离散数学主范式习题
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题2 答案
1-1．都是命题：1-2设P：明天天气晴朗Q：我们就去郊游则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解表1.15 例1.42真值表则P → (P∧(Q →R )) ⇔ (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨⌝(﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。
首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。
比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。
若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。
用此方法，可以简写所求得的给定公式的主析取范式。
P → (P∧(Q →R )) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解P → (P∧(Q →R ))⇔﹁P∨(P∧(﹁Q∨R ))⇔ (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R)⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ⇒S∨R。
证明（1）﹁P →Q P（2）﹁Q∨S P（3）Q →S T, (2), E16（4）﹁P →S T, (1), (3), I13（5）﹁S →P T, (4), E18（6）P →R P（7）﹁S →R T, (5),(6), I13（8）﹁﹁S∨R T, (7),E16（9）S∨R T, (8), E11-5如果迈克有电冰箱，则或者他卖了洗衣机，或者他向别人借了钱。
离散数学试题带答案(三)
离散数学试题带答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2•R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
离散数学习题解答
离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题及答案
一、填空题1、集合的表示方法有两种： 法和 法。
请把“奇整数集合”表示出来{ }。
1、列举；描述；}12|{Z k k x x ∈+=，2、无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是不含有奇数度结点.2*、连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是D 中每个结点的入度＝出度. 3、设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是 、自反性、对称性、传递性.4、有限图G 是树的一个等价定义是：连通无回路（或任一等价定义）.5、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))6、在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为 、结点v i 的出度和结点v j 的入度． 7、设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么命题B A ↔是重言式的真值是 1 ．8、命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为P ∧⌝Q ．9、 设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若V '=V ,E '⊆E ，则G '是G 的生成子图. E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或 10、在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri ir 1)deg(＝2∣E ∣,其中r i(i =1,2,…,r )是G 的面．11、设}2,1{},,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是11、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，2），（b ，1）}12、表达式∀x ∃yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c }，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 12、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 12*、设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为 (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))13、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 14、设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )= R ⋂S15、设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是2=-+e r v16、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和≥n ，则G 一定是哈密顿图. 17、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 ，称为树根，称为树叶. 若有向图T 恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；出度为0的结点.18、图的通路中边的数目称为 . 结点不重复的通路是 通路. 边不重复的通路是 通路. 通路长度；初级；简单. 19、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。
离散数学24主析取范式与主合取范式
说明
• n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其 中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若 成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i ，就将所对应极小项记作mi 。
• 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项， 每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的 十进制数i做极大项的角标，记作Mi。
表2.3 p,q形成的极小项与极大项
(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) 经过演算可得
(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1=┐p∧┐q∧r, m2=┐p∧q∧┐r, m5=p∧┐q∧r
A.2x+3＜5
B.天空真蓝呀！
C.2013年元旦下大雪
D.你去图书馆吗？
3、命题 P,Q真值为“0”，命题 R, S 真值为“1”，则下 列 哪个命题真值为
“0”？（ ） A (P (Q R)) ((P nQ) (R S))
B (P Q) R (((P Q) R) S)
C (R S) (P Q)
例2.8 求例2.7中公式的主析取范 式和主合取范式。
(2)求主合取范式
(p→q)r (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) ┐p∨q∨┐r M5
p∨r p∨(q∧┐q)∨r (p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r) M0∧M2
┐q∨r (p∧┐p)∨┐q∨r (p∨┐q∨r)∧(┐p∨┐q∨r) M2∧M6
分析： (1)将简单命题符号化
(2)写出各复合命题 (3)写出由(2)中复合命题组成的合取式（前 提） (4)将(3)中公式化成析取式（最好是主析取 范式） (5)这样每个小项就是一种可能产生的结果。
去掉不符合题意的小项，即得结论。
应用主析取范式分析和解决实际 问题
离散数学习题及解答
离散数学习题及解答作业题与解答第⼀章19 (2)、(4) 、(6)21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满⾜式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第⼆章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)所以00，10，11 为成真赋值。
(2) (┐p→q)∧(q∧r)(┐┐p∨q)∧(q∧r)(p∨q)∧(q∧r)(p∧q∧r)∨(q∧r)(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)m3∨m 7，所以011，111 为成真赋值。
(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )(┐p∧┐q)∨(1∧1)(┐p∧┐q)∨11m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7，所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。
离散数学主范式习题
用等值演算法分析该公司如何选派他们出国？ 解此类问题的步骤应为：
○1 将 简 单 命 题 符 号 化 ○2 写 出 各 复 合 命 题 ○3 写 出 由 ② 中 复 合 命 题 组 成 的 合 取 式 ○4 将 ③ 中 公 式 化 成 析 取 式 （ 最 好 是 主 析 取 范 式）
解 ① 设 p： 派 赵 去 ， q： 派 钱 去 ， r： 派 孙 去 ， s： 派 李 去 ， u： 派 周 去
((rs)( r s))
（交换律）
而
B 1=( p q) ((q r) ( q r)) (( pq r)( p qr)(q r)) （ 分 配 律 ）
B 2=(s u) ( u (p q)) ((s u)(pqs)(pqu))
（分配律）
又
B 1 B 2 ( p q r s u) ( p q r s u)
③
m 2 m 1 m 3 m 0
④
m 0 m 1 m 2 m 3
⑤
1
⑥
问由②如何得③？
⑤为主析取范式，⑥为主合取范式
结 论 ：（ 1 ） 为 重 言 式
（ 2） (p q ) q
( p q ) q
①
pqq
②
0
③
M 0 M 1 M 2 M 3
④
问：由②如何得③？
③为主析取范式，④为主合取范式
结 论 ：（ 2 ） 为 矛 盾 式 .
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
离散数学习题课带答案
三.重言蕴涵式的证明方法
方法1.列真值表。(即列永真式的真值表) (略) 方法2.假设前件为真，推出后件也为真。 方法3.假设后件为假，推出前件也为假。 证明 (A(B∨C) )∧(D∨E)∧((D∨E)A) B∨C 方法2 证明：
设前件(A(B∨C) )∧(D∨E)∧((D∨E)A) 为真，则 A(B∨C) , D∨E, (D∨E)A 均为真。 由D∨E, (D∨E)A 均为真，得 A为真, 又由A(B∨C)为真，得 B∨C为真。所以 (A(B∨C) )∧(D∨E)∧((D∨E)A) B∨C
方法3 (P→Q)→(P→(P∧Q)) (P∨Q)∨(P∨(P∧Q)) (P∧Q)∨P∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) 可见，该公式的主析取范式含有全部(四个) 小项，这表明(P→Q)→(P→(P∧Q))是永真式
六. 逻辑推理 熟练掌握三种推理方法。 (1) (A∨B)(C∧D), (D∨E)P AP 1.直接推理 ⑴ (A∨B)(C∧D) P ⑵ (A∨B)∨(C∧D) T ⑴ E ⑶ (A∧B) ∨(C∧D) T ⑵ E ⑷ (A∨C)∧(B∨C)∧(A∨D)∧(B∨D) T ⑶ E ⑸ A∨D T ⑷ I ⑹ AD T⑸ E ⑺ (D∨E)P P ⑻ (D∨E)∨P T ⑺ E ⑼ (D∧E)∨P T ⑻ E ⑽ (D ∨P) ∧(E∨P) T ⑼ E ⑾ D∨P T ⑽ I ⑿ DP T ⑾ E ⒀AP T ⑹⑿ I
（4）某些汽车比所有的火车都慢，但至少有一列火车比每辆 汽车快 C(x)：x是汽车；H(x)：x是火车；S(x,y): x比y慢 x(C(x)∧y(H(y)→S(x,y)))∧z(H(z)∧y(C(y) →S(y,z)))
离散数学习题
习 题 一一、 将下列命题符号化：1、蓝色和黄色可以调配成绿色。
2、蓝色和黄色都是常用的颜色。
3、52和之和是无理数。
4、52和都是有理数。
5、小丽一边吃苹果，一边看电视。
6、王大力不仅是百米冠军，而且是500米冠军。
7、李冰只能选学英语或只能选学法语。
8、种瓜得瓜，种豆得豆。
9、经一事，长一智，并且不经一事，不长一智。
10、 经一事，长一智，并且不长一智，不经一事。
11、 李和平是山西人或陕西人。
12、 王小红虽然没上过大学，但她自学成才。
二、 求复合命题的真值：设p ：4是素数，q ：南京在北京的北边，r ：苹果树是落叶乔木。
1、()r q p ⌝∧∧⌝2、()()r p q p ↔→∧⌝3、()()q p q p ⌝↔⌝∨↔三、求下列公式的成真赋值和成假赋值：1、()r q p ⌝∧∧⌝2、()()r p q p ↔→∧⌝3、()()q p q p ∧⌝∨⌝∧四、判断公式的类型：1、()p q r p →⌝∧∧2、()()()r p q q p ∨⌝→⌝→→3、()()r p q p →↔→4、()()()()()r q p q p q p ∨∧⌝∨⌝∧→↔⌝5、()()r q r p ↔→⌝↔6、()()()q r p q p ∧∧→⌝∧五、将下列复合命题符号化，并求真值：1、若π是无理数，自然对数的底e 也是无理数。
只有3是偶数，4才是素数。
2是无理数，仅当5不是无理数。
5是无理数。
2、若2和3都是素数，则5是奇数。
2是素数，3也是素数，所以5或6是奇数。
3、设x y 2=，x 为实数。
推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。
六、用等值演算法证明：1、()1⇔∨⌝∨→r q p p2、()()()()1⇔∧⌝∨⌝∧↔↔⌝q p q p q p3、()()0⇔→⌝∧∨⌝q p q p4、()()()q p q p q p ↔⌝⇔∧⌝∧∨5、()()r q p r p q →∧⇔→→6、()()()()()()r p q r q p r q p q p ∧⌝∨∧∧∨⇔∧∧⌝∨∧七、求主析取范式和主合取范式，成真赋值和成假赋值：()()()()()()()()()()()()()()()()()q p p q q p q p p q q p r q p r q p q r q p r p q r q p ↔→↔→∧∨⌝→⌝∨→⌝⌝⌝∧⌝∨∧∧→→⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∧∨、、、、、、654321 八、将已知的命题公式等值地化成给定的联结词完备集中的公式： (){}()}{()}{()}{}{(){}中的公式。
2021-2022学年离散数学之范式与推理证明练习题(含答案)
11-1、求下列公式的主析取范式和主合取范式： （1）()()()r q q p ∧↔→⌝（2）()q p p r ∧∧→⌝解： (1)()()()r q q p ∧↔→⌝的真值表如下：()()()r q q p ∧↔→⌝的主析取范式为6m ， ()()()r q q p ∧↔→⌝的主合取范式为7543210M M M M M M M ∧∧∧∧∧∧。
（2）()p r →⌝⇔⌝（⌝r ∨p ）⇔r ∧⌝p 故()p r →⌝∧p ∧q ⇔⌝（⌝r ∨p ）∧p ∧q⇔r ∧⌝p ∧p ∧q ⇔0⇔0M ∧1M ∧2M ∧3M ∧4M ∧5M ∧6M ∧7M原式的主合取范式为0M ∧1M ∧2M ∧3M ∧4M ∧5M ∧6M ∧7M ，主析取范式为0。
1-2、求下面公式的主析取范式和主合取范式：2（1）()r q p ∧∨（2）()r q p p ∨∨⌝→解：（1）()r q p ∧∨⇔()()r q r p ∧∨∧⇔()()r q p r q p ∧⌝∧∨∧∧()()r q p r q p ∧∧⌝∨∧∧∨753m m m ∨∨⇔为主析取范式，()r q p ∧∨⇔()()()r q p r q p r q p ∨∨∧⌝∨∨∧∨∨ ()()()r q p r q p r q p ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∨∧64210M M M M M ∧∧∧∧⇔为主合取范式。
（2）由于()r q p p ∨∨⌝→⇔()r q p p ∨∨⌝∨⌝⇔r q p ∨∨⌝⇔4M 为主合取范式，故()r q p p∨∨⌝→的主析取范式为()r q p p ∨∨⌝→7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨⇔1-3、求下列公式的主析取范式和主合取范式：（1）()()r q q p →∧→（2）()r q p →↔解： （1）()()()()r q q p r q q p ∨⌝∧∨⌝⇔→∧→()()()()p p r q r r q p ⌝∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝⇔()()()()p r q p r q r q p r q p ⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝⇔ ()()()()r q p r q p r q p r q p ∨⌝∨⌝∧∨⌝∨∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝⇔6254M M M M ∧∧∧⇔6542M M M M ∧∧∧⇔37310m m m m ∨∨∨⇔主析取范式为：7310m m m m ∨∨∨主合取范式为：6542M M M M ∧∧∧（2）()()()()()r p q q p r q p r q p ∨→∧→⌝⇔∨↔⌝⇔→↔ ()()()()r p q q p r p q q p ∨∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∨→⌝∨→⌝⇔ ()()r p q q p ∨⌝∧∨⌝∧⇔()()()()()r p q q q p p q p ∨⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∨⇔ ()()()r q p q p ∨⌝∨⌝∧∨⇔()()60M M r q p r q p ∧⇔∨⌝∨⌝∧∨∨⇔754321m m m m m m ∨∨∨∨∨⇔1-4、求下面公式的主析取范式和主合取范式： （1）()r q p ∨∧（2）()r q p ↔↔解：（1）()()()()()p p r r r q p r q p ⌝∨∧∨⌝∨∧∧⇔∨∧ ()()()()p r p r r q p r q p ⌝∧∨∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔()()()()()()q q p r q q p r r q p r q p ⌝∨∧⌝∧∨⌝∨∧∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔()()()()q p r q p r r q p r q p ⌝∧∧∨∧∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔ ()()q p r q p r ⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨()()()()r q p r q p r q p r q p ∧∧⌝∨∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔ ()13567m m m m m r q p ∨∨∨∨⇔∧⌝∧⌝∨476531m m m m m ∨∨∨∨⇔420M M M ∧∧⇔主析取范式为：76531m m m m m ∨∨∨∨主合取范式为：420M M M ∧∧（2）公式()r q p ↔↔的真值表如下所示:r q p ↔↔的主合取范式为6530M M M M ∧∧∧⇔，未出现的极大项的下标为1，2，4，7，其主析取范式为7421m m m m ∨∨∨。
离散数学习题答案1-2-6-7-8-9章-2009-12-17
习题1：1. 解 （1）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）{x|x=20*k,k 是自然数}（3）{2，-1}2. 解 （1）{2，4}（2）{1，2，3，4，5}（3）{1，3}（4）{1，3，5}3. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}（2）φ（3）全体自然数（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}（5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}4. 解 （1）正确（2）正确（3）错误（4）正确5. 解 （1）A={1}，B={{1}}，C={{1}}（2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}6. 解 （1）正确。
由子集的定义。
（2） 不一定。
如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。
（3）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}（4）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。
7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
A={1，2}，B={1}，C={1}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
8. 解 （1）φ（2）{φ}（3）{{φ}}（4）{φ，{φ}}9. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}（3）{0,3,6,7,8,9}10. 解 33311. 解 2512. 解（1）454（2）124（3）22013. 解 （1）{φ}（2）{φ，{a}}（3）{φ，{φ}，{a}，{φ,a}}（4）{φ，{φ}，{{φ}}，{{φ},φ}}（5）{φ，{{φ}}，{φ}，{a}，{{φ},φ}，{{φ},a}，{φ,a}，{{φ},φ,a}}14. 证明：假设B ≠C ，则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔ 1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提：r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q))→(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q))∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
应用离散数学命题逻辑命题公式的范式题库试卷习题及答案
§1.4 命题公式的范式习题1.41. 下列命题公式哪些是析取范式哪些是合取范式？ （1）)()(r q q p ∧∨⌝∧⌝ （2）)()(q p q p ∨⌝∧⌝∨ （3）q r p ∨⌝∧⌝)( （4）q q p ⌝∧∨)( （5）q p ∨⌝ （6）r q p ⌝∧⌝∧⌝ （7）p ⌝ （8）q（9）1（10）0解 是析取范式的有：(1)、(3)、（5）、（6）、(7)、 (8)、（9）、（10）；是合取范式有：（2）、（4）、（5）、（6）、(7)、 (8)、（9）、（10）。
2. 在下列由3个命题变元r q p 、、组成的命题公式中，指出哪些是标准析取范式哪些是标准合取范式？ （1）)()(r q p r q p ∧∧⌝∨∧⌝∧⌝ （2）)()(r q p r q p ∨∨⌝∧⌝∨⌝∨ （3）q r q p ∨⌝∧⌝∧⌝)( （4）)()()(r q r p q p ∨∧⌝∨⌝∧∨ （5）r q p ⌝∨∨⌝ （6）r q p ⌝∧⌝∧⌝（7）1（8）0解 是标准析取范式的有：（1）、（6）、（8）；是标准合取范式的有：（2）、（5）、（7）。
3. 找出一个只含命题变元p 、q 和r 的命题公式，当p 和q 为真而r 为假时命题公式为真，否则为假。
解 r q p ⌝∧∧。
4. 找出一个只含命题变元p 、q 和r 的命题公式，在p 、q 和r 中恰有两个为假时命题公式为真，否则为假。
解 ))()()(r q p r q p r q p ∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧。
5. 利用等价演算法求下列命题公式的标准析取范式，并求其成真赋值。
（1）)()(p q q p ∨⌝→→⌝（2）r q q p ∧∧→⌝)(（3）)())((r q p r q p ∨∨→∧∨ 解（1） )()(p q q p ∨⌝→→⌝)()(p q q p ∨⌝∨∨⌝= p q q p ∨⌝∨⌝∧⌝=)()()()()()(q p q p q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝= )()()(q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝=除0=p ，1=q 外，其余均为成真赋值。
1-4 主范式
§1.4.2 主合取范式
方法一、真值表法
西安电子科技大学 软件学院
【例题】求命题公式A=¬P ∧ (Q → R)的主合取范式。
§1.4.2 主合取范式
方法二、等价推演法
西安电子科技大学 软件学院
【例题】求命题公式A=¬P∧(Q→R)的主合取范式。
A⇔ ⇔ ⇔
¬P∧(¬ Q ∨R) (¬P∨(Q∧¬Q)∨(R∧¬R) )∧((P∧¬P)∨¬Q∨R) (¬P∨Q∨R)∧(¬P∨Q∨¬R)∧(¬P∨¬Q∨R) ∧(¬P∨¬Q∨¬R )∧(P∨¬Q∨R)∧(¬P∨¬Q∨ R)
极小项
西安电子科技大学 软件学院
例如，以下是含有三个命题变元P,Q,R的极小项：
P1 ∧ ¬P2 ∧ P3
该极小项的编号为： 1 记为： 0 1
m5
含n个命题变元的极小项共有2n个， 编号为0~2n-1。
§1.4.1 主析取范式
000 001 010 011 100 101 110 111 m0 = m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m7 =
§1.4.2 主合取范式
极大项
西安电子科技大学 软件学院
例如，以下是含有三个命题变元P,Q,R的极大项：
P ∨ ¬Q ∨ R
该极大项的编号为： 0 记为： 1 0
M2
离散数学第一学期习题及答案
第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)2．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”3．用真值表判断下列公式的类型：（1）(p→q) →(⌝q→⌝p)（2）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（3）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)5.用等值演算法证明下面等值式：(1)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(2)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(2)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p参考答案:1.（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔12.p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
离散数学习题答案（耿素云屈婉玲）
离散数学习题答案（耿素云屈婉玲）离散数学习题答案习题⼆及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ?→∧∧解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨?∨解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再⽤主析取范式求主合取范式：（1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r∧∧?∨∨?∨∧?∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极⼩项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极⼤项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。
9、⽤真值表法求下⾯公式的主析取范式：（1）()()p q p r ∨∨?∧解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极⼩项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下⾯推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→结论：s 证明：① p 前提引⼊② p q ?∨前提引⼊③ q ①②析取三段论④ q r ?∨前提引⼊⑤ r ③④析取三段论⑥ r s →前提引⼊⑦ s ⑤⑥假⾔推理15、在⾃然推理系统P 中⽤附加前提法证明下⾯推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→结论：p u →证明：⽤附加前提证明法。
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A的主析取范式为m1 m2 m7 A的主合取范式为M0 M3 M4 M5 M6
设A对应的真值函数为F，则 F(001)=F(010)=F(111)=1 F(000)=F(011)=F(100)=F(101)=F(110)=0 试说明以上得出答案的理由
4． 在 以 下 各 联 结 词 集 中 各 求 一 个 公 式 与 A = (p q)r 等 值 . （ 1） {, , } （ 2） {, } （ 3） {, } （ 4） {, } （ 5） {} （ 6） {}
（ 1） 若 赵 去 ， 钱 也 去 . （ 2） 李 、 周 两 人 中 必 至 少 有 一 人 去 （ 3） 钱 、 孙 两 人 中 去 仅 去 一 人 . （ 4） 孙 、 李 两 人 同 去 或 同 不 去 . （ 5） 若 周 去 ， 则 赵 、 钱 也 去 .
用等值演算法分析该公司如何选派他们出国？ 解此类问题的步骤应为：
解（答1 ） ( p q ) r ( p q ) r （ 2） (p q) r (p q) r （ 3） (p q) r ( p q) r ( ( p q) r) （ 4） (p q) r ((p q) r) （ 5） (p q) r (p q) r (p q) r ((p q) r) ((p q) r)
二、练习题 1 ． 设 A 与 B 均 为 含 n 个 命 题 变 项 的 公 式 ，判 断 下 列 命题是否为真？ （ 1） A B 当 且 仅 当 A 与 B 有 相 同 的 主 析 取 范 式 （ 2） 若 A 为 重 言 式 ， 则 A 的 主 合 取 范 式 为 0 （ 3） 若 A 为 矛 盾 式 ， 则 A 的 主 析 取 范 式 为 1 （ 4） 任 何 公 式 都 能 等 值 地 化 成 { , }中 的 公 式 （ 5） 任 何 公 式 都 能 等 值 地 化 成 { , , }中 的 公 式
（满足要求） （满足要求）
（满足要求） （满足要求）
（满足要求）
（ 6） (p q)r
( p q)r
( ( p q) r)
( p q) r
((pp)(qq)(rr)
（满足要
求）
说明：以上各题答案不惟一
要求：对每小题分别给出不同形式的答案
5. 某 公 司 要 从 赵 、 钱 、 孙 、 李 、 周 五 名 新 毕 业 的 大 学 生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条 件：
结 论 ：（ 2 ） 为 矛 盾 式 .
（ 3） (p q ) p
m0 m1
①
M 2 M 3
②
请自己等值演算得①与②
结 论 ：（ 3 ） 为 可 满 足 式
请用真值表再解此题
3．已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r， 并知道它的成真赋值为 001, 010, 111, 求 A 的主析取范式和主合取范式，及 A 对应 的真值函数. 答案
② (1) (p q ) (2) (s u ) (3) ((q r) ( q r)) (4) ((r s) ( r s)) (5) (u (p q ))
③ 设 (1)— (5)构 成 的 合 取 式 为 A A = (p q ) (s u ) ((q r) ( q r)) ((r s) ( r s)) (u (p q ))
解 （ 1） 为 真 ， 这 是 显 然 的
（ 2） 为 假 . 注 意 , 任 何 公 式 与 它 的 主 范 式 是 等 值 的 ， 显 然 重 言 式 不 能 与 0等 值 。重 言 式 的 主 合 取 范 式 不 含 极 大 项 ， 因 而 主 合 取 范 式 为 1.
（ 3 ） 的 分 析 类 似 于 （ 2 ）， 矛 盾 式 的 主 析 取 范 式 为 0 . （ 4 ）为 假 ，因 为 { , }不 是 完 备 集 ，比 如 矛 盾 式 (p q ) q
③
m 2 m 1 m 3 m 0
④
m 0 m 1 m 2 m 3
⑤
1
⑥
问由②如何得③？
⑤为主析取范式，⑥为主合取范式
结 论 ：（ 1 ） 为 重 言 式
（ 2） (p q ) q
( p q ) q
①
pqq②0③M 0 M 1 M 2 M 3
④
问：由②如何得③？
③为主析取范式，④为主合取范式
○1 将 简 单 命 题 符 号 化 ○2 写 出 各 复 合 命 题 ○3 写 出 由 ② 中 复 合 命 题 组 成 的 合 取 式 ○4 将 ③ 中 公 式 化 成 析 取 式 （ 最 好 是 主 析 取 范 式）
解 ① 设 p： 派 赵 去 ， q： 派 钱 去 ， r： 派 孙 去 ， s： 派 李 去 ， u： 派 周 去
不 能 化 成 { , }中 的 公 式 . （ 5） 为 真 ， 注 意 { , , }的 子 集 { , }为 完 备 集 .
2． 通 过 求 主 范 式 判 公 式 类 型 （ 1 ） (p q ) ( q p ) （ 2 ） (p q ) q （ 3 ） (p q ) p
主范式 习题
一、 本章的主要内容及要求 1． 基 本 内 容 等值式与等值演算 基 本 的 等 值 式 （ 16 组 ， 24 个 公 式 ） 主析取与主合取范式 联结词完备集
2. 要 求 深刻理解等值式的概念 牢记基本等值式的名称及它们的内容 了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式 的概念 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成 真、成假赋值的关系，并理解简单合取式与极小项的 关系 熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等） 会用公式的主范式求公式的成真、成假赋值及判断公 式的类型、简单应用 会将任何公式化成任何联结词完备集中的公式
答案：（ 1 ） 重 言 式 ，（ 2 ） 矛 盾 式 ，（ 3 ） 可 满 足 式
解 用等值演算法求解
（ 1） (p q ) ( q p )
( p q ) (q p )
(消 去 )
①
(p q ) (q p )
( 内 移 )
②
(p q ) ( p q ) (p q ) ( p q )