通用版2020学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十六临界知识问题理

课时跟踪检测（二十六） 临界知识问题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：选B 法一：特殊值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.法二：设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6＜α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，所以选B.2．对于定义域为R 的函数f (x )，若f (x )在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f (x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( )A ．f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R) B ．f (x )＝2－|x －1| C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝x －sin x解析：选D 因为f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，所以Δ＝b 2＋4＞0，且方程x 2＋bx －1＝0有一正根一负根，故函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)是“含界点函数”；令2－|x －1|＝0，得x ＝3或x ＝－1，故f (x )＝2－|x －1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f (x )为“含界点函数”；作出y ＝x 2和y ＝2x 的图象，可知f (x )＝2x －x 2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f (x )＝2x －x 2是“含界点函数”；因为f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f (0)＝0，故f (x )＝x －sin x 不是“含界点函数”．3．下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝2x；③y ＝x 2；④y ＝x sin x ；⑤y ＝xx 2＋x ＋1中，属于有界泛函数的序号是________．解析：当x ≠0时，①⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x＝2≤2；④⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＝|sin x |≤1；⑤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1≤43.对于②，当x ≥4时，2x≥x 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2xx ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x ＝|x |无界；对于③，当x ≠0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＝|x |无界．故填①④⑤. 答案：①④⑤4．对于具有相同定义域D 的函数f (x )和g (x )，若存在函数h (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)对任给的正数x ，存在相应的x 0∈D 使得当x ∈D 且x ＞x 0时，总有x →∞时f (x )－g (x )→0，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )的“分渐近线”．给出定义域均为D ＝{x |x ＞1}的三组函数如下：①f (x )＝x 2，g (x )＝x ； ②f (x )＝10－x＋2，g (x )＝2x －3x；③f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝2(x －1－e －x )，其中，曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )存在“分渐近线”的是________．(填序号) 解析：f (x )和g (x )存在分渐近线的充要条件是x →∞时，f (x )－g (x )→0.对于①：f (x )＝x 2，g (x )＝x ，因为当x ＞1，x →∞时，f (x )－g (x )＝x (x x －1)→＋∞，所以①不存在；对于②：f (x )＝10－x ＋2，g (x )＝2x －3x ，因为当x ＞1，x →∞时，f (x )－g (x )＝110x ＋3x →0，所以存在分渐近线；对于③：f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝2(x －1－e －x)，当x ＞1，x →∞时，f (x )－g (x )＝－21＋1x＋2＋2e x →0，因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是②③. 答案：②③5．求函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15x ＋1(0＜x ＜100)的值域．([x ]表示不大于x 的最大整数)解：①当0＜x ＜15时，得0＜x15＜1，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 15＝0，f (x )＝1.②当15≤x ＜100时，－1≤－15x ＜－320， 所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 15＋1，因为1≤x 15＜10015＝623，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 15＝1,2,3,4,5,6，f (x )＝0，－1，－2，－3，－4，－5.所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}． 6．已知上凸函数f (x )在定义域内满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f x 1＋f x 22.若函数y ＝sin x在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC 中，求sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值．解：因为y ＝sin x 在(0，π)上是上凸函数，则13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝sin π3＝32，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤332，当且仅当sin A ＝sin B ＝sin C 时，即A ＝B ＝C ＝π3时，取等号．故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.7．已知不等式12＋13＋…＋1n ＞12[log 2n ]，其中n 为大于2的整数，[log 2n ]表示不超过log 2n 的最大整数．设数列{a n }的各项为正，且满足a 1＝b (b ＞0)，a n ≤na n －1n ＋a n －1，n ＝2,3,4，….(1)证明a n ＜2b2＋b [log 2n ]，n ＝3,4,5，…；(2)试确定一个正整数N ，使得当n ＞N 时，对任意b ＞0，都有a n ＜15.解：(1)证明：法一：因为当n ≥2时，0＜a n ≤na n －1n ＋a n －1，所以1a n ≥n ＋a n －1na n －1＝1a n －1＋1n ，即1a n －1a n －1≥1n，于是有1a 2－1a 1≥12，1a 3－1a 2≥13，…，1a n －1a n －1≥1n .所有不等式两边相加可得1a n －1a 1≥12＋13＋…＋1n .由已知不等式知，当n ≥3时，有1a n －1a 1＞12[log 2n ]．因为a 1＝b ，所以1a n ＞1b ＋12[log 2n ]＝2＋b [log 2n ]2b.所以a n ＜2b2＋b [log 2n ].法二：设f (n )＝12＋13＋…＋1n ，首先利用数学归纳法证不等式a n ≤b1＋f n b ，n ＝3,4,5，….①当n ＝3时，由a 3≤3a 23＋a 2＝33a 2＋1≤33·2＋a 12a 1＋1＝b1＋f 3b知不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，不等式成立， 即a k ≤b1＋f kb，则a k ＋1≤k ＋1a k k ＋1＋a k ＝k ＋1k ＋1a k＋1≤k ＋1k ＋1·1＋f k b b＋1＝k ＋1bk ＋1＋k ＋1f k b ＋b＝b 1＋⎝⎛⎭⎪⎫fk ＋1k ＋1b＝b1＋f k ＋1b， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②知，a n ≤b1＋f nb，n ＝3,4,5，….又由已知不等式得a n ＜b 1＋12[log 2n ]b ＝2b2＋b [log 2n ]，n ＝3,4,5，….(2)因为2b 2＋b [log 2n ]＜2[log 2n ]，令2[log 2n ]＜15，则有log 2n ≥[log 2n ]＞10⇒n ＞210＝1 024， 故取N ＝1 024，可使当n ＞N 时，都有a n ＜15.8.如图，已知异面直线a ，b 成60°角，其公垂线段(指与a ，b 直线垂直相交的线段)EF ＝2，长为4的线段AB 的两端点A ，B 分别在直线a ，b 上运动．(1)指出AB 中点P 的轨迹所在位置； (2)求AB 中点P 的轨迹所在的曲线方程．解：(1)设EF 的中点O ，而P 为AB 的中点，故O ，P 在EF 的中垂面α上，从而P 点轨迹在EF 的中垂面α上．(2)设A ，B 在面α上的射影为C ，D ，则由AP ＝PB ＝2，AC ＝BD ＝1，得CD ＝2 3.因为a ∥OC ，b ∥OD ，所以∠COD ＝60°.在平面α内，以O 为原点，∠COD 的角平分线为x 轴的正半轴建立直角坐标系如图．设C 点的坐标为(3t 1，t 1)，D 点坐标为(3t 2，－t 2)，则P 点坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t 1＋t 2，y ＝12t 1－t 2，因为CD ＝23，所以[3(t 1－t 2)]2＋(t 1＋t 2)2＝12.所以x 29＋y 2＝1，故P 点轨迹在EF 的中垂面α上，且轨迹为椭圆． 9．设P 为椭圆x 225＋y 216＝1长轴上一个动点，过P 点斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点．若|PA |2＋|PB |2的值仅依赖于k 而与P 无关，求k 的值．解：设点P 的坐标为(a,0)，直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝t sin θ代入椭圆方程x 225＋y 216＝1得(16cos 2θ＋25sin 2θ)t 2＋32a cos θt ＋16a 2－400＝0.所以t 1＋t 2＝－32a cos θ16cos 2θ＋25sin 2θ，t 1t 2＝16a 2－40016cos 2θ＋25sin 2θ. 所以|PA |2＋|PB |2＝t 21＋t 22＝(t 1＋t 2)2－2t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a cos θ16cos 2θ＋25sin 2θ2－2×16a 2－40016cos 2θ＋25sin 2θ ＝32×16cos 2θ－25sin 2θa 2＋400cos 2θ＋625sin 2θ16cos 2θ＋25sin 2θ2. 因为|PA |2＋|PB |2的值与P 无关就是与a 无关，所以16cos 2θ－25sin 2θ＝0，所以k ＝±45. 10．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)直线 l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，为什么？解：(1)当m ＝0时，直线l 的斜率为0； 当m ≠0时，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1＝1m ＋1m.当m ＞0时，m ＋1m ≥2，所以0＜k ≤12；当m ＜0时，m ＋1m ≤－2，所以－12≤k ＜0.所以直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)法一：因为圆心C (4，－2)到直线l 的距离d ＝|4m ＋2m 2＋1－4m |m 2＋m 2＋12＝2m 2＋1m 4＋3m 2＋1.若直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°.所以d ＝r2＝1，即2(m 2＋1)＝m 4＋3m 2＋1，化简得3m 4＋5m 2＋3＝0.而此方程无实数解，所以直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．法二：因为直线l 的方程可化为：(m －4)x －(m 2＋1)y ＝0，所以直线l 恒过点(4,0)，此点正好是圆C 与x 轴的切点，由几何知识可得要使直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则直线l 的倾斜角为60°或120°，所以直线l 的斜率为±3，这与k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12矛盾，所以直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．。