求一个数的n次方根
根式的知识点总结
根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。
如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。
根式也可以表示为a的1/n次方。
二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。
2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。
3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。
4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。
三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。
具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。
2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。
3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。
化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。
四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。
具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。
例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。
例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。
例12求1的 n 次方根,并讨论根在复 平面单位圆周上的位置
【解】 此不等式所代表的区域是焦点在 z = 1 和 z = −2 上，长半
5 轴为 的椭圆内部，为有界单连通闭区域. 2
10
定义
复变函数
设 D 是一个复数 z = x + iy 的集合，若对每一个 z ∈ D ，按 照一定的法则，总有一个或几个复数 w = u + iv 与之对应，则 称复变量 w 为复数 z 的复变函数，记为： w = f ( z ) . 其中 D 称为 f ( z ) 的定义域， w 的全体所构成的集合称为 函数 f ( z ) 的值域，记为 f ( D ) = {w | w = f ( z ), z ∈ D} ，把 z 称为函数的自变量， w 称为因变量.
有界。
18
复球面与全平面
复球面的北极 N 与平面上一个模为无穷大的假想点相 对应, 这个假想点称为无穷远点, 记为∞。复平面加上点∞ 后, 称为扩充平面或者闭平面和全平面。原来的复平面又 19 称为开平面。
闭平面上的几个概念
无穷远点的邻域： 在闭平面上，无穷远点的邻域应理解为以原点 为圆心的某圆周的外部，即 ∞ 的 ε-邻域是指合乎条件 z > 点集。
例 1.2 求1的 n 次方根，并讨论根在复 平面单位圆周上的位置.
【解】 1 的 n 次方根有 n 个， 设第 k 个方根为 wk， 易得： wk = 1 = e
n i 2 kπ n
, k = 0," n − 1.
讨论：当 n = 1 时，实轴上一点（单位圆与实轴正 。 向的交点 w1 = 1） 。 n = 2，单位圆和实轴的两个交点（ w0,1 = 1, − 1. ） n ≥3, 1 的 n 次方根对应于单位圆内接正 n 边形的顶 点（其中一个点是 w0 = 1） 。
幂运算与根号运算规则
幂运算与根号运算规则幂数和指数是幂运算的两个关键概念。
在数学中，幂运算是指将一个数乘以自身多次的运算。
而根号运算则是在幂运算的基础上，寻找某个数的平方根、立方根等运算。
在学习幂数和指数的同时，我们也需要掌握正确的幂运算和根号运算规则，以便在解题过程中能够准确地进行计算。
一、幂数的运算规则1. 相同底数幂相乘时，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
这个规则可以通过展开式的方式进行理解，即 a^m * a^n = (a * a* ... * a) * (a * a * ... * a)，其中 a 乘以自身重复了 m+n 次。
2. 幂数相除时，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
这个规则可以通过 a 乘以自身重复了 m 次，除以 a 乘以自身重复了 n 次的方式理解。
3. 幂的指数乘方时，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
这个规则可以通过将(a^m)^n 展开，再应用第一条规则进行计算。
4. 幂的乘方时，幂数不变，指数相乘。
例如，(a*b)^n = a^n * b^n。
二、根号的运算规则1. 平方根运算。
平方根定义为一个数的平方等于该数本身，记作√a = b，其中 b^2 = a。
平方根运算的性质有：- 平方根运算与幂运算互为逆运算：(√a)^2 = a。
- 非负实数都有两个平方根：正数和相反数的平方根相同。
2. n 次方根运算。
n 次方根定义为一个数的 n 次方等于该数本身，记作 a^(1/n) = b，其中 b^n = a。
n 次方根运算的性质有：- n 为奇数时，所有实数都有唯一一个 n 次方根。
- n 为偶数时，非负实数有唯一一个 n 次方根，而负实数没有实数根。
三、幂运算与根号运算的综合应用在实际应用中，我们经常会遇到需要将幂运算和根号运算结合使用的情况，例如：1. 幂的开方运算。
求一个数的平方根可以使用幂运算和根号运算相结合的方法。
笔算n次方根和笔算正余切值方法
徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
初中数学八年级《n次根式》
）。
4、逻辑排除法 例5、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形一
三、数形结合法
由已知条件作出相应的图形，再由图形的直观性得出正确 的结论。
例6.直线y=-x-2 和y=x+3 的交点在第（ ）象限。
A. 一
B. 二
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，最省事的办法是 （ ）。 A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去
③ ② ①
2.特殊值排除法 例3、已知：a＜b，则下列各式中正确的是（ ）。 A、a＜—b B、a-3＞b-8 C、a2＜b2 D、-3a＞-3b
3、逐步排除法 例4、能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ A、AB=CD、∠B=∠D B、∠A=∠B、∠C=∠D C、AB∥CD、AD=BC D、AD∥BC、AD=BC
方 根
的
性
1. = a , a≥0
质
a , n为奇数 2. = , n为偶数
是 什 么
？
3.
(a≥0,m、n、p
是正整数且n、p＞1)
二次根式的基本性质
1 a 2 a, a 0
2
a2
a
a, a 0 a, a0
3 a b a b (a 0, b 0)
≥0，此时- 也是f(x)的n次方根。即此时 f(x)有两个n次方根，它们互为相反数。
常数的根号n次方的极限
常数的根号n次方的极限我们可以从数学公式的角度来分析常数的根号n次方的极限。
假设我们有一个常数a，我们想求其根号n次方的极限。
根据极限的定义，我们可以得到如下结果：lim (n→∞) a^(1/n)其中，lim表示极限，n→∞表示n趋向于无穷大，a^(1/n)表示a 的根号n次方。
通过对这个极限进行推导和计算，我们可以得到极限的结果。
不过，由于要求不能输出公式，我们就不展开具体的计算过程了。
我们可以从几何图形的角度来理解常数的根号n次方的极限。
考虑一个以原点为中心、半径为a的圆，我们可以将其划分为无数个扇形，每个扇形的弧度为1/n。
当n趋近于无穷大时，这些扇形将越来越接近于一个正多边形。
而常数的根号n次方的极限就是这个正多边形的边长。
这个边长可以通过数学方法计算得到，但我们在这里不做具体展开。
我们还可以从实际问题的角度来思考常数的根号n次方的极限。
举个例子，假设我们想求解一个复利计算问题。
复利是一种利息计算方式，其中利息会按照一定的利率周期性地累积。
而常数的根号n 次方的极限可以用来描述复利计算中的收益增长速度。
当n趋近于无穷大时，常数的根号n次方的值将趋近于复利计算中的收益增长速度的极限。
我们可以从数值逼近的角度来理解常数的根号n次方的极限。
假设我们已经得到了一个数的近似值，并希望通过不断取平方根的方式来逼近其真实值。
常数的根号n次方的极限可以告诉我们，当我们不断取平方根的次数趋近于无穷大时，我们最终可以得到这个数的真实值。
常数的根号n次方的极限是一个非常有意思的数学问题。
无论是从数学公式、几何图形、实际问题还是数值逼近的角度来思考，我们都可以得到不同的视角和结论。
希望通过这篇文章的探讨，读者能对常数的根号n次方的极限有一个更深入的理解。
开根号怎么算
开根号怎么算
开根号就像求一个数的几次方的反义词一样，比如3的2次方是9，那么9开根号2就是3。
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。
而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。
如化简√1024，因为1024=2^10,所以。
√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a
是b的1/n次方。
开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的
区域中，而且不能出界。
次方根的公式
次方根的公式次方根这个概念啊，在数学里那可是相当重要！咱们先来说说啥是次方根。
比如说，2 的 3 次方等于 8，那么 2 就是 8 的三次方根。
这就好比你有一堆积木，摆成一个大的正方体需要 8 块，那每一条边上的积木数量 2 就是这个大正方体的三次方根。
再比如，9 的平方根是 3 和 -3 。
这就像你有 9 个苹果，要平均放在两个篮子里，每个篮子里要么放 3 个，要么放 -3 个（当然啦，现实中苹果个数不能是负数，咱们这只是数学上的说法）。
次方根的公式有不少呢。
对于正数 a 的 n 次方根，当 n 为偶数时，它有两个，分别是正负的 n 次根号下 a ；当 n 为奇数时，就只有一个 n 次根号下 a 。
这就好像是走迷宫，偶数次的时候有两条路能走，奇数次的时候就只有一条路。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子呀，刚开始学次方根的时候，那叫一个迷糊。
有一次做作业，题目是求 16 的四次方根。
他居然给我写了个2 就交上来了。
我问他怎么想的，他挠挠头说：“老师，我以为四次方根就是两个数相乘四次得到 16 就行。
”我一听，乐了，这孩子把概念完全搞混啦。
我就给他耐心地解释：“小李呀，16 的四次方根，就像是要找四个一样的数相乘能得到 16 ，那可不止 2 哦，还有-2 呢。
”我一边说，一边在纸上给他比划，“你看，2 的四次方是 16 ，（-2）的四次方也是 16 呀。
”经过这么一番细致的讲解，小李终于恍然大悟，后来再遇到这类题目，就很少出错啦。
在解题的时候，次方根的公式可得用对咯。
比如说，要化简根号下16 ，这其实就是求 16 的二次方根，那答案就是 4 。
可要是根号下 256 呢？这就是求 256 的二次方根，答案就是 16 。
还有啊，在方程里次方根也经常出现。
比如 x 的平方等于 4 ，那 x 就等于正负 2 ，这里面就是用到了 4 的平方根。
总之，次方根的公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多琢磨，就一定能把它拿下！就像小李同学一样，刚开始迷糊，后来通过努力不也搞明白了嘛！相信大家都能在数学的海洋里畅游，把次方根的知识运用得得心应手！。
整数幂与根式的计算
整数幂与根式的计算在数学中，整数幂和根式是基础而重要的运算概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，包括代数、几何和物理等。
本文将详细介绍整数幂和根式的计算方法，并以例子进行说明。
一、整数幂的计算方法整数幂是指一个数的自乘积的运算，它具有以下特点：1. 正整数幂：一个数的正整数幂是将这个数连续自乘若干次所得的结果。
例如，2的3次方表示为2³，即2 × 2 × 2 = 8。
2. 负整数幂：一个数的负整数幂是该数的倒数的正整数幂。
例如，2的-2次方表示为2⁻²，即1 / (2 × 2) = 1 / 4。
3. 零次幂：任何数的零次幂都等于1。
例如，2的0次方表示为2⁰，即1。
整数幂的计算可以利用幂运算法则简化计算过程。
幂运算有以下几个基本法则：1. 幂的乘法法则：a的m次方与a的n次方的乘积等于a的m+n次方。
例如，2的3次方 × 2的4次方等于2的(3+4)次方，即2^3 × 2^4 =2^7。
2. 幂的除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。
例如，2的4次方除以2的3次方等于2的(4-3)次方，即2^4 ÷ 2^3 =2^1。
3. 幂的幂法则：a的m次方的n次方等于a的m×n次方。
例如，(2的3次方)的2次方等于2的(3×2)次方，即(2^3)^2 = 2^6。
二、根式的计算方法根式是指一个数的开平方或开立方等运算，它具有以下特点：1. 平方根：一个数的平方根是指该数的一个非负数的平方等于这个数。
例如，√4 = 2，因为2 × 2 = 4。
2. 立方根：一个数的立方根是指该数的一个数的立方等于这个数。
例如，³√8 = 2，因为2 × 2 × 2 = 8。
3. n次方根：一个数的n次方根是指该数的一个数的n次方等于这个数。
例如，⁴√16 = 2，因为2 × 2 × 2 × 2 = 16。
常数开n次根号的极限
常数开n次根号的极限以常数开n次根号的极限为题，我们先来了解一下极限的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋于某个值或趋于无穷大的过程。
常数开n次根号的极限即为当一个常数不断开n次根号时，这个过程中的极限值。
我们来考虑一个简单的例子，即常数开2次根号的极限。
假设有一个常数a，我们要求这个常数的开2次根号的极限。
即求lim （n→∞）√(a^n)。
在这个问题中，我们可以使用数列的极限来求解。
我们可以构造一个数列an = √(a^n)，即将常数a的n次方根作为数列的元素。
当n趋近于无穷大时，我们可以观察数列的变化趋势。
当a>0时，随着n的增大，an的值会趋近于1。
这是因为任何一个正数的平方根都是小于它本身的，所以随着n的增大，an的值会趋近于1。
当a=0时，an的值始终为0，即an = 0。
所以当a=0时，常数开2次根号的极限为0。
当a<0时，由于负数的平方根是虚数，所以常数开2次根号的极限不存在。
接下来，我们来考虑常数开n次根号的极限。
假设有一个常数a，我们要求这个常数的开n次根号的极限。
即求lim（n→∞）√(a^n)。
在这个问题中，我们可以仍然利用数列的极限来求解。
我们可以构造一个数列an = √(a^n)，即将常数a的n次方根作为数列的元素。
当n趋近于无穷大时，我们可以观察数列的变化趋势。
当a>0时，随着n的增大，an的值会趋近于1。
这是因为任何一个正数的n次方根都是小于它本身的，所以随着n的增大，an的值会趋近于1。
当a=0时，an的值始终为0，即an = 0。
所以当a=0时，常数开n 次根号的极限为0。
当a<0时，由于负数的n次方根是复数，所以常数开n次根号的极限不存在。
常数开n次根号的极限可以归纳为以下情况：- 当常数a>0时，常数开n次根号的极限为1；- 当常数a=0时，常数开n次根号的极限为0；- 当常数a<0时，常数开n次根号的极限不存在。
七年级数学-12.4 n次方根
知识归纳：1) 当n 为偶数时，a 的n 次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a 的偶次方根；正数a 有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a ”；其中n a 为a 的正偶次方根，也叫做算术偶次方根； a 叫被开方数，n 为根指数；读作“n 次根号a ”.0的偶次方根等于0，n 0±=0；负数没有偶次方根（即当a<0时，n a 无意义）.2)当n 为奇数时，a 的n 次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a 的奇次方根；记作： n a ”，a 叫被开方数，n 为根指数；“n a ”读作“n 次根号a ”.任意实数a 的奇次方根都存在，并且与a 有相同的正负性.课堂练习：一、填空1、一个正数的偶次方根有 2 个；一个数的奇次方根有 2 个，零的偶次方根是 0 ，零的奇次方根是 0 。
2、零的五次方根是 0 ，1的六次方根是 ±1 ，32的五次方根是 2 ，64的六次方根是 ±2 。
3、计算= ±3 ，= 1 ，= 1/2 ，= 0.2 。
4、如果(a 0,)n x a n =≥是偶数，那么x = ±二、选择题1、在实数范围内，下列运算不是总能进行的是( D )。
A. 立方B. n 次方C. 开奇次方D.开偶次方 2、下列各式无意义的是( D )。
A. B.C. D.3(C )。
A. a 的正的n 次方根B.a 的n 次方根C.当0a ≥时，表示a 的正的n 次方根D.当0a ≤时，且n 为奇数时，表示a 的n 次方根4、下列计算正确的是(C )。
2=± 2== 12= D.()2233=-二、计算1)直接写出答案1 2、 3 41、1/2 2、-33、 34、|n|2)用计算器，求近似值（保留三位小数）：(1) 48600； (2) 568.15-. 解：(1)48600≈9.630.(2) 568.15-≈-1.734.3)(1)求-24332的5次方根；(2)求（-8）2的6次方根. 解答：(1)3232243325555-=-=-；(2)22)8(6662±=±=-±.。
七年级(下) n次方根
一、 乘方的运算：
2 2 4 平方： 2 2 、 、 3 立方： 23 、 33 、43 n次方(n是大于3的整数)： 2n 、 3n 、 4n 二、 开平方与开立方： 开平方： 4 、 16 、 64 3 3 开立方： 3 8 、 27 、 64 三、 逆运算： 平方 开平方 、立方 开立方 n次方 ？
6
= 64 ,
-64 ; = (-2) 64 , 那么x = ±2 ;
6
(2)
34 = 81 , (3) 4 = -81 ; 如果 y 4 = 81 , 那么 y = ±3 ;
2 -27 ; = ( 3 ) 3 如果 z 2 = 9 , 那么 z =
2
(3)
= 27 ,
±3;
结论2：
1. 正数a的偶次方根有两个，它们互为相 n 反数，正n次方根用“ a ” 表示，负n 次 -n a 方根用“ ”表示，其中被开方数 naa ＞ 0，根指数n是正偶数(当n=2时，在 中省略n). 2. 负数的偶次方根不存在.
第十二章 第4节：n次方根
我们将平方根和立方根的概念加以推广： 1. n次方根的定义：如果一个数的n次方(n是大于1的整数) 等于a，那么这个数叫做a的n次方根； 其中，当n=2时，这个数叫做a的平方根； 当n=3时，这个数叫做a的立方根；
2. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开 方数，n叫做根指数；用符号如何表示？ 3. 有时n次方根简称“方根”；开n次方简称“开方”；
例题1：
32 2 (1) 求 的 5 次方根：243 3
(2) 求(-8)² 的 6 次方根： 2 (3) 求 625 的4次方根： 5
7
= 128 ,
n次方根与实数的运算(学生版)
高一数学寒假课程n 次方根与实数的运算（学生版） 1 / 14 初一数学暑假课程高一数学寒假课程n 次方根与实数的运算（学生版） 2 / 14 初一数学暑假课程 初一数学暑假班（学生版）一、n 次方根1、★如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。
★当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。
★求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
2、实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示。
其中被开方数a 是任意一个数，根指数n 是大于1的奇数。
正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“-na ”表示。
其中被开方数a >0，根指数n 是正偶数（当n=2时，在±na 中省略n ）。
负数的偶次方根不存在。
零的n 次方根等于零，表示为n 0=0。
二、用数轴上的点表示实数1、数轴上的每一个点都可以用唯一的一个实数来表示，全体实数所对应的点布满整个数轴。
n 次方根与实数的运算知识梳理2、绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a的绝对值记作a。
3、相反数：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是a-。
4、实数的绝对值表示：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
5、负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。
实数的大小比较方法⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩利用数轴直接法近似估计放缩法间接法分母有理化作商或作差比较三、实数的运算：1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
复数的n次方根公式证明方法
复数的n次方根公式证明方法怎么推导复数的n次方根公式如何求复数的n次方根，复数系z的n次方的根【怎么推导复数的n次方根公式如何求复数的n次方根，复数系z的n次方的根】任何复数都可以表示为z=abi 。
若a= cos ， b= sin ，则复数可表示为平面上的向量，其中为向量长度(复数中称为模) ，为向量角度(复数中称为辐条角) ，即z=cos sin ， z= e(I)可由欧拉公式求得。
注意一个向量比一个向量好。
当z(1/n)= (1/n) * e[I(2k)/n] ， k=0 ， 1 ， 2 ，3 … n-1 ， n ，n^ 1…， k=n 时，支一与k=0的值相同。
先把复数转换成以下形式：z= cossin= e[I(2k) ， z(1/n)= (1/n) * e[I(2k)/n] ， k取0到n-1 。
注意：你必须掌握的是转换成三角形。
开二次也可以用解方程的一般方法， abi=(xyi)^2) 2 ，来解一个二元二次方程组。
扩展数据1 。
加减法规则。
复数的加法是按照以下规则进行的：设z1=abi ， z2=cdi为任意两个复数，那么它们的和为， (abi) (cdi)=(ac) (bd) i.两个复数的和仍然是一个复数，它的实部是原两个复数的实部之和，它的虚部是原两个虚部之和。
复数加法满足交换律和结合律的域导，即任意复数z1 ， z2 ， z3有3360 ， z1 z2=z2 z1 ， (z1 z2) z3=z1 (z2 z3).2.复数的减法按以下规则进行：设z1=abi ， z2=cdi为任意两个复数，它们的差为(abi)-(cdi)=(a-c) (b-d) i.两个复数之差仍为一个复数，其实部为原两个复数之差，其虚部为原两个虚部之差。
【怎么推导复数的n次方根公式如何求复数的n次方根，复数系z的n次方的根】任何复数都可以表示为z=abi 。
若a= cos ， b= sin ，则复数可表示为平面上的向量，其中为向量长度(复数中称为模) ，为向量角度(复数中称为辐条角) ，即z=cos sin ， z= e(I)可由欧拉公式求得。
根号式的计算方法
根号式的计算方法（原创实用版3篇）篇1 目录1.引言：介绍根号式的计算方法的重要性和必要性2.根号式的基本概念：定义和符号3.根号式的计算方法：平方根、立方根和 n 次方根的计算4.根号式的性质：根号内的数值、正负性、乘法和除法规则5.实际应用：根号式在数学、物理和工程等领域的应用案例6.结论：总结根号式的计算方法和性质的重要性和应用价值篇1正文根号式的计算方法是数学中一个重要的领域，它在解决许多实际问题中都发挥着重要的作用。
了解和掌握根号式的计算方法，对于提高我们的数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下根号式的基本概念。
根号式是用来表示一个数的平方、立方或其他高次幂的符号，通常用根号符号“√”表示。
例如，如果我们说一个数的平方根，就是指这个数的二次方根，用数学符号表示就是√x。
同样，一个数的立方根就是指这个数的三次方根，用数学符号表示就是√x。
在了解了根号式的基本概念后，我们来看一下根号式的计算方法。
平方根的计算方法是通过开平方，即将一个数不断平方直到得到所需的数值。
例如，9 的平方根就是 3，因为 3等于 9。
立方根的计算方法是通过开立方，即将一个数不断立方直到得到所需的数值。
例如，27 的立方根就是 3，因为 3等于 27。
对于 n 次方根，我们可以使用类似的方法，即将一个数不断 n 次方直到得到所需的数值。
除了计算方法外，根号式还有一些重要的性质。
首先，根号内的数值必须是非负的，因为任何数的平方都是非负的。
其次，根号式的正负性由根号内的数值决定。
例如，√9 和√(-9) 分别表示正 3 和负 3。
此外，根号式还满足乘法和除法规则，即√a ×√b = √(ab) 和√a ÷√b = √(a/b)。
最后，让我们来看一下根号式在实际应用中的案例。
在数学领域，根号式被广泛应用于代数、几何、微积分等学科。
在物理和工程领域，根号式也被广泛应用于计算物体的速度、加速度、位移等物理量。
1.2.1《n次方根 》-根式的概念-高职数学
当 n 为偶数时， n an = | a | =
a (a≥0)
－a (a＜0)
P11-13 习题 1-2
则 －5 是 －125 的三次方根（立方根）; (3) 6 4 = 1 296，
则 6 是 1 296 的 4 次方根．
结论：
(1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数．
记作 x = n a
(2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个（互为相反数）．
记作 x = ± n a
练习：求值
（2）x2 144 解：因为（12）2 144，所以x 12
（1））4 54
（4）(5)2
1．方根：x n = a（ n ＞ 1，n N ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
2．根式
n a 叫做根式，n 叫根指数，a叫做被开方数.
根式的性质：
(1) ( n a ) n = a．
1.2.1 根式的概念
一、根式 1．n次方根
一般地，若 x n = a（ n ＞ 1，n R ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
例如： (1) 3 2 = 9 ，
则 3 是 9 的二次方根（平方根）； (－3) 2 = 9，
则 －3 也是 9 的二次方根（平方根）； (2) (－5) 3 = －125，
根式的性质：
(2) 当 n 为奇数时， n an = a； 当 n 为偶数时， n an = | a | =
例如
a (a≥0)
－a (a＜0)
3 (2)3 = －2； 4 34 = 3；
5 25 = 2； (3)2 = 3．
n次方根(教案)
12.4 n次方根教学目标1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.教学重点1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.教学难点理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.教学过程设计一、问题导入1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？2．分析：设这个数为x，则可以建立方程x n=a，x叫做a的n次方根.3．小结：（1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方.二、问题探索1．求x：（1）x5=32，x= ，x5=-32，x= .（2）x4=16，x= ，x4=-16，x= .（3）x5=0，x= ，x4=0，x= .2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？3．知识归纳：（1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根；正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a”；其中n a为a 的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a 叫被开方数，n 为根指数；读作“n 次根号a ”.0的偶次方根等于0，n 0±=0；负数没有偶次方根（即当a <0时，n a 无意义）.（2） 当n 为奇数时，a 的n 次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a 的奇次方根；记作： n a ”，a 叫被开方数，n 为根指数；“n a ”读作“n 次根号a ”.任意实数a 的奇次方根都存在，并且与a 有相同的正负性. 4．例题分析： 1．（1） 求-24332的5次方根； （2） 求（-8）2的6次方根.解答：（1） 3232243325555-=-=-； （2） 22)8(6662±=±=-±. 【说明】（1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个；（2）求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数.2．用计算器，求近似值（保留三位小数）： （1） 48600； （2） 568.15-. 解：（1）48600≈9.630.（2）568.15-≈-1.734.【说明】注意精确度的意义，最后一位要四舍五入.三、练习反馈1．计算：3216；481；5243-；6281⎪⎭⎫⎝⎛-.2．用计算器，求下列各数的近似值（结果保留三位小数）：47859；51568-；0.3456的6次方根.四．拓展性问题1．若n为自然数，n2n2a=-a，a的取值范围是什么？2．5的n次方根是多少？五、课堂小结请填表：六、作业布置1 . 课本和练习册上的练习2 . 复习所学的知识3 . 预习新课教学设计说明1．n次方根的概念是平方根与立方根概念的拓展，类比平方根和立方根建立n次方根的概念既有助于对概念及其性质的理解，又能够在类比过程中加深对平方根与立方根概念的理解.通过类比得到数学概念还有利于学生数学知识和数学思维的建构.2．建立n次方根概念时，因为偶次方根与奇次方根的意义有所不同，因此可以类比平方根与立方根把n次方根分为偶次方根和奇次方根，并在此过程中渗透分类讨论数学思想.3．本节课的难点是：正数有两个相反的偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根，学生在理解时已经产生了困难，在解决问题时往往会遗忘对各类数的偶次方根的不同处理方法.要突破这个难点，对概念的深刻理解是关键，因此在教学时可以多花一点时间在概念的建立和理解上.当然，偶次方根与奇次方根的同步教学也可以让学生在对比中更易于理解并掌握两个概念.。
excel多次方根函数
excel多次方根函数Excel并没有内置的多次方根函数，但我们可以使用其他函数来实现这个功能。
以下是两种常见的方法：1. 使用幂函数幂函数可以计算一个数的指定次幂。
我们可以通过连续求解幂函数来获取多次方根。
例如，如果我们想计算一个数的3次方根，可以使用以下公式：```=数值^（1/3）```其中，数值是要计算的数。
如果想计算一个数的n次方根，可以替换指数1/3为1/n。
例如，要计算8的立方根，可以使用以下公式：```=8^(1/3)```计算结果为2。
2. 使用指数和对数函数指数和对数函数可以实现幂函数和对数函数的计算。
通过组合使用这两个函数，我们也可以获取多次方根。
例如，要计算一个数的n次方根，可以使用以下公式：```=EXP(LN(数值)/n)```其中，数值是要计算的数。
例如，要计算8的立方根，可以使用以下公式：```=EXP(LN(8)/3)```计算结果同样为2。
以上两种方法都可以实现多次方根的计算。
选择哪种方法取决于个人的偏好和需求。
无论使用哪种方法，都需要注意以下几点：- 对数函数LN的参数必须是正数，否则会返回错误值。
- 对于分数次方根，为了避免返回近似结果，可以使用根号符号表示次方根，如^(1/2)表示平方根。
- 对于负数次方根，可以使用复数函数IMPOWER来获取结果。
总结：Excel中没有内置的多次方根函数，但我们可以使用幂函数或指数与对数函数的组合来实现多次方根的计算。
无论使用哪种方法，都需要注意参数的取值范围和返回结果的精确性。
根号3开n次方根的极限
根号3开n次方根的极限根号3是一个无理数，它无法用两个整数的比来表示。
而开n次方根则是求一个数的n次方根，即找到一个数x，使得x的n次方等于被开方的数。
对于根号3开n次方根的极限问题，我们需要探讨当n趋近于无穷大时的情况。
在这种情况下，我们可以使用极限的概念来解决这个问题。
我们可以将根号3开n次方根表示为3的1/n次方。
根据极限的定义，当n趋近于无穷大时，3的1/n次方的极限就是根号3开n次方根的极限。
接下来，我们来求解极限。
可以利用数列极限的性质，将问题转化为数列的极限。
我们可以构造一个数列an，使得an等于根号3开n 次方根。
观察这个数列，我们可以发现随着n的增大，根号3开n次方根趋近于一个固定的值。
我们将这个固定值称为极限，用L表示。
为了求解这个极限，我们可以尝试通过数学推导来找到一个递推关系式。
假设当n=k时，an的值为ak。
我们可以利用这个递推关系式，将问题转化为更简单的形式。
当n=1时，根号3开n次方根为根号3。
因此，a1=根号3。
接下来，我们假设当n=k时，an的值为ak。
我们可以利用这个假设，来求解n=k+1时an的值。
根据我们的假设，an的值为ak。
我们可以将根号3开n次方根表示为3的1/n次方。
因此，ak可以表示为3的1/k次方。
接下来，我们来求解n=k+1时an的值。
根据我们的假设，an的值为ak。
我们可以将根号3开n次方根表示为3的1/n次方。
因此，ak可以表示为3的1/k次方。
根据指数运算的性质，我们知道3的1/k次方乘以3的1/k次方等于3的2/k次方。
因此，我们可以将ak乘以3的1/k次方得到ak+1。
我们得到了递推关系式an+1=ak乘以3的1/k次方。
通过这个递推关系式，我们可以不断地求解an的值，直到n趋近于无穷大时，an 的值趋近于一个固定值L。
接下来，我们来求解这个递推关系式的极限。
当n趋近于无穷大时，我们可以将an+1表示为an与3的1/k次方的乘积。
根据极限的性质，我们知道当n趋近于无穷大时，an与3的1/k次方的乘积的极限等于an的极限与3的1/k次方的极限的乘积。
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数值计算
探讨求解的几种方法
摘要
很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。
设非线性方程为
()0
m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。
对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。
一、算法设计
计算机配置
内存：2G
处理器主频：2.53GHz
MATLAB 版本：R2011b
1.1二分法
设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ∙<，则[,]a b 内有方程的根。
取[,]a b 的中点01()2
x a b =+，将区间一分为二。
若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。
若0()()0f a f x ∙<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；
若0()()0f a f x ∙>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。
不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。
对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。
如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套
11[,][,][,]n n a b a b a b ⊃⊃⊃⊃
由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为
1()2n n n
b a b a -=
-若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。
当n →∞
时，区间必将最终收缩为一点*x ，显然*x 就是所求之根。
若取区间[,]n n a b 的中点01()2x a b =+作为*x 的近似值，则有下述误差估计式*111()()22n n n n x x b a b a +-≤-=-只要n 足够大（即区间二分次数足够多），n x 的误差就可足够小。
值得注意的是，由于在偶重根附近曲线()y f x =为向上凹或向下凹，即()f a 与()f b 的正负号相同，因此不能用二分法求偶重根。
1.2二分法MATLAB 程序设计
1.3牛顿迭代法
设已知方程()0f x =近似根0x ，且在0x 附近()f x 可用一阶泰勒多项式近似，表示为
'000()()()()
f x f x f x x x ≈+-当'0()0f x ≠时，方程()0f x =可用线性方程近似代替，即
'000()()()0
f x f x x x +-=解此线性方程得
00'0()
()
f x x x f x =-取此x 作为原方程的新近似根1x ，重复以上步骤，于是得迭代公式
1'()
()
k k k k f x x x f x +=-(0,1,)
k = 此式称为牛顿迭代公式，其迭代函数为
'()()()
f x x x f x ϕ=-
当*x 为单根时，*()0f x =，'*()0f x ≠，故
*''*'*
'*2()()()0[()]f x f x x f x ϕ==''*''*
'*()()()f x x f x ϕ=''*()x ϕ不一定为0，根据定理3，牛顿迭代法在根*x 的邻近是平方收敛的。
1.4牛顿迭代法MATLAB
程序设计
1.5简化牛顿迭代法在牛顿迭代公式1'()()
k k k k f x x x f x +=-中，用一常数M 代替'()k f x ，得1()
k k k f x x x M
+=-(0,1,)
k = 此式称为简化牛顿迭代公式，只要M 选择得当，该式子总是收敛的，不过其收敛速度降为线性。
其几何意义可描述为用平行线代替牛顿法中的切线。
1.6简化牛顿迭代法MATLAB
程序设计
1.7割线法
用常数M 来代替'()k f x 虽然简单，但没有充分利用()f x 本身的特性，因此收敛较慢，若在牛顿迭代公式中改用差商11
()()k k k k f x f x x x ----代替导数'()k f x ，得迭代公式
111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---可以证明，
它的收敛阶为1(1 1.6182
p =+≈，确实比简化牛顿迭代公式收敛快。
连接曲线()y f x =上的两点(,())k k k P x f x 与111(,())k k k P x f x ---，所得弦线与x 轴交点的横坐标即为由此式求出的1k x +。
因此，称之为双点割线法。
为了使程序简单，也将上述迭代公式中的1k x -改为0x ，即
100()()()()
k k k k k f x x x x x f x f x +=---每步迭代时只利用一个新点k x ，这样的迭代格式称为单点割线法，然而它的收敛速度只是线性的。
1.8割线法MATLAB
程序设计
二、数值试验
2.1
二分法求解x =2.1.1运行结果
(1,2)，精度为8；迭代次数为8；最终收敛值*x 为1.7099758；误差为7.812507e -；运行时间0.188549秒；
2.1.2收敛图
2.2牛顿迭代法求解35
x
精度为8；迭代次数为4；最终收敛值*x为1.7099759；误差为4.822407
e-；运行时间0.000453秒；
2.2.2收敛图
2.3简化牛顿迭代法求解x=
精度为8；迭代次数为11；最终收敛值*x为1.7099761；误差为8.212107
e ；运行时间0.004333秒；
2.3.2收敛图
2.4割线法求解
x=
2.4.1运行结果
精度为8；迭代次数为6；最终收敛值*x为1.7099759；误差为8.719509
e-；运行时间0.005842秒；
2.4.2收敛图
2.5计算结果比较
算法结果误差迭代次数函数值时间二分法 1.70997587.812507
e-8-1.4511e-060.188549
牛顿迭代
法1.7099759 4.822407
e-4 1.1928e-120.000453
简化牛顿迭代法1.70997618.212107
e-11 1.6605e-060.004333
弦截法 1.70997598.719509
e-6-7.6488e-080.005842 2.6计算结果分析
1、二分法相对于其他几种算法，收敛时间较长，即二分法是在大范围内收敛的。
2、牛顿迭代法收敛较快，精度高，误差小。
3、简化牛顿法的收敛也较快，迭代次数多，导致误差较大。
4、弦截法的收敛速度快，迭代次数少，误差最小，总体上较好。
三、参考文献
【1】曹德欣，曹璎珞，计算方法，中国矿业大学出版社，2001。
【2】王正盛，MATLAB与科学计算，国防工业出版社，2011。