，交AC 于E()13,5,0,,22A Q AQ ⎛⎫-∴= ⎪⎝⎭易证AEQ QAP ∆∆∽，PQ AQ AQ AE ∴=，2132AQ PQ AE ∴== ()0,7P ∴③若90ABQ ∠=︒过点A 、Q 分别作x 轴的平行线，交BD 于E 、F 设211,22B n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则3,AE n QF n =+= 22119152222BE n n =--=-，2211112222BF n n =+-= 可证ABE BQF ∆∆∽，AE BE BF QF∴= 229132212n n n n -+∴=，即()()23340n n n +-+= 30n ∴+=，得3n =-（舍去）或2340n n -+=，方程无实数解∴当ABQ ∆为直角三角形时，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或()0,7 （3）①若AC BD =，AP BP =，此时点A 与点B 关于y 轴对称()5,0,5OP AC P ∴==∴②若ACAP =，设()0,P y ，则()29525y +-= 解得1y=或9y = 当1y =时，则()0,1P此时直线AP 解析式为413yx =-+ 与抛物线的交点B 为19()35，59BP BD ∴=== 此时AC 、AP 、BD 、BP 四条线段能构成平行四边形()0,1P ∴符合题意当9y =时，则()0,9P此时直线AP 解析式为493y x =+ 与抛物线的交点B 为17149()39，过P 作PE BD ⊥于E ，则1731739PE ⨯==， 149684179999BE ⨯=-== 51785149999BP ⨯∴==<，即BP BD < 此时AC 、AP 、BD 、BP 四条线段不能构成平行四边形()0,9P ∴不符合题意 ③若AC BP =，则点P 必在点A 上方，AP BD ≠此时AC 、AP 、BD 、BP 四条线段不能构成平行四边形∴满足条件的点P 的坐标为()0,5或()0,1 8.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3)2，．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P ，使45PCF ∠=︒，请直接写出相应的点P 的坐标．解析：（1）在直线解析式122y x =+中，令0x =，得2y =， (02)C ∴，．∵点(02)C ，、7D(3)2，在抛物线2y x bx c =-++上， 27932c b c =⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：2722yx x =-++．（2）PF OC ∥，且以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形，2PF OC ∴==， ∴将直线122y x =+沿y 轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y 轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线122y x =+沿y 轴向上平移2个单位，得到直线142y x =+，联立2142722y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得121,2x x ==，121,2m m ∴==；将直线122y x =+沿y 轴向下平移2个单位，得到直线12y x =，联立212722y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得3433,22x x +-==（在y 轴左侧，不合题意，舍去），32m +∴=． ∴当m 为值为12，或2时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形．（3）存在．理由：设点P 的横坐标为m ，则271,2,,222P m m m F m m ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由答图2所示，过点C 作CM PE ⊥于点M ，则,2CM m EM ==，12F FM y EM m ∴=-=， tan 2CFM ∴∠=．在Rt CFM ∆中，由勾股定理得：2CF m =．过点P 作PN CD ⊥于点N ，则tan tan 2PN FN PEN FN CFMFN =⋅∠=⋅∠∠=45PCF ∠=︒，PN CN ∴=，而2PN FN =，,22FN CF m PN FN ∴====，在Rt PFN ∆中，由勾股定理得：52PF m ==． 227122322P F PF y y m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2532m m m ∴-+=，整理得：2102m m -=，解得0m =（舍去）或12m =， 17()22P ∴，；同理求得，另一点为2313()618P ，． ∴符合条件的点P 的坐标为17()22，或2313()618，．9.如图，抛物线22y x x c =-+的顶点A 在直线:5l y x =-上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断ABD ∆的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵顶点A 的横坐标为212x-=-=，且顶点A 在5y x =-上 ∴当1x =时，154y =-=-()1,4A ∴-（2）ABD ∆是直角三角形将(14)A -，代入22y x x c =-+，得124c -+=-，3c ∴=-223y x x ∴=--，(03)B ∴-，当0y =时，2230x x --=，121,3x x ∴=-=(10)C ∴-，，(30)D ，22218BD OB OD =+=，()2224312AB =-+=，()22231420AD =-+= 222BD AB AD +=，90ABD ∴∠=︒即ABD ∆是直角三角形（3）存在．由题意知：直线5yx =-交y 轴于点(05)E -，，交x 轴于点(50)F ，5OE OF ∴==，又3OB OD ==OEF ∴∆与OBD ∆都是等腰直角三角形BD l ∴∥，即PA BD ∥则构成平行四边形只能是PADB 或PABD ，如图,过点P 作y 轴的垂线，过点A 作x 轴的垂线并交于点G设11(5)P x x -，，则1(15)G x -，则11PG x =-，11541AG x x =--=-PA BD ==由勾股定理得：()()22111118x x -+-=，12x ∴=-或24x =(27)P ∴--，或(41)P -，∴存在点(27)P --，或(41)P -，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形10.抛物线2y axbx c =++与x 轴交于(20)A -，、(40)B ，两点，与y 轴负半轴交于点C ，且12ABC S ∆=．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上一点，若以O 、P 、B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标；（3）如图2，过点A 作AM AC ⊥交抛物线于点M ，交y 轴于点D ，直线x m =与抛物线交于点Q ，与直线AM 交于点R ．问是否存在这样的m ，使C 、D 、Q 、R 四点构成平行四边形？若存在，求出m 的值，若不存在；说明理由．解析：（1）(20)A -，、(40)B ，2,46OA OB AB ∴===，1161222ABC S AB OC CO ∆=⋅=⨯⋅=，4OC ∴= ∵点C 在y 轴负半轴上，(04)C ∴-，42016404a b c a b c c -+=⎧⎪∴++=⎨⎪=-⎩解得1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为2142y x x =-- （2）易知ABC ∆为锐角三角形∴若以O 、P 、B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，点P 只能在线段BC 上过P 作PE OB ⊥于E ，设PE t = 当OP AC ∥时，OBP ABC ∆∆∽ 则EP OB OC AB =，446t ∴=，83t ∴= 4OB OC ==，45OBC ∴∠=︒BE PE t ∴==， 84433OE OB BE ∴=-=-= 148()33P ∴-，当BPO BAC ∠=∠时，PBO ABC ∆∆∽过A 作AH BC ⊥于H，则2AH AB ==EP OB AH BC ∴=，=，3t ∴=431OE ∴=-=2(13)P ∴-，（3）,AD AC ODA OAC ⊥∴∆∆∽OD OA OA OC∴=，224OD ∴= 1OD ∴=，5CD ∴=，(01)D ，，设直线AM 的解析式为y kx b =+则201k b b -+=⎧⎨=⎩解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AM 的解析式为112y x =+ 设21(4)2Q m m m --，，则1(1)2R m m +，QR CD ∥，∴当QR CD =时，C 、D 、Q 、R 四点构成平行四边形 2114(1)522m m m ∴---+=解得32m ±= 或2111(4)522m m m +---= 解得0m =（舍去）或3m =∴当32m ±=或3m =时，C 、D 、Q 、R 四点构成平行四边形。

动点问题中考真题(四川绵阳)(解析版)

动点问题中考真题（四川绵阳）1．如图，二次函数2224y x x a =--+-的图象与一次函数2y x =-的图象交于点A 、B （点B 在右侧），与y 轴交于点C ，点A 的横坐标恰好为a ．动点P 、Q 同时从原点O 出发，沿射线OB t 秒后，以PQ 为对角线作矩形PMQN ，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a 的值及1t =秒时点P 的坐标；（2）当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，求时间t 的取值范围；（3）在位于x 轴上方的抛物线图象上任取一点R ，作关于原点()0,0的对称点为'R ，当点M 恰在抛物线上时，求'R M 长度的最小值，并求此时点R 的坐标．2．如图，抛物线过点A （0，1）和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B 0），平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当△PAB 面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，⊙M 为△BCD 的内切圆，切点分别为N ，P ，Q ，DN ＝4，BN ＝6．（1）求BC ，CD ；（2）点H 从点A 出发，沿线段AD 向点D 以每秒3个单位长度的速度运动，当点H 运动到点D 时停止，过点H 作HI ∥BD 交AC 于点I ，设运动时间为t 秒．①将△AHI 沿AC 翻折得△A H ¢I ，是否存在时刻t ，使点H ¢恰好落在边BC 上？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；②若点F 为线段CD 上的动点，当△OFH 为正三角形时，求t 的值．4．如图，在以点O 为中心的正方形ABCD 中，4=AD ，连接AC ，动点E 从点O 出发沿O C ®以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C 停止．在运动过程中，ADE D 的外接圆交AB 于点F ，连接DF 交AC 于点G ，连接EF ，将EFG D 沿EF 翻折，得到EFH D ．(1)求证：DEF D 是等腰直角三角形；(2)当点H 恰好落在线段BC 上时，求EH 的长；(3)设点E 运动的时间为t 秒，EFG D 的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．5．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+¹的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD D 的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE D 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．6．如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （3，0），B （0，4），C （-3，0）.动点M ，N 同时从A 点出发，M 沿A→C,N 沿折线A→B→C ，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t 秒.连接MN.（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式.7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒．连接BM并延长交AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．参考答案：1．（1）a =()1,2-；（2）112t ££+；（3，312æö-±ç÷ç÷èø【分析】（1）将(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，求出a ，即可得到抛物线解析式，当1t =秒时，OP =P 的坐标为(),x y ，建立方程求解即可；（2）经过t 秒后，OP ，OQ =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -进而得出M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，将(),4N t t -代入222y x x -=-+，解方程即可得到答案；（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图③则'R M ==222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m得'R M ==【详解】解：（1）由题意知，交点A 坐标为(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，解得a =∴抛物线解析式为222y x x -=-+．当1t =秒时，OP =P 的坐标为(),x y ，则2252x y y xìï+==í=-ïî，解得12x y =ìí=-î或12x y =-ìí=î（舍），所以P 的坐标为()1,2-．（2）经过t 秒后，OP ，OQ =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -，由矩形PMQN 的邻边与坐标轴平行可知，M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -．矩形PMQN 在沿着射线OB 移动的过程中，点M 与抛物线最先相交，如图①，然后公共点变为2个，点N 与抛物线最后相离，然后渐行渐远．如图②，将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，得2210t t +-=，解得12t =，或1t =-（舍），将(),4N t t -代入222y x x -=-+，得()213t -=，解得1t =1t =．所以，当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，时间t 的取值范围是112t ££．（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图③则'R M ==222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m 得'R M ====，当32n =时，'R M此时，23222n m m =--+=，解得1m =-，所以，点R 的坐标是312æö-±ç÷ç÷èø．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（1）﹣13）；y ＝﹣x 2 （2），4712）（3）Q 443ö-÷ø，R 373æö-ç÷èø或Q ﹣10），R 373-）【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为y ＝，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝163a ﹣8a+1﹣（﹣13），求出a 的值，则可得出答案；（2）设P （n ，﹣n 2），作PP'⊥x 轴交AC 于点P'，则P'（n ，n+1），得出PP'＝﹣n 2，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C﹣43），设Qm ），分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c （a≠0），∵A （0，1），B0），设直线AB 的解析式为y ＝kx+m ，∴m 0m 1+==ïî，解得k m ì=ïíï=î，∴直线AB 的解析式为y ＝，∵点F∴F 点纵坐标为＝﹣13，∴F ﹣13），又∵点A 在抛物线上，∴c ＝1，对称轴为：x ＝﹣2b a =，∴b ＝﹣，∴解析式化为：y ＝ax 2﹣，∵四边形DBFE 为平行四边形．∴BD ＝EF ，∴﹣3a+1＝163a ﹣8a+1﹣（﹣13），解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2；（2）设P （n ，﹣n 2），作PP'⊥x 轴交AC 于点P'，则P'（n，），∴PP'＝﹣n2，S△ABP＝12OB•PP'＝272+n＝2n，∴当n时，△ABP，此时P，4712）．（3）∵21 y xy xì=+ïíï=-++î，∴x＝0或x∴C﹣43），设Qm），①当AQ为对角线时，∴R（73m+），∵R在抛物线y＝2(x-+4上，∴m+73＝﹣2æçè+4，解得m＝﹣443，∴Q443ö-÷ø，R373æö-ç÷èø；②当AR为对角线时，∴R73m-），∵R 在抛物线y ＝2(x -+4上，∴m ﹣273=-+4，解得m ＝﹣10，∴Q ﹣10），R 373-）．综上所述，Q 443ö-÷ø，R 373æö-ç÷èø；或Q ﹣10），R 373-）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．3．（1）8；6 （2）①存在；2512s ②（4s 【分析】（1）由切线长定理得出BP ＝BN ＝6，DQ ＝DN ＝4，CP ＝CQ ，BD ＝BN+DN ＝10，设CP ＝CQ ＝a ，由勾股定理得出BC 2+CD 2＝BD 2，得出方程，解方程即可；（2）①由折叠的性质得∠AH'I ＝∠AHI ，AH'＝AH ＝3t ，证明△AIH'∽△AH'C ，则AH'2＝AI×AC ，证△AIH ∽△AOD ，求出AI ＝158t ，得出（3t ）2＝158t×10，解方程即可；②作PH ⊥OH 于H ，交OF 的延长线于P ，作OM ⊥AD 于M ，PN ⊥AD 于N ，证出FH ＝FP ＝OF ，HP ，DN ＝DM ＝4，证明△OMH ∽△HNP ，求出HN ＝DH ＝HN ﹣DN ＝4，得出AH ＝AD ﹣DH ＝12﹣【详解】解：（1）∵⊙M 为△BCD 的内切圆，切点分别为N ，P ，Q ，DN ＝4，BN ＝6，∴BP ＝BN ＝6，DQ ＝DN ＝4，CP ＝CQ ，BD ＝BN+DN ＝10，设CP ＝CQ ＝a ，则BC ＝6+a ，CD ＝4+a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°，∴BC 2+CD 2＝BD 2，即（6+a ）2+（4+a ）2＝102，解得：a ＝2，∴BC ＝6+2＝8，CD ＝4+2＝6；（2）①存在时刻t ＝2512s ，使点H′恰好落在边BC 上；理由如下：如图1所示：由折叠的性质得：∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BCD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，∴AC＝BD10，OA＝OD＝5，∴∠ADO＝∠OAD，∵HI∥BD，∴∠AHI＝∠ADO，∴∠AH'I＝∠AHI＝∠ADO＝∠OAD＝∠ACH'，∴△AIH'∽△AH'C，∴AHAC¢＝AIAH¢，∴AH'2＝AI×AC，∵HI∥BD，∴△AIH∽△AOD，∴AIAO＝AHAD，即5AI＝38t，解得：AI＝158t，∴（3t）2＝158t×10，解得：t＝25 12，即存在时刻t＝2512s，使点H′恰好落在边BC上；②作PH⊥OH于H，交OF的延长线于P，作OM⊥AD于M，PN⊥AD于N，如图2所示：则OM∥CD∥PN，∠OMH＝∠HNP＝90°，OM是△ACD的中位线，∴OM＝12CD＝3，∵△OFH是等边三角形，∴OF ＝FH ，∠OHF ＝∠HOF ＝60°，∴∠FHP ＝∠HPO ＝30°，∴FH ＝FP ＝OF ，HP ，∴DF 是梯形OMNP 的中位线，∴DN ＝DM ＝4，∵∠MHO+∠MOH ＝∠MHO+∠NHP ＝90°，∴∠MOH ＝∠NHP ，∴△OMH ∽△HNP ，∴OMHN ＝OH HP，∴HN ＝∴DH ＝HN ﹣DN ＝4，∴AH ＝AD ﹣DH ＝12﹣∴t ＝AH3＝4即当△OFH 为正三角形时，t 的值为（4s ．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线长定理、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．4．(1)证明见解析；(2)EH =-(3)EFGS D =.【分析】(1)由正方形的性质可得45DAC CAB Ð=Ð=o ，再根据圆周角定理即可证得结论；(2)设OE t =，连接OD ，通过证明DOE DAF D D :可得AF =，再证明AEF ADG D D :可得AG 与t 的关系式，进一步可表示EG 的长，由AF CD ∥得比例线段FG AFDG CD=，进而求出t 的值，然后代入EG 的表达式可求EH 的值；(3)由(2)知EG 与t 的关系式，再过点F 作FK AC ^于点K ，易证DOE EKF D @D ，于是FK OE t ==，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC CAB Ð=Ð=o ，∵FDE CAB Ð=Ð，DFE DAC Ð=Ð，∴45FDE DFE Ð=Ð=o ，∴90DEF Ð=o ，∴DEF D 是等腰直角三角形；(2)设OE t =，连接OD ，如图，则90DOE DAF Ð=Ð=o ，∵OED DFA Ð=Ð∴DOE DAF D D :，∴OE OD AF AD ==，∴AF =，又∵AEF ADG Ð=Ð，EAF DAG Ð=Ð，∴AEF ADG D D :，∴AE AFAD AG=，∴AG AE AD AF ×=×=，又∵AE OA OE t =+=，∴AG =，∴EG AE AG =-=当点H 恰好落在线段BC 上时，454590DFE HFE Ð+Ð=+=o o o ，∴ADF BFH D D :，∴FH FD =∵AF CD ∥，∴FG AF DG CD ==∴FG DF =∵FG =FH ，=解得：1t =2t =舍去)，∴EG EH ====(3)过点F 作FK AC ^于点K ，由(2)得EG =∵DE EF =，90DEF Ð=o ，∴DEO EFK Ð=Ð，∴()DOE EKF AAS D @D ，∴FK OE t ==，∴12EFGS EG FK D =×=【点睛】本题是四边形综合题，重点考查了正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，涉及的知识点多，难度较大，属于试卷的压轴题，第（2）小题具有相当的难度，解题的关键是灵活应用相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题．5．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE D 的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28æö-ç÷èø；(3)35PE PA +的最小值是3.【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点()1,0A -代入可求得a 的值，由ABD D 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)作EM y P 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S D D D =-构建关于E 点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；(3)作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH AE ^于点H ，交x 轴于点P ，则BAE HAP HFE Ð=Ð=Ð，利用锐角三角函数的定义可得出35EP AP FP HP +=+，此时FH 最小，求出最小值即可．【详解】解：(1)将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为()212y a x =--，∵1OA =，∴点A 的坐标为()1,0-，代入抛物线的解析式得，420a -=，∴12a =，∴抛物线的解析式为()21122y x =--，即21322y x x =--．令0y =，解得11x =-，23x =，∴()3,0B ，∴4AB OA OB =+=，∵ABD D 的面积为5，∴152ABD D S AB y D =×=，∴52D y =，代入抛物线解析式得，2513222x x =--，解得12x =-，24x =，∴54,2D æöç÷èø，设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴5420k b k b ì+=ïíï-+=î，解得：1212k b ì=ïïíï=ïî，∴直线AD 的解析式为1122y x =+．(2)过点E 作EM y P 轴交AD 于M ，如图，设213,22E a a a æö--ç÷èø，则11,22M a a æö+ç÷èø，∴221113132222222EM a a a a a =+-++=-++，∴112ACE AME CME S S S EM D D D =-=´×()22113121342224a a a a æö=-++´=---ç÷èø，213254216a æö=--+ç÷èø，∴当32a =时，ACE D 的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为315,28æö-ç÷èø．(3)作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH AE ^于点H ，交x 轴于点P ，∵315,28E æö-ç÷èø，1OA =，∴35122AG =+=，158EG =，∴5421538AG EG ==，∵90AGE AHP Ð=Ð=o ，∴3sin 5PH EG EAG AP AE Ð===，∴35PH AP =，∵E 、F 关于x 轴对称，∴PE PF =，∴35PE AP FP HP FH +=+=，此时FH 最小，∵1515284EF =´=，AEG HEF Ð=Ð，∴4sin sin 5AG FH AEG HEF AE EF Ð=Ð===，∴415354FH =´=．∴35PE PA +的最小值是3．【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作E 关于x 轴的对称点F ，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求35PE PA +的最小值转化为求FH 的长度．6．（1）y=43x+4；（2）D （-1511，2411）；（3）①当0<t≤5时，S=25t2,②当5<t≤6时，S=25t2+325t-12.【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，连接AD 交MN 于点O’．想办法求出点D 坐标，利用待定系数法即可解决问题；（3）分两种情形①如图2中，当0<t≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN ．②如图3中，当5<t≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM ．分别求解即可.【详解】（1）设直线BC 的解析式为y kx b =+，则430b k b =ìí-+=î，解得434k b ì=ïíï=î，\直线BC 的解析式为443y x =+．（2）如图，连接AD 交MN 于点'O ．由题意：四边形AMDN 是菱形，()3,0M t -，3(35N t -，4)5t ，4'(35O t \-，2)5t ，8(35D t -，4)5t ，Q 点D 在BC 上，44834535t t æö\=´-+ç÷èø，解得3011t =．3011t s \=时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时15(11D -，24)11．（3）如图2中，当05t <…时，ABC D 在直线MN 右侧部分是AMN D ，2142··255S t t t ==．如图3中，当56t <…时，ABC D 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM ．()()2114232646·451222555S t t t t éù=´´-´---=-+-êúëû．【点睛】考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.7．（1）85；（2）2212 (02)41416(24)1233t t t y t t t ì-+<<ïï=íï-+££ïî；（3．【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t ，FN ∥BC ，得出AN =8﹣t ，由平行线证出△ANF ∽△ACB ，得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ），由对称的性质得出∠ENF =∠MNF =∠NMC =45°，MN =NE ，OE =OM =CN =t ，由正方形的性质得出OE =ON =FN ，得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时，由三角形面积得出2124y t t =-+ ；②当2＜t ≤4时，作GH ⊥NF 于H ，由（1）得：NF =12（8﹣t ），GH =NH ，GH =2FH ，得出GH =23NF =13（8﹣t ），由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4）；（3）当点E 在AB 边上时，y 取最大值，连接EM ，则EF =BF ，EM =2CN =2CM =2t ，EM =2BM ，得出方程，解方程求出CN =CM =2，AN =6，得出BM =2，NF =12AN =3，因此EM =2BM =4，作FD ⊥NE 于D ，由勾股定理求出EB=EF =12EBDF 的长，在Rt △DEF 中，由三角函数定义即可求出sin ∠NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形；理由如下：连接ME 交NF 于O ，如图1所示：∵∠C =90°，∠NMC =45°，NF ⊥AC ，∴CN =CM =t ，FN ∥BC ，∴AN =8﹣t ，△ANF ∽△ACB ，∴84AN AC NF BC == =2，∴NF =12AN =12（8﹣t ），由对称的性质得：∠ENF =∠MNF =∠NMC =45°，MN =NE ，OE =OM =CN =t ，∵四边形MNEF 是正方形，∴OE =ON =FN ，∴t =12×12（8﹣t ），解得：t =85；即在点M 的运动过程中，能使得四边形MNEF 为正方形，t 的值为85；（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时，y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+，即2124y t t =-+（0＜t ≤2）；②当2＜t ≤4时，如图2所示：作GH ⊥NF 于H ，由（1）得：NF =12（8﹣t ），GH =NH ，GH =2FH ，∴GH =23NF =13（8﹣t ），∴y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t -，即21(8)12y t =-（2＜t ≤4）；综上所述：2212 (02)41416(24)1233t t t y t t t ì-+<<ïï=íï-+££ïî ．（3）当点E 在AB 边上时，y 取最大值，连接EM ，如图3所示：则EF =BF ，EM =2CN =2CM =2t ，EM =2BM ，∵BM =4﹣t ，∴2t =2（4﹣t ），解得：t =2，∴CN =CM =2，AN =6，∴BM =4﹣2=2，NF =12AN =3，∴EM =2BM =4，作FD ⊥NE 于D ，则EB==△DNF 是等腰直角三角形，∴EF =12EBDFNF=，在Rt △DEF 中，sin ∠NEF =DF EF点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．8．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当t=秒时，S的最大值为.【详解】试题分析：（1）△ABM为等腰三角形有三种情况，①AM=BM，②AB=BM,③AM=AB，根据这三种情况确定M的位置.（2）根据同角的的余角相等可证∠ABN=∠DNH，再证∠BKN=∠NDH=135º，BK=DN，利用ASA可判定△BNK≌△NHD，进而根据全等三角形的对应边相等可得BN=NH.（3）矩形AEMF与△ACG重叠部分分两种情况，①当点M在AC 上时，即0<t≤时，当点M在CG上时，即<t<时,分别求出在这两种情况时矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积S与运动时间t之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得这两种情况各自的最大值，再进行比较，找出最大的即为本题答案.试题解析：（1）当点M为AC中点时，有AM=BM,则△ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM,则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM=2时，AM=AB,则△ABM为等腰三角形.证明：在AB上取点K,使AK=AN，连接KN.∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.又DH平分直角∠CDG，∴∠CDH=45º，∴∠NDH=90º+45º=135º.∴∠BKN=180-∠AKN=135º,∴∠BKN=∠NDH.∵在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90º，又BN⊥NH,即∠BNH=90º∴∠ANB+∠DNH=180º-∠BNH=180º-90º=90º∴∠ABN=∠DNH.∴△BNK≌△NHD（ASA）,∴BN=NH.①当点M在AC上时，即0<t≤时，易知：△AMF为等腰直角三角形.∵AM=t,∴AF=FM=.∴S=.当点M在CG上时，即<t<时,CM=t-,MG=-t.∵AD=DG,∠ADC=∠CDG,CD=CD,∴△ACD≌△GCD（SAS）,∴∠ACD=∠GCD=45º∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90º∴∠G=90-∠GCD=90º-45º=45º∴△MFG为等腰直角三角形.∴②在0<t≤范围内，当t=时，S的最大值为.在<t<范围内，，当时，S的最大值为.∵82 3>，∴当t=秒时，S的最大值为.考点：四边形、三角形、二次函数综合题.。

数学人教版九年级上册抛物线中的动点问题--等腰三角形

课题
抛物线中的动点问题-----等腰三角形上课教师抚顺市五十中学韩福云
教
学
目
标
通过解决二次函数中动点引出的等腰三角形问题，培养学生分类思想；掌握用
等腰三角形的性质、判定解决问题的方法；形成把动态关系转化为静态关系的
观念；达到会用运动变化的观点去观察和研究图形的能力；提高综合分析问题
和解决问题的能力.
谈收获
见学案
板
书
设
计
动点问题-----探究等腰三角形的问题教学反思
（1）（2）（3）（4）
重点
等腰三角形的判定、性质解决问题的方法
难点
动态关系转为静态关系
教学
过程
教学内容
典例
分析
复习：
1.分类：按顶角的位置或者底边的位置分类
2.解决问题的相3）解直角三角形（4）方程思想
（5）坐标、变量、线段长度、解析式之间的转化
3.动点分类（1）一个动点（2）两个动点（3）三个动点
直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
教学
过程
教学内容
典型
分析
归纳
总结
布置
作业
二、两个动点、三个动点
(4)点B向右平移一个单位长度得到点F，作直线CF，点Q是线段OB上的动点，
过点Q作QM⊥x轴，交直线CF于点N，交抛物线于点M.
①连接CM，当△CMN是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标.
②连接OM交直线CF于点P，当△PMN是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标.
一、一个动点
例.如图，抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C（0,3），抛物线
的对称轴与BC交于点E.
（1）求抛物线的表达式；

初三专题训练---动点问题

教学内容初三专题训练---动点问题教学目标1动点问题的计算及分析方法2动点问题如何化“动”为“静”。

3归纳动点问题的解题思路及解题技巧。

教学重、难点重点：动点问题和计算。

难点：正确掌握动点问题。

（2013年上海市中考第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5【因动点产生的相似三角形问题】例1：如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（2012年苏州市中考第29题）（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．参考图形：图2 图3图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．【因动点产生的等腰三角形问题】例2如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2012年临沂市中考第26题）（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)663y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)3D ．因此23tan 3DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．【因动点产生的直角三角形问题】例3 如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（2013年山西省中考第26题）（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2 图3思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-． ①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4 【因动点产生的平行四边形问题】例4如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．（2013年上海市松江区中考模拟第24题）（1）求抛物线的解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1思路点拨1．第（2）题求∠ABO 的正切值，要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形．2．第（3）题解方程MN ＝y M －y N ＝BC ，并且检验x 的值是否在对称轴左侧．图2 图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得27x =±（如图5）．所以符合题意的点M 有4个：9(1,)2，11(3,)2，57(27,)2--，57(27,)2++．【因动点产生的面积问题】例5如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（2013年苏州市中考第29题）（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1思路点拨1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．【因动点产生的相切问题】例6如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；（2013年上海市杨浦区中考模拟第25题）tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM3⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3图4 图5图6 图7 图8思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3．由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．【动点问题的解题思路与解题技巧】【技巧】解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

九年级数学中考二次函数专题三动点问题

4.如图，在 Rt△ABO 中，OB=8,tan∠OBA=
3 .若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立如图 4
2
所示的平面直角坐标系，点 C 在 x 轴负半轴上，且 OB＝4OC.若抛物线 y ax bx c 经过点 A、 B、C . （1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 P，求四边形 OAPB 的面积；（3）有两动点 M,N 同时从点 O 出发，其中点 M 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 OAB 按 O→A→B 的路线运动，点 N 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线按 O→B→A 的路线运动，当 M、N 两点相遇时，它们都停止运动.设 M、N 同时从点 O 出发 t 秒时，△OMN 的面积为 S . ①请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？
8.如图，在直角坐标系中，以点 A( 3， 0) 为圆心，以 2 3 为半径的圆与 x 轴相交于点 B,C，与 y 轴相交于点 D,E．（1）若抛物线 y x2 bx c 经过 C,D 两点，求抛物线的解析式，并判断点 B 是否在该抛物线上．（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点 P ，使得 △PBD 的周长最小．（3）设 Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点 M，使得四边形 BCQM 是平行四边形．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
PA EF 是否成立．若成立， PB EG
-3-
专项练习
7.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点 P，Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动，BP=AQ．点 D，E 分别是点 A，B 以 Q，P 为对称中心的对称点， HQ⊥AB 于 Q，交 AC 于点 H．当点 E 到达顶点 A 时，P，Q 同时停止运动．设 BP 的长为 x， △HDE 的面积为 y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；（3）当 x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

动点问题所有的题型

动点问题所有的题型
动点问题涉及的题型非常多，以下是一些常见的动点问题题型：
1. 直线运动中的动点问题：这类问题中，动点在直线上移动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

2. 圆周运动中的动点问题：这类问题中，动点在圆周上运动，需要求出动点的轨迹方程或者运动时间。

3. 抛物线中的动点问题：这类问题中，动点在抛物线上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

4. 双曲线中的动点问题：这类问题中，动点在双曲线上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

5. 椭圆中的动点问题：这类问题中，动点在椭圆上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

6. 多边形中的动点问题：这类问题中，动点在多边形边上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

7. 函数图像中的动点问题：这类问题中，动点在函数图像上运动，需要求出动点的坐标或者函数解析式。

8. 行程问题中的动点问题：这类问题中，两个或多个动点在同一直线上运动，需要求出它们相遇的次数或者距离。

9. 工程问题中的动点问题：这类问题中，两个或多个动点在同一直线上运动，需要求出它们完成工程所需的时间或者距离。

10. 速度问题中的动点问题：这类问题中，动点在直线或曲线上运动，需要求出它的速度或者加速度。

以上仅是动点问题的一些常见题型，实际上还有很多其他类型的动点问题。

人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式．【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+．把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，．所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+．当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，．当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形．由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）．因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ．由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =．在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==．所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==．在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++．整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅．解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =．如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅．解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2．于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1【答案】（1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦．所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +，那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上．（1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积

中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是函数曲线，出现在中学数学和高等数学教程中。

它是由x轴和y轴组成的二维坐标系，在抛物线中，x轴及y轴都定义了不同的概念。

在数学求解中，经常会用到抛物线，抛物线可以用来表示一些复杂的数学模型，用来研究一些特定的数学问题。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积是指在抛物线上，给定抛物线的一个点，要找出一个最大的凸包，且该凸包的面积是最大的。

在实际求解中，这个问题可以看做一个凸优化问题，首先定义一个凸函数，然后对凸函数的极小值解进行求解，最后得到最大的凸包。

求解这个问题，可以利用梯度下降法以最小化成本函数，成本函数记作f（x），它是抛物线与给定点之间最大距离的函数。

每次迭代，在遍历整个抛物线函数时，都要选择正确的梯度方向以最小化成本函数，梯度方向由梯度，也就是函数对x求导得到，梯度即函数在当前点的斜率。

按照梯度下降原理，在每次迭代中，都可以使用梯度来预测当前的搜索方向，朝着梯度方向移动，其移动的距离与梯度的大小成正比，当梯度趋于零时，就得到最大的凸包，即答案。

通过梯度下降法求解中考经典抛物线中的动点问题最大面积，可以将复杂的数学模型简单化，使用简单的算法来解决复杂的数学问题，从而节省时间和成本。

此外，为了解决抛物线中的动点问题最大面积，还可以通过利用极坐标系来求解。

极坐标系，也称极模型，是一种描述抛物线的方法。

它使用两个变量，一个是极坐标系中的极距，另一个是极角，用来描述抛物线上每个点的位置。

极距定义为抛物线上某点到原点的距离，极角定义为抛物线上该点到x轴的夹角。

极坐标系在求解抛物线最大面积问题时，可以将原问题转换为极坐标系中的一个优化问题，以极坐标系中的极距为优化变量，最小化极距的平方和，从而获得最大的凸包。

上述的求解方法可以成功解出抛物线中的动点问题最大面积。

如果将其用于抛物线的其他问题，效果也会很好，甚至可以解决更复杂的数学问题。

它提供了一种新的抛物线研究方法，它将抛物线之间的关系更加可视化，从而使抛物线研究更加清晰和深入。

抛物线动点问题解题思路

抛物线动点问题解题思路一、问题描述某人站在离地面为h的平台上，用力将一个物体以初速度v0水平抛出，物体沿抛出方向的轨迹为抛物线。

我们希望了解在给定初速度和高度的情况下，物体在不同时间点的位置以及其他相关信息。

二、解题思路为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行分析和计算：1.计算物体的运动时间首先，我们需要计算物体在空中飞行的总时间。

这个时间可以通过以下公式得到：时间=2*初速度*si n(抛射角度)/g，其中初速度为v0，抛射角度为α，g为重力加速度。

2.计算物体的飞行距离接下来，我们可以计算物体在空中飞行的总距离。

这个距离可以通过以下公式得到：距离=2*初速度^2*s in(抛射角度)*co s(抛射角度)/g，其中初速度为v0，抛射角度为α，g为重力加速度。

3.计算物体在特定时间点的位置在了解了物体的运动时间和飞行距离后，我们可以得到物体在不同时刻的位置。

物体在x轴方向的位置可以通过以下公式得到：x=初速度*c os(抛射角度)*时间，其中初速度为v0，抛射角度为α，时间可以取0~飞行总时间的任意值。

物体在y轴方向的位置可以通过以下公式得到：y=h+初速度*si n(抛射角度)*时间-0.5*g*时间^2，其中初速度为v0，抛射角度为α，时间可以取0~飞行总时间的任意值，h为平台高度，g为重力加速度。

三、实例演算下面，我们以一个具体的实例来演算一下抛物线动点问题的解题思路。

假设物体被以初速度v0=20m/s水平抛出，初始高度为h=5m，请问物体在t=1s的位置是多少？首先，我们可以计算出物体在空中飞行的总时间：时间=2*20*si n(α)/g=2*20*0.5/9.8≈2.04s。

接下来，我们可以计算出物体在空中飞行的总距离：距离=2*20^2*si n(α)*c o s(α)/g=2*20^2*0.5*0.5/9.8≈20.41m。

然后，我们可以根据给定的时间点t=1s来计算物体的位置。

初三数学专题动点问题

因动点产生的平行四边形问题1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB 于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．3、已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．4、将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．5、如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （3，2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B 。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积

中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考越来越近，学生对中考经典抛物线中的动点问题仍存在些许困惑，其实，这个问题本质上依然是一个计算最大面积的问题，也可以通过求和的方法来求解。

首先，我们需要明确抛物线的性质：抛物线的坐标表示为(X,Y)，其中X与Y之间存在一个线性关系，而Y即为抛物线上任意点的高度，Y值越高，说明抛物线越陡峭。

其次，我们可以使用坐标轴，将抛物线分割成一个个三角形，即把抛物线上任意一点当作顶点，分别求出它左右两边的斜边以及X轴构成的边。

接着，通过相应的数学公式，可以将这些三角形的面积全部加起来，以计算出抛物线的最大面积。

经过上述步骤，就可以用较简单的方式完成中考经典抛物线中的动点问题最大面积的求解。

但是，要计算出准确的最大面积，就需要深入地来探究它的性质，比如要充分利用抛物线当中的绝对极值点及拐点，用一些高等函数数学运算来分析抛物线最大面积，这对于学习者来说，正是一次令人激动的挑战。

总之，抛物线上的动点问题最大面积的求解，不论是从简单数学运算还是深度函数分析来看，都值得学生深入研究，从中学习奥秘的数学之美！最终，希望大家能够在中考中取得优异的成绩，获得自己的最佳科学成果！
- 1 -。

中考数学中的动点问题

变：∆AOB的位置
不变：
AOB的形状大小不变，前后两个三角形全等。
y
B' A'
O'
AO
C
x
B
解决方案
借助全等巧妙设元
y
B' A'
O'
关键：将点B '的横坐标加2,
AO
C
x
B
纵坐标减1就可得到点A'的坐标。
变式实战
如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2， 0），B（6，0），C（0，6），点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；
∴沿射线AB方向平移可理解为：抛物线上任意一点向右平移2m个单位，再向上平移m个单位。
实战举例
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+ 2 3 x+c与y
3
轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（ 3 ，0），tan∠ACO＝ 3 ．
3
（1）求抛物线的解析式；
（1）解： A( 3, 0),OA 3，
中考数学中的动点问题
问题一：平移问题
基本模型：如图，将抛物线 y 1 x2 3 x 2
22
沿射线AB方向平移。
思维方式
变：抛物线位置的变化
不变：抛物线上的任意一点平移的方向和距离是相同的
解决方案
由y 1 x2 3 x 2可得：A(4，0)、B(0，2), 22
直线AB为：y= 1 x 2, 2
思维方法：变中寻找不变抓关键：点C平移至C′处，且OC′＝OC，
不难发现： ∠OCB=60 °， ∴ △OCC ′为等边三角形，作C′F⊥OC,

抛物线动点问题探究

叭
（图５）
观点来解决呢？下面用几个例子来探究怎样用运动的观点解决此
类问题。
例１：如图１，抛物线ｙ＝一ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ（１，Ｏ），Ｂ（一３，０）两点。（１）求该抛物线的解析式；（２）在抛物线上的第二象限上及ＡＰＢＣ的面积最大值；若没有，请说明理由。
分析：（１）由Ａ、Ｂ点坐标可求出抛物线解析式：ｖ＝一ｘ２ — ２ｘ＋３．角线和一条边来考虑。当ＡＣ为对角线时，如图３，此时ＣＧｌｆｘ轴，由Ｇ点的纵坐标与ｃ点的纵坐标相同，（２）由题知点Ｂ（一３，０），点ｃ（ｏ，３），点Ｐ是第二象限的抛物线上的平行四边形对边平行且相等，
‘
｜
０
＼
／Ｊｎ／
口
看作由ＡＣ平移得到，ｃ点对应点为Ｆ．由于ｃ点纵坐标是一３，Ｆ点纵坐标是０，所以Ｆ点由ｃ向上平移３个单位，同样Ｇ点由Ａ点向上平移３个单位，Ａ点纵坐标是０，则Ｇ点的纵坐标为３。所
Ｆ点坐标；如果不存在，请说明理由。
分析：（１）令ｙ＝Ｏ，得出Ａ（一１，Ｏ），）Ｂ（３，Ｏ），ｃ（２，一３），直线ＡＣ：
是否存在一点Ｐ，使 △ＰＢＣ的面积最大？若存在，求出点Ｐ的坐标ｙ —Ｘ一１．（２）此问可以这样分类考虑，以Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｇ四点为顶点的四边形为平行四边形，在图中已经存在一条线段ＡＣ，分别以ＡＣ为对

中考经典抛物线中的动点问题最大面积

中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是中考经典的数学知识，它是一种深受学生喜爱的函数，它可以让学生探索诸多有趣的数学问题。

其中，最大面积问题是抛物线函数中最有趣的数学问题之一，得到学生的广泛关注和深入研究。

最大面积问题的解法主要有两种，一种是利用解析方法，一种是利用数值计算方法。

其中，解析方法是一种比较容易准确求解的方法，可以快速解出动点的最大面积；而数值计算方法则是在解析方法不能求解的情况下，运用数值方法求解最大面积的一种方法。

针对抛物线中动点最大面积问题，使用解析方法时需要先求出抛物线的几何表达式。

一般来说，抛物线的几何表达式可以用如下的方程来表达：y=ax2+bx+c，其中a、b、c都是常数。

既然表达式已经确定，就可以算出动点的最大面积了。

由于一般高中学生对解析几何方法掌握还不够，所以更多情况下老师会让学生使用数值计算方法来解决动点最大面积问题。

使用数值计算方法来求解动点最大面积，一般采用delta x和delta y来代替动点x、y，即delta x=x2-x1，delta y=y2-y1。

用这种方法求出的最大面积为：s=delta x*delta y/2。

求解抛物线中动点最大面积的问题，无论是使用解析方法还是使用数值计算方法，都不能够完全满足学生的需求。

因此，老师需要为学生提供有效的学习教程和实验室设计，使学生能够充分掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。

有效的学习教程可以帮助学生更好的掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。

学生首先要学习和掌握抛物线的几何表达式，以及求出动点最大面积的过程，其次要掌握用数值计算解决问题的方法。

为了让学生更好地掌握求解抛物线中动点最大面积问题的方法，老师可以设计出实验室来帮助学生练习，让学生在实践中更好地学习和熟练掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。

求解抛物线中动点最大面积问题，不仅对学生学习和认识抛物线函数有很大的帮助，而且可以帮助学生了解数学解决问题的思维方式，培养学生分析和解决实际问题的能力，从而提高学生的综合素质。

抛物线的面积与动点专题

抛物线的面积专题1、如图：抛物线y=x 2-2x-4与直线y=x 交于A 、B 两点，点M 为抛物线的顶点，求△OBM 的面积变式：若M 在抛物线对称轴的右侧（且在AB 的下方），当△OBM 的面积为10时，求点M 的坐标^2、已知抛物线213y 222x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,点D 为第四象限的抛物线上一点，CD 交x 轴于点E ，若S △ACE =S △DBE ，求直线CD 的解析式3、变式1、若抛物线y=x 2-2x-3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，M 为顶点，点N 在x 轴上。

若S △BCN =S △BCM 求点N 的坐标。

4变式2、如图，抛物线212y x c =-+与x 轴交于A 、B ，且经过点D 9(3,)2-。

若点C 为抛物线上一点，且直线AC 把四边形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线AC 的解析式、5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y 2x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为\0y x6、如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1,0），B （0,2），抛物线2122y x bx =+-的图象过C 点。

（1）求抛物线的解析式（2）平移抛物线的对称轴所在的直线l ,当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形PACB 是平行四边形若存在，求出P 点的坐标，若不存在说明理由。

?7、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，点G （2，y ）是抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当△APG 的面积最大时，求点P 的坐标。

\8、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （1）求点A 、B 的坐标（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ABD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标。

抛物线与相似三角形结合的动点问题

抛物线与相似三角形结合的动点问题一、概述在数学中，抛物线与相似三角形是两个重要的概念。

抛物线具有很多有趣的性质，而相似三角形则是几何学中的重要概念之一。

本文将探讨抛物线与相似三角形结合的动点问题，通过具体的案例分析和推导，探讨这两个概念之间的通联，从而深入理解这一数学问题。

二、抛物线的基本性质1. 抛物线的定义抛物线是平面上所有到定点的距离等于其到定直线的距离的点的轨迹。

在直角坐标系中，抛物线的标准方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c为常数，且a≠0。

2. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是定点 F，准线是定直线 l。

对于标准方程 y=ax^2 的抛物线来说，焦点的横坐标为 0，纵坐标为 1/(4a)，准线的方程为 y=-1/(4a)。

3. 抛物线的对称性抛物线具有关于焦点的对称性。

即便不考虑直角坐标系下的图像，只需考虑焦点和抛物线上另一点的连线和准线的位置关系即可。

三、相似三角形的基本概念1. 相似三角形的定义相似三角形是指它们的对应角相等，并且对应边成比例。

两个三角形相似的简化表述是它们的形状相似，但尺寸不同。

2. 相似三角形的性质相似三角形的边长之比等于它们的对应边上的线段之比。

并且，对于两个相似三角形来说，它们的面积之比等于它们的相似边长之比的平方。

3. 相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法有AAA判定法、AA判定法、SAS判定法、SSS判定法等。

通过这些判定方法，可以判断两个三角形是否相似。

四、抛物线与相似三角形结合的动点问题1. 问题描述考虑一个抛物线 y=ax^2 上的动点 P(x,y)，将 P 连接到抛物线的焦点F，将 P 到抛物线的准线的垂直距离记作 h，P 到抛物线的焦点的距离记作 d。

如何根据 P 的位置来求出 h 和 d 之间的关系呢？2. 问题分析我们可以通过抛物线 y=ax^2 的标准方程求解出焦点 F 的坐标，以及准线的方程。

我们可以通过 P 的坐标求出 h 和 d 之间的关系。

中考数学复习《抛物线压轴题中的动点问题》(五大必考题型汇编)专题练习

中考数学复习高频考点提升《抛物线压轴题中的动点问题》（五大必考题型汇编）专题练习考型一：平移型动点问题1. 如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.2.如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x 轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．考型二：动点与面积问题1. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.CA O EFBPDlxy2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y 轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为812，求点D的坐标；3.如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；4. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.考型三：动点与角度变换问题1. 如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.2. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考型四：动点与图形周长问题1. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；3. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.4. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.考型五：动点与图形存在问题1. 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PE=2OD,求△PBE的面积;(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图2所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P,N.若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.3. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC =35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B 两点，经过A，B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C (1，0)．(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长;(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问:抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．。

抛物线中的动点问题专题复习【精品】

抛物线中的动点问题专题复习【精品】本文档将介绍抛物线中的动点问题的相关知识，并提供复材料和练题。

一、概述抛物线中的动点问题是数学中涉及到抛物线和动点运动的问题。

通过研究动点在抛物线上的运动，可以解决与速度、加速度、时间等相关的物理问题。

二、相关概念在抛物线中的动点问题中，有几个重要的概念需要掌握：1. 抛物线：抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性和顶点。

它可以用一条二次函数的图像来表示。

抛物线：抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性和顶点。

它可以用一条二次函数的图像来表示。

2. 动点：动点是在抛物线上移动的一个点，其位置随时间的变化而变化。

动点：动点是在抛物线上移动的一个点，其位置随时间的变化而变化。

3. 速度：动点在抛物线上的运动速度可以用速度向量表示。

速度是动点在单位时间内所移动的距离。

速度：动点在抛物线上的运动速度可以用速度向量表示。

速度是动点在单位时间内所移动的距离。

4. 加速度：动点在抛物线上的运动加速度是速度的导数，表示速度的变化率。

加速度：动点在抛物线上的运动加速度是速度的导数，表示速度的变化率。

三、解题方法在解决抛物线中的动点问题时，可以采用以下方法：1. 分析曲线方程：首先要了解抛物线的方程以及其特点，例如顶点坐标、对称轴等。

分析曲线方程：首先要了解抛物线的方程以及其特点，例如顶点坐标、对称轴等。

2. 确定动点的运动方程：根据题目给出的条件，可以推导出动点的运动方程，通常是关于时间的函数。

确定动点的运动方程：根据题目给出的条件，可以推导出动点的运动方程，通常是关于时间的函数。

3. 计算速度和加速度：利用导数和微分的知识，可以计算动点在抛物线上的速度和加速度。

计算速度和加速度：利用导数和微分的知识，可以计算动点在抛物线上的速度和加速度。

4. 解决相关问题：根据题目的要求，可以利用速度、加速度等参数解决与动点运动相关的物理问题。

解决相关问题：根据题目的要求，可以利用速度、加速度等参数解决与动点运动相关的物理问题。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（动点问题）1．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ，N ，H ，设点D 的横坐标为m ．①当DF HF +取最大值时，求点F 的坐标；②连接EG ，若45GEH ∠=︒，求m 的值．2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C 、B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF V 的面积分成两部分，若:3:2BDE BEF S S =V V ，请求出点D 的坐标．3．如图1，对于平面内小于等于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”，记作(),d MON P ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠．(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ，则(),d xOy A ∠=______ ，(),d xOy B ∠=______．(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点，且满足(),5d xOy P ∠=，在图2中画出点P 运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点，点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合)，求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标．4．如图，抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -，和点B ，点D 是抛物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点()10C -，．(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若MCB DAC ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时P 点坐标；(3)如图，设抛物线与y 轴交于点D ，平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ，N ，作直线MB ND 、交于点G ，问点G 是否在某一定直线上运动，若在求此直线的解析式，若不在说明理由．8．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3O B O C O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．10．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()20A -，，()40B ，，()08C ，三点，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC V 的面积最大，求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC V 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段BC 上的一个动点，平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ，求FBC V 面积的最大值；(3)设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求PAB V 面积的最大值；(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，设点M 的横坐标为m ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ，()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C -．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的下方，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接CP ，若45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；(3)连接BP ，求四边形OBPC 面积的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y x t =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N ，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在；说明理由17．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC V 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点，若2OAQ OAC S S =V V ，请求出点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点H ，平面内是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭；②1或952．(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．(1)5，5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭，或524⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2，此时P 点坐标为()1,0-(3)在，3y x =--8．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为329．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为810．(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-11．(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28，时，PBC V 的最大面积为8； (3)存在，点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，．12．(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在，点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13．(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14．(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在，点P 的横坐标为2911或7．15．(1)223y x x =+- (2)(14)--， (3)63816．(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在，()0,17Q 或()0,33-17．(1)()2,0A -，()6,0B ，()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PBC S V 有最大值272(3)存在，点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18．(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。

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