多边形的平面镶嵌.doc
用正多边形教学平面镶嵌PPT课件
合作探究3：
三种正多边形的平面镶嵌，你能拼出来吗？
正十二边形 与正方形、 正六面镶嵌的条件是： （1）拼接在同一点的各角之和 为360度。
（2）相邻的多边形有公共边。
资料： 用正多边形进行平面镶嵌只有以下这
17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波 尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔 汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，
正多边形的镶嵌
陈晓春
图片欣赏
合作探究1：
以小组为单位，探讨一个正多 边形进行平面镶嵌的情况。
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形
能
正五边形 正六边形
不能 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
4
3
（1） 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°
60° 60°
60°
（2） 正方形的平面镶嵌
90°
More You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
A、3
B、4
C、5
D、6
合作探究2：
如果用两种正多边形进行镶嵌，又 有几种情况呢？请尝试。
合作探究2：
1、试用正三角形与正方形进行平面镶嵌。（先用 纸片进行实验，再理论解释）
2、试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌（先理 论探讨有几种情况，再用纸片进行实验，再理论解 释）
①
②
每个顶点处正方形2个，正三角形3个.
生活中的数学——生活中的平面镶嵌
生活中的平面镶嵌聪聪来到同学王强家里串门，看见王强的父亲正在用两种多边形在镶嵌墙壁，便立即想到正在学习的多边形的镶嵌。
聪聪说：“真没想到，用正三角形与正方形镶嵌的墙壁也很美观。
”王强说：“我们课本上说过，能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，即正三角形、正方形、正六边形。
”王强的父亲说：“你们知道这是为什么吗？”聪聪说：“设有n （n 为正整数）块同一种正多边形地砖能镶嵌地面，该正多边形的一个内角为α(60180α︒︒≤<），则有360n α=，所以 360n α= 。
只有当正多边形的内角60,90,120α=时，n 为正整数6,4,3。
这就是说，限用一种正多边形镶嵌地面有三种情形，如图1，图2，图3。
”图1 图2 图3王强的父亲说：“这种分析方法很好，那你们再想一想两种多边形在一起镶嵌平面时的情况吧。
”聪聪与王强一起研究起来：1。
用正三角形和正方形可以镶嵌平面：设需用m 块正三角形、n 块正方形，则有6090m n +=360，即2312m n +=。
因为,m n 均为正整数，所以3,2m n ==。
因此，用3块正三角形、2块正方形可铺满地面。
王强的父亲很高兴，说：“虽然每个顶点处用3个正三角形和2个正方形能镶嵌平面，但具体镶嵌的方法有两种，如图4,5所示。
”2。
正三角形和正六边形可以镶嵌平面：理由同1。
如图6，图7。
图6 图7 3。
用正方形和正六边形不能镶嵌平面：正方形的一个内角是︒90，正六边形的一个内角是︒120，设每个顶点处用x 个正方形，y 个正六边形，则x ︒90+y ︒120=︒360，即443x y =-﹒找不到满足正整数的x ，y ，故不能用正方形和正六边形铺满地面﹒ 最后，他们高兴地向王强的父亲宣布：“只要一种正多边形的内角的若干倍与另一种正多边形内角的若干倍之和能够为︒360，两种多边形就可以镶嵌平面！”王强的父亲笑着说：“孩子们，一般情况下是这样的，但也有特殊情况，比如，一个正十边形与两个正五边形就满足1×144°＋2×108°＝360°，但是它们两个却不能密铺！ A ，B 两处有缝隙（如图5所示）。
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 沪科版数学八年级下册教案2
19.4 综合与实践多边形的镶嵌【知识与技能】通过探索多边形平面镶嵌，知道三角形、四边形和正六边形可以平面镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【过程与方法】经历探索多边形平面镶嵌条件的过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计.【情感态度】通过探索多边形平面镶嵌并欣赏美丽图案，让学生感受数学与现实生活紧密联系，体会数学活动充满探索性与创造性，促进学生创新意识和审美意识的发展.【教学重点】探究多边形平面镶嵌的条件【教学难点】用两种正多边形进行平面镶嵌以及平面镶嵌的规律.一、创设情境，导入新课1.观察思考，什么叫平面镶嵌？【教学说明】通过观察图片，对平面镶嵌有一个形象的认识.2.想一想：（1）回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么形状的地砖铺成的?（2）多边形进行平面镶嵌，必须满足什么条件?【教学说明】通过具体的形象对平面镶嵌的条件进行猜想，先不要进行证明.二、合作探究，探索新知1.探究一试一试：若用一种边长相同的正多边形进行镶嵌，下列哪些正多边形可以镶嵌？边形多边形进行平面镶嵌，必须满足什么条件?【教学说明】让学生分组进行剪纸粘贴，探究结论，然后让学生进行总结平面镶嵌满足的条件.2.探究二：用同一种正多边形如果不能密铺,用两种或者两种以上边长相同的正多边形能不能进行平面镶嵌呢?请你通过计算或拼接进行探究.（1）正n边形每个内角的度数：（2）能进行平面镶嵌的组合：【教学说明】结合以上探究，通过计算探究平面镶嵌满足的条件和规律，尽可能多的让学生进行探究，然后进行总结.3.探究三：（1）任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？（2）任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？【教学说明】让学生剪纸进行拼接，然后进行板演，使学生有一个直观的认识，最后再进行总结.三、示例讲解，掌握新知例某单位的地板有三种边长相等的正方形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z.求的值.【分析】：这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°.【教学说明】这个问题比较复杂，教师要进行引导，应用平面镶嵌要满足的条件列出等式，再进行变形得出结论.四、师生互动，课堂小结1.当拼接点处的所有角之和是360°时，就能进行平面镶嵌.2.形状、大小相同的任意三角形、四边形能镶嵌成平面图形.【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结和归纳，形成系统，加深学生的理解.完成同步练习册中本课时的练习.数学概念的获得与观察、实验是分不开的.引导学生用数学眼光去观察和认识周围事物，让学生经历知识的形成过程，让学生在生活中做数学，让学生用数学发现问题，解决问题，这应该是平面镶嵌这一节课题学习应该让学生经历的.让学生亲身经历实际问题抽象成数学模型的过程，体验数学源于生活.在整个教学的过程中，要始终以学生动手操作实践为主导，在巩固练习中也安排了一些学生操作的活动，让学生在操作过程中体会“完全覆盖”和“不完全覆盖”的区别，体会“重叠”和“不重叠”的区别，为辨别是否镶嵌奠定了基础.在最后的设计正多边形镶嵌的平面图案时完全放手让学生去操作，活动的设计体现了以学生为主体，引导学生主动探索，让学生在活动中感悟，在活动中体验，使学习知识和提高能力同时得到发展.。
平面镶嵌的认识与操作
平面镶嵌的认识与操作在设计领域中，平面镶嵌是一项常见且重要的技术，它能够将不同的元素有机地结合在一起，形成独特而具有美感的图案。
本文将介绍平面镶嵌的基本概念和操作技巧，并探讨其在设计中的应用。
一、平面镶嵌的基本概念平面镶嵌是一种通过将不同的图形拼接在一起来创造出复杂而连续的图案的技巧。
在平面镶嵌中，每个图形都被称为“镶嵌单元”，它们可以是多边形、线条、弧形等。
通过合理地组织和安排这些镶嵌单元，我们可以创造出丰富多样的图案。
平面镶嵌根据图形之间的连接方式可以分为三类：共享边、重叠和交叉。
共享边是指两个相邻的镶嵌单元共享一个边，形成紧密的连接；重叠是指两个镶嵌单元部分或完全重叠，营造出立体感；交叉是指两个镶嵌单元相互交叉，并在重叠部分形成新的图形。
二、平面镶嵌的操作技巧1. 规划布局：在进行平面镶嵌之前，我们首先需要规划好整体的布局。
根据设计需求，确定图案的大小、形状和组成元素，并考虑元素之间的比例和对称性。
2. 选择合适的镶嵌单元：根据设计主题和风格选择合适的镶嵌单元。
可以使用传统的几何形状，也可以尝试一些创新的图形，以增加图案的独特性和创意性。
3. 精确测量和切割：在制作镶嵌单元时，需要进行精确的测量和切割。
使用尺子、铅笔和切割工具等工具，确保每个镶嵌单元的大小和形状都准确无误。
4. 确定连接方式：在进行平面镶嵌时，需要决定不同镶嵌单元之间的连接方式。
可以使用胶水、缝纫、焊接等方法，根据材料的特性和实际需求选择适合的连接方式。
5. 调整和优化：在镶嵌的过程中，可能会出现一些不完美的地方，比如长度不一致、角度不准确等。
这时候需要对图案进行仔细的调整和优化，以确保每个镶嵌单元的完美配合和整体的美观。
三、平面镶嵌在设计中的应用平面镶嵌在设计领域中有着广泛的应用，无论是室内设计、产品设计还是图形设计，都可以通过平面镶嵌来增加美感和创意性。
1. 室内设计：在室内装饰中，平面镶嵌可以用于墙面、地板、天花板等部位的装饰。
平面镶嵌(教案)
此外，关于学生小组讨论环节，我发现部分同学在分享成果时表达不够清晰，这可能影响了他们对知识点的掌握。针对这个问题，我将在接下来的教学中加强对学生表达能力的培养，鼓励他们多发言、多交流，提高自己的逻辑思维和口头表达能力。
平面镶嵌（教案）
一、教学内容
《平面镶嵌》为本章节教学内容，选取教材中关于平面几何的部分，主要包括以下内容：
1.平面镶嵌的基本概念与性质：镶嵌的定义，平面镶嵌的条件，平面镶嵌的分类。
2.平面镶嵌的判定方法：规则多边形的平面镶嵌，不规则多边形的平面镶嵌。
3.平面镶嵌的应用：生活中的平面镶嵌现象，艺术作品中的平面镶嵌设计。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平面镶嵌的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平面镶嵌的理解。我希望大家能够掌握这白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平面镶嵌在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.增强学生的创新意识：鼓励学生运用所学知识，创作独特的平面镶嵌作品，激发创新精神和审美情趣。
人教版八年级数学上册数学活动——平面镶嵌(用多边形覆盖平面)课件
能镶嵌.
在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边 形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以进行平面 镶嵌？
用 n 表示正多边形的边数.
（2）用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
任意用一些形状、大小相同的三角形能否进行
平面镶嵌？四边形呢？
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时通过探索平面图形的镶嵌，让学生 知道任意形状的三角形、四边形或正六边形可 以镶嵌设计，提高了学生对三角形以及多边形 内角和与外角和等知识的综合运用能力与实际 操作中的动手能力.
镶（嵌2）.用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
课后作业
角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则 n 的值是（
）
A.3A
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6 个正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
解：如图所示：
综合应用 5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，
平面镶嵌的条件
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。
在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。
平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。
凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。
在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。
在计算过程中，凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。
这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。
这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。
平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。
这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。
如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。
在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。
通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。
这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。
在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。
即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。
在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。
除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。
在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。
这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
在实际应用中，平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。
常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。
这些算法分别针对不同的问题和约束条件，采用不同的方法和策略进行求解。
平面镶嵌知识点聚焦
平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳．知识点1、镶嵌的认识1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌).2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于0360.平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成0360,则这些平面图形就能密铺.知识点2:实现平面镶嵌的常用方法探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k个正n边形.根据上述限定条件有方程()02180360, nkn-⋅⋅=整理,得kn-2k-2n=0,即242.22knk k==+--n,k皆为正整数,当k=3时,426;32n=+=-当k=4时,424;42n=+=-当k=6时,423;62n=+=-进而限用一种正n边形的镶嵌有三种情况:探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x 个,正四边形有y 个,根据限定条件有方程0006090360,x y ⋅+⋅=整理,得2x+3y=12,得整数解3,2,x y =⎧⎨=⎩即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌. 类似可讨论出:用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等.探究三：任意多边形的平面镶嵌取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合，且同一个顶点处的各个内角之和为3600。
用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的有任意三角形或任意四边形。
知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( )A.3B.4C.5D.6分析:平面镶嵌的必备条件:图形拼合后同一顶点的若干个角的和恰好等于0360,一个顶点周围两个正方形的角的和是0180,那么一个顶点周围的n 个正三角形的角的和为0180,而正三角形的每个内角等于060,所以需要3个正三角形即可，所以选A.例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）A.1种B.2种C.3种D.4种分析:本题卡考查正多边形镶嵌的条件.要达到平铺地面的目的,所选用的正多边形必须满足n×正多边形的内角=0360(其中n 为正整数).正方形内角090,00360904=⨯,符合要求,所以正方形可选用.正六边形内角0120,003601203=⨯,符合要求,所以正六边形可选用.故选B.例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( )A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形分析:正三角形的内角度数为090,而60,正四边形的内角度数为0 0360+⨯⨯,所以正三角形和正四边形能够铺满地面.903=260正四边形的内角度数为0360,108,它们组合得不到090,正五边形的内角度数为0所以正四边形和正五边形不能够铺满地面.正五边形的内角度数为0120,它们组合得不到108,正六边形的内角度数为0360,所以正五边形和正六边形不能够铺满地面.正轮流边形的内角度数为0135,它们组合得不到120,正八边形的内角度数为0360,所以正六边形和正八边形不能够铺满地面.综上所述,应选A.例4.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
第9周 多边形及其内角和、平面镶嵌
第9周 多边形及其内角和、平面镶嵌1、知道什么是多边形，掌握多边形的对角线计算方法。
2、掌握多边形内角和的计算方法。
3、理解多边形外角和的规律特点。
4、知道什么是平面镶嵌。
一、多边形的有关概念在同一平面内，由不在同一直线上的n （n ≥3的整数）条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n 边形。
注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形。
（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角，一个n 边形有n 个内角；（3）多边形的边和它邻边延长线组成的角是它的外角，在多边形的每一个点处有两个外角，这两个角是对顶角，大小相等。
因此，一个n 边形有2n 个外角。
同一个顶点的内角和外角是互为邻补角。
（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，从多边形的一个顶点出发，可以引（n —3）条对角线，n 个顶点共有n （n —3）条对角线，但有一半是重复的，所以n 边形有(3)2nn 条对角线， （5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形。
（6）下面两图中，图（1）任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称为凸多边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD 所在直线，整个n 边形不都在这条直线的同一侧。
我们称这样的多边形为凹多边形，今后我们课本提到的多边形，如果不加特别说明，一般指的是凸多边形。
AB C DAB C D图1 图2二、多边形的内角和从n 边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，它们将n 边形分成（n-2）个三角形，因此n 边形的内角和为：（n-2）×180°可见，多边形的内角和是180的整数倍。
边数每增加1边，内角和增加1800作用：可用来计算多边形的角度数和边数。
证明思路：通过添加辅助线把多边形的内角和转化为三角形内角和问题，如过多边形一个顶点作对角线，把多边形分成(n－2)个三角形；也可过一边上一点，连结各顶点，把多边形分成（n－1）个三角形；或者过多边形内部一点，连结各顶点，把多边形分成n边形。
平面镶嵌_教学设计说明doc
《平面镶嵌》教学设计说明一、教材分析本节课是八年级上册第十一章《三角形》中课题学习内容。
因为这个内容是现实的，所以能够让学生充分感受到“数学来源于生活”；因为该问题的解决，需要综合应用前面所学内容“三角形”、“生活中的轴对称”、“图形的平移与旋转”、“四边形”、“多边形内角和外角的和”等知识，是学生对所学平面图形相关知识的一次综合应用；八年级的学生具备了一定的合情推理水平及演绎推理水平，所以学生是遵循“小组合作、自主探究”的方式来实行学习与研究。
整个研究过程都让学生自己发现问题、自己归纳结论、自己探索与创造。
因为本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、实验、推理及应用的全过程，所以对于今后的学习具有重要的指导意义。
二、教学目标分析在认真钻研教材的基础上，结合八年级学生的学习实际，本节课的教学目标如下：（一）知识与技能1、理解并掌握平面图形镶嵌的含义及条件；2、知道哪些平面图形能够镶嵌，并会做一些简单的设计；3、通过探索过程体会多边形内角和公式的应用；（二）数学思考1、通过用一种正多边形实行镶嵌的实验，探究平面镶嵌的条件。
2、探究用哪两种不同的正多边形能够实行组合镶嵌。
3、用三角形与四边形能否实行自镶嵌。
（三）解决问题获得一些研究问题的方法和经验，发展思维水平，加深理解相关的数学知识。
（四）情感态度与价值观1、通过合作学习，动手实验，提升学生的学习热情，感受学习的乐趣。
2、通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
3、通过展示平面镶嵌的图形，让学生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用，培养学生进一步学习数学的热情。
三、教学问题诊断一节课成功与否、学生的积极性能否被调动，关键在于开始的几分钟，在创设情景这个环节，我选择荷兰科学思维版画大师M.C.埃舍尔的作品来引入，更大限度的刺激了学生的感观，激发了学生的学习兴趣，为后续的教学起了很好的铺垫。
因为本节课在探究一种或几种正多边形平面镶嵌的时候，都需要计算正多边形的内角和以及每个内角的度数，为此，在自学环节，我就安排了思考n边形的内角和=____________?任意多边形的外角和=____________？让学生在复习旧知的基础上，再次得出结论，正多边形的每个内角的度数除了等于n n 180)2(⨯-外，还有一种最简单的计算方法，那就是利用外角和来计算，每个内角的度数等于180-360/n ，这样学生在完成后面习题的时候就能快速的口算出二十边形的每个内角的度数为180-360/20=168度。
多边形的平面镶嵌.doc
多边形的平面镶嵌郝易18号一、1.概念：从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。
2.正n边形的镶嵌：可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180+n度。
若（n・2）*180+n能整除360,那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。
由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边形可以进行镶嵌。
二、三角形的平面镶嵌因为三边形四个角和为180度。
所以只要把不同的角往一个点凑，这样两个就可以进行平面镶嵌。
三、四边形的平面镶嵌因为四边形四个角和为360度。
所以只要把不同的角往一个点凑，就可以进行平面镶嵌。
四、五边形的平面镶嵌设在一个顶点处，有n个角。
若n > = 4 , 4 * 108 > 360 , 不能平面镶嵌。
若n <4 , 3 * 108 < 360 ,不能平面镶嵌。
由此得出：五边形不能平面镶嵌。
五、六边形的平面镶嵌正六边形一个角的度数为120度。
120\360, 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：对边相等的六边形也可以平面镶嵌:六、两种正多边形的平面镶嵌①正三角形和正方形设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360正八边形n 个m=6-2n n =2,1 m=2,4③正方形和正八边形 设需要用正方形m 个,90m+135n=360 2m+3n=8 m=(8-3n)/2 n =2 m =1两种正多边形的平面镶嵌公式：xm+yn=360如果m 、n 没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。
如果有，则可以平面镶嵌，m, n 分别表示每种正多边形的个数，x, y分别表示每种正多边形的一个内角的度数。
七、三种正多边形的平面镶嵌① 正三角形、正方形和正六边形设有n个正三角形，m个正方形，i个正六边形60n+90m+120i=3602n+3m+4i=12n=(12-3m-4i)/2n= 1m = 2设有n个正三角形，m个正方形，i个正十二边形i = 1正三角形、正方形和正十二边形60n+90m+150i=3602n+3m+5i=12n =(12-3m-5i)/2n =2m=l正方形、正六边形和正十二边形设有n个正方形，m个正六边形，i个正十二边形90n+120m+150i=360n = (12-5i-4m)/3 n =1 m=li=l。
数学：平面镶嵌知识简介
数学：平面镶嵌知识简介各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢用若干类全等形无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．以下对平面镶嵌问题从三个方面略作介绍．一、用一种任意多边形镶嵌1．全等的任意三角形能镶嵌平面把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图1．用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2．2．全等的任意四边形能镶嵌平面仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4．3．全等的特殊五边形可镶嵌平面圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABcDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠c＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究．4．全等的特殊六边形可镶嵌平面1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABcDEF中，∠A＋∠B＋∠c=360°，a=d．5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面．二、用同一种正多边形镶嵌只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面．三、用多种正多边形镶嵌例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m 个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．这个方程的正整数解是或可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形．如图8、图9．读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题．各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
正多边形镶嵌平面问题
正 三 角形 与正 六 边 形 有 以下 两种 镶 嵌 方 式
都不小于 ３ 则÷ 一— ， 不小于÷ ， ｍ≤ 得
Ｕ
６所 以每一 组 解 中 未 知数 的个 数 只 能是 ３４ ５６ ． ，， ，． 下 面 我 们 采 取 “ 举 法 ” 解 这 个 方 程 ： 答 中 一 枚 来 解 定会 出 现 六个 “ ” 四个 “ ” ３； ３ 与一 个 “ ” 三 个 “ ” 情 形 ６； ３的 有 （ ， ， ， ， ） 两 个 “ ” （ ， ， ， ） （ ， ， ， ２ ； 个 ３３３４４ ； ３ ：３ ３ ６ ６ ，３ ３ ４ ｌ ） 一
［ 责任编 校
王
蓓］
（ 上接 第 ６ ３页 ）
分析 ：根据 题 意 两 边 平 方 的解 法不 足 取 ， 从 配 方 若
角 度 考虑 ， 想椭 圆定 义 即可 求 解 ． 联
解 ：原 方 程 配 方 得
变 ① 有 唯一 公 共 点 时 ， 元 公 共 点 时 ， ｋ的取 值 ② 求
，Ｐｑ ” 使÷ ～ ＋÷ 一÷ ＋÷ 一 ＋…一１假 ２， ， ． ，
设 ” ．ｓ ． 等 ｍ 个 正 整 数 满 足 此 方 程 ， 方 程 的 …． ‰ ． 则 解 为 （ ， ｚ …． ） 又 由 于一 个 顶 点 处 至 少 要 有 三 个 ． ． ． ． 角拼 在 一 起 ， 否则 必 有 超 过 或 等 于 １ ０的 角 ， 以 ｍ≥ ３ ８。 所 ；
图黑 色 部 分 ．
・ ６ ３ ・
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ８年第 ５期 正 三 角 形 ， 四边 形 与 正 六 边 形 正
正 四 边形 ， 六 边 形 与正 十 二 边 形 ： 正
多边形及平面镶嵌讲义.doc
多边形&平面镶践我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看.3、用两种或两种以上的正多边形拼地板问题我们已经知道，有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.【习＜14 5依】_、选择题：Ln边形所有对角线的条数是（），啰2.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（B. 2k+lC. 2k+2D. 2k-23.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是2520°,那么原多边形的顶点数为（4.下列命题中，正确的有（）%1没有对角线的多边形只有三角形%1内角和小于外角和的多边形只有三角形%1边数最少的多边形是三角形%1三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.某中学新科技馆铺设地面，己有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A正方形B矩形C正八边形D正六边形7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（）边形.A.三B、五C、六D、八8.下列图形中，不是凸多边形的是（）A、8B、9C、10D、11A. 1种B.2种C.3种 C. 4种用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m 个正三角形、n个正六边形，则m, n 满足的关系式是（A. 2m+3n=12B. m+n = 8C. 2m+n=6D. m+2n=6L 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是边形.2.多边形的边数增加一条时，其外角和,内角和增加 4 .正八边形的外角和是 ，每个内角是 5. 一个多边形有14条对角线，则这个多边形的内角和是6.如图 7-3-2,己知四边形 ABCD 中，Z1=Z2, Z3=Z4,匕5二匕6, Z7-Z8,则 ZE+ZF=7.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就拼成一个平面图形.8.能用种正多边形拼成地而 — —,•• •• • .W KWl •• • ♦ ・ t曹二二• • • *Mm.I ..•・・ • •• • • • < —. • I • ••・•二二.. ..• ■ c • • • • • ♦ ••1 • • • •• •.—・• • J »_ ■ ,• ••ill• 9* f •• ♦ ♦ •• • • . . • * • • • •• • • • •— -• •••■ • • • • • •• • - •卜X .'•一 ••r —. • • • • ・■・• • • •F 二 二• • - •.A• • ♦ ♦ ♦ 4•三三10 题• •■» • ♦ ♦ • • • • . ♦・一 褊 • •*. . • '表 * *•••••■ 4 • 1 ♦・• • ► * • • •・ < •• — . % • • •・•・♦・ •-・. 二'・• .・• ■ •・• •・• ♦ ■ — II9.如图用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面, 观察图形并猜想填空；当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为块；当白色瓷砖为Y 块时，黑色瓷砖为9. 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（10. 在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图（1）拼接符合原来的图案模式？（）11.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有（ ）%1. 填空题:3.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则（nrk ）” A D的C%1.解答题1.一个五边形的五个外角的读数比是1 ： 2 ： 3 ： 4 ： 5,求这个五边形的五个内角的度数比.2.两个正多边形的边数之比为1：2,内角和之比为3： 8,求这两个多边形的边数、内角和3.一个多边形出一个内角外，其余个内角的和为2030°,求这个多边形的边数.4.已知ZABC的边BA、BC分别于ZDEF的边ED、EF垂直，垂足分别是M、N,且NABC二70。
人教版八年级数学上册--平面镶嵌
∴无解 ∴不可以
探究新知
3)正五边形 4)正四边形 5)正三角形与 与正十边形 与正八边形 正十二边形
归纳整理
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律： 拼接在同一个点的各个角的 和恰好等于360°（周角）。
问题3:任意相同三角形或四边形的平 面镶嵌
从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形 把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫 做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题
探究新知
问题1: 一种正多边形平面镶嵌的条件
探究1：仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多 边形能单独镶嵌成一个平面图案？
探究新知
正方形
正三角形
探究新知
正六边形
正五边形
探究新知
（1）正三角形、正方形、正六边形为什么能镶嵌？
3
1
2
4
3
1
2
探究3:用几个形状、大小相同的任意三角形能 镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？
探究新知
2
13
3
1
2
3
11
1 23
23
1
3
1
2
3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360 °任意三角形能镶嵌成平 面图案。
探究新知
2 34
1 43
1
2
4
3
1
2
2 34 1
1 43 2
4
3
1
2
因为 ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌 成平面图案。
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多边形的平面镶嵌
郝易18号一、1.概念：
从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。
2.正n边形的镶嵌：
可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180+n度。
若（n・2）*180+n能整除360,那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。
由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边
形可以进行镶嵌。
二、三角形的平面镶嵌因为三边
形四个角和为180度。
所以只要
把不同的角往一个点
凑，这样两个就可以进行平面镶
嵌。
三、四边形的平面镶嵌因为四
边形四个角和为360度。
所以只
要把不同的角往一个点
凑，就可以进行平面镶嵌。
四、五边形的平面镶嵌
设在一个顶点处，有n个角。
若n > = 4 , 4 * 108 > 360 , 不能平面镶嵌。
若n <4 , 3 * 108 < 360 ,不能平面镶嵌。
由此得出：五边形不能平面镶嵌。
五、六边形的平面镶嵌
正六边形一个角的度数为120度。
120\360, 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：
对边相等的六边形也可以平面镶嵌:
六、两种正多边形的平面镶嵌
①正三角形和正方形
设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360
正八边形
n 个
m=6-2n n =2,1 m=2,4
③正方形和正八边形 设需要用正方形m 个,
90m+135n=360 2m+3n=8 m=(8-3n)/2 n =2 m =1
两种正多边形的平面镶嵌公式：
xm+yn=360
如果m 、n 没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。
如果有，则可以平面镶嵌，m, n 分别表示每种正多边形的个
数，x, y分别表示每种正多边形的一个内角的度数。
七、三种正多边形的平面镶嵌
① 正三角形、正方形和正六边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正六边形
60n+90m+120i=360
2n+3m+4i=12
n=(12-3m-4i)/2
n= 1
m = 2
设有n个正三角形，m个正方形，i个正十二边形
i = 1
正三角形、正方形和正十二边形
60n+90m+150i=360
2n+3m+5i=12
n =(12-3m-5i)/2
n =2
m=l
正方形、正六边形和正十二边形
设有n个正方形，m个正六边形，i个正十二边形90n+120m+150i=360
n = (12-5i-4m)/3 n =1 m=l
i=l。