(完整)参数方程高考真题专题训练

合集下载

高三参数方程测试题(含答案)

高三参数方程测试题(含答案)

参数方程1. 椭圆{y =4sinθx=3cosθ(θ为参数)的离心率为( )A. √74B. √73C. √72D. √752. 直线{x =−tcos20°y =3+tsin20°(t 为参数)的倾斜角是( )A. 20∘B. 70∘C. 110∘D. 160∘3. 过点(0,2)且与直线{x =2+ty =1+√3t(t 为参数)互相垂直的直线方程为( )A. {x =√3t y =2+tB. {x =−√3t y =2+t (t 为参数)C. {x =−√3t y =2−tD. {x =2−√3t y =t4. 若直线的参数方程为{x =1+3ty =2−√3t(t 为参数),则直线的倾斜角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘ 5. 曲线C :{x =2cosθy =3sinθ(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为( )A. √5−3B. √5−2C. 3−√5D. 16. 已知圆的参数方程为{x =−1+√2cosθy =√2sinθ(θ为参数),则圆心到直线y =x +3的距离为( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√2 7. 参数方程{y =3sinθx=4cosθ(θ为参数)表示的曲线是( )A. 以(±√7,0)为焦点的椭圆B. 以(±4,0)为焦点的椭圆C. 离心率为√75的椭圆 D. 离心率为35的椭圆8. 圆{x =2cosθy =2sinθ+2的圆心坐标是( )A. (0,2)B. (2,0)C. (0,−2)D. (−2,0)9. 设直线l :{x =1+12t y =√32t(t 为参数),曲线C 1:{y =sinθx=cosθ(θ为参数),直线l 与曲线C 1交于A ,B 两点,则|AB |=( )A. 2B. 1C. 12D. 1310. 已知圆x 2+y 2-2x =0的圆心为C ,直线{x =−1+√22ty =3−√22t,(t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则△ABC 的面积为______.11. 设P ,Q 分别为直线{y =6−2t x=t (t 为参数)和曲线C :{x =1+√5cosθy =−2+√5sinθ(θ为参数)的点,则|PQ |的最小值为______.12. 已知直线C 1:{y =tsinαx=1+tcosα(t 为参数),C 2:{y =sinθx=cosθ(θ为参数),当α=π3时,则C 1与C 2的交点坐标为______.13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t(t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ(θ为参数),设直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点,求线段AB 的长.14. 已知曲线C:{x =4cosφy =3sinφ(φ为参数).(Ⅰ)将C 的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)若点P (x ,y )是曲线C 上的动点,求x +y 的取值范围.15. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l :{x =1+35t y =45t(t 为参数),与曲线C :{x =4k 2y =4k (k 为参数)交于A ,B 两点,求线段AB 的长.答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵(θ为参数),∴()2+()2=cos2θ+sin2θ=1,即+=1,其中a2=16,b2=9,故c2=a2-b2=16-9=7(a>0,b>0,c>0),∴其离心率e==.故选:A.将椭圆的参数方程转化为普通方程,即可求其离心率.本题考查椭圆的参数方程,考查椭圆的性质,属于简单题.2.【答案】D【解析】【分析】消去参数,求出直线的斜率,利用斜率和倾斜角之间的关系进行求解即可.本题主要考查参数方程的应用,消去参数求出直线的普通方程是解决本题的关键.【解答】解:消去参数得直线的普通方程为==-cot20°,即-(y-3)cot20°=x,即y=-tan20°x+3,则直线的斜率k=tanα=-tan20°=tan(180°-20°)=tan160°,即倾斜角为160°,故选:D3.【答案】B【解析】解:把直线(t为参数)消去参数,化为普通方程为y=x+1-2,故已知直线的斜率为,故所求直线的斜率为-,倾斜角为,故要求的直线的参数方程为(t为参数),故选:B.把直线(t为参数)消去参数,化为普通方程,可得已知直线的斜率为,故所求直线的斜率为-,倾斜角为,从而求得要求的直线的参数方程.本题主要考查把参数方程化为普通方程,两条直线垂直的性质,求直线的参数方程,属于基础题.4.【答案】D【解析】解:设直线的倾斜角为α,α∈[0°,180°).由直线的参数方程为(t为参数),消去参数t可得.∴直线的斜率,则直线的倾斜角α=150°.故选D.设直线的倾斜角为α,则α∈[0°,180°).由直线的参数方程为(t为参数),消去参数t可得.可得直线的斜率,即可得出.本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.5.【答案】C【解析】解:曲线C:(θ为参数),即+=1,∴a=3,b=2,c==,它上的点到其焦点的距离的最小值为a-c=3-,故选:C.把参数方程化为普通方程,求出a、c的值,再根据椭圆上的点到其焦点的距离的最小值为a-c,得出结论.本题主要考查椭圆的参数方程,椭圆的方程,把参数方程化为普通方程,属于基础题.6.【答案】B【解析】解:圆的参数方程为(θ为参数),普通方程为(x+1)2+y2=2,圆心到直线y=x+3的距离为d==,故选B.参数方程化为普通方程,即可求出圆心到直线y=x+3的距离.本题考查参数方程化为普通方程,考查点到直线距离公式的运用,属于基础题.7.【答案】A【解析】解:根据题意,曲线的参数方程,则其普通方程为+=1,为椭圆;依次分析选项:对于A:椭圆+=1的焦点坐标为(±,0),A正确;对于B、由A可得,B错误;对于C、椭圆+=1中,a=4,c=,其离心率e==,C错误;对于D、由C可得,D错误;故选:A.根据题意,将曲线的方程变形为普通方程,依次分析选项,综合即可得答案.本题考查参数方程与普通方程的互化,关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法.8.【答案】A解:∵圆,利用同角三角函数的基本关系消去参数θ,化为直角直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,故圆心坐标为(0,2),故选A.把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ,化为直角直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,从而求得圆心坐标.本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,同角三角函数的基本关系,圆的标准方程,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:由曲线C1:(θ为参数),化为x2+y2=1,直线l:(t为参数),消去参数化为y=(x-1),即=0.∴圆心C1(0,0)到直线l的距离d==.∴|AB|=2==1.故选:B.由曲线C1:(θ为参数),利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程.直线l:(t为参数),消去参数化为=0.求出圆心C1(0,0)到直线l的距离d,利用|AB|=2即可得出.本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.【答案】12【分析】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题,也考查了参数方程应用问题,是基础题.把圆的方程化为标准方程,写出圆心与半径;直线的参数方程化为普通方程,求出圆心到直线的距离,计算弦长|AB|,利用三角形面积公式求出△ABC的面积.【解答】解:圆x2+y2-2x=0化为标准方程是(x-1)2+y2=1,圆心为C(1,0),半径r=1,直线化为普通方程是x+y-2=0,则圆心C到该直线的距离为d==,弦长|AB|=2=2=2×=,∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=.故答案为.11.【答案】√55【解析】解:由题意,曲线C:,消去参数θ:可得曲线C的普通方程为:(x-1)2+(y+2)2=5.直线(t为参数),消去参数t,可得直线的普通方程为:2x+y-6=0.由曲线C的普通方程为:(x-1)2+(y+2)2=5.可知圆心为(1,-2),半径r=.那么:圆心到直线的距离d==可得|PQ|的最小值为:d-r==;故答案为:将直线(t 为参数)和曲线C :(θ为参数)化为普通方程,利用圆心到直线的距离d 减去半径r ,可得|PQ|的最小值.本题主要考查了参数方程化为普通方程,以及利用平面几何知识解决最值问题.12.【答案】(1,0),(12,-√32) 【解析】解:(Ⅰ)当α=时,C 1的普通方程为y=(x-1),C 2的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组,解得C 1与C 2的交点为(1,0),(,-).故答案为(1,0),(,-).先消去参数将曲线C 1与C 2的参数方程化成普通方程,再联立方程组求出交点坐标即可.本题主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,比较基础.13.【答案】解:由{x =1+12t①y =√32t②,由②得t =√3, 代入①并整理得,√3x −y −√3=0. 由{x =cosθy =2sinθ,得{x =cosθy 2=sinθ,两式平方相加得x 2+y 24=1.联立{√3x −y −√3=0x 2+y 24=1,解得{x =1y =0或{x =−17y =−8√37. ∴|AB |=17)8√37)=167.【解析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程,然后联立方程组,求出直线与椭圆的交点坐标,代入两点间的距离公式求得答案.本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,是基础题.14.【答案】解:(Ⅰ)∵C:{x =4cosφy =3sinφ(φ为参数),∴曲线C 的普通方程为x 216+y 29=1.(Ⅱ)∵x +y =4cosθ+3sinθ=5sin (φ+θ)(tanφ=43). ∴当sin (φ+θ)=1时,x +y 取得最大值5,当sin (φ+θ)=-1时,x +y 取得最小值-5. ∴x +y 的取值范围是[-5,5]. 【解析】(Ⅰ)根据平方和等于1消去参数得到普通方程;(Ⅱ)把参数方程代入x+y 得到关于θ的三角函数,根据三角函数的性质求出最值.本题考查了参数方程与普通方程的转化,参数方程的应用,属于基础题. 15.【答案】解:(方法一)直线l 的参数方程化为普通方程得4x -3y =4,将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x .联立方程组{4x −3y =4y 2=4x 解得 {x =4y =4,或{x =14y =−1 所以A (4,4),B (14,-1). 所以AB ═254.(方法二)将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x .直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2=4(1+35t ),即4t 2-15t -25=0, 所以 t 1+t 2=154,t 1t 2=-254.所以AB =|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=254. 【解析】方法一:直线l 的参数方程化为普通方程得4x-3y=4,将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x .联立求出交点坐标,利用两点之间的距离公式即可得出. 方法二:将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x . 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得4t 2-15t-25=0,利用AB=|t 1-t 2|=即可得出.本题考查了参数方程化为普通方程及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.。

高三数学参数方程试题答案及解析

高三数学参数方程试题答案及解析

高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)的普通方程为___________.【答案】【解析】由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得,,即为曲线C的普通方程.考点:参数方程与普通方程互化2.直线(为参数)的倾斜角是【答案】.【解析】直线的斜率为,因此该直线的倾斜角为.【考点】1.直线的参数方程;2.直线的斜率3.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为,则与的交点个数为。

【答案】2【解析】曲线,,由圆心到直线的距离,故与的交点个数为2.4.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )5.如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 .【答案】(为参数)【解析】x2+y2-x=0圆的半径为,圆心为C(,0).连接CP,则∠PCx=2所以P点的坐标为:(为参数)6.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .【答案】16【解析】直线的普通方程为x=4,代入曲线的参数方程得t=±2,当t=2时x=4,y=8;当t=-2时,x=4,y=-8,即有两个交点的直角坐标为A(4,8),B(4,-8)于是|AB|=8-(-8)=167.在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值为________.【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,圆心到直线的距离,圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式.8.已知曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数).设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.【答案】【解析】首先将曲线的极坐标方程、直线的参数方程转化为直角坐标方程,可知,曲线是以为圆心,1为半径的圆,由直线的直角坐标方程得,令,可求出点的坐标,则点与圆心的距离可以求,从而可得曲线上的动点与定点的最大值为.试题解析:曲线的直角坐标方程为,故圆的圆心坐标为(0,1),半径直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).从而,所以.即的最大值为。

高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案

高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案

高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案(120分钟 每小题10分,共15小题,总分150分)1.【2017课标1,理22】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数).(1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到la.2. 【2017课标II ,理22】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值。

3.【2017课标3,理22】在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数),直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.4.【2015高考陕西,理23】在直角坐标系x y O 中,直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为ρθ=.(I )写出C 的直角坐标方程;(II )P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.5.【2015高考新课标2,理23】在直角坐标系xoy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,曲线3:C ρθ=.(Ⅰ).求2C 与1C 交点的直角坐标;(Ⅱ).若2C 与1C 相交于点A ,3C 与1C 相交于点B ,求AB 的最大值.6. 【2014全国2,理20】在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ,理23】已知曲线221:149x y C +=,直线l :2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(I )写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(II )过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线,交l 于点A ,PA 的最大值与最小值.8.【2015高考新课标1,理23】在直角坐标系xOy 中,直线1C :x =-2,圆2C :()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9.【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=(I )写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(II )设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数), l 与C 交于,A B 两点,||10AB =,求l 的斜率.12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线与交于两点.(1)求的取值范围; (2)求中点的轨迹的参数方程.13.【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).(1)求和的直角坐标方程;(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.14.【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,以轴非负半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程;(2)设直线(为任意锐角)、分别与曲线交于两点,试求面积的最小值.15.【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.(1)求圆的直角坐标方程;(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的最小值.参考答案1.解析:(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-.…………5分 (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时,d=8a =; 当4a <-时,d=16a =-. 综上,8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决.2.解析:(1)设P 的极坐标为()(),>0ρθρ,M 的极坐标为()()11,>0ρθρ,由题设知cos 14=,=ρρθOP OM =。

参数方程-高考题答案

参数方程-高考题答案

11 【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。

【解析】(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25, 即C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2+y 2-8x -10y +16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.2 (1)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)直线l 的普通方程为260x y +-=(2)曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为|4cos 3sin 6|d θθ=+- 则2|||5sin()6|sin 305dPA θα==+-,其中α为锐角,且4tan 3α=当sin()1θα+=-时,||PA 取得最大值,最大值为5当sin()1θα+=时,||PA 取得最小值,最小值为5…………………………………10分3解:(Ⅰ)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入可得C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρ cos θ-4ρ sin θ+4 =0. …5分(Ⅱ)将π4θ=代入C 2极坐标方程可得23240ρρ-+= 解得ρ=22或 ρ=2,|MN |=2,因为圆C 2的半径为1,所以ΔC 2MN 的面积1121sin 4522⨯︒=. …10分4 ⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 均为参数) ∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01,为圆心,a 为半径的圆.方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==, ∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=:两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=, 224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C :化为普通方程为2y x =由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得:24210x y a -+-=,即为3C∴210a -= ∴1a =5 解:(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-.(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为 17d =. 当4a ≥-时,d 的最大值为17.由题设得1717=,所以8a =; 当4a <-时,d 的最大值为17.由题设得1717=,所以16a =-. 综上,8a =或16a =-.、6 【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)利用直线在坐标系中的位置,再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.【解答】解:(1)曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.转换为直角坐标方程为:x 2+y 2+2x ﹣3=0,转换为标准式为:(x +1)2+y 2=4.(2)由于曲线C 1的方程为y=k |x |+2,则:该直线关于y 轴对称,且恒过定点(0,2). 由于该直线与曲线C 2的极坐标有且仅有三个公共点.所以:必有一直线相切,一直线相交.则:圆心到直线y=kx +2的距离等于半径2.故:, 解得:k=或0,(0舍去)故C 1的方程为:.7 (1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l 的直角坐标方程为23110x y +=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l2020年真题22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=,(1)当1k =时,1C 是什么曲线?(2)当4k =时,求1C 与2C 的公共点的直角坐标.x + y - 4 = 0.。

参数方程(练习带答案)

参数方程(练习带答案)

参数方程一.解答题(共23小题)1.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t 是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.2.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4.(1)若l的参数方程中的时,得到M点,求M的极坐标和曲线C直角坐标方程;(2)若点P(0,2),l和曲线C交于A,B两点,求.3.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C1的参数方程为,(α为参数,且α∈[0,π)),曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ.(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程;(2))若P是C1上任意一点,过点P的直线l交C2于点M,N,求|PM|•|PN|的取值范围.4.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A、B,求的最小值.5.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.6.已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)若直线l的参数方程为,其中t为参数,求直线l被曲线C截得的弦长.7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值.8.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.(Ⅰ)求C的普通方程和l的倾斜角;(Ⅱ)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.9.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),P点的极坐标为(2,π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.(Ⅰ)试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并求曲线C的焦点坐标;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于两点A,B,点M为AB的中点,求|PM|的值.10.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为为参数).(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求的最小值.11.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程;(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值.12.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.13.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.14.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若点 P是曲线C上的动点,求 P到直线l的距离的最小值,并求出 P点的坐标.15.在平面直角坐标系xOy 中,已知C 1:(θ为参数),将C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C 2以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l :ρ(cosθ+sinθ)=4(1)试写出曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的参数方程;(2)在曲线C 2上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最小,并求此最小值.16.选修4﹣4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系,直线l 的参数方程为(t 为参数).(Ⅰ)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程; (Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M (x ,y ),求的取值范围.17.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为.(1)写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程;(2)点P 是直线l 上的,求点P 的坐标,使P 到圆心C 的距离最小.18.已知直线C 1:(t 为参数),圆C 2:(α为参数)(Ⅰ)若直线C 1经过点(2,3),求直线C 1的普通方程;若圆C 2经过点(2,2),求圆C 2的普通方程;(Ⅱ)点P 是圆C 2上一个动点,若|OP|的最大值为4,求t 的值.19.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为(α为参数),曲线C 2的极坐标方程为ρ2(sin 2θ+4cos 2θ)=4. (1)求曲线C 1与曲线C 2的普通方程;(2)若A 为曲线C 1上任意一点,B 为曲线C 2上任意一点,求|AB|的最小值.20.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ.(Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线; (Ⅱ)若P 是直线l 上的一点,Q 是曲线C 上的一点,当|PQ|取得最小值时,求P 的直角坐标.21.已知曲线C:9x2+4y2=36,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin ()=2.(Ⅰ)分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程;(Ⅱ)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P的坐标为(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.参数方程参考答案与试题解析一.解答题(共23小题)1.(2017•惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.【解答】解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π),∴或.∴直线的倾斜角或.2.(2017•达州模拟)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4.(1)若l的参数方程中的时,得到M点,求M的极坐标和曲线C直角坐标方程;(2)若点P(0,2),l和曲线C交于A,B两点,求.【分析】(1)利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论;(2)利用参数的几何意义,求.(1)l的参数方程中的时,M(﹣1,1),极坐标为,【解答】解:曲线C的极坐标方程为ρ=4,曲线C的直角坐标方程:x2+y2=16…(5分)(2)由得,…(10分)3.(2017•湖北模拟)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C的参数方程为1,(α为参数,且α∈[0,π)),曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ.(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程;(2))若P是C1上任意一点,过点P的直线l交C2于点M,N,求|PM|•|PN|的取值范围.【分析】(1)求出C1的普通方程,即可求C1的极坐标方程,利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C2的直角坐标方程;(2)直线l的参数方程为:(t为参数),代入C2的直角坐标方程得(x0+tcosα)2+(y+tsinα+1)2=1,由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y|,即可求|PM|•|PN|的取值范围.【解答】解:(1)消去参数可得x2+y2=1,因为α∈[0,π),所以﹣1≤x≤1,0≤y≤1,所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分,所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1(0≤θ≤π).…(2分)曲线C2的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1…(5分)(2)设P(x0,y),则0≤y≤1,直线l的倾斜角为α,则直线l的参数方程为:(t为参数).…(7分)代入C2的直角坐标方程得(x+tcosα)2+(y+tsinα+1)2=1,由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y|,因为0≤y≤1,所以|PM|•|PN|=∈[1,3]…(10分)4.(2017•泸州模拟)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A、B,求的最小值.【分析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化方法,求圆C的直角坐标方程;(2)利用参数的几何意义,求的最小值.【解答】解:(1)圆C的方程为ρ=6sinθ,可化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y﹣3)2=9;(2)直线l的参数方程为为参数),代入x2+(y﹣3)2=9,可得t2+2(cosα﹣sinα)t﹣7=0,∴t1+t2=﹣2(cosα﹣sinα),t1t2=﹣7,∴===≥,∴的最小值为.5.(2016•延安校级二模)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.【分析】(1)首先,对于曲线C:根据极坐标与直角坐标变换公式,方程ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以ρ,化成直角坐标方程,对于直线l:消去参数t即可得到普通方程;(2)首先,联立方程组,消去y整理,然后,设点M,N分别对应参数t1,t2,从而,得到|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|,然胡,结合一元二次方程根与系数的关系,建立含有a的关系式,求解a的取值.【解答】解:(1)∵,方程ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以ρ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0.(2)联立方程组,消去y并整理,得t2﹣2(4+a)t+8(4+a)=0 (*)△=8a(4+a)>0.设点M,N分别对应参数t1,t2,恰为上述方程的根.则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|.由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2﹣5(4+a)=0,得a=1,或a=﹣4.∵a>0,∴a=1.6.(2016•陕西校级模拟)已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)若直线l的参数方程为,其中t为参数,求直线l被曲线C截得的弦长.【分析】(1)先消去参数,求出曲线的普通方程,然后利用普通方程和极坐标方程之间的关系进行转化求解即可.(2)直线方程的极坐标为,代入曲线C的极坐标方程求出ρ即可.【解答】解(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),∴曲线C的普通方程为,将代入并化简得:,即曲线C的极坐标方程为;(2)将代入得弦长为.7.(2016•开封四模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值.【分析】(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得关于t的一元二次方程,由根与系数的关系,求出t1、t2的关系式,结合参数的几何意义,求出a的值.【解答】解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ(a>0),可化为ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),即y2=ax(a>0);(2分)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,化为普通方程是y=x﹣2;(4分)(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得;设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,则;(6分)∵|PA|•|PB|=|AB|2,∴t1•t2=,∴=+4t1•t2=5t1•t2,(9分)即;解得:a=2或a=﹣8(不合题意,应舍去);∴a的值为2.(12分)8.(2016•福建模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.(Ⅰ)求C的普通方程和l的倾斜角;(Ⅱ)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.【分析】解法一:(Ⅰ)由参数方程消去参数α,得椭圆的普通方程,由极坐标方程,通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角.(Ⅱ)设出直线l的参数方程,代入椭圆方程并化简,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,利用参数的几何意义求解即可.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理以及弦长公式求解即可.【解答】解法一:(Ⅰ)由消去参数α,得,即C的普通方程为.(2分)由,得ρsinθ﹣ρcosθ=2,…(*)(3分)将代入(*),化简得y=x+2,(4分)所以直线l的倾斜角为.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),(7分)代入并化简,得.(8分).设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则,所以t1<0,t2<0,(9分)所以.(10分)解法二:(Ⅰ)同解法一.(5分)(Ⅱ)直线l的普通方程为y=x+2.由消去y得10x2+36x+27=0,(7分)于是△=362﹣4×10×27=216>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,所以x1<0,x2<0,(8分)故.(10分)9.(2016•平顶山二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),P点的极坐标为(2,π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.(Ⅰ)试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并求曲线C的焦点坐标;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于两点A,B,点M为AB的中点,求|PM|的值.【分析】(Ⅰ)把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ=sinθ,可得曲线C的直角坐标方程.(Ⅱ)设点A,B,M对应的参数为t1,t2,t,由题意可知.把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程,利用韦达定理求得t1+t2的值,可得|PM|=|t|的值.【解答】解:(Ⅰ)把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入ρcos2θ=sinθ,可得曲线C 的直角坐标方程为x2=y,它是开口向上的抛物线,焦点坐标为.(Ⅱ)点P的直角坐标为(﹣2,0),它在直线l上,在直线l的参数方程中,设点A,B,M对应的参数为t1,t2,t,由题意可知.把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程,得.因为,所以.10.(2016•汕头模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为为参数).(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求的最小值.【分析】(1)利用ρ2=x2+y2,将ρ=1转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成t=2(x﹣1)代入下式消去参数t即可;(2)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入,根据三角函数的辅助角公式求出最小值.【解答】解:(1)直线l的参数方程为为参数).由上式化简成t=2(x﹣1)代入下式得根据ρ2=x2+y2,进行化简得C:x2+y2=1(2分)(2)∵代入C得∴(5分)设椭圆的参数方程为参数)(7分)则(9分)则的最小值为﹣4.(10分)11.(2017•自贡模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程;(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值.(Ⅰ)消去参数t即可得到直线l的普通方程;利用x=ρcosθ,y=ρsinθ【分析】将曲线C转化为普通方程;(Ⅱ)利用点到直线的距离公式,求出P到直线l的距离的最小值,再根据函数取最值的情况求出P点的坐标,得到本题结论.【解答】解:(Ⅰ)直线l:(其中t为参数),消去参数t得普通方程y=x﹣4.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.由x=ρcosθ,y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2,得y2+(x﹣2)2=4;(Ⅱ)由y2+(x﹣2)2=4得圆心坐标为(2,0),半径R=2,则圆心到直线的距离为:d==3,而点P在圆上,即O′P+PQ=d(Q为圆心到直线l的垂足),所以点P到直线l的距离最小值为3﹣2.12.(2014•新课标Ⅰ)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P 到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.13.(2016•太原三模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.【分析】(Ⅰ)曲线C1:(t为参数),利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程;C2:(θ为参数),利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程.(Ⅱ)当t=时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M,直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1:(t为参数),化为(x+4)2+(y﹣3)2=1,∴C1为圆心是(﹣4,3),半径是1的圆.C2:(θ为参数),化为.C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(Ⅱ)当t=时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M,直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7,M到C3的距离d==|5sin(θ+φ)+13|,从而当cossinθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.14.(2016•衡阳三模)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若点 P是曲线C上的动点,求 P到直线l的距离的最小值,并求出 P点的坐标.【分析】本题(1)可以先消参数,求出直线l的普通方程,再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程,(2)利用点到直线的距离公式,求出P 到直线l的距离的最小值,再根据函数取最值的情况求出P点的坐标,得到本题结论.【解答】解:(1)∵,∴x﹣y=1.∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1.即,即.∵,∴,∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2.(2)设P(x0,y),,∴P到直线的距离:.∴当时,,∴此时,∴当P点为时,P到直线的距离最小,最小值为.15.(2016•衡水校级二模)在平面直角坐标系xOy中,已知C1:(θ为参数),将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程;(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最小,并求此最小值.【分析】(1)把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1,再化为极坐标方程.根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程,再化为极参数方程.(2)先求得直线l的直角坐标方程,设点P(cosθ,2sinθ),求得点P到直线的距离为d=,故当sin(θ+)=1时,即θ=2kπ+,k∈z时,点P到直线l的距离的最小值,从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解:(1)把C1:(θ为参数),消去参数化为普通方程为 x2+y2=1,故曲线C1:的极坐标方程为ρ=1.再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1,即+=1.故曲线C2的极参数方程为(θ为参数).(2)直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4,即x+y﹣4=0,设点P(cosθ,2sinθ),则点P到直线的距离为d==,故当sin(θ+)=1时,d取得最小值,此时,θ=2kπ+,k∈z,点P(1,),故曲线C上有一点P(1,)满足到直线l的距离的最小值为﹣.216.(2016•晋中模拟)选修4﹣4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程;(Ⅱ)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M(x,y),求的取值范围.【分析】(I)利用ρ2=x2+y2,将ρ=1转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成t=2(x﹣1)代入下式消去参数t即可;(II)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入,根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可.【解答】解:(Ⅰ)直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4;…(4分)(Ⅱ)曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为,则点M参数方程为,代入x+y得,x+y=•2cosθ+=2sin=4sin()∈[﹣4,4]∴x+y的取值范围是[﹣4,4]…(10分)17.(2016•池州一模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为.(1)写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程;(2)点P是直线l上的,求点P 的坐标,使P 到圆心C 的距离最小.【分析】(1)由已知得t=x﹣3,从而y=,由此能求出直线l的普通方程;由,得,由此能求出圆C的直角坐标方程.(2)圆C圆心坐标C(0,),设P(3+t,),由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标,使P到圆心C 的距离最小.【解答】解:(1)∵在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,∴t=x﹣3,∴y=,整理得直线l的普通方程为=0,∵,∴,∴,∴圆C的直角坐标方程为:.(2)圆C:的圆心坐标C(0,).∵点P在直线l:=0上,设P(3+t,),则|PC|==,∴t=0时,|PC|最小,此时P(3,0).18.(2016•龙岩二模)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(α为参数)(Ⅰ)若直线C1经过点(2,3),求直线C1的普通方程;若圆C2经过点(2,2),求圆C2的普通方程;(Ⅱ)点P是圆C2上一个动点,若|OP|的最大值为4,求t的值.【分析】(I)直线C1:(t为参数),消去参数t化为普通方程:y=(x﹣1)tanα+2,把点(2,3)代入,解得tanα,即可得出直线C1的普通方程.由圆C2:(α为参数),利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程,把点(2,2)代入解得t2,即可得出圆C2的普通方程.(II)由题意可得:|OP|max =|OC2|+|t|,代入解得t即可得出.【解答】解:(I)直线C1:(t为参数),消去参数t化为普通方程:y=(x﹣1)tanα+2,∵直线C1经过点(2,3),∴3=tanα+2,解得tanα=1.∴直线C1的普通方程为y=x+1.圆C2:(α为参数),化为普通方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=t2,∵圆C2经过点(2,2),∴t2=1,∴圆C2的普通方程为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1.圆心C2=(1,2),半径r=1.(II)由题意可得:|OP|max =|OC2|+|t|,∴4=+|t|,解得t=±(4﹣).19.(2016•河南三模)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ2(sin2θ+4cos2θ)=4.(1)求曲线C1与曲线C2的普通方程;(2)若A为曲线C1上任意一点,B为曲线C2上任意一点,求|AB|的最小值.【分析】(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),利用cos2α+sin2α=1可得普通方程.曲线C2的极坐标方程为ρ2(sin2θ+4cos2θ)=4,利用y=ρsinθ,x=ρcosθ即可化为直角坐标方程.(2)设B(cosβ,2sinβ),则|BC1|==,利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出.【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),利用cos2α+sin2α=1可得:x2+(y﹣1)2=.圆心C(0,1).曲线C2的极坐标方程为ρ2(sin2θ+4cos2θ)=4,可得直角标准方程:y2+4x2=4,即+y2=4.(2)设B(cosβ,2sinβ),则|BC1|==≥,当sin时取等号.∴|AB|的最小值=﹣.20.(2016•武昌区模拟)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线;(Ⅱ)若P是直线l上的一点,Q是曲线C上的一点,当|PQ|取得最小值时,求P的直角坐标.【分析】(Ⅰ)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,即可得到直角坐标方程.(II)由题设条件知,|PQ|+|QC|≥|PC|,当且仅当P,Q,C三点共线时,等号成立,即|PQ|≥|PC|﹣,可得:|PQ|min =|PC|min﹣.设P(﹣t,﹣5+t),又C(,0),利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出.【解答】解:(Ⅰ)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,从而有x2+y2=2x,∴(x﹣)2+y2=3.∴曲线C是圆心为(,0),半径为的圆.(Ⅱ)由题设条件知,|PQ|+|QC|≥|PC|,当且仅当P,Q,C三点共线时,等号成立,即|PQ|≥|PC|﹣,∴|PQ|min =|PC|min﹣.设P(﹣t,﹣5+t),又C(,0),则|PC|===.当t=1时,|PC|取得最小值,从而|PQ|也取得最小值,此时,点P的直角坐标为(﹣,﹣).21.(2016•黔东南州模拟)已知曲线C:9x2+4y2=36,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【分析】(I)曲线C:9x2+4y2=36,化为=1,利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程.直线l:(t为参数),即,即可化为普通方程.(II)点P(2cosθ,3sinθ)到直线l的距离d==∈,利用|PA|==2d即可得出.【解答】解:(I)曲线C:9x2+4y2=36,化为=1,可得参数方程:(θ∈[0,2π)).直线l:(t为参数),即,化为:2x+y﹣6=0.(II)点P(2cosθ,3sinθ)到直线l的距离d==∈,|PA|==2d∈.∴|PA|的最大值与最小值分别为,.22.(2016•重庆模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin()=2.(Ⅰ)分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程;(Ⅱ)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P的坐标为(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.【分析】(1)消参数,根据cos2α+cos2α=1得出曲线C的普通方程,利用极坐标与直角坐标的对应关系得到直线l的普通方程;(2)求出P关于直线l的对称点P′,则|PB|+|AB|的最小值为P′到圆心的距离减去曲线C的半径.【解答】解:(1)∵,∴,∴(x﹣1)2+y2=1.∴曲线C的普通方程是:(x﹣1)2+y2=1.∵ρsin()=2,∴ρsinθ+ρcosθ=2,即ρsinθ+ρcosθ=4.∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0.(2)设点P关于直线l的对称点为P′(x,y),则,解得P′。

(完整版)坐标系与参数方程全国卷真题.docx

(完整版)坐标系与参数方程全国卷真题.docx

劝君莫惜金缕衣,劝君惜取少年时;花开堪折直须折《坐标系与参数方程》2017 高考试题选编1. (全国卷Ⅰ)在直角坐标系x3cos为参数),直线l 的参xOy 中,曲线 C 的参数方程为(y sinx a4t 数方程为1( t 为参数).y t( 1)若a1,求 C 与 l 的交点坐标;( 2)若C上的点到l距离的最大值为17 ,求 a .2. (全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos 4 .( 1)M为曲线C1上的动点,点P 在线段OM上,且满足| OM | | OP |16 ,求点P的轨迹 C2的直角坐标方程;( 2)设点A的极坐标为(2 ,) ,点B在曲线 C2上,求△ OAB 面积的最大值.33. (全国卷Ⅲ)在直角坐标系x2tl2的参数xOy 中,直线 l1的参数方程为k t( t 为参数),直线yx2m方程为m( m 为参数).设 l1与 l2的交点为P,当 k 变化时,P的轨迹为曲线 C .yk( 1)写出C的普通方程;( 2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos sin )20 ,M为l 3与 C 的交点,求M的极径.4. (天津卷理)在极坐标系中,直线 4 cos() 1 0 与圆 2 sin的公共点个数为____.6x8t5. (江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线 l 的参数方程为t( t 为参数),曲线Cy2x 2s2的参数方程为( s 为参数).设P为曲线 C 上的动点,求点P 到直线l的距离的最小值.y 2 2 s6.(北京卷)在极坐标系中,点A在圆2 2 cos 4 sin40 上,点P的坐标为 (1, 0),则 | AP |的最小值为 _________.三、 2016 高考试题选编1. (全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线 C1的参数方程为x a cost0 ).在y( t 为参数, a1 a sin t以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2 : 4 cos .(Ⅰ)说明 C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线 C3的极坐标方程为0 ,其中0 满足tan0 2 ,若曲线 C1和 C2的公共点都在C3上,求a .2. (全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,圆 C 的方程为 x 6 2y 2 25 .( 1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;( 2)直线l的参数方程是x t cos10 ,求 l 的y,( t 为参数), l 与 C 交于 A ,B两点, | AB |t sin斜率 .3. (全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,曲线 C1的参数方程为x 3 cos(为参数).以坐标原y sin点为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin 2 2 .4( 1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;( 2)设点P在C1上,点Q在C2上,求| PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.x 11 t 24. (江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线 l 的参数方程为( t 为参数),椭圆 C3y t2x cos的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.y 2sin5. (北京卷)在极坐标系中,直线cos 3 sin 10 与圆2cos交于A ,两点,则 | AB | B____________.四、 2015高考试题选编6. ( 2015广东文)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为cos sin 2 ,曲线 C2x t 2( t 为参数),则 C1的参数方程为y 2 2 t与 C2交点的直角坐标为______________ .7. ( 2015 广东理)已知直线l的极坐标方程为 2 sin 2 ,点 A 的极坐标为 A 2 2 ,7,44则点 A 到直线 l 的距离为______________ .8. ( 2015安徽理)在极坐标系中,圆8 sin上的点到直线R距离的最大值为3__________ .9. ( 2015 北京理)在极坐标系中,点 2 ,到直线cos 3 sin6 的距离为______ .310. ( 2015湖南文)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线 C 的极坐标方程为2sin,则曲线 C 的直角坐标方程为___________ .11. ( 2015 重庆理)已知直线l 的参数方程为x1t( t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的y1t正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为2 cos2 4 (0 ,35),则直44线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_________________ .12. ( 2015 湖北理)在平面直角坐标系xOy 中,以 O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,x1 t直线 l 的极坐标方程为sin 3 cos0,曲线 C 的参数方程为t( t 为参数), l 与 C 相y1tt交于 A , B 两点,则 | AB |___________ .13. ( 2015新课标全国Ⅰ, 10 分)在平面直角坐标系xOy中,直线C1: x 2 ,圆C2 : x 1 2y 2 21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求 C1, C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线 C3的极坐标方程为(R ),设 C2与 C3的交点为 M , N ,求C2MN 的面积.414. (较难)( 201510 分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线 C1x t cos新课标全国Ⅱ,:( t 为y t sin参数, t 0 ),其中 0,在以 O 为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2 :2 sin , C3 : 2 3cos.(Ⅰ)求 C2与 C3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C1与C2相交于点 A , C1与C3相交于点 B ,求| AB | 的最大值.15. ( 2015 江苏理)已知圆 C 的极坐标方程为22 2 sin4 0 ,求圆 C 的半径 .416. ( 2015 福建理)在平面直角坐标系x 1 3cost, xOy 中,圆 C 的参数方程为2 ( t 为参数) . 在y3sin t极坐标系(与在平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2 sinm m R .4(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于2,求 m 的值 .x53t17. ( 2015 湖南理)已知直线 l :2 ( t 为参数) . 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极1 t y32轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为2 cos .(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)设点 M 的直角坐标为5, 3 ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B ,求 | MA | | MB | 的值 .x 3 1 t18. ( 2015 陕西)在平面直角坐标系xOy 中,直线 l 的参数方程为2( t 为参数),以原点y3 t2 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为2 3 sin .(Ⅰ)写出圆 C 的直角坐标方程;(Ⅱ) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标 .五、 2014 高考试题选编19. ( 2014安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位x t 1. 已知直线 l 的参数方程是t( t 为参数),圆 C 的极坐标方程是y 34 cos,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为()A.14B.2 14C.2D.2 2x 1 cos 为参数)的对称中心 ()20. ( 2014 北京理)曲线2 (ysinA.在直线 y 2x 上 B. 在直线 y 2x 上 C.在直线 yx 1 上D.在直线 y x1 上21. ( 2011 安徽理)在极坐标系中,点2 ,到圆 2cos的圆心的距离为()322A.2B.4C.1D.39922. ( 2011 北京理)在极坐标系中,圆 2sin 的圆心的极坐标是( )A. 1 ,B. 1 ,C. 1, 0D. 1 ,22六、其他高考试题选编x 4 5 cost( t 为参数),以坐标原23. (2013 新课标全国Ⅰ, 10 分)已知曲线 C 1 的参数方程为 5 5sin ty点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为2sin .(Ⅰ)把 C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求 C 1与 C 2 交点的极坐标(0 , 02) .x t1 24. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t ( t 为参数).在以原点O为极点,x轴的y2正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为3.1 2cos2(Ⅰ)直接写出直线l 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设曲线 C 上的点到直线l 的距离为 d ,求 d 的取值范围.25. ( 2012 新课标全国, 10 分)已知曲线C的参数方程是x 2 cos(为参数),以坐标原点1y3sin为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2上,且 A,B,C, D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 2 ,.3(Ⅰ)求点 A, B, C, D 的直角坐标;(Ⅱ)设 P 为 C1上任意一点,求 | PA |2| PB |2| PC |2| PD |2的取值范围.26. ( 2012 福建理)在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 已知直线l上两点M , N的极坐标分别为 2 , 0, 2 3 ,2,圆 C 的参数方程为2x 22cos y (为参数) .3 2sin(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程;(Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.x2t x 5 cos 27. ( 2014 皖南八校联考)若直线l :( t 为参数)与曲线 C :y (为参数)y 1 4t m 5 sin 相切,则实数m 为 __________.28. ( 2015江西联考)在极坐标系中,曲线cos2 4 sin的焦点的极坐标为 __________. (规定:0 , 0 2 )29. ( 2013x cos(为参数),以原点为极点,x 轴的广州调研)已知圆 C 的参数方程为siny2正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin cos 1 ,则直线 l 截圆 C 所得的弦长为 __________.30. ( 2015 长春质量监测)在直角坐标系xOy 中,曲线 C1的参数方程为x22t( t 为参数),y12t以原点 O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2.1 3sin2(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)试判断曲线C1与 C2是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,请说明理由 .31. ( 2014 大连双基测试)在直角坐标系xOy 中,圆 C1x 4 4cos的参数方程为(为参数),y4sin圆 C2x 2 cos为参数),以原点 O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐的参数方程为(y 2 2sin标系 .(Ⅰ)求C1和C2的极坐标方程;(Ⅱ)C1和 C2交于O , P 两点,求P 点的一个极坐标.32. ( 2014广州综合测试)在极坐标系中,直线sin cos a 与曲线2cos 4 sin相交于A ,B 两点,若 | AB | 2 3 ,则实数 a 的值为 ___________.33.(2013 惠州调研) 在极坐标系中, 已知两点 A , B 的极坐标分别为 3 ,、 4 , ,则 AOB (其36中 O 为极点)的面积为 ______________.(附:海伦公式 Sp p a p b p c ,其中 p1 a b c )2x 2 t C 的极坐标方程为2sin0 ,若34. 已知直线 l 的参数方程为1( t 为参数),圆y3t在圆 C 上存在一点 P ,使得点 P 到直线 l 的距离最小,则点P 的直角坐标为 __________.35. 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为x 3 3 cos ( 为参数),以原点O 为极y1 3sin点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos0 .6(Ⅰ)写出直线 l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程;(Ⅱ)求圆 C 截直线 l 所得的弦长 .36. 在平面直角坐标系xOy 中,圆 C 的参数方程为x 4cos ( 为参数),直线 l 经过点 P 1 , 2 ,y 4sin倾斜角.6(Ⅰ)写出圆 C 的标准方程和直线l 的参数方程;(Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,求 | PA | | PB | 的值 .37. 在极坐标系中,曲线C 的方程为23,点 R 22 ,. 1 2sin 24(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标;(Ⅱ)设 P 为曲线C上一动点,以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形PQRS 周长的最小值,及此时P 点的直角坐标.38. 以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程为x 2 cost( t 为参数).y 2 sin t(Ⅰ)若曲线 C 在点 1 ,1 处的切线为 l ,求 l 的极坐标方程;(Ⅱ)若点 A 的极坐标为 2 2 ,,且当参数t[0 , ] 时,过点A的直线 m 与曲线 C 有两个不同4的交点,试求直线m 的斜率的取值范围.x2cosA 0 , 3 , F1、 F2是此圆锥曲线的左、右39. 已知圆锥曲线C:(为参数)和定点y 3 sin焦点 .(Ⅰ)求直线AF2的普通方程;(Ⅱ)经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l 交此圆锥曲线于M 、N两点,求| | MF1|| NF1 | | 的值.40. 已知曲线C1的极坐标方程为cos1,曲线 C2的极坐标方程为 2 2 cos.34(Ⅰ)将曲线C1、 C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若点A是曲线C1上的一点,点 B 是曲线C2上的一点,求 A 、 B 两点间的最短距离.41. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x t3m( t 为参数),若以坐标原点O y3t 2m为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为1 cos28cos .(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线 C 相切,求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.第21 页,共 16 页第22 页,共 16 页。

(完整)高中数学参数方程大题(带答案)

(完整)高中数学参数方程大题(带答案)

参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.考点:参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)首先,将直线的极坐标方程中消去参数,化为直角坐标方程即可;(2)首先,化简曲线C的参数方程,然后,根据直线与圆的位置关系进行转化求解.解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.点评:本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识,属于中档题.3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程.专题:计算题;压轴题;转化思想.分析:(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个椭圆;(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.解答:解:(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y﹣3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(﹣4,4),把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.点评:此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题.4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.(Ⅰ)求圆心的极坐标;(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入即可得出.(II)把直线的参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再利用弦长公式可得|AB|=2,利用三角形的面积计算公式即可得出.解答:解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆心坐标为(1,﹣1),∴圆心极坐标为;(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程:,∴圆心到直线l的距离,∴|AB|=2==,点P直线AB距离的最大值为,.点评:本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.考点:椭圆的参数方程;椭圆的应用.专题:计算题;压轴题.分析:由题意椭圆的参数方程为为参数),直线的极坐标方程为.将椭圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答:解:将化为普通方程为(4分)点到直线的距离(6分)所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)点评:此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.考点:参数方程化成普通方程.专题:计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.分析:(1)将曲线C化为普通方程,将直线的参数方程化为标准形式,利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理,即可求弦长.(2)运用圆的参数方程,设出M,再由两角和的正弦公式化简,运用正弦函数的值域即可得到最大值.解答:解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=cos(θ+)=(),即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,圆心到直线的距离d==,故弦长为2=2=;(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),则设M(,),则x+y==sin(),由于θ∈R,则x+y的最大值为1.点评:本题考查参数方程化为标准方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查参数的几何意义及运用,考查学生的计算能力,属于中档题.7.选修4﹣4:参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出;(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,解答:解(1)∵P点的极坐标为,∴=3,=.∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得,即∴曲线C的直角坐标方程为.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设,则线段PQ的中点.那么点M到直线l的距离.,∴点M到直线l的最小距离为.点评:本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档题.8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程.(II)由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.分别与圆的方程联立解得交点,再利用两点间的距离公式即可得出.解答:解:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.联立,解得,即Q.联立,解得或.∴P.∴|PQ|==2.点评:本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法,属于中档题.9.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为,可得d的最小值,以及此时的α的值,从而求得点P的坐标.解答:解:(1)由曲线C1:,可得,两式两边平方相加得:,即曲线C1的普通方程为:.由曲线C2:得:,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y﹣8=0,即曲线C2的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为,∴当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.点评:本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,正弦函数的值域,属于基础题.10.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:(I)先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程,从而得到圆心C的直角坐标.(II)欲求切线长的最小值,转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值,再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答:解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(5分)(II)∵直线l的普通方程为,圆心C到直线l距离是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是(10分)点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)首先,将曲线C1化为直角坐标方程,然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,根据距离关系,确定取值范围.解答:解:(1)根据题意,得曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),根据中点坐标公式,得,代入x2+y2﹣4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,(2)直线l的普通方程为:y=ax,根据题意,得,解得实数a的取值范围为:[0,].点评:本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考查比较综合,属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.12.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos ()=2.(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.考点:点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.专题:压轴题;直线与圆.分析:(I)先将圆C1,直线C2化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,从而构造关于a,b的方程组,解得a,b的值.解答:解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解得或,∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,∴,解得a=﹣1,b=2.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法,方程思想的应用,属于基础题.13.在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解:(I)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N,∴△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,∴sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴.又t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=,∵,∴,∴.∴|PM|+|PN|的取值范围是.点评:本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题,属于中档题.14.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.考点:点的极坐标和直角坐标的互化.专题:坐标系和参数方程.分析:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.化为ρ2=2,把代入即可得出;.(II)设P,又C.利用两点之间的距离公式可得|PC|=,再利用二次函数的性质即可得出.解答:解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(II)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).点评:本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.(Ⅰ)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)求弦AB的长度.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:(Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程.(Ⅱ)利用直角坐标方程的形式,先求出圆心(3,0)到直线的距离,最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度.解答:解:(Ⅰ)曲线C2:(p∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即(x﹣3)2+y2=9(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离,r=3所以弦长AB==.∴弦AB的长度.点评:本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法,属于基础题.16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)(Ⅰ)求圆心C的极坐标;(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.专题:计算题.分析:(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程;利用同角三角函数的基本关系,消去θ可得曲线C的普通方程,得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值,最后列出关于r的方程即可求出r值.解答:解:(1)由ρsin(θ+)=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.由得C:圆心(﹣,﹣).∴圆心C的极坐标(1,).(2)在圆C:的圆心到直线l的距离为:∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,∴.r=2﹣∴当r=2﹣时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.点评:本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容.17.选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.考点:简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.专题:计算题;压轴题.分析:(I)利用,以及x2+y2=ρ2,直接写出圆C1,C2的极坐标方程,求出圆C1,C2的交点极坐标,然后求出直角坐标(用坐标表示);(II)解法一:求出两个圆的直角坐标,直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程.解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出,然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程.解答:解:(I)由,x2+y2=ρ2,可知圆,的极坐标方程为ρ=2,圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,解得:ρ=2,,故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).故圆C1,C2的公共弦的参数方程为(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.点评:本题考查简单曲线的极坐标方程,直线的参数方程的求法,极坐标与直角坐标的互化,考查计算能力.。

(完整版)高中数学参数方程大题(带答案)

(完整版)高中数学参数方程大题(带答案)

hingsintheirbeingadforso参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题. 2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.考点:参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)首先,将直线的极坐标方程中消去参数,化为直角坐标方程即可;(2)首先,化简曲线C的参数方程,然后,根据直线与圆的位置关系进行转化求解.解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,ti m e an dAl h ei r be i ng ar e g o o d f o rs o ∴,∴x ﹣y+1=0.(2)根据曲线C 的参数方程为:(α为参数).得(x ﹣2)2+y 2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=.点评:本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识,属于中档题.3.已知曲线C 1:(t 为参数),C 2:(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P 对应的参数为t=,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:(t 为参数)距离的最小值.考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程.专题:计算题;压轴题;转化思想.分析:(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C 1表示一个圆;曲线C 2表示一个椭圆;(2)把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标,利用中点坐标公式表示出M 的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.解答:解:(1)把曲线C 1:(t 为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y ﹣3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;把C 2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C 1的参数方程得:P (﹣4,4),把直线C 3:(t 为参数)化为普通方程得:x ﹣2y ﹣7=0,Al l thi n gs in th e i r be i n g ar eg o o d f o rs o 所以M 到直线的距离d==,(其中sin α=,cos α=)从而当cos θ=,sin θ=﹣时,d 取得最小值.点评:此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题.4.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C 的极坐标方程为,直线l 的参数方程为(t 为参数),直线l 和圆C 交于A ,B 两点,P 是圆C 上不同于A ,B 的任意一点.(Ⅰ)求圆心的极坐标;(Ⅱ)求△PAB 面积的最大值.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)由圆C 的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入即可得出.(II )把直线的参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ,再利用弦长公式可得|AB|=2,利用三角形的面积计算公式即可得出.解答:解:(Ⅰ)由圆C 的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0,即(x ﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆心坐标为(1,﹣1),∴圆心极坐标为;(Ⅱ)由直线l 的参数方程(t 为参数),把t=x 代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程:,∴圆心到直线l 的距离,∴|AB|=2==,点P 直线AB 距离的最大值为,.点评:本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、andAllthibeingaregoodforso 5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.考点:椭圆的参数方程;椭圆的应用.专题:计算题;压轴题.分析:由题意椭圆的参数方程为为参数),直线的极坐标方程为.将椭圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答:解:将化为普通方程为(4分)点到直线的距离(6分)所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)点评:此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.考点:参数方程化成普通方程.专题:计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.分析:(1)将曲线C化为普通方程,将直线的参数方程化为标准形式,利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理,即可求弦长.(2)运用圆的参数方程,设出M,再由两角和的正弦公式化简,运用正弦函数的值域即可得到最大值.解答:解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=cos(θ+)=(),即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,圆心到直线的距离d==,故弦长为2=2=;ai n th ei r be i ng ar e g oo d f o rs o(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),则设M (,),则x+y==sin (),由于θ∈R ,则x+y 的最大值为1.点评:本题考查参数方程化为标准方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查参数的几何意义及运用,考查学生的计算能力,属于中档题.7.选修4﹣4:参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为,曲线C 的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程;(Ⅱ)若Q 为C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l :(t 为参数)距离的最小值.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)利用x=ρcos θ,y=ρsin θ即可得出;(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,解答:解 (1)∵P 点的极坐标为,∴=3,=.∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ代入可得,即∴曲线C 的直角坐标方程为.(2)曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0设,则线段PQ 的中点.那么点M 到直线l 的距离.l l thi n gs in th e i r be i n g a r e g o o df o rs o ∴点M 到直线l 的最小距离为.点评:本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档题.8.在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程(φ为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ+)=3,射线OM :θ=与圆C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:(I )圆C 的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x ﹣1)2+y 2=1.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入化简即可得到此圆的极坐标方程.(II )由直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ+)=3,射线OM :θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.分别与圆的方程联立解得交点,再利用两点间的距离公式即可得出.解答:解:(I )圆C 的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x ﹣1)2+y 2=1.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入化简得:ρ=2cos θ,即为此圆的极坐标方程.(II )如图所示,由直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ+)=3,射线OM :θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.联立,解得,即Q.联立,解得或.∴P.∴|PQ|==2.l l t h i n gs i n t h ei r b e i n g a r eg oo 点评:本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法,属于中档题.9.在直角坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+)=4.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程;(2)设P 为曲线C 1上的动点,求点P 到C 2上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ、y=ρsin θ,把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求得椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为,可得d 的最小值,以及此时的α的值,从而求得点P的坐标.解答:解:(1)由曲线C 1:,可得,两式两边平方相加得:,即曲线C 1的普通方程为:.由曲线C 2:得:,即ρsin θ+ρcos θ=8,所以x+y ﹣8=0,即曲线C 2的直角坐标方程为:x+y ﹣8=0.(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点,椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为,∴当时,d 的最小值为,此时点P 的坐标为.点评:本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,正弦函数的值域,属于基础题.10.已知直线l 的参数方程是(t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ=2cos (θ+).(Ⅰ)求圆心C 的直角坐标;(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值.e an d A l l t h h ei r be i ng a r e g o o d f o r s 分析:(I )先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,ρ2=x 2+y 2,进行代换即得圆C 的直角坐标方程,从而得到圆心C 的直角坐标.(II )欲求切线长的最小值,转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值,再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答:解:(I )∵,∴,∴圆C 的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(5分)(II )∵直线l 的普通方程为,圆心C 到直线l 距离是,∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是(10分)点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.11.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l 的参数方程为,(t 为参数),曲线C 1的方程为ρ(ρ﹣4sin θ)=12,定点A (6,0),点P 是曲线C 1上的动点,Q 为AP 的中点.(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)直线l 与直线C 2交于A ,B 两点,若|AB|≥2,求实数a 的取值范围.考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)首先,将曲线C 1化为直角坐标方程,然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而确定点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,根据距离关系,确定取值范围.解答:解:(1)根据题意,得曲线C 1的直角坐标方程为:x 2+y 2﹣4y=12,设点P (x ′,y ′),Q (x ,y ),根据中点坐标公式,得,代入x 2+y 2﹣4y=12,得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为:(x ﹣3)2+(y ﹣1)2=4,(2)直线l 的普通方程为:y=ax ,根据题意,得,ti m e a n dAl lr b e i n g a r e g o o d f o rs o 解得实数a 的取值范围为:[0,].点评:本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考查比较综合,属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.12.在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos ()=2.(Ⅰ)求C 1与C 2交点的极坐标;(Ⅱ)设P 为C 1的圆心,Q 为C 1与C 2交点连线的中点,已知直线PQ 的参数方程为(t ∈R 为参数),求a ,b 的值.考点:点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.专题:压轴题;直线与圆.分析:(I )先将圆C 1,直线C 2化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;(II )由(I )得,P 与Q 点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0,由参数方程可得y=x ﹣+1,从而构造关于a ,b 的方程组,解得a ,b 的值.解答:解:(I )圆C 1,直线C 2的直角坐标方程分别为 x 2+(y ﹣2)2=4,x+y ﹣4=0,解得或,∴C 1与C 2交点的极坐标为(4,).(2,).(II )由(I )得,P 与Q 点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0,由参数方程可得y=x ﹣+1,ti mn dAl l thi n gs i n t h ei r be i n g ar es o 解得a=﹣1,b=2.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法,方程思想的应用,属于基础题.13.在直角坐标系xOy 中,l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ(Ⅰ)写出直线l 的参数方程,并将曲线C 的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ,求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解:(I )直线l 的参数方程为(t 为参数).曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ,即(x ﹣2)2+y 2=4.(II )把直线l 的参数方程为(t 为参数)代入圆的方程可得:t 2+4(sin α+cos α)t+4=0.∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ,∴△=16(sin α+cos α)2﹣16>0,∴sin αcos α>0,又α∈[0,π),∴.又t 1+t 2=﹣4(sin α+cos α),t 1t 2=4.∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=,∵,∴,∴.∴|PM|+|PN|的取值范围是.点评:本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题,属于中档题. 14.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程;(Ⅱ)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.考点:点的极坐标和直角坐标的互化.专题:坐标系和参数方程.e an dn gs in th ei r b e i n g a r e g o (II )设P ,又C .利用两点之间的距离公式可得|PC|=,再利用二次函数的性质即可得出.解答:解:(I )由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.∴ρ2=2,化为x 2+y 2=,配方为=3.(II )设P ,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P (3,0).点评:本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C 2的极坐标方程为θ=(p ∈R ),曲线C 1,C 2相交于A ,B 两点.(Ⅰ)把曲线C 1,C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)求弦AB 的长度.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:(Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,ρ2=x 2+y 2,进行代换即得曲线C 2及曲线C 1的直角坐标方程.(Ⅱ)利用直角坐标方程的形式,先求出圆心(3,0)到直线的距离,最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度.解答:解:(Ⅰ)曲线C 2:(p ∈R )表示直线y=x ,曲线C 1:ρ=6cos θ,即ρ2=6ρcos θ所以x 2+y 2=6x 即(x ﹣3)2+y 2=9(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离,r=3所以弦长AB==.∴弦AB 的长度.点评:本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法,属于基础题.16.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+)=,圆C 的参数方程为,(θ为参数,r >0)(Ⅰ)求圆心C 的极坐标;(Ⅱ)当r 为何值时,圆C 上的点到直线l 的最大距离为3.eandAllthingsintheirbeoodforsom 专题:计算题.分析:(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程;利用同角三角函数的基本关系,消去θ可得曲线C的普通方程,得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值,最后列出关于r的方程即可求出r值.解答:解:(1)由ρsin(θ+)=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.由得C:圆心(﹣,﹣).∴圆心C的极坐标(1,).(2)在圆C:的圆心到直线l的距离为:∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,∴.r=2﹣∴当r=2﹣时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.点评:本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容.17.选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.考点:简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.专题:计算题;压轴题.分析:(I)利用,以及x2+y2=ρ2,直接写出圆C1,C2的极坐标方程,求出圆C1,C2的交点极坐标,然后求出直角坐标(用坐标表示);(II)解法一:求出两个圆的直角坐标,直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程.解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出,然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程.解答:解:(I)由,x2+y2=ρ2,t a dA h i n 可知圆圆的极坐标方程为解,),)解法一:由,,的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为)代入从而的公共弦的参数方程为。

(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案

(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案

欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一.选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( B ).A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ= 0sin cos 2ρθθθ∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。

二.填空题1. (2014湖北)(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ,则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩:,(α为参数)交于A 、B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32(t 为参数),以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-,则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ,则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【答案】 31【解析】.C (2014陕西)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中,圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形,则a 的值为___________. 解:3 圆的方程为2224x y ,直线为y a .因为AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)(坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为__三.解答题1. (2014新课标I)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ).直线ld =则||PA =当(sin θ当(sin θ2. (20142cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.3. (2014辽宁)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 (1) π∈[0,θθsin 2,θcos ,==y x (2) 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】(1)(2)4(2014 (I (II 解:圆C (2)故圆(2013)A . C .=()cos=12R πθρρ∈和 D .=0()cos=1R θρρ∈和(2013天津数学(理))已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1(2013上海卷(理))在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析:2(2013北京卷(理))在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____. 3重庆数学(理))在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】1642013广东(理))(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 , 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ;sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5(2013陕西(理))C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26(2013江西(理))(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7(2013湖南卷(理))在平面直角坐标系xoy中,若,3cos, :(t)C:2sin x t xly t a yϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a的值为________.【答案】38(2013湖北(理))在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩()0a bϕ>>为参数,.)中,(2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9(20132C(I)12(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为()3312x t at Rby t⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b的值【答案】10(2013福建(理))坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos(4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos(4a πρθ-=上,可得a =(Ⅱ)11(2013程为.【答案】0 ①12(2013新课标1(理))选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正三角形ABC 的顶点都在C 2上,且A 、B 、C 以逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,) (Ⅰ)求点A 、B 、C 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围. 解析:【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=。

高三数学专项训练:极坐标与参数方程(附答案)

高三数学专项训练:极坐标与参数方程(附答案)

x 中,⊙ 的参数方程为cos ,( 为参数), xOy O过点 0, 2 且倾斜角为 的直线 与⊙ 交于 , 两点.l O AB Ptl,( 为参数),设 与 的交点为 ,当 变化时, 的轨迹为曲线 . m l l P k P Cm y , k(1)写出 的普通方程: C(2)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l : (co s s in ) , 为 与 M lxC3 cosx 3、(2016 全国 I I I 卷高考)在直角坐标系s in1坐 标 原 点 为 极 点 , 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ,, 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线) 2 2 . 41(II )设点 P 在 上,点 Q 在 上,求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、(成都市 2018 届高三第二次诊断)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ,直线的极坐标方程为 . 44(1)求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;5、(成都市 2018 届高三第三次诊断)在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是 ,直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ,极轴为 x 轴的4正半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度.(I )求曲线C 及直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A,求 Q A Q B 的值.6、(达州市 2017 届高三第一次诊断)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系,直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2(1)若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l (2)若点 P, 和曲线C 交于 两点,求.7、(德阳市 2018 届高三二诊考试)在平面直角坐标系xOy 中,直线l : (t 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C :x.0,0l与直线 和曲线C 的交点分别为点M 和点 N (异于点O ), 2 O N 求 的最大值.O M8、(广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考)在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数),以O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 的极坐标方y程为 ( ) .R 6C(2)设直线 与曲线 相交于 , 两点,求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 , 的极坐标方程为.4s in( ) 6(I )求直线 l 和 的普通方程;C (II )直线 l 与 有两个公共点 A 、B ,定点 P (2, 3) ,求|||| 的值.C 10、(绵阳市 2018 届高三第一次诊断)在直角坐标系中,曲线C 的参数方程是yx(1)求曲线C 的极坐标方程;C, AOB与曲线 分别交于异于原点的 A B 两点,求 的面积.(2)设l, ,若631211、(南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为1:1 ,以坐标原点O 为极点,以 轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程;12C C,与曲线 , 分别交于 A B 两点,求61 212、(仁寿县 2018 届高三上学期零诊)在平面直角坐标系xoy 中 ,圆 C 的参数方程为l3)=7. 43 t 2 (t 为参数),以坐标原 1224 c os(3(1)求圆C 的直角坐标方程; 2(2)若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点,求 3x y的取值范围.32 0( PQ (1)求点 的轨迹C 的直角坐标方程;3 (2)若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是,求点 M 横坐标的取值范围. 315、(雅安市 2018 届高三下学期三诊)在直角坐标系中,已知圆 的圆心坐标为(2,0) ,半径为CXCl(2)点 的极坐标为 1,,直线 与圆 相交于 , ,求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、(宜宾市 2018 届高三第一次诊断)在直角坐标系 中,曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os (2)直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数),直线l 与曲线 交于t RC y点,且 ,求直线l 的斜率.AB2 3 l2t , x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos .(1)写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)过点 M (1,0) 且与直线 平行的直线 交 于 A , B 两点,求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ,过点 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 a a2x 2 ( 为 t参数),直线 与曲线 相交于 两点. 的直线 的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程; 2 PA PB AB 求 的值 (2)若 ,. a 1、解答:的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点,当| 0 0 2 |t an2 ,由直线l 与e O时,设直线l 的方程为 y x1 两个交点有,得 ,∴或,综上时,点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y, 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ,∴,∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ,∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的 轨 迹 方 程 是 x, 即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ,故点 P 的参数方程为 ,则22 2 2 2y s in2 2 0).2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消 可得: 4k x 2 y 2 即 的轨迹方程为 4 ;P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y.5s in c os 10 0.4c oss in ,可得直线的直角坐标方程为y , 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4(2)设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1,即 当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2,4. s in c os2由得:2,所以 x 2 y 2 y ,所以曲线C 的直角坐标方程为: x .224 2s in, s in c oss in s in cos 2O N所以,4 4 23由于0 ,所以当时, 取得最大值:.2844cos a 2得曲线 的普通方程:C所以曲线 的极坐标方程为: 4 c os 12 C 2(2)设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解:(I )直线 l 的普通方程为: 3 3 0, ·································································· 1 分x y因为圆 的极坐标方程为, C 63 1所以 2 4( s i n cos ) , ··············································································· 3 分2 2所以圆 的普通方程 22 3 0 ;·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y (II )直线 l : 3 3 0的参数方程为: x y3 y 3 t2代入圆 的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得: x 2 y 2 x y 2 9 17 0 , ··········································································································· 6 分t t | | | ,| | | |,··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解:(Ⅰ)将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25,2 2 22.(Ⅱ)把 代入 6 c os 8s in ,得,6 1∴ . ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ . ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3. 4211、解:(Ⅰ)由2.3yx 2所以曲线 的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1,得到,化简得到曲线把 x,代入22的极坐标方程为2 cos.C 2(Ⅱ)依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2,解得 .621.622.12)=7.根据 ρcosθ=x ,ρsinθ=y 可得:﹣y+x=7. 即直线 l 的直角坐标方程为 x.---------------------------5 分(θ 为参数),其圆心为(﹣1,2),半径r=4.----6 分5 2.---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ,即 AB min4 c os( )13、【解析】(1)∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ , 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22(2)设 z,y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ,22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t , 代入 z 12,圆C 的半径是 ,2 3,即 x y 的取值范围是∴,∴.……10 分 2 0 14、解:(1)由,得22设,,1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ,122111 1得22,∴221,0 为圆心,1半径的半圆,如图所示,,设点处切线 的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围, …………7 分3 3 63 而,∴,∴ ,26 3 22M , 所以,点 横坐标的取值范围是 . …………10 分22,,化简得圆 的极坐标方程:,:由l 得 ,y1l 的极坐标方程为.4(1,0), (2)由 PP22 t x2直线 的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ,2 2 2 2,,.3 5 cosx Q 16、解: (1)5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ,217、(1)由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ,则 的直角坐标方程为 0 . ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 (2) 过点 M ( 1,0) 且与直线 平行的直线 的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ,则 t t,x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 . ······················································10 分2 1212(1)由 整理得= ,,(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。

参数方程大题及答案

参数方程大题及答案

参数方程大题及答案【篇一:高考极坐标参数方程含答案(经典39题)】p class=txt>a,b两点.(1)求圆c及直线l的普通方程.(224.已知直线lc(1)求圆心c的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆c引切线,求切线长的最小值.l,且ll分别交于b,c两点.在极坐标系(与直角坐标系5.在直角坐标系xoy 中,直线lxoy取相同的长度单位,且以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆c的方程为??4cos?. (Ⅰ)求圆c在直角坐标系中的方程;(Ⅱ)若圆c与直线l相切,求实数a的值.6.在极坐标系中,o为极点,已知圆c(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线l和直线l(Ⅱ)求|bc|的长.3.在极坐标系中,点m轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是?1(1)写出直线l的参数方程和曲线c的直角坐标方程;(2)求证直线l和曲线c相交于两点a、b,并求|ma|?|mb|的值.cr=1,p在圆c上运动。

(i)求圆c的极坐标方程;(ii)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点o为原点,以极轴为x轴正半轴)中,若q为线段op的中点,求点q轨迹的直角坐标方程。

l的极坐7.在极坐标系中,极点为坐标原点o,已知圆c(1)求圆c的极坐标方程;(2)若圆c和直线l相交于a,b两点,求线段ab的长.9.在直角坐标平面内,以坐标原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c的极坐标方程是??4cos?,直线lt为参数)。

求极点在直线l上的射影点p的极坐标;若m、n分别为曲线c、直线l10.已知极坐标系下曲线c的方程为??2cos??4sin?,直线l?x?4cos??y?sin?8.平面直角坐标系中,将曲线?(?为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变为原来的一半,然后整个图象向右平移1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线c1 .以坐标原点为极点,x的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线c2的方程为??4sin?,求c1和c2公共弦的长度.(Ⅰ)求直线l在相应直角坐标系下的参数方程;(Ⅱ)设l与曲线c相交于两点a、b,求点p到a、b两点的距离之积.11.在直角坐标系中,曲线c1的参数方程为??x?4cos?(?为参数).以坐标原点为极点,x轴的正?y?3sin?14.已知椭圆cf1,f2为其左,右焦点,直线l的参数半轴为极轴的极坐标系中.曲线c2(1)分别把曲线c1与c2化成普通方程和直角坐标方程;并说明它们分别表示什么曲线.(2)在曲线c1上求一点q,使点q到曲线c2的距离最小,并求出最小距离.12.设点m,n分别是曲线??2sin??01)求直线l和曲线c的普通方程;(2)求点f1,f2到直线l的距离之和.?x?3cos?15.已知曲线c:?,直线l:?(cos??2sin?)?12.y?2sin??⑴将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程;⑵设点p在曲线c上,求p点到直线l距离的最小值.m,n间的最小距离.16.已知?o1的极坐标方程为??4cos?.点a的极坐标是(2,?).(Ⅰ)把?o1的极坐标方程化为直角坐标参数方程,把点a的极坐标化为直角坐标.(Ⅱ)点m(x0,y0)在?o1上运动,点p(x,y)是线段am的中点,求点p运动轨迹的直角坐标方程.求曲线c2上的点到直线l距离的最小值.19.在直接坐标系xoy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线c的参数方程为(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点p17.在直角坐标系xoy中,直线l为参数),若以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c的极坐标方程为?长.18.已知曲线c1的极坐标方程为??4cos?,曲线c2p与直线l的位置关系;,求直线l被曲线c所截的弦(2)设点q 是曲线c上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.20l交曲线c:?比数列,求直线l的方程.?x?2cos?(?为参数)于a、b?y?2sin?的方程是4x?y?4, 直线l的参数方程22(t为参数).(1)求曲线c1的直角坐标方程,直线l的普通方程;(2)21.已知曲线c1的极坐标方程是,曲线c2的参数方程是(1)写出曲线c和直线l的普通方程;(2)若|pm|,|mn|,|pn|成等比数列,求a的值.1)写出曲线c1的直角坐标方程和曲线c2的普通方程;(2)求t 的取值范围,使得c1,c2没有公共点.22.设椭圆e24.已知直线lc(1)设y?sin?,?为参数,求椭圆e的参数方程;(2)点p?x,y?是椭圆e 上的动点,求x?3y的取值范围.23.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线a2c?s??,已知过点0p??2,?4?的直线l的参数方程为?oal与曲线c(i)求圆心c的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆c引切线,求切线长的最小值.25.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方弦长.?x?2cos?c的参数方程为?(?为对数),求曲线c截直线l所得的?y?sin? c:?si2n??分别交于m,n【篇二:2015高考理科数学《参数方程》练习题】lass=txt>一、选择题?x=1+3t,1.若直线的参数方程为?答案:d?x=3t+2,2.参数方程为?2?y=t-1a.线段 c.圆弧2(t为参数),则直线的倾斜角为( )y-2-3t3(0≤t≤5)的曲线为( )b.双曲线的一支 d.射线解析:化为普通方程为x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x =3t2+2∈[2,77],故曲线为线段.故选a. 答案:a3.曲线?解析:曲线化为普通方程为答案:c4.若直线2x-y-3+c=0与曲线?x2b.3 d.2312+y218=1,∴c=6,故焦距为26.b.6或-4-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯!-----c.-2或8解析:将曲线?22d.4或-6|-3+c|=0与圆x+y=5相切,可知=5,解得c=-2或8.5答案:c5.已知曲线c:??x=t,?y=t+b(t为参数,b为实数),若曲线c上恰有3个点到直线l的距离等于1,则b=( )a.2 c.0解析:将曲线c和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2+y2=4和y=x+b,依题意,若要|b|使圆上有3个点到直线l的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可,得到=1,解得b=答案:d?x=4t,6.已知点p(3,m)在以点f为焦点的抛物线??y=4ta.1 c.3b.2 d.42(t为参数)上,则|pf|=( )解析:将抛物线的参数方程化为普通方程为y2=4x,则焦点f(1,0),准线方程为x=-1,又p(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|pf|=3-(-1)=4.答案:d 二、填空题??x=-2-2t,7.(2014年深圳模拟)直线??y=3+2t?坐标是________.??x=-2-2t,1222??y=3+2t2222(t为参数)上与点a(-2,3)的距离等于2的点的(t-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯!-----为参数),得所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案:(-3,4)或(-1,2)8.(2014年东莞模拟)若直线l:y=kx与曲线c:?解析:曲线c化为普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径r=1.由已知l与圆相切,则r=|2k|333解析:利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程. 1?21?2x-+y=将x+y-x=0配方,得?2?4?22所以圆的直径为1,设p(x,y),?2210.已知曲线c的参数方程为?24??-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯!-----(1)将曲线c的参数方程化为普通方程;解析:(1)由?2x2+y=1,x∈[-1,1].4???x+y+2=0,?2?x+y=1得x2-x-3=0.解得x=[-1,1],故曲线c与曲线d无公共点.2?x=2cos t,11.已知动点p、q都在曲线c:?(1)求m的轨迹的参数方程;m的轨迹的参数方程为?212.(能力提升)在直角坐标系xoy中,圆c1:x+y=4,圆c2:(x-2)+y=4.(1)在以o为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆c1,c2的极坐标方程,并求出圆c1,c2的交点坐标(用极坐标表示);222-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯!-----3(2)解法一由?得圆c1与c2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,-3).?x=1,故圆c1与c2的公共弦的参数方程为??y=t,?x=1,(或参数方程写成??y=y,-3≤t≤3.-3 ≤ y ≤3)解法二将x=1代入?于是圆c1与c2的公共弦的参数方程为 ?x=1,?======*以上是由明师教育编辑整理======------欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯!-----【篇三:坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)】ass=txt>一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:1.坐标系:①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程:①了解参数方程,了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、基础知识归纳总结:?x????x,(??0),1.伸缩变换:设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:?的作用下,?y???y,(??0).?点p(x,y)对应到点p?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

高考数学23题(极坐标与参数方程)大训练(含答案)

高考数学23题(极坐标与参数方程)大训练(含答案)

高考23题(极坐标与参数方程)大训练1.(1)在极坐标系中,O 为极点,已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫2,π3,半径r =1,P 在圆C 上运动,求圆C 的极坐标方程;(2).设直线l 经过点)3,2(πP ,倾斜角6πα=,写出直线l 的极坐标方程.2.(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ-π3)=1,M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程,并求出M 、N 的极坐标; (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程.3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ,设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.4.已知曲线1C 的参数方程为210cos ,10sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数),曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=. (1)将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)曲线1C ,2C 是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2-42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π4+6=0.(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点P (x ,y )在该圆上,求x +y 的最大值和最小值.7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0,π2. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y =3x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4+5cos t ,y =5+5sin t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+12t ,y =32t(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.10.(2013·福建高考理科·T21)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,2π,直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ,且点A 在直线l 上。

高中数学参数方程大题带答案

高中数学参数方程大题带答案

参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的一般方程.(Ⅱ)过曲线C上随意一点P作及l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值及最小值.考点:参数方程化成一般方程;直线及圆锥曲线的关系.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,干脆消掉参数t得直线l的一般方程;(Ⅱ)设曲线C上随意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的间隔公式得到P到直线l的间隔,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上随意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的间隔为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|获得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|获得最小值,最小值为.点评:本题考察一般方程及参数方程的互化,训练了点到直线的间隔公式,表达了数学转化思想方法,是中档题.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴及x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的间隔的最大值.考点:参数方程化成一般方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)首先,将直线的极坐标方程中消去参数,化为直角坐标方程即可;(2)首先,化简曲线C的参数方程,然后,依据直线及圆的位置关系进展转化求解.解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)依据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的间隔为:d=,∴曲线C上的点到直线l的间隔的最大值=.点评:本题重点考察了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等学问,属于中档题.3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为一般方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)间隔的最小值.考点:圆的参数方程;点到直线的间隔公式;直线的参数方程.专题:计算题;压轴题;转化思想.分析:(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的一般方程,即可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个椭圆;(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为一般方程,依据曲线C2的参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的间隔公式表示出M到已知直线的间隔,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到间隔的最小值.解答:解:(1)把曲线C1:(t为参数)化为一般方程得:(x+4)2+(y﹣3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为一般方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(﹣4,4),把直线C3:(t为参数)化为一般方程得:x﹣2y﹣7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的间隔d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d获得最小值.点评:此题考察学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,敏捷运用点到直线的间隔公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题.4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的随意一点.(Ⅰ)求圆心的极坐标;(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.考点:参数方程化成一般方程;简洁曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入即可得出.(II)把直线的参数方程化为一般方程,利用点到直线的间隔公式可得圆心到直线的间隔d,再利用弦长公式可得|AB|=2,利用三角形的面积计算公式即可得出.解答:解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C的一般方程为x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆心坐标为(1,﹣1),∴圆心极坐标为;(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的一般方程:,∴圆心到直线l的间隔,∴|AB|=2==,点P直线AB间隔的最大值为,.点评:本题考察了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的间隔公式、弦长公式、三角形的面积计算公式,考察了推理实力及计算实力,属于中档题.5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线间隔的最大值和最小值.考点:椭圆的参数方程;椭圆的应用.专题:计算题;压轴题.分析:由题意椭圆的参数方程为为参数),直线的极坐标方程为.将椭圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直线间隔的最大值和最小值.解答:解:将化为一般方程为(4分)点到直线的间隔(6分)所以椭圆上点到直线间隔的最大值为,最小值为.(10分)点评:此题考察参数方程、极坐标方程及一般方程的区分和联络,两者要会相互转化,依据实际状况选择不同的方程进展求解,这也是每年高考必考的热点问题.6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.考点:参数方程化成一般方程.专题:计算题;直线及圆;坐标系和参数方程.分析:(1)将曲线C化为一般方程,将直线的参数方程化为标准形式,利用弦心距半径半弦长满意的勾股定理,即可求弦长.(2)运用圆的参数方程,设出M,再由两角和的正弦公式化简,运用正弦函数的值域即可得到最大值.解答:解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=cos(θ+)=(),即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,圆心到直线的间隔d==,故弦长为2=2=;(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),则设M(,),则x+y==sin(),由于θ∈R,则x+y的最大值为1.点评:本题考察参数方程化为标准方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考察参数的几何意义及运用,考察学生的计算实力,属于中档题.7.选修4﹣4:参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的一般方程;(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)间隔的最小值.考点:参数方程化成一般方程;简洁曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出;(2)利用中点坐标公式、点到直线的间隔公式及三角函数的单调性即可得出,解答:解(1)∵P点的极坐标为,∴=3,=.∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得,即∴曲线C的直角坐标方程为.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的一般方程为x﹣2y﹣7=0设,则线段PQ的中点.那么点M到直线l的间隔.,∴点M到直线l的最小间隔为.点评:本题考察了极坐标及直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的间隔公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等根底学问及根本技能方法,考察了计算实力,属于中档题.8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=及圆C的交点为O,P,及直线l的交点为Q,求线段PQ的长.考点:简洁曲线的极坐标方程;直线及圆的位置关系.专题:直线及圆.分析:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程.(II)由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得一般方程:直线l,射线OM.分别及圆的方程联立解得交点,再利用两点间的间隔公式即可得出.解答:解:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得一般方程:直线l,射线OM.联立,解得,即Q.联立,解得或.∴P.∴|PQ|==2.点评:本题考察了极坐标化为一般方程、曲线交点及方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的间隔公式等根底学问及根本方法,属于中档题.9.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.(1)求曲线C1的一般方程及曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的间隔的最小值,并求此时点P的坐标.考点:简洁曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)由条件利用同角三角函数的根本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的间隔为,可得d的最小值,以及此时的α的值,从而求得点P的坐标.解答:解:(1)由曲线C1:,可得,两式两边平方相加得:,即曲线C1的一般方程为:.由曲线C2:得:,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y﹣8=0,即曲线C2的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.(2)由(1)知椭圆C1及直线C2无公共点,椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的间隔为,∴当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.点评:本题主要考察把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的间隔公式的应用,正弦函数的值域,属于根底题.10.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.考点:简洁曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:(I)先利用三角函数的和角公式绽开圆C的极坐标方程的右式,再利用直角坐标及极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进展代换即得圆C的直角坐标方程,从而得到圆心C的直角坐标.(II)欲求切线长的最小值,转化为求直线l上的点到圆心的间隔的最小值,故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的间隔的最小值,再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答:解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(5分)(II)∵直线l的一般方程为,圆心C到直线l间隔是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是(10分)点评:本题考察点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区分,能进展极坐标和直角坐标的互化.11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l及直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,务实数a的取值范围.考点:简洁曲线的极坐标方程;参数方程化成一般方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)首先,将曲线C1化为直角坐标方程,然后,依据中点坐标公式,建立关系,从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)首先,将直线方程化为一般方程,然后,依据间隔关系,确定取值范围.解答:解:(1)依据题意,得曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),依据中点坐标公式,得,代入x2+y2﹣4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,(2)直线l的一般方程为:y=ax,依据题意,得,解得实数a的取值范围为:[0,].点评:本题重点考察了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线及圆的位置关系等学问,考察比拟综合,属于中档题,解题关键是精确运用直线和圆的特定方程求解.12.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos ()=2.(Ⅰ)求C1及C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1及C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.考点:点的极坐标和直角坐标的互化;直线及圆的位置关系;参数方程化成一般方程.专题:压轴题;直线及圆.分析:(I)先将圆C1,直线C2化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最终化成极坐标即可;(II)由(I)得,P及Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,从而构造关于a,b的方程组,解得a,b的值.解答:解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解得或,∴C1及C2交点的极坐标为(4,).(2,).(II)由(I)得,P及Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,∴,解得a=﹣1,b=2.点评:本题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法,方程思想的应用,属于根底题.13.在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取一样单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C及直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解:(I)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.∵曲线C及直线相交于不同的两点M、N,∴△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,∴sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴.又t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=,∵,∴,∴.∴|PM|+|PN|的取值范围是.点评:本题考察了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线及圆相交弦长问题,属于中档题.14.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的间隔最小时,求P的直角坐标.考点:点的极坐标和直角坐标的互化.专题:坐标系和参数方程.分析:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.化为ρ2=2,把代入即可得出;.(II)设P,又C.利用两点之间的间隔公式可得|PC|=,再利用二次函数的性质即可得出.解答:解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(II)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|获得最小值2.此时P(3,0).点评:本题考察了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的间隔公式、二次函数的性质,考察了推理实力及计算实力,属于中档题.15.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.(Ⅰ)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)求弦AB的长度.考点:简洁曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:(Ⅰ)利用直角坐标及极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进展代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程.(Ⅱ)利用直角坐标方程的形式,先求出圆心(3,0)到直线的间隔,最终结合点到直线的间隔公式弦AB 的长度.解答:解:(Ⅰ)曲线C2:(p∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即(x﹣3)2+y2=9(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的间隔,r=3所以弦长AB==.∴弦AB的长度.点评:本小题主要考察圆和直线的极坐标方程及直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等根本方法,属于根底题.16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)(Ⅰ)求圆心C的极坐标;(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大间隔为3.考点:简洁曲线的极坐标方程;直线及圆的位置关系.专题:计算题.分析:(1)利用两角差的余弦公式及极坐标及直角坐标的互化公式可得直线l的一般方程;利用同角三角函数的根本关系,消去θ可得曲线C的一般方程,得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.(2)由点到直线的间隔公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点P到直线l的间隔的最大值,最终列出关于r的方程即可求出r值.解答:解:(1)由ρsin(θ+)=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.由得C:圆心(﹣,﹣).∴圆心C的极坐标(1,).(2)在圆C:的圆心到直线l的间隔为:∵圆C上的点到直线l的最大间隔为3,∴.r=2﹣∴当r=2﹣时,圆C上的点到直线l的最大间隔为3.点评:本小题主要考察坐标系及参数方程的相关学问,详细涉及到极坐标方程、参数方程及一般方程的互化,点到直线间隔公式、三角变换等内容.17.选修4﹣4:坐标系及参数方程在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆C1及C2的公共弦的参数方程.考点:简洁曲线的极坐标方程;直线的参数方程.专题:计算题;压轴题.分析:(I)利用,以及x2+y2=ρ2,干脆写出圆C1,C2的极坐标方程,求出圆C1,C2的交点极坐标,然后求出直角坐标(用坐标表示);(II)解法一:求出两个圆的直角坐标,干脆写出圆C1及C2的公共弦的参数方程.解法二利用直角坐标及极坐标的关系求出,然后求出圆C1及C2的公共弦的参数方程.解答:解:(I)由,x2+y2=ρ2,可知圆,的极坐标方程为ρ=2,圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,解得:ρ=2,,故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).故圆C1,C2的公共弦的参数方程为(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.点评:本题考察简洁曲线的极坐标方程,直线的参数方程的求法,极坐标及直角坐标的互化,考察计算实力.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高考真题专题训练——参数方程专题(6.11-6.12)
1、(2012课标全国Ⅰ,理23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩(α为参数)M 是C 1上的动点,P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3
πθ=与C 1的异于极点的交点
为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求AB .
2、(2012课标全国Ⅱ,理23,10分)已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ
⎩⎨⎧==,以坐
标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD
的顶点都在2C 上,且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3π
(1)求点,,,A B C D 的直角坐标;
(2)设P 为1C 上任意一点,求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围。

3、(2013课标全国Ⅰ,理23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
4,(2013课标全国Ⅱ,理23,10分)已知动点P ,Q 都在曲线C :2cos ,
2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上,
对应参数分别为t =α与t =2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
5、(2014课标全国Ⅰ,理23,12分)已知曲线C :22
149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参
数)(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;
(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.
6、(2014课标全国Ⅱ,理23,10分)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求C 的参数方程;
(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.
第一题
2,【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ
点,,,A B C D 的直角坐标为3),(3,1),(1,3),(3,1)--
(2)设00(,)P x y ;则002cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩为参数 2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈
3,解:(1)将45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25,
即C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.
将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入x 2+y 2-8x -10y +16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C 1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.
由2222
810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩
解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π2,4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
4,解:(1)依题意有P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α), 因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,
sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数,0<α<2π).
(2)M 点到坐标原点的距离
2222cos d x y α=+=+(0<α<2π). 当α=π时,d =0,故M 的轨迹过坐标原点.
5解析:(Ⅰ)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩ ,直线l 的普通方程为260x y +-=;
(Ⅱ)令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ,点P 到直线l 的距离为d
()55sin 64cos 3sin 6
4tan 535
d θφθθφ+-+-⎛⎫
=
== ⎪⎝⎭
||2sin 30d
PA d =
=︒
,所以()()max max min min max min 22525||22;||2255PA d d PA d d ======
所以D 点坐标为31(1)2或31
(1)2
-。

相关文档
最新文档