多边形的平面镶嵌.doc
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌（教案练习）
沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌教学设计
课题19.4多边形的镶嵌单元第19章= 学科数学年级八年级下
学习目标【知识与技能】
了解镶嵌的数学思想及其应用．
【过程与方法】
经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；
【情感态度与价值观】
通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．
重点镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．
难点怎样进行镶嵌．
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
导入新课师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。
师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙
吗？是否重叠？
师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪
些共同特点？认真观察，积
极思考并回答
问题，
通过生活场景
到新课，
讲授新课师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区
域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在
几何里叫做平面镶嵌。平面镶嵌也叫密铺。
师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不
重叠
师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及
任意多边形进行平面镶嵌，
探究一：
师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组
为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、
正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面
图案?
（1）正三角形能平面镶嵌吗？
师：请问在拼接点处角度之和为多少？
正三角形能平面镶嵌
（2）正方形能平面镶嵌吗？认真思考以及
描述定义，
在老师的引导
下认真思考，
积极探索平面
镶嵌的有关内
容
学生拿手中正
综合与实践多边形的镶嵌
2.在每个拼接点处有_四__个角，而这__四_个
角的和恰好是这个四边形的四个内角之
倍 速
_和__,也就是它们的和为__3_6_0.
课 时
º
学
练
开县德阳中学
教师
上面我们讨论的一般三角形和四
边形都可以平面镶嵌，因为三角
形的内角和是180°，四边形内
角和是360°它们的内角和是整
倍 速 课
数倍都是360°，那么其它的一
练
一个顶点周围 正多边形的个 数
6
4
3
开县德阳中学
教师
还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这
种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，
在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°
，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的
每个内角都是120°，这三种多边形的一个内
角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每
倍 速 课 时 学 练
开县德阳中学
教师
结论1： 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有
正三角形，正四边形，正六边形.
结论2:
用一种形状、大小完全相同的三角形、四边 倍 形也能进行平面镶嵌
速 课 时 学 练
开县德阳中学
2.在每个拼接点处有_六__个角，而这_六__个角
的和恰好是这个三角形的内角和的_两__倍，
正多边形的平面镶嵌
正多边形的平面镶嵌
在用正多边形进行平面镶嵌时，设一个顶点处有边数分别为n 1、n ２、n ３、…n m 的正多边形， 令3≤n 1≤n ２≤n ３≤…≤n m ，则
31≥11n ≥21n ≥31n ≥…≥m
n 1。 根据平面镶嵌定义得：
1
01180)2(n n ∙-＋202180)2(n n ∙-＋30
3180)2(n n ∙-＋…＋m m n n 0180)2(∙-＝0360，
整理为：
11n ＋21n ＋31n ＋…＋m
n 1
＝22-m ，∴3m ≥22-m ，∴m ≤6,又22-m ＞0，即m ＞2,
∴2＜m ≤6，∴正整数m ＝3，4，5，6 ⑴ m ＝3时，
13n ≥11n ＋21n ＋31
n ＝21，∴n 1≤6, ∴n 1＝3，4，5，6， （ⅰ）n 1＝3时，
22n ≥21n ＋31n ＝61，∴n 2≤12，又2
1
n ＜61，即n 2＞6，
∴n 2＝7， 8， 9，10， 11， 12
∴n
＝42，24，18，15，分数，12 (ⅱ) n 1＝4时，
22n ≥21n ＋31n ＝41，∴n 2≤8，又
21
n ＜41，即n 2＞4
∴n 2＝5， 6， 7， 8 ∴n 3＝20，12，
28
，8
(ⅲ) n 1＝5时，
22n ≥21n ＋31
n ＝10
3，∴5≤n 2≤320，
∴n 2＝ 5， 6，
∴n ＝10，7.5，
（ⅳ）n 1＝6时，22n ≥21n ＋31n =3
1，∴6≤n 2≤6， ∴n 2＝6 ∴n
＝6
⑵ m ＝4时，
14n ≥11n ＋21n ＋31n ＋4
1n ＝1,∴3≤n 1≤4, ∴n 1＝3，4， （ⅰ）n 1＝3时，
平面镶嵌的条件
平面镶嵌的条件
平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。在计算过程中，凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。
在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
多边形的平面镶嵌.doc
多边形的平面镶嵌
郝易18号一、1.概念：
从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。
2.正n边形的镶嵌：
可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180+n度。若（n・2）*180+n能整除360,那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。
由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边
形可以进行镶嵌。
二、三角形的平面镶嵌因为三边
形四个角和为180度。所以只要
把不同的角往一个点
凑，这样两个就可以进行平面镶
嵌。
三、四边形的平面镶嵌因为四
边形四个角和为360度。所以只
要把不同的角往一个点
凑，就可以进行平面镶嵌。
四、五边形的平面镶嵌
设在一个顶点处，有n个角。若n > = 4 , 4 * 108 > 360 , 不能平面镶嵌。
若n <4 , 3 * 108 < 360 ,不能平面镶嵌。
由此得出：五边形不能平面镶嵌。
五、六边形的平面镶嵌
正六边形一个角的度数为120度。120\360, 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：
对边相等的六边形也可以平面镶嵌:
六、两种正多边形的平面镶嵌
①正三角形和正方形
设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360
正八边形
n 个
m=6-2n n =2,1 m=2,4
③正方形和正八边形 设需要用正方形m 个,
90m+135n=360 2m+3n=8 m=(8-3n)/2 n =2 m =1
多边形镶嵌
《多边形的镶嵌》教学设计
陆青凤
一、设计背景
本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教材背景是学生刚学完多边形内角和与外角和、正多边形等知识。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题，让学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，加深对相关知识的理解，提高思维能力。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。
二、教学目标
根据新课程标准的要求，教学内容的特点以及八年级学生的认知水平,特制订以下教学目标。
（一）知识与技能目标：
1、使学生掌握平面镶嵌的条件；
2、能运用两种常见的正多边形进行简单的镶嵌设计。
（二）过程与方法目标：
1、经历探索正多边形镶嵌条件的过程，训练学生的合情推理能力；
2、通过平面图形的镶嵌活动，培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感与态度目标：
1、使学生体会数学知识与现实生活的密切联系；
2、通过合作学习培养学生团结协作的精神；
3、通过拼图和图片欣赏增强学生的审美意识。
三、教学重点、难点及关键
本课题学习需要学生通过观察图片和动手操作来感知概念，进而探索用一种或两种正多边形能够镶嵌的规律。鉴于八年级学生的认知水平和理解能力，我将确定以下重、难点，采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点。
多边形的镶嵌
探究多边形的镶嵌
人大附中 陆剑鸣 100080
用一些多边形既不重叠又无空隙地将平面完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形镶嵌平面（或覆盖平面）问题.
依照这个镶嵌的定义，在一点处能够进行多边形镶嵌的条件是：这一点处各多边形内角和为360°，各多边形的边长相等.
下面我们从特殊到一般，从简单到复杂对“多边形镶嵌”问题进行一些初步的探究，能得到什么结论并不重要，重要的是在探究过程中体会提出问题和解决问题的方法. 从最特殊情况入手，探究以一种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题1.
问题1：哪些正多边形能够单独进行平面镶嵌呢？
由于一点处各内角和为360°，所以考虑正多边形内角是360°的倍数的情况，进而得出以下结论：
结论1：在一点处用6个正三角形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（3，3，3，3，3，3）表示.即用正三角形（等边三角形）可以平面镶嵌，如图1所示；
结论2：在一点处用4个正四边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（4，4，4，
4）表示，即用正四边形（正方形）可以平面镶嵌，如图2所示；
结论3：在一点处用3个正六边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（6，6，6）表示，如图3所示.
只有以上三种正多边形可以平面镶嵌吗？其它的正多边的情况又如何呢？由此提出问题2.
问题2：除正三、正四、正六边形外，其它正多边形能不能镶嵌平面呢？请你说明理由. 结论4：正五边形不能单独镶嵌平面，这是因为若在一点处摆放3个正五边形，那么一点处内角和为1083324360︒⨯=︒<︒，若在一点处摆放4个正五边形，那么一点处内角和为1084432360︒⨯=︒>︒，如图4所示；
多边形及平面镶嵌讲义.doc
多边形&平面镶践
我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看.
3、用两种或两种以上的正多边形拼地板问题
我们已经知道，有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.
【习＜14 5依】
_、选择题：
Ln边形所有对角线的条数是（）
，啰
2.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（
B. 2k+l
C. 2k+2
D. 2k-2
3.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是2520°,那么原多边形的顶点数为（
4.下列命题中，正确的有（）
%1没有对角线的多边形只有三角形
%1内角和小于外角和的多边形只有三角形
%1边数最少的多边形是三角形
%1三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5.某中学新科技馆铺设地面，己有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）
A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形
6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）
A正方形B矩形C正八边形D正六边形
7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（）边形.
A.三B、五C、六D、八
多边形的镶嵌精品课件详解演示文稿
第13页，共45页。
同一种任意三角形的镶嵌
1
3
1
3
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
3
1
3
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
1
2
第14页，共45页。
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
①请尝试用你准备的全等三角形进行镶嵌
!同一种任意三角形可以镶嵌。
②请尝试用你准备的四边形进行镶嵌!
能密铺的图形在一个拼接
点处的特点：
各角之和等于360º,
第32页，共45页。
正多边形边数 3 4 5 6 7 ``` n
正多边形内角和 180 0 360 0 540 0 720 0 900 0 (n2)1800
正多边形每个 内角的度数 60 0
90 0
108 0
120
0
128.60
(n 2)1800 ``` n
第8页，共45页。
探究一
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
第9页，共45页。
正三角形
第10页，共45页。
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60°
多边形的镶嵌
(2)任何多边形的外角和为3600
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
…… 正n边形
内角和度数 一个内角度数
180°
60°
360°
90°
540°
108°
720°
120°
……
……
(n-2)×180°
n-2 n
×180°
好漂亮的地板! 铺设地板时要注意什么？
定义
什么叫做“平面镶嵌”呢?
用形状相同或不同的平面封闭图形覆盖 平面，使图形间既无缝隙又不重叠地全 部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌.
那么他该从哪 方面搞创新呢？
现学现用：
老王是石马村办企业 西湖地砖厂的厂长，他 发现市场上，用来单一 拼图的正多边形地砖只 有三种：正三角形、正 方形、正六边形。他想 搞个创意，设计形状为 正五边形的地砖推向市 场。你认为他的想法好 吗？市场前景如何？
练一练
1、用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹 配的正多边形是（ ） (A)正四边形 (B)正六边形 (C)正十二边形 (D)正十八边形
用全等的任意三角形可以单独镶嵌吗？
1
3
1
2
1
3
2
2
1
3
2
1
3
3
1
3
2
1
3
2
2
多边形镶嵌
拼一拼 选一选
小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形,正 六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择?
用边长相同的正三角形能否镶嵌？ 结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌
用边长相同的正方形能否镶嵌？ 结论：用边长相同的正方形可以镶嵌
用边长相同的正五边形能否镶嵌？
13 2
不可以镶嵌
用边长相同的正六边形能否镶嵌？
为（ C ）
A、120 0
B、90 0
C、60 0
D、450
4、 下列正多边形的组合中 , 不能镶嵌的是 ( D )
A. 正方形和正三角形
B. 正方形和正八边形
C. 正三角形和正十二边形 D. 正方形和正六边形
课堂小结
1、什么是镶嵌？ 2、多边形镶嵌条件：
多边形拼接在同一个点的各个角的和 恰好等于360度
思考二：
能否用两种或者两种以上的 平面图形进行镶嵌呢?
正三角形和正方形能否镶嵌呢？
小组讨论：
用正三角形，正六边形可否组合在 一起进行平铺镶嵌？说明理由。
如果用正三角形，正八边形呢？
如果用正三角形，正方形，正六边形 三种图形呢？
用多种正多边形进行镶嵌： 与用同一种正多边形作平面镶嵌的原理相同，即
结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
能用相同的正多边形镶嵌的只有正三角 形、正四边形和正六边形三种，而其他 的正多边形不可镶嵌．
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多边形的平面镶嵌
郝易18号一、1.概念：
从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。
2.正n边形的镶嵌：
可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180+n度。若（n・2）*180+n能整除360,那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。
由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边
形可以进行镶嵌。
二、三角形的平面镶嵌因为三边
形四个角和为180度。所以只要
把不同的角往一个点
凑，这样两个就可以进行平面镶
嵌。
三、四边形的平面镶嵌因为四
边形四个角和为360度。所以只
要把不同的角往一个点
凑，就可以进行平面镶嵌。
四、五边形的平面镶嵌
设在一个顶点处，有n个角。若n > = 4 , 4 * 108 > 360 , 不能平面镶嵌。
若n <4 , 3 * 108 < 360 ,不能平面镶嵌。
由此得出：五边形不能平面镶嵌。
五、六边形的平面镶嵌
正六边形一个角的度数为120度。120\360, 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：
对边相等的六边形也可以平面镶嵌:
六、两种正多边形的平面镶嵌
①正三角形和正方形
设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360
正八边形
n 个
m=6-2n n =2,1 m=2,4
③正方形和正八边形 设需要用正方形m 个,
90m+135n=360 2m+3n=8 m=(8-3n)/2 n =2 m =1
两种正多边形的平面镶嵌公式：
xm+yn=360
如果m 、n 没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。
如果有，则可以平面镶嵌，m, n 分别表示每种正多边形的个
数，x, y分别表示每种正多边形的一个内角的度数。
七、三种正多边形的平面镶嵌
① 正三角形、正方形和正六边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正六边形
60n+90m+120i=360
2n+3m+4i=12
n=(12-3m-4i)/2
n= 1
m = 2
设有n个正三角形，m个正方形，i个正十二边形
i = 1
正三角形、正方形和正十二边形
60n+90m+150i=360
2n+3m+5i=12
n =(12-3m-5i)/2
n =2
m=l
正方形、正六边形和正十二边形
设有n个正方形，m个正六边形，i个正十二边形90n+120m+150i=360
n = (12-5i-4m)/3 n =1 m=l
i=l