1.2命题逻辑等值演算
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离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
命题逻辑-2
课堂练习
证明： (P → Q) (R → Q) = (P ∨ R) → Q
等值演算旳应用－1
利用基本旳等价关系，化简下列电路图
P
P QR
PR
Q
R
P QS
PS
S
T
& ≥1
≥1 &
&
解：上述电路图可描述为： （1）((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S)) （2）((P∧Q∧R)∨(P∨Q∨S))∧(P∧S∧T)
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
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等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
同一律
A0A. A1A
排中律
AA1
矛盾律
AA0
蕴涵等值式
ABAB
等价等值式
AB(AB)(BA)
假言易位
ABBA
等价否定等值式 ABAB
归谬论
(AB)(AB) A
尤其提醒：必须牢记这16组等值式，这是继续学习旳基础
11
命题与集合之间旳关系
能够将命题公式G，H了解为某总体论域上全部使命題為真 旳解釋旳集合，而要求G∧H为两集合旳公共部分（交集）， G∨H为两集合旳全部（并集），┐G为总体论域中G旳补集， 将命题中旳真值“1”了解为集合中旳总体论域（全集）， 将命题中旳真值“0”了解为集合中旳空集，则有：
21命题逻辑的等值和推理演算
A,B代表任意 的命题公式
摩根律 : (AB) = AB，
(AB) = AB
吸收律: A(AB) = A, A(AB) = A
零律:
AT = T, AF = F
同一律: AF = A, AT = A
TA = A， T A = A，
补余律: AA = T， AA = F，
等值公式
2. 常用等值公式
公式A的子公式置换后，A化为公式B，必有A = B
n 等值演算
n 由已知的等值公式推演出新的等值公式的过程 n 如已知: AA = A
则: BAA = BA
n 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反、对称、传递 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
三个重要的等值式
P Q = P Q P Q = (P Q) ( P Q )
C
P∧Q
FF
T
T
F
T
P∧Q
FT
T
T
F
F
TF
F
F
T
T
P∧Q
TT
T
F
F 任意
2.3 命题公式与真值表的关系
按真值表列出命题公式的方法
从F来列出
如下表中B为F有二种可能
所以，B的命题公式形式为：□ ∧ □
而取F相应的P、Q解释分别为： P∨Q 、 P∨ Q
所以，B=(P∨Q)∧(P∨Q ) 同理，A= P∨Q
按真值表列出命题公式的方法
从T来列出
如下表中A为T有三种可能
所以，A的命题公式形式为：□∨ □ ∨□ 而取T相应的P、Q解释分别为： P∧Q、P∧Q、 P∧Q
所以，A=(P∧Q) ∨(P∧Q) ∨(P∧Q)
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
第二章命题逻辑等值演算
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 （公式的规范化）
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 如：p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式 注:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
(p→r)∧(q→r) （ ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。 例2.4 证明：(p→q)→r p→(q→r)
证： 方法一：真值表法。 方法二：观察法。 易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的 成真赋值，所以原不等值式成立。 方法三：设A=(p→q)→r, B=p→(q→r) A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r 容易观察到， 000，010是A 的成假赋值， 而它们是B的 成真赋值。
A∨ 0 A ， A∧ 1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
12. 蕴涵等值式 13. 等价等值式 14. 假言易位
A∧┐A 0
A→ B ┐ A∨ B (A B) (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A A B ┐A ┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
Hale Waihona Puke (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨
命题逻辑I 命题公式与等值演算
20
合式公式的层次 (续)
例如 公式 p p p q (p q ) r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
21
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变元 p1, p2, … , pn指定 一组真值，称为对A的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变元的公式有2n个赋值.
28
2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
15
例
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
1 0
1 0 0
16
(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续.
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
14
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
合式公式的层次 (续)
例如 公式 p p p q (p q ) r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
21
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变元 p1, p2, … , pn指定 一组真值，称为对A的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变元的公式有2n个赋值.
28
2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
15
例
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
1 0
1 0 0
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(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续.
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
14
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
命题公式等值演算
命题公式等值演算命题公式等值演算（Propositional Formula Equivalence）是数理逻辑领域中的一个重要概念和技巧。
本文将介绍命题公式等值演算的基本思想和常用方法，并通过一些例子来详细说明。
一、命题公式等值关系的定义在逻辑学和计算机科学中，命题公式是由包含命题变量、逻辑运算符和括号构成的表达式。
而命题公式等值关系则是指两个命题公式具有相同的真值。
换句话说，当且仅当两个命题公式在每一个赋值下具有相同的真值时，它们才是等值的。
例如，对于命题变量p和q，表达式(p∧q)∨(¬p∧¬q)和(p∨¬q)∧(¬p∨q)是等值的，因为它们在每一个赋值下的真值相同。
二、命题公式等值演算的基本规则命题公式等值演算是通过一系列基本规则来推导等值式的过程。
下面是一些常用的基本规则：1. 交换律：p∧q ≡ q∧p，p∨q ≡ q∨p2. 结合律：(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)，(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)3. 分配律：p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)，p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)4. 吸收律：p∧(p∨q) ≡ p，p∨(p∧q) ≡ p5. 否定律：p∨¬p ≡ T，p∧¬p ≡ F6. 德摩根定律：¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q，¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q7. 双重否定律：¬(¬p) ≡ p三、命题公式等值演算的应用命题公式等值演算是数理逻辑中的一项基础技术，可以应用于证明命题的等价关系、简化复杂的命题公式以及构造等价的命题公式等领域。
1. 证明等价关系通过命题公式等值演算，可以证明两个命题公式之间的等价关系。
例如，要证明(p∨q)∧(¬p∨q) ≡ q，可以使用分配律、交换律和吸收律等基本规则进行推导。
2. 简化命题公式当给定一个复杂的命题公式时，可以利用命题公式等值演算的基本规则来简化它，使得它更加易于理解和计算。
02命题逻辑等值演算
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
（零律）
例2.5 解答
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p∨p∨q)∧r (p∧┐p∧┐q)∧r 0∧r 0
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q) p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A旳成假赋值，而它们是B旳成真赋值。
例题
例题2.5 用等值演算判断下列公式旳类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 措施一、真值表法。
措施二、观察法。易知，010是(p→q)→r旳成假赋值，而010 是p→(q→r)旳成真赋值，所以原不等值式成立。
措施三、经过等值演算化成轻易观察真值旳情况，再进行判断。
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.互换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
命题逻辑等值演算
mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称。且有mi Mi ,
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
|
第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
03-L.02 命题逻辑的归结推理方法
−离散数学基础2017-11-9•定义：子句−命题公式中原子或原子的否定形式称为文字。
文字的析取式称为子句（或子句形）。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理1：−任何命题公式都可应用等值演算转化成相应的子句集表出。
»由合取范式存在定理导出−因此，若公式 X 在逻辑上遵循公式集 S (即 S ⇒ X )，则也遵循由 S 变换成的子句集。
•定理2：−设子句集 S 由公式 A 变换而成，则 A 不可满足当且仅当 S 不可满足。
−因此，要证明一个公式 A 是不可满足的，只需要证明由公式 A 变换而成的相应的子句集 S 是不可满足的。
•定义：归结式−设 L 为原子公式，若有子句 L∨α 和 ¬L∨β ，则构造子句 α∨β 称为前二者的归结式。
»α 和 β 都是子句形，也可以是空子句。
−上述的两个子句 L∨α 和 ¬L∨β 称为归结式 α∨β 的母体子句或亲本子句。
也称它们为可归结的。
•定义：归结−由一对可归结的亲本子句导出归结式的过程称为归结。
•定理3：−归结式是其亲本子句的逻辑结论。
−证明：即欲证(L∨α ) ∧ (¬L∨β ) ⇒ α∨β»假设 (L∨α )∧(¬L∨β )=1，则有 L∨α =1 且 ¬L∨β =1»若 L=1，则 ¬L=0，此时由 ¬L∨β =1 必须 β =1»若 L=0，此时由 L∨α =1 必须 α =1»故无论如何，都有 α∨β =1。
因此(L∨α ) ∧ (¬L∨β ) ⇒ α∨β•归结过程的图解•一次归结可以用这样的图解来表示,上面的两个红色框是两个可归结子句,下面的一个蓝色框是它们的归结式。
归结推理过程由一个个这样的结构组成,可以用图解表示成一棵归结树，我们后面会给出一些例子。
离散数学命题与联结词
20
例1.6求下列复合命题的真值1 0(1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6.
(2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2+2＝4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f(x)在x0可导的充要条件是 它在x0连续.
1
0 0
21
以上给出了5个联结词：, , , , ，组成 一个联结词集合{, , , , }， 联结词的优先顺序为：, , , , ; ① ② ③ 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左 到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括 号中的运算.
25
7
例1.1
下列句子中哪些是命题？ 真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句 祈使句 悖论 (3)—(7)都不是命题
8
(1) (3)
(4) (5) (6) (7)
2 是无理数. (2) 2 + 5 ＝8.
x + 5 ＞ 3.
你有铅笔吗？ 这只兔子跑得真快呀！ 请不要讲话！ 我正在说谎话.
命题的分类
10
联结词与复合命题
1.否定式与否定联结词“”
定义 设p为命题，复合命题 “非p”（或 “p 的 否定”）称为p的否定式，记作p，符号称
作否定联结词，并规定p 为真当且仅当p为
假.
例如：p：10是素数，则p：10不是素数.
11
2. 合取式与合取联结词“∧” 定 义 设 p, q 为 二 命 题 , 复 合 命 题 “ p 并 且 q ”( 或 “ p 与 q ”) 称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q ，∧ 称 作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与
例1.6求下列复合命题的真值1 0(1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6.
(2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2+2＝4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f(x)在x0可导的充要条件是 它在x0连续.
1
0 0
21
以上给出了5个联结词：, , , , ，组成 一个联结词集合{, , , , }， 联结词的优先顺序为：, , , , ; ① ② ③ 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左 到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括 号中的运算.
25
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例1.1
下列句子中哪些是命题？ 真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句 祈使句 悖论 (3)—(7)都不是命题
8
(1) (3)
(4) (5) (6) (7)
2 是无理数. (2) 2 + 5 ＝8.
x + 5 ＞ 3.
你有铅笔吗？ 这只兔子跑得真快呀！ 请不要讲话！ 我正在说谎话.
命题的分类
10
联结词与复合命题
1.否定式与否定联结词“”
定义 设p为命题，复合命题 “非p”（或 “p 的 否定”）称为p的否定式，记作p，符号称
作否定联结词，并规定p 为真当且仅当p为
假.
例如：p：10是素数，则p：10不是素数.
11
2. 合取式与合取联结词“∧” 定 义 设 p, q 为 二 命 题 , 复 合 命 题 “ p 并 且 q ”( 或 “ p 与 q ”) 称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q ，∧ 称 作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与
第2章 命题逻辑的等值演算
如果将真值1，0 看做是数，则每一个解释对应一 个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i， 今后将m记为mi。
例:
对p，q，r而言，pqr是极小项 解释{p，q，r}使该极小项取1值，解释{p，q， r} 对应的二进制数是2 (010) 于是pqr记为m2
例：
(p(qr))s (p(qr))s p(qr)s p(qr)s …………….
式)
(ps)(qr) (psq)(psr)
( 析取范
…… (合取范式)
主范式
定义2. 4 设p1,…,pn是n个不同原子，一个简单合取式如果 恰好包含所有这n个原子或其否定，且其排列顺序与 p1,…,pn的顺序一致，则称此简单合取式为关于p1,…,pn的 一个极小项。 显然，共有2n个不同的极小项。 例如: 对原子 p，q，r 而言， pqr，pqr，pqr 都是 极小项，但是，p，pq不是极小项， 对原子p，q而言,pq是极小项。
例
判断公式 (pq)(qr)(rp)是否永假? 解： (pq)(qr)(rp) (pq)(qr)(rp) ((pq)(qq)(pr)(qr))(rp) (pqr)(qqr)(prr)(q rr)(pqp)(qqp)(prp) (qrp) 故公式(pq)(qr)(rp)不是永假的。
命题公式和真值表的关系
从0来列写
B (…) ∧ (…)
由1列写的方式进行转化： B (…)∨ (…) B (…) ∧ (…) (…) 写成析取式，表示一种 B 值为假的情况。如 p=1，q=0 时为假，
(…) 写成p ∧q， (…)写成 p ∨ q
1值取p形式
定理
对于任意公式G，存在唯一一个与G等值的主析取 范式。
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解答
设命题 p：王教授是苏州人。 q：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通 过逻辑演算将真命题找出来。 设 甲的判断为A1= ┐p∧q 乙的判断为A2= p∧┐q 丙的判断为A3= ┐q∧┐r
甲的判断全对： 甲的判断对一半： 甲的判断全错： 乙的判断全对： 乙的判断对一半： 乙的判断全错： 丙的判断全对： 丙的判断对一半： 丙的判断全错：
也可以从右边开始演算 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 通常不用等值演算直接证明两个公式不等值
例题
例2.3 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r (p→r)∧(q→r)
解答 (p→r)∧(q→r) (┐p∨r)∧(┐q∨r) (┐p∧┐q)∨r ┐(p∨q)∨r (p∨q)→r (蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
定理 都是联结词完备集
证：已知 , , 为联结词完备集，因而只需证明其 中的每个联结词都可以由 定义即可
p
p q ( p q ) (p q ) p q
( p p) p p
pq ( p q ) ( p q )
p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
易知10，11为（3）的成真赋值，00，01为成假赋 值，因而（3）为可满足式
例题2.6 在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根 据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人 中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的 全不对。试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？
解答
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 相等 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r 不相等 (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
2.基本等值式
（1）双重否定律 （2）幂等律 （3）交换律 （4）结合律
（5）分配律
（6）德· 摩根律 （7）吸收律
A ┐┐A A A∨A ，A A∧A A∨B B∨A，A∧B B∧A (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律） ┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
（8）零律 A∨1 1 ， A∧0 0 （9） 同一律 A∨0 A 。A∧1 A （10）排中律 A∨┐A 1 （11）矛盾律 A∧┐A 0 （12）蕴涵等值式 A→B ┐A∨B （13）等价等值式 AB (A→B)∧(B→A) （14）假言易位 A→B ┐B→┐A （15）等价否定等值式 AB ┐A┐B （16）归谬论 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
（德摩根律）
（德摩根律） （排中律） （同一律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q（分配律）
1∨┐p
1
（排中律）
（零律）（重言式）
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p ∨p∨q)∧r
(p∧┐p∧┐q)∧r
0∧r
0
（2）为矛盾式
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
说明
• 其中A,B,C可以代表任意的公式，称这样的等值式为 等值式模式。 • 每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的 等值式。 例如，在蕴涵等值式 A→B┐A∨B 中， 取A=p，B=q时，得等值式 p→q┐p∨q 取A=p∨q∨r，B=p∧q时，得等值式 (p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的 一个实例。
等值演算的应用
① 证明两个公式等值 ② 判断公式类型 ③ 解判定问题
例题
证明两个公式等值 (p→q)→r (p∨r)∧(┐q∨r)
解答 (p→q)→r
说明
① ② ③ ④
(┐p∨q)→r （蕴含等值式、置换规则） ┐(┐p∨q)∨r （蕴含等值式、置换规则） (p∧┐q)∨r （德摩根律、置换规则） (p∨r)∧(┐q∨r)（分配律、置换规则）
n
2个命题变项共有16个
每个真值函数对应无群多个与之等值的命题公式 所以每一个命题公式 对应唯一的与之等值的真值函数。
2.定义1.15 在一个联结词的集合中，如果一个联 结词可由集合中的其他联结词定义，则称此联接 词为冗余的联结词，否则称为独立的联结词。
在联结词集{┐,∧,∨,→,}中， (p→q) ┐p∨q p q (p →q) ∧(q →p ) (┐p∨q) (┐q∨p) 所以→,冗余 在{┐,∧,∨}中，由于 P ∨q ┐ ┐（ P ∨q ） ┐（ ┐ P ∧ ┐ q ） 所以∨冗余，但在{┐,∧}中无冗余。
2.定义1.16在任一真值函数都可以用仅含有某一联 结词集中的联结词的命题公式表示，则称该联结 词集为全功能集。若一个联结词集的全功能中不 含冗余的联结词，则称它是极小全功能集。
3.{┐，∧，∨，
→， ｝{┐，∧，∨， → ， ↔ ， , ｝ {┐，∧，∨， → ， ↔ ｝,｛┐，∧ ，∨ ｝,{┐， → ｝ {┐，∧}{┐， ∨} ,｛｝,{ }都是全功能集，其中{┐，∧} {┐， ∨} ,｛｝,{ }是最小功能集。
例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
方法一、真值表法。 方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋 值，而010是p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值
式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况， 再进行判断。
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r （蕴涵等值式） ┐(┐p∨q)∨r （蕴涵等值式） (p∧┐q)∨r （德摩根律） B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) （蕴涵等值式） ┐p∨┐q∨r （结合律） 000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。
例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
解答 (1) (p→q)∧p→q (┐p∨q)∧p→q ┐((┐p∨q)∧p)∨q （蕴涵等值式） （蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
((p∧┐q)∨┐p)∨q (1∧(┐q∨┐p))∨q (┐q∨q)∨┐p
例1.1 A,B,C,D四人做百米竞赛。观众甲、乙、丙预报比赛 的名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四。 比赛结束后发现甲、乙、丙每人报告的情况都是各对一半， 试问实际的名次？ 解：设pi ， qi，ri ， si表示A第i名，B第i名，C第i名，D第 i名，显然pi ， qi，ri ， si中均有一个真命题。要寻找下 列3个成立的真命题 (1)（r1∧┐q2)∨(┐r1∧q2) 1 (2)（r2∧┐s3)∨(┐r2∧s3) 1 (3)（p2∧┐s4)∨(┐p2∧s4) 1
3.等值演算与置换规则
由已知的等值式推演出另外一些等值式 的过程为等值演算。 置换规则 :设Φ(A)是含公式A的命题公式， Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后 得 到 的 命 题 公 式 ， 若 BA ， 则 Φ(B)Φ(A)。
关于等值演算的说明
等值演算的基础
① 等值关系的性质： 自反性：AA。 对称性：若AB，则BA。 传递性：若AB且BC，则AC。 ② 基本的等值式 ③ 置换规则
2.3 连结词的完备集
排斥或： pq ( p q) (p q)
与非联结词
p q ( p q)
或非联结词
p q ( p q)
2.3 连结词的完备集
定义1.14 称F:{0，1} →{0,1}为n元真值函数 F的自变量为n个命题变量，定义域: n {0，1} ={00…0,00…1,…,11…1},值域为{0，1}。 2n个不同的真值函数。1元真值函 n个命题变量共可2 数共可4个
( p p) (q q ) 类似可证明 是联结词完备集。
( p q) p p
定义1.10 设A,B是两个命题公式，若等价式
A ↔ B为重言式，则称A与B是等值的，记作AB。
用真值表可以验证两个公式是否等值。 判断A,B是否等值(AB )
说明
判断A ↔ B为重言式 A ↔ B的真值表最后一列全为1 在各种赋值下，A，B取值完全相同
A,B的真值表完全相同
例题
例2.1 判断下面两个公式是否等值 ┐(p∨q) 与 ┐p∧┐q 相等
本节的主值演算与置换规则 联结词全功能集
2.1 等值式
两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看，它们的真假取值完全相同时 即代表了相同的命题。
若A与B有相同的真值表，则说明在2 个赋 值下，A与B的真值都相同,于是等价式A↔B应 为重言式。
n
1.等值的定义及说明
因为真命题的合取仍为真命题，故： 1（1）∧（2） （r1∧┐q2∧r2∧┐s3)∨( r1∧┐q2∧┐r2∧s3) ∨(┐r1∧q2∧r2∧┐s3)∨(┐r1∧q2∧┐r2∧s3) 其中C不能即是第一又是第二，B和C不能都是第二，所以 r1∧┐q2∧r2∧┐s3 0 ┐r1∧q2∧ r2∧┐s30 得出(4)（r1∧┐q2∧┐r2∧s3)∨(┐r1∧ q2∧┐r2∧s3) (3)和（4）产生新的公式 1（3)∧（4) （p2∧ ┐s4 ∧r1 ∧ ┐q2 ∧ ┐r2 ∧ s3)∨(p2∧ ┐s4 ∧┐r1 ∧ ∧ q2 ┐r2 ∧ s3)∨(┐p2∧ s4 ∧r1 ∧ ┐q2∧ ┐r2∧ s3)∨（┐p2∧s4 ∧┐r1 ∧q2 ∧┐r2 ∧ s3) 由于A,B不能同时第二，D不能第三又第四。 所以(5)1 p2∧┐s4∧r1 ∧ ┐ q2 ∧ ┐ r2 ∧ s3 p2∧┐q2∧r1∧┐r2∧s3∧┐s4 C第一，A第二，D第三，B第四。