高中数学必修5《等差数列前n项和》教案及其分析

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高中数学新人教A版必修5教案2.3等差数列的前n项和

等差数列的前n 项和一、教材剖析1．教课内容：本节课是高中人教 A 版必修 5 第二章第三节第一课时的内容。

主要研究等差数列的前n 项和公式的推导及其简单应用。

2．地位与作用本节课是前方所学知识的持续和深入，又是后边学习“等比数列及其前n 项和” 的基础和前奏。

学好了本节课的内容，既能加深对数列相关观点的理解，又能为后边学好等比数列及数列乞降供给方法。

同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形联合、方程思想），所以“等差数列的前n 项和”不论是在《数列》这一章中仍是在高中数学中都有极为重要的地点，拥有承前启后的重要作用。

二、学情剖析1.知识基础：高二年级学生已学习了数列及等差数列相关基础知识，而且在初中已认识特别的数列乞降及小高斯的故事。

2.认知水平与能力：高二学生已初步拥有抽象逻辑思想能力，能在教师的指引下独立地解决问题。

3.学生特色：平行班里有许多学生基础不差且思想较活跃，能带动其余学生踊跃学习，但办理抽象问题的能力还有待进一步提升。

三、目标剖析知识技术目标：1.掌握等差数列前 n 项和公式；2.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程 ;3. 会简单运用等差数列前n 项和公式 .过程与方法：1．经过平等差数列前n 项和公式的推导, 领会倒序相加乞降的思想方法；2.经过公式的运用领会方程的思想。

感情态度：习兴趣 , 并经过平等差数列乞降历史的认识, 浸透数学史和数学文化.教课要点、难点1、教课要点：等差数列前n 项和公式的推导和应用.2、教课难点：在等差数列前n 项和公式的推导过程中领会倒序相加的思想方法.3、要点、难点解决议略：本课在设计上采纳了由特别到一般、从详细到抽象的教课策略．利用数形联合、类比概括的思想，层层深入，经过学生自主研究，剖析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练联合，进而突出要点、打破教课难点。

四. 教法、学法本课采纳“研究——发现”教课模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的指引 . 学生的学法突出研究、发现与沟通 .五 . 教课过程教课过程设计为六个教课环节：（以以下图）指导思想：就是从特别到一般，由详细到抽象，类比概括总结出指导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，而后指引学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中领会方程的思想方法。

高三数学必修五《等差数列的前n项和》教案

高三数学必修五《等差数列的前n项和》教案【篇一】教学准备教学目标掌握等差数列与等比数列的性质,并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学重难点掌握等差数列与等比数列的性质,并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学过程【示范举例】例1：数列是首项为23,公差为整数,且前6项为正,从第7项开始为负的等差数列(1)求此数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn为正数时,求n的最大值.【篇二】教学准备教学目标数列求和的综合应用教学重难点数列求和的综合应用教学过程典例分析3.数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,(1)求{an}的通项公式(2)求{|an|}的前n项和Tn4.等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99=5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=6.数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12(1)求{an}的通项公式(2)令bn=anxn,求数列{bn}前n项和公式7.四数中前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项之和为21,中间两项之和为18,求此四个数8.在等差数列{an}中,a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n为何值时,Sn 有最大值,并求出它的最大值.已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2(1)求证{an}是等差数列(2)若bn=an-30,求数列{bn}前n项的最小值0.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*)(1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},求证数列{an}是等差数列(2设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{dn},求数列{dn}的前n项和sn.11.购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,如此下去,共付款5次后还清,如果按月利率0.8%,每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金),那么每期应付款多少 ?(精确到1元)12.某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是f(t)=销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t/3+109/3(0≤t≤100)求这种商品的日销售额的最大值注：对于分段函数型的应用题,应注意对变量x的取值区间的讨论;求函数的最大值,应分别求出函数在各段中的最大值,通过比较,确定最大值。

高中数学必修五《等差数列前n项和》优秀教学设计

必修五 2.3等差数列前n项和（第一课时）教学目标1．通过实例，探索等差数列的前n项和公式，了解倒序相加法；2．掌握等差数列的前n项和公式，并能用其解决一些简单问题；3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，发展学生的思维水平；4．通过现实问题和数学小故事，让学生体会数学问题与现实生活紧密联系，培养学生的数学文化素养，激发学生探究的兴趣，增强学生学好数学的心理体验。

教学重点：探索并掌握等差数列前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题。

教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

教学准备：多媒体课件教学过程：一、创设问题，导入新课出示图片印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？生：只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.师：对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？(学生自主探究，请学生说出自己的计算方法。

很多学生都能采用高斯算法）师：同学们采用了什么方法计算出来的呢？生：首尾配对相加的方法，就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.师：对，同学们想到的这个方法和小高斯想的不谋而合.高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5 050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答的方法就是刚才大家说的方法.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.希望大家也能像高斯一样善于观察，敢于思考.师：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？生：这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师对，这节课我们就来研究等差数列的前n 项的和的问题.二、合作探究，推进新课师：我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第49层，得到右图，则图中第1层到第49层一共有多少颗宝石呢?生：这是求“1+2+3+…+49”奇数个项的和的问题，我们刚才的方法就不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师：嗯.“首尾配对”的算法分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们有没有简单的方法来解决这个问题呢?生：有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为50个，共49行.则三角形中的宝石个数就是1+2+3+ (49)师：妙!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我们将他的几何法写成式子就是：1+2+3+ (49)49+48+47+ (1)对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. 现在我将求和问题一般化：(1)求1到n 的正整数之和，即求1+2+3+…+(n -1)+n .(这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2) {}n n a n 求等差数列的前项的和S ?生1：对于问题(2)，我用倒序相加法求的，因为12321n n n n S a a a a a a --=++++++，12321n n n n S a a a a a a --=++++++，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，所以.(Ⅰ) 生2：对于问题(2)，我是这样来求的：2)(1n n a a n S +=11111()(2)(3) [(1)],n a a d a d a d a n d =+++++++++-⨯因为S 11(1)[123(1)]2n n n na n d na d -=+++++-=+所以S即1(1)2n n n S na d -=+.(Ⅱ) 【归纳小结】师：两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n 项和公式.两个公式是可以互相转化的，把代入公式（Ⅰ）中，便可以得到公式（Ⅱ）。

高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么你对等差数列了解多少呢？这次白话文为您整理了高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇，希望能够给予您一些参考与帮助。

数学等差数列教案篇一【教学目标】一、知识与技能1、掌握等差数列前n项和公式；2、体会等差数列前n项和公式的推导过程；3、会简单运用等差数列前n项和公式。

二、过程与方法1．通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法；2、通过公式的'运用体会方程的思想。

三、情感态度与价值观结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

【教学重点】等差数列前n项和公式的推导和应用。

【教学难点】在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

【重点、难点解决策略】本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学用具】多媒体软件，电脑【教学过程】一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:本节课我们来学习《等差数列的前n项和》，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记sn=a1+a2+a3+…+an，如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。

二、问题牵引，探究发现问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗？即: S100=1+2+3+······+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

高中数学必修5《等差数列的前n项和》教案

高中数学必修5《等差数列的前n项和》教案一、教学目标1. 了解等差数列的概念和性质；2. 能够求等差数列前n项和的公式；3. 能够应用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重难点1. 理解等差数列的性质和前n项和公式的推导过程；2. 能够正确运用公式解决实际问题。

三、教学方法1. 归纳法教学法；2. 实例演示法；3. 课堂讲解法。

四、教学过程1. 等差数列的概念和性质1) 定义：若一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之差相等，则该数列为等差数列。

2) 性质：（1）等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。

（2）等差数列的前n项之和：$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}$。

3) 练习：已知等差数列的首项为$5$，公差为$3$，求第$10$项的值。

解：$a_n=a_1+(n-1)d=5+(10-1)×3=32$。

2. 等差数列的前n项和1）等差数列的前n项和定义为：$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$。

2）考虑S(n)+S(n)的值：S(n)+S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+anan+an-1+...+a2+a1结论：S(n)+S(n)=(a1+an)+(a2+a(n-1))+...，共n/2项，其值均为a1+an。

即：2S(n)=n×(a1+an)。

故：$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}$。

3）练习：已知等差数列的首项为$2$, 公差为$3$, 求该等差数列的前$10$项和。

解：$a_1=2,d=3,n=10$,$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}=\frac{10[2+(2+9×3)]}{2}=110$。

五、课后作业1. 熟练掌握等差数列的概念及其公式；2. 完成教材上相应的练习题；3. 思考并尝试解决实际生活中遇到的等差数列问题。

人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》说课稿

人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》说课稿前n项和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。

四、教学过程分析教学环节教学设计设计意图复习回顾1、等差数列的定义：),2(*1Nnndaann∈≥=--，d为常数。

2、等差数列的通项公式：*1(1) ()na a n d n N=+-∈。

3、等差数列{}na中，若p q m n+=+，则p q m na a a a+=+（p、q、m、*n N∈）。

通过复习等差数列的定义、通项公式及等差数列的性质，以旧悟新，为学习新知识埋下伏笔。

+=100个数逐项相加时，考后很快得出其结果是“小高斯快速算出100+的成为千古美谈。

同学们，我们也能成《等差数列的，就是与高斯比一比，我们也+，并且把这种方法100教学环节教学设计设计意图引入·情境分析·展示课题B组小组长说：也可以写成算式的形式：12505199100s=+++++++10099515021s+=+++++++2101101101101101101s=+++++++101(1100)50502s⨯+==。

师：很好，这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把这种方法称为“倒序求和法”。

这种倒序求和法运用了等差数学哪一个性质？B组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。

即在等差数列{}na中，若p q m n+=+，则p q m na a a a+=+（p、q、m、*n N∈）。

小组B的成果是把正整数列前100项顺序、倒序后两相加进行求和，在此处发现数列求和常用的方法——倒序求和法。

新课讲授·推导公式教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗？”C组小组长说：可以运用高斯算法——倒序求和法可计算：12321n n n ns a a a a a a--=++++++12321n n n ns a a a a a a--+=++++++1211212()()()()n n n n ns a a a a a a a a--=++++++++1213223121n n n n n na a a a a a a a a a a a----+=+=+==+=+=+12()n ns n a a∴=+，1()( )2nnn a as+∴=ID组小组长说：同理运用高斯算法——倒序求和法也可计算：1111()[(2)][(1)]ns a a d a n d a n d=+++++-++-1111[(1)][(2)]()ns a n d a n d a d a+=+-++-++++11112[2(1)][2(1)][2(1)][2(1)]ns a n d a n d a n d a n d=+-++-+++-++-1(1)()2nn ns na d-∴=+II我因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗？”如此一问，引出了“思维冲浪”，学生主体性自然张扬，给“再发现”加了一把激情。

高中数学_等差数列及其前项和教学设计学情分析教材分析课后反思

等差数列及其前n项和一、教材分析：复习内容是高中数学必修第五模块数列中的等差数列及其前n项和，本节主要复习研究等差数列的定义、通项公式及其前n项和公式，借助典型例题及近两年高考题，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式及其前n项和公式，并灵活运用所复习知识解有关题目。

本节内容为复习等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

二、学情分析：高三文科学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了一定的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

三．考情解读1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；四．复习重点，难点重点：等差数列知识点的理解及应用难点：等差数列知识点的灵活应用五．教学方法师生共同探讨等差数列的主要知识点，再通过例题，高考真题，课下训练等加深学生对知识的应用意识，采用多媒体课件辅助教学，增加课堂容量。

六．教具准备：多媒体课件七．教学过程（五）课后作业．专题训练1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选择B.2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选择D.3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( ) A ．20 B ．30 C ．40D ．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝40，解得a 3＋a 4＝20，即a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝20，又3a 1＋a 11＝4a 1＋10d ＝2(2a 1＋5d )＝40，故选C.答案：C5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( ) A.345 B ．5 C.314D.315解析：法一：令S n ＝(7n ＋1)n ，T n ＝(n ＋3)n ，则a n ＝14n －6，b n ＝2n ＋2，所以a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝22＋64＋232＋30218＋22＋26＋34＝315.法二：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝4a 1＋42d 14b 1＋42d 2＝2a 1＋21d 12b 1＋21d 2＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案：D6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20，所以a 6＝4，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.答案：447．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝1×S 1＋(1＋2)a 1＝1×a 1＋3a 1＝4，b 2＝2×S 2＋(2＋2)a 2＝2×(a 1＋a 2)＋(2＋2)a 2＝8，所以等差数列{b n }的首项为4，公差为4，所以b n ＝4＋(n －1)×4＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n .当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n ＝n2n －1. 答案：n2n －18．设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a i ＋a j ＝2a 1＋(i ＋j －2)d ＝a 1＋(m －1)d (i ，j ，m ∈N *)，即(m －i －j ＋1)d ＝a 1，kd ＝a 1＝35(其中k ，d ∈N *)，因此d 的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d 的所有可能取值之和为1－35×31－3＝364. 答案：3649．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16，∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n＝a n＋b n－1(n≥2，n∈N*)，∴b n－b n－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)．∵b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1(n≥2，n∈N*)，且b1＝a1＝1，∴b n＝2n－1＋2n－3＋…＋3＋1＝n2(n≥2，n∈N*)．∴b n＝n2(n∈N*)．等差数列及其前n项和【学情分析】高三文科学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了一定的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

人教版高中数学必修⑤《等差数列的前n项和》教学设计

课题：必修⑤2.3等差数列的前n项和三维目标：1、知识与技能（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.3、情态与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用教学难点：公式推导的思路及综合运用教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面，我们学习了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，并运用这些知识解决了许多的实际问题，请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质：① 等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2)② 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

“等差数列的前n项和”的教学设计和教学反思-5页word资料

“等差数列前n项与”教学设计与教学反思一、教学过程实录 1.创设情景，唤起学生知识经验感悟与体验世界七大奇迹之一泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？（多媒体展示三角形图案）也就是计算1+2+3+…+100=？提问：有没有同学了解这个题解题过程？简便方法？学生会联想到以前接触过高斯求与法.介绍高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”.二百多年前，高斯算术教师提出了下面问题：1+2+3+…+100=？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁高斯却用下面方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.设计说明情境学习理论认为：数学学习总是与一定知识背景，即“情境”相联系.从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识兴趣，提高解决问题积极性.2.层层铺垫，在自主剖析与合作中学习问题：1+2+3+…+100=？（高斯算法）实质：首尾相加法，成对出现，每对与为101，组成50对.将与变为积来求.设计说明高斯这一首尾配对算法学生虽然是熟悉，但是他们对此认知只是处于非常简单记忆，并不能说是理解.为了让学生对此算法有更深认识，也为了更好地推出后面等差数列求与公式，设计了以下几个问题剖析：剖析1：在宝石图案中，第1层到第21层共用了多少颗宝石？即1+2+3+…+21=？用同样方法相加时候学生会发现，首尾配对后最中间一个会多出来，即：（1+2+…+10+12+…+20+21）+11.（对学生剖析归纳给予表扬）发现：若项数是奇数时与项数是偶数时不同，采用这一方法求与就得分开讨论.提问：是不是求与时得根据项数是奇数还是偶数进行分类讨论呢？学生可能会赞成这一说法.教师并不全盘否定，但可以指出每次这样分类会有点烦琐，此时应适当地引导学生剖析更为简捷求解方法.设计说明求与时不可能每次都通过讨论项数是奇数还是项数是偶数来进行求解.教师指出还可以将解法简洁化，激发学生剖析兴趣，让学生自己积极参与到解决问题中来.引导学生回忆小学探求三角形面积是通过先补后分方法，再用多媒体显示剖析路径：补一个倒置三角形，形成平行四边形，使得上下每行个数刚好相等.学生观察得出答案：S21=21×1+212.设计说明用直观图形启发学生，开拓思路，化繁为简.帮助学生更好地理解这一简便算法.此过程渗透了数形结合数学思想，将问题直观化.鼓励学生在以后学习中也可以结合这一较为直观数学思想解题.多补一个同样图形，借用两倍来考虑问题，省去了对奇偶项数进行分类.将几何图形转化为数学式子：S21=1+2+…+11+…+20+21S21=21+20+…+11+…+2+1 2S21=21×1+21 S21=21×1+212.设计说明补一个同样式子，颠倒相加.由加法转化为乘法求解，省去了讨论奇偶项数麻烦.这个方法记为“倒序相加法”.剖析2：n个自然数求与： 1+2+3+…+n=？（学生分组讨论，学生代表发言）Sn=1+2 +3+…+n-1+n.Sn=n+n-1+n-2+…+2+1 2Sn=n1+n S21=n1+n2.也就是说n个自然数求与直接可以利用这种倒序相加法求得，不管n为奇数还是偶数.设计说明这里n个自然数是学生最为熟悉等差数列，不管n是奇数还是偶数，过程采用是一样方法，旨在让学生体验倒序相加求与这个算法合理性，从心理上完成对首尾配对求与算法改进.此研究过程也由特殊过渡到了一般，为等差数列前n项求与做了铺垫，培养了学生观察剖析、类比推理能力.那么一般等差数列如何求与呢？能用相同方法吗？条件满足吗？剖析3：已知等差数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，如何求前n项与Sn=a1+a2+a3+…+an ？Sn=a1+a2+a3+…+anSn=an+an-1+an-2+…+a1Sn=a1+（a1+d）+…+a1+（n-1）dSn=an+（an-d）+…+an-（n-1）d2Sn=n（a1+an） Sn=n（a1+an）2.通过对等差数列基本概念及性质认识，从它基本元素出发，结合“倒序相加法”对求与公式进行了推导.（等差数列后一项比前一项多一个公差，前一项比后一项少一个公差）设计说明推导过程采用了层层递进，由学生最容易接受21个自然数到n个自然数，再推广到一般等差数列前n项求与，从特殊过渡到一般，利用“倒序相加法”顺利完成公式推导，将课堂难点巧妙地加以突破.不仅培养了学生观察剖析、类比推理能力，也培养了主动剖析、勇于发现精神.3.归纳整理，公式应用等差数列{an}前n项与Sn=a1+a2+a3+…+an，由上述推导得出公式：Sn=n（a1+an）2公式1结合通项公式：an=a1+n-1?d，代入公式1，得：Sn=na1+n（n-1）2d公式2注：d可以为0，此时 Sn=na1. 设计说明整个推导过程都是在教师引导下，由学生主动完成，加深了对公式理解，也提高了学生学习数学兴趣，体验成就感，增加学习信心.两个求与公式涉及了a1，an，d，n，Sn五个量，都是等差数列中基本元素.结合两个求与公式，给出相应例题加以应用.例1 在等差数列{an}中，（1）已知a1=3，a21=55，求S21;（2）已知a1=6，d=-12，求S20.设计说明第一小题从首项、尾项、项数出发可以利用公式1求解，第二小题从首项、公差、项数出发可以利用公式2求解，让学生自己选择不同公式求解.通过比较，引导学生在解题时根据题目条件选择适当公式加以求解.例2 求正奇数数列1，3，5，7，…前100项与.设计说明本题可用公式2直接求解，也可结合通项公式根据公式1求解，让学生体会哪个公式更为便捷.变式：等差数列 -13，-9，-5，-1，3，…前多少项与等于50 ？设计说明本题适当加深了难度，需要变用公式.由数列前四项可知首项、公差，且题中告知与为50，让我们求是项数，引导学生可以借用公式2求解项数.例3 在等差数列{an}中，已知d=12，an=32，Sn=-152，求a1及n.设计说明本题已知三个量求另外两个未知量，可以选择求与公式1结合等差数列通项公式列出关于a1及n两个方程求解.两个求与公式中都包括四个元素，利用其中任意三个元素必可求出另外一个，即：知三求一.其实两个求与公式共涉及了a1，an，d，n，Sn五个量，我们可以通过任意三个求解另外两个，即：知三求二.4.梳理知识，自我小结找几名学生来浅述通过本节课学习，学到了什么？体验到什么？掌握了什么？最后教师加以归纳肯定：（1）回顾从特殊到一般推导方法，采用“倒序相加法”.（2）等差数列两个求与公式：①Sn=n（a1+an）2;②Sn=na1+n（n-1）2d.（3）会根据条件选用适当公式求解.二、教学反思收获：教师有意识、有目地开发、整合与使用课程资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动水平与教师从事教学活动质量.本节课改进了教材上直接推导等差数列前n项与公式做法，而是通过设计由简单到复杂、从特殊到一般几个问题帮助学生自己剖析出等差数列前n项与公式，学生在经历过程中加深了对公式理解与巩固，取得了良好教学效果.思考：如何处理好“预设”与“生成”关系？教学方案是教师对教学过程“预设”，实施教学方案，是把“预设”转化为实际教学活动.在这个过程中，师生双方互动往往会“生成”一些新教学资源，特别是在数学剖析教学中，更需要教师及时把握，因势利导，适时调控.例如，本节课在讲到第一个问题剖析1+2+3+…+21时，学生并不是都像教师预设那样出现一种方法，即原式=（1+2+…+10+12+…+20+21）+11，而是出现了其他方法，方法1：原式=（1+2+3+…+20）+21;方法2：原式=0+1+2+…+20+21.以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师不得不叹服学生思维伟大，感叹自己预设不足，对于学生这种思考，教师应进行充分肯定与表扬.感悟：有效数学教学活动是教师教与学生学统一，应体现“以人为本”理念，学生是数学学习主体，数学课堂教学应以促进学生发展为宗旨！希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。

人教版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和教学设计

人教版高中数学必修五 2.3 等差数列的前 n 项和授课方案知识与能力目标：（1）类比高斯算法，研究等差数列前项和公式，理解公式的推导方法；（2）能较熟练地应用等差数列前项和公式解决相关问题；过程与方法目标：经历公式的推导过程，领悟层层深入的研究方式，体验从特别到一般、详尽到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；感神态度与价值观：经过生动详尽的现实问题，激发学生研究的兴趣和欲望，成立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的感情，体验在学习中获得成功。

二、授课重点与难点1、授课重点：等差数列前项和公式的推导和应用2、授课难点：公式推导的思路3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特别到一般、从详尽到抽象的授课策略。

利用分类谈论、类比归纳的思想，层层深入。

经过学生自主研究，解析、整理出推导公式的不同样思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并经过模范后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、打破难点。

三、授课方法解说法、多媒体显现四、授课流程创立问题情境，提出问题——研究等差数列前项和公式——公式理解和深入——公式应用，反响谈论——归纳总结，升华认知五、授课过程设计（一）创立情况，提出问题在生活中有这样一个例子，建筑工地上有一堆圆木，从上到下每层的数目分别为 1,2,3 ，... ，10，叠加起来恰巧近似于一个三角形的图案问题 1：若有 10 层，共有几根圆木；若有100 层，共有几根圆木？教师活动：利用多媒体，显现圆木堆的图片，引导学生观察每一层木头数的变化情况学生活动：欣赏之余观察每层圆木数的变化情况并试一试解决问题1.活动预设：（1）能获得的信息：从上到下，圆木数以 1 为公差依次递加，构成等差数列。

（2）需要解决的问题： 100 层中终归共有多少根圆木？【意】（1）教先用多媒体显现彩呈的，使学生入情境，激学生的趣，并使学生领悟数学本源于生生活。

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课题：等差数列的前n 项和
教材：人教版数学必修5
一、教学目标
知识目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

能力目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、创新的学习品质。

二、教学重点、难点
重点：等差数列的前n 项和公式
难点：获得等差数列的前n 项和公式推导的思路
三、教学方法与手段
启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合
四、教学过程
1、问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
2、探索发现
1+2+3 +…+99+100
=(1+100) +(2+99)+ …+(50+51)
=101 ×50 = 5050
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
问题2：求1到n 的正整数之和。

123(1)n s n n =+++
+-+即问题3：{}?n n a n 如何求等差数列的前项和S
3、公式应用
例1、选用公式
例2、变用公式
等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？
变式练习：
{}120,54,999,.n n n a a a s n ===在等差数列中，求
例3、知三求二
{}120,37,629,.n n n a n s a a ===在等差数列中，已知d 求及
4、课堂小结
1()12
n n n a a S +=公式 1(1)22
n n n S na d -=+公式 5、作业布置
必做题：课本52页，练习１、２、３；
选做题：在等差数列中，
512156136,;
220,a a a a a +++==21611、已知求s 、已知求s
教案说明
一、教材分析：
等差数列的前n项和是人教版数学必修5第二章的内容，是在学生学习了等差数列的概念和性质的基础上学习和研究的。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示；3.倒序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

因此，本节课内容在教材中处于非常重要的位置。

二、本节课的教法特点：
《数学课程标准》强调,数学内容要按照“问题情境——探究发现——应用与拓展”的形式呈现，这样的呈现形式，其实也给教师组织教学提供了一个基本的模式。

本节课以一个传说为问题情境,引导学生进行思考，目的是激发学生的学习兴趣。

同时，采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

课堂中设计了3道变式例题，通过通过“选用公式”、“变用公式”和“知三求二”三个层次促进学生新的认知结构的形成。

三、本节课的预期效果：
新课程标准与旧大纲相比较而言，更加重视过程。

因此，本节课的一大重点在于如何引导学生探究并推导出等差数列前n项和公式，而不是由教师包办到底。

通过本节课的学习，不仅要使学生会利用等差数列前n项和公式解决实际问题，更重要的意义在于让学生经历公式的形成与发展过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，这才是新课标下教师应该传授的、学生应该掌握的知识。

课题：等差数列的前n项和（第一课时）
参赛人：叶宇桦
内附：1、等差数列的前n项和教案
2、等差数列的前n项和教案说明
3、等差数列的前n项和（第一课时）说课稿
（注：本资料素材和资料部分来自网络，供参考。

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