射影几何
几何学中的射影几何研究
几何学中的射影几何研究几何学是研究空间图形和它们的性质的学科，而射影几何是其中的一个重要分支。
射影几何通过引入射影平面和射影点的概念，对平行线和无穷远点进行了研究，从而为几何学提供了一种新的视角和工具。
本文将针对射影几何的基本概念、应用以及研究现状进行探讨。
一、射影几何的基本概念射影几何的基本思想是将实数域上的几何问题拓展到射影平面上，从而解决传统几何学中无法解释的问题。
射影几何中最基本的概念是射影平面和射影点。
射影平面可以看作是在传统的欧几里得平面上加入了一条无穷远线形成的平面，而射影点则是传统几何中的点在射影平面上的映射。
二、射影几何的应用射影几何在现实生活中有着广泛的应用。
在计算机图形学中，射影几何可以用来处理透视投影问题，使得计算机生成的图像更加真实。
在地图制作中，射影几何可以用来解决投影问题，实现地球表面的平面展开。
此外，在相机成像和光学仪器设计等领域，射影几何也起着重要的作用。
三、射影几何的研究现状射影几何作为几何学的重要分支，在现代数学中得到了广泛的研究。
从理论的角度来看，射影几何涉及到代数、拓扑和几何学等多个领域的交叉研究。
研究者们通过引入射影空间、投影变换和射影群等概念，对射影几何进行了深入的探讨。
在应用方面，射影几何已经得到了广泛的应用和拓展。
例如，在计算机视觉和模式识别领域，射影几何可以用来进行图像处理和目标跟踪。
此外，在计算机辅助设计和虚拟现实等领域，射影几何也发挥着重要的作用。
射影几何的研究还面临着一些挑战。
其中之一是如何将射影几何与其他数学分支更加紧密地结合起来，从而推动射影几何的发展。
另外，射影几何在应用方面仍有一些问题需要解决，如何将射影几何应用到更多的领域，并且发挥出更大的价值。
总结射影几何作为几何学的重要分支，通过引入射影平面和射影点的概念，为解决传统几何学中的一些难题提供了新的思路和方法。
射影几何在实际生活和学科研究中有着广泛的应用，并且在理论和应用方面都存在着一定的挑战和发展空间。
几何中的射影与相似比
射影变换与几何变换的关系
射影变换：通过投影产生的几何变换，不改变图形间的相对位置和大小关系
几何变换：图形在空间中的刚性变换，包括平移、旋转和缩放等
关系：射影变换是几何变换的一种特殊形式，是保持图形间相对关系不变的一种变换
Part Two
射影几何中的相似 比
相似比的定义
相似比是两个相似图形对应边的长度之比 相似比是两个相似图形对应角大小的比值 相似比是两个相似图形对应角平分线长度的比值 相似比是两个相似图形对应高线长度的比值
Part Four
射影几何中的交比
交比的定义
交比是射影几何中 的一个基本概念， 用于描述两条直线 上四个点的相对位 置关系。
交比的定义基于交 叉比的符号，表示 为四个点的顺序排 列。
交比的性质包括交 换律、结合律和分 配律等，这些性质 在射影几何中有着 广泛的应用。
交比的概念在射影 几何中非常重要， 是研究几何图形和 空间结构的基础。
相似比的应用
确定物体间的比 例关系，用于测 量和计算。
在建筑设计中的 应用，通过相似 比可以设计出符 合比例要求的建 筑。
在摄影中，利用 相似比可以调整 焦距和拍摄角度， 获得更好的拍摄 效果。
在物理学中，利 用相似比可以模 拟实验，研究物 理现象的规律。
Part Three
射影几何中的投影
投影的定义
透视的性质
透视变换：通过透视变换将三维物体投影到二维平面上 灭点：透视变换中，平行线在无穷远处汇聚到一点，称为灭点 透视比：物体在透视变换中的大小比例关系 透视失真：由于透视变换导致的物体形状失真现象
透视的应用
建筑学：用于设计和构图，使建筑物看起来更加立体和真实 绘画艺术：通过透视技巧，使画面呈现出深度和立体感，增强视觉效果 游戏开发：在3D游戏中，利用透视技术创建逼真的场景和角色，提高游戏体验 虚拟现实：通过模拟透视效果，增强虚拟环境的真实感，提高沉浸式体验
射影几何学初步
定理５.２（帕普斯（Pappers）定理）
设 A, B,C 和A', B', C ' 都是共线点组，并设 M 是
直线 AB' 和 A'B 的交点， N 是直线 AC' 和 A'C 的交
点， P 是直线 AC' 和 A'C 的交点，则 M , N, P 共
线．
定理５.１
• A 如果两个三角形对应顶点的连线交于一点， 并且对应边都相交，则三个交点共线．
第五章 射影几何学初步
• １ 中心投影 • ２ 射影平面 • ３ 交比 • ４ 射影坐标系 • ５ 射影坐标变换与射影变换 • ６ 二次曲线的射影理论
§1 中心投影
从上一章中知道平面的仿射变换的重要特性是把
共线的三点变成共线的三点。我们还会遇到更一般的从
一平面到另一平面保持点的共线关系的映射。例如,给
•
象。为了使中心投影成为一个映射并且是双射,就需要
•
在 1与1 上添加一些新的点,使点M 0 都有象,点 N 1
•
都有原象。这样的添加了点的平面就形成了射影平面
•
的概念 。
图(5.1) O
M理５.１（德扎格（Desarques）定理）
如果两个三角形的对于顶点的连线（有 三条）交于一点，则它们的对应边的焦点 （有三个）共线．
• B 如果两个三角形对应顶点的连线交于一点， 并且它们的一对对边平行，其他两队对应边相交， 则两个交点的连线平行与第一对对应边．
• C 如果两个三角形对应顶点的连线交于一点， 并且已知它们的两对对应边平行，则第三 对对应边也平行．
了两个相交平面
1与
以及两平面外的一点O,将点
1
射影定理概念
射影定理的概念在数学中有两种不同的表述，分别对应于初等几何和代数几何两个不同领域。
1. 初等几何中的射影定理：
在平面几何中，尤其是直角三角形的背景下，射影定理（也称为欧几里得定理）表述为：在直角三角形ABC中，如果C是直角，则直角边AB上的高CD满足以下关系：
- CD² = AD × BD
- 同时，每一条直角边与其在斜边上的射影之间的乘积等于斜边的平方，即：
- AC × BC = AB²
换句话说，直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边投影的比例中项，并且任意一直角边与它在斜边上的投影和斜边本身的长度之间也满足比例中项的关系。
2. 代数几何中的射影定理：
在更抽象的代数几何框架下，射影定理通常涉及射影空间和射影变换。
射影几何研究的是几何图形在无穷远点集合加入后的性质，以及这些图形经过投影变换后保持不变的特性。
例如，在代数几何中讨论射影
簇或射影变种时，射影定理可能指代将一个环上的代数集分解为其理想部分和闭点集的过程，这种分解有助于将复杂的代数问题转化为更容易处理的几何问题。
总结来说，射影定理在不同的数学分支中具有不同的意义，但都体现了射影思想的核心——通过投影操作来揭示几何对象间的深刻内在联系。
射影几何公理
射影几何公理【实用版】目录1.射影几何的定义与基本概念2.射影几何公理的基本内容3.射影几何公理的应用4.射影几何的发展历程与意义正文射影几何是一种数学几何学，主要研究空间中直线、平面以及它们的射影。
射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
本文将从射影几何的定义与基本概念、射影几何公理的基本内容、射影几何公理的应用以及射影几何的发展历程与意义四个方面进行介绍。
首先，射影几何的定义与基本概念。
射影几何起源于光学和摄影测量学，它的基本概念包括射影、射影空间、射影直线、射影平面等。
射影是指从一个点向一个平面投射的过程，射影空间是指由射影和平面构成的空间。
射影几何的研究对象是射影空间中的直线、平面以及它们的射影。
其次，射影几何公理的基本内容。
射影几何公理包括以下三个基本原理：1）直线确定一个平面；2）两个不共线的点确定一条直线；3）三个不共线的点确定一个平面。
这些基本原理为射影几何的研究提供了理论基础。
接着，射影几何公理的应用。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、摄影测量学、空间探测等领域都有重要的应用。
射影几何公理在解决实际问题中起到了关键作用。
最后，射影几何的发展历程与意义。
射影几何公理的发展历程可以追溯到古希腊时期，欧几里得和阿里士多德等数学家都对射影几何做出了重要贡献。
随着科学技术的发展，射影几何在现代数学、物理学、工程学等领域发挥着越来越重要的作用，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
总之，射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
小学数学中的射影问题
小学数学中的射影问题射影问题是小学数学中一种经典的几何问题，涉及到点、线、平面以及它们之间的关系。
通过对射影问题的学习，学生能够培养几何思维、观察和分析能力，为后续的数学知识打下坚实的基础。
本文将介绍射影问题的基本概念、解题方法以及实际应用等内容。
一、射影问题的概念在几何学中，射影是指一个几何体在某个维度上的投影。
在小学数学中，常见的射影问题主要涉及到平面上的线段或者几何图形在某一维度上的投影。
例如，我们可以研究一个几何图形在垂直于平面的方向上的投影，或者一个线段在水平方向上的投影等等。
二、射影问题的解题方法解决射影问题的方法有很多种，下面列举几种常用的方法：1. 几何方法：通过几何图形的相似性、共线性等性质，进行观察和分析。
例如，可以利用平行线的性质来解决线段的射影问题，或者利用相似三角形的性质来解决几何图形的射影问题。
2. 代数方法：通过建立数学模型，利用数学公式进行计算。
例如，可以使用代数方法来计算一个线段在某个方向上的投影长度，或者使用方程组求解的方法来解决包含多个几何体的射影问题。
3. 实验方法：通过实际操作和实验验证，进行观察和总结。
例如，可以利用光线投影的实验来研究线段的射影问题，或者通过使用纸板模型进行实验来解决平面图形的射影问题。
三、射影问题的实际应用射影问题不仅仅是数学课本中的理论问题，它在现实生活中也有广泛的应用。
以下列举几个与射影相关的实际应用：1. 建筑设计：在建筑设计中，设计师需要考虑建筑物在不同光线照射下的射影效果，以保证建筑物的美观和功能性。
2. 艺术绘画：在绘画中，艺术家需要准确地绘制物体在不同视角下的射影，以展现逼真和立体的效果。
3. 照相和摄影：在拍照和摄影中，摄影爱好者需要掌握光线投影的原理，使得拍摄的照片或者影像更加生动和艺术。
四、总结射影问题是小学数学中一个重要的几何问题，通过解决射影问题，学生可以培养几何思维、观察和分析能力。
通过几何、代数和实验等多种方法，我们可以解决射影问题，并将其应用到现实生活中。
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了一个几何体在一个投影面上的投影和几何体的相似性之间的关系。
在本文中，我们将介绍射影定理的基本概念和应用，并探讨它在实际生活中的一些应用场景。
射影定理是从几何学的角度来研究物体的投影和相似性的定理。
在立体几何中，我们经常会遇到一个物体在一个投影面上的投影，例如一个建筑物在地面上的投影、一个人在墙上的投影等等。
射影定理告诉我们，在一定条件下，投影和几何体是相似的。
具体来说，射影定理指出，当一个几何体在一个平行于其一侧的投影面上投影时，投影和几何体是相似的。
换句话说，投影和几何体之间存在着一种比例关系，它们的相似比等于几何体和投影面之间的距离比。
例如，我们可以考虑一个长方体在一个平行于其中一个侧面的投影面上的投影。
根据射影定理，投影的形状和长方体的形状是相似的。
如果我们将这个投影和长方体分别用比例相等的边长表示，那么它们之间的比例关系就成立。
射影定理在实际生活中有着广泛的应用。
首先，它在建筑设计中起着重要的作用。
建筑师在设计建筑物时往往会通过投影来预测建筑物在不同时间和天气条件下的外观。
射影定理可以帮助建筑师准确地计算出建筑物在投影面上的投影，从而更好地评估建筑物的外观效果。
射影定理在地图制作和导航系统中也有着重要的应用。
地图制作师常常需要将三维的地理信息转化为二维的地图，这就涉及到将地球表面上的物体在地图上的投影。
通过射影定理，地图制作师可以准确地将地球表面上的物体的形状和位置转化为地图上的投影，从而制作出准确的地图。
射影定理还在计算机图形学中被广泛应用。
计算机图形学中的三维模型往往需要在二维屏幕上进行显示，这就需要将三维模型投影到屏幕上。
通过射影定理，计算机图形学可以准确地计算出三维模型在屏幕上的投影，从而实现逼真的三维图形显示。
射影定理的应用还远不止于此。
它在摄影术、天文学、物理学等领域都有着重要的应用。
在摄影术中，摄影师常常需要根据不同的角度和距离来拍摄物体的照片，这就涉及到将三维物体的形状和纹理投影到二维照片上。
仿射几何和射影几何总表
以下是仿射几何和射影几何的总表：
仿射几何：
1. 基本概念：
-点、线、平面
-直线的平行与垂直
-点到直线的距离
-点与直线的位置关系
-角度的概念
2. 平移变换：
-平移的定义与性质
-平移的表示与组合
-平移的不变性
3. 旋转变换：
-旋转的定义与性质
-旋转的表示与组合
-旋转的不变性
4. 缩放变换：
-缩放的定义与性质
-缩放的表示与组合
-缩放的不变性
5. 仿射变换：
-仿射变换的定义与性质
-仿射变换的表示与组合
-仿射变换的不变性
射影几何：
1. 射影平面：
-射影平面的定义与性质
-射影平面上的点、线、圆的性质
2. 射影变换：
-射影变换的定义与性质
-射影变换的表示与组合
-射影变换的不变性
3. 射影直线：
-射影直线的定义与性质
-射影直线的交点、平行性质
4. 射影圆：
-射影圆的定义与性质
-射影圆的切线性质
5. 射影相似：
-射影相似的定义与性质
-射影相似的判定条件
-射影相似的不变性
请注意，以上列举的只是仿射几何和射影几何中的一些基本概念和变换，这两个领域还涉及更多深入的理论和应用。
射影几何定理
射影几何定理摘要：一、射影几何定理的定义与背景1.射影几何的起源与发展2.射影几何定理的概念引入二、射影几何定理的重要性质1.定理的基本内容与公式表述2.定理在射影几何中的核心地位三、射影几何定理的应用领域1.在数学领域的应用2.在其他学科领域的应用四、射影几何定理的意义与价值1.对于数学理论的贡献2.对于实际问题的解决正文：射影几何定理，作为射影几何学中的一个重要理论，起源于19 世纪，经历了漫长的发展过程，逐渐成为了射影几何学研究的基础。
该定理不仅对射影几何学科有着深远的影响，同时也为其他学科领域提供了有力的理论支持。
射影几何定理的一个重要性质是，它揭示了射影空间中的点到直线、直线与平面的位置关系。
具体来说，该定理的公式表述为：在射影空间中，给定点P、直线L 和平面π，如果P 在L 上，且L 在π上，那么P 也在π上。
这个定理在射影几何中具有核心地位，为射影几何的研究奠定了基础。
射影几何定理在数学领域具有广泛的应用。
例如，在代数几何中，射影几何定理可以用来解决代数曲线的几何问题；在拓扑学中，射影几何定理可以帮助研究者理解流形之间的映射关系。
此外，射影几何定理还在计算机科学、物理学和工程学等领域发挥着重要作用。
射影几何定理对数学理论的发展作出了巨大贡献。
它不仅丰富了射影几何学的理论体系，而且为其他数学分支的研究提供了有力的工具。
同时，射影几何定理在实际问题中的应用也体现出其具有很高的价值。
例如，在计算机图形学中，射影几何定理可以用来简化三维模型的表示和计算；在光学设计中，射影几何定理有助于优化光学系统的结构和性能。
总之，射影几何定理作为射影几何学科的一个重要理论，具有深刻的内涵和广泛的应用价值。
射影几何公理
射影几何公理摘要：1.射影几何公理的概述2.射影几何公理的基本概念3.射影几何公理的推导与证明4.射影几何公理的应用5.射影几何公理的重要性正文：射影几何公理是射影几何的基础理论，它是研究射影空间中的点、线、面及其相关性质的数学工具。
射影几何公理主要包括以下几个方面：1.射影空间：射影空间是一个向量空间，其中的加法运算满足齐次性。
射影空间中的点可以看作是向量，线可以看作是向量空间中的直线，面可以看作是向量空间中的平面。
2.射影映射：射影映射是从一个射影空间到另一个射影空间的映射，它保持向量之间的加法运算。
射影映射可以将射影空间中的点、线、面映射到另一个射影空间中，从而研究它们之间的关系。
3.射影几何公理：射影几何公理是描述射影空间中点、线、面及其相关性质的一组公理。
射影几何公理包括以下三条基本公理：(1) 齐次公理：射影空间中的加法运算满足齐次性。
(2) 投影公理：对于射影空间中的任意直线和点，存在唯一的直线与该直线平行且经过该点。
(3) 线性组合公理：对于射影空间中的任意三个点，它们的线性组合可以表示为射影空间中的任意一点。
通过以上三条基本公理，可以推导出射影几何中的一系列定理和性质。
射影几何公理在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
4.射影几何公理的应用：射影几何公理在许多领域都有重要应用，例如在计算机图形学中，利用射影几何公理可以简化图形的表示和计算；在物理学中，射影几何公理可以用于描述光的传播和折射等现象；在几何学中，射影几何公理为研究空间几何问题提供了一种有效的方法。
5.射影几何公理的重要性：射影几何公理是射影几何的理论基础，它为研究射影空间中的点、线、面及其相关性质提供了一种统一的理论框架。
射影几何学
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。
这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形叫做对偶图形。
在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。
这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。
在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
射影几何
第二部分 射影几何一 仿射变换 1几何变换的概念 (1) 仿射对应①平行射影过a 上点A ，B ，C ，…，作与l 平行的直线，交,a 与'A ，'B ，'C，…，这样得到a 与,a 上点之间的一一对应，称为从a到,a 的平行射影，或透视射影。
a 上的点称为原象点，,a 上的点称为象点，l 是平行射影的方向，记这个平行射影为T ，则写)('A T A …。
注意：显然平行射影与方向有关，方向变了，就得出另外的透视仿射。
②仿射对应设21,a a ，…，n a 是平面内n 条直线，21,T T ，…，n T 分图2－1别是1a 到2a ，2a 到3a ，…，1-n a 到n a 的平行射影，这些平行射影的复合，即：=T 1-⋅n nTT (1)2T T ⋅：naa →1是1a 到n a 的一个一一对应，称这个一一对应为直线1a 到n a 的仿射对应。
(2) 空间内的仿射对应①平行射影设π与'π是两个平面，l 是π与'π的交线，直线g 不与π平行，也不与'π平行，过π上每点做平行于g 的直线，交'π于一个对应点，这样得到从π到'π的一一对应关系，称为从π到'π的平行射影设π到'π的交线为l ，l 的点都是自对应点，都是平行射影下的不动点，称为二重点，直线叫对应轴。
②仿射对应设21,ππ，…，n π是空间中的n 个平面，21,T T ，…，n T 分别是1π到2π，2π到3π，…，1-n π到n π的平行射影，这些平行射影的复合，即：=T 1-⋅n nTT (1)2T T ⋅：nππ→1是1π到n π的一个一一对应，称这个一一对应为平面1π到n π的仿射对应。
特别地，当1π＝n π时，称为仿射变换。
2 仿射不变性和不变量 (1) 基本概念① 仿射不变性质和不变量：经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量。
射影几何
在19世纪以前，射影几何一直是 在欧氏几何的框架下被研究的， 其早期开拓者德沙格、帕斯卡等 主要是以欧式几何的方法处理问 题(这点很重要)。 而且由于18世纪解析几何、微积 分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格（1591-1661） 帕斯卡（1623-1662）
加斯帕尔· 蒙日 （Gaspard Monge， 1746～1818），法 国数学家、化学家 和物理学家。
射影几何学的发展和其他数 学分支的发展有密切的关系。 特别是“群”的概念产生以 后，也被引进了射影几何学， 对这门几何学的研究起了促 进作用。
对于我们来说，射影几何最重要的 应用是在对初等几何数学的指导， 它不仅表现在提高数学思想与观念 上，还直接表现在对初等几何图形 性质的研究中。由射影 几何的性质， 指导研究初等几何中的一些问题。
射影几何的繁荣
射影几何学是专门研究图 形的位置关系的，也是专 门用来讨论在把点投影到 直线或者平面上的时影几何的早期发展； 3.射影几何的繁荣； 4.射影几何的应用；
数学透视法的天才阿尔贝 蒂（1401-1472）的《论绘 画》一书（1511）则更是 早期数学透视法的代表作， 成为射影几何学发展的起 点。
19世纪前半叶： 庞斯列（1788~1867,P-J.Poncelet）是 射影几何的主要奠基人。 在公元1822年，完成了一部理论严谨、 构思新颖的巨著——《论图形的射影 性质》。这部书的问世，标志着射影 几何座位一门学科的正式诞生。
默比乌斯：常见一种齐次坐标系，把 变换分成全等、相似、仿射、直射等 类型，给出线束中四条线交比的度量 公式等。 普吕克：引进了另一种齐次坐标系， 得到了平面上无穷远线的方程，无穷 远圆点的坐标。
完全四点形
射影几何简介.
h
A
B
l2 CD
• 德沙格定理 如果两个三角形对应顶点 的连线交于一点，则对应边所在直线的 三个交点共线．
A
A1 C1 C
B1
B
• 帕斯卡定理 若一六边形内接于一圆锥曲
线，则每两条对边相交而得到的三点在同
一条直线上．
P
Q
R
• 布里昂雄定理 如果一个六边形外切于 圆锥曲线，则六边形对应顶点的三条连 线相交于一点． E
O
• 无穷远点 画家没影点（消点）的概念
实际上指的是无穷远点．几何学家受此启
发引入了无穷远点的概念．阿尔贝蒂指 出，画面上的平行线必须画成相交于某 一点，除非它们平行于画面．但是没影 点并不与原景中的任一点对应。为了保 持这种对应关系，德沙格（Desargues， 1593-1662） 在直线上引进了一个新的点， 即无穷远点。
D
F
O
C A
B
• 拓广平面
引入无穷远点的直线叫拓广 直线，在欧氏平面的每一条直线上 都引入一个无穷远点，所有无穷远 点的集合叫无穷远直线．引入无穷 远直线后的欧氏平面叫拓广平面．
• 射影平面
在拓广平面上，如果不区别 无穷远元素与通常元素，予以同等 看待，则称拓广平面为射影平 面．射影平面上的直线叫射影直线， 射影平面上的点叫射影点．
交比
射影变换不能保持长度，也不能保 持长度的比．但是，如果一条直线上 有4个有序点A，B，C，D，它们在另 一直线上的射影是A1，B1，C1，D1 ，则 这两组有序点的交比相等．即射影变 换能保持交比．
• 交比 比值
(ABCD) CA / DA CB DB
叫做4个有序点的交比．
AB C
D
• 定理 在射影变换下4个有序点的交比保 持不变． O第Fra bibliotek节 射影几何简介
射影几何学
把各种几何和变换群相的是F.
谢谢观看
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最 早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
几何学内容
概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论 在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
由于点列和线束中的元素都只依赖于两个齐次参数的比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维基本 形。
已给平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。 例如，点列（和一条直线关联的点的集合）和线束（和一点关联的直线的集合）是对偶形。三角形是自对偶形。
对于平面上一个只涉及点与直线的关联关系的定理，如果把其中的点和直线及其关联关系对换，就得到一个 新定理，叫做原定理的对偶。“如果原定理成立，则它的对偶定理也成立。”称它为对偶定理。
几何学概况
十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几 何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴
图1射影几何学
时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个 平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直
射影几何三大入门定理
射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。
在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。
首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。
1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。
射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。
1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。
1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。
我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。
根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。
由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。
假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。
但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。
这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。
第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。
我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。
根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。
假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中非常重要的定理之一，它在许多问题的解决中起着关键的作用。
本文将介绍射影定理的概念、应用和证明过程。
射影定理是指：在平行于某一平面的平面上，被这个平面所截的直线的射影线段互相相等。
也就是说，如果一条直线与平面相交，它在这个平面上的两个截点到射影平面上的两个射影点的距离相等。
射影定理是由古希腊数学家欧几里得最早提出的。
射影定理在几何学中的应用非常广泛。
例如，在计算空间中两条直线之间的夹角时，可以利用射影定理将直线投影到一个平行于另一条直线的平面，然后计算投影线段的夹角。
此外，在解决立体几何问题中，常常需要利用射影定理来分析和推导各种关系。
下面，我们来证明射影定理。
假设有一条直线AB与平面CD相交，BC平行于平面CD。
取点E、F分别在直线AB上，使得AE=BF。
现要证明CE=DF。
首先，连接CF和DE，并设它们的交点为G。
由于BC平行于平面CD，所以CE平行于平面BCD。
而根据射影定理，射影线段CG与DE相等。
所以CG=DE。
同样的，根据射影定理，射影线段CG与CF相等。
所以CG=CF。
另一方面，由于AE=BF，所以射影线段AG与BF相等。
根据射影定理，射影线段AG与EF相等。
所以AG=EF。
由于CG=CF，而CG=DE，所以DE=CF。
又由于AG=EF，所以CE=DF。
因此，我们证明了射影定理。
通过射影定理，我们可以更方便地解决一些立体几何问题。
例如，在平行四边形中，如果一对对角线互相平行，则这个平行四边形是一个梯形。
利用射影定理，我们可以证明对角线的交点到平行边的距离相等，从而推导出对角线平行的结论。
总而言之，射影定理在立体几何中有着广泛的应用。
它的概念简单易懂，应用广泛且实用。
通过射影定理，我们可以更加方便地解决各种立体几何问题，推导和证明各种几何关系，为我们的几何学习和研究提供了一个重要的工具。
射影定理是立体几何中不可或缺的一环，我们应该充分理解其概念，掌握其应用，以提升我们的数学水平。
射影几何定理
射影几何定理（原创实用版）目录1.射影几何定理的概述2.射影几何定理的证明方法3.射影几何定理的应用领域4.射影几何定理的意义和影响正文射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究。
射影几何定理的内容主要包括以下几个方面：首先，射影几何定理对射影空间中的直线与直线的位置关系进行了详细的描述。
在射影空间中，一条直线可以看作是一个二维子空间，两条直线的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。
射影几何定理通过引入射影矩阵的概念，给出了判断两条直线位置关系的方法。
其次，射影几何定理对射影空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系进行了探讨。
在射影空间中，一条直线与一个平面的位置关系可以分为直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行和直线在平面内四种情况；两个平面的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。
射影几何定理通过射影矩阵的运算，给出了判断这些位置关系的方法。
射影几何定理在实际应用中具有广泛的应用领域。
在计算机图形学中，射影几何定理可以用来判断物体之间的遮挡关系；在计算机视觉中，射影几何定理可以用来检测图像中的特征点；在机器学习中，射影几何定理可以用来解决线性分类问题。
射影几何定理在射影几何中具有重要的意义和影响。
它不仅丰富了射影几何的研究内容，而且为射影几何在实际应用中提供了有力的理论支持。
射影几何定理的研究还推动了射影代数和射影几何其他领域的发展，为数学和工程学科的交叉融合做出了贡献。
总之，射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究，并在实际应用中具有广泛的应用领域。
射影几何公理
射影几何公理
【原创版】
目录
1.射影几何公理的定义与概述
2.射影几何公理的基本原理
3.射影几何公理的推导与证明
4.射影几何公理的应用与影响
正文
射影几何公理是一种数学理论，主要研究空间中点、线、面的关系以及它们如何投影到某个子空间。
射影几何公理起源于 19 世纪，是由法国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）等人提出的。
射影几何公理的基本原理包括以下几点：
1.射影空间：射影几何公理研究的空间称为射影空间，它可以是实数域上的，也可以是复数域上的。
射影空间中的点、线、面都是射影几何的基本元素。
2.直线：射影空间中的一条直线是由两个不共线的点确定的。
射影几何公理定义了直线的性质，包括直线上的点、直线与直线的交点等。
3.平面：射影空间中的一个平面是由三个不共线的点确定的。
射影几何公理定义了平面的性质，包括平面上的点、平面与平面的交线等。
4.点、线、面的关系：射影几何公理详细描述了点、线、面之间的关系，包括点在直线上、点在平面上、直线在平面上等。
射影几何公理的推导与证明主要依赖于射影空间中的基本元素和定义。
例如，射影几何公理可以通过直线和平面的性质推导出点在线上、点在平面上等结论。
这些结论可以进一步推广到更复杂的几何问题中。
射影几何公理的应用与影响非常广泛。
在现代数学领域，射影几何公理被广泛应用于空间解析几何、微积分、线性代数等学科。
此外，射影几何公理在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。
几何学中的射影几何
几何学中的射影几何几何学是数学的一个分支，致力于研究空间形状、结构和性质。
而射影几何则是几何学中的一个重要领域，它研究的是射影空间及其相关的几何概念和性质。
在本文中，我们将深入探讨射影几何的基本原理和应用。
一、射影几何的定义和基本原理射影几何是建立在射影空间上的几何学分支。
射影空间是传统的欧几里德空间的一个扩充，它引入了无穷远点和直线上的点，使得几何概念得到无穷远的自然推广。
在射影几何中，有三个基本原理需要我们了解：1. 射影空间公理：射影空间满足射影空间公理，包括点线对偶原理、直线交定理、射影变换等。
通过这些公理，我们可以在射影空间中进行几何推理和定理证明。
2. 无穷远点：射影空间引入了无穷远点的概念，它代表着直线上的点在无穷远处的位置。
在射影几何中，我们可以将两个无穷远点连接起来形成一条直线，这条直线称为“无穷远直线”。
3. 射影变换：射影变换是射影几何中常用的一种变换方法。
它可以将射影空间中的点和直线映射到另一个射影空间中，保持射影几何的内部结构和性质不变。
二、射影几何的应用领域射影几何不仅在纯粹的数学领域中有重要意义，而且在许多应用领域也具有广泛的应用。
以下是射影几何的一些典型应用：1. 计算机视觉：射影几何在计算机视觉领域发挥着重要作用。
通过射影变换，我们可以将二维图像映射到三维空间中，从而实现图像的三维重建和深度识别。
2. 无人驾驶：射影几何在无人驾驶技术中有广泛应用。
通过射影变换和几何推理，无人驾驶汽车可以实时感知周围环境、规划路径和避免障碍物。
3. 空间布局设计：射影几何可以帮助我们进行空间布局设计，比如建筑物的设计和室内装饰。
通过射影变换和空间投影，我们可以在平面上模拟和优化各种建筑设计方案。
4. 图像处理：射影几何在图像处理中有广泛的应用。
通过射影变换和几何校正，我们可以对图像进行矫正、旋转和变形，从而提高图像的质量和准确度。
5. 三维动画：射影几何在三维动画制作中扮演着重要角色。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京师范大学毕业设计（论文）（2009 届）题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系学院：数学科学学院专业：数学与应用数学姓名：刘峰学号：0 6 0 5 0 2 1 0指导教师：杨明升南京师范大学教务处制漫谈射影几何的几种子几何及其关系刘峰数学与应用数学（师范）06050210一．摘要射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来.概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一.二．关键词射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群.三．射影几何（projective geometry）的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学.基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变. 这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科.射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪. 在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念. 稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡.1639年，笛沙格出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念. 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础. 用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理.帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线. ”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理. 1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容. 迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标. 帕斯卡接受了这些建议. 后来他写了许多有关射影几何方面的小册子.不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积). 但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何. 他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了.射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列. 他是画法几何的创始人蒙日的学生. 蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何. 由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做.1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作. 他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家. 他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理. 稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的. 为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念. 由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步.另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展. 首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等. 接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标. 他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念.在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法. 还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证. 1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系.射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用.四．克莱因（F·Klein）的变换群观点几何学可以用公理化方法来建立，也可以用变换群的方法给予新的定义. 几何学的群论观点，是由德国数学家克莱因（F·Klein）于1872年在埃尔朗根大学任教授时所作的题为“近代几何学研究的比较评述”的演说中首先提出来的，历史上称为《埃尔朗根纲领》（Erlangen Program）.克莱因（F·Klein）在“埃朗根纲领”中提出，将几何学看作是图形对某种变换群的不变性质的学问，即关于这种群的不变量理论. 他于第二年发表《论所谓欧几里得几何》（1873），指出欧氏几何、非欧几何均可用纯射影的办法构造出来. 他还将几种经典几何看作是射影几何的子几何. 例如欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何. 两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何也都是射影几何的子几何，非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进. 这种研究方法在此后几十年里对射影几何学乃至整个几何学都产生巨大影响.埃尔朗根纲领可以概括如下：给出集合S和它的一个变换群G，A和B是空间S的两个子集，若存在变换f ∈G,使得f（A）=B，则称A与B等价，记作A≈B. 可以证明“≈”是一种等价关系：（1）任何子集A总与自己等价，即A≈A；（反身性）（2）若A≈B，则B≈A；（对称性）（3）若A≈B，且B≈C，则A≈C. （传递性）由于“≈”是一种等价关系，因此它可以确定集合S的一个分类方法，所有等价的子集都属于同一类，不等价的子集属于不同的类，集合S的每一元素恰属于同一类.设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间，S的元素称为点，S的子集称为图形，G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S, G).现在我们规定，集合S叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价的图形属于同一个等价类，于是同一类里的一切图形共有的性质和几何量必是变换群下的不变性质和不变的量；反之，图形在变换群中一切变换下的不变性质和不变量必是同一个等价类里一切图形所共有的性质. 因此，可以用变换群去研究相应的几何学，这就是克莱因的几何学的群论观点.因此，若给定一个集合以及此集合上的一个变换群，则空间内的图形对于此群的不变性质的命题系统的研究就称为这空间的几何学，而空间的维数就称为几何学的维数，且称此群为该几何学所对应的变换群.有一个变换群就相应的有一种研究在此群作用下不变性质理论的几何学.例如，欧氏平面上正交变换构成群，所以正交变换具有下列三个性质：（1）恒等变换是正交变换（2）正交变换的逆变换是正交变换.（3）两个正交变换的乘积仍然是正交变换.一个图形与经过正交变换所得到的对应图形是合同的. 由此可推出：合同具有反身性，对称性和传递性，因而合同关系是一等价关系，它可将平面上所有的图形分类，凡合同的图形属于同一等价类，欧氏几何是研究等价类里一切图形所共有的性质，图形关于正交变换群下的不变性质所构成的命题系统就是欧氏几何学.同理，在仿射变换群下图形的不变性质所构成的命题系统就是仿射几何学；射影变换群下的图形不变性质构成的命题系统就是射影几何学.一百多年来数学的发展说明了克莱因用变换群刻画几何学的观点在近代几何领域起了很大作用，它使各种几何学化为统一的的形式，因而得到对事物的某种统一，同时又明确了各种几何所研究的对象；它给出了一半冲向空间所对应几何学的一种方法，建立了多种几何学，如代数几何，保形几何及拓扑几何学等.五．平面上的几个变换群1.射影变换群设π, π'为两个点场. 若φ：π→π' 满足(1) φ为双射,(2) φ使共线点变为共线点；(3) φ保持共线四点的交比不变；则称φ为点场π到π'的一个二维射影对应.显然，透视对应是特殊的射影对应. 二维射影对应使得点对应于点；直线对应于直线. 因此，也称此处的二维射影对应为直射.对于二维射影对应φ：π→π', 若π=π', 则称φ为二维射影变换. 平面上全体射影变换的集合K对于变换的乘法构成变换群，称变换群K为射影变换群.设在点场π, π'上各取定齐次射影坐标系. 称由'1111122133'2211222233'3311322333||||0,0ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a x ρρρρ⎧=++⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩所决定的对应为π到π'的一个二维射影对应， 其中(x 1, x 2, x 3)与(x'1, x'2, x'3)为对应点的齐次坐标，A 称为射影对应的矩阵. 射影变换是特殊的射影对应，此时(x 1, x 2, x 3)与(x'1, x'2, x'3)为相对于π上的同一个射影坐标系而言. 显然,，上式为非奇异线性对应. 由于p 的存在(齐次性)， 对任意的p ≠0,，p A 与A 表示同一射影对应的矩阵. 因此A 中9个元素只有8个独立， 故A 是8参数的，所以K 是一个8维群.2. 仿射变换群在射影平面上，保持一条指定直线不变的直射变换称为仿射变换，这条指定的直线称为仿射变换的绝对形.射影平面上的全体仿射变换的集合KA 对于变换的乘法构成一个变换群，他是射影群的子群，称为射影仿射变换群；仿射平面上全体仿射变换的集合A 构成变换群，称变换群A 为仿射变换群.显然，射影仿射变换群KA 与仿射变换群A 之间有一个自然的同构映射. 在射影变换∑=≠≠==31'0,0||,3,2,1j ij j ij i a i x ax ρρ中，保持l ∞：x 3=0不变⇔a 31=a 32=0'1111122133'22112222333333'33330,0x a x a x a x x a x a x a x a A x a x ρρρρ⎧=++⎪=++≠≠⎨⎪=⎩将上式化为非齐次(前二式分别除以第三式). 得1111122222'||0'x a x b y c a b A y a x b y c a b =++⎧=≠⎨=++⎩ 显然仿射变换群是射影变换群的子群，A 中9个元素只有6个独立， 故A是6参数的，所以A 是一个6维群.3. 正交变换群在仿射变换111222'||0'x a x b y c A y a x b y c =++⎧≠⎨=++⎩中, 如果矩阵A 为正交阵, 即满足AA'=E ，则称为正交变换,，上式的齐次坐标表达式称为射影正交变换. 正交变换的形式与解几中的直角坐标变换完全相同. 因此，它也体现为平移、旋转、轴反射及其合成. 也可化为三角函数表达式()'cos sin 1'sin cos x x y a y x y bθλθλθλθ=-+⎧=±⎨=++⎩其中a ，b ，θ为参数. 类似于仿射变换群的讨论，我们可以得到关于正交变换群的下列两个结论.1. 射影仿射平面上的全体射影正交变换KM 构成变换群，成为射影正交变换群；仿射平面上全体正交变换的集合M 构成的变换群，称M 为正交变换群.2. 射影正交变换群KM 为射影仿射变换群KA 的子群，而且KM ≌M. 综上，我们在射影平面和仿射平面上个得到了一个变换群系列，则上述两个系列的变换群有如下的关系K K A K M ⊃⊃≅ ≅A M ⊃综上所述，就变换群的大小而言，正交群⊂仿射群⊂射影群.K ={平面上全体射影变换} 射影变换群K KA ={平面上全体射影仿射变换} 射影仿射变换群KA KM ={平面上全体射影正交变换} 射影正交变换群KM A ={平面上全体仿射变换} 仿射变换群A M ={平面上全体正交变换} 正交变换群M射影平面仿射平面六．平面上的几种几何学如果(S,G )为一个几何学，H 为G 的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. 设Σ⊂S ,Σ≠Ø. H 为G 的子群， 且对任意的g ∈H , 都有g (Σ)=Σ (例如对任意τ∈KA , τ(P\l∞)=P\l ∞)；又H Σ为Σ上的一个变换群， 且H Σ≌H (如A 为P\l ∞上的变换群, A ≌ KA )，则称(Σ, H Σ)为(S,G)的一个以(S, H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S \Σ为的绝对形(如l ∞为绝对形).子几何学中研究的关于G 的子群H 的不变性和不变量，这些不变性和不变量有的可能关于群G 保持不变，而有的则不能. 反之，由于H 是G 的子群，所以所有关于G 的不变性和不变量必定都辈子几何学（S,H ）所继承，继续保持不变. 这就是说，变换群越大，可研究的几何学内容就越少，变换群越大小，几何学的内容就越丰富，换句话说，子几何学的内容要比母几何学的内容丰富. 但是，变换群越大，其讨论的内容在这个几何学系列中就一定越具有纲领性意义.1. 射影几何学根据克莱因（F·Klein）的观点，从属于射影平面上摄影群的几何学就是射影平面几何学. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学.中心射影（又叫透视对应）是射影几何的基本方法，我们从图中看两个最基本的欧氏空间中线到线，面到面的中心射影.显然OU 与l '不相交，我们称 U 为l 上的影消点；OV'与l 不相交， 我们把V'称为l'上的影消点，影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射.由图及上面线到线的中心射影，可以看出 ,,//'u U u OU ππ∈∀∈我们称u 为由影消点构成的影消线，同时'','','//v V v OV ππ∈∀∈我们称v'为由影消点构成的影消线. 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射.影消点，影消线存在的根本原因是，在欧氏空间中，相互平行的直线没有交点，使得中心射影成为一一对应的一个自然途径是给平行直线添加交点，既要对欧氏空间进行改造，通过添加一些新的元素对欧氏空间加以拓广.下面在通常的欧氏空间上引进无穷远点和无穷远直线，约定在每一条直线上添加唯一一点，此点不是该直线上原有的点，称这个点为无穷远点，并规定：【1】. 在每条欧氏直线上引入唯一一个无穷远点；【2】. 在平行的欧氏直线上引入相同的无穷远点；【3】. 在不平行的欧氏直线上引入不同的无穷远点；【4】. 平面上添加的全体无穷远点的集合为一条直线，称其为无穷远直线.1. 拓广直线与欧氏直线相比，拓广直线的内在性质产生了质的变化.1. 1. 拓广直线的封闭性右图示意了圆周与拓广直线之间的一个双射，因此可以将欧氏平面上的圆周取为拓广直线的一种拓广模型. 事实上，有上述双射不难看出，欧氏平面上的任何椭圆进而任何凸闭曲线都可以作为拓广直线的拓扑模型.从而可以发现拓广直线向两方前进最终都到达同一个无穷远点，这与欧氏直线向两个方向无限伸展有本质区别.1. 2. 拓广直线的分离我们知道欧氏直线上一点区分直线为两个部分；两点确定直线上的一条线段. 而拓广直线向两方前进最终都到达同一个无穷远点，所以一点不能区分直线为两个部分，两点也不能确定直线上的一条线段. 为此我们引进“分离”的概念，如右图：称点偶A,B分离点偶C,D，点偶A,C不分离点偶B,D.2. 拓广平面由于添加了无穷远直线，拓广平面与欧氏平面相比，空间内在性质产生也了质的变化.2. 1. 拓广平面的封闭性我们知道任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域（即对于不同的区域的两个点，不可能找到一条连接这两点的连续曲线，使之与边界不相交）；在拓广平面上，任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域（因为如右图，在拓广平面上任意直线l，有一条曲线过无穷远点的曲线链接了A，B但不与l相交）.在欧氏平面上两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域，但在拓广平面上，两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域，可以证明：I，II为同一区域，III，IV为同一区域.2. 2. 拓广平面的拓扑模型模型一：叠合对径的球面. 将一个球面放在一张拓广平面上，使得南极与平面相切，以球心O为投射中心，则显然球面上一条直径的对径点（直线的两个端点）对应于拓广平面上唯一一个点，赤道上的对径点对应于无穷远直线上的点，球面上的大圆对应为拓广平面上的直线. 这种对应是球面上对径点的集合到拓广平面的一个双射. 于是可以把爹和对经点的球面作为拓广平面的一个拓扑模型.模型二：叠合赤道上对径点的半球面. 由模型一出发，将含北极的半球面去掉，则出赤道上的对径点对应于无穷远直线上的点而外，版球面的点与拓广平面出无穷远直线外的点一一对应，这是拓广平面的又一拓扑模型.模型三：叠合周界上对径点的圆盘. 有模型二，我们把半球面看成有橡皮泥膜制成，将之拉伸，压平，则变成一个实心的圆盘，叠合其周界上的对径点，则得到拓广平面的圆盘模型. 图中A，A；B，B分别是对径点，因此是拓广平面上的同一个点. 将其上ABAB的一块剪下，因为他是橡皮膜，又可以将其拉伸使其变成一个矩形，当我们将两端点粘起来后，就得到了著名的Möbius带，这是一个不可定向的曲面，只有一个面. 因此它是拓广平面上的一块，从而拓广平面是不可定向的.在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”. 如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点. 通过同一无穷远点的所有直线平行. 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了. 平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了. 这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了.射影变换有两个重要的性质：首先，添加了无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了. 射影变换有同素性（即使点列变点列，直线变直线，线束变线束）和关联性（点在直线上，直线过某点）这两个基本不变性；其次，最基本的射影变换不变量是交比，交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应. 所有其他摄影不变性和不变量都是由这些基本的不变性和不变量演绎出来的的性质和数量. 而我们以前经常见到的如距离，角度，平行性等，都不是射影几何学的研究内容.我们简单的研究一下交比的内容，设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P 1 ≠ P 2，其齐次坐标依次为a ，b ，a +λ1b ， a + λ2b . 则记(P 1P 2,P 3P 4)表示这四点构成的一个交比. . 定义为112342(,)PP P P λλ=称P 1, P 2为基点偶， P 3, P 4为分点偶. 从而可推导出若设点列l (P )中四点P i 的齐次坐标为a +λi b (i =1,2,3,4). 则132412342314()()(,)()()P P P P λλλλλλλλ--=-- 如果限于欧氏平面，则上式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即132412342314(,)P P P P P P P P P P P P ⋅=⋅. 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值. 因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比. 设(P 1P 2,P 3P 4 )=r ，当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：【1】 交换基点对与分点对的位置或同时交换基点对与分点对中亮点的位置不改变共线四点的交比值；【2】 仅交换基点对或分点对中二点的位置，共线四点的交比值由r 变为1/r ；【3】 仅交换交比记号中的中间或首尾二点的位置，共线四点的交比值由r变为1-r .进而推出相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：111,,11,,11r r r r r r r ----， 令P 1=P 2或P 2=P 3或P 3=P 4或P 4 = P 1，即当四点中有某二点相同时，上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 从而我们有：共线四点的交比值出现0， 1，∞三者之一⇔这四点中有某二点相同.若(P 1P 2，P 3P 4 )= –1, 则称P 1，P 2，P 3，P 4依此次序构成调和点组，并称此交比为调和比.相异四点P 1, P 2, P 3, P 4可按某次序构成调和比⇔这四点的6个交比值只有3个：11,,22-. 调和比是最重要的交比，对于(P 1P 2,P 3P 4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有132412342314(,)1PP P P PP P P P P PP =⋅=-，此时, 若4P P ∞=，则可合理地认为211P P PP ∞∞∞==∞，于是13231PP P P =-，这表示P 3为P 1P 2的中点，从而有： 设P 1, P 2, P 为共线的通常点， P ∞为此直线上的无穷远点. 则P 为P 1P 2的中点. 它建立了线段的中点、调和比、直线平行性之间的联系.设线束S (p )中四直线p i 被直线s 截于四点P i (i =1,2,3,4)则12341234(,)(,)p p p p PP P P =；反之，设P i 为点列l (P )中四点，P i 与不在l 上的定点S 连线依次为p i(i =1,2,3,4)，则 12341234(,)(,)PP P P p p p p =. 这就是说，关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化. 从而可以得到：对于通常线束中以k i 为斜率的四直线p i (i =1,2,3,4), 有132412342314()()(,)()()k k k k p p p p k k k k --=-- 进而，设直线p i 与x 轴正向的夹角为αi (i =1,2,3,4). 则将k i =tan αi 代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得对于通常线束中以k i 为斜率的四直线p i (i =1,2,3,4), 有132412342314sin()sin()(,)sin()sin()p p p p p p p p p p p p = 其中(p i p j )表示由p i 到p j 的夹角. 由此，我们可以推出：设p i (i =1,2,3,4)为通常线束中四直线，则p 3， p 4为p 1，p 2夹角的内外平分线⇔ (p 1p 2, p 3p 4)=–1, 且p 3⊥p 4 . 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.。