24.1.2_垂直于弦的直径(2)PPT课件
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垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
B
三 垂径定理的有关计算
例3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD A
O
.
C
E
D
B
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题
时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 弓形中重要数量关系 A
O · C C h A r d D O B B
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： d+h=r
a r2 d 2 2
2
四 垂径定理的推论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
人教版九年级上册_24.1.2垂直于弦的直径ppt
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，A点和B点重合，AE ⌒ ⌒ 和BE重合，AC、AD分别和BC、 ⌒ ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A
O
问题 & 探究3
问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的 直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧。
学以 & 致用
做一做
利用垂径定理
（1）你能平分一条弧吗？
算一算
赵州桥的主桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对的弦 长）是37.4m，拱高（弧的 中点到弦的距离）为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱 的半径吗？
巩固提高
1、 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
O
A E C D B
.
M 2、 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 C A D B
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
新课导入
过已知点A、B作圆，可以作无数个圆．
各圆心的分布有什么特点? 与线段AB有什么关系？
大胆猜想
圆心在线段AB的垂直平分线上．
A
B
教学目标
【知识与能力】
• 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆 的概念解决一些实际问题．
【过程与方法】
• 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定 理，并辅以逻辑证明加予理解．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
C
过已知点A、B作圆，可以作无数个圆．
各圆心的分布有什么特点? 与线段AB有什么关系？
大胆猜想
圆心在线段AB的垂直平分线上．
A
B
教学目标
【知识与能力】
• 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆 的概念解决一些实际问题．
【过程与方法】
• 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定 理，并辅以逻辑证明加予理解．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
C
24.1.2 垂直于弦的直径(2)课件
这五条拿出任意两条作为题设， 其余三条作为结论，会出现多 少个命题？ 这些命题都是真命 题吗？
探究
C
命题1 垂径定理的推论1
① 直径 ③ 平分弦
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
E
A
O B
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
思考
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心 O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米， 求AB长。
A B A
D
O B
D
来自百度文库
C
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
O B A
D
A
E
D
B
练习
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是 3cm,那么过P点的最短的弦等于 2厘米，则OM的长是多少？ A
复习回顾
垂径定理的内容是什么? 用几何语言表示出来.
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
几何语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
●
O
B
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AE=BE, AC =BC, AD=BD.
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
3、垂径定理经常和什么定理结合使用？
4、半径为r，弦长为a，弦心距为d，则三者的关系是 ___(—a_)_2+_d_2=_r2__
2
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经 过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB相交于点C.根据 垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
为什么弦加上“不是直径”这个条件？
24.1.2
垂直于弦的直径
学习目标
知识目标： 1、理解圆的轴对称性； ２、了解拱高、弦心距等概念； ３、掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计 算和证明问题。（重难点）
4、半径为r，弦长为a，弦心距为d，则三者的关系是 ___(—a_)_2+_d_2=_r2__
2
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经 过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB相交于点C.根据 垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
为什么弦加上“不是直径”这个条件？
24.1.2
垂直于弦的直径
学习目标
知识目标： 1、理解圆的轴对称性； ２、了解拱高、弦心距等概念； ３、掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计 算和证明问题。（重难点）
课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2
2、什么是中心对称图形？举例 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
如图,在⊙O中弦AB⊥AC, 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ ∴ 四边形ADOE为正方形.
2请m围,求绕桥以拱下的两半个径方(把精面确小一到结0本.个节课图： 形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形 如—图—， 连有接能一半圆径够弧。形和桥拱原，拱来形的的半径图为10形米，互桥拱相的跨重度A合B=16，米，那则拱么高为这个米。图形叫做中心对称图 形。 过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
要点归纳：
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心
② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
请围绕以下两个方面小结本节课： 已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为 AD =BD.
3、圆是不是轴对称图形？对称轴是谁？
如图,在⊙O中弦AB⊥AC, 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ ∴ 四边形ADOE为正方形.
2请m围,求绕桥以拱下的两半个径方(把精面确小一到结0本.个节课图： 形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形 如—图—， 连有接能一半圆径够弧。形和桥拱原，拱来形的的半径图为10形米，互桥拱相的跨重度A合B=16，米，那则拱么高为这个米。图形叫做中心对称图 形。 过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
要点归纳：
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心
② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
请围绕以下两个方面小结本节课： 已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为 AD =BD.
3、圆是不是轴对称图形？对称轴是谁？
24.1.2垂径定理_课件ppt(新人教版九年级上)
直径垂直于弦=>
=>
直径平分弦
直径平分弧
=>
直径平分弧所对的弦
直径垂直于弧所对的弦
百度文库
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
Ｃ
Ｏ Ａ
垂径定理：
Ｅ
Ｂ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
练习
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
A
B E A
O
O
C
E
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
=>
直径平分弦
直径平分弧
=>
直径平分弧所对的弦
直径垂直于弧所对的弦
百度文库
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
Ｃ
Ｏ Ａ
垂径定理：
Ｅ
Ｂ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
练习
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
A
B E A
O
O
C
E
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件
B
图１
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒表示主桥拱，设AB ⌒ 所在圆的圆心为O， 如图，用AB
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能 发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
相等线段： AE=BE
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧：AC=BC, AD=BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半 A 圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。
E
·
B D
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC
C
即直径CD平分弦 AB，
·
E A D B
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
aa 24.1.2垂直于弦的直径.ppt
B
•m 直 圆径(如将弧圆A⌒分BC成).两部分,每一部分都叫做半
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
C 两个字母).
D 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒mB
(用三个字母).
垂径定理
做一做
• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
条弧.
（）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
D
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
挑战自我，归纳总结
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
• 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外 两个量，如图有：
人教版数学九年级上册 ..垂直于弦的直径完美课件
D
根据勾股定理，
A M A2 O O2 M 12 0 6 2 8
∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
3 如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的 弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3： 5，则AB 的长（ C ） A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm
4如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点是弦 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则 弦的长为__24__cm
O
A
PB
自学指导4（4分钟）实际应用
1.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD 的大小有什么关系？为什么？
问题1：怎样解决圆中有关弦的问题？
O
问题2.AD与BC有什么关系？ A C G D B
自学检测4（5分钟）
1.如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD. ⌒⌒
径都是它的对称轴。（ ）
人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径课件
人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径课件
自学指导 二（8分钟）（探究圆的对称性）
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
自学指导3（5分钟）解决求赵州桥拱半径的问题
24.1.2_垂直于弦的直径(2)
垂径定理
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
⊥ 如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 CD⊥AB, 是直径
B O
A
M└ └
●
∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 对的两条弧。
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米 10 桥拱的跨度AB=16 AB=16米 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
ห้องสมุดไป่ตู้
D
O
B
船能过拱桥吗? 船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 如图 7.2 2.4米 现有一艘宽3 船舱顶部为长方形并高出水面2 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. 650mm的圆柱形油槽内装入一些油后
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
⊥ 如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 CD⊥AB, 是直径
B O
A
M└ └
●
∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 对的两条弧。
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米 10 桥拱的跨度AB=16 AB=16米 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
ห้องสมุดไป่ตู้
D
O
B
船能过拱桥吗? 船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 如图 7.2 2.4米 现有一艘宽3 船舱顶部为长方形并高出水面2 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. 650mm的圆柱形油槽内装入一些油后
24.1.2《垂直于弦的直径》课件
24.1.2《垂直于弦的直径》课件
第一页，共15页。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为
37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
即直径CD平分弦 AB，
⌒ 并且平分AB⌒和ACB.
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
第五页，共15页。
议一议：
如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗 ？ AC=⌒BC,⌒AD=⌒BD吗⌒？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论
是否成立？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.
AE AB 8 4
22
在 Rt △AOE中
·O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
第九页，共15页。
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
第一页，共15页。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为
37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
即直径CD平分弦 AB，
⌒ 并且平分AB⌒和ACB.
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
第五页，共15页。
议一议：
如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗 ？ AC=⌒BC,⌒AD=⌒BD吗⌒？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论
是否成立？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.
AE AB 8 4
22
在 Rt △AOE中
·O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
第九页，共15页。
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
人教九年级数学上册《垂直于弦的直径 》课件 (2)
四边形ADOE是矩形
根据垂径定理得，AD 1 AB，AE 1 AC
2
2
又 AB AC
AD AE
矩形ADOE为正方形
四、归纳小结
1、圆是 轴__对__称_图形,_任__何__一__条__直_径___ 所在的 直线都是它的对称轴. 2、垂径定理:_垂__直__于_弦__的__直__径___平分弦，并 且平分弦_所__对__的_两__弧__ . 推论：平分弦（不是 _直__径__）的直径 __垂_直__于__弦，并且__平_分____弦所对的两条弧. 3、学习反思：_______________________
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
径
平分弦（不是 _直__径_）的直径 垂__直__于_弦，并且
ห้องสมุดไป่ตู้
定
___平__分__ 弦所对的两条弧.
理
如下图⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的 距离为3cm，求⊙O的半径.
解：过O作OE⊥AB于E，根据垂径定 理得,AE=4cm, 由勾股定理得 OA= O E 2A E 24 23 25cm ∴ ⊙O的半径是5cm。
C∴ADD=7=._2_312_mAB=__12__37 =
解得 R≈ _2_7_.3__（m）， 答：赵州桥的主桥半径约为 2_7_.3_ m.
24.1.2垂直于弦的直径 优质课件
进一步，我们还可以得到推论： 平分弦（不是直径）的直径___________， 并且平分__________. 如果弦AA＇是直径，以上结论还成立吗？为 什么？
CD是直径 CD 弦AA AC ____ M 为垂足 AD ____
由此可见：圆是_______图形，任何一条
第二十四章
圆
24.1.2 垂直于弦的直径
课件制作
沙市实验中学
王爱军
一、温故互查
我们学习了与圆有关的一些概念，如： 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一 周，_____________________叫做圆.
2.连接圆上任意两点的______叫做弦，经过圆心的 ______ 叫做直径. 圆上任意两点间的______叫做圆弧，简称____. 能够互相重合的两个圆叫做______. 在同圆或等圆中，_________________的弧叫做等弧.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等 的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E. 求证：四边形ADOE是正方形.
六、当堂检测
2.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.
证明：过点A作AA‘⊥CD,交⊙ O
（请你接着写完证明）
于点A’，垂足为M，连接OA、OA‘
CD是直径 CD 弦AA AC ____ M 为垂足 AD ____
由此可见：圆是_______图形，任何一条
第二十四章
圆
24.1.2 垂直于弦的直径
课件制作
沙市实验中学
王爱军
一、温故互查
我们学习了与圆有关的一些概念，如： 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一 周，_____________________叫做圆.
2.连接圆上任意两点的______叫做弦，经过圆心的 ______ 叫做直径. 圆上任意两点间的______叫做圆弧，简称____. 能够互相重合的两个圆叫做______. 在同圆或等圆中，_________________的弧叫做等弧.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等 的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E. 求证：四边形ADOE是正方形.
六、当堂检测
2.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.
证明：过点A作AA‘⊥CD,交⊙ O
（请你接着写完证明）
于点A’，垂足为M，连接OA、OA‘
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2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
F
●
O
R2 3002 R 902.
D 解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，
桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4
米。
C
A
·D B O
练习：半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB 和CD间的距离.
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是____2_______cm，AB=___4______cm.
A
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
D
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
三个结论。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
C
垂径定理及推论 A M└ B
条件 结论
●O
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D条弧.
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
• 例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O
┌E
D
D
600
C
B
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C
D
B
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
B
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
C
① 经过圆心
A M└
B ② 垂直于弦
●O
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
船能过拱桥吗
解:如图,用 A表B示桥拱, A所B 在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 A相B交于点C.根
据 由垂题径设定 得理A,DB是A7B.的2,中CD点,C2是.4,A HN的B 中1点M,NCD就 1是.5拱. 高.
AD 1 AB 1 7.2 3.6, 2
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆Biblioteka Baidu,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
C
.E
D
O
A FB (1)
A FB
C
.E D
O
(2)
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.
挑战自我
1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长.
A4H 6 G
D
M
2
BE
·N
F
C
0
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ｄ
Ａ
Ｂ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.